2.3 函数的奇偶性与周期性 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数奇偶性与周期性，以定义为根基，性质为纽带，构建“概念-性质-应用”逻辑体系，提炼定义判断、性质转化、综合应用等解题方法，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |奇偶性|34题|定义判断法（定义域对称前提）、解析式补全法（利用f(-x)=±f(x)）、单调性与不等式转化法|从定义（奇函数/偶函数）到性质（图象对称、单调性、运算规律），再到应用（判断、求解析式、解不等式）| |周期性|45题|周期定义法、对称性推导周期法（轴/中心对称关系）、多结论综合应用法|从周期定义到最小正周期，结合对称性（轴/中心）推导周期，再到求值与性质分析| |综合应用|22题|奇偶性+周期性转化法（化未知为已知区间）、图象与性质综合分析法|融合奇偶性（对称）与周期性（重复），实现跨区间函数值转化与综合问题求解|

2.3 函数的奇偶性和周期性 基础知识梳理 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特征 奇函数 设函数的定义域为如果都有且,那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 偶函数 设函数的定义域为如果都有且,那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 （1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件. （2）若则奇（偶）函数定义的等价形式如下: ①为奇函数; ②为偶函数. 2.函数的周期性 周期 函数 对于函数如果存在一个非零常数使得当取定义域内的任何值时,都有,那么就称函数为周期函数,称为这个函数的周期 最小 正周期 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期 3.奇偶性常考结论 （1）若奇函数存在最值,则 （2）若且为奇函数,则特别地,若存在最值,则 （3）若函数是奇函数且在处有定义,则一定有若函数是偶函数,则 （4）奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性. （5）奇 奇 奇,奇×奇 偶,偶 偶 偶,偶×偶 偶,奇×偶 奇 4.周期性常考结论 （1）已知且 ①若函数的图象关于直线和对称,则函数的一个周期为 ②若函数的图象关于点和点对称,则函数的一个周期为 ③若函数的图象关于直线和点对称,则函数的一个周期为 （2）若,则是的一个周期. 题型一 函数奇偶性的判断 1．已知函数，若正实数m，n满足，则的最小值是（） A．13 B．9 C．7 D．3 【答案】B 【分析】利用奇函数的性质将抽象等式转化为，再通过“1的代换”结合基本不等式可求出最小值. 【详解】已知函数，定义域为，且， 因为， 所以是奇函数； 因为与都在上单调递增， 所以在上单调递增， 由， 移项得：， 由于是奇函数，所以， 因此：， 因为是单调递增函数， 即：， ， ， 因为， 根据基本不等式， 得：， 所以：， 当且仅当即时等号成立， 将代入，得，即， 此时的最小值是. 2．若且，则函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】B 【分析】首先确定定义域，再验证与的关系，得出函数的奇偶性. 【详解】由可得，函数定义域为， 且定义域关于原点对称，又因为， ，进一步化简可得：， 因此满足偶函数定义，是偶函数. 3．已知函数，则是（     ） A．奇函数，且在单调递增 B．偶函数，且在单调递增 C．奇函数且在单调递减 D．偶函数，且在单调递减 【答案】C 【分析】确定函数定义域，判断是否关于原点对称，根据奇偶性的定义判断函数奇偶性，可以判断选项B、D；化简函数表达式，进而根据复合函数单调性判断的单调性，可以判断选项A、C. 【详解】由题知，解得，定义域关于原点对称，代入得： ， 因此是奇函数，故B、D错误. 将函数化简为，令内层函数， 可知该函数在上随增大单调递减； 外层函数是单调递增函数，故在整个定义域上单调递减， 因此在子区间上也单调递减. 综上，是奇函数且在单调递减，故C正确. 4．下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇偶性即可判断选项A；利用正弦函数单调性即可判断选项B；利用和在上均单调递减，即可判断选项C；利用奇偶函数的定义先判断函数为奇函数，再根据复合函数的单调性即可判断选项D. 【详解】选项A，定义域为，，则是偶函数，选项A错误； 选项B，定义域为，已知正弦函数为奇函数，但在上不是单调递增函数，选项B错误； 选项C，定义域为，易知，则是奇函数， 而和在上均单调递减， 所以单调递减，选项C错误； 选项D，定义域为，，则是奇函数， 又在上单调递增，在上单调递增， 根据复合函数单调性可知在上单调递增，选项D正确. 5．在四个函数，，，中以为周期在上单调递增的偶函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，不是周期函数.A错误. 对于B，以为周期.B错误. 对于C，当，，函数在上单调递增，且恒大于， 所以函数在单调递减.故C错误. 对于D，，所以函数以为周期， 当时，，所以， 函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，所以函数在上单调递增， 函数定义域为，关于原点对称，，故函数为偶函数， 故D正确. 6．(多选)已知函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．方程无解 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】由函数可以直接判断函数的奇偶性，通过性质可以判断函数在定义域内都是单调递增的，再结合极限思想可以判断函数的值域为R，所有函数左右平移后的值域不变，可判断函数必有一解. 【详解】，选项A正确； 当时，， 时，， 所以定义域为R, 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， ，， 所以函数为奇函数，且在R上单调递增， 所以，选项B正确； 当时，，当时，， 所以函数的值域为R， 所以有解，所以仍有解，选项C错误； ，所以， 所以，即，解得， 所以的解集为，选项D正确. 7．(多选)已知函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．在上单调递减 C．有三个不等的实根，则 D．已知数列是公差为1的等差数列，则函数在上的平均变化率的最大值为2 【答案】BC 【分析】根据函数的定义判断A（举特例），利用导数判断B，把函数图象向左平移个单位得偶函数的图象，结合图象的对称性及函数的单调性求解判断C，求出平均变化率，然后结合绝对值不等式的性质求解判断D. 【详解】A，记，， ，所以即不是偶函数，A错； B，时，，， ，则，，所以， 所以是减函数，B正确； C，记， 定义域为，关于原点对称， ， 所以是偶函数，的图象是由的图象向左移动个单位得到的， 因此由选项B知在上单调递减， 而时，在上是增函数， 作出的图象与直线，如图， 有三个不等的实根，即要有三个实根， 即的图象与直线有三个公共点， 所以，所以有三个不等的实根时，C正确； D，，则函数在上的平均变化率为： ， 设， ， ， 因为， 所以, 所以， 所以，当且仅当时，， 所以函数在上的平均变化率的最大值是，D错. 8．（多选）函数是（    ） A．最小正周期为 B．最小正周期为 C．奇函数 D．偶函数 【答案】BD 【详解】因为 ， 所以的最小正周期为， 又，所以是偶函数. 9．(多选)使函数为奇函数的θ的值有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由， 当为奇函数时，，即， 取，得， 取，得， 不可能为，也不可能为. 10．判断函数的奇偶性. 【答案】既不是奇函数也不是偶函数 【详解】当时，； 当时，； 而当时，，所以既不是奇函数也不是偶函数. 11．判断下列各函数是否具有奇偶性 (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)奇函数 (5)既是奇函数又为偶函数 【详解】（1）定义域：，因为对于任意，且，所以为奇函数. （2）定义域：，即，所以为非奇非偶函数. （3）定义域：，解得，所以为非奇非偶函数. （4）定义域：，即或，所以， ，所以，所以函数为奇函数 （5）定义域：，解得，所以，因此既是奇函数又为偶函数. 12．已知函数对任意实数、恒有，当时，，且. (1)判断的奇偶性； (2)求在区间上的最大值； 【答案】(1)是奇函数 (2) 【分析】（1）赋值法结合奇函数的定义判断即可. （2）先分析函数在已知区间内的单调性，利用单调性判断最大值的位置，再结合特殊点取值和的运算规则，即可得解. 【详解】（1）令，则，所以. 令，则，即， 所以对任意恒成立， 所以是奇函数. （2）任取，且，则， 又，所以， 由（1）知是奇函数，所以，在上单调递减. 因此对任意，恒有， 又，而， 所以， 故在区间上的最大值为. 题型二 由奇偶性求函数解析式 1．(多选)设函数的定义域为，定义，．若为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．的解析式为 C．在区间上单调递增 D．的最大值为 【答案】BD 【分析】结合已知条件利用函数的奇偶性求出函数的解析式，再根据二次函数的性质分析各项即可求解. 【详解】因为 为奇函数， 为偶函数， 所以 ①， ② ， 联立①②可得 ，选项 B 正确； 则 ，选项 A 错误； 结合二次函数性质可得 在上单调递增，在上单调递减， 故在区间在上不单调，选项C错误； 结合二次函数性质可得，当时，函数取得最大值 ，选项 D 正确． 2．(多选)函数是定义域为的奇函数，当时，，下列结论正确的有（     ） A．当时， B．方程有个不等实根 C．函数有最大值 D．，， 【答案】AD 【分析】运用奇函数的定义可得时的解析式，可判断A；令，求出所对应的方程的解，即可判断；利用导数判断函数的单调性求出函数的极值，即可判断；由的值域可判断． 【详解】对于A，函数为定义在上的奇函数， 当时，，，故A正确； 对于B，当时，，解得， 时，，解得， 又，所以有和0三个零点，故B错误； 对于C，当时，，， 当时，，递减；时，，递增， ∴时，有极小值， 当时，；当时，. 函数在上的值域为 由是奇函数，函数在上的值域为 又，所以的值域是，故C错误； 对于D，由C的讨论知， 因此对任意的实数有，， ∴，即，故D正确. 3．(多选)已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，均有.当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的一个周期为4 C．当时， D． 【答案】BD 【分析】对于A，利用是定义在上的偶函数和，将转化至区间内求解.对于B，由得到，得到函数的一个周期为4对于C，利用的函数解析式，结合可以得到的函数解析式对于D，利用函数的周期性得到 【详解】当时，，则； 对于B选项，由可知， 所以，即， 故函数的一个周期为4.故B选项正确. 对于A选项，因为函数的一个周期为4， 所以， 又因为，所以，故A选项错误. 对于C选项，设，则， 所以. 所以.所以C选项错误. 对于D选项，由函数的一个周期为4，且是定义在上的偶函数可知 ， 由可知，. 由时，，且函数的一个周期为4可知， . 所以. 又因为函数的一个周期为4，所以 ， 所以 ， 故D选项正确. 4．若奇函数的定义域为，当时，，则当时，_______． 【答案】 【分析】设则，将代入已知正区间函数式求出，再利用奇函数化简，得到时的表达式． 【详解】当时，， ， 所以， 即时，． 5．已知：函数是定义在上的偶函数，当时，（a为实数）． (1)当时，求的解析式； (2)若，试判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)是否存在a，使得当时，有最大值1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)略 (3)存在 【分析】（1）根据偶函数的性质即可求解， （2）求导，根据导数的正负即可求解， （3）对进行讨论，即可结合函数的单调性求解最值得解. 【详解】（1）设，则． ，为偶函数， ， （2），． 又，，即，在上为增函数． （3）当时，在上是增函数， （不合题意，舍去）， 当时，，令，． 如下表： x + 0 - ↗ 最大值 ↘ 在处取最大值 ，则． 当时，，在上单调递减，在无最大值． ∴存在，使在上有最大值1． 6．已知函数是定义在上的偶函数，其中、且． (1)求函数的解析式及值域； (2)若，实数满足，求实数的取值范围． 【答案】(1)，值域为 (2) 【分析】（1）由，求得，，并代回，用偶函数的性质检验其正确性；再结合二次函数 的值域求得函数的值域； （2）写出的解析式，判断其奇偶性及单调性，再利用奇偶性及单调性求解不等式. 【详解】（1）由题意知，即，解得，， 当，时，， 此时定义域为，定义域关于原点对称， 且，所以是偶函数， 所以． 因为，所以，所以， 所以函数的值域为． （2）由题意知，. 因为， 所以是偶函数， 当时，， 显然当时，， 所以在上单调递增， 所以函数在上单调递减. 所以， 所以，解得． 故实数的取值范围是． 7．已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数， ． (1)求函数，的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）根据函数奇偶性变形题中等式，联立解得函数解析式； （2）根据函数的奇偶性和单调性解不等式； 【详解】（1）是奇函数，是偶函数，，， ，①， 即，②，由①、②解得，． （2）由（1）知是上的奇函数和增函数， 则不等式， 因此，即，解得， 即，所以原不等式的解集为． 8．已知为奇函数，为偶函数，且. (1)求，的解析式； (2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出，联立即可求解； （2）利用基本不等式求出的最小值，得到即可求解. 【详解】（1）因为为奇函数，为偶函数，且有， 所以， 所以， 解方程组得. （2）因为，当且仅当，即时，等号成立，即. 所以对任意的恒成立，即， 则，即，解得， 所以实数的取值范围是. 9．已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)解不等式：. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义以及性质求解即可. （2）分析函数的单调性，利用单调性以及奇偶性列式求解即可. 【详解】（1）由是定义在上的奇函数，所以定义域关于原点对称， 所以，即．且. 所以，当时，. 当时，，则. 所以，当时，函数. 则解析式为； （2） 当时，函数和在上都是单调递增， 所以在上单调递增；由奇函数对称性，在也单调递增； 时，；时，； 分段函数图像，在附近左低右高，因此在上单调递增. 由是奇函数，. 结合定义域和单调性，需满足， 解得， 所以原不等式的解集为. 10．已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求在时的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)对，恒成立，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2)略 (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质求解析式即可； （2）应用单调性的定义证明单调性； （3）问题化为在上恒成立，结合二次函数的性质求右侧的最大值，即可得. 【详解】（1）因为是奇函数，故有，且时，， 当时，，则，所以， 因此函数在时的解析式为； （2）函数在上单调递增，证明如下： 设，则，即， 所以函数在上单调递增； （3） 因为， 所以， 因为，代入得， 由（2）得在上单调递增，则恒成立， 即恒成立，令，， 令，所以，则的最大值为， 因此，所以的取值范围为. 11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式：． 【答案】(1)，； (2)略 (3)． 【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数定义求出解析式. （2）确定函数的单调性，再利用单调函数的定义推理得证. （3）利用奇函数的性质及单调性求出不等式的解集. 【详解】（1）由是定义在R上的奇函数，得，                         当时，，则                           所以函数在R上的解析式为，.   （2）函数在R上单调递增，理由如下： 任取，，且， 则 ，   由，得， ， 则，即， 所以函数在R上单调递增. （3）由是奇函数，得，   又在R上单调递增，则，解得，                         所以原不等式的解集为． 12．已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若函数，记函数的最小值，求的解析式； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用函数的奇偶性，结合已知条件求出函数在上的解析式； （2）利用函数单调性分情况讨论求出相应最小值，进而求出的解析式. 【详解】（1）已知是定义在上的奇函数，则， 若，则，则， 又因为为奇函数，则， 综上可得，． （2）当时，， 则函数开口向上，且对称轴的方程为， ①当时，函数在区间单调递增， 故当时，函数取得最小值，最小值是， ②当时，函数在单调递减，在单调递增， 故当时，函数取最小值，最小值是， ③当时，函数在区间单调递减， 故当时，函数取得最小值，最小值是， 所以函数的最小值． 题型三 由奇偶性解函数不等式 1．已知函数是定义在上的奇函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集为（     ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 且，则. 对于不等式， 若，因为在区间上单调递增，可得，不合题意； 若，由奇函数对称性可知在区间上单调递增， 可得，符合题意； 综上所述：不等式的解集为. 2．已知定义在上的偶函数，其部分图象如图所示，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】补全函数的图象，分、、三种情况解不等式，结合图象可得出关于的不等式，即可得出原不等式的解集. 【详解】因为是定义在区间上的偶函数，补充函数的图象如下图所示： 对于不等式， 若，则，可得或或， 解得或或， 此时； 若，则，可得，解得，此时. 显然满足不等式. 综上所述，不等式的解集为. 3．已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，得出函数的单调性，再利用函数的单调性和奇偶性解不等式. 【详解】由，可得， 设函数，，则在上单调递增， 又因为为定义在上的奇函数，，所以为偶函数， 在上单调递减，而不等式， 又因为，所以， 所以不等式的解集为. 4．已知为上的奇函数，，若对，当时，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件确定的单调性和奇偶性，进而可求解. 【详解】由，得， 因为，所以，即， 设，则在上单调递减， 而，则，解得； 因为为上的奇函数，所以， 则为上的偶函数，故在上单调递增， 而，则，解得； 当时，，故该点不在解集内. 综上，原不等式的解集为. 5．已知函数是定义在上的函数，且满足，，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用偶函数的定义求出参数的值，再根据函数单调性列出不等式组求解即可. 【详解】由题意知，函数是定义在上的偶函数， 则，解得， 因为，当时，有, 所以函数在区间上单调递减，则由，得, 解得，即， 所以不等式的解集是 6．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质得出在上单调递减， 再根据单调性及奇偶性解不等式即可． 【详解】因为是偶函数，即关于直线对称，在上单调递增， 所以在上单调递减， 又，所以， 或，解得或． 7．若奇函数定义域为，在区间上单调递增且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原不等式等价于或，然后由函数单调性，奇偶性结合题设可得答案. 【详解】因为奇函数在区间上单调递增且， 所以函数在区间上单调递增且， 因此，当或时，；当或时，， 不等式等价于或， 解得或， 所以不等式的解集为. 8．设函数，则使得成立的的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】探讨函数的奇偶性和单调性，再借助性质求解不等式即可. 【详解】函数的定义域为R， 因为，所以是偶函数， 因为函数，在上单调递增， 因此函数在上单调递增， 若，则， 得，解得或， 所以的取值范围为. 9．已知是定义在上的奇函数，对任意且，都有，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性，结合已知条件判断函数的单调性，再分类讨论解不等式即可. 【详解】因为对任意且， 都有，则在上单调递减， 又是定义在上的奇函数，则在上单调递减， 又，则，即， 当或时，，当或时，， 对于不等式，当时，则，即， 当时，则，即， 所以不等式的解集是. 10．若定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，将不等式转化为不等式组，再结合偶函数及函数单调性求解. 【详解】由上的偶函数满足，得， 不等式， 化为或， 而函数在区间上单调递减， 则或， 解得或，所以原不等式的解集为. 11．已知 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，则 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的对称性得到函数在上单调递减， 将不等式转化为含自变量绝对值的不等式，结合定义域求解即可. 【详解】因是定义在上的偶函数， 且在上为增函数，则在上单调递减. 则等价于， 可得，即， 由①得；由②得或 故 的解集为. 12．已知函数 则不等式的解集为（    ） A． B． C．(1，0) D． 【答案】B 【分析】首先化简函数，再判断函数的奇偶性和单调性，根据函数的性质解不等式. 【详解】， 设，，所以为偶函数， 所以，是偶函数， 当时，， 所以在单调递增，根据复合函数单调性可知，在单调递增， 所以不等式， 即，两边平方，整理为， 解得：或 所以不等式的解集为. 13．定义在上的偶函数，当时，，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用偶函数性质求出函数在上的分段表达式并明确其在上单调递增，再由单调性将转化为，最后解绝对值不等式得到的取值范围． 【详解】当时，，， 又是定义在上的偶函数，所以， 所以，如图所示， 因为，所以，解得， 所以满足的的取值范围是． 14．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且，所以. 又函数在上单调递增，所以函数在上单调递减. 所以等价于，解得. 15．已知：定义在上的偶函数，当时为减函数，若，则实数a的取值范围是_______________． 【答案】 【分析】利用偶函数的性质和单调性求解即可. 【详解】因为定义域为，所以和都必须在定义域内： ，解得：. 是偶函数，满足，因此可转化为： , 又因为时为减函数， 所以 则， 所以的取值范围是. 16．设函数，则满足的实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】记，然后判断的单调性和奇偶性，再利用这些性质求解抽象不等式即得. 【详解】记，定义域为， 因为，所以为偶函数， 因为当时，单调递增，由复合函数性质可知单调递增， 又在上单调递增，所以在上单调递增， 则不等式， 平方得，解得，即. 17．已知函数，则不等式的解集为_____________． 【答案】 【分析】先利用函数奇偶性的定义得到函数为奇函数，再利用导数分析函数的单调性得到函数在上单调递增，进而根据奇函数的性质转化不等式为，再根据单调性求解即可. 【详解】函数的定义域为， 且， 所以函数为奇函数. 又，当且仅当时等号成立， 则函数在上单调递增， 由，得， 则，即，解得或， 所以不等式的解集为. 18．已知函数，则不等式的解集为______． 【答案】 【详解】函数定义域为，恒成立，且不存在区间使恒为0， 所以在R上单调递增， 又，所以是奇函数， 由得， 所以，即，解得，所以不等式的解集为. 19．已知函数，且，则实数的取值范围为_____________． 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性把不等式转化为,再由函数的单调性求解. 【详解】由得， 故函数的定义域为f，定义域关于原点对称， 因为，因此是偶函数， 当时，，其中和在上均为增函数， 故在上单调递增；由偶函数对称性可知，在上单调递减， 已知，根据偶函数性质，可转化为, 又因为在上单调递增，所以, 当时：，由对数函数单调性得, 当时：，由对数函数单调性得, 实数的取值范围为 20．设偶函数满足，则________． 【答案】 【分析】分析函数在上的单调性，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为函数为偶函数，且当时，， 故函数在上为增函数，且， 由得，可得，即或， 解得或，故. 题型四 函数周期性求解 1．已知函数，则（    ） A．最小值为0，且最小正周期为 B．最大值为2，且最小正周期为 C．最小值为0，且最小正周期为 D．最大值为2，且最小正周期为 【答案】B 【分析】可将函数看作一个关于的二次函数，利用二次函数的性质求最值，再利用周期的性质判断最小正周期 【详解】函数， 设，， 由二次函数的性质可得，当时，函数取最小值， 当时，函数取最大值， 因此，当时，函数有最小值，当时，函数有最大值. 函数的最小正周期为，函数的最小正周期为， 因为是的两倍，猜测函数的最小正周期为或， 而，所以不是函数的周期； 而，所以是函数的周期； 因此，函数的最小正周期为. 2．已知奇函数满足，且当时，（）．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用奇函数性质求出参数，再推导函数周期，将转化为区间内的函数值计算即可． 【详解】因为是定义域包含的奇函数，故，即， 由，可得， 所以是周期为4的周期函数， 因为，所以， 又，令得， 所以． 3．若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造可得是周期为2的周期函数，并求出，从而求出答案 【详解】因为，所以， 设，则， 所以是周期为2的周期函数， 中，令得， 因为，联立可得. 因为，所以，解得. 4．已知是定义在上的函数，，，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，得；由，得， 则，即，因此，函数的周期为4， 则，又，于是，， 所以“”是“”的充分不必要条件． 5．已知定义在上的偶函数满足，当时，，则（   ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】分析可知函数的一个周期为6，根据周期性结合偶函数定义运算求解即可. 【详解】因为，可得， 则，可知函数的一个周期为6， 又因为函数为定义在上的偶函数，则， 且当时，，所以. 6．设是定义域为的奇函数，且．若，则（　　） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知推得函数的周期为4，再应用周期性求函数值. 【详解】由题意，， 所以4是的周期，故 故选：D 7．已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合奇函数的性质求出函数的周期，进而求出函数值. 【详解】由是定义在上的奇函数，得， 则，即， 由，得，于是， 即，因此， 函数是以4为周期的周期函数，又当时，， 所以. 故选：A 8．下列函数中，最小正周期为的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】A选项，利用最小正周期的定义推出错误；B选项，作出的图象可得B正确；C选项，利用公式直接进行求解；D选项，画出的图象，不是周期函数，故选项D错误. 【详解】对于选项A，利用定义法， ，故A不符合题意． 对于选项B，作出函数的图象，由图可知， 函数的最小正周期为，故选项B符合题意． 对于选项C，根据公式法，的最小正周期为，故选项C不符合题意． 对于选项D，依题可得函数，其图象如图所示． 由图可知，函数不是周期函数，故选项D不符合题意． 故选：B 9．（多选）已知函数，则（   ） A．为偶函数 B．存在，使得 C．的最小正周期为 D．的最大值为3 【答案】AC 【分析】根据奇偶函数的定义，通过与的关系来判断；是否存在，使得，需分析和的取值范围，结合非负性判断；求最小正周期，先验证与是否相等，再判断是否存在更小的正周期满足；求函数最大值，可利用绝对值的性质，结合三角函数的有界性，或通过分类讨论去掉绝对值转化为普通三角函数求最值. 【详解】对于A，，其定义域为， 又， 为偶函数，故A正确. 对于B，，，， 当且仅当且同时成立时，； ，不存在使得且能同时成立， 即不存在，使得，故B错误. 对于C，, 是函数的一个周期； 假设存在，使得恒成立. 令，则，即. ①当时，，，则，得； ，， 整理得，解得或； 当时，得，不符合题意，舍去； 当时，得； 但当时，; 不存在，使得恒成立. ②当时，； ③当时，，，则，得； ，， 整理得，解得或； 当时，得，不符合题意，舍去； 当时，得； 但当时，； 不存在，使得恒成立. 综上所述，不存在，使得恒成立. 的最小正周期为，故C正确. 对于D，函数的最小正周期为， 当时，，其中，； 此时， 的最大值为； 当时，，其中，； 此时， 的最大值为； 的最大值为，故D错误. 10．（多选）已知函数，则（ ） A．是周期函数 B．的最小值是 C．的图象有对称轴 D．的图象有对称中心 【答案】BC 【分析】根据周期函数的定义，判断A，根据三角函数的性质，即可判断B，根据对称函数的定义，即可判断CD. 【详解】对于选项A：若函数是周期函数， 则， 对任意都成立， 所以， 注意到，可知与有关，不是常数， 所以不是周期函数，故A错误； 对于选项B：设， 则的最小值为，故B正确； 对于选项C：因为， 所以的图象至少有一条对称轴，故C正确； 对于选项D：假设是函数的对称中心，则， 两边求导可得 ， 所以与不相等，假设不成立 所以函数没有对称中心，故D错误. 故选：BC. 11．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的最小值为 C．在上单调递增 D．是函数的周期 【答案】BCD 【分析】取值计算判断A；分段讨论求出最小值判断B；确定单调性判断C；利用周期的定义判断D. 【详解】函数的定义域为R， 对于A，，， 即，则的图象关于直线不对称，A错误； 对于B，当时，；当时，，的最小值为，B正确； 对于C，当时，在上单调递增，C正确； 对于D，，是函数的周期，D正确. 故选：BCD 12．（多选）已知函数的周期为2，且在上单调递增，则不符合条件的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于ABD：举反例说明即可；对于C：根据周期性定义结合正弦函数单调性分析判断. 【详解】对于选项A：因为， 即，可知函数在上不单调，故A不符合条件； 对于选项B：因为， 即，可知函数在上不单调，故B不符合条件； 对于选项C：因为， 可知函数的一个周期为2， 若，则，可得，， 且在上单调递增，所以在上单调递增，故C符合条件； 对于选项D：因为， 即，可知函数在上不单调，故D不符合条件； 故选：ABD. 13．（多选）设函数，则（    ） A．是周期函数 B．的图象有对称轴 C．在区间上单调递增 D．的图象关于点中心对称 【答案】ABD 【分析】A选项，，得到A正确；B选项， ，故B正确；C选项，先求出，计算出，故C错误；D选项，，D正确. 【详解】由题意得，故， 定义域为，关于原点对称； A选项，， 是函数的一个周期，故A正确； B选项，， 关于，故B正确； C选项，，；， 显然，故在区间上不单调递增，故C错误； D选项， ， 的图象关于点中心对称，D正确． 故选：ABD． 14．（多选）已知函数对任意都有，且函数是偶函数，当时，，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为2 B．函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线，对称 C．当时， D． 【答案】ACD 【分析】利用周期函数定义，结合单调性判断A；举例说明判断B；求出解析式判断C；利用周期性求值判断D. 【详解】对于A，由任意都有，得， 即2是的一个周期，而当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，因此函数的最小正周期为2，A正确； 对于B，由当时，，得，由函数是偶函数， 得，即函数的图象关于直线对称， 因此函数的图象关于点不对称，B错误； 对于C，当时，，，C正确； 对于D，由对任意都有，得， 函数的周期为4，，， 因此，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：涉及较大自变量的抽象函数的函数值问题，根据给定的函数性质，求出函数的周期是解题的关键. 15．已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则________． 【答案】8 【详解】因为，所以，即函数的周期为6， 又函数为偶函数，所以. 16．已知定义在上的偶函数满足：对任意，有，则__________. 【答案】 【分析】根据已知等量关系及偶函数的性质得到是周期为的周期函数，再应用周期性求函数值. 【详解】对任意，， 令，得，化简得， 因为是偶函数，所以， 令，得，即， 综上，， 所以，即是周期为的周期函数， 因此. 17．已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时，，则函数的图象在区间上与轴的交点有______个． 【答案】5 【分析】利用周期函数的性质，将函数在整个区间上的零点个数问题转化为在一个周期内的零点个数问题，再结合一个周期内的函数表达式求出该周期内的零点个数，最后根据周期数累加得到总个数. 【详解】当时，令， 所以的图象与轴交点的横坐标分别为，． 当时，，又的最小正周期为2， 所以，所以， 所以当时，的图象与轴交点的横坐标分别为，， 又，综上可知，共有5个交点． 故答案为：. 18．已知函数是周期为1的奇函数，则______.（写出一个即可） 【答案】 【分析】根据函数的周期性和奇偶性即可判断. 【详解】设函数为，则函数是周期为； 又函数的定义域为，且， 所以函数是奇函数； 所以周期为1的奇函数可以为. 故答案为： 19．已知函数是定义在上的奇函数，，恒有，且当时，，则____ 【答案】3 【分析】由题设知4为函数的周期，根据已知求得，结合周期性即可得结果. 【详解】因为，则， 所以，可知4为函数的周期， 且， 当时，，则， 所以. 故答案为：3 20．已知是定义域为的奇函数，若为偶函数，，则的值为_______. 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性，即可求得函数的周期，利用函数的周期性，即可求得函数值． 【详解】∵为偶函数，∴， 又是定义域为的奇函数，∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是一个周期为20的周期函数， ∴， ， ∴． 故答案为：． 21．已知函数满足，且，则______；______． 【答案】 【分析】根据题意可得，即可求；分析可知函数的一个周期为6，结合周期性运算求解即可. 【详解】因为，则，可得， 则，所以函数的一个周期为6， 又因为，则， 且，即， 则， 可得， 所以. 故答案为：；. 22．已知定义在R上的函数满足，当时，，若，则的最小值为_______． 【答案】4 【分析】根据题设得到，再应用周期性及解析式得，最后应用基本不等式“1”的代换求的最小值. 【详解】由题设，则， 所以，则， 当且仅当时取等号，故的最小值为4. 故答案为：4 23．设函数的定义域关于原点对称，，且．若，求证：的周期为． 【答案】 证明：由得， ， . 故的周期为． 24．已知函数是上的奇函数，且的图象关于直线对称，当时，， (1)求证：是周期函数； (2)当时，求的解析式； (3)计算的值． 【答案】(1)略 (2)， (3)0 【分析】（1）由函数的奇偶性、对称性可得答案； （2）利用的图象关于直线对称可得答案； （3）利用是以4为周期的函数可得答案． 【详解】（1）证明： 由函数为奇函数，则， 函数的图象关于直线对称，则，故 所以， 所以是以4为周期的函数； （2）当时，，又的图象关于直线对称， 则，； （3），，，， 又是以4为周期的函数， 故． 25．已知函数，求函数的周期． 【答案】 【分析】已知函数符合的形式，且正、余弦函数均为周期函数，因此考虑运用最小公倍数法解题，根据可得，，依据最小公倍数法求得未知的，代入中，即可求得函数的周期． 【详解】的最小正周期为，的最小正周期为， 函数的周期，, 把、代入，得， ，为正整数且互质，，， 函数的最小正周期为． 题型五 周期性与奇偶性应用 1．若函数对任意都有，是偶函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查周期与奇偶性，先利用求出函数的周期，再利用是偶函数即可求解. 【详解】由于，故， 所以，函数的周期为， ， 因为是偶函数，所以，故 即，所以. 2．已知定义在R上的函数满足条件，且函数是偶函数，当时，，当时，的最小值为，则a的值等于（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】借助函数的奇偶性与周期性，求出参数的值. 【详解】已知函数是偶函数，所以，即函数图像关于对称，即， 当时，，所以， 因为，所以， 即， 在区间中，的最小值为，解得. 3．定义在上的奇函数满足且，在区间上，则不等式在上的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】奇函数得，又， 所以，即函数关于点对称． 在区间上， 则在上单调递增，且，， 由题意可得示意图，则在上的解集为． 4．已知是上最小正周期为2的周期函数，且时，，则函数的图象在区间上与轴交点的个数为（   ）. A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】先求出一个周期内函数的零点，再利用周期性拓展到给定区间即可. 【详解】 当时，令， 解得或.结合周期为2可得. 因为是上最小正周期为2的周期函数， 所以有. 所以在区间上解的个数为7， 即函数的图象在区间上与轴的交点的个数为7. 5．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇偶性和对称性可得函数周期为，同时可求得，结合周期性即可求解. 【详解】因为，所以， 且的图象关于对称， 又是定义域为的奇函数， 所以的图象关于对称，且，所以， 所以，故的一个周期为， 又， 所以， 所以，故D正确． 6．已知的定义域为，为偶函数，为奇函数，则下列说法错误的是（    ） A． B．的图象关于点中心对称 C．4为函数的一个周期 D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性对函数的对称点与周期进行计算. 【详解】已知为奇函数，所以， 令，即， 即，所以的图象关于点中心对称，正确； 令，即， 所以，即，正确； 已知为偶函数，所以， 因为，将替换为， 得， 将替换为，得， 联立等式，得，即4为函数的一个周期，正确； 因为周期为4，，即， 又因为为奇函数，所以，即，错误. 7．已知为定义在上的偶函数，为奇函数，，则（    ）． A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据所给函数的奇偶性，求出函数的周期，利用周期求解. 【详解】因为为奇函数， 所以，即， 因为为定义在上的偶函数， 所以，故， 所以， 所以. 8．已知函数满足，且，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断出函数为奇函数，再判断出函数的周期为，由此求解即可. 【详解】因为， 所以函数为奇函数， 又因为， 所以函数的周期为，且当时，， 所以. 9．已知定义在上的偶函数，当时，，若为奇函数，且6，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数和是奇函数的性质推导函数周期为4，结合已知条件求出解析式的系数，再利用周期性和对称性转化到已知解析式的区间内计算即可。 【详解】已知是定义在上的偶函数，故. 又是奇函数，对任意有， 且在处有定义，故. 将中的替换为，得, 结合偶函数性质，故. 再将替换为，得，进一步得， 即是周期为4的周期函数；当时，， 所以， 又因为，所以,解得， 由周期性得，， 代入解析式： . 10．已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（    ） A．71 B．-71 C． D． 【答案】C 【详解】因为为偶函数，所以， 所以， 又因为为奇函数，所以， 所以，所以， 所以是以为周期的函数， . 11．已知定义在R上的函数满足是偶函数，，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先由是偶函数得到函数对称轴，再结合给出的对称关系式推导函数周期，最后利用周期性和对称关系计算的值. 【详解】∵ 是偶函数，∴ ，即. 又∵ ，将代入上式得 . 令，则，代入得 ， ∴ ， ∴ 函数的周期为. ∵ ，∴ . 在中令，得，即， 解得 ，即. 12．已知是定义在上的奇函数，，当时，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用奇函数性质、推导函数的对称性和周期性，结合区间上的函数表达式列方程求解参数. 【详解】已知是上的奇函数，故且； 结合，将替换为得，可得， 则， 即的一个周期为4，故； 由可知关于直线对称，因此， 结合得，， 故； 当时，，代入得，即； 代入和，由得， 化简解得； 将代入，解得； 综上. 13．已知定义域为的偶函数满足，且时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以， 因为，所以函数的周期为4， 所以， 又，所以. 所以. 14．（多选）已知定义域为的函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．为奇函数 C．是周期为4的函数 D．为偶函数 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义、函数对称性逐项分析判断. 【详解】为奇函数，得到， 的图象关于直线对称，则， 对于A，由，得的图象关于点中心对称，则A正确； 对于C，由，得， 又，则，即， 故，所以，则是周期为的函数，则C正确. 对于BD，因为函数的定义域为， 由得：， 所以函数为偶函数，故D正确，B错误. 15．（多选）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则下列说法正确的是（     ） A．的图象关于直线对称 B．是以4为周期的周期函数 C． D． 【答案】AD 【分析】A选项，由可得，结合为偶函数以及对称轴的定义即可判断；B选项，先求出的周期，再由可得的周期；C选项，令可得；D选项，根据及可类推出即可求解. 【详解】对于A：因为为奇函数，所以，又， 所以，所以， 所以， 又为偶函数，则，所以， 则的图象关于直线对称，故A正确； 对于B：因为，所以， 又为奇函数，所以，所以， 又为偶函数，，所以， 则，即，即， 所以是以8为周期的周期函数， 由于，则， 即也是以8为周期的周期函数，故B错误； 对于C：由于为奇函数，则，令，则， 所以，故C错误； 对于D：由于，，则，， 依次类推：，所以，故D正确. 16．（多选）已知是定义域为的奇函数，且为偶函数，则（    ） A． B．的图象关于点对称 C．若函数在上单调递增，则不等式的解集为 D．若，则 【答案】ABD 【分析】对于A，由为奇函数与为偶函数推出，进而即可得到周期；对于B，由两边求导得，即可得到关于对称；对于C，结合周期性可知的解集是区间的无限并集，不只是；对于D，求出一个周期内四项之和为0，2020是4的整数倍，即可得到总和为0． 【详解】对于A，由于是偶函数，故, 又因为是奇函数，故， 所以， 用替换，得， 再用替换，可得，故A正确； 对于B，由于，故， 因此关于中心对称，故B正确； 对于C，由于是奇函数，且在上单调递增，， 所以当时，， 因为是偶函数，故关于对称，故在上单调递减， 又，故当时，， 由于的周期，所以的解集不只有，而是，故C错误； 对于D，，，， 故， 因此，故D正确． 17．（多选）已知函数的定义域为，和均为偶函数，且当时，，则（   ） A． B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上单调递增 D．函数的图象关于点中心对称 【答案】BC 【分析】先由和为偶函数推导函数的对称性、周期性，再结合的解析式逐一判断选项. 【详解】是偶函数，故，图象关于对称； 是偶函数，故，图象关于对称； 所以， 故是周期为2的周期函数， 选项A：，错误； 选项B：对任意，，，故，图象关于直线对称，正确； 选项C：当时，，故，该二次函数开口向下，对称轴为，在上单调递增，正确； 选项D：若关于中心对称，则，又，所以，令，得，但，矛盾，错误. 18．（多选）已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的一个周期为4 C． D．的图象关于点对称 【答案】ABC 【分析】根据抽象函数的对称性，及条件的变形即可判断ABD选项，再通过函数的周期可求解选项C 【详解】对于A：因为为偶函数，所以， 所以关于直线对称，故A正确. 对于B：因为， 因为为奇函数，所以，即， ，所以的最小正周期为4，故B正确. 对于C：因为， 所以； 所以， 故C正确， 对于D：由B的解析可知， 所以的图象关于点对称.故D错误 19．（多选）设是定义在上的偶函数，且，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由条件可得函数周期，再结合偶函数的性质，逐个选项判断即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以， 又，即 将替换为，可得， 所以，的周期为， 即，C错， 当时，， 则时，， 由，得时，， 所以，A正确， 且，B正确， 另外，，也可得到C错， 对于D，，D正确. 20．已知函数满足，则的值为________． 【答案】1 【分析】先由求出函数的周期,利用周期性即可求解. 【详解】根据题意,所以,因此函数的周期为4． 因为,所以,,; 所以 21．已知是定义在上的奇函数，，且当时，，则函数的图象与函数的图象有___________个交点． 【答案】17 【详解】当时，，所以函数在上单调递增， 又是定义在上的奇函数，所以函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，又， 所以函数在上的值域为， 由，可得关于直线对称， 所以函数在上单调递减，值域为， 由，得， 所以，所以函数是以4为周期的周期函数， 函数在上单调递增，由，得， 又，所以函数的图象与函数的图象在有一个交点， 在，（且）上每个周期内各有2个交点， 所以函数的图象与函数的图象有17个交点. 22．已知是定义域为的偶函数，且，当时，，则________． 【答案】 / 【分析】先利用偶函数性质将转化为，再结合周期为2的性质将自变量转化到区间内，代入已知解析式计算即可. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以. 由可知，函数是周期为的周期函数， 因此. 因为，所以， 故. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 函数的奇偶性和周期性 基础知识梳理 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特征 奇函数 设函数的定义域为如果都有且,那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 偶函数 设函数的定义域为如果都有且,那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 （1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件. （2）若则奇（偶）函数定义的等价形式如下: ①为奇函数; ②为偶函数. 2.函数的周期性 周期 函数 对于函数如果存在一个非零常数使得当取定义域内的任何值时,都有,那么就称函数为周期函数,称为这个函数的周期 最小 正周期 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期 3.奇偶性常考结论 （1）若奇函数存在最值,则 （2）若且为奇函数,则特别地,若存在最值,则 （3）若函数是奇函数且在处有定义,则一定有若函数是偶函数,则 （4）奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性. （5）奇 奇 奇,奇×奇 偶,偶 偶 偶,偶×偶 偶,奇×偶 奇 4.周期性常考结论 （1）已知且 ①若函数的图象关于直线和对称,则函数的一个周期为 ②若函数的图象关于点和点对称,则函数的一个周期为 ③若函数的图象关于直线和点对称,则函数的一个周期为 （2）若,则是的一个周期. 题型一 函数奇偶性的判断 1．已知函数，若正实数m，n满足，则的最小值是（） A．13 B．9 C．7 D．3 2．若且，则函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 3．已知函数，则是（     ） A．奇函数，且在单调递增 B．偶函数，且在单调递增 C．奇函数且在单调递减 D．偶函数，且在单调递减 4．下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．在四个函数，，，中以为周期在上单调递增的偶函数是（    ） A． B． C． D． 6．(多选)已知函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．方程无解 D．不等式的解集为 7．(多选)已知函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．在上单调递减 C．有三个不等的实根，则 D．已知数列是公差为1的等差数列，则函数在上的平均变化率的最大值为2 8．（多选）函数是（    ） A．最小正周期为 B．最小正周期为 C．奇函数 D．偶函数 9．(多选)使函数为奇函数的θ的值有（    ） A． B． C． D． 10．判断函数的奇偶性. 11．判断下列各函数是否具有奇偶性 (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 12．已知函数对任意实数、恒有，当时，，且. (1)判断的奇偶性； (2)求在区间上的最大值； 题型二 由奇偶性求函数解析式 1．(多选)设函数的定义域为，定义，．若为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．的解析式为 C．在区间上单调递增 D．的最大值为 2．(多选)函数是定义域为的奇函数，当时，，下列结论正确的有（     ） A．当时， B．方程有个不等实根 C．函数有最大值 D．，， 3．(多选)已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，均有.当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的一个周期为4 C．当时， D． 4．若奇函数的定义域为，当时，，则当时，_______． 5．已知：函数是定义在上的偶函数，当时，（a为实数）． (1)当时，求的解析式； (2)若，试判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)是否存在a，使得当时，有最大值1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 6．已知函数是定义在上的偶函数，其中、且． (1)求函数的解析式及值域； (2)若，实数满足，求实数的取值范围． 7．已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数， ． (1)求函数，的解析式； (2)求不等式的解集． 8．已知为奇函数，为偶函数，且. (1)求，的解析式； (2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 9．已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)解不等式：. 10．已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求在时的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)对，恒成立，且，求的取值范围. 11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式：． 12．已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若函数，记函数的最小值，求的解析式； 题型三 由奇偶性解函数不等式 1．已知函数是定义在上的奇函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集为（     ）. A． B． C． D． 2．已知定义在上的偶函数，其部分图象如图所示，则的解集为（    ） A． B． C． D． 3．已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．已知为上的奇函数，，若对，当时，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数是定义在上的函数，且满足，，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．若奇函数定义域为，在区间上单调递增且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 8．设函数，则使得成立的的取值范围为（ ） A． B． C． D． 9．已知是定义在上的奇函数，对任意且，都有，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 10．若定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 11．已知 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，则 的解集为（    ） A． B． C． D． 12．已知函数 则不等式的解集为（    ） A． B． C．(1，0) D． 13．定义在上的偶函数，当时，，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 15．已知：定义在上的偶函数，当时为减函数，若，则实数a的取值范围是_______________． 16．设函数，则满足的实数的取值范围是__________． 17．已知函数，则不等式的解集为_____________． 18．已知函数，则不等式的解集为______． 19．已知函数，且，则实数的取值范围为_____________． 20．设偶函数满足，则________． 题型四 函数周期性求解 1．已知函数，则（    ） A．最小值为0，且最小正周期为 B．最大值为2，且最小正周期为 C．最小值为0，且最小正周期为 D．最大值为2，且最小正周期为 2．已知奇函数满足，且当时，（）．则的值为（    ） A． B． C． D． 3．若，且，则（   ） A． B． C． D． 4．已知是定义在上的函数，，，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知定义在上的偶函数满足，当时，，则（   ） A． B．6 C．8 D．10 6．设是定义域为的奇函数，且．若，则（　　） A．0 B． C． D． 7．已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（    ） A． B． C． D． 8．下列函数中，最小正周期为的函数是（   ） A． B． C． D． 9．（多选）已知函数，则（   ） A．为偶函数 B．存在，使得 C．的最小正周期为 D．的最大值为3 10．（多选）已知函数，则（ ） A．是周期函数 B．的最小值是 C．的图象有对称轴 D．的图象有对称中心 11．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的最小值为 C．在上单调递增 D．是函数的周期 12．（多选）已知函数的周期为2，且在上单调递增，则不符合条件的有（   ） A． B． C． D． 13．（多选）设函数，则（    ） A．是周期函数 B．的图象有对称轴 C．在区间上单调递增 D．的图象关于点中心对称 14．（多选）已知函数对任意都有，且函数是偶函数，当时，，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为2 B．函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线，对称 C．当时， D． 15．已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则________． 16．已知定义在上的偶函数满足：对任意，有，则__________. 17．已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时，，则函数的图象在区间上与轴的交点有______个． 18．已知函数是周期为1的奇函数，则______.（写出一个即可） 19．已知函数是定义在上的奇函数，，恒有，且当时，，则____ 20．已知是定义域为的奇函数，若为偶函数，，则的值为_______. 21．已知函数满足，且，则______；______． 22．已知定义在R上的函数满足，当时，，若，则的最小值为_______． 23．设函数的定义域关于原点对称，，且．若，求证：的周期为． 24．已知函数是上的奇函数，且的图象关于直线对称，当时，， (1)求证：是周期函数； (2)当时，求的解析式； (3)计算的值． 25．已知函数，求函数的周期． 题型五 周期性与奇偶性应用 1．若函数对任意都有，是偶函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知定义在R上的函数满足条件，且函数是偶函数，当时，，当时，的最小值为，则a的值等于（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．定义在上的奇函数满足且，在区间上，则不等式在上的解集为（   ） A． B． C． D． 4．已知是上最小正周期为2的周期函数，且时，，则函数的图象在区间上与轴交点的个数为（   ）. A．6 B．7 C．8 D．9 5．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（   ） A． B． C． D． 6．已知的定义域为，为偶函数，为奇函数，则下列说法错误的是（    ） A． B．的图象关于点中心对称 C．4为函数的一个周期 D． 7．已知为定义在上的偶函数，为奇函数，，则（    ）． A． B．0 C．1 D．2 8．已知函数满足，且，当时，，则（    ） A． B． C． D． 9．已知定义在上的偶函数，当时，，若为奇函数，且6，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（    ） A．71 B．-71 C． D． 11．已知定义在R上的函数满足是偶函数，，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．已知是定义在上的奇函数，，当时，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 13．已知定义域为的偶函数满足，且时，，则（    ） A． B． C． D． 14．（多选）已知定义域为的函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．为奇函数 C．是周期为4的函数 D．为偶函数 15．（多选）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则下列说法正确的是（     ） A．的图象关于直线对称 B．是以4为周期的周期函数 C． D． 16．（多选）已知是定义域为的奇函数，且为偶函数，则（    ） A． B．的图象关于点对称 C．若函数在上单调递增，则不等式的解集为 D．若，则 17．（多选）已知函数的定义域为，和均为偶函数，且当时，，则（   ） A． B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上单调递增 D．函数的图象关于点中心对称 18．（多选）已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的一个周期为4 C． D．的图象关于点对称 19．（多选）设是定义在上的偶函数，且，当时，，则（     ） A． B． C． D． 20．已知函数满足，则的值为________． 21．已知是定义在上的奇函数，，且当时，，则函数的图象与函数的图象有___________个交点． 22．已知是定义域为的偶函数，且，当时，，则________． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $