2026年高三数学秋季开学学情自测卷02（上海专用）

**基本信息** 2026年高三开学数学自测卷，沪教版内容全覆盖，通过绝对零度实验数据处理、军舰航行解三角形等真实科学情境，结合梯度化问题设计，考查数学眼光观察现实世界、思维推理及语言表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|集合、数列、立体几何体积等|基础巩固，如第3题等差数列求和| |选择题|4/18|概率、双曲线离心率等|能力辨析，如15题双曲线离心率最值| |解答题|5/78|统计（实验数据）、函数导数、椭圆等|创新应用，17题结合实验数据预估绝对零度，21题探究函数零点个数|

2026年秋季高三开学学情自测卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：沪教版全部内容 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知全集，集合，则_____. 2．不等式的解集是__________. 3．已知等差数列中，，，则该数列前6项的和为______. 4．的展开式中含的项的系数是______． 5．函数，的值域为______． 6．随机变量X的概率分布为，则该随机变量的均值为________． 7．如图所示，长方体中，若，，，，分别为棱，的中点．用平面把这个长方体分成两部分，则左侧几何体的体积为______． 8．设且，则的最小值为______． 9．4个人围坐在如图所示的8张椅子中的4张椅子上聚餐，其中甲、乙两人不能相对（如1 与8 叫做相对）而坐，共有__________种不同的坐法.（用数字作答）    10．如果复数z满足，那么的最大值是______． 11．在某海域开展的海上演习中，我方军舰要到达C岛完成任务．已知军舰位于B市的南偏西25°方向上的A处，且在C岛的北偏西58°方向上，B市在C岛的北偏西28°方向上，且距离C岛248km，此时，我方军舰沿着AC方向以50km/h的速度航行，则我方军舰到达C岛的小时大约为________h．（参考数据：，，） 12．已知正方形边长为2，点是正方形边上一动点，满足，点是正方形所在平面内一动点，满足．若，则的取值范围是_________． 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13．甲、乙两人独立地破译密码,已知甲、乙能破译的概率分别是,则两人都成功破译的概率是（    ） A． B． C． D． 14．已知实数、满足（），则下列关系式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 15．已知双曲线，在双曲线左支上任取两个不同的点，，都有，则双曲线的离心率的最大值为（    ） A． B．3 C． D．2 16．设，记，令有穷数列为零点的个数，则有以下两个结论：①存在，使得为常数列；②存在，使得为公差不为零的等差数列.那么（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14分）绝对零度（）是一个只能逼近而不能达到的最低温度，那么这个数据是如何测得的？吕同学通过查询资料，知道：①气体温度和气体压强存在线性关系；②当气体压强为0（）时，气体温度达到绝对零度．以下是吕同学在一次模拟实验时，测得某种气体温度和气体压强的相关数据： 数据 1 2 3 4 5 6 温度（） 4.07 16.69 29.42 45.67 57.06 73.05 压强（） 103.095 107.734 112.461 118.469 122.706 128.758 (1)求该模拟实验中，该气体温度的平均值和方差；（精确到0.01） (2)若该次实验下气体压强关于气体温度的回归方程为，预估该次实验下绝对零度的数值；（精确到0.01） (3)为了验证实验的普适性，吕同学利用不同气体预估绝对零度，得到如下的一组数据．若任取其中的2个数据，求该两个数据与绝对零度（）的误差均小于1的概率． 绝对零度（） 275.13 274.56 274.28 273.57 272.45 271.67 18．（本小题满分14分）如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，为底面圆周上一点. （1）若弧的中点为，求证：平面； （2）如果面积是9，求此圆锥的表面积及三棱锥-体积的最大值. 19．（本小题满分14分）已知函数. (1)若存在极小值，且极小值为0，求； (2)若不等式恒成立，求的取值范围. 20．（本小题满分18分）已知椭圆：，、分别为左、右焦点，直线过交椭圆于、两点. (1)求椭圆的离心率； (2)当，且点在轴上方时，求、两点的坐标； (3)若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 21．（本小题满分18分）已知函数，． (1)求实数k的值； (2)设函数，判断函数在区间上的单调性，并用定义给出证明； (3)设函数，指出函数在区间上的零点个数，并说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高三开学学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共,54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1． 2． 3．33 4． 5． 6．8.2 7． 8． 9．1440 10． 11．4 12． 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13 14 15 16 A A C C 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14分） 【解】（1）（）， …………………1分 . …………………………3分 （2）， …………………4分 将，即代入， …………………………6分 解得，所以回归方程为， ………………………7分 令，解得（）， 预估该次实验下绝对零度的数值为. …………………………9分 （3）因为，， ，， ，， 所以只有，两个数据与绝对零度（）的误差小于1， …………………………11分 所以 ………………………14分 18．（本小题满分14分） 【解】（1）　∵是底面圆的直径， ∴ ………………………1分 ∵弧的中点为， ∴ 又，共面， ∴ ………………………3分 又平面，平面， ∴平面 ………………………5分 （2）设圆锥底面半径为，高为，母线长为， ∵圆锥的轴截面为等腰直角三角形， ∴， 由，得 ………………………9分 ∴圆锥的表面积 ………………………11分 易知当是弧中点时，三棱锥-体积的最大， 且最大值为： ………………………14分 19．（本小题满分14分） 【解】（1）因为， ………………………1分 当时，，所以函数无极值， ………………………2分 当时，，得， ………………………3分 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为， ………………………5分 令，所以， 由有，有， 所以在单调递增，在单调递减，且， ………………………8分 所以. ………………………9分 （2）因为不等式恒成立，即，得， 即. ………………………10分 令，则， ………………………11分 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， ………………………13分 所以，则， 所以的取值范围为. ………………………14分 20．（本小题满分18分） 【解】（1）由椭圆方程知，，， ………………………1分 所以， ………………………2分 所以离心率. ……………………3分 （2），，设，且. 所以，， ，， ………………………5分 又在椭圆上，满足，即， ，解得，即. 所以直线：， ……………………7分 联立，解得或， 所以； ………………………9分 （3）设，，，， 直线：， 联立，得. 则，. ………………………11分 直线的方程：，令得纵坐标； 直线的方程：，令得的纵坐标. ……………………13分 则， ……………………14分 若，即， ， ，， ………………………16分 代入根与系数的关系，得，解得. ………………………17分 存在直线或满足题意. ………………………18 分 21．（本小题满分18分） 【解】（1）令，解得，所以函数的定义域为， …………………2分 因为，即为奇函数， 则， ………………………4分 整理得， 注意到对任意上式均成立，可得，解得. ……………………6分 （2）因为，则， ………………………7分 可知函数在区间上单调递减，证明如下： 对任意，且， 则， ………………………9分 因为，则， 可得，即， 所以函数在区间上单调递减； ……………………11分 (3)在内有且仅有一个零点， ………………………12分 理由如下：因为，则， ………………………13分 由（2）可知在内单调递减，且在定义域内单调递增， 可知在内单调递减， ………………………15分 又因为为奇函数，则在内单调递减， 且在内单调递减，可知在内单调递减， ………………………16分 结合，， ………………………17分 可知在内有且仅有一个零点. ………………………18分 ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年秋季高三开学学情自测卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、填空题（第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共54分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分） 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季高三开学学情自测卷 ! 数学·答题卡 ! 姓 名： 准考证号： ! 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5m黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 烘 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 填空题（第1~6题，每题4分，第7~12题，每题5分，共54分) 栽 6 8. 9. 10. 11. 12. 舒 二、选择题（第13~14题，每题4分，第15~16题，每题5分，共18 分) 13[A][B][C][D] 14[A][B][C][D] 15[A][B][C]D] 16[A][B][C][D] 剂 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) B C D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ (道9并)道S患索谁 :必壬耄品，海习马的到狂鲜毋盖用避‘易锡海☒璐品阴目酷号平巢 (女8I)0z :￥差号阴海习马的到狂毋黉吊避‘号卦4海习踞品阳目酷号安 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季高三开学学情自测卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：沪教版全部内容 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知全集，集合，则_____. 2．不等式的解集是__________. 3．已知等差数列中，，，则该数列前6项的和为______. 4．的展开式中含的项的系数是______． 5．函数，的值域为______． 6．随机变量X的概率分布为，则该随机变量的均值为________． 7．如图所示，长方体中，若，，，，分别为棱，的中点．用平面把这个长方体分成两部分，则左侧几何体的体积为______． 8．设且，则的最小值为______． 9．4个人围坐在如图所示的8张椅子中的4张椅子上聚餐，其中甲、乙两人不能相对（如1 与8 叫做相对）而坐，共有__________种不同的坐法.（用数字作答）    10．如果复数z满足，那么的最大值是______． 11．在某海域开展的海上演习中，我方军舰要到达C岛完成任务．已知军舰位于B市的南偏西25°方向上的A处，且在C岛的北偏西58°方向上，B市在C岛的北偏西28°方向上，且距离C岛248km，此时，我方军舰沿着AC方向以50km/h的速度航行，则我方军舰到达C岛的小时大约为________h．（参考数据：，，） 12．已知正方形边长为2，点是正方形边上一动点，满足，点是正方形所在平面内一动点，满足．若，则的取值范围是_________． 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13．甲、乙两人独立地破译密码,已知甲、乙能破译的概率分别是,则两人都成功破译的概率是（    ） A． B． C． D． 14．已知实数、满足（），则下列关系式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 15．已知双曲线，在双曲线左支上任取两个不同的点，，都有，则双曲线的离心率的最大值为（    ） A． B．3 C． D．2 16．设，记，令有穷数列为零点的个数，则有以下两个结论：①存在，使得为常数列；②存在，使得为公差不为零的等差数列.那么（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14分）绝对零度（）是一个只能逼近而不能达到的最低温度，那么这个数据是如何测得的？吕同学通过查询资料，知道：①气体温度和气体压强存在线性关系；②当气体压强为0（）时，气体温度达到绝对零度．以下是吕同学在一次模拟实验时，测得某种气体温度和气体压强的相关数据： 数据 1 2 3 4 5 6 温度（） 4.07 16.69 29.42 45.67 57.06 73.05 压强（） 103.095 107.734 112.461 118.469 122.706 128.758 (1)求该模拟实验中，该气体温度的平均值和方差；（精确到0.01） (2)若该次实验下气体压强关于气体温度的回归方程为，预估该次实验下绝对零度的数值；（精确到0.01） (3)为了验证实验的普适性，吕同学利用不同气体预估绝对零度，得到如下的一组数据．若任取其中的2个数据，求该两个数据与绝对零度（）的误差均小于1的概率． 绝对零度（） 275.13 274.56 274.28 273.57 272.45 271.67 18．（本小题满分14分）如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，为底面圆周上一点. （1）若弧的中点为，求证：平面； （2）如果面积是9，求此圆锥的表面积及三棱锥-体积的最大值. 19．（本小题满分14分）已知函数. (1)若存在极小值，且极小值为0，求； (2)若不等式恒成立，求的取值范围. 20．（本小题满分18分）已知椭圆：，、分别为左、右焦点，直线过交椭圆于、两点. (1)求椭圆的离心率； (2)当，且点在轴上方时，求、两点的坐标； (3)若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 21．（本小题满分18分）已知函数，． (1)求实数k的值； (2)设函数，判断函数在区间上的单调性，并用定义给出证明； (3)设函数，指出函数在区间上的零点个数，并说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $·: 2026年秋季高三开学学情自测卷 : 数学 (考试时间：120分钟，分值：150分) : 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦千净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 : 4.考试范围：沪教版全部内容 一、填空题（本大题共12小题，第1~6题，每题4分，第7~12题，每题5分，共54分.在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) % % 1.已知全集U={x2≤x≤6}，集合A={x2≤x≤3}，则A= : 2.不等式-3≥2的解集是 5-x 3.已知等差数列{a}中，4=-2,4-4=9，则该数列前6项的和为 4.(2x-3y)°的展开式中含x3y3的项的系数是 O 5.函数y=3-2c0 2x-）,e 62的值域为 元元 : 7 8 9 10 6.随机变量X的概率分布为 : 0.30.350.20.15 则该随机变量的均值为 : 照 7.如图所示，长方体ABCD-A,B,CD中，若AB=2,AD=1,AA=1,M,N分别为棱AB,CD的 : : 中点.用平面BC☑M把这个长方体分成两部分，则左侧几何体的体积为 : D .. : A : : : 8.设x,y∈R+且— 4+1=2,则3x+2y的最小值为 x 2v 9.4个人围坐在如图所示的8张椅子中的4张椅子上聚餐，其中甲、乙两人不能相对（如1与8叫做相 对)而坐，共有 种不同的坐法.（用数字作答） : : 试题第1页（共6页） : 6学科网·上好课 ▣234 8⑦⑥⑤ 10.如果复数z满足-1++2=3，那么5-1-i的最大值是 11.在某海域开展的海上演习中，我方军舰要到达C岛完成任务.已知军舰位于B市的南偏西25°方向上 的A处，且在C岛的北偏西58°方向上，B市在C岛的北偏西28°方向上，且距离C岛248km,此时，我 方军舰沿着AC方向以50km/h的速度航行，则我方军舰到达C岛的小时大约为h.(参考数据： W3≈173，sim53g4cos53°≈h 5 北 →东 58 12.已知正方形ABCD边长为2，点P是正方形ABCD边上一动点，满足AP.AB=4,点2是正方形ABCD 所在平面内一动点，满足PQ=1.若AO=2AB+AD,则1+4的取值范围是 二、选择题（本大题共4小题，第1314题，每题4分，第15~16题，每题5分，共18分.把答案填在 题中横线上) 13.甲、乙两人独立地破译密码，已知甲、乙能破译的概率分别是 11 ,则两人都成功破译的概率是() 34 A. 1 12 B. c品 0.1 12 14.已知实数x、y满足a<a'(0<a<1),则下列关系式恒成立的是() A.x3>y3 B.x2>y2 11 1、1 c. x V D.2+1y+1 已知双曲线C:X1(a>0,在双曲线C左支上任取两个不同的点A(5,4),乃(3，)，都有一 xx2+,>0,则双曲线C的离心率的最大值为() 试题第2页（共6页） 6学科网·上好课 A.5 B.3 c.5 D.2 16.设6(x)=anxm+am-1xm-1++4x+a(am≠0，m≥10，m∈Z),记fn(x)=f（x)(n=1,2,…,-1),令 有穷数列b为fn（x)零点的个数(n=1,2,,-1),则有以下两个结论：①存在(x),使得bn为常数列： ②存在6(x),使得b.为公差不为零的等差数列.那么() A.①正确，②错误 B.①错误，②正确 C.①②都正确 D.①②都错误 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分14分)绝对零度（℃）是一个只能逼近而不能达到的最低温度，那么这个数据是如何测 得的？吕同学通过查询资料，知道：①气体温度和气体压强存在线性关系：②当气体压强为0(kPa)时， 气体温度达到绝对零度.以下是吕同学在一次模拟实验时，测得某种气体温度和气体压强的相关数据： 数据 y 3 4 5 6 温度（℃） 4.07 16.69 29.42 45.67 57.06 73.05 压强 103.095 107.734 112.461 118.469 122.706 128.758 (kPa) (1)求该模拟实验中，该气体温度的平均值和方差：（精确到0.01） (2)若该次实验下气体压强y关于气体温度x的回归方程为y=0.372x+b,预估该次实验下绝对零度的数值； (精确到0.01℃) (3)为了验证实验的普适性，吕同学利用不同气体预估绝对零度，得到如下的一组数据.若任取其中的2个 数据，求该两个数据与绝对零度(-273.15℃)的误差均小于1℃的概率. 绝对零度 -275.13 -274.56 -274.28 -273.57 -272.45 -271.67 (℃) 18.(本小题满分14分)如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面 圆周上一点 试题第3页（共6页） P ---0 (1)若弧BC的中点为D,求证：AC/平面POD; 长 (2)如果△PAB面积是9，求此圆锥的表面积及三棱锥C-PAB体积的最大值. 张 河 数 游 当 19.(本小题满分14分)已知函数f(x)=e-ax-1,g(x)=xnx. (1)若f(x)存在极小值，且极小值为0，求a: 习 (2)若不等式f(x)-g(x)≥0恒成立，求a的取值范围. ⑧ 性 O 烟 : 20.(本小题满分18分)已知椭圆C:。+士=1，耳、乃分别为左、右焦点，直线1过B交椭圆于A、B 84 两点 O 试题第4页（共6页） (1)求椭圆的离心率； (2)当∠AB=90°，且点A在x轴上方时，求A、B两点的坐标： O o (3)若直线A耳交y轴于M,直线B交y轴于N,是否存在直线l,使得S4B=Sw？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由， O 不 ·· 斟 斟 : O .0 : ☒ 21.（本小题满分18分)已知函数f(x)=1n(1-x)+k1n(1+x),f(x)+f(-x)=0. (1)求实数k的值： : 试题第5页（共6页） 6学科网·上好课 (2)设函数F(x)=(1-x)(1+x),判断函数F(x)在区间(0,1)上的单调性，并用定义给出证明： (3)设函数g(x)=f(x)+x+2k,指出函数g(x)在区间(-1，O)上的零点个数，并说明理由. 试题第6页（共6页） 2026年秋季高三开学学情自测卷 数学•全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：沪教版全部内容 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知全集，集合，则_____. 【答案】 【解析】. 2．不等式的解集是__________. 【答案】 【解析】等价于，即， 得到,解得：，故不等式的解集为. 3．已知等差数列中，，，则该数列前6项的和为______. 【答案】33 【解析】因为为等差数列，所以，解得d=3， 所以前6项的和. 4．的展开式中含的项的系数是______． 【答案】 【解析】的展开式的通项为，令，得项的系数为． 5．函数，的值域为______． 【答案】 【解析】因为，所以， 所以，所以．所以函数的值域为． 6．随机变量X的概率分布为，则该随机变量的均值为________． 【答案】8.2 【解析】. 7．如图所示，长方体中，若，，，，分别为棱，的中点．用平面把这个长方体分成两部分，则左侧几何体的体积为______． 【答案】#1.5 【解析】设左侧几何体的体积为，长方体的体积为， 右侧三棱柱的体积为，则. 8．设且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 当且仅当，即，即 时取等号. 9．4个人围坐在如图所示的8张椅子中的4张椅子上聚餐，其中甲、乙两人不能相对（如1 与8 叫做相对）而坐，共有__________种不同的坐法.（用数字作答）    【答案】1440 【解析】因为甲、乙两人不能相对（如1 与8 叫做相对）而坐， 则甲、乙两人不能同时坐在1 与8位置或2 与7位置或3 与6位置或4 与5， 先确定甲的位置有种方法，再确定乙的位置有的位置，再确定余下两人的位置有种排法， 由分步乘法计数原理可得共有种不同的作法. 10．如果复数z满足，那么的最大值是______． 【答案】 【解析】令且，则， 所以其表示点到、两点的距离和3，而的距离为3， 所以在两点之间运动（含端点）， 由表示点到点的距离，故其最大距离为， 所以的最大值是. 11．在某海域开展的海上演习中，我方军舰要到达C岛完成任务．已知军舰位于B市的南偏西25°方向上的A处，且在C岛的北偏西58°方向上，B市在C岛的北偏西28°方向上，且距离C岛248km，此时，我方军舰沿着AC方向以50km/h的速度航行，则我方军舰到达C岛的小时大约为________h．（参考数据：，，） 【答案】4 【解析】设我方军舰大约需要x小时到达C岛，则， 依题意，，，， 在中， ， 由正弦定理得，即，解得， 所以我方军舰大约需要4小时到达C岛． 12．已知正方形边长为2，点是正方形边上一动点，满足，点是正方形所在平面内一动点，满足．若，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】以点为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， 则，，， 设， ，，，解得， 所以在边上，不妨设，，点， 因为，所以有，设，则， 故，，即，， 因为，所以， 即， 结合，当时，取最大值， 当时，取最小值， 故． 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13．甲、乙两人独立地破译密码,已知甲、乙能破译的概率分别是,则两人都成功破译的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据已知条件,甲、乙能破译的概率分别是, 所以两人都成功破译的概率是.故选:A. 14．已知实数、满足（），则下列关系式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，由指数函数的单调性可知，，所以，故A正确； 若取，则，故B、C错误； 若，则，所以，故D错误.故选：A 15．已知双曲线，在双曲线左支上任取两个不同的点，，都有，则双曲线的离心率的最大值为（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【解析】任取双曲线C左支上两个不同的点都有 .即， 即对左支上任取两个不同的点， 设分别为两条渐近线上的两点， 由图可知，由于对左支上任取两个不同的点，需满足， 所以，即双曲线两渐近线的夹角， . 即双曲线的离心率的最大值为. 16．设，记，令有穷数列为零点的个数，则有以下两个结论：①存在，使得为常数列；②存在，使得为公差不为零的等差数列.那么（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 【答案】C 【解析】当时， ，此时， ，此时， ，此时， 故存在，使为常数列；①正确； 设，则有个零点， 则在的每个区间内各至少一个零点，故至少有个零点， 因为是一个次函数，故最多有个零点，因此有且仅有个零点， 同理，有且仅有个零点，，有且仅有个零点， 故，所以是公差为的等差数列，故②正确. 故选：C. 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14分）绝对零度（）是一个只能逼近而不能达到的最低温度，那么这个数据是如何测得的？吕同学通过查询资料，知道：①气体温度和气体压强存在线性关系；②当气体压强为0（）时，气体温度达到绝对零度．以下是吕同学在一次模拟实验时，测得某种气体温度和气体压强的相关数据： 数据 1 2 3 4 5 6 温度（） 4.07 16.69 29.42 45.67 57.06 73.05 压强（） 103.095 107.734 112.461 118.469 122.706 128.758 (1)求该模拟实验中，该气体温度的平均值和方差；（精确到0.01） (2)若该次实验下气体压强关于气体温度的回归方程为，预估该次实验下绝对零度的数值；（精确到0.01） (3)为了验证实验的普适性，吕同学利用不同气体预估绝对零度，得到如下的一组数据．若任取其中的2个数据，求该两个数据与绝对零度（）的误差均小于1的概率． 绝对零度（） 275.13 274.56 274.28 273.57 272.45 271.67 【解】（1）（）， …………………………1分 . …………………………3分 （2）， …………………4分 将，即代入， …………………………6分 解得，所以回归方程为， ………………………7分 令，解得（）， 预估该次实验下绝对零度的数值为. …………………………9分 （3）因为，， ，， ，， 所以只有，两个数据与绝对零度（）的误差小于1， …………………………11分 所以 ………………………14分 18．（本小题满分14分）如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，为底面圆周上一点. （1）若弧的中点为，求证：平面； （2）如果面积是9，求此圆锥的表面积及三棱锥-体积的最大值. 【解】（1）　∵是底面圆的直径， ∴ ………………………1分 ∵弧的中点为， ∴ 又，共面， ∴ ………………………3分 又平面，平面， ∴平面 ………………………5分 （2）设圆锥底面半径为，高为，母线长为， ∵圆锥的轴截面为等腰直角三角形， ∴， 由，得 ………………………9分 ∴圆锥的表面积 ………………………11分 易知当是弧中点时，三棱锥-体积的最大， 且最大值为： ………………………14分 19．（本小题满分14分）已知函数. (1)若存在极小值，且极小值为0，求； (2)若不等式恒成立，求的取值范围. 【解】（1）因为， ………………………1分 当时，，所以函数无极值， ………………………2分 当时，，得， ………………………3分 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为， ………………………5分 令，所以， 由有，有， 所以在单调递增，在单调递减，且， ………………………8分 所以. ………………………9分 （2）因为不等式恒成立，即，得， 即. ………………………10分 令，则， ………………………11分 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， ………………………13分 所以，则， 所以的取值范围为. ………………………14分 20．（本小题满分18分）已知椭圆：，、分别为左、右焦点，直线过交椭圆于、两点. (1)求椭圆的离心率； (2)当，且点在轴上方时，求、两点的坐标； (3)若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【解】（1）由椭圆方程知，，， ………………………1分 所以， ………………………2分 所以离心率. ……………………3分 （2），，设，且. 所以，， ，， ………………………5分 又在椭圆上，满足，即， ，解得，即. 所以直线：， ……………………7分 联立，解得或， 所以； ………………………9分 （3）设，，，， 直线：， 联立，得. 则，. ………………………11分 直线的方程：，令得纵坐标； 直线的方程：，令得的纵坐标. ……………………13分 则， ……………………14分 若，即， ， ，， ………………………16分 代入根与系数的关系，得，解得. ………………………17分 存在直线或满足题意. ………………………18 分 21．（本小题满分18分）已知函数，． (1)求实数k的值； (2)设函数，判断函数在区间上的单调性，并用定义给出证明； (3)设函数，指出函数在区间上的零点个数，并说明理由． 【解】（1）令，解得，所以函数的定义域为， …………………2分 因为，即为奇函数， 则， ………………………4分 整理得， 注意到对任意上式均成立，可得，解得. ……………………6分 （2）因为，则， ………………………7分 可知函数在区间上单调递减，证明如下： 对任意，且， 则， ………………………9分 因为，则， 可得，即， 所以函数在区间上单调递减； ……………………11分 (3)在内有且仅有一个零点， ………………………12分 理由如下：因为，则， ………………………13分 由（2）可知在内单调递减，且在定义域内单调递增， 可知在内单调递减， ………………………15分 又因为为奇函数，则在内单调递减， 且在内单调递减，可知在内单调递减， ………………………16分 结合，， ………………………17分 可知在内有且仅有一个零点. ………………………18分 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $