26.1二次函数的概念【精讲精练-分层训练】同步讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦二次函数的概念这一核心知识点，从实际问题提炼变量关系入手，系统梳理二次函数的定义、一般形式（y=ax²+bx+c，a≠0）及二次项系数、一次项系数、常数项，构建从概念理解到判断识别再到实际应用的学习支架。 资料以核心题型分类（10种）和典例变式结合为亮点，通过销售、增长率等实际情境培养学生用数学眼光观察现实世界的能力，在判断函数和列关系式中发展推理意识，课中助力教师高效教学，课后分层练习（A组基础等）帮助学生查漏补缺。

26.1二次函数的概念 学习目标和重难点 1、经历从实际问题中提炼变量关系的过程，理解二次函数的概念，能准确指出二次项系数、一次项系数和常数项。 2、能根据实际问题中的等量关系，列出二次函数解析式，并结合实际意义确定自变量的取值范围。 教学重点 1、二次函数的定义及其一般形式（y=ax²+bx+c，a≠0）。 2、根据实际问题情境建立二次函数模型。 教学难点 1、准确判断一个函数是否为二次函数（特别是需要先化简再判断的情形）。 2、在列二次函数解析式时，正确确定自变量的取值范围。 教材◆核心知识 知识点1．二次函数 1.二次函数的定义 一般地，形如 的函数叫做二次函数。此函数表达式为二次函数的一般形式。 其中：是自变量，是函数解析式的 二次项系数 ；是函数解析式 一次项系数 ；是函数解析式的 常数项 。又是二次函数的 一般形式 。 2.判断二次函数 判断二次函数时，把二次函数化为 一般形式 ，右边一定要是 整式 ，最高次数是 2 且二次项系数 不等于0 。 3.表达式结构特征：等号左边是y,等号右边是关于x的二次多项式或二次单项式. ①当b=0时,二次函数为; ②当c=0时,二次函数为; ③当b=0,c=0时,二次函数为. 知识点2．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景， 核心题型◆归纳 题型01 二次函数的识别 题型02 由二次函数的定义求字母的值 题型03 由二次函数的定义求字母的取值范围 题型04 二次函数的一般形式 题型05 求二次函数的值 题型06 判断函数关系 题型07 列二次函数关系式(几何图形) 题型08 列二次函数关系式(增长率) 题型09 列二次函数关系式(循环) 题型10 列二次函数关系式(销售) A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 题型解析◆精准备考 题型01 二次函数的识别 【典例1】给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次函数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：①函数不是二次函数； ②函数是二次函数； ③函数不是二次函数； ④函数是二次函数； ⑤当时，函数不是二次函数； ⑥函数不是二次函数； ∴二次函数有②④，共2个， 故选：B． 【变式1】下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，二次函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义：形如（、、是常数，）是二次函数．直接利用二次函数的定义分别分析得出答案． 【详解】解：：①为一次函数，不是二次函数； ②，是二次函数； ③，最高次数为3，不是二次函数； ④，含有分式，不是二次函数； ⑤，可能为0，不一定是二次函数； ∴只有②是二次函数，个数为1， 故选：A． 题型02 由二次函数的定义求字母的值 【典例1】若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，需满足的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此进行求解即可. 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， . 【变式1】若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征；将点代入二次函数解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， 即， 解得． 故答案为：1． 题型03 由二次函数的定义求字母的取值范围 【典例1】已知函数是二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，函数为二次函数，则二次项系数必须不为零，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴二次项系数， ∴， 故选：A． 【变式1】已知函数是关于x的二次函数，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的概念，熟练掌握二次函数的定义是关键． 将函数表达式化简为一般形式，根据二次函数的定义，二次项系数不能为零，从而求解． 【详解】解：， ∵该函数为二次函数， ∴其二次项系数， ∴． 故答案为：． 题型04 二次函数的一般形式 【典例1】把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式，完全平方公式，解题的关键是掌握二次函数的一般形式． 将二次函数化为一般形式，需展开并合并同类项，即可得到一次项系数． 【详解】解：∵， ∴ 一次项系数为． 故选：C． 【变式1】把二次函数变成一般形式后，其二次项系数和一次项系数分别为（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的一般式，把函数的表达式化简成的形式即可求解，掌握二次函数的一般式是解题的关键． 【详解】解：化成一般式为， ∴二次项系数和一次项系数分别为，， 故选：． 题型05 求二次函数的值 【典例1】若点在函数的图象上，则的值为（    ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，将点代入函数解析式，直接求解a的值即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴当时，， 代入得：， 解得：． 故选：A． 【变式1】已知二次函数可化为的形式，则的值是(    ) A． B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的一般式与顶点式的相互转化、待定系数法等知识，将顶点式化成一般式确定对应系数，然后配方即可求解，熟练能将一般式与顶点式相互转化是解题的关键． 【详解】解： ∴，， ∴． 故选：A． 题型06 判断函数关系 【典例1】某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为．如图所示，设矩形一边长为 ，另一边长为，矩形的面积为当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的应用是解题的关键．由题意及矩形的面积及周长公式可直接列出函数关系式，然后由函数关系式可直接进行判断． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， ， ∴y与x满足一次函数的关系，S与x满足二次函数的关系，故A正确． 故选：A． 【变式1】如图，正方形和的周长之和为（为常数），设圆的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与x，S与满足的函数关系分别是（    ） A．二次函数关系，二次函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系 C．一次函数关系，一次函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 【答案】D 【分析】根据圆的周长公式和正方形的周长公式先得到，再根据得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵正方形和的周长之和为，圆的半径为，正方形的边长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、正方形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解答的关键． 题型07 列二次函数关系式(几何图形) 【典例1】两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求二次函数关系式，求出另一个正方形的边长为，再由正方形面积公式计算即可得解，求出另一个正方形的边长为是解此题的关键． 【详解】解：∵其中一个正方形的边长为， ∴其中一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的边长为， ∵第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为， ∴面积之和为， 故选：C． 【变式1】两个正方形的周长之和是．若以两个正方形面积之和为因变量，其中一个正方形的边长（单位：）为自变量，则它们之间的关系式是_______． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，解决本题的难点是求得另一正方形的边长，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 根据两个正方形的周长之和为，可求出另一个正方形的边长为 ，再利用正方形面积公式得到面积之和的函数关系式． 【详解】解：设其中一个正方形的边长为，则其周长为， 由于两个正方形的周长之和为， 因此另一个正方形的周长为， 故另一个正方形的边长为， 第一个正方形的面积为， 第二个正方形的面积为， 所以两个正方形的面积之和，即． 故答案为：． 题型08 列二次函数关系式(增长率) 【典例1】一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两次降价后的价格等于原价乘以（每次降价的百分率），列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是x， ∴两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是． 故选：B 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【变式1】某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键； 根据连续两次降价，每次降价的百分率为，则两次降价后的价格等于原价乘以的平方． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是， ∴第一次降价后价格为， 第二次降价后价格为， ∴， 故选：B． 题型09 列二次函数关系式(循环) 【典例1】参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据参加会议的人两两彼此握手表示即可． 【详解】∵参加会议的人两两彼此握手， ∴． 故选：B． 【变式1】寒假九班名同学为了相互表达春节的祝愿，约定每两名同学之间互发一次信息，那么互发信息的总次数与的函数关系式可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一共有n名同学，由于每两名同学之间互发一次信息，那么每一名同学都需给（n-1）名同学发一次信息，进而得出总次即可． 【详解】∵九(1)班n名同学为了相互表达春节的祝愿，约定每两名同学之间互发一次信息， ∴互发信息的总次数m与n的函数关系式可以表示为：m=n(n−1). 故答案选：D. 【点睛】本题考查了二次函数关系式，解题的关键是根据实际问题列二次函数关系式. 2．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），那么比赛总场数y与参加的球队数x之间的关系为_____（列出函数关系式） 【答案】 【分析】每两队之间都要赛一场，列出函数关系式即可； 【详解】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，所以比赛总场数y与参加的球队数x之间的关系为y=， 故答案为y=． 【点睛】本题考查根据实际问题列出二次函数解析式．解题的关键是正确的找到等量关系，列出表达式． 题型10 列二次函数关系式(销售) 【典例1】某商店销售一种商品，每件成本为元，售价为元，每天可销售件，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利润问题中的函数关系建立，解题的关键是明确利润的计算公式． 根据利润的计算公式，利润每件利润销售数量，每件利润为元，销售数量为件，代入公式即可得到与之间的函数关系式． 【详解】解：每件利润为元，销售数量为件， 每天的利润， 即函数关系式为， 故选：． 【变式1】兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出降价后每斤的盈利及销售量，再相乘即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每降价元多售出斤， ∴降价元多售出斤， ∴销售量为斤， ∴， 故选：． 1．某商店销售一种商品，每件成本为a元，售价为x元，每天可销售件，则每天的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查列函数关系式，利润由每件利润乘以销售数量得出，每件利润为售价减成本，销售数量由题干给出，由此可解． 【详解】解：∵ 每件利润为元，每天销售件， ∴ 每天利润 ． 故选：A． 2．下列各式中，y是x的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】依据二次函数的定义判断是否符合条件，需要化简的要化简为最简形式再判断． 【详解】解：A、中的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意； B、中的最高次数为3，不是二次函数，不符合题意； C、符合二次函数要求，是二次函数，符合题意； D、化简得，为常数函数，不是二次函数，不符合题意． 3．已知二次函数 的常数项为零，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了二次函数的关系式， 根据常数项为零的条件列出方程，并结合二次函数的定义（二次项系数不为零）求解． 【详解】解：∵二次函数的常数项为零， ∴， 即， ∴或． 又∵函数为二次函数， ∴二次项系数， ∴， ∴． 故选：B． 4．若是关于的二次函数，则的值是（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查二次函数的定义．需满足自变量最高次数为2且二次项系数不为0，据此列方程与不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数． ∴根据二次函数定义可得： 由，得， 即或 又∵， ∴ ∴． 故选：C 5．公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查根据题意列函数关系式． 根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量关于x的函数解析式． 【详解】解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x， ∴8月份的销售量为个， ∴9月份的销售量． 故选：A． 6．___________时，是关于的二次函数． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，注意二次项系数不能为0是解题的关键．根据二次函数的定义，可得，并且注意二次项系数不能为0，即，即可解答． 【详解】解：由题意得， 解得， ， 故答案为：． 7．给出下列函数：①；②；③；④．其中是二次函数的有______． 【答案】 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．根据二次函数的一般形式：形如（a，b，c为常数且），逐一判断即可解答． 【详解】解：①不是二次函数； ②是一次函数，不是二次函数； ③不是二次函数； ④是二次函数； 综上，是二次函数的有④， 故答案为：． 8．一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 【答案】 【知识点】列二次函数关系式 【分析】先根据题意得到新正方形的边长. 再利用正方形面积公式列出与的关系式. 整理后即可得到函数解析式． 【详解】由题意可知，原正方形边长为，边长增加后，新正方形的边长为 根据正方形面积公式，可得： 展开整理得： 由的实际意义可知， ∴． 9．若函数是关于x的二次函数，则a的值为_____． 【答案】0或 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义可知且，从而解得a的值即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴且， ∴且， 即且， ∴或． 故答案为：0或． 10．已知关于x的二次函数，求函数的解析式． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，求函数的解析式． 根据二次函数的定义求出的值，进而求函数的解析式即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴，， ∴，， 即， ∴ ． 11．已知是y关于x的二次函数，求a的值并指出二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】；二次项系数、一次项系数和常数项分别为12，和0 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握二次函数的一般形式，既要保证自变量的最高次数是，又要保证二次项系数不为． 根据二次函数的定义来确定未知数的指数和系数的条件，从而求解的值，再确定各项系数． 【详解】解：根据题意，得，解得，． 又， 且， ， ， ． 二次项系数为、一次项系数为、常数项为． 12．下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】根据二次函数的定义判断各选项，二次函数要求表达式是关于x的整式，且自变量x的最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解：∵二次函数的定义为：形如（，，为常数，且）的函数，等式右边是关于x的整式， A：是反比例函数，右边是分式，不符合定义， B：是一次函数，x最高次数为1，不符合定义， C：，符合二次函数形式，，右边是整式，x最高次数为2，符合定义， D：含分式项，右边不是整式，不符合定义． 13．判断下列是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数，逐一判断各选项是否符合定义即可． 【详解】解：A、，若，则不是二次函数，故A不一定正确； B、，最高次项为，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； D、，符合二次函数定义，是二次函数，此选项符合题意． 故选：D． 14．参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据参加会议的人两两彼此握手表示即可． 【详解】∵参加会议的人两两彼此握手， ∴． 故选：B． 15．某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件y万个，即可列出与之间的函数关系式． 【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据题意得： 与满足的函数关系式是 ． 故选：D 16．若是二次函数，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查二次函数的定义，二次函数的一般形式为()，根据定义列出关于的方程与不等式，进而求解的值． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且． 由，得，解得或． 又∵，即， ∴． 故选：A． 17．若是关于的二次函数，则的值为（　　） A．0 B．0或3 C．3 D．0或 【答案】D 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的函数是二次函数，据此可得，解之可得答案． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， 解得，， 故选：D． 18．下列函数一定是二次函数的是__________． ①；②；③；④；⑤y=(x-3)2-x2 【答案】③ 【知识点】二次函数的识别 【分析】根据二次函数的定义： 一般地,把形如y=ax²+bx+c(a≠0)(a、b、c是常数)的函数叫做二次函数，据此判断即可． 【详解】解：①，必须满足a≠0才为二次函数，故①不一定是二次函数； ②等号右边为分式，故②不是二次函数； ③是二次函数，故③是二次函数； ④，时，该式不是二次函数； ⑤，该式不是二次函数； 故答案为：③． 【点睛】本题考查了二次函数的识别，熟知二次函数的定义是解本题的关键． 19．建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 【答案】 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故答案为：． 20．若函数是关于x的二次函数，则m的值为_______． 【答案】或 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c都是常数，且）的函数叫做二次函数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得或， 故答案为：或． 21．如图，矩形绿地的长、宽各增加，写出扩充后的绿地的面积y与x的关系式． 【答案】 【知识点】列二次函数关系式 【分析】根据题意可知，增加后的矩形的长和宽分别为（20+x）m，（30+x）m，再由矩形面积公式求解即可． 【详解】解：∵矩形原来的长和宽分别为30m、20m，矩形绿地的长、宽各增加xm， ∴增加后的矩形的长和宽分别为（20+x）m，（30+x）m， ∴. 【点睛】本题主要考查了从实际问题出抽象出二次函数，解题的关键在于能够熟练掌握矩形面积公式． 22．若（为常数）是二次函数，求的值． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出关于a的不等式组求解即可得出答案． 【详解】解：∵（为常数）是二次函数， ∴， 解得：， 则a的值为． 23．已知二次函数，则其二次项系数a、一次项系数b、常数项c分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【知识点】二次函数的识别 【详解】将二次函数按的降幂排列，得， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 24．将进货价格为30元/个的商品按售价40元/个售出时，能卖出200个．已知该商品的售价每上涨1元，其销售量就减少6个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查二次函数的应用． 根据利润每个利润销售量列出关系式即可． 【详解】解：售价上涨元后，每个利润为元， 销售量减少个，即为个， ∴利润． 故选：A． 25．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长），墙对面有一个宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长，若鸡场的宽为，养鸡场面积为，则S与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，根据长方形的面积公式列出函数关系式即可. 【详解】解：设鸡场的宽为． 由题意可得：， ∴. 故选：B 26．已知二次函数，它的二次项系数为，一次项系数为，常数项为，则为______． 【答案】 【知识点】二次函数的识别、根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的概念，正确理解二次函数的概念即可解答． 根据二次函数的解析式得出，，的值，再代入即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故答案为： ． 27．已知是y关于x的二次函数，求m的值． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键，根据二次函数的定义得到且即可得到答案． 【详解】解：∵是y关于x的二次函数， ∴且， 解得：或，且， ∴． 28．若函数是二次函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查二次函数的定义及求函数值，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据二次函数的定义列式求解即可； （2）把代入函数解析式即可． 【详解】（1）解：依题意有， 解得：， ∴k的值为； （2）解：把代入函数解析式中得：， 当时，． ∴y的值为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.1二次函数的概念 学习目标和重难点 1、经历从实际问题中提炼变量关系的过程，理解二次函数的概念，能准确指出二次项系数、一次项系数和常数项。 2、能根据实际问题中的等量关系，列出二次函数解析式，并结合实际意义确定自变量的取值范围。 教学重点 1、二次函数的定义及其一般形式（y=ax²+bx+c，a≠0）。 2、根据实际问题情境建立二次函数模型。 教学难点 1、准确判断一个函数是否为二次函数（特别是需要先化简再判断的情形）。 2、在列二次函数解析式时，正确确定自变量的取值范围。 教材◆核心知识 知识点1．二次函数 1.二次函数的定义 一般地，形如 的函数叫做二次函数。此函数表达式为二次函数的一般形式。 其中：是自变量，是函数解析式的 二次项系数 ；是函数解析式 一次项系数 ；是函数解析式的 常数项 。又是二次函数的 一般形式 。 2.判断二次函数 判断二次函数时，把二次函数化为 一般形式 ，右边一定要是 整式 ，最高次数是 2 且二次项系数 不等于0 。 3.表达式结构特征：等号左边是y,等号右边是关于x的二次多项式或二次单项式. ①当b=0时,二次函数为; ②当c=0时,二次函数为; ③当b=0,c=0时,二次函数为. 知识点2．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景， 核心题型◆归纳 题型01 二次函数的识别 题型02 由二次函数的定义求字母的值 题型03 由二次函数的定义求字母的取值范围 题型04 二次函数的一般形式 题型05 求二次函数的值 题型06 判断函数关系 题型07 列二次函数关系式(几何图形) 题型08 列二次函数关系式(增长率) 题型09 列二次函数关系式(循环) 题型10 列二次函数关系式(销售) A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 题型解析◆精准备考 题型01 二次函数的识别 【典例1】给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次函数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，二次函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型02 由二次函数的定义求字母的值 【典例1】若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【变式1】若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 题型03 由二次函数的定义求字母的取值范围 【典例1】已知函数是二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数是关于x的二次函数，则m的取值范围是______． 题型04 二次函数的一般形式 【典例1】把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B．3 C． D． 【变式1】把二次函数变成一般形式后，其二次项系数和一次项系数分别为（  ） A．， B．， C．， D．， 题型05 求二次函数的值 【典例1】若点在函数的图象上，则的值为（    ） A．1 B．5 C． D． 【变式1】已知二次函数可化为的形式，则的值是(    ) A． B．3 C． D．5 题型06 判断函数关系 【典例1】某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为．如图所示，设矩形一边长为 ，另一边长为，矩形的面积为当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 【变式1】如图，正方形和的周长之和为（为常数），设圆的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与x，S与满足的函数关系分别是（    ） A．二次函数关系，二次函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系 C．一次函数关系，一次函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 题型07 列二次函数关系式(几何图形) 【典例1】两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】两个正方形的周长之和是．若以两个正方形面积之和为因变量，其中一个正方形的边长（单位：）为自变量，则它们之间的关系式是_______． 题型08 列二次函数关系式(增长率) 【典例1】一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【变式1】某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 题型09 列二次函数关系式(循环) 【典例1】参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【变式1】寒假九班名同学为了相互表达春节的祝愿，约定每两名同学之间互发一次信息，那么互发信息的总次数与的函数关系式可以表示为（ ） A． B． C． D． 题型10 列二次函数关系式(销售) 【典例1】某商店销售一种商品，每件成本为元，售价为元，每天可销售件，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【变式1】兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 1．某商店销售一种商品，每件成本为a元，售价为x元，每天可销售件，则每天的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 2．下列各式中，y是x的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 3．已知二次函数 的常数项为零，则 的值为（   ） A． B． C． D． 4．若是关于的二次函数，则的值是（ ） A． B． C． D．或 5．公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 6．___________时，是关于的二次函数． 7．给出下列函数：①；②；③；④．其中是二次函数的有______． 8．一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 9．若函数是关于x的二次函数，则a的值为_____． 10．已知关于x的二次函数，求函数的解析式． 11．已知是y关于x的二次函数，求a的值并指出二次项系数、一次项系数和常数项． 12．下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 13．判断下列是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 14．参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 15．某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 16．若是二次函数，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 17．若是关于的二次函数，则的值为（　　） A．0 B．0或3 C．3 D．0或 18．下列函数一定是二次函数的是__________． ①；②；③；④；⑤y=(x-3)2-x2 19．建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 20．若函数是关于x的二次函数，则m的值为_______． 21．如图，矩形绿地的长、宽各增加，写出扩充后的绿地的面积y与x的关系式． 22．若（为常数）是二次函数，求的值． 23．已知二次函数，则其二次项系数a、一次项系数b、常数项c分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 24．将进货价格为30元/个的商品按售价40元/个售出时，能卖出200个．已知该商品的售价每上涨1元，其销售量就减少6个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 25．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长），墙对面有一个宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长，若鸡场的宽为，养鸡场面积为，则S与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 26．已知二次函数，它的二次项系数为，一次项系数为，常数项为，则为______． 27．已知是y关于x的二次函数，求m的值． 28．若函数是二次函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $