指数函数专题训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以指数函数定义为起点，通过单调性、奇偶性、图象变换等性质应用，构建从基础到综合的解题方法体系，突出数学思维与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|1-2题|定义代入求参数、中间值比较大小|从定义到函数值计算，建立指数函数基本认知| |性质应用|3-8题|单调性解不等式、图象对称性分析、平移变换规律|结合单调性、奇偶性、图象变换，深化性质理解与应用| |综合拓展|9-16题|分段函数单调性条件、恒成立问题转化、函数与方程思想|综合函数性质与数学思想，提升复杂问题解决能力|

[课时精练11]　指数函数 1．若函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象经过(3，27)，则f(－2)＝(　　 ) A． B． C．3 D．9 2．设a＝30.2，b＝0.23，c＝log0.23，则a，b，c的大小关系为(　　 ) A．c<b<a B．b<c<a C．a<b<c D．c<a<b 3．不等式()x2－4x>32x的解集为(　　 ) A．(0，4) B．(－∞，0)∪(4，＋∞) C．(0，2) D．(－∞，0)∪(2，＋∞) 4．函数f(x)＝2|x-1|的图象大致为(　　 ) A．关于直线x＝1对称，在(1，＋∞)上单调递增 B．关于直线x＝1对称，在(1，＋∞)上单调递减 C．关于y轴对称，在(0，＋∞)上单调递增 D．关于y轴对称，在(0，＋∞)上单调递减 5．已知函数f(x)＝ax-3＋3恒过定点M，则函数g(x)＝mx－n不经过(　　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．已知函数f(x)＝在R上单调递减，则实数a的取值范围是(　　 ) A． B． C． D． 7．(多选)已知函数f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列选项正确的是(　　 ) A．a>1 B．b>1 C．2b－a<1 D．g(x)＝bx－a的图象不经过第四象限 8．(多选)下列曲线平移后可得到曲线y＝2x的是(　　 ) A．y＝2x+3 B．y＝2x－3 C．y＝23x D．y＝ 9．若指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[－1，1]上的最大值为2，则a＝________． 10．已知函数f(x)＝是定义域(－∞，＋∞)上的单调递减函数，则实数a的取值范围是________． 11．若实数a，b，c满足a2b＝a3c＝6，则下列不等关系中不可能成立的是(　　 ) A．c<a<b B．b<c<a C．a<c<b D．a<b<c 12．(多选)已知函数f(x)＝，当a<b<c时，有f(a)>f(c)>f(b).给出以下命题，则正确命题的有(　　 ) A．a＋c<0 B．b＋c<0 C．2a＋2c>2 D．2b＋2c>2 13．已知函数f(x)为R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2x－，则f(x)<0的解集为________． 14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.已知函数f(x)＝×4x－3×2x＋4(0＜x＜2)，则函数y＝[f(x)]的值域为________． 15．定义在R上的奇函数f(x)在上单调递增，且f＝0，则不等式≥0的解集为(　　 ) A．∪ B．∪∪ C．(－2，－1]∪{0}∪(2，＋∞) D．(－2，－1]∪[0，1]∪ 16．已知函数f(x)为偶函数，当x2>x1≥0时，>0.若对任意的≤f恒成立，则实数m的取值范围是________． 参考答案 [课时精练11]　指数函数 1．若函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象经过(3，27)，则f(－2)＝(　　 ) A． B． C．3 D．9 解析：选B.因为函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象经过(3，27)，所以a3＝27，解得a＝3，所以f(x)＝3x，则f(－2)＝3-2＝. 2．设a＝30.2，b＝0.23，c＝log0.23，则a，b，c的大小关系为(　　 ) A．c<b<a B．b<c<a C．a<b<c D．c<a<b 解析：选A.a＝30.2>30＝1，b＝0.23＝0.008，c＝log0.23.由于底数0.2∈(0，1)，对数函数单调递减，且3>1，故c<0.因此，c<b<a. 3．不等式()x2－4x>32x的解集为(　　 ) A．(0，4) B．(－∞，0)∪(4，＋∞) C．(0，2) D．(－∞，0)∪(2，＋∞) 解析：选C.()x2－4x＝3－(x2－4x)＝3－x2＋4x， 原不等式化为3－x2＋4x>32x， 由于底数3>1，指数函数单调递增，故－x2＋4x>2x，解得0<x<2. 4．函数f(x)＝2|x-1|的图象大致为(　　 ) A．关于直线x＝1对称，在(1，＋∞)上单调递增 B．关于直线x＝1对称，在(1，＋∞)上单调递减 C．关于y轴对称，在(0，＋∞)上单调递增 D．关于y轴对称，在(0，＋∞)上单调递减 解析：选A.由于|x－1|关于x＝1对称，故函数图象关于直线x＝1对称．当x>1时，f(x)＝2x-1单调递增；当x<1时，f(x)＝21-x单调递减． 5．已知函数f(x)＝ax-3＋3恒过定点M，则函数g(x)＝mx－n不经过(　　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B. 因为函数f(x)＝ax-3＋3恒过点M，所以g＝3x－4，其图象可由y＝3x向下平移4个单位得到，图象如图， 由图知g＝3x－4不经过第二象限． 6．已知函数f(x)＝在R上单调递减，则实数a的取值范围是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选B.因为f(x)单调递减，故f(x)对应的指数函数部分、二次函数部分都要单调递减， 指数函数y＝ax在x≤2单调递减，需0<a<1， 二次函数y＝－＋a，开口向下、对称轴为x＝1，故二次函数y＝－＋a在单调递减，满足要求， 此外还需分段点x＝2处的函数值满足a2≥－2＋a，整理得≥0，解得a≤或a≥2， 结合0<a<1，可得0<a≤. 7．(多选)已知函数f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列选项正确的是(　　 ) A．a>1 B．b>1 C．2b－a<1 D．g(x)＝bx－a的图象不经过第四象限 解析：选BD.对于A，由图象可知函数单调递减，则0<a<1，故A错误； 对于B，当x＝0时，f＝a0－b＝1－b，由图象可得1－b<0，解得b>1，故B正确； 对于C，b－a>0，由y＝2x是增函数，则2b－a>20＝1，故C错误； 对于D，由b>1，0<a<1，则函数g是增函数，当x＝0时，g＝b0－a＝1－a>0，故D正确． 8．(多选)下列曲线平移后可得到曲线y＝2x的是(　　 ) A．y＝2x+3 B．y＝2x－3 C．y＝23x D．y＝ 解析：选ABD.对于A，曲线y＝2x+3向右平移3个单位可得到曲线y＝2x，故A正确； 对于B，曲线y＝2x－3向上平移3个单位可得到曲线y＝2x，故B正确； 对于C，曲线y＝23x横坐标伸长为原来的3倍可得到曲线y＝2x，故C错误； 对于D，曲线y＝＝＝2x－log23，向左平移log23个单位可得到曲线y＝2x，故D正确． 9．若指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[－1，1]上的最大值为2，则a＝________． 解析：若a＞1，则f(x)max＝f(1)＝a＝2；若0＜a＜1，则f(x)max＝f＝a-1＝2，得a＝.故a＝2或. 答案：2或 10．已知函数f(x)＝是定义域(－∞，＋∞)上的单调递减函数，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意得则解得<a≤，所以实数a的取值范围是. 答案： 11．若实数a，b，c满足a2b＝a3c＝6，则下列不等关系中不可能成立的是(　　 ) A．c<a<b B．b<c<a C．a<c<b D．a<b<c 解析：选D.由已知得2b＝3c＝，易知a>0， 设直线l：y＝，作出y＝2x，y＝3x和直线l图象如图所示， 由图知当>1时，0<a<6，0<c<b； 当0<<1时，a>6，b<c<0， 所以a<b<c不可能成立． 12．(多选)已知函数f(x)＝，当a<b<c时，有f(a)>f(c)>f(b).给出以下命题，则正确命题的有(　　 ) A．a＋c<0 B．b＋c<0 C．2a＋2c>2 D．2b＋2c>2 解析：选AD.f(x)的图象如图所示，由图可知f(x)在(－∞，0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 若c<0，因为f(x)在(－∞，0)上单调递减，此时不满足f(a)>f(c)>f(b)，所以c>0，同理可得a<0，则a<0<c. 因为f(a)>f(c)，所以|a|>c，所以－a>c，即a＋c<0，A正确． f(a)＝＝1－2a>f(c)＝2c－1，即2a＋2c<2，C错误． 若b>0，因为f(a)>f(c)>f(b)，所以|a|>c>b>0>a，此时b＋c>0，B错误，2b＋2c>20＋20＝2，D正确； 若b<0，因为f(a)>f(c)>f(b)，所以f(c)＝2c－1>f(b)＝＝1－2b，即2b＋2c>2，综上所述，D正确． 13．已知函数f(x)为R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2x－，则f(x)<0的解集为________． 解析：根据题意可知，当x>0时，－x<0， 利用函数奇偶性可得f(－x)＝2－x－＝－f(x)，则f(x)＝－2－x＋，x>0， 即f(x)＝函数f(x)的图象如图所示， 由图象可知，f(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0，3). 答案：∪ 14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.已知函数f(x)＝×4x－3×2x＋4(0＜x＜2)，则函数y＝[f(x)]的值域为________． 解析：f(x)＝×4x－3×2x＋4(0＜x＜2)，令t＝2x，则t∈(1，4)，令g(t)＝t2－3t＋4，二次函数开口向上，对称轴为t＝3，g(1)＝，g(3)＝－，g(4)＝0，所以g(t)∈[－，)，即f(x)∈，所以[f(x)]的值域为{－1，0，1}． 答案：{－1，0，1} 15．定义在R上的奇函数f(x)在上单调递增，且f＝0，则不等式≥0的解集为(　　 ) A．∪ B．∪∪ C．(－2，－1]∪{0}∪(2，＋∞) D．(－2，－1]∪[0，1]∪ 解析：选D.根据题意，函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f＝0， 又由f(x)在上单调递增，且f＝0， 则f(x)在上为增函数，且f＝0， 则在区间上f(x)<0，在区间上f(x)>0，在区间上f(x)>0，在区间上f(x)<0， 由≥0得 或 所以 或 所以或 解得x>2或－2<x≤－1或0≤x≤1， 即不等式的解集为(－2，－1]∪[0，1]∪. 16．已知函数f(x)为偶函数，当x2>x1≥0时，>0.若对任意的≤f恒成立，则实数m的取值范围是________． 解析：因为当x2>x1≥0时，>0， 所以f(x2)>f(x1)，即f(x)在[0，＋∞)上是增函数， 又f(x)是偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上是减函数， 若对任意的x∈R，f≤f恒成立，则有·≤4x＋4－x恒成立． 若x＝0，不等式成立； 若x≠0，≤恒成立，即≤， ＝＝＋≥2＝2，当且仅当|2x－2－x|＝时取等号，即2x－2－x＝或2x－2－x＝－， 设2x＝t>0，则t2－t－1＝0或t2＋t－1＝0， 解得t＝或t＝， 即2x＝或2x＝， 所以≤2，可得实数m的取值范围为. 答案： 1 学科网（北京）股份有限公司 $