专题02 二次根式的运算之六大题型（专项训练）数学新教材人教版五四制八年级上册

**基本信息** 以“概念-运算-应用”为主线，通过6类题型系统构建二次根式运算方法体系，融合运算能力与推理意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |最简二次根式|4题（跨地区期中题）|化简四步法（去分母、开方数不含平方因子等）|概念生成：从形式标准到判断应用| |同类二次根式|4题（含参数题）|“化简-比较被开方数”两步识别法|原理推导：基于最简根式的同类判定| |混合运算|4题（多步骤计算题）|“先化简再运算”分步法则|技能整合：四则运算与根式性质结合| |分母有理化|4题（阅读材料题）|有理化因式构造法（平方差公式等）|方法迁移：从单步到复杂分式化简| |新定义型问题|4题（含对称数对、奇异三角形）|定义转化-数学表达-运算验证三步法|应用拓展：抽象能力与模型意识培养| |规律探究问题|4题（等式归纳题）|“观察-猜想-证明”归纳法|创新意识：从特殊到一般的推理训练|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02二次根式的运算 目录 A题型建模·专项突破 题型一、同类二次根式 题型二、同类二次根式… 3 题型三、二次根式的混合运算.… 题型四、二次根式中的分母有理化… .7 题型五、二次根式运算中的新定义型问题.… .11 题型六、二次根式运算中的规律探究问题.14 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、同类二次根式 1.(25-26九年级上·福建漳州期中)下列二次根式中是最简二次根式的是() A.0.3 B 2 c.7 D.2 2.(25-26八年级上广东肇庆·期中)下列各式化成最简二次根式正确的是( 24_24 A.497 B.5÷5=5⑤ 42 c.7万 D.0.3=30 10 3.(25-26八年级上四川达州：月考)下列式子：①7，②5，③9，④0.5，⑤2+4，⑥ √a2+ab,其中最简二次根式有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(25-26八年级上全国课后作业)若二次根式V3m+9是最简二次根式，则可取的最小整数为 () A.1 B.0 C.-1 D.-2 1/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二、同类二次根式 5.(25-26八年级上·上海静安期末)下列根式中，与V2是同类二次根式的是() A.0.2 B.4 C.2 D.N 6.(25-26九年级上四川遂宁·期中)下列二次根式与√2a是同类二次根式的是() A.a B.50a C.27a D.得 7.(25-26九年级上四川眉山期中)最简二次根式Vx+4与3x+2是同类二次根式，则x的值为() A.0 B.1 C.2 D.3 8.(25-26八年级上山西大同月考)若最简二次根式V5-2a与V27能合并，则a的值是() A.1 B.2 C.3 D.4 题型三、二次根式的混合运算 9.(25-26八年级上全国期中)计算： (1)V3xV6-V⑧： 10.(25-26八年级上全国期末)计算 (1)V5-2)(W3+2): 11.(25-26八年级上·上海·月考)计算： 07y唱-属-网列6， agvj3层}a>a6>0 12.(25-26八年级上山东青岛月考)计算： as-+冒 @2-5+传xis-网 219 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 65-5+2-52+5 5 题型四、二次根式中的分母有理化 13.[核心素养]阅读下面的解答过程： 1 1xN2-1 =2-1: 2+1(2+1)2-1) 1 1×(W5-2) 3+2W3+2(5-2) =5-V2: … 根据以上解答过程解决下列问题： 1 (1)5+2-: 1 1 1 2试求1+V2+2+5+5+V4++79+V80+80+8T的值. 2 14.阅读材料：在解决问题“若a3-V万，求2a-12a-5的值”时，小俊是这样分析与解答的： .a= 28+026-3+5,0-3=7(a-3=7。-a=-2 (3-√7)3+√7)9-7 :.2a2-12a-5=2(a2-6a-5=2×(-2)-5=-9 请你根据小俊的解答过程，解决如下问题： 1 (1)化简：4+159 (2)若a=3-5,求2a2-12a+1的值. 15.阅读材料： 像（W5+2)(5-V2)=3vaa=a(a≥0)（历+1（历-=b-1b≥0）…两个含有二次根式的代数式相 乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式。 例如，V5与V5、√2+1与√2-1、23+3W5与25-35等都是互为有理化因式.在进行二次根式计算时， 利用有理化因式，可以化去分母中的根号. 根据以上阅读材料回答下列问题： 319 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ()计算：5-2-： 1 1 (2)计算：1+V2+2+V5+3+2 十…十 √2024+V2025· 3 2 16.阅读下列材料，然后回答间题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如万、3、5+1一样的 式子，其实我们还可以将其进一步化简： 33x5-35(1D 5√5x55 2_2x3_V6 V53×33 (Ⅱ) 2x5-1） 25--5-1c) 3+1(W3+15-1(- 以上这种化简的步骤叫做分母有理化. 2 √3+1还可以用以下方法化简： 2 3-45矿-P_5+5--5-1 √3+1V3+13+1 √3+1 2 (1)请用不同的方法化简√5+万 2 ①参照()式得5+5-： 2 ②参照(V)式得5+5-： 2 2 2 2 2化简：5+1+5+5+V7+N5+V2m+i+V2m 题型五、二次根式运算中的新定义型问题 17.定义：若两个二次根式m,n满足m~n=P,且P是有理数.则称m与n是关于P的美好二次根式. (1)若m与√2是关于6的美好二次根式，求m的值： (2)若1-V5与4+V3m是关于n的美好二次根式，求m和n的值. 419 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Nm-√n(m>m) 18.对于任意的正数，定义运算，为：m必n= m n ※ √m+√n(m<n) (1)计算48※75的结果： (2)计算(3※2)×(8※12)的结果， 19.我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形.例如，某三角 形的三边长分别是2,4和V0,因为2+4=20=2×(W0)2,所以这个三角形是奇异三角形. (1)若△ABC的三边长分别是2,2V2和V6,判断此三角形是否是奇异三角形，说明理由。 (2)若Rt△ABC是奇异三角形，直角边的长为a,b(a<b),斜边长为C,写出a和b的等量关系式， 20.(2324八年级上江苏准安阶段练习)我们规定用(a,b)表示有序数对.给出如下定义：记m=a, n=b,其中a>0,b>0,将(m,n)与(n,m)称为有序数对(a,b)的一对“对称数对”.例如；(4,1)的一 对“对称数对”为行别利引 (1)有序数对(4,3)的一对“对称数对”是 (2)若有序数对(5，)的一对“对称数对”相同，则y的值为； 3)若有序数对(x,2)的一个“对称数对”是(V5,2√⑤)，则x的值为 ④)若有序数对(a,b)的一个“对称数对”是(N5,3V2),求b的值。 题型六、二次根式运算中的规律探究问题 21.先观察下列等式，再回答问题： @++京-1+片 .1.1 11+12 11 ②1++=1+ 11= Γ22+16 11 ,11 1 ③1++平 =1+ =1 33+112 (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想√1+ 11 + 42+52 的结果： (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用的式子表示的等式： 519 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11 ,,1,1 1 (3)计算： 1,1 +2+V1+2+3+1+3+4++ 992+1002 22.观察下列各个等式： 第①个等式：V32+42=5; 第②个等式：V52+122=13: 第③个等式：V72+242=25; 第④个等式：V92+402=41; 按以上等式规律，解决下面的问题： (1)写出第⑤个等式： (2)完成第n个等式： V(2n+1)2+(2m2+2n)=, 并证明这个等式的正确性. 23.观察下列各式及验证过程： 得 6号得：5- 1112 12 1(11 1 3二_15111-14 验证2342x3x4V2x3”x43V⑧V34545, 验好=6x46 1 4,14 111 (1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想兮司的变形结果并进行验证。 (2针对上述各式反映的规律，写出用mn为任意的自然数，且n≥2)表示的等式，并给出证明. 24.观察下列各式并解答问题： 1 1 93 .11497 11 16913 1+下+2京42：1+2+V366 +3+4 1+ V14412… 11 (1)计算： + V102+112 (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数)· 619 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 综合攻坚·能力跃升 一、 单选题 1.(25-26八年级上重庆·月考)下列二次根式中，是最简二次根式的是() A.5 B.8 D,0.4 2.(25-26九年级上吉林长春期末)下列二次根式与V5是同类二次根式的是() A.√2 B.√6 c.9 D.√12 3.(25-26九年级上·吉林长春·期末)下列运算正确的是() A.V5+V5=5 B.22-√2=2 C.5x√2=5 D.√8÷V2=2 4.(25-26八年级上重庆月考)估计314-22)÷V2的值应在() A.4与5之间B.5与6之间 C.6与7之间 D.7与8之间 Nm-vn(m≥n) 5.(25-26八年级上湖南永州期中)对于任意的正数，定义运算为：m8= m、n m+m<n,计 算(382)×(882)的结果是() A.1 B.√2 C.2 D.5 二、填空题 3 6.(25-26八年级上湖南郴州：期中)化简8的结果是一· 7.(25-26八年级上河南平顶山'期中)二次根式V3m是最简二次根式，请写出一个符合条件的m的值： V15m 2 8.(25-26九年级上四川泸州月考)计算： ÷√20m 5m 9.(25-26八年级上陕西西安·月考)已知最简二次根式√a+3与V18是同类二次根式，则a的值为 10.(25-26八年级上江苏南通月考)己知y=Vx-2+2-x-V5,则(x+y)02(x-)2026的值为 719 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 11. (25-26八年级上·上海黄浦期中)计算： ù厚 @5226-2jp+25 12.(25-26八年级上上海·月考)计算 045-可 13.(25-26八年级上全国单元测试)己知x+y=2W5,x-y=4.求下列各式的值： (①)x2+2y+y2: (2)2-y2. 14.(2025八年级上·重庆·专题练习)在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经验， 类比探究了二次根式的运算规律， 特例++-1+=1+1-号。 11 1×2 Γ2 11 1 特例21+2+3京=1+ 2×3 =1+ 11 23 11 (1)特例3：1+3+ =（填写一个符合上述运算特征的式子)； 11 (2)求证： =1+11 (a-+京=1+n ,且n为整数)； n>2 11 11 ③)如果V1+++1+6+++1+ n-102 的小数部分是0.1，那么整数部分为 15.(25-26九年级上福建泉州期中)阅读下面计算过程： 1 1x(2-1 2+1（W2+1)2-1) =2-1: 819 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1x(3-2) 3+2(W3+2)3-2) =3-2: 1 1×(5-2 5+2(W5+25-2 =5-2 试求： (四7+V6的值. 1 ②求1+2+V2+N5+V5+N4++2024+V2025+N2025+V2026的值. 1 3)若=5-2，求a-4a2+a+4的值. 16.(23-24八年级上北京海淀·月考)嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法 探究下面二次根式的运算规律，下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律： 8+1 特例2： 特例3： 特例4： (填写一个符合上述运算特征的式子)· (2)观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律： 1 ①化简： 2023+ ×V4050= 2025 ②若0+方9√6 a+b的值为 (a,b均为正整数)，则。， 919 专题02 二次根式的运算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、同类二次根式 1 题型二、同类二次根式 3 题型三、二次根式的混合运算 4 题型四、二次根式中的分母有理化 7 题型五、二次根式运算中的新定义型问题 11 题型六、二次根式运算中的规律探究问题 14 B综合攻坚・能力跃升 题型一、同类二次根式 1．（25-26九年级上·福建漳州·期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数是整数，且被开方数中不含能开得尽方的因数，这样的二次根式叫做最简二次根式，即可解答． 【详解】解：A、的被开方数是小数，不满足最简二次根式的条件，故此选项不符合题意； B、的被开方数是分数，不满足最简二次根式的条件，故此选项不符合题意； C、7是质数，无平方因数，所以，是最简二次根式，故此选项符合题意； D、, 可化简，所以，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键． 逐一检查每个选项是否满足被开方数不含分母和能开尽方的因数，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：A、，，未化简，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，分母有根号，未化简，故此选项不符合题意； D、，是最简二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 3．（25-26八年级上·四川达州·月考）下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥，其中最简二次根式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的识别，根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且不含能开方的因数或因式），逐一判断各二次根式是否符合条件． 【详解】解： ① 是三次根式，不是二次根式，故不是最简二次根式； ② 被开方数含分母，故不是最简二次根式； ③ 被开方数9能开方（），故不是最简二次根式； ④ 即 ，被开方数含分母，故不是最简二次根式； ⑤ 被开方数 无分母且不能因式分解为完全平方形式（在实数范围内），故是最简二次根式； ⑥ 即 ，被开方数含能开得尽方的因式 ，故不是最简二次根式； ∴ 只有⑤是最简二次根式，共1个， 故选：A． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解本题的关键 根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因式或因数，不含分母，进行求解即可． 【详解】解：， ，当时，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式， 故可取的最小整数为， 故选：D． 题型二、同类二次根式 5．（25-26八年级上·上海静安·期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式，将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式．先将各选项的二次根式化为最简二次根式，即可判断解答． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式； B、，与不是同类二次根式； C、，与不是同类二次根式； D、，与是同类二次根式． 故选：D． 6．（25-26九年级上·四川遂宁·期中）下列二次根式与是同类二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：是最简二次根式，被开方数为． 选项A：，被开方数为，不符合题意． 选项B：，被开方数为，符合题意． 选项C：，被开方数为，不符合题意． 选项D：，被开方数为，不符合题意． 故选：B． 7．（25-26九年级上·四川眉山·期中）最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式的概念，解题的关键是利用“同类二次根式的被开方数相同”这一性质列方程求解． 根据同类二次根式的定义，令两个最简二次根式的被开方数相等，列方程求解并验证． 【详解】解：因为最简二次根式与是同类二次根式， 所以同类二次根式的被开方数相同，可得方程：， 解得：， 验证：当时，，均为最简二次根式且被开方数相同，符合题意． 故选：B． 8．（25-26八年级上·山西大同·月考）若最简二次根式与能合并，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式、同类二次根式、二次根式的化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题关键．先化简二次根式可得，再得出最简二次根式与是同类二次根式，则可得，由此即可得． 【详解】解：， ∵最简二次根式与能合并， ∴最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故选：A． 题型三、二次根式的混合运算 9．（25-26八年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． （）先进行乘法运算，再利用二次根式的性质化简，最后进行减法运算即可； （）先进行乘除运算，再进行加减运算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 10．（25-26八年级上·全国·期末）计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据平方差公式及二次根式的乘法运算求解即可； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 11．（25-26八年级上·上海·月考）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键， （1）按顺序根据二次根式的运算法则进行计算即可； （2）先分别化简每个二次根式，然后再按运算顺序进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（25-26八年级上·山东青岛·月考）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式再合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的除法、乘法，并化简二次根式，最后合并同类二次根式即可； （3）化简二次根式，并利用平方差公式计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 题型四、二次根式中的分母有理化 13.[核心素养]阅读下面的解答过程： ； ； …… 根据以上解答过程解决下列问题： (1) ； (2)试求的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题是材料阅读题，考查了二次根式的混合运算，关键是读懂题中材料提供的解法，并能正确应用． （1）根据阅读材料提供的方法即可完成； （2）对每一项用阅读材料中提供的方法化简再相加即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 14.阅读材料：在解决问题“若，求的值”时，小俊是这样分析与解答的： ∵，∴，∴，∴． ∴． 请你根据小俊的解答过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方差公式，将分母有理化即可； （2）先将化简，得出，则，进而得出，得出，代入计算即可． 本题主要考查了二次根式的化简，分母有理化，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 则， ∴ 则， ∴， 15.阅读材料： 像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)计算： ； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）原式的分子和分母都乘以解答即可； （2）先将每一项分母有理化，再计算加减即可． 【详解】（1）解：； （2）解：原式 ． 16.阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、 、一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： （Ⅳ） (1)请用不同的方法化简 ①参照（Ⅲ）式得 ； ②参照（Ⅳ）式得 ； (2)化简： 【答案】(1)①； ② (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化以及分式的加减法运算，根据分母有理化的方法进行运算即可． （1）根据分母有理化的两种方式分别进行运算即可． （2）根据分母有理化的结果进行分式的加法运算即可． 【详解】（1）解：①， ② （2） 题型五、二次根式运算中的新定义型问题 17.定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式． (1)若与是关于6的美好二次根式，求的值： (2)若与是关于的美好二次根式，求和的值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴； （2）解：由题意可得，， 整理得，， ， ∴ ∴， ∴． 18.对于任意的正数，定义运算为：. (1)计算的结果； (2)计算的结果. 【答案】(1)； (2)2； 【分析】本题考查新运算及根式的混合运算： （1）先根据新运算展开，再根据根式的运算法则直接计算即可得到答案； （2）先根据新运算展开，再根据根式的运算法则直接计算即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ； （2）解：由题意可得， ，， ∴． 19.我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2，4和，因为，所以这个三角形是奇异三角形． (1)若的三边长分别是2，和，判断此三角形是否是奇异三角形，说明理由． (2)若Rt是奇异三角形，直角边的长为a，b（），斜边长为c，写出a和b的等量关系式． 【答案】(1)此三角形是奇异三角形，理由见解析 (2) 【分析】考查了直角三角形的性质、勾股定理； （1）根据勾股定理、奇异三角形的定义计算即可． （2）由勾股定理得出①，由是奇异三角形，且，得出②，由①②得出，即可得出结论． 熟练掌握奇异三角形的定义、勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：此三角形是奇异三角形；理由如下： ， 是奇异三角形， （2）中，， ， ， ，， 是奇异三角形， ， ， ， ， 20．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）我们规定用表示有序数对．给出如下定义：记，，其中，，将与称为有序数对的一对“对称数对”．例如；的一对“对称数对”为和． (1)有序数对的一对“对称数对”是＿＿＿； (2)若有序数对的一对“对称数对”相同，则y的值为＿＿＿； (3)若有序数对的一个“对称数对”是，则x的值为＿＿＿； (4)若有序数对的一个“对称数对”是，求的值． 【答案】(1)和 (2) (3) (4)6或 【分析】本题主要考查了新定义，解方程，二次根式的性质，理解和应用新定义是解本题的关键． （1）根据新定义即可得出结论； （2）根据新定义，列等式，解方程进而得出结论； （3）根据新定义，列等式，解方程进而得出结论； （4）根据新定义，列方程或，解方程进而得出结论． 【详解】（1）解：， 有序数对的一对“对称数对”是和， 故答案为：和； （2）解：有序数对的一对“对称数对”相同， ， ， 故答案为：； （3）解：有序数对的一个“对称数对”是， ， ， 故答案为：； （4）解：有序数对的一个“对称数对”是， 或， 或， 或． 即的值为6或． 题型六、二次根式运算中的规律探究问题 21.先观察下列等式，再回答问题： ① ② ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想 的结果： (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式： (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键． （1）根据题目所给的例题可知可化为，计算即可得出答案； （2）利用根据前面等式的规律求解； （3）根据题意可化为，根据有理数加法计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得： （2）第n个式子为：； （3） ． 22.观察下列各个等式： 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； …… 按以上等式规律，解决下面的问题： (1)写出第⑤个等式： ． (2)完成第n个等式： ，并证明这个等式的正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】此题考查了二次根式的运算，根据题意找到规律是解题的关键． （1）根据题目提供的规律写出答案即可； （2）根据题目中的规律得到答案，再利用二次根式的性质进行计算证明即可． 【详解】（1）根据题意： 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； 则第⑤个等式： 故答案为： （2） 故答案为： 证明如下： 左边 ∵n为大于或等于1的整数， ∴ ∴左边右边. 成立. 23.观察下列各式及验证过程：， 验证；， 验证， 验证 (1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证． (2)针对上述各式反映的规律，写出用为任意的自然数，且表示的等式，并给出证明． 【答案】(1)，验证见解析 (2)，验证见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的性质．此题是一个找规律的题目，观察时，既要注意观察等式的左右两边的联系，还要注意右边必须是一种特殊形式． （1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质，把根号内的移到根号外； （2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，观察根号外的和根号内的分子、分母之间的关系可得：． 【详解】（1） 验证： ； （2）． 验证： ． 24.观察下列各式并解答问题： ；；…… (1)计算：； (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含 n的等式表示，n为正整数）． 【答案】(1) (2)（n为正整数） 【分析】本题主要考查数字规律下的二次根式化简， （1）总结规律，按规律解答； （2）根据分式的性质和完全平方公式即可化简求得一般性结论． 【详解】（1）解：∵； ； ， …… ∴； （2）解：根据（1）得到， 证明： ． 一、单选题 1．（25-26八年级上·重庆·月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含完全平方数，逐一判断各选项. 【详解】解： 最简二次根式需满足被开方数为整数且无平方因子， 选项A：， 不含完全平方数， 是最简二次根式； 选项B：，不是最简二次根式； 选项C：， 被开方数含分母， 不是最简二次根式； 选项D：， 被开方数含分母， 不是最简二次根式． 故选A． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期末）下列二次根式与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的概念。关键在于将各选项化简为最简二次根式后，判断其被开方数是否与相同，只有D选项化简后为，符合题意． 同类二次根式需化简后比较被开方数，化简为，与被开方数相同． 【详解】解：∵， ∴与的被开方数均为3， 故与是同类二次根式． 故选：D． 3．（25-26九年级上·吉林长春·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的四则运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 4．（25-26八年级上·重庆·月考）估计的值应在（    ） A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式混合运算、无理数估算及不等式性质，熟练掌握二次根式混合运算和无理数估算方法是解决问题的关键．先将表达式化简为，然后通过估计 的值范围，确定整个表达式的取值范围即可． 【详解】解：∵ ， 又∵， ∴， ∴， ∴原式的值在5与6之间； 故选：B． 5．（25-26八年级上·湖南永州·期中）对于任意的正数，定义运算为：，计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的乘法运算，根据新运算定义分别计算和，再求乘积即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 6．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了将根式化为最简二次根式，将根号内的分数表示为分子和分母的平方根之比，然后化简分母中的根号并有理化； 【详解】解：． 故答案为： ． 7．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）二次根式是最简二次根式，请写出一个符合条件的m的值： ． 【答案】1 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含平方因子，因此 需无平方因子，故 不能是3的倍数且自身无平方因子， 【详解】解：当，则，3无平方因子，故是最简二次根式 故答案为：1（答案不唯一）． 8．（25-26九年级上·四川泸州·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式乘除混合运算的法则是解题的关键． 直接根据二次根式乘除混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式，先将化简为最简二次根式，再根据被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式可得关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：， ∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，化简求值，根据二次根式的被开方数非负，确定的值，进而求出的值，然后代入表达式化简计算． 【详解】解：∵， ∴且， 解得． ∴． 则 ，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据二次根式乘除运算法则即可求解； （）先分母有理化，二次根式乘法运算，然后进行二次根式加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（25-26八年级上·上海·月考）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，分母有理化，再计算加减即可； （2）根据二次根式的乘除运算法则计算，再化简二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知．求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）对原式根据完全平方公式进行因式分解，然后代入求值即可； （2）对原式根据平方差公式进行因式分解，然后代入求值即可． 【详解】（1）∵ ∴ ； （2）∵ ∴ ． 14．（2025八年级上·重庆·专题练习）在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律， 特例； 特例； (1)特例3：________（填写一个符合上述运算特征的式子）； (2)求证：（，且n为整数）； (3)如果的小数部分是0.1，那么整数部分为_____． 【答案】(1) (2)见解析 (3)5 【分析】本题考查二次根式的性质，数字类规律探究，根据题干信息，得到（，且n为整数），是解题的关键： （1）仿照题干给出的特例，作答即可； （2）根据二次根式的性质进行化简即可； （3）利用规律先化简，再进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，； （2）证明：∵，且n为整数， ∴ ， ； （3）解： ， ∵的小数部分是0.1 ∴， ∴， ∴的整数部分为． 15．（25-26九年级上·福建泉州·期中）阅读下面计算过程： ； ； ． 试求： (1)的值． (2)求的值． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的化简求值等知识，化简二次根式是解题的关键． （1）分子分母同乘即可求解； （2）仿照题干中提供的材料所示的方法，把各项化简即可求解； （3）把a化简为，进而可得，原式变形为，再代入即可求值． 【详解】（1）解：； （2）解： … ； （3）解：， ∴, ∴， 即， ． 16．（23-24八年级上·北京海淀·月考）嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． (2)观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 【答案】(1)；（答案不唯一） (2) (3)见解析 (4)①；②18 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结即可； （3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可； （4）根据材料提示的方法代入运算即可． 【详解】（1）解：根据材料提示可得，特例 4 为：， 故答案为：； （2）解：由上述计算可得，如果为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：； （3）解：， 等式左边等式右边； （4）①解： ． ②， ， ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $