2.4 指数与指数函数 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦指数与指数函数核心考点，通过分层考法构建从运算到应用的知识逻辑，培养数学抽象与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |指数幂运算与实际应用模型|2考法（3题）|含化简求值、增长衰减模型题|以指数幂运算为基础，延伸至实际问题的数学建模| |指数函数的图象与性质|2考法（4题）|图象识别平移、性质综合判定（多选）|从图象直观到性质逻辑推理，形成数形结合认知| |指数方程与指数不等式|2考法（6题）|含条件判定、根分布题|基于函数性质解决方程不等式，体现转化思想| |利用指数单调性比较大小|3考法（18题）|直接比较、中间量比较、构造函数比较|以单调性为核心，分层训练比较策略，提升逻辑思维|

2027届高三数学一轮复习专项训练 2.4 指数与指数函数 解析卷 答案速查表 1 考点一：指数幂运算与实际应用模型 2 考法1：指数幂的化简与求值 2 考法2：指数增长与衰减的实际模型运算 2 考点二：指数函数的图象与性质 3 考法3：指数函数的图象识别与平移 3 考法4：指数函数性质的综合判定 3 考点三：指数方程与指数不等式 5 考法5：指数不等式求解与条件判定 5 考法6：指数方程的转化与根的分布 6 考点四：利用指数单调性比较大小 7 考法7：单调性直接比较指数式大小 7 考法8：借助中间量比较指对大小 8 考法9：构造单调函数比较指数式大小 10 2.4 指数与指数函数 方法总结 13 答案速查表 1 2 3 4 5 A C A AC 6 7 8 9 10 BD AC A D A 11 12 13 14 15 BC C D D D 16 17 18 19 20 B BCD A A C 21 22 23 24 25 A A AC C C 26 27 28 29 30 D D D C D 31 ABD 考点一：指数幂运算与实际应用模型 考法1：指数幂的化简与求值 1.（2026·河北衡水部分中学·检测）若 ，则 ＿＿＿＿＿＿.（用 表示） 【答案】 【思路】利用指数幂的运算法则，将 转化为 ，将 转化为 ，再代入已知条件化简. 【解析】∵ ，∴ .∴ . 考法2：指数增长与衰减的实际模型运算 2.（2026·浙江金华十校·二模）某物种繁殖能力极强，在没有外部因素干扰的前提下，其种群数量每经过一年就会增长为原来的 5 倍，则该物种种群数量变成原来的 1000 万倍大约需要经过（　　）（参考数据：） A. 10 年 B. 11 年 C. 23 年 D. 24 年 【答案】A 【思路】建立指数增长模型，设初始量为 ， 年后数量为 ，由题意列出方程 ，两边取常用对数求解 . 【解析】设初始种群数量为 ，经过 年后，种群数量变为 .根据题意，种群数量变为原来的 1000 万倍，即 .两边同时除以 ，得 .两边同时取常用对数，有：.由于 ，且 ，代入得：，解得 .因此该物种种群数量变成原来的 1000 万倍大约需要经过 10 年.故选 A. 3.（2026·浙江嘉兴·二模）为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理．已知初始碳排放浓度为 ，每经过一次环保设备处理，碳排放浓度会减少 ．国家排放标准规定碳排放浓度不得超过 ，若要使该发电厂烟气排放达标，则至少需要脱碳处理的次数为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【思路】根据指数衰减模型，处理 次后的浓度为 ，列出不等式求解正整数 的最小值. 【解析】设脱碳处理的次数为 ，则脱碳处理 次后的碳排放浓度为 ，由题意可得 ，则 ，即 .由于 ，所以 的最小值为 6，故至少需要脱碳处理的次数为 6.故选 C. 考点二：指数函数的图象与性质 考法3：指数函数的图象识别与平移 4.（2026·云南百万·联考）函数 的部分图象大致为 A. B. C. D. 【答案】A 【思路】利用复合函数的奇偶性与值域范围，结合特殊点函数值排除错误选项. 【解析】 是偶函数，且 ，故选 A. 考法4：指数函数性质的综合判定 5.（2026·河北沧州十二校·一模）（多选）若函数 的图象经过第二、三、四象限，则（　　） A. B. C. D. 【答案】AC 【思路】由图象经过第二、三、四象限可知函数在 上单调递减，且纵截距小于零，据此建立关于参数 的不等式. 【解析】若函数 的图象经过第二、三、四象限，则函数单调递减，所以 ，所以 .由题意可知 ，解得 ，所以 .故选 AC. 6.（2026·黑龙江哈尔滨·二模）（多选）以下运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】BD 【思路】逐项根据根式性质、完全平方公式对数化简、分数指数幂运算法则以及对数恒等式进行计算判断. 【解析】对于 A 选项，，所以 A 错误；对于 B 选项，，所以 B 正确；对于 C 选项，，所以 C 错误；对于 D 选项，，所以 D 正确.故选 BD. 7.（2026·安徽铜陵·模拟）（多选）已知函数 ，若实数 满足 ，则（　　） A. B. C. D. 【答案】AC 【思路】令 ，将条件转化为一元二次方程根的分布，结合函数单调性、值域以及参数范围进行判定. 【解析】已知 ，，令 ，则 ，即 （）.若 ，则 .∵ ，∴ ，则 ，此时存在实数 满足 .假设 时，则 ，函数 在 上单调递增，故 ，所以 ，与题设矛盾，故 ，选项 A 正确；若 ，则满足 ，但 ，选项 B 错误；由 可知 ，则 .由 解得 .因为 ，故 ，即 ，选项 C 正确；若 时，，选项 D 错误.故选 AC. 考点三：指数方程与指数不等式 考法5：指数不等式求解与条件判定 8.（2026·江苏苏锡常镇·二模）已知 ，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【思路】根据同底指数函数与同指数幂函数的单调性，分别推导前推后与后推前的逻辑关系，必要时举反例. 【解析】由 得 ，，所以充分.取 ，则 ，但 ，所以不必要.故选 A. 9.（2026·山东九五协作体·一模）若 ，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】将不等式同侧移项转化为 ，构造单调增函数 ，得出 后再判定选项. 【解析】由 移项得 .构造函数 ，∵ 在 上单调递增， 在 上单调递增，∴ 在 上单调递增.由 得 ，即 .∴ ，则 .故选 D. 10.（2025·江西三新·联考）已知函数 ，则不等式 的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】先判断分段函数的单调性及分界点处的连续性，将函数不等式直接脱去外层符号转化为自变量的不等式求解. 【解析】函数 在 上单调递减， 在 上单调递减，且 ，所以 在定义域 上单调递减.因为 ，所以 ，解得 .故选 A. 11.（2026·江苏南京·二模）（多选）已知 ，且 ，则下列不等式可能成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】BC 【思路】对底数 按 和 分类讨论，结合对数不等式求解 的取值范围，进而判断各不等式的可能情况. 【解析】当 时，由 得 ，此时若 ，则 （B可能成立）；若 ，则 .当 时，由 得 ，此时若 ，则 （C可能成立）；若 ，则 .故选 BC. 考法6：指数方程的转化与根的分布 12.（2026·江西南昌·一模）若 ，则 所在的范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】利用指数函数 的单调性，计算区间端点处的函数值，通过夹逼确定 的范围. 【解析】∵ ，而 ，即 .又 在 上单调递增，∴ ，即 .故选 C. 13.（2026·重庆育才中学·模拟）已知实数 满足 ，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】将方程转化为同除以 ，结合特殊点 时的解，根据指数函数的增减趋势进行分类讨论. 【解析】由 得 .当 时，，此时 ；当 时，，故 ，此时 ；当 时，同理可得 ，此时 .综上， 恒成立.故选 D. 考点四：利用指数单调性比较大小 考法7：单调性直接比较指数式大小 14.（2025·河北石家庄·模拟）已知 ，则 的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】分别利用指数函数与对数函数的单调性，以 0 和 1 为基准界点进行大小分流. 【解析】因 单调递增，所以 ；因为 单调递增，所以 ；因为 单调递减，所以 ，且 .所以 ，即 .故选 D. 15.（2026·河南郑州·二模）已知 ，则 的值所在的区间是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】利用指数函数 的单调性，将选项端点值代入并进行同次方比较大小. 【解析】函数 单调递增，所以只需 ，即可得 .比较 5 与 ：，因为 ，即 ，所以 .比较 5 与 ：，因为 ，即 ，所以 .综上，，所以 .故选 D. 16.（2026·江苏六合联盟·一模）已知 ，则（　　） A. B. C. D. ，但 和 的大小关系无法确定 【答案】B 【思路】先由勾股数放缩确定 ，再通过两边同除以 构造减函数比较 与 0 的大小. 【解析】由于 ，所以 ，因此 .又因为 ，因此 ，即 .所以 .故选 B. 17.（2025·河北沧州五县·一模）（多选）已知实数 满足等式 ，则下列可能成立的关系式为（　　） A. B. C. D. 【答案】BCD 【思路】化简已知等式得到 ，再对实数 的正负及零进行分类讨论. 【解析】因为 ，所以 .对于选项 A 和 B，当 时，，只能 ，选项 A 不成立，选项 B 正确；对于选项 C，当 时，，只能 ，选项 C 正确；对于选项 D，当 时，且 ，只能 ，等式 成立，选项 D 正确.故选 BCD. 考法8：借助中间量比较指对大小 18.（2026·江西九江·二模）已知 ，则 的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】借助幂函数 的单调性比较 大小，再利用对数符号确定 . 【解析】∵ 函数 在 上单调递增，∴ ，即 .又 ∵ ，∴ .故选 A. 19.（2026·吉林白山·一模）若 ，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】将 变形为 ，利用同指数幂函数比较 ，再借助中间量比较与 的大小. 【解析】，因为 ，所以 ，所以 .故选 A. 20.（2026·广东佛山·检测）已知 ，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】以中间量 为桥梁，利用对数底数与真数放缩分别判定 与 的大小. 【解析】因为 ，所以 ；因为 ，所以 ，所以 .则 .故选 C. 21.（2026·辽宁东北育才·检测），则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】结合三角函数值范围确定 ，再结合对数与负指数的单调性确定 与 . 【解析】因为 ，所以 .所以 ，即 ，所以 ，即 ，因此 .故选 A. 22.（2026·T8联盟·联考）已知 ，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】先用同底指数函数单调性比较 ，再通过同时取 10 次方并结合二项式定理放缩比较 . 【解析】 在 上为增函数，，即 .又 ，，∴ ，即 .∴ ，即 .故选 A. 23.（2026·山东东营·二模）（多选）已知 ，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. 若 ，则 D. 【答案】AC 【思路】逐项结合对数函数、余弦函数、不等式基本性质以及底数小于 1 的指数函数单调性进行判断. 【解析】对于 A，函数 在 上单调递增，由 得 ，A 正确；对于 B，取 ，满足 ，但 ，B 错误；对于 C，若 ，由不等式的乘法性质可得 ，C 正确；对于 D，函数 在 上单调递减，由 得 ，D 错误.故选 AC. 考法9：构造单调函数比较指数式大小 24.（2026·福建厦门·二模）设函数 ，记 ，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】先分析函数 的偶函数性质与单调性，利用偶函数性质将自变量转化为正数后比较自变量大小. 【解析】由 可知 是偶函数，当 时，，故 在 单调递增.由 得 ，所以 .又 ，所以 .故选 C. 25.（2026·河南郑州四中·检测）设 ，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】构造差值函数 ，利用导数证明其在 上单调递减，结合对数范围比较. 【解析】设 ，则 .∵ 在 上单调递减，，∴ .∴ 在 上单调递减，∴ ，∴ ，即 .∵ ，∴ .综上所述：.故选 C. 26.（2024·广东新南方联盟·联考）已知 ，则 的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】将已知转化为函数 的零点形式，求导研究函数的单调性，比较函数值与 0 的大小. 【解析】设函数 ，由 知 .又 .求导得 .令 得 .当 时 ， 单调递增.由于 时 ，所以在 上 单调递增.由 得 ，即 .故选 D. 27.（2026·内蒙古包头·二模）已知 ，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】由对数不等式得出 ，逐项利用指数单调性、作差法与基本不等式进行判断. 【解析】由 可得 .对于 A，由于 ，函数 为单调递增函数，故 ，故 A 错误；对于 B，，由于 ，故 ，故 ，则 ，故 B 错误；对于 C，由于 ，故 ，故 C 错误；对于 D，，由于 ，得 ，故 .故选 D. 28.（2026·河北邯郸·一模）已知 ，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】取对数后转化为函数 ，利用导数判定其单调性，进而比较函数值大小. 【解析】令 ，则 .令 ，易知 在 上单调递减，且 ，所以 在 上恒成立，则 在 上单调递减，则 ，即 ，从而 .故选 D. 29.（2026·山西·二模）已知正数 满足 ，则 （　　） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 【答案】C 【思路】将第二个等式变形为关于 的同构形式，构造单调函数 求解关系式. 【解析】由 ，得 ，即 .令 ，则 ，当 时， 在 上单调递增.由 可得 ，且 ，∴ ，即 ，∴ ，得 .故选 C. 30.（2026·湖北楚天协作体·联考）若实数 满足 ，则 的大小关系不可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】令共同常数为 ，将各个变量表示为关于 的对数函数，在同一坐标系中画出图象分析交点纵坐标的大小关系. 【解析】令 ，得 .在同一坐标系内作出函数 的图象，则 分别是函数 的图象与直线 交点的纵坐标，观察图象得，当 时，；当 时，；当 时，.因此 ABC 都可能，D 不可能.故选 D. 31.（2026·浙江县域联盟·模拟）（多选）已知 ，则（　　） A. 当 时， B. 存在实数 ，使得 C. 对任意 ，都有 D. 当 时， 【答案】ABD 【思路】利用指数不等式直接求 的范围；验证 时两式的值；构造目标函数求导判定 是否恒大于 2；利用对数放缩比较 与 0 的大小. 【解析】对于选项 A，当 时，，所以 ，选项 A 正确.对于选项 B，当 时，，选项 B 正确.对于选项 C，由题意，设 ，则 ，则 .故 ，当 时， 单调递减，.故 使 ，故选项 C 错误.对于选项 D，由题意：，因为 ，所以 ；另一方面：，因为 ，即 ，所以 ，选项 D 正确.故选 ABD. 2.4 指数与指数函数 方法总结 1. 指数幂运算的核心在于化负指数为正指数、化根式为分数指数幂，注意同底数幂的拆分与合并.（第1题） 2. 解决实际生活中的指数增长与衰减模型时，设初始量为 ，增长/衰减因子为 ，时间为 ，建立 的关系式，求解时间或处理次数通常利用两边取对数.（第2、3题） 3. 指数函数的图象识别应抓住三大特征：定点位置（如 及其平移变换）、单调趋势（底数大于 1 递增，底数在 0 到 1 之间递减）以及极限渐近线.（第4、5题） 4. 解指数不等式与指数方程时，优先利用换元法 将问题转化为代数多项式方程或不等式，注意换元后的定义域限制.（第7、12、13题） 5. 比较指数与对数式大小时，优先利用单调性与特殊中间量（如 0、1、、 等）进行快速定界分流；当底数与指数均不相同时，可尝试取对数转化为同构函数.（第14、18、19、20、21、22题） 6. 对于高难度的指对大小比较题，通过构造单调函数 并求导研究极值点，将变量关系转化为图象交点或函数的单调性直接比较.（第24、25、26、28、29、30、31题） 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习专项训练 2.4 指数与指数函数 练习卷 考点一：指数幂运算与实际应用模型 1 考法1：指数幂的化简与求值 1 考法2：指数增长与衰减的实际模型运算 1 考点二：指数函数的图象与性质 2 考法3：指数函数的图象识别与平移 2 考法4：指数函数性质的综合判定 2 考点三：指数方程与指数不等式 3 考法5：指数不等式求解与条件判定 3 考法6：指数方程的转化与根的分布 3 考点四：利用指数单调性比较大小 4 考法7：单调性直接比较指数式大小 4 考法8：借助中间量比较指对大小 4 考法9：构造单调函数比较指数式大小 5 考点一：指数幂运算与实际应用模型 考法1：指数幂的化简与求值 1.（2026·河北衡水部分中学·检测）若 ，则 ＿＿＿＿＿＿.（用 表示） 考法2：指数增长与衰减的实际模型运算 2.（2026·浙江金华十校·二模）某物种繁殖能力极强，在没有外部因素干扰的前提下，其种群数量每经过一年就会增长为原来的 5 倍，则该物种种群数量变成原来的 1000 万倍大约需要经过（　　）（参考数据：） A. 10 年 B. 11 年 C. 23 年 D. 24 年 3.（2026·浙江嘉兴·二模）为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理．已知初始碳排放浓度为 ，每经过一次环保设备处理，碳排放浓度会减少 ．国家排放标准规定碳排放浓度不得超过 ，若要使该发电厂烟气排放达标，则至少需要脱碳处理的次数为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 考点二：指数函数的图象与性质 考法3：指数函数的图象识别与平移 4.（2026·云南百万·联考）函数 的部分图象大致为（　　） A. B. C. D. 考法4：指数函数性质的综合判定 5.（2026·河北沧州十二校·一模）（多选）若函数 的图象经过第二、三、四象限，则（　　） A. B. C. D. 6.（2026·黑龙江哈尔滨·二模）（多选）以下运算正确的是（　　） A. B. C. D. 7.（2026·安徽铜陵·模拟）（多选）已知函数 ，若实数 满足 ，则（　　） A. B. C. D. 考点三：指数方程与指数不等式 考法5：指数不等式求解与条件判定 8.（2026·江苏苏锡常镇·二模）已知 ，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9.（2026·山东九五协作体·一模）若 ，则（　　） A. B. C. D. 10.（2025·江西三新·联考）已知函数 ，则不等式 的解集为（　　） A. B. C. D. 11.（2026·江苏南京·二模）（多选）已知 ，且 ，则下列不等式可能成立的是（　　） A. B. C. D. 考法6：指数方程的转化与根的分布 12.（2026·江西南昌·一模）若 ，则 所在的范围是（　　） A. B. C. D. 13.（2026·重庆育才中学·模拟）已知实数 满足 ，则（　　） A. B. C. D. 考点四：利用指数单调性比较大小 考法7：单调性直接比较指数式大小 14.（2025·河北石家庄·模拟）已知 ，则 的大小关系为（　　） A. B. C. D. 15.（2026·河南郑州·二模）已知 ，则 的值所在的区间是（　　） A. B. C. D. 16.（2026·江苏六合联盟·一模）已知 ，则（　　） A. B. C. D. ，但 和 的大小关系无法确定 17.（2025·河北沧州五县·一模）（多选）已知实数 满足等式 ，则下列可能成立的关系式为（　　） A. B. C. D. 考法8：借助中间量比较指对大小 18.（2026·江西九江·二模）已知 ，则 的大小关系为（　　） A. B. C. D. 19.（2026·吉林白山·一模）若 ，则（　　） A. B. C. D. 20.（2026·广东佛山·检测）已知 ，则（　　） A. B. C. D. 21.（2026·辽宁东北育才·检测），则（　　） A. B. C. D. 22.（2026·T8联盟·联考）已知 ，则（　　） A. B. C. D. 23.（2026·山东东营·二模）（多选）已知 ，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. 若 ，则 D. 考法9：构造单调函数比较指数式大小 24.（2026·福建厦门·二模）设函数 ，记 ，则（　　） A. B. C. D. 25.（2026·河南郑州四中·检测）设 ，则（　　） A. B. C. D. 26.（2024·广东新南方联盟·联考）已知 ，则 的大小关系是（　　） A. B. C. D. 27.（2026·内蒙古包头·二模）已知 ，则（　　） A. B. C. D. 28.（2026·河北邯郸·一模）已知 ，则（　　） A. B. C. D. 29.（2026·山西·二模）已知正数 满足 ，则 （　　） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 30.（2026·湖北楚天协作体·联考）若实数 满足 ，则 的大小关系不可能是（　　） A. B. C. D. 31.（2026·浙江县域联盟·模拟）（多选）已知 ，则（　　） A. 当 时， B. 存在实数 ，使得 C. 对任意 ，都有 D. 当 时， 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $