精品解析：江西省部分高中2024届高三上学期9月第一次联考数学试题

江西省2024届高三部分高中9月第一次联考数学试题 高三数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若数列的通项公式为，则（ ） A. 数列是首项为，公比为的等比数列 B. 数列是首项为，公比为的等比数列 C. 数列是首项为，公比为的等比数列 D. 数列是首项为，公比为的等比数列 4. 的展开式中，的系数为（ ） A. B. 10 C. D. 40 5. 牛皮鼓，又称堂鼓、喜庆鼓，多用于江南祠堂内婚嫁迎娶和迎新年等．牛皮鼓的制作工艺考究，有数十道工序，包括处理牛皮、创制鼓腔、蒙皮、拉皮、钉钉，每道工序都考验着手艺人的技艺和耐心．如图所示的牛皮鼓的鼓面直径为，鼓身高度为，用平行于鼓面的平面截牛皮鼓，所得截面圆的最大直径为，若将该牛皮鼓看成由两个相同的圆台拼接而成，忽略鼓面与鼓身的厚度，则该牛皮鼓的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 设曲线在处的切线为，若的倾斜角小于，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且，直线与交于另一点，与轴交于点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图像关于直线对称 C. D. 的图像关于点对称 10. 有一组样本数据，，…，，其中任何两个数都不相等，现在删去其中一个数据，得到一组新数据，则下列判断正确的是（ ） A. 新数据的极差可能等于原数据的极差 B. 新数据的中位数可能等于原数据的中位数 C. 若新数据的平均数等于原数据的平均数，则新数据的方差大于原数据的方差 D. 若新数据的平均数等于原数据的平均数，则新数据的分位数小于原数据的分位数 11. 已知定义在上的函数满足，定义在上的函数满足，则（ ） A. 不是奇函数 B. 既是奇函数又是偶函数 C. 是奇函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数 12. 如图，在三棱锥中，平面平面，，，则（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 点到直线的距离为 C. 二面角的正切值为 D. 三棱锥外接球的球心到平面的距离为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若双曲线的焦距为6，实轴长为2，则该双曲线的虚轴长为__________． 14. 在矩形中，为对角线的交点，为上一点，且向量在向量上的投影向量为，，则__________． 15. 已知圆与圆内切，且圆与直线相切，则圆的圆心的轨迹方程为__________． 16. 已知，则当取得最大值时，__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 如图，在正方体中，为的中点，，． （1）证明：平面． （2）求直线与平面所成角的正弦值的平方． 18. 在中，，． （1）若，求的长； （2）若，为延长线上一点，为边上一点，且，，求的面积． 19. 艾伦·麦席森·图灵提出的图灵测试，指测试者与被测试者在隔开的情况下，通过一些装置（如键盘）向被测试者随意提问．已知在某一轮图灵测试中有甲、乙、丙、丁4名测试者，每名测试者向一台机器（记为）和一个人（记为）各提出一个问题，并根据机器和人的作答来判断谁是机器，若机器能让至少一半的测试者产生误判，则机器通过本轮的图灵测试．假设每名测试者提问相互独立，且甲、乙、丙、丁四人之间的提问互不相同，而每名测试者有的可能性会向和问同一个题．当同一名测试者提出的两个问题相同时，机器被误判的可能性为，当同一名测试者提的两个问题不相同时，机器被误判的可能性为． （1）当回答一名测试者的问题时，求机器被误判的概率； （2）按现有设置程序，求机器通过本轮图灵测试的概率． 20. 已知为数列的前项和，，． （1）证明：． （2）求的通项公式． （3）若，求数列的前项和． 21. 已知抛物线经过点，直线与交于，两点（异于坐标原点）． （1）若，证明：直线过定点． （2）已知，直线在直线的右侧，，与之间的距离，交于，两点，试问是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 22. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若是的极大值点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省2024届高三部分高中9月第一次联考数学试题 高三数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解一元一次不等式组得集合，再根据交集的运算求解即可. 【详解】由可得， 则，所以． 故选：A. 2. 已知，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数乘法法则得到，然后根据复数的几何意义判断象限即可. 【详解】因为：，所以，则在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 3. 若数列的通项公式为，则（ ） A. 数列是首项为，公比为的等比数列 B. 数列是首项为，公比为的等比数列 C. 数列是首项为，公比为的等比数列 D. 数列是首项为，公比为的等比数列 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的定义，即可判断选项. 【详解】因为， ，， 所以的首项为，且，所以是公比为的等比数列． 故选：B 4. 的展开式中，的系数为（ ） A. B. 10 C. D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项，求指定项的系数. 【详解】展开式的通项为，， 所以的系数为． 故选：C 5. 牛皮鼓，又称堂鼓、喜庆鼓，多用于江南祠堂内婚嫁迎娶和迎新年等．牛皮鼓的制作工艺考究，有数十道工序，包括处理牛皮、创制鼓腔、蒙皮、拉皮、钉钉，每道工序都考验着手艺人的技艺和耐心．如图所示的牛皮鼓的鼓面直径为，鼓身高度为，用平行于鼓面的平面截牛皮鼓，所得截面圆的最大直径为，若将该牛皮鼓看成由两个相同的圆台拼接而成，忽略鼓面与鼓身的厚度，则该牛皮鼓的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆台体积公式直接计算求解即可. 【详解】依题意可得，该牛皮鼓的体积可视为两个相同的圆台 （上底面半径为，下底面半径为，高为）的体积之和， 所以该牛皮鼓的体积为． 故选：C 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数的规则和对数函数的单调性比较大小. 【详解】因为，， 所以． 故选：D 7. 设曲线在处的切线为，若的倾斜角小于，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合切线倾斜角范围建立不等式，再求解不等式即得. 【详解】令，求导得，则切线的斜率为， 由的倾斜角小于，得切线的斜率或， 即或， 解得，解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：B 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且，直线与交于另一点，与轴交于点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据几何性质表示焦半径，再结合余弦定理求焦半径的长度，即可求解. 【详解】如图，因为，所以点是的中点， 连接，由，得， 设，则，，． 由余弦定理得， 即，整理得， 则，故． 故选：D 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图像关于直线对称 C. D. 的图像关于点对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正弦函数的性质逐一计算判断即可. 【详解】因为，所以的最小正周期为，故A错误； 根据正弦函数的性质， 因为，， 所以的图像关于直线对称，的图像关于点对称，故B，D正确 ，故C正确； 故选：BCD. 10. 有一组样本数据，，…，，其中任何两个数都不相等，现在删去其中一个数据，得到一组新数据，则下列判断正确的是（ ） A. 新数据的极差可能等于原数据的极差 B. 新数据的中位数可能等于原数据的中位数 C. 若新数据的平均数等于原数据的平均数，则新数据的方差大于原数据的方差 D. 若新数据的平均数等于原数据的平均数，则新数据的分位数小于原数据的分位数 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据极差、中位数、平均数、方差、百分位数的定义和计算公式，对新样本的数据特征进行分析判断. 【详解】对于A选项，如果删去的不是最大值或最小值，那么极差不变，所以A正确． 对于B选项，删除前有6个数据，中位数是按从小到大的顺序排列后中间两个数的平均数，因为任何两个数据都不相等，所以中位数不会等于6个数据中的任何一个，而删除后有5个数据，中位数是6个数据中的某一个，所以B错误． 对于C选项，平均数不变意味着删去的数据刚好等于平均数，在方差公式中，分子不变，分母变小，所以方差变大，所以C正确． 对于D选项，平均数不变意味着删去的数据刚好等于平均数，在按从小到大的顺序排列的6个数据中，因为，，所以原数据的分位数是第2个数，新数据的分位数是前2个数的平均数，且该数值小于第2个数，所以D正确． 故选：ACD 11. 已知定义在上的函数满足，定义在上的函数满足，则（ ） A. 不是奇函数 B. 既是奇函数又是偶函数 C. 是奇函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据，对取特殊值，分别根据奇函数与偶函数的定义可判断的奇偶性，根据可得，进而可得奇偶性. 【详解】令，得，令，得，则， 所以既是奇函数又是偶函数． 由，得， 因为，所以是奇函数． 故选：BC 12. 如图，在三棱锥中，平面平面，，，则（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 点到直线的距离为 C. 二面角的正切值为 D. 三棱锥外接球的球心到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据立体几何中的体积、距离、二面角、外接球等几何性质逐项求解即可得结论． 【详解】如图，取的中点，连接， 因为平面平面，且平面平面，平面 所以平面． 取的中点，连接，因为，所以， 则． 因为，所以，故A正确； 取的中点，连接，， 因为为中点，则，所以． 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面，则， 则点到直线的距离为， 为二面角的平面角，且，B错误，C正确． 设，的外心分别为，， 则，又平面平面， 所以平面． 设三棱锥外接球的球心为，则平面，平面， 所以四边形为矩形，则． 故三棱锥外接球的球心到平面的距离为，D正确． 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题A选项的关键是利用顶点转换法求棱锥体积，B选项的关键是利用二面角的定义在图中找到二面角所对应的平面角，再利用三角函数知识即可求出其正切值. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若双曲线的焦距为6，实轴长为2，则该双曲线的虚轴长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线基本量的关系求解即可. 【详解】依题意可得，，则，， 所以该双曲线的虚轴长为． 故答案为： 14. 在矩形中，为对角线的交点，为上一点，且向量在向量上的投影向量为，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】以为基底，结合已知条件把用基底表示，由平面向量基本定理，求出的值即可. 【详解】 在矩形中，因为向量在向量上的投影向量为，所以， 又，所以， 所以，，得. 故答案为： 15. 已知圆与圆内切，且圆与直线相切，则圆的圆心的轨迹方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得：点到直线的距离，根据两圆的位置关系列式求解即可. 【详解】设，点到直线的距离为d， 如图，只能在直线的左侧，则， 因为圆的圆心为，半径为1， 依题意可得，即，化简可得， 故圆的圆心的轨迹方程为． 故答案为：. 16. 已知，则当取得最大值时，__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用二倍角的正切公式得到，再利用导数即可求出其最值时的值，再代入即可得到答案. 【详解】设，因为，则，则， 则． 设函数， 则． 当时，即，，此时单调递增； 当时，即，，此时单调递减， 所以当时，取得最大值，即取得最大值， 此时． 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用二倍角公式构造出关于的函数关系，再利用导数法求出最值即可. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 如图，在正方体中，为的中点，，． （1）证明：平面． （2）求直线与平面所成角的正弦值的平方． 【答案】（1） 因为，， 所以，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先根据题意证明，进而根据线面平行的判定定理证得． （2）建立合适的空间直角坐标系，先求出所需点的坐标和向量的坐标，再利用待定系数法求出平面的法向量，再向量的夹角公式求解，最后平方即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设， 则，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 因为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为，其平方为． 18. 在中，，． （1）若，求的长； （2）若，为延长线上一点，为边上一点，且，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理，结合两角差的正弦公式、正弦定理进行求解即可； （2）利用余弦定理、三角形面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 在中，，因为，所以， 则． 因为，所以， 由正弦定理得，则； 【小问2详解】 由（1）知，则， 在中，由余弦定理得， 代入数据，得，解得（舍去）， 所以的面积为： . 19. 艾伦·麦席森·图灵提出的图灵测试，指测试者与被测试者在隔开的情况下，通过一些装置（如键盘）向被测试者随意提问．已知在某一轮图灵测试中有甲、乙、丙、丁4名测试者，每名测试者向一台机器（记为）和一个人（记为）各提出一个问题，并根据机器和人的作答来判断谁是机器，若机器能让至少一半的测试者产生误判，则机器通过本轮的图灵测试．假设每名测试者提问相互独立，且甲、乙、丙、丁四人之间的提问互不相同，而每名测试者有的可能性会向和问同一个题．当同一名测试者提出的两个问题相同时，机器被误判的可能性为，当同一名测试者提的两个问题不相同时，机器被误判的可能性为． （1）当回答一名测试者的问题时，求机器被误判的概率； （2）按现有设置程序，求机器通过本轮图灵测试的概率． 【答案】（1）0.2 （2）0.1808 【解析】 【分析】（1）根据独立事件概率公式和条件概率公式，即可计算求解； （2）首先设为4名测试者中产生误判的人数，由（1）的结果，可知服从二项分布，结合题意列式求解. 【小问1详解】 用表示事件“测试者提出的两个问题相同”，表示事件“测试者对机器产生误判”，则 ． 【小问2详解】 设为4名测试者中产生误判的人数，由（1）可知，， 若机器通过本轮的图灵测试，则4名测试者中至少有2名产生误判，所以机器通过图灵测试的概率 ． 20. 已知为数列的前项和，，． （1）证明：． （2）求的通项公式． （3）若，求数列的前项和． 【答案】（1） 当时，，则，而，则， 当时，由，得，两式相减得， 又，满足上式， 所以当时，． （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用给定的递推公式，结合推理作答. （2）利用（1）的结论，按奇偶探讨数列的性质求出通项作答. （3）由（2）的结论，利用错位相减法求和作答. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 因此的奇数项是以1为首项，2为公差的等差数列，， 的偶数项是以2为首项，2为公差的等差数列，，于是， 所以的通项公式是． 【小问3详解】 由（2）知，， ，则， 因此， 所以. 21. 已知抛物线经过点，直线与交于，两点（异于坐标原点）． （1）若，证明：直线过定点． （2）已知，直线在直线的右侧，，与之间的距离，交于，两点，试问是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 将点代入，得，即． 联立得， 由，设，，则，． 因为，所以恒成立，则， 所以的方程为，故直线过定点． （2）存在，，理由如下： 联立得，则 且，即， ， 设，同理可得． 因为直线在的右侧，所以，则，即． 所以，即，解得， 因为，所以满足条件的存在，. 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线方程求出，直线与抛物线联立方程组，由，利用向量数量积和韦达定理，求出，可得直线所过定点. （2）设两条直线与的方程，分别与抛物线方程联立，求出弦长，由和 ，求的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛： 解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 22. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若是的极大值点，求的取值范围． 【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据函数导数与单调性关系求解，即可得单调区间； （2）根据函数极值点的概念确定单调性验证极值，即可得实数的取值范围． 【小问1详解】 当时，，， 则． 令函数，则，可得单调递增． 又，所以当时，，当时，． 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问2详解】 若，则，此时是的极小值点，故． ，令函数，则． 令函数，可知在区间上单调递增． ①当且，即且时，， 此时在区间上单调递增，则，此时不可能是的极大值点． ②当，即或时，由在区间上单调递增， 可知存在，使得当时，， 则在上单调递减，从而，即，在上单调递减． 由，可得为偶函数， 的图象关于轴对称，此时是的极大值点． 综上，的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数几何意义、根据极值点定义求解参数范围的问题；本题求解参数范围的关键是将问题转化为对于函数在左右两侧的单调性的讨论问题，进而再次转化为关于在左右两侧的正负的讨论问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $