4.5 函数的应用（二） 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数零点、零点存在定理、二分法求方程近似解及函数模型应用，从初中二次方程与函数关系切入，通过实例引出零点概念，建立方程、函数、图象等价关系，搭建前后知识学习支架。 该资料以核心素养为导向，通过反例辨析（如不连续函数端点异号无零点）深化定理理解培养数学思维，二分法分步演算（如求x³+2x−5=0近似解）提升数学运算能力，实际问题（人口模型预测）强化模型观念。助力学生形成逻辑推理与应用意识，为教师提供可操作的探究式教学方案。

必修第一册 高一 4.5 函数的应用（二） 教学设计-2026-2027学年 人教A版 数学 一、教学内容解析 本节课是人教A版必修第一册第四章4.5节内容，核心围绕函数的零点、零点存在定理及二分法求方程近似解展开，并延伸至函数模型在实际问题中的应用。对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。函数的零点建立了函数、方程与图象三者之间的桥梁：方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点。 函数零点存在定理指出：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解。在此基础上，对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 本节教学重点是零点的概念、零点存在定理、用二分法求方程近似解；难点在于零点存在定理中“连续不断且端点异号”条件的理解、二分法操作过程与精确度控制，以及实际问题中函数模型的选择与检验。教学过程中需引导学生经历从具体到抽象、从特殊到一般的认知过程，体会函数与方程的思想及数形结合思想。 二、教学目标解析 1. 理解函数零点的概念，掌握方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点这一等价关系，能借助图象判断函数零点所在的大致区间，提升直观想象与逻辑推理素养。 2. 理解函数零点存在定理的条件与结论，能判断在给定区间上图象连续不断的函数是否存在零点，体会由特殊到一般的归纳思维方法，发展数学抽象素养。 3. 掌握用二分法求函数零点近似值的一般步骤，能根据给定精确度ε求方程的近似解，体会逐步逼近的数学思想与算法思维，提升数学运算素养。 4. 能根据实际问题选择恰当的函数模型，经历确定参数、检验模型与实际数据吻合程度并利用模型进行预测的全过程，体会数学建模的基本流程，增强数学建模素养。 三、学情分析 高一学生在前面已系统学习了函数的概念、性质以及指数函数、对数函数的图象与性质，具备了一定的数形结合意识和函数图象分析能力。学生曾在初中阶段学习过用图象法求一元二次方程的近似解，对本节求方程近似解的思路有初步认识，但尚未上升到一般函数零点及系统化方法的高度。 在认知层面，学生对“零点”概念容易与“使函数值为零的点”产生混淆，将零点误认为坐标点而非横坐标值。零点存在定理中“图象连续不断”这一前提条件容易被忽视，学生可能仅凭端点函数值异号就断定存在唯一零点，对“至少有一个”的表述理解不够到位。在二分法的操作中，学生对区间的选取、中点的计算以及精确度判断|a−b|<ε的终止条件容易产生操作失误，需要通过分步演算加以巩固。在实际应用问题中，学生对如何根据数据特征选择合适的函数模型缺乏经验，需要教师给予适当引导。 四、教学过程 本节课的教学过程按照“复习引入→公式代换→课堂探究→几何解释→学以致用→巩固运用→回顾反思”的顺序展开，各环节层层递进，引导学生逐步理解函数零点的概念与定理，掌握二分法求方程近似解的方法，并体会函数模型在解决实际问题中的作用。 1.复习引入，温故知新 教师先引导学生回顾初中所学一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系。以方程x²−2x−3=0为例，求出其根为x₁=−1，x₂=3，再画出对应二次函数y=x²−2x−3的图象，观察图象与x轴交点的横坐标恰好为−1和3。教师提问：方程的实数根与对应函数图象和x轴交点的横坐标之间有怎样的对应关系？预设学生回答：方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标。 教师进一步追问：对于一般函数y=f(x)，如果f(x)=0有实数解，那么这个解在函数图象上体现为什么？预设学生回答：体现为图象与x轴交点的横坐标。教师由此引出零点概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。并强调零点是一个实数，是x轴上的点而非坐标平面内的点。 2.公式代换，发现新知 教师在零点概念的基础上，引导学生建立方程、函数与图象三者之间的等价关系。教师板书：方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点。教师提问：如何理解这三个表述之间的等价关系？预设学生回答：它们是从方程、函数、图象三个不同角度描述同一事实。 教师出示例题：已知函数f(x)=ln x+2x−6，判断方程f(x)=0是否有实数解。教师引导学生分析：直接求解方程ln x+2x−6=0较为困难，可以借助函数图象或计算端点函数值来判断。教师计算f(1)=ln 1+2×1−6=−4<0，f(3)=ln 3+2×3−6=ln 3≈1.0986>0。教师追问：f(1)<0且f(3)>0，这说明什么？预设学生回答：函数值在x=1处为负，在x=3处为正，图象从x轴下方变到上方，中间一定经过x轴。 教师由此引出零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解。教师强调定理的两个条件缺一不可：一是图象在区间上连续不断，二是端点函数值异号。 3.课堂探究，公式证明 教师引导学生深入理解零点存在定理的条件与结论。教师提问：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象不是连续不断的，定理结论是否仍然成立？教师出示反例：函数f(x)=，取区间[−1,1]，f(−1)=−1<0，f(1)=1>0，端点函数值异号，但函数在x=0处不连续，且f(x)在(−1,1)内没有零点。预设学生回答：图象不连续时，端点异号不能保证存在零点。 教师继续追问：如果f(a)f(b)>0，函数在区间内是否一定没有零点？教师举例：函数f(x)=x²−1，在区间[−2,2]上f(−2)=3>0，f(2)=3>0，端点同号，但f(x)在区间内有两个零点x=−1和x=1。预设学生回答：端点同号时函数仍可能有零点。教师追问：定理说“至少有一个零点”，是否可能不止一个？预设学生回答：可能，如图象呈波浪状多次穿过x轴时就有多个零点。 教师进一步提问：在满足定理条件的情况下，若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0，同时在区间上还是单调的，零点的个数如何？预设学生回答：此时有且仅有一个零点。教师总结：连续不断加端点异号保证至少有一个零点，再加上单调性则保证零点唯一。这一结论为后续用二分法求零点近似值奠定了理论基础。 教师出示探究题：函数f(x)=eˣ+2x−6在区间[1,2]上是否存在零点？若存在，是否唯一？教师引导学生验证：f(1)=e+2−6=e−4≈−1.282<0，f(2)=e²+4−6=e²−2≈5.389>0，f(1)f(2)<0，且f(x)=eˣ+2x−6中eˣ和2x在[1,2]上均单调递增，故f(x)在[1,2]上单调递增，所以函数在(1,2)内有且仅有一个零点。 4.几何解释，加深理解 教师从几何角度对零点存在定理进行直观解释。教师提问：当f(a)f(b)<0时，函数图象在端点(a,f(a))和(b,f(b))处分别位于x轴的两侧，连续不断的曲线要从一侧到达另一侧，必然经过x轴，这个交点的横坐标就是零点。教师追问：如果f(a)f(b)=0，意味着什么？预设学生回答：f(a)=0或f(b)=0，即端点本身就是零点。 教师借助数轴直观展示二分法的思想。以函数f(x)=x³+2x−5为例，f(1)=1+2−5=−2<0，f(2)=8+4−5=7>0，零点在区间(1,2)内。教师提问：如何进一步缩小零点所在的范围？预设学生回答：取区间中点。教师取中点c={1.5}，计算f(1.5)={1.5³+2×1.5−5}={3.375+3−5}=1.375>0。因为f(1)<0且f(1.5)>0，所以零点在区间(1,1.5)内。 教师继续取区间(1,1.5)的中点c=1.25，计算f(1.25)={1.25³+2×1.25−5}={1.953+2.5−5}=−0.547<0。因为f(1.25)<0且f(1.5)>0，所以零点在区间(1.25,1.5)内。教师指出：每次取中点都将区间长度缩小一半，这就是二分法的核心思想。教师给出二分法的定义：对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 5.学以致用，迁移内化 教师出示例题：借助计算器，用二分法求方程x³+2x−5=0的一个近似解（精确度ε=0.1）。教师引导学生按照二分法的一般步骤进行操作。第一步，确定初始区间[1,2]，验证f(1)f(2)=(−2)×7=−14<0，满足条件。第二步，求中点c={1.5}，计算f(1.5)=1.375>0，因f(1)f(1.5)<0，零点在(1,1.5)内，令b=1.5。 第三步，取区间(1,1.5)中点c=1.25，f(1.25)=−0.547<0，因f(1.25)f(1.5)<0，零点在(1.25,1.5)内，令a=1.25。第四步，判断是否达到精确度：|1.25−1.5|=0.25>0.1，未达到精确度，继续重复。取中点c=1.375，f(1.375)={1.375³+2×1.375−5}={2.600+2.75−5}=0.350>0，因f(1.25)f(1.375)<0，零点在(1.25,1.375)内，令b=1.375。判断|1.25−1.375|=0.125>0.1，继续。 取中点c=1.3125，f(1.3125)={1.3125³+2×1.3125−5}≈{2.260+2.625−5}=−0.115<0，因f(1.3125)f(1.375)<0，零点在(1.3125,1.375)内，令a=1.3125。判断|1.3125−1.375|=0.0625<0.1，达到精确度。此时区间[1.3125,1.375]的任一端点均可作为零点的近似值，取x≈1.3125。教师总结二分法求零点近似值的一般步骤：确定初始区间[a,b]验证f(a)f(b)<0→求中点c→计算f(c)并缩小区间→判断|a−b|<ε则取端点为近似值，否则重复。 6.巩固运用，深化理解 教师出示练习题1：求函数f(x)=x²−3x+2的零点，并指出零点所在区间。教师引导学生求解：令x²−3x+2=0，解得x₁=1，x₂=2，所以函数的零点为1和2。教师追问：f(0)=2>0，f(1.5)={2.25−4.5+2}=−0.25<0，f(3)=9−9+2=2>0，能否据此判断零点所在区间？预设学生回答：f(0)f(1.5)<0，零点在(0,1.5)内；f(1.5)f(3)<0，零点在(1.5,3)内。答案：零点为x=1和x=2，分别在区间(0,1.5)和(1.5,3)内。 教师出示练习题2：用二分法研究函数f(x)=x³−x−1的零点，已知f(1)=−1<0，f(1.5)={3.375−1.5−1}=0.875>0，若取初始区间为[1,1.5]，求经过两次二分后零点所在的区间。教师引导：第一次取中点c=1.25，f(1.25)={1.953−1.25−1}=−0.297<0，因f(1.25)f(1.5)<0，零点在(1.25,1.5)内。第二次取中点c=1.375，f(1.375)={2.600−1.375−1}=0.225>0，因f(1.25)f(1.375)<0，零点在(1.25,1.375)内。答案：经过两次二分后零点所在的区间为(1.25,1.375)。 教师出示练习题3：某地区人口数据中，2010年人口约为100万，2020年人口约为120万。若用马尔萨斯人口增长模型y=e{^rt}描述该地区人口变化（其中为初始人口，r为年增长率，t为经过的年数），求r的近似值（精确到0.001），并预测2030年该地区的人口数。教师引导：将2010年对应t=0，则=100。t=10时y=120，代入得120=100e{^10r}，即e{^10r}=1.2，两边取自然对数得10r=ln 1.2，r=≈≈0.018。预测2030年即t=20时，y=100e{^20×0.018}=100e{^0.36}≈100×1.433=143.3万。答案：r≈0.018，2030年该地区人口约为143.3万。 教师出示练习题4：判断下列命题的真假，并说明理由。命题①：若函数f(x)在区间(a,b)内有零点，则f(a)f(b)<0。命题②：若f(a)f(b)>0，则函数f(x)在(a,b)内一定没有零点。教师引导分析：命题①为假命题，反例f(x)=x²−1在区间(−2,2)内有零点，但f(−2)=3>0，f(2)=3>0，f(−2)f(2)>0。命题②为假命题，同样以f(x)=x²−1在(−2,2)内为例，端点同号但函数有两个零点。答案：命题①为假命题，命题②为假命题。 7.回顾反思，提高升华 教师引导学生回顾本节课的主要内容。教师提问：本节课学习了哪些核心概念和方法？预设学生回答：函数零点的概念、零点存在定理、二分法求方程近似解以及函数模型的应用。教师追问：方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点，这三个等价关系体现了什么数学思想？预设学生回答：体现了函数与方程的思想和数形结合的思想。 教师进一步追问：零点存在定理的两个条件是什么？能否省略？预设学生回答：图象连续不断和端点函数值异号，两个条件缺一不可。教师追问：二分法求零点近似值的步骤是什么？预设学生回答：确定初始区间验证f(a)f(b)<0，求中点c，计算f(c)缩小区间，判断|a−b|<ε是否达到精确度。教师追问：在实际问题中如何选择函数模型？预设学生回答：根据实际数据的变化趋势选择合适的函数类型，确定参数后还需检验模型与实际数据的吻合程度。 教学反思：本节课从学生熟悉的一元二次方程与二次函数的关系入手，自然过渡到一般函数零点的概念，再通过具体函数值计算引出零点存在定理，最后系统讲解二分法求方程近似解的步骤。在教学过程中，学生通过反例理解了定理条件的必要性，通过分步演算掌握了二分法的操作流程。不足之处在于二分法的计算过程较为繁琐，部分学生在精确度判断时容易出现计算错误，后续教学中应适当增加计算练习，帮助学生熟练掌握每一步的操作要点。同时在实际应用环节，学生对函数模型的选择仍显生疏，今后可增加更多实际数据的分析练习。 学科网（北京）股份有限公司 $