第三章 图形的相似 单元练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为北师大版九年级上册第三章“图形的相似”单元综合练习，通过文化传承、现实应用情境设计，覆盖相似三角形、位似变换等核心知识，适配单元复习，培养几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|比例线段（第1题）、黄金分割（第2题）、位似中心（第7题）|结合《周髀算经》“偃矩以望高”（第3题），渗透文化传承| |填空题|5|比例中项（第11题）、重心性质（第13题）、影长测量（第15题）|以雷锋雕像设计（第12题）体现黄金分割的实际应用| |解答题|7|相似证明（第17题）、位似作图（第16题）、动态几何（第21题）|创新大厦测量（第22题）综合标杆影子与镜面反射，培养应用意识与推理能力|

初中数学九年级上册北师大版第三章图形的相似综合练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知四条线段a，3，，4是成比例线段，则a的值为(   ) A．4 B．3 C． D．或 2．如图，点是线段的黄金分割点（即），如果，那么的长度是（　　） A． B． C． D． 3．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，Q在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D．，测得，，则树高（    ）． A．a B． C． D． 4．若点P是线段的黄金分割点，且，，则的长度为（     ） A． B． C． D．3 5．如图，与相交于点，点在线段上，且，若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，图中的虚线相互平行，若，则的长为（     ） A． B．2 C．3 D．5 7．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在第三象限内，以原点O为位似中心，在第一象限内作与的相似比为3的位似图形，若点D的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．将有一边相等的两个直角三角板按如图的方式放置，已知，，，与交于点E，则等于（    ） A． B． C． D． 9．如图，等腰中， ，垂足为D，点O是线段上一点，点P是延长线上一点，若 ，给出下列结论：①点P、C、B在以点O为圆心，为半径的圆上；② ；③ 是等边三角形；④其中正确结论的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，与位似，位似中心为点O，若，的面积为8，则的面积为（   ） A．12 B．16 C．18 D．20 二、填空题 11．若线段a＝4，b＝1，则a，b的比例中项线段为_____． 12．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是__________（结果精确到．参考数据：，，）． 13．如图，在中，点，分别是，边上的中点，、相交于点，若，则_____ ． 14．如图，在平面直角坐标中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，两个正方形在原点同侧，点、、在轴上，其余顶点在第一象限，若正方形的边长为，则点的坐标为______． 15．在成都仰天窝熊猫广场，某游客想利用影子测量熊猫雕塑的高度．在同一时刻，该游客测得自己的影长为米，熊猫雕塑的影长为米，若该游客的身高为米，则熊猫雕塑的高度是_____米． 三、解答题 16．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，其中的三个顶点均在格点上，点B的坐标为    (1)将向左平移5个单位长度，得到，画出；（不写作法） (2)以点O为位似中心，将放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到，在第四象限中画出；（不写作法） (3)若点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点的坐标是___________． 17．如图，，且，，求证：．    18．如图，在中，，平分，按如下步骤作图： 第一步，分别以点B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N； 第二步，作直线分别交于点E，O，F； 第三步，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 19．如图，在和中，D，分别是，上一点，．当时，判断与是否相似，并说明理由． 20．（1）如图1，在中，于点H，求证：； （2）如图2，已知，E为上一点，且，若，求的值； （3）如图3，在四边形中，，，E为边上一点，且，求的值． 21．如图，在平面直角坐标系中，，，动点M从点A出发沿以每秒2个单位长度的速度向原点O运动，同时动点N从点B出发沿折线向终点A运动，点N在y轴上的速度是每秒3个单位长度，在x轴上的速度是每秒4个单位长度，过点M作x轴的垂线交于点C，连接、．点M和N都到达终点时，停止运动．设点M运动的时间为t（秒），面积为S（平方单位）． (1)当t为何值时，点M，N相遇？ (2)求的面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式； (3)直接写出当t为何值时，是等腰三角形． 22．某地创新大厦是当地重要的科技创新基地．数学实践小组计划利用所学知识测量该大厦的高度． 活动主题 测量大厦的高度 示意图 测量步骤1 在太阳光下，在大厦顶端的影子处竖直放置标杆，测量标杆和其影长． 测量步骤2 同一时刻，大厦的顶端的影子落在点处，在离不远的处放置了一个小镜子，竖直站在点处观察者的眼睛恰好从小镜子中看到大厦的顶端的像．点B，M，F，H在一条直线上． 测量数据 ，，，， 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子和标杆的长度，可得，请说明理由． (2)求大厦的高度． (3)查阅资料得知，该大厦的高度为，请判断该小组测量产生误差的原因（写出一条即可） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《初中数学九年级上册北师大版第三章图形的相似综合练习》参考答案 1．B 2．C 3．B 4．C 5．B 6．C 7．D 8．A 9．C 10．C 11．2 12． 13． 14． 15． 16．(1) 如图，即为所求；    (2)如图，即为所求；    (3) 17． 证明：，且，， ， ，且， ， ， ， 又∵， 18．(1)见解析 (2) 19．相似，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 20．（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）； （3） 21．(1)当时，点M、点N相遇 (2)①当时，；②当时，；③当时，； (3)当t为秒或秒或秒时，是等腰三角形 22．(1)见解析 (2) (3)测量长度时存在读数误差 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $