4.4.2对数函数的图象与性质 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦对数函数的图象和性质，通过复习幂函数、指数函数的研究路径，引导学生类比“解析式→图象→性质”的学习支架，从对数函数概念出发，衔接前后知识，明确本节课研究方向。 资料亮点在于注重学生动手实践，通过描点法作图、展示纠错发展直观想象，用表格对比归纳性质培养数学思维，结合比较大小、pH值计算等问题应用性质，发展数学建模，助力学生内化知识，也为教师提供清晰教学流程。

4.4.2对数函数的图象和性质 （1） 教学目标 1.经历利用描点法或信息技术画出具体对数函数的图象的过程，结合图象的位置、变化趋势及公共点，探索并归纳对数函数的性质，能说出对数函数的定义域、值域、单调性和特殊点，在这一过程中，发展直观想象素养，进一步体会利用直观图象和代数运算研究函数的方法。 2.通过利用对数函数解决简单的实际问题的过程，发展数学建模素养. 3.知道对数函数y=log.x与指数函数互为反函数(a>0，且a≠1). （2） 教学重点与难点 教学重点： 掌握对数函数的图象画法，包括描点法、图象变换法 理解图象的关键特征,掌握对数函数的图象与性质。 教学难点：‌ ①学生可以从多个具体对数函数的图象中，抽象概括出对数函数的共性性质（如单调性、定义域等），通过类比指数函数的研究方法，引导学生从“特殊到一般”归纳规律。‌ ②结合图象解决实际问题，如比较对数值大小、解不等式等，需灵活运用性质并结合数形结合思想。 （三）教学过程设计 情境引入： 复习幂函数、指数函数研究路径，得出研究函数的一般套路： 上节课研究了对数函数的概念，学生复习回答：一般的，函数叫做对数函数，其中叫做自变量，定义域是 有了概念，类比指数函数，你将如何研究对数函数的图象和性质？具体研究的内容有哪些？ · 教师提出问题，引导学生回顾认识函数的一般路径：解析式 → 图像 → 性质。 · 学生回忆指数函数的研究思路，并回答：可以通过画出它的图像来直观认识。 · 教师肯定学生的回答，并指出：今天我们就用这样的方法来研究对数函数的图像和性质。 · 设计意图： · 通过设问，激发学生的认知冲突和求知欲。 · 引导学生建立知识和方法的前后联系，明确本节课的研究路径，渗透“类比”和“数形结合”的思想。 教学环节2：动手实践，初探图像 · 问题：请同学们在同一平面直角坐标系中，用描点法画出函数 和 的图像。 · 步骤1（列表）：教师引导全班共同完成两个函数的取值表。以 为例，共同计算及相应相反数对应的值时的y值。学生独立或同桌合作完成 的取值表。 · 步骤2（描点连线）：学生在坐标纸上描点，并用光滑的曲线连接。 · 步骤3（展示与质疑）：教师巡视，选取有代表性的作品（包括正确的和有问题的，如用折线连接、走势错误等）进行投影展示。 追问：他们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数图象画出另一个的图象 教师利用信息技术展示,的图象，再到 的图像变换，总结填表； 同样的办法总结的图象变换。 · 追问：类比指数函数图像和性质，你还能发现什么？ · 教师引导学生理解，(1, 0)是对数函数图像的一个关键特征点。 · 设计意图： · 通过动手操作，让学生亲身经历图像的生成过程，积累基本的数学活动经验。 · 通过展示和质疑，强化“描点法”作图的标准流程，纠正可能出现的错误，培养学生严谨的科学态度。 · 通过追问，引导学生关注核心特征点，为归纳性质埋下伏笔。 教学环节3：观察对比，归纳性质 · 问题：请大家仔细观察你们画出的两个函数的图像，它们有哪些共同的特征？又有哪些明显的差异？请尝试从代数性质的角度进行概括。 · 学生先独立思考，然后小组讨论，填写预设的表格（如下）。 项目 图 象 定义域 值域 性质 单调性 奇偶性 定点 · 小组代表发言，教师板书学生的发现，并引导其他小组补充。 · 追问1：为什么这两个函数的定义域都是(0, +∞)？从图像上看，它们能跑到y轴的左边吗？ · 师生活动：引导学生从解析式 y=logₐx 中，真数x>0的角度理解，并从图像上直观验证。 · 追问2：它们的单调性有何不同？这与什么有关？ · 师生活动：引导学生将单调性与底数a的值联系起来，明确 a>1时递增，0<a<1时递减，渗透分类讨论思想。 · 追问3：它们的图像有什么样的位置关系？你能从解析式的角度解释吗？ · 师生活动：学生可能观察到图像关于x轴对称。教师可引导学生思考 与的关系，建立代数联系，深化理解。 · 设计意图： · 将直观的图像特征转化为抽象的代数语言，培养学生的概括能力和数学语言表达能力。 · 通过系列追问，引导学生深入思考性质背后的数学原理，突破难点。 · 表格化的处理，使得性质对比清晰，便于学生构建系统化的知识网络。 教学环节4：应用性质，解决问题 · 问题：现在，我们已经成为对数函数的“知情人”，能利用它们的性质来解决一些问题吗？ 例3、1. 比较下列各组中两个值的大小： (1) 与 (2)与 (3)与 2、解下列不等式 ⑴; ⑵. · 学生独立完成，并请两名学生板演。 · 对于第1、2题，教师引导学生口述判断依据：直接利用函数的单调性。 · 对于第3题，教师引导学生回顾求解复合对数型函数定义域的方法：真数大于0。并强调解不等式时需注意的细节。 · 追问：在比较 和 的大小时，我们的核心判断依据是什么？如果底数a不确定，又该怎么办？ · 师生活动：引导学生总结出“底数相同，利用单调性；底数不同，寻求中间量或画图分析”的策略，为后续学习设下伏笔。 · 设计意图： · 及时巩固新知，检验学生对对数函数性质的理解和应用能力。 · 通过例题，训练学生运用性质进行逻辑推理和代数运算的基本技能。 · 追问旨在引导学生提炼解题方法和策略，培养其化归思想和解决问题的能力。 例4、 溶液酸碱度的测量。 溶液酸碱度是通过pH计量的。pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。 （1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子 的浓度之间的变化关系； （2）一直纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，计算纯净水的pH。 问题：公式中自变量是什么？因变量是什么？ 师生活动：教师引导,学生得出结论，指出这个公式可以看成是pH关于的函数，为了更清晰的看出单调性，我们把它变形为 追问：这个函数可以看成是以谁为底的对数函数？底数与1的关系如何？这个函数单调性如何？ 学生代表回答问题 刚才我们解决了来自化学的实际问题，性质我们把目光转回纯粹的数学。 提问1. 我们之前学习了指数与对数间的关系，由得它是一个函数吗？如果是，它的定义域是神门，值域是什么？ 1. 通常我们用x表示自变量，y表示函数，为此，把写成,得到反函数的概念？ 追问：通过这个具体的例子，你认为“两个函数互为反函数”最显著的特征是什么？请同学们总结结论 师生活动：学生总结核心特征： 1. 定义域与值域互换。 2. 由同一个基本的数学关系（如指数与对数互化）所联系。 引导学生从具体例子中提炼、概括出反函数的本质属性，实现知识的內化和迁移，为后续学习一般化的反函数性质打下基础。 设计意图：通过问题解决学生符号习惯带来的认知障碍。强调“改写”的实质是“重命名”，不改变函数本质，这是理解上的一个易错点。追问旨在引导学生进行元认知回顾，从具体实例中抽离出普遍规律，完成整个概念的建构过程。 追问：课本P135“探究”，学生总结回答。 如果同学们对反函数的学习还有需求或兴趣，可以引导他们去研究“探索与发现”中的问题，从而进一步了解互为反函数的两个函数图象间的关系。 教学环节5：课堂小结，布置作业 （1） 课堂小结： 问题：通过本节课的学习，你有哪些收获？（知识、方法、思想） · 师生活动： · 学生自由发言，教师从知识（图像与性质）、方法（数形结合、分类讨论、从特殊到一般）、思想（函数思想）等方面进行总结提升。 · 教师强调：指数函数与对数函数互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称。这是我们下节课要深入探究的内容。 · 设计意图： · 引导学生从多维度回顾整节课的内容，构建完整的认知结构。 · 设置悬念，激发学生对后续内容的学习兴趣。 （2）目标检测设计 1．函数是对数函数，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知对数函数（且）的图象过点，则（    ） A． B． C．2 D．4 3.函数 的图象恒过定点A，则A点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4.比较下列各题中两个数的大小 ① ② ③ 5.不等式的解集为 . (3)课后作业（分层） 基础巩固： 1、已知对数函数（且）的图象过点，则（    ） A． B． C．2 D．4 2、函数（，且）的图象经过定点P，则点P的横、纵坐标之和为（    ） A． B． C． D． 3、不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 综合应用 1、已知为正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．8 2、若函数，则不等式的解集为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $