26.1 二次函数的概念 同步讲义 2026--2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学二次函数的概念这一核心知识点，系统梳理二次函数的一般形式y=ax²+bx+c（a≠0），明确判断函数为二次函数需先化简为整式且二次项系数不为0，同时涵盖自变量取值范围及实际意义，搭建从一次函数到二次函数学习的过渡支架。 该资料通过典例与变式题（如判断正方形面积与边长的二次关系）培养数学眼光，强调定义判断的推理步骤（化简、系数条件）发展数学思维，题型覆盖定义辨析、系数识别及实际应用，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺。

第26章 26.1 二次函数的概念 内 容 导 航 题型1 二次函数的定义 考 点 演 练 题型1 二次函数的定义 解｜题｜知｜识 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 【典例1】下列函数表达式中，一定是二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝3x2﹣2x+1 D．y＝x2 【变式1】下列函数中y是x的二次函数的是（　　） A．y＝（x+1）（2x﹣1）﹣2x2 B．y2x+1 C．y＝3x2﹣x+5 D．y＝ax2+bx+c 【变式2】下列变量间具有二次函数关系的是（　　） A．正方形的周长y与边长x B．正方形的面积S与边长x C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．速度一定时，路程s与时间t 【变式3】下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝2x+1 B． C．y＝x2+2x﹣3 D． 【变式4】指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1）y＝﹣0.9x2+2x﹣3 　 　 　 　 　 （2）y＝﹣2x2﹣7 　 　 　 　 　 　 （3）y＝﹣x2+x 　 　 　 　 　 　 【变式5】已知关于x的函数． （1）若该函数为二次函数，求m的值； （2）若该函数为一次函数，求m的值． 【变式6】已知函数y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），求当m为何值时： （1）y是x的一次函数？ （2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标． 过 关 验 收 1. 若关于x的函数是二次函数，则m的值为（　　） A．﹣3 B．±3 C．3 D．无法确定 2. 下列函数中是二次函数的有（　　） ①； ②； ③y＝x（3﹣5x）； ④y＝（1+2x）（1﹣2x）+4x2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3. 下列函数是二次函数的是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数） C．y＝﹣x2+2 D． 4. 函数是二次函数，则m的值为（　　） A．1或﹣6 B．1 C．﹣2或3 D．3 5. 关于x的二次函数的解析式是y＝﹣3x2+4x+1，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，﹣4，﹣1 B．3，﹣4，1 C．﹣3，4，1 D．﹣3，4，﹣1 6. 如果函数y＝（k﹣2）kx+1是关于x的二次函数，那么k的值是（　　） A．1或2 B．0或2 C．2 D．0 7. 函数y＝2x2﹣3x+1的一次项系数是（　　） A．2 B．﹣3 C．3 D．1 8. 若y＝mx2+nx﹣p（其中m，n，p是常数）为二次函数，则（　　） A．m，n，p均不为0 B．m≠0，且n≠0 C．m≠0 D．m≠0，或p≠0 9. 下列函数中一定是二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C． D．s＝2t2﹣2t+1 10. 二次函数y＝x2﹣4x+3的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．1，4，3 B．0，4，3 C．1，﹣4，3 D．0，﹣4，3 11. 下列函数：①y＝3；②y；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12. 在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系是二次函数关系的有（　　） ①设正方形的边长为x，面积为y，则y与x的函数关系； ②在弹性范围内，弹簧测力计上弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的函数关系； ③设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x的函数关系； ④若一辆汽车以120km/h的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程y（km）与行驶时间x（h）的函数关系． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13. 若函数y＝mx（x﹣1）﹣x2是关于x的二次函数，则m的取值范围是（　　） A．m≠0 B．m≠﹣1 C．m≠1 D．m≠±1 14. 若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1 15. 若y＝（2﹣a）x|a|是二次函数，则a等于（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D．不能确定 16. 已知y＝（m﹣1）x|m+1|+3x﹣4是二次函数，则实数m＝　 　 ． 17. 请你写一个图象过点（1，﹣2）的二次函数： 　 ． 18. 若函数是关于x的二次函数，则一次函数y＝kx﹣1的图象不经 过 第　 　 象限． 19. 二次函数y＝3x2﹣2x﹣4的二次项系数与常数项的和是 　 　 ． 20. 若函数是关于x的二次函数．则常数m的值是 　 　 ． 21. 已知是二次函数，则a＝　 　 ． 22. 若是关于x的二次函数，则m的值为 　 　 ． 23. 已知函数y＝（k2﹣9）x2+（k+3）x+17． （1）当k　 　 时，该函数为一次函数： （2）当k　 　 时，该函数为二次函数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26章 26.1 二次函数的概念 内 容 导 航 题型1 二次函数的定义 考 点 演 练 题型1 二次函数的定义 解｜题｜知｜识 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 【典例1】下列函数表达式中，一定是二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝3x2﹣2x+1 D．y＝x2 【答案】C 【解答】解：A、是一次函数，故此选项错误； B、当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故此选项错误； C、是二次函数，故此选项正确； D、含有分式，不是二次函数，故此选项错误； 故选：C． 【变式1】下列函数中y是x的二次函数的是（　　） A．y＝（x+1）（2x﹣1）﹣2x2 B．y2x+1 C．y＝3x2﹣x+5 D．y＝ax2+bx+c 【答案】C 【解答】解：A、不是二次函数，故此选项错误； B、不是二次函数，故此选项错误； C、是二次函数，故此选项正确； D、当a＝0时，不是二次函数，故此选项错误； 故选：C． 【变式2】下列变量间具有二次函数关系的是（　　） A．正方形的周长y与边长x B．正方形的面积S与边长x C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．速度一定时，路程s与时间t 【答案】B 【解答】解：根据二次函数的定义逐项分析判断如下： A．正方形的周长y与边长x的关系为y＝4x，是一次函数，不符合题意； B．正方形的面积S与边长x的关系为S＝x2，符合二次函数形式，符合题意； C．三角形的高一定时，面积y与底边x的关系为y（h为定值），是一次函数，不符合题意； D．速度一定时，路程s与时间t的关系为s＝vt（v为定值），是一次函数，不符合题意； 故选：B． 【变式3】下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝2x+1 B． C．y＝x2+2x﹣3 D． 【答案】C 【解答】解：A、y＝2x+1，最高次数为1，不是二次函数，不符合题意； B、，不是二次函数，不符合题意； C、y＝x2+2x﹣3，符合二次函数定义，符合题意； D、，含有分式，不是二次函数，不符合题意． 故选：C． 【变式4】指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1）y＝﹣0.9x2+2x﹣3 　﹣0.9　 　2　 　﹣3　 （2）y＝﹣2x2﹣7 　﹣2　 　0　 　﹣7　 （3）y＝﹣x2+x 　﹣1　 　1　 　0　 【答案】（1）﹣0.9，2，﹣3； （2）﹣2，0，﹣7； （3）﹣1，1，0． 【解答】解：y＝﹣0.9x2+2x﹣3的二次项系数为﹣0.9，一次项系数为2，常数项为﹣3； y＝﹣2x2﹣7的二次项系数为﹣2，一次项系数为0，常数项为﹣7； y＝﹣x2+x的二次项系数为﹣1，一次项系数为1，常数项为0； 填表如下： 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1）y＝﹣0.9x2+2x﹣3 ﹣0.9 2 ﹣3 （2）y＝﹣2x2﹣7 ﹣2 0 ﹣7 （3）y＝﹣x2+x ﹣1 1 0 故答案为：（1）﹣0.9，2，﹣3； （2）﹣2，0，﹣7； （3）﹣1，1，0． 【变式5】已知关于x的函数． （1）若该函数为二次函数，求m的值； （2）若该函数为一次函数，求m的值． 【答案】（1）m＝2；（2）m＝1或m＝0或﹣1． 【解答】解：（1）依题意，得m2﹣2m+2＝2， 解得m＝2或m＝0； 又因m2+m≠0， 解得m≠0且m≠﹣1； 因此m＝2． （2）依题意，m2﹣2m+2＝1且m2+m+2≠0或m2+m＝0． 解得m＝1或m＝0或﹣1． 故m＝1或m＝0或﹣1． 【变式6】已知函数y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），求当m为何值时： （1）y是x的一次函数？ （2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），y是x的一次函数，得 ， 解得m， 当m时，y是x的一次函数； （2）y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），是二次函数，得 ， 解得m＝2，m＝﹣2（不符合题意的要舍去）， 当m＝2时，y是x的二次函数， 当y＝﹣8时，﹣8＝﹣4x2， 解得x， 故纵坐标为﹣8的点的坐标的坐标是（，﹣8）． 过 关 验 收 1. 若关于x的函数是二次函数，则m的值为（　　） A．﹣3 B．±3 C．3 D．无法确定 【答案】A 【解答】解：由条件可知最高次项为x2，且系数不为0， ∴m2﹣7＝2，解得：m＝±3， 又∵二次项系数m﹣3≠0，即m≠3， ∴m＝﹣3． 故选：A． 2. 下列函数中是二次函数的有（　　） ①； ②； ③y＝x（3﹣5x）； ④y＝（1+2x）（1﹣2x）+4x2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：①y＝3；③y＝x（3﹣5x）；是二次函数，共2个， 故选：B． 3. 下列函数是二次函数的是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数） C．y＝﹣x2+2 D． 【答案】C 【解答】解：A．该选项是一次函数，不符合题意； B．当a≠0时是二次函数，不符合题意； C．y＝﹣x2+2是二次函数，符合题意； D．是一次函数，不符合题意． 故选：C． 4. 函数是二次函数，则m的值为（　　） A．1或﹣6 B．1 C．﹣2或3 D．3 【答案】D 【解答】解：根据二次函数定义可知：m+2≠0，m2﹣m﹣4＝2， 解得m＝3， 故选：D． 5. 关于x的二次函数的解析式是y＝﹣3x2+4x+1，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，﹣4，﹣1 B．3，﹣4，1 C．﹣3，4，1 D．﹣3，4，﹣1 【答案】C 【解答】解：函数解析式y＝﹣3x2+4x+1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是﹣3，4，1． 故选：C． 6. 如果函数y＝（k﹣2）kx+1是关于x的二次函数，那么k的值是（　　） A．1或2 B．0或2 C．2 D．0 【答案】D 【解答】解：∵函数y＝（k﹣2）kx+1是关于x的二次函数， ∴k﹣2≠0，k2﹣2k+2＝2． 解得k＝0． 故选：D． 7. 函数y＝2x2﹣3x+1的一次项系数是（　　） A．2 B．﹣3 C．3 D．1 【答案】B 【解答】解：二次函数y＝2x2﹣3x+1的一次项﹣3x，一次项系数是﹣3． 故选：B． 8. 若y＝mx2+nx﹣p（其中m，n，p是常数）为二次函数，则（　　） A．m，n，p均不为0 B．m≠0，且n≠0 C．m≠0 D．m≠0，或p≠0 【答案】C 【解答】解：根据题意得当m≠0时，y＝mx2+nx﹣p（其中m，n，p是常数）为二次函数． 故选：C． 9. 下列函数中一定是二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C． D．s＝2t2﹣2t+1 【答案】D 【解答】解：A．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； B．当a＝0时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意； C．不是二次函数，故本选项不符合题意； D．是二次函数，故本选项符合题意； 故选：D． 10. 二次函数y＝x2﹣4x+3的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．1，4，3 B．0，4，3 C．1，﹣4，3 D．0，﹣4，3 【答案】C 【解答】解：二次函数y＝x2﹣4x+3的二次项系数是1，一次项系数是﹣4，常数项是3； 故选：C． 11. 下列函数：①y＝3；②y；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：①y＝3；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数，共3个， 故选：C． 12. 在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系是二次函数关系的有（　　） ①设正方形的边长为x，面积为y，则y与x的函数关系； ②在弹性范围内，弹簧测力计上弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的函数关系； ③设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x的函数关系； ④若一辆汽车以120km/h的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程y（km）与行驶时间x（h）的函数关系． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：①属于二次函数关系，故符合题意； ②属于一次函数关系，故不符合题意； ③属于二次函数关系，故符合题意； ④属于一次函数关系，故不符合题意； 综上所述，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有2个． 故选：B． 13. 若函数y＝mx（x﹣1）﹣x2是关于x的二次函数，则m的取值范围是（　　） A．m≠0 B．m≠﹣1 C．m≠1 D．m≠±1 【答案】C 【解答】解：∵y＝mx（x﹣1）﹣x2＝mx2﹣mx﹣x2＝（m﹣1）x2﹣mx是关于x的二次函数， ∴m﹣1≠0， ∴m≠1， 故选：C． 14. 若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1 【答案】B 【解答】解：∵函数y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数， ∴|a+3|＝2且a+1≠0， 解得a＝﹣5， 故选：B． 15. 若y＝（2﹣a）x|a|是二次函数，则a等于（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D．不能确定 【答案】C 【解答】解：∵y＝（2﹣a）x|a|是二次函数， ∴|a|＝2且2﹣a≠0， ∴a＝﹣2． 故选：C． 16. 已知y＝（m﹣1）x|m+1|+3x﹣4是二次函数，则实数m＝　﹣3　 ． 【答案】﹣3 【解答】解：∵y＝（m﹣1）x|m+1|+3x﹣4是二次函数， ∴|m+1|＝2， 解得m＝1或﹣3， ∵m﹣1≠0， ∴m≠1， ∴m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 17. 请你写一个图象过点（1，﹣2）的二次函数：y＝﹣2x2（答案不唯一）　 ． 【答案】y＝﹣2x2（答案不唯一）． 【解答】解：设二次函数为y＝ax2， 代入点（1，﹣2）得﹣2＝a， ∴过点（1，﹣2）的二次函数可以为：y＝﹣2x2， 故答案为：y＝﹣2x2（答案不唯一）． 18. 若函数是关于x的二次函数，则一次函数y＝kx﹣1的图象不经过第　一　 象限． 【答案】一． 【解答】解：根据二次函数的定义可知k2﹣k＝2且k﹣2≠0， 解得：k＝﹣1， ∴y＝﹣x﹣1， ∵k＝﹣1＜0，b＝﹣1＜0， 图象不经过第一象限， 故答案为：一． 19. 二次函数y＝3x2﹣2x﹣4的二次项系数与常数项的和是 　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：∵二次函数y＝3x2﹣2x﹣4的二次项系数是3，一次项系数是﹣2，常数项是﹣4， ∴二次项系数与常数项的和是：3+（﹣4）＝﹣1， 故答案为：﹣1． 20. 若函数是关于x的二次函数．则常数m的值是 　﹣1　 ． 【答案】﹣1 【解答】解：∵是关于x的二次函数， ∴， 解得：m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 21. 已知是二次函数，则a＝　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：由条件可知a2+1＝2， 解得a1＝﹣1或a2＝1， ∵a+1≠0， ∴a≠﹣1， ∴a＝1． 故答案为：1． 22. 若是关于x的二次函数，则m的值为 　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：由题意得，， 解得：m＝2， 故答案为：2． 23. 已知函数y＝（k2﹣9）x2+（k+3）x+17． （1）当k　＝3　 时，该函数为一次函数： （2）当k　≠±3　 时，该函数为二次函数． 【答案】＝3；≠±3． 【解答】解：（1）∵函数y＝（k2﹣9）x2+（k+3）x+17为一次函数， ∴k2﹣9＝0，且k+3≠0， 解得：k＝±3且k≠﹣3， ∴k＝3； （ 2 ）∵函数y＝（k2﹣9）x2+（k+3）x+17为二次函数， ∴k2﹣9≠0， ∴k≠±3． 故答案为：＝3；≠±3． 学科网（北京）股份有限公司 $