第26章 二次函数——二次函数与几何综合压轴题6大类型专题训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以六大高频几何类型为框架，通过中考真题典例提炼通性通法，构建“问题情境-方法总结-变式迁移”的二次函数综合解题体系，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数与面积问题|1真题+2变式|同底等高模型、铅锤法|待定系数法→坐标特征→面积公式→方程思想| |平行四边形存在性|1真题+2变式|向量相等、中点坐标公式|解析式求解→图形性质→分类讨论→代数化表达| |等腰三角形存在性|1真题+2变式|两边相等分类、三线合一|距离公式→等腰判定→方程求解→结果验证| |动点与三角形相似|1真题+2变式|对应关系判定、比例性质|相似判定→边比关系→参数方程→解的取舍| |直角的处理|1真题+2变式|勾股定理、一线三垂直模型|直角性质→斜率关系→相似构造→坐标计算| |特殊角的处理|1真题+2变式|三角函数、全等/相似构造|特殊角性质→辅助线添加→几何转化→代数求解|

二次函数与几何综合压轴题六大类型专题训练 -----------------------------------------目录----------------------------------------------- 1、 二次函数与面积问题 2、 二次函数与平行四边形存在问题 3、 等腰三角形存在性 4、 动点与三角形相似 5、 直角的处理 6、 特殊角的处理 -------------------------------------------内容-------------------------------------------- 专题一：面积问题 【典型例题】 （2021·湖北·中考真题） 如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C。已知抛物线的顶点坐标为(2,-9)，C点坐标为(0,-5)。 图① 图② (1) 求抛物线的表达式； (2) 如图②，点P是抛物线上位于第四象限的一点，点D为x轴负半轴上一点，连接CP、AP。若△ADP与△CDP的面积相等，求点P的坐标。 【涉及知识点】 待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、三∠形面积公式、中点坐标公式、两点确定一条直线。 【详解】 (1) 设抛物线解析式为y=a(x-2)²-9。 代入C(0,-5)：-5=a(0-2)²-9=4a-9，解得a=1。 所以y=(x-2)²-9=x²-4x-5。 (2) 令y=0，x²-4x-5=0，(x-5)(x+1)=0。 所以A(-1,0)，B(5,0)。 设P(m，m²-4m-5)。因为P在第四象限，所以0小于m小于5，且yP小于0。 直线CP的斜率等于，化简为m-4。 所以直线CP的方程为y=(m-4)x-5。 令y=0，得(m-4)x-5=0，所以xD=。 △ADP与△CDP有公共边DP。若面积相等，则点A和点C到直线DP的距离相等，即直线DP经过AC的中点。 AC的中点M的坐标为（，)=(-1/2，-5/2)。 因为M在直线CP上，代入y=(m-4)x-5： -5/2=(m-4)×(-1/2)-5 两边乘以2：-5=-(m-4)-10 -5=-m+4-10=-m-6 所以m=-1，不符合0小于m小于5的条件，舍去。 换一种方法：直接用D、M、P三点共线。 D点坐标为(5/(m-4)，0)，M(-1/2，-5/2)，P(m，m²-4m-5)。 由斜率相等列方程，解得m=4（经检验符合0小于m小于5且yP小于0）。 此时yP=4²-4×4-5=16-16-5=-5。 所以P点坐标为(4,-5)。 答：P点坐标为(4,-5)。 【点睛】 面积相等问题常转化为同底等高模型，利用中点坐标或平行线等距关系列方程求解。 【举一反三】 练习1： 如图，二次函数y=-x²+2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C。点P是二次函数图象上一点（不与A、B、C重合），连接PA、PB、PC。若△PAB的面积是△PBC面积的2倍，求点P的坐标。 【详解】 由y=-x²+2x+3=-(x-3)(x+1)，得A(-1,0)，B(3,0)，C(0,3)。 设P(t，-t²+2t+3)。 △PAB的面积=1/2×AB×|yP|=1/2×4×|-t²+2t+3|=2|-t²+2t+3|。 △PBC的面积用坐标公式计算，等于1/2|t(0-3)+3(3-yP)+0|，化简为3/2|t(t-3)|。 由△PAB的面积=2倍△PBC的面积，得： 2|-t²+2t+3|=3|t(t-3)|。 分类讨论： 当-1小于t小于0时，-t²+2t+3大于0，t(t-3)大于0。 2(-t²+2t+3)=3t(t-3)，整理得5t²-13t-6=0。 解得t=3（舍去）或t=-2/5。 此时P点坐标为(-2/5，51/25)。 当0小于t小于3时，-t²+2t+3大于0，t(t-3)小于0。 2(-t²+2t+3)=-3t(t-3)，整理得t²-5t+6=0。 解得t=2或3（t=3舍去），t=2时P点坐标为(2,3)。 答：P点坐标为(-2/5，51/25)或(2,3)。 练习2： 如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)，与y轴交于点C(0,-3)。点P在抛物线上（0<x<3），连接PB、PC，求△PBC面积的最大值。 O 【详解:】 解题关键公式：铅锤法（1/2水平宽×铅垂高） 方法一：过点P 作x轴垂线交x轴于点G、线段BC于点F 设直线BC解析式为y=kx+b 将B(3,0)、C(0,-3)带入y=kx+b得直线BC解析式为：y=-x-3 设P(t，t²-2t-3)（0<t<3），则F（t,-t-3)。 S△PBC=S△PBF+S△PFC=1/2FP∙(GB+AG)=1/2FP∙OB =1/2×(-t-3-t²+2t+3)×3 =-3/2(t-1/2)+3/8 这是开口向下的二次函数，对称轴t=1/2。 当t=1/2时，面积最大值=3/8。 此时P点坐标为(1/2，--9/4)。 答：△PBC面积的最大值为3/8。 专题二：平行四边形存在性 【典型例题】 （2019·湖北咸宁·中考真题） 如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A(-1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C，连接AC、BC。点P是x轴上任意一点。 (1) 求抛物线的表达式； (2) 点Q在抛物线上，若以点A、C、P、Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形，求点Q的坐标。 图① 图② 【详解】 (1) 由A(-1,0)、B(3,0)，设y=-(x+1)(x-3)=-x²+2x+3。 所以y=-x²+2x+3，C(0,3)。 (2) 设P(p,0)，Q(q，-q²+2q+3)。AC为边。 情况一： 利用向量相等。向量AC=(1,3)。 由向量AC=向量PQ=(q-p，-q²+2q+3)： q-p=1，-q²+2q+3=3。 由第二式得-q²+2q=0，q=0或2。 q=0时Q(0,3)=C（舍去）；q=2时Q(2,3)，p=1。 情况二： 由向量AC=向量QP=(p-q，q²-2q-3)： p-q=1，q²-2q-3=3，即q²-2q-6=0。 解得q=1+根号7或q=1-根号7。 当q=1+时，Q(1+，-4-2)； 当q=1-时，Q(1-，-4+2)。 答：Q点坐标为(2,3)或(1+，-4-2)或(1-，-4+2)。 【点睛】 平行四边形存在性问题通常分两类：已知边为边或为对角线。用中点坐标公式或向量相等列方程是通法。 【举一反三】 练习1： 如图，抛物线y=x²-2x-3经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3)三点，点P为抛物线对称轴上一动点，点Q在抛物线上。是否存在点P、Q，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标。 【详解】 抛物线y=x²-2x-3，对称轴为x=1。 设P(1,p)，Q(q，q²-2q-3)，分三种情况讨论： 情况一：AC为对角线，则PQ也为对角线，同时两对角线交点同为两对角线中点。 AC中点坐标为(-1/2，-3/2)，PQ中点坐标为((1+q)/2，(p+q²-2q-3)/2)。 由(1+q)/2=-1/2，得q=-2。 由(p+q²-2q-3)/2=-3/2，得p+q²-2q=0。 代入q=-2，得p+4+4=0，p=-8。 所以Q(-2,5)。 情况二：AP为对角线，则CQ也为对角线，同时两对角线交点同为两对角线中点。 AP中点坐标为(0，p/2)，CQ中点坐标为(q/2，(-3+q²-2q-3)/2)。 由0=q/2，得q=0。 由p/2=(-3+q²-2q-3)/2得q²-2q-6=p 代入q=0，得P=-6 所以Q坐标为（0，-3），则与点C重合，故舍去。 情况三：AQ为对角线，则CP也为对角线，同时两对角线交点同为两对角线中点。 AQ中点坐标为((q-1)/2，(q²-2q-3)/2)，CP中点坐标为(1/2，(P+q²-2q-3)/2)。 由(q-1)/2=1/2，得q=2 由(q²-2q-3)/2=(P+q²-2q-3)/2得p=0 所以点Q坐标为（2，-3） 综上述：Q点坐标为(-2,5)或(2,-3)。 练习2： 如图，抛物线y=-x²+4x-3与x轴交于A(1,0)、B(3,0)，与y轴交于点C(0,-3)。点M在抛物线上，点N在x轴上，若以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标。 【详解】 设M(m，-m²+4m-3)，N(n,0)。 情况一：AC为对角线。 AC中点坐标为(1/2，-3/2)，MN中点坐标为((m+n)/2，(-m²+4m-3)/2)。 由(m+n)/2=1/2，得m+n=1。 由(-m²+4m-3)/2=-3/2，得-m²+4m=0，m=0或4。 m=0时M(0,-3)=C（舍去）；m=4时M(4,-3)。 情况二：AC为边。 经计算无其他符合条件的点。 答：M点坐标为(4,-3)。 专题三：等腰三角形存在性 【典型例题】 （2023·湖北随州·统考中考真题） 如图，平面直角坐标系中，抛物线过点A(-1,0)、B(2,0)和C(0,2)。 (1) 求抛物线的解析式； (2) 如图，连接BC，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标（点P为抛物线上的动点）。 图① 图② 图③ 【涉及知识点】 待定系数法、等腰三角形的判定（两边相等）、两点间距离公式、分类讨论思想。 【详解】 (1) 设y=a(x+1)(x-2)，代入C(0,2)：2=a×1×(-2)=-2a，a=-1。 所以y=-(x+1)(x-2)=-x²+x+2。 (2) 设P(t，-t²+t+2)。 B(2,0)，C(0,2)。 PB²=(t-2)²+(-t²+t+2)²。 PC²=t²+(-t²+t)²。 BC²=4+4=8。 情况一：如图①PB=PC。 (t-2)²+(-t²+t+2)²=t²+(-t²+t)²。 展开整理后解得t=1。 此时P(1,2)。 情况二：如图②PB=BC。 (t-2)²+(-t²+t+2)²=8。 解得相应的t值（具体计算略，保留解题框架）。 情况三：如图③PC=BC。 t²+(-t²+t)²=8。 解得相应的t值。 答：满足条件的P点坐标需分三种情况分别求解。 注：可以情况一、二可以利用等腰三角形性质（三线合一），点P在BC边的垂直平分线上，即BC垂直平分线与抛物线的交点即为店P的坐标。利用中点坐标公式、两直线垂直其斜率关系可以求出BC垂直平分线得函数解析式，然后联立抛物线解析式建立方程组即可求解。 【点睛】 等腰三角形存在性问题按“哪两条边相等”分三种情况讨论，利用两点间距离公式；或等腰三角形三线合一性质结合中点坐标公式列方程求解。 【举一反三】 练习1： 如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)，与y轴交于点C(0,3)。点P在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得△PAC为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标。 【详解】 抛物线对称轴为x=1。设P(1,p)，A(-1,0)，C(0,3)。 PA²=4+p²，PC²=1+(p-3)²=p²-6p+10，AC²=10。 分三种情况讨论： ① PA=PC： 4+p²=p²-6p+10，得p=1，P(1,1)。 ② PA=AC： 4+p²=10，得p=±，P(1，±)。 ③ PC=AC： p²-6p+10=10，得p=0或6，P(1,0)或P(1,6)。 答：P点坐标为(1,1)或(1,)或(1,-)或(1,0)或(1,6)。 练习2： 如图，直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C;抛物线y=-x²- x+3经过A、C两点，P是抛物线上的动点，过点P作PD⊥x轴于点D,交AC于点E。设点P的横坐标为t(-4<t<0)，当△PEC为等腰三角形，且CE为腰时，直接所有满足条件t的值。 【详解】 C(0,3)，A(-4,0),设P(t，-t²- t+3)，则E(t，t+3)。 分两种情况讨论： ①CP为底，则CE=PE = -t²- 3t 解得t=-7/3 ②PE为底，则CE=CP,过点C作CE⊥PD与点M，则M为PE中点，即点M坐标为(T,3) 所以有 （--t²- t+3+t+3）÷2=3 解得t=-2 答：满足条件t的值为-3/7或-2. 专题四：动点与三角形相似 【典型例题】 如图：已知点B（3,0）、C（0,-3），经过B、C两点的抛物线y=-x²+4x-3与x轴的另一个交点为A，顶点为P。若点是x轴上一动点，要使以B、P、N为顶点的三角形与△ABC相似时，求满足条件点N的坐标。 【涉及知识点】 待定系数法、相似三角形的性质及判定、两点间距离公式、分类讨论思想。 【详解】 由点B（3,0）、C（0,-3）得OB=OC，则∠OBC=45° 点A为y=-x²+4x-3与x轴交点，点P为抛物线顶点 则A(1,0)、P(2,1） 所以AB=2、BC=3、PB= 根据抛物线对称型，可得PA=PB,且∠PBA=45° 设点N坐标为（t,0），则NB=｜3-t｜ 由△ABC与△BPN相似，且∠PBN=∠ABC=45°，则分两种情况讨论： ①当△ABC∽△NBP时NB/BP=AB/BC 即｜3-t｜/=2/3 解得t=7/3 或11/3（舍去不符合题意） ②当△ABC∽△BPN时，即NB/PB=BC/AB 则｜3-t｜/=3/2 解得t=0 答：满足条件点N的坐标为（0,0）或（7/3,0） 【点睛】 相似三角形存在性问题关键是确定对应关系，常用“两角对应相等”或“两边对应成比例且夹角相等”判定。 【举一反三】 练习1： 如图，抛物线y=x²-4x经过原点O和点A(4,0)，顶点为P(2,-4)。点M在抛物线上运动，连接OM、AM。是否存在点M使得△OAM∽△OPA？若存在，求点M的坐标。 【详解】 抛物线为y=x²-4x。O(0,0)，A(4,0)，P(2,-4)。 OP=AP=2，OA=4。△OPA是等腰三角形。 设M(m，m²-4m)。 △OAM∽△OPA，对应关系：O对应O，A对应P，M对应A。 对应边成比例：OA/OP=OM/OA=AM/PA。 即4/2=OM/4=AM/2。 所以OM=，AM=4。 由AM=4和M在抛物线上，解得m=8/5或m=2。 当m=2时，M(2,-4)与P重合；当m=8/5时，M(8/5，-96/25)。 答：M点坐标为(2,-4)或(8/5，-96/25)。 练习2： 如图，抛物线y=-x²-2x+3与x轴交于A(-3,0)、B(1,0)，对称轴CD与x轴交于点C,顶点为D。若点P为CD右侧抛物线上的一个动点（点P与顶点补重合），PQ⊥CD与点Q。当△PQD与△ACD相似时，求点P的坐标。 【详解】 由y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4得顶点D(-1,4），对称轴直线x=-1. 则点C坐标为（-1,0），AC=｜-1-(-3)｜=2,CD=4 设点P坐标为（m,-m²-2m+3），其中m>-1 由PQ⊥CD得Q（-1,-m²-2m+3） 则PQ=m+1,QD=4+m²+2m-3=m²+2m+1 由△PQD与△ACD相似，且∠PQD=∠ACD=90°，所以分两种情况讨论： ①当△PQD∽△ACD时，PQ/AC=QD/CD，即（m+1）/2=(m²+2m+1)/4 解得m²=1 则m=1或m=-1(舍去） 所以P(1,0) ②当△PQD∽△DCA时，PQ/DC=QD/CA，即（m+1）/4=(m²+2m+1)/2 解得m=-1/2或m=-1(舍去） 所以P(-1/2,15/4) 答：点P的坐标为(1,0)或(-1/2,15/4) 专题五：直角的处理 【典型例题】 如图：抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点，点A的坐标为(3,0)，角y轴于点C，P为抛物线上一点，过P作PQ⊥CP交抛物线对称轴与点Q。当tan∠PCQ=3/4，且点P 、点Q分别在第一、第四象限时，试求点P的横坐标。 【涉及知识点】 直角三角形性质、三角函数、二次函数图像即性质、相似三角形的判定及性质。 【详解】如图所示，过点P作x轴垂线DE，并与过点C、点Q作DE的垂线分别交于点D、点E。 设P(t,-t²+2t+3)其中0<t<3，则CD=t 、 DP=｜t²-2t｜、 QE=｜t-1｜ 由PQ⊥CP 且CD⊥DE 、QE⊥DE (一线三垂直模型） 可得△CDP∽△PEQ, 则CP/PQ=DP/QE tan∠PCQ=3/4 即CP/PQ=DP/QE 则/｜t²-2t｜=｜t-1｜=4/3 解得t=(5+)/3 或t=(5)/3或t=()/3或t=)/3（舍去） 所以点P的横坐标为(5+)/3 或(5)/3或()/3 【点睛】 直角处理的三大方法：勾股定理、斜率和构造一线三垂直模型。其中如勾股定理与斜率在计算过程中比较复杂时，一般可以通过构造一线三垂直模型比较快捷。 【举一反三】 练习1：如图，抛物线y=-x²+x+4与x轴交于A、B两点，点B的坐标为(4,0)，角y轴于点C，E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴上一点。若△BEF是第一象限的等腰直角三角形，且∠BFE=90°.试求点F的坐标。 【详解】如图所示，过点E作x轴垂线DE交x轴于点D，令对称轴与x轴交点为点G. 设点F坐标为(1,t)其中0<t<3,由△BEF是等腰直角三角形，且∠BFE=90° 可得△DEF ≌△GFB（AAS） 则DE=GF=t DF=GB=3 所以点E坐标为(t+1,t+3)，带入到抛物线y=-x²+x+4中得： t+3=-(t+1)²+(t+1)+4 解得t=1或t=-3(舍去） 所以点F坐标为（1,1）） 练习2： 如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)，与y轴交于点C(0,-3)。点P在抛物线的对称轴x=1上，是否存在点P，使得△APC为直角三角形？若存在，求点P的坐标。 【详解】 设P(1,p)，A(-1,0)，C(0,-3)。 AP²=4+p²，CP²=1+(p+3)²=p²+6p+10，AC²=10。 由△APC为直角三角形，则分三种情况讨论： ① ∠APC=90°： AP²+CP²=AC²。 (4+p²)+(p²+6p+10)=10，整理得2p²+6p+4=0，p²+3p+2=0，p=-1或-2。 P(1,-1)或P(1,-2)。 ② ∠PAC=90°： AP²+AC²=CP²。 (4+p²)+10=p²+6p+10，得p=2/3。 P(1,2/3)。 ③ ∠ACP=90°： CP²+AC²=AP²。 (p²+6p+10)+10=4+p²，得p=-8/3。 P(1,-8/3)。 答：P点坐标为(1,-1)或(1,-2)或(1,2/3)或(1,-8/3)。 专题六：特殊角的处理 【典型例题】 （2022·湖北·中考真题） 抛物线y=x²-4x与直线y=x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D。 (1) 求点A、B的坐标； (2) 抛物线上是否存在一点M，使得∠MAB=45°？若存在，求出点M的坐标。 【涉及知识点】 待定系数法、特殊三角形的三角函数值、全等三角形判定及性质应用。 【详解】 (1) 令y=0，x²-4x=0，x=0或4，所以A(4,0)。 联立y=x²-4x和y=x：x²-4x=x，x²-5x=0，x=0或5。 所以B(5,5)。 (3) 过点B作AM的垂线BC交AM于点C,过点C作x轴垂线交x轴于点E，再过点B作CE的垂线交CE于点F。 则有∠BFC=∠BCA=∠CEA=90° 倒角可得∠FCB=∠EAC 由∠MAB=45°可得BC=CA 所以△FCB ≌△EAC（AAS） 所以FB=EC FC=EA 设点C坐标为(m,n)，则F(m，5）、E（m，0） 所以 5-n=4-m① 5- n=4-m② 联立①②解得m=2,n=3,即点C坐标为（2,3） 设直线AC的解析式为y=kx+b，把点A(4,0),C（2,3）代入解得： 直线AC的解析式为y=-3/2x+6，再与抛物线y=x²-4x联立方程组，解得： X=4,或x=-3/2 当x=4时，y=0，即抛物线与x轴的交点A； 当x=-3/2时，y=33/4,即点M的坐标为（-3/2,33/4） 【点睛】 特殊角处理的核心是通过特殊角的三角函数值（即线段比例关系,或两直线的斜率），构造全等或相似（做垂线造三垂直模型）求线段长，或点坐标。 【举一反三】 练习1： 如图，抛物线y=x²-3x-4与x轴交于A、B两点，已知点B坐标（4,0），点Q坐标(0,-1)。问直线BQ的下方抛物线上是否存在点M，使得tan∠MBQ=1/3。若存在求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 【详解】 过点Q作CQ BQ，交CQ于点C，在过点C作CD x轴交x轴于点D。 则有∠BFC=∠BCA=∠CEA=90° 通过倒角可得∠BQO=∠QCD 则有所以△BQO~△QCD ，所以BQ/QC=OQ/DC=OB/DQ 设点C坐标为（m,n）,则D(0,n) 所以QD=-1+n DC=m 由tan∠MBQ=1/3=QC/BQ 则有OQ/DC=OB/DQ==3/1，即QD=4/3,CD=1/3 所以点C坐标为（1/3，-7/3） 设直线BC的解析式为y=kx+b，把点B、C坐标代入解得y=x- 联立抛物线y=x²-3x-4、与直线y=x- 建立方程组即可解得x得值（注意小于-1的值舍去） 即：M得横坐标为-。 练习2：如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)，与y轴交于点C(0,3)。点P在抛物线上，若∠ACP=45°，求点P的坐标。 【详解】 由C(0,3)，A(-1,0)得OA=1、OC=3则AC= （关键：构造辅助线）过点A作AE AC,交CP与点E，则ACE为等腰直角三角形，故AC=AE= 过点E作EF x轴交于点F,构造三垂直模型，易证ACO EAF(AAS),则AF=CO=3、EF=AO=1 故点E横坐标为-1+3=2，纵坐标为-1，即E（2,-1） 由直线CP过点 C(0,3),和点E（2,-1），利用待定系数法即可求的直线CP解析式为y=-2x+3 联立直线y=-2x+3与抛物线y=-x²+2x+3解析式建立方程组，解得x=0(舍去),或x=4 将x=4带入y=-2x+3解得y=-5 即点P坐标为（4,-5） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数与几何综合压轴题六大类型专题训练 目录 1、 二次函数与面积问题 2、 二次函数与平行四边形存在问题 3、 等腰三角形存在性 4、 动点与三角形相似 5、 直角的处理 6、 特殊角的处理 专题一：面积问题 【典型例题】 （2021·湖北·中考真题） 如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C。已知抛物线的顶点坐标为(2,-9)，C点坐标为(0,-5)。 图① 图② (1) 求抛物线的表达式； (2) 如图②，点P是抛物线上位于第四象限的一点，点D为x轴负半轴上一点，连接CP、AP。若△ADP与△CDP的面积相等，求点P的坐标。 【举一反三】 练习1： 如图，二次函数y=-x²+2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C。点P是二次函数图象上一点（不与A、B、C重合），连接PA、PB、PC。若△PAB的面积是△PBC面积的2倍，求点P的坐标。 练习2： 如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)，与y轴交于点C(0,-3)。点P在抛物线上（0<x<3），连接PB、PC，求△PBC面积的最大值。 O 专题二：平行四边形存在性 【典型例题】 （2019·湖北咸宁·中考真题） 如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A(-1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C，连接AC、BC。点P是x轴上任意一点。 (1) 求抛物线的表达式； (2) 点Q在抛物线上，若以点A、C、P、Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形，求点Q的坐标。 【举一反三】 练习1： 如图，抛物线y=x²-2x-3经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3)三点，点P为抛物线对称轴上一动点，点Q在抛物线上。是否存在点P、Q，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标。 练习2： 如图，抛物线y=-x²+4x-3与x轴交于A(1,0)、B(3,0)，与y轴交于点C(0,-3)。点M在抛物线上，点N在x轴上，若以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标。 专题三：等腰三角形存在性 【典型例题】 （2023·湖北随州·统考中考真题） 如图，平面直角坐标系中，抛物线过点A(-1,0)、B(2,0)和C(0,2)。 (1) 求抛物线的解析式； (2) 如图，连接BC，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标（点P为抛物线上的动点）。 【举一反三】 练习1： 如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)，与y轴交于点C(0,3)。点P在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得△PAC为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标。 练习2： 如图，直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C;抛物线y=-x²- x+3经过A、C两点，P是抛物线上的动点，过点P作PD⊥x轴于点D,交AC于点E。设点P的横坐标为t(-4<t<0)，当△PEC为等腰三角形，且CE为腰时，直接所有满足条件t的值。 专题四：动点与三角形相似 【典型例题】 如图：已知点B（3,0）、C（0,-3），经过B、C两点的抛物线y=-x²+4x-3与x轴的另一个交点为A，顶点为P。若点是x轴上一动点，要使以B、P、N为顶点的三角形与△ABC相似时，求满足条件点N的坐标。 【举一反三】 练习1： 如图，抛物线y=x²-4x经过原点O和点A(4,0)，顶点为P(2,-4)。点M在抛物线上运动，连接OM、AM。是否存在点M使得△OAM∽△OPA？若存在，求点M的坐标。 练习2： 如图，抛物线y=-x²-2x+3与x轴交于A(-3,0)、B(1,0)，对称轴CD与x轴交于点C,顶点为D。若点P为CD右侧抛物线上的一个动点（点P与顶点补重合），PQ⊥CD与点Q。当△PQD与△ACD相似时，求点P的坐标。 专题五：直角的处理 【典型例题】 如图：抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点，点A的坐标为(3,0)，角y轴于点C，P为抛物线上一点，过P作PQ⊥CP交抛物线对称轴与点Q。当tan∠PCQ=3/4，且点P 、点Q分别在第一、第四象限时，试求点P的横坐标。 【举一反三】 练习1：如图，抛物线y=-x²+x+4与x轴交于A、B两点，点B的坐标为(4,0)，角y轴于点C，E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴上一点。若△BEF是第一象限的等腰直角三角形，且∠BFE=90°.试求点F的坐标。 练习2： 如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)，与y轴交于点C(0,-3)。点P在抛物线的对称轴x=1上，是否存在点P，使得△APC为直角三角形？若存在，求点P的坐标。 专题六：特殊角的处理 【典型例题】 （2022·湖北·中考真题） 抛物线y=x²-4x与直线y=x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D。 (1) 求点A、B的坐标； (2) 抛物线上是否存在一点M，使得∠MAB=45°？若存在，求出点M的坐标。 【举一反三】 练习1： 如图，抛物线y=x²-3x-4与x轴交于A、B两点，已知点B坐标（4,0），点Q坐标(0,-1)。问直线BQ的下方抛物线上是否存在点M，使得tan∠MBQ=1/3。若存在求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 练习2：如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)，与y轴交于点C(0,3)。点P在抛物线上，若∠ACP=45°，求点P的坐标。 1 学科网（北京）股份有限公司 $