四川省成都市某中学2026-2027学年高二上学期数学综合训练卷（二）

**基本信息** 融合鹳雀楼文化、DeepSeek大模型等真实情境，分层考查概率统计、立体几何、三角函数等核心知识，适配高二周测的基础巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|8/40|概率（第1、8题）、统计（第2、3题）|第4题结合期望方差分析投篮稳定性，考查数据观念| |多选|3/18|频率分布直方图（第9题）、函数性质（第11题）|第10题含参数数据的众数、分位数分析，体现推理能力| |填空|3/15|解三角形（第12题）、分层抽样方差（第13题）|第14题多盒子取球概率，强化数学应用意识| |解答|5/77|统计图表（第15题）、立体几何折叠（第17题）、仿射坐标系（第19题）|第18题以大模型培训为背景考查概率，第19题新定义情境发展创新思维|

高2025级高二上期数学综合训练卷（二） 班级 姓名 考号 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，则袋中球的总个数为（ ）A. B. C. D. 2．已知一组数据为：1，2，2，3，3，3，4，6，8，9，则该组数据的第70百分位数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．某工厂生产A，B，C三种不同型号产品，产量之比为．现用分层抽样的方法抽取1个容量为的样本，若样本中B种型号的产品有24件，则样本容量的值为（     ） A．16 B．40 C．80 D．90 4．某班要从甲、乙、丙、丁四名同学中选出一人参加学校的投篮比赛，根据以往的数据，得到这四名同学在连续5次投篮中，投中次数的概率分布可以分别用下列四个图直观表示，如果从平均水平和发挥稳定性角度来考虑，应该选择参加比赛的同学为（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5．已知一组数据，且．若该组数据的众数是中位数的倍，则该组数据的平均数为（ ）A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 7.5 6．若一组数据的平均数为2，方差为3，对于数据，，，下列说法正确的是（   ） A．平均数为3，方差为5 B．平均数为4，方差为11 C．平均数为4，方差为12 D．平均数为3，方差为12 7．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（ ） A． B． C． D． 8．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{0，1，2，…，9}.若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为(　　)A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某中学高一年级100名学生的数学期中考试成绩的频率分布直方图如图所示，下列说法正确的有（   ） A．成绩落在区间的频率为0.3 B．这100名学生成绩的中位数为75 C．这100名学生成绩的平均数为76 D．成绩低于60分的学生人数为10人 10．已知一组数据，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则这组数据的众数为1 B. 若，则这组数据的分位数为3 C. 若，则这组数据的平均数的最小值为 D. 若，则这组数据的平均数的最小值为2 11．已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．当时，在上单调递增 B．若，且，则函数的最小正周期为 C．若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为3 D．若在上恰有4个零点，则的取值范围为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．中，角，，所对的边分别为，，，，，，则角的对边____________. 13．学校为了解学生身高(单位：cm)情况，采用按比例分层随机抽样的方法从3000名学生中抽取了一个容量为100的样本，其中男女生人数之比为，统计数据得到男生平均身高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为________ 14．甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．某市名学生在某次数学竞赛中的成绩的频率分布直方图如下： (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计这次数学竞赛成绩的中位数和平均数；（精确到0.1） (3)估计这次数学竞赛中63分以上的人数． 16．（15分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． (1)求；(2)若的面积为，求AB边上的中线CD的长． 17．（15分）如图1，四边形ABCD为菱形，是边长为2的等边三角形，点为AB的中点，将沿AB边折起，使，连接PD，如图2， (1)证明：； (2)求异面直线BD与PC所成角的余弦值； (3)在线段PD上是否存在点，使得平面MCN？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 18．（17分） 2025年8月21日，DeepSeek在官方公众号发文称，正式发布DeepSeek－V3.1模型，此次升级也标志着国产大模型在技术迭代与商业化探索中又迈出了关键一步．为强化相关技术的落实应用能力，某公司特针对A，B两部门开展专项技能培训． （1）已知该公司A，B两部门分别有3位领导，此次培训需要从这6位领导中随机选取2位分别负责第一天和第二天的工作，假设每人被抽到的可能性都相同，求这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天的概率； （2）此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮的培训结果均相互独立，至少两轮培训达到“优秀”才算合格，求甲培训合格的概率． 19．（17分）如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ仿射坐标系．若在θ仿射坐标系下，，则把有序数对叫作向量的仿射坐标，记为，若满足，则称为θ仿射坐标系下的“完美向量”．已知在θ仿射坐标系下，，． (1)若，求向量的仿射坐标，并直接写出两个“完美向量”的仿射坐标； (2)当，求与的夹角β的余弦值； (3)设，对任意实数t，恒成立，求θ的取值范围，求的最大值． 高2025级高二上期数学综合训练卷（二）答案 1．【答案】C 【详解】设袋中球的总个数为，由题意可得，解得.故选：C. 2．【答案】B 【详解】由题意可知这组数据有10个，且已经从小到大排列，求该组数据的第70百分位数， ，这组数据的第七位和第八位分别是4，6，其平均数为， 所以该组数据的第70百分位数是5. 3．【答案】C 【详解】设样本中A，B，C三种不同型号产品分别有个， 则，解得. 所以样本容量. ． 4．【答案】A 【详解】设甲同学在连续5次投篮中，投中次数为 则期望， 方差； 设乙同学在连续5次投篮中，投中次数为 则期望， 方差； 设丙同学在连续5次投篮中，投中次数为 则期望， 方差； 设丁同学在连续5次投篮中，投中次数为 则期望， 方差； 由以上期望结果可知，四名同学的平均水平相同，由以上方差结果可知，最小，故甲同学的发挥最稳定，应该选择甲同学参加比赛．故选：A 5．【答案】A 【详解】，这组数据为，则该组数据的众数是， 又该组数据的众数是中位数的倍，则中位数是，即，解得， 则该组数据的平均数为，故选：A． 6．【答案】D 【详解】由一组数据的平均数为2，方差为3，得， 因此数据，，的平均数为， 方差为. 7．【答案】B 【详解】，， ，则， 由正弦定理可得， 即， 则. 8．【答案】A 【详解】由题意，可知甲乙两人各猜一个数字，共有 (种)猜字结果， 其中满足的有： 当时，；当时，；当 时，； 当 时，；当 时，；当 时，； 当 时，；当 时，；当 时，； 当 时，，共有种，所以他们“心有灵犀”的概率为，故选A. 9．【答案】AC 【详解】A选项，由频率分布直方图可得区间频率为，A正确； B选项，设中位数为，则，解得，B错误； C选项，平均数为，C正确； D选项，成绩低于60分的学生人数为，D错误. 10．【答案】ABC 【详解】对于A，数据中1出现次数最多，则众数为1，故A正确； 对于B，数据从小到大排序为1，1，1，2，3，3，4，4，又， 则这组数据的分位数为第六个数据，即3，故B正确； 对于CD，由，可得，当且仅当时取等号， 则平均数最小值为，故C正确，D错误.故选：ABC 11．【答案】AD 【详解】对于A，当时，，，则， 由正弦函数单调性可知在上单调递增，故A正确； 对于B，由可知，一个为函数的最大值，一个为函数的最小值. 又因为，则当且仅当，即，所以函数的最小正周期为π，故B错误； 对于C，若的图象向左平移个单位长度后，得到的函数解析式为， 其图象关于轴对称，则，，所以，， 又因为，则的最小值为4，故C错误； 对于D，，，则， 若在上恰有4个零点，则当且仅当，得，故D正确. 12．【答案】 【详解】在中，因为，所以根据正弦定理有， 又，则，， 由， 得. 故答案为： 13．【答案】220 【详解】根据题意，由于男女生人数之比为，则样本中男女生人数之比为， 其中，男生平均身高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169， 则样本的平均数， 样本的方差， 用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为220． 14．【答案】 ①. ## ②. ## 【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为， 所以甲盒中黑球个数为，白球个数为；乙盒中黑球个数为，白球个数为； 丙盒中黑球个数为，白球个数为；记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A，所以，；记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件， 黑球总共有个，白球共有个，所以，．故答案为：； 15．【答案】(1) (2)估计中位数为77.1，平均数为76.5 (3)855人 【详解】（1）由题意得，解得； （2）由（1）得成绩落在的频率为，落在的频率为，落在的频率为，落在的频率为，落在的频率为， 因为，所以中位数落在上， 则可估计中位数为， 平均数为； （3）设为63分以上的频率，为63分以上的人数， 则，所以， 故63分以上的人数估计为855人． 16．【答案】(1)(2) 【详解】（1）在中，因为，根据正弦定理得： ，因为，所以. 根据余弦定理. （2）由（1）知，因为， 所以. 因为的面积为，所以， 解得，进而. 根据余弦定理可得. 所以根据余弦定理 . 因为为线段，其长度取正值，所以. 所以边上的中线的长为. 17．【答案】(1)证明见解析 (2)(3)存在， 【详解】（1）连接，因为是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，所以. 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）在上取点Q，使得，设，连接，， 因为，所以， 在中，，所以， 所以或其补角为异面直线BD与PC所成的角，因为，所以， 又， ， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线BD与PC所成角的余弦值为. （3）假设线段上存在点，使得平面， 因为平面，平面，平面平面， 所以，又，所以. 所以线段PD上存在点N，使得平面，且， ． 18．【答案】（1） （2） 【解析】（1）记部门的3名领导为，部门的3名领导为， 从这6位领导中随机选取2位分别负责第一天和第二天的工作，不同结果有： ， 共30种，这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天，不同结果有：共18种， 所以这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天的概率为. （2）记 “每位员工经过培训合格”， “每位员工第轮培训达到优秀”（）， 则，， 依题意， ， 所以每位员工经过培训合格的概率为. 19．【答案】(1)仿射坐标，，(2)(3) 【详解】（1），仿射坐标， ， 即或，或， 所以或，或，， 所以，为“完美向量”. （2），， ，， ， ， ． （3）， 由得， ， 得到， 对任意恒成立．因为，所以， ，，所以， ， 令， 因为，所以，， 所以的最大值为，当且仅当时，取等号． 4 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $