江西省九江第一中学2026-2027学年高三暑假收心九月复习数学卷1

**基本信息** 以三相交流电、抽奖活动等真实情境为载体，覆盖函数、几何、概率等核心知识，通过分层设问考查数学抽象与逻辑推理，适配新高考复习初期能力诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、圆锥、概率统计|第4题结合交流电模型考查三角函数应用，体现数学眼光| |填空题|3题15分|抛物线、圆的切线、双曲线|第13题圆的切点弦过定点，考查几何直观| |解答题|5题77分|数列、立体几何、概率统计、椭圆、函数导数|第17题正态分布与比赛概率综合，第19题函数导数证明，考查逻辑推理与数学语言表达|

2027 届新高考暑假收心年级考试 数学(九月复习卷1) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集为 ，集合 ，则 ( ) A. B. C. 或 D. 2. 已知复数 满足: ,则 ( ) A. B. C. 5 D. 3. 用一个圆心角为 ，面积为 的扇形 ( 为圆心) 围成一个圆锥 (点 、 恰好重合),该圆锥顶点为 ，底面圆的直径为 ,则 的值为 ( ) A. B. C. D. 4. 三相交流电是我们生活中比较常见的一种供电方式,其瞬时电流 (单位: 安培) 与时间 (单位: 秒) 满足函数关系式: (其中 为供电的最大电流,单位: 安培; 表示角频率,单位: 弧度/秒; 为初始相位),该三相交流电的频率 与周期 满足关系式 . 某实验室使用 5 赫兹的三相交流电,经仪器测得在 秒与 秒的瞬时电流之比为 ，且在 秒时的瞬时电流恰好为 1 安培，若 ，则该实验室所使用的三相交流电的最大电流为 ( ) A. 2 安培 B. 安培 C. 3 安培 D. 2.5 安培 5. 已知 的二项展开式中,第三项与第 项的二项式系数和为 84,则第四项的系数为 ( ) A. 280 B. 448 C. 692 D. 960 6. 已知 ,若 ,则 大小关系为 ( ) A. B. C. D. 7. 已知三棱锥 中， 面 ，底面 是以 为直角顶点的直角三角形，且 ，三棱锥 的体积为 . 过点 作 于 ，过 作 于 ，则三棱锥 外接球的体积为 ( ) A. B. C. D. 8. 已知 ，不等式 对满足当 且 时恒成立，则 的最大值为 ( ) A. 1 B. 2 C. e D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.某商场推出抽奖活动, 在甲抽奖箱中有四张有奖奖票. 六张无奖奖票; 乙抽奖箱中有三张有奖奖票. 七张无奖奖票, 每人能在甲乙两箱中各抽一次,以 表示在甲抽奖箱中中奖的事件. 表示在乙抽奖箱中中奖的事件. 表示两次抽奖均未中奖的事件。下列结论中正确的是 ( ) A. B. 事件 与事件 相互独立 C. 与 和为 54% D. 事件 与事件 互斥 10.下列结论正确的是 ( ) A. 数据20,21,7,31,14,16的 50% 分位数为 16 B. 若随机变量 服从正态分布 ,则 C. 在线性回归分析中决定系数 用来刻画回归的效果，若 值越小，则模型的拟合效果越好 D. 以 拟合一组数据,经 代换后的线性回归方程为 ,则 11. (多选) 已知函数 为奇函数,且其函数图象关于直线 对称,若函数 在定义域上的值不全为零,则下列式子中正确的是 ( ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线 ， 的一条切线方程为 ，则 的准线方程为___. 13. 过直线 上一点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，则直线 过定点___. 14. 过原点 作直线 交双曲线 于 两点， 分别为双曲线的左、右焦点， 为双曲线上异于 ， 的一点，直线 ， 斜率的乘积为 ，则双曲线的离心率为___； 的取值范围为___. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. (13分) 已知数列 的首项 ，且满足 . (1)求证:数列 为等比数列； (2) 若 ,求满足条件的最大整数 . 16. (15分)如图，在 中， ， ， 和 都垂直于平面 ， 且 为线段 上一点,设 . (1) 当 时,求证: 平面 ; (2) 当二面角 的余弦值为 时,求 的值. 17. (15分)为了解高三学生体能情况，某中学对所有高三男生进行了掷实心球测试，测试结果表明所有男生的成绩 (单位: 米) 近似服从正态分布 ,若 . (1)若从高三男生中随机挑选 1 人，求他的成绩在 内的概率. (2)为争夺全省中学生运动会的比赛资格，甲、乙两位同学进行比赛。比赛采取“五局三胜制”，即两人轮流掷实心球一次为一局，成绩更好者获胜(假设没有平局)。一共进行五局比赛，先胜三局者将代表学校出战省运会。根据平时训练成绩预测，甲在一局比赛中战胜乙的概率为 . ① 求甲代表学校出战省运会的概率. ②丙、丁两位同学观赛前打赌，丙对丁说:“如果甲3:0获胜，你给我 100 块，如果甲3:1 获胜，你给我 50 块，如果甲3:2 获胜，你给我 10块，如果乙获胜，我给你 200 块”，如果你是丁，你愿意和他打赌吗? 说明你的理由。 18. (17分) 已知椭圆 ，从点 可向椭圆做两条切线，且两切线垂直. (1) 求 ; (2) 已知点 ，若存在过点 的直线与椭圆交于 ，且以 为直径的圆过点 ，求直线 斜率范围. 19. (17分) 已知函数 ,当 时,函数有意义且 . (1)求 的范围； (2)若当 时， ； 证明: ,且满足: 时, . 参考答案与解析 1. 【答案】. 【解析】由题可知: 集合 ,集合 ,所以 ,所以 ,故选 . 2. 【答案】D. 【解析】选 . 由 ,可知 ,所以 3. 【答案】. 【解析】由题意可得: 扇形 的半径 ,圆锥底面半径 ,设圆锥底面圆的圆心为 ,则 ,所以 ,由二倍角公式可得: ,故选 . 4. 【答案】. 【解析】由题意可得: ,即 ,所以 ,即 ,当 时, ,当 时, ，所以 ，所以 ，又因为 ，所以 ，所以 ， 时， ，所以 ,故选 . 5. 【答案】. 【解析】选 . 由 ,可知 , 即 ,故 ,所以 . 6. 【答案】. 【解析】由 ,及 ,可知 . 此时 ,而 , 故 . 又 ,故 , 此时: ,选 . 7. 【答案】. 【解析】选 . 由 可解: . 由题意可得 面 ,所以由 ,可得 面 ,故 , 又 ,所以 面 ,即 . 由 可知: ,故 在以 为直径的球面上,即三棱锥 外接球的半径为 2，其体积为 . 8. 【答案】. 【解析】选 . 由 ,可知 恒成立; 由 ,可知 在 中单调递增,而 , , 故 恒成立,即 对 恒成立。令 ,则由 ,可知 在 中单调递增,故 ,所以 ; 由 且 ,知 ,故 . 9. 【答案】 【解析】 甲箱中奖概率为 不中奖的概率为 乙箱中奖概率为 不中奖的概率为 . 所以 . 显然事件 与事件 相互独立,即 正确 错误。因为事件 与事件 相互独立,所以 。故 与 和为 故答案为: 10. 【答案】. 【解析】对于 ,数据排序:7,14,16,20,21,31,因为 ,所以 分位数为 ,故错误; 对于 服从正态分布 0.68,由正态曲线关于 对称, 又 , 则 ,所以 正确; 对于 ,在线性回归分析中决定系数 用来刻画回归的效果,若 值越大,则模型的拟合效果越好,故 错误; 对于 ,由经 代换后的线性回归方程为 ,则 ,则 ,故 正确,综上,本题选: 11. 【答案】. 【解析】 函数 为奇函数, 函数 的图象关于 对称,(1) 图象关于直线 对称, 函数 的图象关于直线 对称, 图象关于直线 对称,(2) 综上所述，函数 的图象关于 对称，且关于直线 对称，故为偶函数且周期函数为 8. 由 (1)(2) 得 对; 对; 对; 若 ,则 , 由 (3) 得 ,又 , . 即 ,与题意矛盾, 错. 故选: . 12. 【答案】 【解析】联立 与切线方程得 , ,解得 (舍), , 则 ,则 的准线方程为 ,即 . 故答案为: . 13. 【答案】 【解析】方法一: 设点 ,过 的圆的方程可求得为 , 减去圆 的方程,可得公共弦 所在的直线方程为 , 即为 ,易知该直线过定点 . 方法二: 设直线 与 轴交于点 ,与 轴交于点 , 当 点运动到 点时,易求得此时直线 的方程为 , 当 点运动到 点时,易求得此时直线 的方程为 , 故若直线 过某定点,则该定点为 . 方法三: 设点 ,根据圆的切点弦方程可得弦 所在的直线方程为 ,即为 ,易知该直线过定点 . 14. 【答案】 【解析】由题意,设点 ,则 , 因为 , 所以 ; 所以 ,当且仅当 时,等号成立. 故答案为: . 15. 【解析】(1) 证明: 由 ,可得 , , 故 ,数列 为等比数列. (2) 由 (1) 可知 ,故 , 令 ,易知 随 的增大而增大, , 故满足 的最大整数为 50. 16. 【解析】 【解析】方法一: 依题意易知平面 平面 ,过点 作 于点 , 易知 平面 ,又易知 ,故 , (1) 证明: 当 时, 为 的中点,此时, , 又 ,故 , 故四边形 为平行四边形,可得 , 又 平面 平面 ,故 平面 . (2) 二面角 即为平面 与平面 所成的角, 易知 ，故二面角 的平面角即为 ， 当 时， ， 故 ， 故 ，又 ，故 ，故此时， . 方法二: (1) 证明: 当 时, 为 的中点, 取 中点 ，连接 ，有 ，且 ， 又易知 ,故 , 故四边形 为平行四边形,可得 , 又 平面 平面 ,故 平面 . (2) 如图,以点 为原点, (其中 垂直于平面 ) 为 轴, 所在直线为 轴和 轴建立空间直角坐标系 , 则 ,由 可得 , ,设平面 的法向量为 , 由 可取 , 取平面 的法向量为 , 当二面角 的余弦值为 时, ,解得 . 17. 【解析】 (2) ① 甲 3:0 获胜的概率 甲 获胜的概率 甲 3:2 获胜的概率 所以,甲代表学校出战省运会的概率为 ②丁获得奖金的期望值为 , 如果我是丁, 我不会和他打赌. 18. 【解析】(1) 设切线 ,联立得 即 , 相切得: , 即 由两切线垂直 (2) 设 ,联立得 设 , 由韦达定理得: 由题意 代入韦达定理化简得 , 或 -1 (舍去) 所以 过定点 , 故 即直线 斜率范围 19. 【解析】(1) 若 ,则 定义域为 ,显然不合题意, 若 ,则 , 在 递减, 当 时, , 若 ,则 在 递增, 递减, 有 ,不合题意舍去 综上: (2) 令 , 对 求导, 在 递增 由 (1) 知 令 则 则 在 递减, 递增, , 综上: ,不等式得证 学科网（北京）股份有限公司 $