4.5.2用二分法求方程的近似解（知识清单+4类热点题型讲练+分层强化训练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦“用二分法求方程的近似解”核心知识点，前承函数零点存在性判定，系统梳理区间中点概念、二分法定义及“定区间、求中点、判符号、缩区间”四步操作流程，通过即学即练搭建从理论到初步应用的学习支架。 资料以思维导图构建知识框架，题型精讲涵盖概念理解、区间确定等四类核心题型，典例与变式选自各地阶段检测真题，培养学生逻辑推理的数学思维和数据处理的数学语言。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过夯实基础与能力提升练习查漏补缺。

第06讲 4.5.2用二分法求方程的近似解 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：区间中点 对于区间，其中点 知识点02：二分法 1、二分法的概念 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断的把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection ) 【即学即练1】（25-26高一上·河南·阶段检测）已知函数的图象如图所示，可以用二分法求近似值的零点个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 2、用二分法求零点的近似值 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点 （3）计算; ①若（此时)，则就是函数的零点； ②若（此时)，则令； ③若（此时)，则令； （4）判断是否达到精确度，若，则得到零点近似值(或)，否则重复2--4 【即学即练2】（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）若函数的部分函数值如下，那么方程的一个近似根（误差不超过0.05）可以是（    ） A．1.25 B． C．1.34375 D．1.375 第三部分 题型精讲 题型01二分法概念的理解 【典例1】（24-25高一上·辽宁·期中）下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（24-25高一上·广东·阶段检测）下列函数图象与x轴均有公共点，其中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）下列函数中，有零点且能用二分法求零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27高一上·全国·课堂例题）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是哪一个？ 题型02确定零点（根）所在区间 【典例1】（2026高一·全国·专题练习）已知函数，用二分法求的零点近似值，零点所在大致区间为（ ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·湖北·阶段检测）利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025高一上·福建厦门·专题练习）已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过3次二分法后确定的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·上海·阶段检测）用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点三次，可以确定根所在的最小区间是（    ） A． B． C．D． 题型03用二分法求函数的零点的近似值 【典例1】（24-25高一上·湖南·阶段检测）已知函数在区间内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算的结果如下表所示， 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 0.875 0.2246 那么方程的一个近似根（精确度为0.1）为（   ） A．1 B．1.5 C．1.25 D．1.3125 【典例2】（24-25高一上·全国·课后作业）借助信息技术，用二分法求函数零点的近似值得到下表数据： 1.00 1.25 1.50 1.625 0.6931 0.4325 0.0879 -0.1193 则由表中的数据，可得函数的一个零点的近似值为（精确度为0.1）（    ） A．1.5625 B．1.25 C．1.4375 D．1.46875 【变式1】（24-25高一上·天津·阶段检测）已知函数的部分函数值如表所示: 那么函数的一个零点的近似值（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·全国·随堂练习）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（误差不超过0.025）为（    ） A．1.25 B．1.40625 C．1.4375 D．1.421875 【变式3】（24-25高一上·湖北黄冈·阶段检测）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似根精确到为________． 题型04二分法的过程 【典例1】（23-24高一上·江西吉安·期末）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点，则第二次还需计算函数值（    ） A． B． C．D． 【典例2】（26-27高三上·浙江·开学考试）已知函数在间单调且存在零点，若使用二分法求零点的近似值，要求区间长度小于，则需要进行二分操作的次数为________(参考数据：)． 【变式1】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）用二分法求函数零点近似值时，第一次取的区间是，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026高一·全国·专题练习）用二分法求函数在区间上的零点近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为______． 【变式3】（24-25高一下·江苏南京·期中）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则第二次应计算的函数值是______． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（25-26高一上·吉林延边·期末）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： 1 1.5 1.75 1.8125 1.875 2 0.5796 1.342 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（   ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 2．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：，，，，，那么方程的一个近似解（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 3．在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·广东江门·阶段检测）若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·山东青岛·阶段检测）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 6．（25-26高一上·湖南益阳·阶段检测）设，某同学用二分法求方程的近似解（精确度为0.5），列出了对应值表如下： 0.125 0.4375 0.75 2 0.49 3.58 依据此表格中的数据，得到的方程近似解可能是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（24-25高一上·湖南永州·期末）下列函数图象与轴均有交点，其中能用二分法求其零点的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（23-24高一上·福建龙岩·阶段检测）某同学求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： 则方程的近似解（精确度0.1）可取为（   ） A．2.62 B．2.56 C．2.531 D．2.75 9．（24-25高一上·天津南开·阶段检测）某同学在借助题设给出的数据求方程的近似数（精确到0.1）时，设，得出，且，他用“二分法”取到了4个的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为，那么他所取的4个值中的第二个值为________. 10．（23-24高一上·山东临沂·期末）用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过__________次二分后精确度达到0.1. B能力提升 1．（24-25高一上·全国·课后作业）随着社会的发展，电动车进入了千家万户，给我们的生活带来了极大的方便．某品牌电动车2018年平均每台电动车生产成本为1500元，并以纯利润标定出厂价．2019年开始，公司加强管理，降低生产成本．2022年平均每台电动车尽管出厂价仅是2018年出厂价的，但却实现了纯利润的高收益．若以2018年的生产成本为基数，用二分法求2019—2022年生产成本平均每年降低的百分数（精确度为0.01）（参考数据：）． 2．（24-25高一上·江西萍乡·期末）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)用二分法求方程在区间上的一个近似解（精确度为0.1）． 3．已知函数在区间上单调，且有一个零点． (1)求实数a的取值范围； (2)若，用二分法求方程在区间上的根． 4．已知函数为上的连续函数． (1)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围． (2)若，判断在上是否存在零点？若存在，请在误差不超过0.1的条件下，用二分法求出这个零点所在的区间；若不存在，请说明理由． 5．已知函数． (1)讨论函数在定义域上的单调性，并加以证明； (2)设，已知是的一个零点，求该零点的近似值．（精确到0.01） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 4.5.2用二分法求方程的近似解 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：区间中点 对于区间，其中点 知识点02：二分法 1、二分法的概念 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断的把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection ) 【即学即练1】（25-26高一上·河南·阶段检测）已知函数的图象如图所示，可以用二分法求近似值的零点个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据零点的概念以及二分法的概念，可得答案. 【详解】函数的图象与轴有4个交点，左右函数值异号的交点有3个，所以可以用二分法求近似值的零点个数为3. 故选：C. 2、用二分法求零点的近似值 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点 （3）计算; ①若（此时)，则就是函数的零点； ②若（此时)，则令； ③若（此时)，则令； （4）判断是否达到精确度，若，则得到零点近似值(或)，否则重复2--4 【即学即练2】（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）若函数的部分函数值如下，那么方程的一个近似根（误差不超过0.05）可以是（    ） A．1.25 B． C．1.34375 D．1.375 【答案】C 【分析】利用零点存在性定理不断缩小零点所在区间，在误差范围内即可得解． 【详解】依题意，方程的一个近似根即函数的一个零点的近似值，该函数的定义域为，故函数在上连续. 因，满足，则该零点在区间内， 但，取，因，满足，故该零点在区间内， 但，再取，因，满足，故该零点在区间内， 但，再取，因，满足，故该零点在区间内， 但，再取，则， 又因区间端点值不作为近似值，故可取为方程的一个近似根. 故选：C. 第三部分 题型精讲 题型01二分法概念的理解 【典例1】（24-25高一上·辽宁·期中）下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【详解】对于A，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，函数， 故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点； 对于C，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，当且仅当时，等号成立， 在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于D，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B 【典例2】（多选）（24-25高一上·广东·阶段检测）下列函数图象与x轴均有公共点，其中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用二分法的使用条件，结合图象即可得解. 【详解】能用二分法求零点的函数必须在给定区间上连续不断， 并且有，A、B中不存在，D中函数不连续． 故选：ABD． 【变式1】（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二分法求零点的要求，逐一分析各选项即可得解. 【详解】不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号； 对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，有唯一零点， 但恒成立，故不可用二分法求零点； 对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点； 对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B. 【变式2】（多选）（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）下列函数中，有零点且能用二分法求零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，由知此函数的判别式，故函数无零点；对于D．由知此函数的判别式，故无法用二分法求零点近似值；对于B，C，函数存在变号零点，能用二分法求解． 【变式3】（26-27高一上·全国·课堂例题）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是哪一个？ 【答案】①③ 【解析】略 题型02确定零点（根）所在区间 【典例1】（2026高一·全国·专题练习）已知函数，用二分法求的零点近似值，零点所在大致区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二分法的定义和计算方法求解即可. 【详解】由函数的解析式可得函数的定义域为，且函数单调递增， 因为， ， ，， 结合函数零点存在定理可知函数的零点位于的区间为， 【典例2】（25-26高一上·湖北·阶段检测）利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，易知在上单调递增，进而根据，即可判断. 【详解】解：由得， 构造函数， 因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为， ， 所以的零点位于区间，也即方程的近似解在区间. 故选：C 【变式1】（2025高一上·福建厦门·专题练习）已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过3次二分法后确定的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用零点存在定理结合二分法，不断把区间一分为二计算判断. 【详解】由，且，，得在内有零点； 由，且，，得在内有零点； 由，，，得在内有零点 所以经过3次二分法后确定的零点所在区间为． 故选：B 【变式2】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用零点存在定理结合二分法，不断把区间一分为二计算求解. 【详解】由二分法可知，第一次计算，又，， 由零点存在性定理知零点在区间上， 所以第二次应该计算，又， 所以零点在区间上． 故选：A． 【变式3】（24-25高一上·上海·阶段检测）用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点三次，可以确定根所在的最小区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在性定理，结合“二分法”的概念，可得答案. 【详解】令，则，， 由，，， 则方程在区间内有实根. 故选：C. 题型03用二分法求函数的零点的近似值 【典例1】（24-25高一上·湖南·阶段检测）已知函数在区间内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算的结果如下表所示， 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 0.875 0.2246 那么方程的一个近似根（精确度为0.1）为（   ） A．1 B．1.5 C．1.25 D．1.3125 【答案】D 【分析】由零点存在性定理和，得到方程的一个近似根为1.3125. 【详解】由于在R上为连续函数， ，， 且， 而，均不合要求， 故方程的一个近似根为1.3125，D正确 故选：D 【典例2】（24-25高一上·全国·课后作业）借助信息技术，用二分法求函数零点的近似值得到下表数据： 1.00 1.25 1.50 1.625 0.6931 0.4325 0.0879 -0.1193 则由表中的数据，可得函数的一个零点的近似值为（精确度为0.1）（    ） A．1.5625 B．1.25 C．1.4375 D．1.46875 【答案】A 【分析】利用零点存在性定了即可判断. 【详解】因为，故的零点在区间内， 区间长度为，因此需要取区间的中点1.5625， 两个区间和中必有一个满足区间端点的函数值符号相异， 此时区间长度，因此1.5625是一个近似解． 故选：A 【变式1】（24-25高一上·天津·阶段检测）已知函数的部分函数值如表所示: 那么函数的一个零点的近似值（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理分析零点所在区间，再根据二分法可得结果. 【详解】根据题干所给数据可知，，，且函数在上为增函数， 由零点存在定理可知，函数的唯一零点在区间内， 区间长度为，结合选项可知，其近似值为. 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·全国·随堂练习）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（误差不超过0.025）为（    ） A．1.25 B．1.40625 C．1.4375 D．1.421875 【答案】D 【分析】利用零点存在性定理找到零点所在区间，即可获得方程的近似解 【详解】， ，零点在区间内， 即该方程的根在区间内，结合各选项，方程的近似解为1.421875. 故选：D. 【变式3】（24-25高一上·湖北黄冈·阶段检测）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似根精确到为________． 【答案】 【分析】根据二分法逐进行求解即可. 【详解】因为，所以在内函数必有零点， 因为，所以函数零点在内， 因为，所以函数零点在内， 因为，所以函数零点在内， 因为，所以函数零点在内， 而， 所以方程的一个近似根精确到为， 故答案为：. 题型04二分法的过程 【典例1】（23-24高一上·江西吉安·期末）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点，则第二次还需计算函数值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二分法，可得答案. 【详解】由题意，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点， 由于，则第二次需计算， 故选：C． 【典例2】（26-27高三上·浙江·开学考试）已知函数在间单调且存在零点，若使用二分法求零点的近似值，要求区间长度小于，则需要进行二分操作的次数为________(参考数据：)． 【答案】 【分析】根据二分法的含义知，每次二分都会将原有的区间长度缩为可得至少需要进行多少次函数值的计算. 【详解】每进行一次函数值计算，区间长度变为原来的，进行次计算后，区间长度为， 则， 得，得， 得， 则要进行二分操作的次数为． 【变式1】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）用二分法求函数零点近似值时，第一次取的区间是，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由二分法求解步骤即可判断. 【详解】第二次所取的区间可能为，第三次所取的区间可能为，． 故选：AD 【变式2】（2026高一·全国·专题练习）用二分法求函数在区间上的零点近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为______． 【答案】7 【分析】根据二分法，n次此操作后，区间长度变为，再解即可. 【详解】区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过次此操作后，区间长度变为． 因为用二分法求函数在区间上的零点近似解， 要求精确度为0.01，所以． 因为，，所以，即所需二分区间的次数最少为7． 故答案为：7. 【变式3】（24-25高一下·江苏南京·期中）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则第二次应计算的函数值是______． 【答案】 【分析】根据零点的存在性定理，以及二分法的计算方法，得到第二次计算，即可的得到答案. 【详解】由函数的零点时，第一次经过计算得，， 即，可得零点， 根据二分法，第二次计算. 故答案为： 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（25-26高一上·吉林延边·期末）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： 1 1.5 1.75 1.8125 1.875 2 0.5796 1.342 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（   ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【分析】由零点存在定理及二分法求解即可. 【详解】由表格可得，函数的零点在区间（1.75，1.8125）内， 且， 结合选项可知，方程的近似解可取1.8． 故选：C． 2．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：，，，，，那么方程的一个近似解（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二分法基本原则确定满足精确度的区间即可得到近似解. 【详解】，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 满足精确度，， 方程的一个近似解为. 故选：C. 3．在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用二分法及零点存在定理即可判断. 【详解】根据， 则由二分法可得近似解所在的区间为. 故选：C. 4．（25-26高三上·广东江门·阶段检测）若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二分法求解方程近似解的方法计算即可. 【详解】令，因为， 所以，又，， 则，又因为，所以． 故选：B. 5．（25-26高三上·山东青岛·阶段检测）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【分析】由二分法，结合表格可知函数的零点在区间内，然后根据选项判断即可. 【详解】由表格可得，函数的零点在区间内， 且，结合选项可知，方程的近似解可取1.8． 故选：C. 6．（25-26高一上·湖南益阳·阶段检测）设，某同学用二分法求方程的近似解（精确度为0.5），列出了对应值表如下： 0.125 0.4375 0.75 2 0.49 3.58 依据此表格中的数据，得到的方程近似解可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由表格数据可知，，又因为函数在上连续，且函数在上单调递增，所以函数在区间上存在一个零点.又因为，所以方程的近似解（精确度为0.5）可以是区间上的任意一个数，观察四个选项可知C正确. 7．（多选）（24-25高一上·湖南永州·期末）下列函数图象与轴均有交点，其中能用二分法求其零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据二分法的适用条件可得出合适的选项. 【详解】由二分法的定义知，若函数在区间上连续，且满足， 则可以利用二分法求函数的零点的近似值， 所以选项B、D中函数零点左右函数值不变号，不能用二分法求函数零点， 选项A、C中函数零点左右函数值变号，能用二分法求函数零点. 故选：AC. 8．（多选）（23-24高一上·福建龙岩·阶段检测）某同学求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： 则方程的近似解（精确度0.1）可取为（   ） A．2.62 B．2.56 C．2.531 D．2.75 【答案】BC 【分析】利用函数的性质及零点存在性定理，结合精确度的理解就可以确定答案. 【详解】因为函数在其定义域内单调递增， 结合表格中数据： 可知方程的近似解所在区间可以是 根据区间的长度计算分别为， 根据精确度为，可知方程的近似解在区间上， 根据精确度为的要求，可在区间上任选一个值作为该方程的近似解, 故选：BC. 9．（24-25高一上·天津南开·阶段检测）某同学在借助题设给出的数据求方程的近似数（精确到0.1）时，设，得出，且，他用“二分法”取到了4个的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为，那么他所取的4个值中的第二个值为________. 【答案】 【分析】利用“二分法”的定义，每次把原区间缩小一半，且保证方程的近似解不能跑出各个小的区间，从而得解. 【详解】根据“二分法”的定义，最初确定的区间是，又方程的近似解是， 故后4个区间分别是， 故它取的4个值分别为， 故答案为：. 10．（23-24高一上·山东临沂·期末）用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过__________次二分后精确度达到0.1. 【答案】4 【分析】利用二分法定义判断零点所在区间，并确定精确度. 【详解】，，，所以，满足， 开区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n此操作后，区间长度变为， 故有，即，则， 所以至少需要操作4次. 故答案为：4. B能力提升 1．（24-25高一上·全国·课后作业）随着社会的发展，电动车进入了千家万户，给我们的生活带来了极大的方便．某品牌电动车2018年平均每台电动车生产成本为1500元，并以纯利润标定出厂价．2019年开始，公司加强管理，降低生产成本．2022年平均每台电动车尽管出厂价仅是2018年出厂价的，但却实现了纯利润的高收益．若以2018年的生产成本为基数，用二分法求2019—2022年生产成本平均每年降低的百分数（精确度为0.01）（参考数据：）． 【答案】2019～2022年生产成本平均每年降低． 【分析】设2019～2022年生产成本平均每年降低的百分数为，由题意构造函数，结合零点存在性定理即可判断. 【详解】解：设2022年每台电动车的生产成本为元，依题意得， 解得，所以2022年每台电动车的生产成本约为924元． 设2019～2022年生产成本平均每年降低的百分数为， 根据题意，得，令，作出的对应值表： 60.15 则，故函数在区间内有零点． 取区间的中点，可得． 由，得， 取的中点，得， 因为，所以， 同理，又， 所以原方程的近似解可取为0.1125， 故2019～2022年生产成本平均每年降低． 2．（24-25高一上·江西萍乡·期末）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)用二分法求方程在区间上的一个近似解（精确度为0.1）． 【答案】(1) 在单调递增；证明如下： 任取，不妨设，， 因为，则，，， 可得，即， 所以在上单调递增. (2)2.6（内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解） 【分析】（1）根据题意结合单调性的定义分析证明； （2）根据单调性以及零点存在性定理可知在内有且仅有一个零点，结合二分法分析求解. 【详解】（1）略 （2）因为函数在区间上是连续且单调的， 可知其在区间上的零点即为方程在区间上的解， 且，，可得在内有且仅有一个零点， 在区间上利用二分法列表如下： 区间 中点 中点函数值 区间长度 1 此时解在区间，此区间长度为，，满足精确度为0.1，故区间， 即内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解，比如2.6是方程在上的一个近似解． 3．已知函数在区间上单调，且有一个零点． (1)求实数a的取值范围； (2)若，用二分法求方程在区间上的根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由题意判断，则根据题意结合零点存在性定理得，且或，从而可求出a的取值范围； （2）先求出的值，则可得的零点在上，再求的值即可得答案 【详解】（1）若a＝0，则，与题意不符，所以． 因为函数在区间上单调且有一个零点 由题意得， 解得 因为函数在区间上单调， 所以或， 因为，所以， 所以或， 综上， 所以实数a的取值范围为． （2）若，则， ∴，，， ∴函数的零点在上，又， ∴方程在区间上的根为． 4．已知函数为上的连续函数． (1)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围． (2)若，判断在上是否存在零点？若存在，请在误差不超过0.1的条件下，用二分法求出这个零点所在的区间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，区间为. 【分析】（1）根据，结合二次函数的图象与性质，可知在区间上单调递减，结合条件在区间上存在零点，则有，解不等式组即可求出实数的取值范围； （2）当时，得，可知在区间上单调递减，并求得，根据零点存在性定理可知在上存在唯一零点，最后利用二分法和零点存在性定理，求出在误差不超过0.1的条件下的零点所在的区间. 【详解】（1）解：为二次函数，开口向上，对称轴为， 可知函数在区间上单调递减， ∵在区间上存在零点，∴， 即，解得：， ∴实数的取值范围是． （2）解：当时，为二次函数，开口向上，对称轴为， 所以在区间上单调递减， ，，则， ∴函数在上存在唯一零点， 又为上的连续函数， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， 此时误差为，即满足误差不超过0.1， ∴零点所在的区间为． 5．已知函数． (1)讨论函数在定义域上的单调性，并加以证明； (2)设，已知是的一个零点，求该零点的近似值．（精确到0.01） 【答案】(1)，函数定义域为，函数单调递增， 设，则， ，，故，故函数在上单调递增. (2) 【分析】（1）确定函数定义域，利用定义法证明函数单调性. （2）根据零点存在定理，利用二分法计算得到答案. 【详解】（1）略 （2），，， ，， ，， ， ，， 故. 【点睛】本题考查了函数单调性，求函数零点，意在考查学生的计算能力和应用能力. 学科网（北京）股份有限公司 $