函数的奇偶性与周期性训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以题载法系统构建函数奇偶性与周期性的判定、推导及综合应用体系，通过分层题型实现概念生成到逻辑推理的能力进阶。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|1-5题|定义法判定奇偶性、周期性推导公式|从定义辨析到简单性质应用，构建概念认知链| |性质综合|6-12题|奇偶性与周期性交叉验证、图象对称性分析|通过多性质联动，深化逻辑推理与数学表达| |构造应用|13-15题|构造奇函数/周期函数转化问题|结合单调性实现性质迁移，培养创新意识与问题解决能力|

[课时精练8]　函数的奇偶性与周期性 1．函数f(x)＝x3的奇偶性为(　　 ) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0，2)时，f(x)＝x2－x，则f(2 025)的值为(　　 ) A．0 B．－2 C．2 D．1 3．已知函数f(x)＝2x＋m·2－x是奇函数，则下列关系中正确的是(　　 ) A．f<f B．f>f C．f＝2f D．f＝＋f 4．函数f(x)＝的图象大致为(　　 ) 5．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f＝，若f＝，则f＝(　　 ) A．－ B． C．－4 D．4 6．(多选)设函数f(x)的定义域为R，f(x)为奇函数，f(1＋x)＝f(1－x)，f(3)＝1，则(　　 ) A．f(－1)＝1 B．f(x)＝f(4＋x) C．f(x)＝f(4－x) D．(k)＝－1 7．请写出一个同时满足以下三个条件的函数f(x)＝________． ①f＋f(x)＝0，②f＝f(x)，③f(x)不是常数函数． 8．设函数f(x)＝在区间上的最大值为M，最小值为N，则M＋N的值为__________． 9．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026). 10．已知函数f(x)和g(x)的定义域均为R.若f(x＋1)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x－2)＝2－x，则f(g(－1))＝(　　 ) A．－1 B．0 C．1 D．2 11．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若f(log2a)<f(1)，则实数a的取值范围是(　　 ) A．(，2) B．(0，)∪(2，＋∞) C．(－∞，)∪(2，＋∞) D．(0，2) 12．(多选)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f为奇函数，则(　　 ) A．f＝－f B．f(x)的图象关于点中心对称 C．函数f(x)的周期为2 D．f＝0 13．若定义在R上的函数f(x)满足：f(2x－1)为偶函数，f(x＋1)为奇函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝|x|，则f()＝___________. 14．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝x(2－x)，则不等式f(x)>0的解集是(　　 ) A．(4k，4k＋2)，k∈Z B．(4k－2，4k)，k∈Z C．(4k，4k＋2)∪(4k＋2，4k＋4)，k∈Z D．(4k－2，4k＋2)，k∈Z 15．设函数f(x)＝sin x＋ex－e－x－x＋3，则满足f(x)＋f(3－2x)<6的x的取值范围是__________． 参考答案 [课时精练8]　函数的奇偶性与周期性 1．函数f(x)＝x3的奇偶性为(　　 ) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 解析：选A.因为函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数． 2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0，2)时，f(x)＝x2－x，则f(2 025)的值为(　　 ) A．0 B．－2 C．2 D．1 解析：选A.由f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4，所以f(2 025)＝f(4×506＋1)＝f(1)＝0. 3．已知函数f(x)＝2x＋m·2－x是奇函数，则下列关系中正确的是(　　 ) A．f<f B．f>f C．f＝2f D．f＝＋f 解析：选A.因为f(x)＝2x＋m·2－x是奇函数，定义域为R，所以f＝1＋m＝0，所以m＝－1，所以f(x)＝2x－2－x，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，满足题意，f＝2－＝，f＝4－＝，故A正确，B、C、D错误． 4．函数f(x)＝的图象大致为(　　 ) 解析：选C.因为f(x)＝，所以f(－x)＝＝＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，关于原点对称，所以A，B错误； 取特殊值，令x＝π，则f＝<0，根据图象可以看出D错误，C正确． 5．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f＝，若f＝，则f＝(　　 ) A．－ B． C．－4 D．4 解析：选D.因为f＝，所以f＝＝f(x)，则f(x)周期为4，又因为f＝＝，所以f＝4，所以f＝f＝f＝4. 6．(多选)设函数f(x)的定义域为R，f(x)为奇函数，f(1＋x)＝f(1－x)，f(3)＝1，则(　　 ) A．f(－1)＝1 B．f(x)＝f(4＋x) C．f(x)＝f(4－x) D．(k)＝－1 解析：选ABD.由f(x)为奇函数，知函数f(x)的图象关于点(0，0)对称，又f(1＋x)＝f(1－x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称，故f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，则f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)为周期函数且周期为T＝4，故B正确；f(－1)＝f(3)＝1，故A正确；f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，故C错误；由上可知f(2)＝－f(0)＝0，f(4)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝－f(－1)＋0＋1＋0＝0，则(k)＝f(1)＋f(2)＝－1，故D正确． 7．请写出一个同时满足以下三个条件的函数f(x)＝________． ①f＋f(x)＝0，②f＝f(x)，③f(x)不是常数函数． 解析：由条件①可得函数f(x)为奇函数， 由条件②可得函数f(x)周期为π， 故可考虑三角函数，函数解析式可以为f(x)＝tan x(答案不唯一). 答案：tan x(答案不唯一) 8．设函数f(x)＝在区间上的最大值为M，最小值为N，则M＋N的值为__________． 解析：f(x)＝＝1＋， 构造函数g(x)＝f(x)－1＝，其定义域为R， 则g(－x)＝＝－g(x)，故g为奇函数， 所以g(x)max＋g(x)min＝M＋N－2＝0， 所以M＋N＝2. 答案：2 9．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026). 解：(1)证明：因为f(x＋2)＝－f(x)， 所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是周期为4的周期函数． (2)当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]， 故f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2. 又f(x)是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2， 所以f(x)＝x2＋2x. 又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]， 所以f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4). 又f(x)是周期为4的周期函数， 所以f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8. 故x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8. (3)f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1. 又f(x)是周期为4的周期函数， 所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)＝0，f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1， 所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026)＝1. 10．已知函数f(x)和g(x)的定义域均为R.若f(x＋1)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x－2)＝2－x，则f(g(－1))＝(　　 ) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：选D.因为f(x＋1)是奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1).令x＝0，可得f(1)＝－f(1)，可得f(1)＝0.在f(x)－g(x－2)＝2－x中，令x＝1，得f(1)－g(－1)＝1，所以g(－1)＝－1，令x＝3，得f(3)－g(1)＝－1，所以f(3)＝g(1)－1＝g(－1)－1＝－2，所以f(g(－1))＝f(－1)＝f(－2＋1)＝－f(2＋1)＝－f(3)＝2. 11．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若f(log2a)<f(1)，则实数a的取值范围是(　　 ) A．(，2) B．(0，)∪(2，＋∞) C．(－∞，)∪(2，＋∞) D．(0，2) 解析：选A.由于f(x)是偶函数，所以f(log2a)<f(1)等价于f(|log2a|)<f(1). 又因为f(x)在[0，＋∞)上单调递增， 所以有|log2a|<1，则－1<log2a<1，即2-1<a<21，得<a<2. 又a>0，所以a∈(，2). 12．(多选)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f为奇函数，则(　　 ) A．f＝－f B．f(x)的图象关于点中心对称 C．函数f(x)的周期为2 D．f＝0 解析：选BD.函数f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(－x)＝f(x)， 对于A，因为f为奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，故A错误； 对于B，由f＝－f，得f(－x＋1)＋f＝0，可知f(x)的图象关于点中心对称，故B正确； 对于C，由f＝－f，得f(x＋2)＝－f(－x)，又f(－x)＝f(x)，所以f＝－f(x)，即f＝－f＝f(x)，故函数f(x)的周期为4，故C错误； 对于D，由f＝－f，令x＝0，则f＝－f，所以f＝0，所以f＝f＝0，故D正确． 13．若定义在R上的函数f(x)满足：f(2x－1)为偶函数，f(x＋1)为奇函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝|x|，则f()＝___________. 解析：由f(2x－1)为偶函数，得f(－2x－1)＝f(2x－1)，即f(－x－1)＝f(x－1)，f(－x－2)＝f(x)， 由f(x＋1)为奇函数，得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即f(－x＋2)＝－f(x)， 因此f(－x－2)＝－f(－x＋2)，即f(x＋4)＝－f(x)，则f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)， 所以f()＝f()＝－f(－)＝－. 答案：－ 14．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝x(2－x)，则不等式f(x)>0的解集是(　　 ) A．(4k，4k＋2)，k∈Z B．(4k－2，4k)，k∈Z C．(4k，4k＋2)∪(4k＋2，4k＋4)，k∈Z D．(4k－2，4k＋2)，k∈Z 解析：选A.当x∈[0，2]时，f(x)＝x(2－x)， 这是一个二次函数，开口向下，零点为x＝0和x＝2，顶点在x＝1处，最大值f(1)＝1. 因此，在区间(0，2)上，f(x)>0. 由于f(x)是奇函数，有f(－x)＝－f(x)， 对于x∈[－2，0]，令t＝－x∈[0，2]， 则f(x)＝f(－t)＝－f(t)＝－[t(2－t)]＝－(－x)[2－(－x)]＝x(x＋2)， 在[－2，0]上，x(x＋2)的零点为x＝－2和x＝0，且对于x∈(－2，0)，f(x)<0. 因此，在[－2，0]上，f(x)>0不成立． 由f(x＋4)＝f(x)可知，f(x)是周期为4的周期函数， 故f(x)>0当且仅当x在区间(4k，4k＋2)内，其中k∈Z. 15．设函数f(x)＝sin x＋ex－e－x－x＋3，则满足f(x)＋f(3－2x)<6的x的取值范围是__________． 解析：设g＝f(x)－3＝sin x＋ex－e－x－x， 又g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为R上的奇函数， 因为g′＝cos x＋ex＋e－x－1≥cos x＋2－1＝1＋cos x≥0， 所以g(x)在R上单调递增， 又f(x)＋f(3－2x)<6， 所以[f(x)－3]＋[f(3－2x)－3]<0， 即g(x)＋g(3－2x)<0，得g(x)<－g(3－2x)， 又g(x)为R上的奇函数， 所以g(x)<g(2x－3)， 又g(x)在R上单调递增，所以x<2x－3，即x>3， 故x的取值范围是(3，＋∞). 答案：(3，＋∞) 1 学科网（北京）股份有限公司 $