专题10 数轴上的动点问题十类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版七年级上册

**基本信息** 以“动中取静”为核心通法，系统构建数轴动点问题的十类题型方法体系，从单动点到多动点、从基础运动到分类讨论与周期性运动，逻辑递进，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心方法|动中取静（定格关键瞬间+坐标表示+方程检验）|提炼动点问题本质，奠定思维基础| |题型归纳|10类题型（每类含例题+变式）|分题型提炼特征与步骤（如分段运动找分界点、分类讨论分区间）|从单点到多点，从匀速到变速/往返，层层递进| |压轴挑战|12道综合题|综合应用多类方法（周期规律+动态分类）|衔接中考压轴，提升复杂问题解决能力|

专题10 数轴上的动点问题的十类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、单动点的基本运动 2 题型二、单动点的分段运动 5 题型三、两动点同向运动 12 题型四、两动点相向运动 16 题型五、两动点先后运动 19 题型六、动点中距离问题 23 题型七、距离和差为定值问题 30 题型八、动点中点问题 37 题型九、分类讨论型动点问题 44 题型十、多动点周期性运动问题 51 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 数轴上的动点问题，核心就一招——"动中取静"​。动点看似变化多端，本质就是几个关键瞬间的位置关系。做题时先把动点轨迹画在数轴上，把关键瞬间（出发、相遇、追及、中点）"定格"标好坐标，再根据运动情境列方程或不等式。所有结果，最终都要 代回数轴检验是否符合情境。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、单动点的基本运动 题型模版 1.特征： 只有一个动点在数轴上运动，通常给出起点、运动方向、速度和时间。题目核心是判断动点运动后对应的数，以及它与原点或某个固定点的相对位置。这是所有动点问题的基础。 2.方法：1. 先在数轴上标出起点，明确“向右为正、向左为负”。 2. 根据“路程＝速度×时间”确定移动的单位长度。 3. 用“起点对应的数 ± 移动路程”表示运动后的位置；向右用加，向左用减。 4. 最后结合数轴判断点在原点左侧、右侧，或与某固定点的位置关系。 例1. 已知数轴上有，两个点，分别表示有理数，． (1)数轴上点到点的距离为______；数轴上到点，的距离相等的点的位置表示的有理数为______； (2)若有动点从点出发，以每秒1个单位的速度向右移动，设移动时间为秒．用含的式子分别表示点到点和点的距离． (3)若，则的取值范围是______； (4)若表示一个有理数，则式子有最大值吗？若有，请求出最大值．若没有，说出理由． 【答案】(1)； (2)当时，，；当时，， (3) (4)有，最大值 【分析】（1）根据两点之间的距离公式和中点公式，计算即可； （2）根据两点之间的距离公式，列出代数式即可； （3）根据两点之间的距离公式，即可解答； （4）把问题转化为式子，当最小时，代数式的值最大，根据绝对值的几何意义分析，得出当在与之间时，有最小值，然后把的最小值代入代数式，计算即可得出代数式的最大值． 【详解】（1）解：∵数轴上有，两个点，分别表示有理数，， ∴数轴上点到点的距离为； ∴数轴上到点，的距离相等的点的位置表示的有理数为； 故答案为：； （2）解：根据题意，可得：秒时点的位置为， ∴，， 当时，， 当时，， 综上所述，当时，，；当时，，． （3）解：∵表示数轴上到两点之间的距离，表示数轴上到两点之间的距离， 又∵， ∴的取值范围为：； 故答案为： （4）解：有最大值，理由如下： 根据绝对值的定义，可得：表示为点到与两点距离之和， 根据几何意义分析，可得：当在与之间时，有最小值， ∴ ， ∴式子有最大值． 【点睛】本题考查了数轴、两点之间的距离公式和中点公式、列代数式、绝对值的定义，理解绝对值的几何意义是解本题的关键． 变式1-1. 如图，在数轴上有A、B两点，点A表示的数为，点B表示的数为14，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒（）． (1)当时， ，此时点P表示的数为 ； (2)当时，求t的值； (3)若动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点P、Q同时出发，经过多少秒后，P、Q两点之间的距离为6个单位长度？ 【答案】(1)4； (2)4 (3)经过6秒或10秒后，P、Q两点之间的距离为6个单位长度 【分析】本题主要考查数轴上两点距离，整式加减的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据数轴上有理数的表示及两点距离可进行求解； （2）由题意易得点P表示的数为，，然后可分当P在A、B之间时，当P在B的右侧时，进而分类进行求解即可； （3）由题意易得点P表示的数为，点Q表示的数为，则有，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，点所表示的数为； 故答案为4；； （2）解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为， ∵，， ∴分两种情况： ①当P在A、B之间时，即，，， 则， 解得； ②当P在B的右侧时，，， 则， 解得（舍去）， 综上，t的值为4． （3）解：设经过t秒后，P、Q两点之间的距离为6个单位长度 此时点P表示的数为，点Q表示的数为， 则， 即， 解得或， 即或； 答：经过6秒或10秒后，P、Q两点之间的距离为6个单位长度． 变式1-2. 如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB=20，动点P从点A出发，以3个单位/秒的速度沿着数轴负方向匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．       (1)写出数轴上点B表示的数 ；动点P对应的数是 （用含t的代数式表示）； (2)动点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度匀速运动，且点P, Q同时出发 ①若动点Q沿着数轴正方向匀速运动，多少秒时点P与点Q相遇？ ②若动点Q沿着数轴负方向匀速运动，多少秒时点P与点Q相距4个单位？ 【答案】(1)，;（ (2)①5,② 8秒或12秒 【分析】（1）由数轴的性质和AB的距离可计算B表示的数，点在数轴上运动左减右加的原则列出代数式． （2）① 动点在数轴上相反方向运动时相遇是速度和乘时间等于两点距离 ②动点在数轴上相同方向运动时属于追赶问题，分两种情况讨论 【详解】（1）（1）， （2）（2）①由题意得： 解得 答：5秒时点P与点Q相遇· ②第一种情况：点P追上点Q前 解得 第二种情况：点P追上点Q后       解得 答：经过8秒或12秒时点P与点Q相距4个单位． 【点睛】相遇问题和追赶问题在数轴上的实际应用，数形结合是本题的考点．正确分析问题是解决本题的关键． 题型二、单动点的分段运动 题型模版 特征： 动点运动过程中会改变方向，或到达某个位置后折返，也可能不同阶段采用不同速度。此类题不能把整个运动过程当成一个阶段，需要按时间或转折点分段分析。 方法： 1. 先找出运动过程中的“分界点”，如折返点、变速时刻、改变方向的时刻。 2. 把整个运动过程分成若干阶段，每一阶段分别判断方向、速度和运动时间。 3. 逐段确定该阶段结束时的位置，并把它作为下一阶段的起点。 4. 遇到往返或重复运动时，可进一步观察一个完整往返过程是否形成周期。 例2. 学习情境·规律探究如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，并且规定： 每向左运动秒就向右运动秒，则该动点运动到第秒时所对应的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，根据移动的方向、速度和规律进行计算找出运动的规律即可求解，找到动点的运动规律是解题的关键． 根据题意：一个动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，并且规定：每向左运动秒就向右运动秒，可知该点运动周期为秒，每秒向左运动一个单位，即可求解． 【详解】解：一个动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，并且规定：每向左运动秒就向右运动秒， 该点运动周期为秒，每秒向左运动一个单位， ， 该点运动到第秒时对应的数为， 第秒再向左运动一个单位长度得， 第秒再向左运动一个单位长度得， 第秒再向左运动一个单位长度得， 第秒再向右运动一个单位长度得， 故选：B． 变式2-1. 如图，数轴上一动点从原点出发，在数轴上进行往返运动，运动情况如下表．    运动次数 运动路程（记向右为正） 第1次 第2次 第3次 第4次 当，回答下列问题： （1）第2次运动的方向是向_________运动（填“左”或“右”）； （2）通过计算，在数轴上确定点第3次运动后的大概位置； （3）经历4次运动后，若点想回到原点，则需要再向________（填“左”或“右”）运动，运动的距离是__________； （4）求点在这4次运动过程中运动距离的总和． 【答案】（1）左；（2）点第3次运动后在数轴上的大概位置在7和9之间；（3）左；；（4）点在这4次运动过程中运动距离的总和为 【分析】（1）根据x的取值范围求出的符号，然后根据正负数的意义即可得出结论； （2）求出前3次运动路程之和，然后判断其符号即可得出结论； （3）先求出经历4次运动后，点A所在的位置，然后即可得出结论； （4）先判断每次运动路程的符号，然后将其绝对值相加即可得出结论． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴＜0 ∴第2次运动的方向是向左运动 故答案为：左； （2） ∵ ∴ ∴点第3次运动后在数轴上的大概位置在7和9之间； （3） ∵ ∴＞0 ∴经历4次运动后，点A在原点右侧，距离 ∴若点想回到原点，则需要再向左运动，运动的距离是； 故答案为：左；； （4）∵ ∴＞0，＜0 ∴ = = 即点在这4次运动过程中运动距离的总和为． 【点睛】此题考查的是用代数式表示实际意义和整式加法的应用，掌握实际问题各个量的关系是解决此题的关键． 变式2-3. 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A 和点B 表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离． ，若 则可化简为． 若， 则可化简为， 请你利用数轴解决以下问题∶ (1)已知点 P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，m满足，则m的值为 ； (2)已知点 P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示2的点的右边，则 ； (3)已知点A， B， C， D在数轴上分别表示数a， b， c， d， 四个点在数轴上的位置如图所示， 若， ，， 则等于 ． (4)已知，数轴上一动点Q从数 100表示的点出发，沿数轴以每秒钟 1个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度……，求Q 点运动几秒钟后满足 的值最小？ 【答案】(1)， (2) (3) (4)秒 【分析】（1）由绝对值的意义可得或，再进一步求解即可； （2）由数轴上点P位于表示2的点的右边，即，再化简绝对值即可； （3）由数轴可得，再结合线段的和差关系可得答案； （4）求解当时，的值最小，最小值为，结合，每次向左移动个单位；进一步可得答案. 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解得或． （2）解：∵数轴上点P位于表示2的点的右边，即， ∴． （3）解：∵，， ，， ∴． （4）解：设Q点表示的数为时，的值最小， 当时， ， 当时， ， 此时， 当时， ， 此时， 当时， ， 此时， ∴当时，的值最小，最小值为， ∵数轴上一动点Q从数 100表示的点出发，沿数轴以每秒钟 1个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度； ∴，则最终满足条件时，需要向左平移103个单位，由已知可得：每次向左移动个单位； ∴， ∴Q点运动次， ∴ ， ∴Q点运动秒钟满足条件． 【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，整式的加减运算，化简绝对值，线段的和差，数轴上的动点问题；理解题意是关键. 变式2-4. 七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴” 素材1 如图，将一条数轴在原点 O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”． 图中点A表示， 点B表示12， 点C表示24， 点 D表示36，我们称点 A与点 D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为 ． 素材2 动点 P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点 B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点 B与点 C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点 C后立刻恢复初始速度． 问题解决 探索 1 动点 P从点 A运动至点 B需要多少时间？ 探索 2 动点P从点A出发，运动 t秒至点B和点C之间时，求点 P表示的数 （用含 t的代数式表示）； 【答案】探索1：秒；探索2：． 【分析】本题主要考查数轴上动点计算问题、数轴上两点间距离问题等知识点，理解题意并掌握相关的知识是解题的关键． 探索1：先求得和的长度，再说明点P在和上的速度为2个单位长度/秒和1个单位长度/秒，再根据时间、路程、速度的关系列式计算即可； 探索2：由探索1可得P在段运动时间为： 秒，进而得到，结合点B表示12即可解答． 【详解】解：探索1：∵点A表示， 点B表示12， ∴，， ∵P在段初始速度为2个单位长度/秒，P在段初始速度的一半， ∴P在段速度为1个单位长度/秒， ∴P从点A运动至点B的时间为：（秒）； 探索2：∵P的初始速度为2个单位长度/秒，P在段初始速度的两倍， ∴P在段速度为4个单位长度/秒， ∵点B表示12，点C表示24， ∴ 由探索1可得：P在段运动时间为： 秒， ∴， ∴P表示的数为：． 题型三、两动点同向运动 题型模版 特征： 两个动点从数轴上不同位置出发，朝同一方向运动。重点不是简单看两点都向哪边运动，而是比较两点速度，从而判断它们之间的距离是变大、变小还是保持不变。 方法： 1. 先分别确定两点的初始位置，并判断谁在左、谁在右。 2. 比较两点运动方向和速度大小：后面的点更快，距离一般缩小；前面的点更快，距离一般增大。 3. 分别表示两点在同一时刻的位置，再根据左右顺序求两点距离。 4. 若两点可能发生位置交换，要注意交换前后“左点、右点”会发生变化。 例3. 如图，数轴上点A，B，O表示的数分别是，动点P，Q同时从点A，B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右运动．在运动过程中，下列数量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设P，Q运动秒，写出P，Q点表示的数，计算，比较即可选出答案． 【详解】解：设P，Q运动秒， 则点表示的数为：， 点表示的数为：， ∴， ∴， ∴． 变式3-1. 如图，数轴上A，B两点分别表示和5，一动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动；另一动点Q同时从点B出发，以每秒1个单位的速度同向而行，设运动时间为t秒． (1)当t为多少秒时，的值为8个单位长度； (2)当t为多少秒时，点P与点Q相距3个单位长度． 【答案】(1)2秒 (2)8秒或2秒 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，一元一次方程的运用． （1）根据题意，t秒时，点P所表示的数为，由两点之间距离的计算列式求解即可； （2）t秒时，点P所表示的数为，点Q所表示的数为，由两点之间距离的计算列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，t秒时，点P所表示的数为， 由题意可得： ， 当点P在之间时，， 解得，； 当点P在点右边时，，无解； 综上所述，当t为2时，的值为8个单位长度； （2）解：由题意，t秒时，点P所表示的数为，点Q所表示的数为， 由题意可得：， 解得：或， 答：或时，点P与点Q相距3个单位长度． 变式3-2. 如图，数轴上A，B两点分别表示和5． (1)线段与的数量关系为： ； (2)一动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动；另一动点Q同时从点B出发，以每秒1个单位的速度同向而行，设运动时间为t秒． ①当t为多少秒时，的值为8个单位长度； ②当t为多少秒时，点P与点Q相距3个单位长度． 【答案】(1)2 (2)①当t为2时，的值为8个单位长度②当或时，点P与点Q相距3个单位长度 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解数轴上两点间距离公式是解题的关键． （1）利用数轴上两点间距离公式求得与的长度，从而分析其数量关系； （2）①表示出点P在运动过程中所表示的数，然后利用数轴上两点间距离公式列方程求解； ②分别表示出点P和点Q在运动过程中所表示的数，然后利用数轴上两点间距离公式列方程求解． 【详解】（1）解：∵数轴上A，B两点分别表示和5， ∴，， ∴， 故答案为：2； （2）解：①由题意，t秒时，点P所表示的数为，由题意可得： ， 解得：， 答：当t为2时，的值为8个单位长度； ②由题意，t秒时，点P所表示的数为2t，点Q所表示的数为， 由题意可得：， 解得：或， 答：或时，点P与点Q相距3个单位长度． 变式3-3. 如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，到达点A时运动停止．设运动的时间为t（秒）． (1)P、A两点间的距离是___________；（用含字母t的代数式表示） (2)当t的值分别为和时，求O，Q两点间的距离； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求O，P两点间的距离． 【答案】(1) (2)时距离为6；时距离为2 (3)点P到原点O的距离为2或6 【分析】（1）根据题意直接列式即可求解； （2）当时，先计算AQ，小于8，则用8减去AQ即可得OQ；当t＝2.5时，点Q运动的距离大于8，则用点Q运动的数值减去8即可； （3）当点Q到原点O的距离为4时，分两种情况：Q在O左边时，Q在O右边时，分别计算即可． 【详解】（1）由点A表示的数是8可得：， 根据运动的特点可知：， 则：， 故答案为：； （2）当时，， ∵， ∴， ∴点Q到原点O的距离为6； 当时，点Q运动的距离为， ∵， ∴， ∴点Q到原点O的距离为2； （3）当点Q到原点O的距离为4时， Q向左运动时，， ∵， 则， ∴， ∴； Q向右运动时，， ∴Q运动的距离是， ∴运动时间， ∴， ∴点P到原点O的距离为2或6． 【点睛】本题考查了动点在数轴上的运动，正确分析题意并分类讨论，是解题的关键．解答本题时注意分类讨论． 题型四、两动点相向运动 题型模版 特征： 两个动点运动方向相反。相向运动时两点距离不断缩小，经过相遇位置后可能再次增大；背向运动时两点距离通常不断增大。常考两点间距离随时间的变化规律。 方法： 1. 先判断两点是“相向靠近”还是“背向远离”。 2. 相向时可从“原距离减去两点共同缩短的距离”理解；背向时可从“原距离加上两点共同增加的距离”理解。 3. 若相向运动后两点交叉，需要分清交叉前后的位置顺序。 4. 求具体位置时，仍分别从各自起点按运动方向确定位置，再比较两点 例4. 如图，数轴上点A表示的数为6，点B位于A点的左侧，AB=10，动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动． （1）点B表示的数是 ； （2）若点P，Q同时出发，求： ①当点P与Q相遇时，它们运动了多少秒？相遇点对应的数是多少？ ②当PQ=5个单位长度时，它们运动了多少秒？ 【答案】（1）；（2）①当点P与Q相遇时，它们运动了2秒，相遇点对应的数是0；② PQ＝5个单位长度时，它们运动了1或3秒 【分析】（1）用6-10=-4，即可求解； （2）设运动时间为t秒，则此时点P表示的数为6－3t，点Q表示的数为2t－4． ① 当点P与Q相遇时，求出运动时间，即可求出点Q表示的数； ②分PQ未相遇和相遇后两种情况讨论即可求解． 【详解】解：（1）6-10=-4， 答：点B表示的数是－4    （2）设运动时间为t秒，则此时点P表示的数为6－3t，点Q表示的数为2t－4. ① 当点P与Q相遇时，t＝（秒）， 所以2t－4＝0 答：当点P与Q相遇时，它们运动了2秒，相遇点对应的数是0． ②当PQ未相遇，且PQ＝5个单位长度，t＝（秒）； 当PQ相遇后，且PQ＝5个单位长度，t＝（秒）； 答：PQ＝5个单位长度时，它们运动了1或3秒． 【点睛】本题考查了数轴上点的运动，理解好行程问题是解题的关键，要注意P和Q距离5个单位分相遇前和相遇后两种情况讨论． 变式4-1. 如图，数轴上点A表示的数为．点B表示的数为7．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，设点P的运动时间为t秒． (1)①A、B两点之间的距离为______，到A、B两点距离相等的点表示的数为______； ②用含t的式子分别表示t秒后点P与点Q表示的数； (2)当时，描述P、Q两点的位置关系． 【答案】(1)①12，1 ；②t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为； (2)当时，P、Q两点重合． 【分析】（1）①由点A，B表示的数，利用数轴上两点的距离公式可求出线段的长，由线段AB的中点表示的数＝点A表示的数＋，可得到A、B两点距离相等的点表示的数；②根据点P，Q的出发点、运动方向及运动速度，可用含t的代数式表示出点P，Q表示的数； （2）分别求出时，点P、Q表示的数，进而可得答案． 【详解】（1）解：①A、B两点之间的距离为：， ∴线段的中点表示的数为，即到A、B两点距离相等的点表示的数为1， 故答案为：12，1； ②∵动点P从点A出发，以每秒2个单位长度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动， ∴t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， 故答案为：；； （2）解：∵当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴当时，P，Q两点重合． 【点睛】本题考查了数轴、列代数式以及代数式求值，解题的关键是熟练掌握数轴特点和数轴上两点间的距离公式． 变式4-2. 已知有理数a，b满足，有理数c比a小1，且a，b，c分别是点A，B，C在数轴上对应的数．若动点M，从点A出发沿数轴正方向运动，动点N同时从点B出发沿数轴负方向运动，点M的速度是每秒3个单位长度，点N的速度是每秒1个单位长度． (1)在如图所示的数轴上标出点A，B，C的位置； (2)①求运动前，点M，N之间的距离； ②求运动t秒后，点M，N在数轴上对应的数．（用含t的代数式表示） 【答案】(1) 点，，在数轴上的位置如图所示： (2)①6；②点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为 【分析】本题考查非负性，列代数式，熟练掌握数轴上两点间的距离公式，是解题的关键： （1）根据非负性求出的值，进而确定的值，再在数轴上表示出三个数即可； （2）①根据数轴两点间的距离公式计算即可；②根据数轴上的点右移加，左移减，列出代数式即可． 【详解】（1）解：有理数a，b满足， ，， ，， 有理数比小1， ． （2）点从点出发沿数轴正方向运动，点同时从点出发沿数轴负方向运动， 由（1）知点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为5， ①运动前点，之间的距离为； ②点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度， 运动秒后，点与点的距离为，点与点的距离为， 运动秒后，点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为． 题型五、两动点先后运动 题型模版 特征： 两个动点不是同时开始运动，一个先出发，另一个经过一段时间后再出发。因此整个过程天然具有“前一阶段只有一个点运动、后一阶段两个点同时运动”的分段特点。 方法： 1. 先抓住后一个动点的“出发时刻”，把它作为分界点。 2. 第一阶段只计算先出发点的位置变化，确定第二个点开始运动时两点各自的位置。 3. 第二阶段再把此时的位置作为新的起点，研究两个动点的共同运动。 4. 若题目问某时刻的距离或位置关系，要先判断该时刻属于哪个阶段，再作答 例5. 在数轴上有两点A，B，并且A，B表示的数a，b分别是﹣6，18．现在P，Q都从A点出发往B点停止，已知P点速度是4个单位长度/秒，Q点速度6个单位长度/秒，已知P出发1秒后，Q才出发． （1）若M点与Q点同时从A点出发，且M点速度是8个单位长度/秒，M出发追上P后再返回与Q相遇就停止，它一共走了多远？ （2）在整个过程中，P，Q两点在Q点出发后多久相距一个单位长度？ 【答案】（1）个单位长度；（2）秒或秒或时 【分析】（1）先计算出M与P相遇的时间，再计算M返回与Q相遇的时间，根据路程＝速度×时间即可求出M的路程． （2）根据PQ相距1个单位，设Q出发的时间为t，分情况讨论，P点在Q点的左面和右面和Q到达B时，列出相对的关于t的方程即可求得相对的时间． 【详解】（1）M出发追上P的时间为4×1÷（8﹣4）＝1（秒），此时，Q点走的路程为6×1=6；M点走的路程为8×1=8；M追上P后再返回与Q相遇时间为（8﹣6）÷（8+6）＝ M一共走了， 答：M出发追上P后再返回与Q相遇就停止，它一共走了个单位长度； （2）设Q点出发t秒后，与P点相距1个单位，则P点运动的时间为t+1秒， ①P在Q点的右边时，AP﹣AQ＝1， 4×（t+1）﹣6t＝1， 解得t＝， ②P在Q点的左边时，AQ﹣AP＝1， 6t﹣4（t+1）＝1， 解得t＝． ③当Q到达B时，t＝， 此时P距B点24-4×(4+1)=4， 再走3个单位长度时，PQ相距1个单位， t＝4+ ∴当Q点出发秒或秒或时，PQ相距1个单位． 【点睛】本题主要考查的数轴上点的运动，掌握路程＝速度×时间是基本要求，关键在于能用时间t的代数表示出两点间的距离，构建方程模型解决问题． 变式5-1. 如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（）秒. （1）数轴上点B表示的数______；点P表示的数______.（用含t的代数式表示） （2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时，P，Q重合？ （3）若动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，且点M出发1秒后，点P才开始运动．问从点M运动后，经过多少秒时，P，M之间的距离恰好等于1个单位长度？ 【答案】（1），；（2）秒；（3）2秒或3秒. 【分析】（1）根据数轴上两点距离的意义，可得点表示的数为；点表示的数为； （2）根据点运动秒与点相遇时，，列出方程求解即可； （3）分两种情况：①点在的右边时，②点在的左边时，根据等量关系列出方程求解即可； 【详解】解：（1）数轴上点表示的数为；点表示的数为； 故答案为：，； （2）由题意得：， ， ， 答：若点、同时出发，点运动秒时与点重合； （3）从点M运动后，经过t秒时，P，M之间的距离恰好等于1个单位长度；分两种情况： ①点在的右边时，， ， ， ②点P在M的左边时，， ， ， 综上，点、同时出发，2秒或3秒时，，之间的距离恰好等于1； 【点睛】本题考查了数轴、一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分情况进行讨论． 变式5-2. 已知数轴上、两点表示的数分别为、，且、满足；点、沿数轴从出发向右匀速运动，点的速度为5个单位长度/秒，点的速度为3个单位长度/秒，当点运动3秒到点时正好从出发； (1)________；________； (2)若点、一直向右匀速运动，点到点的距离是点到点距离的2倍，求点对应的数； (3)若点、运动到点，迅速以原来的速度返回，到达出发点后，又折返向点运动，点运动至点后停止运动，当点停止运动时点也停止运动．在点开始运动后第几秒时，、两点之间的距离为1？请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)当点运动：4秒，5秒，秒，秒，秒，14秒时，、两点之间的距离为1 【分析】（1）非负性进行求解即可； （2）设运动秒时，点到点的距离是点到点距离的2倍，列出方程进行求解即可； （3）设点运动的时间为秒，分五种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，； ∴， 故答案为：． （2）设点运动秒时，点到点的距离是点到点距离的2倍， 由题意，得：点表示的数为，点表示的数为， ∴， 解得：或； 当时，点表示的数为：， 当时，点表示的数为：． （3）由题意，点表示的数为：， ∴间的距离为， ∴点运动到点需要，从返回点需要的时间为， 点运动到点需要是的时间为秒， ∵点先运动3秒， ∴点折返时间分别为秒和15秒； 设点运动的时间为秒， 则：当时，，解得；此时点未运动不符合题意； 当：点表示的数，点表示的数为， ∴，解得：或， 当时，点表示的数，点表示的数为， ∴，解得：或； 当时，点表示的数，点表示的数为， ∴，解得：（舍去）或（舍去）； 当时，点表示的数，点表示的数为， ∴，解得：或； ∵点开始运动，需减去3秒， 即：当点运动：4秒，5秒，秒，秒，秒，14秒时，、两点之间的距离为1． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上的动点问题，正确的列出方程，是解题的关键，本题的难度较大，难点在于准确的进行分类，属于压轴题． 题型六、动点中距离问题 题型模版 特征： 以“距离”为核心，包括两动点之间的距离、动点到原点的距离、动点到固定点的距离等。此类题常与绝对值的几何意义结合，是数轴动点题中最常见的基本模型。 方法： 1. 先确定各点在数轴上的位置，尽量画出简图。 2. 两点距离始终取非负值，本质上是“右边点对应的数－左边点对应的数”。 3. 动点到原点的距离就是该点对应数的绝对值所表示的几何距离。 4. 若不能确定谁在左、谁在右，要根据动点所处区间分类讨论，不能直接机械相减 例6. 如图，在数轴上点A表示的数为a，A、B两点间的距离为9． (1)若，则点B表示的数为________； (2)若点C在A、B两点之间，且点C到A、B两点的距离相等，用含a的代数式表示点C所表示的数； (3)若点A到原点的距离是点B到原点距离的一半，在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左匀速运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左匀速运动，在碰到挡板后（忽略小球的大小，可看作一点）乙球以原来的速度向相反的方向运动，设运动时间为t（秒）． ①用含t的代数式分别表示甲、乙两球到原点的距离； ②当时，求小球甲和小球乙之间的距离． 【答案】(1)7 (2) (3)①小球乙到原点的距离为；小球乙到原点的距离为；②21 【分析】（1）根据数轴上间的距离公式，即可求解； （2）根据题意可得点C到A、B两点间的距离均为，即可求解； （3）①根据题意可得，点B表示的数为6，即可求解；②分别求出小球甲表示的数，甲表示的数，即可求解． 【详解】（1）解：∵A、B两点间的距离为9，， ∴点B表示的数为； 故答案为：7 （2）解：因为A、B两点间的距离为9，点C在A、B两点之间，且点C到A、B两点的距离相等， 所以点C到A、B两点间的距离均为， 所以点C所表示的数为． （3）解：①因为A、B两点间的距离为9，点A到原点的距离是点B到原点距离的一半， 所以点A表示的数为，即，点B表示的数为6． 因为小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左匀速运动， 所以运动t秒后，小球甲表示的数为，小球甲到原点的距离为． 因为点B表示的数为6，小球乙的速度为2个单位/秒， 所以在前3秒内，小球乙表示的数为，小球乙到原点的距离为； 3秒后，小球乙表示的数为，小球乙到原点的距离为． ②当时，小球甲表示的数为，小球乙表示的数为，， 所以小球甲和小球乙之间的距离是21． 【点睛】本题考查了非负数的性质，数轴上两点间的距离，运用分类讨论思想，涉及了数形结合思想是解题的关键． 变式6-1. 如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“5格距点”． (1)若点P表示的数是0，则n的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为2，求点P表示的数及n的值； (4)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的3倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 【答案】(1)5 (2)6 (3)①当点P表示的数为1时，；②当点P表示的数为5时， (4)点P表示的数为：，此时；点P表示的数为：，此时 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点到点的距离与点到点的距离之和为5，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点在线段上，从而得出整点所表示的数是，，，，，； （3）由题意可求出点表示的数为或，进而即可求出的值； （4）分两种情况讨论，当在之间时和当在点的左边时，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点P表示的数为0， ∴点P到点A距离与点P到点B的距离之和为， ∴点P为点A、B的“5格距点”， ∴， 故答案为：5； （2）解：∵整点P为点A、B的“5格距点”， ∴，即P在线段上， ∴整点P所表示的数是，，0，1，2，3共6个， 故答案为：6； （3）解：∵点P到点B的距离为2， ∴点P表示的数为1或5， ①当点P表示的数为1时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为， 此时； ②当点P表示的数为5时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为， 此时； （4）解：①当P在之间时，， 点P表示的数为：， 此时； ②当P在点A左边时，，， 点P表示的数为：， 此时． 综上所述，点P表示的数为：，此时；点P表示的数为：，此时． 变式6-2. 已知点P，点，点是数轴上的三个点．若点到原点的距离等于点、点到原点距离的和的一半，则称点P为点和点的“关联点”． (1)已知点表示，点B表示，下列各数，，，在数轴上所对应的点分别是，，，，其中是点和点的“关联点”的是 ； (2)已知点表示，点表示，点P为点和点的“关联点”，且点到原点的距离为，求的值； (3)已知点表示数，将点沿数轴正方向移动个单位长度，得到点．当点为点和点的“关联点”时，我们把点P到点B的距离记为，点P到点A的距离记为，直接写出的值是______________． 【答案】(1) (2) (3)0或4 【分析】本题考查有理数与数轴，整式的加减计算，熟知“关联点”的定义是解题的关键． （1）求出点A，点B到原点距离和的一半，进而根据“关联点”的定义得出点P到原点的距离，即得出点P表示的数； （2）根据已知可求出点A，点B到原点距离的和，进而确定点B到原点的距离，然后进行计算即可解答； （3）根据题意确定点B表示的数，再求出点A，点B到原点距离的和，即可求出点P到原点的距离，然后分两种情况讨论求解即可：点P在原点的左侧，点P在原点的右侧． 【详解】（1）解：∵点表示，点B表示， ∴点、点到原点距离的和的一半为． ∵点P是为点和点的“关联点”， ∴点P到原点的距离为2， ∴点P表示的数为2或， ∴，，，中是点和点的“关联点”的是； （2）解：∵点P为点和点的“关联点”， 且点到原点的距离为， ∴点、点到原点距离的和的一半为5， ∴点、点到原点距离的和为10． ∵点表示， ∴点到原点距离为3， ∴点到原点距离为， ∴点B表示的数为7或； （3）解：∵点表示数，将点沿数轴正方向移动个单位长度，得到点， ∴点表示的数为， ∴点、点到原点距离的和为， ∴点、点到原点距离的和一半为． ∵点为点和点的“关联点”， ∴点到原点距离为， ∴点P表示的数为或． 分类讨论：当点P位于原点右侧时，即点P表示的数为， ∴，， ∴； 当点P位于原点左侧时，即点P表示的数为， ∴，， ∴． 综上可知的值为0或4． 变式6-3. 已知数轴上的在负半轴上，到原点的距离为个单位长度，点在正半轴上，从点到点，要经过个单位长度． (1)求出点在数轴上表示的数，点在数轴上表示的数； (2)若点也是数轴上的点，点到点的距离是点到原点距离的倍，求点的对应的数； (3)点从点向右出发，速度为每秒个单位长度，同时点从点向右出发，速度为每秒个单位长度，点到点的距离等于点到原点的距离，求出的值． 【答案】(1)点表示，点表示 (2)或 (3) 【分析】（）根据点到原点的距离及位置可求出点在数轴上表示的数，进而可求出点表示的数； （）设点表示的数为，由题意可得点到点的距离为，根据两点间的距离公式即可求出的值； （）设运动时间为秒，则，，再根据点是的中点可得，再求出的值即可； 本题考查了数轴与有理数，数轴上两点间距离，整式的加减运算，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵数轴上点在数轴负半轴上，到原点的距离为个单位长度，点在数轴正半轴上，从点走到点，要经过个单位长度， ∴点表示，点表示； （2）解：设点表示的数为， ∵点到点的距离是点到原点的距离的倍，点在数轴上表示的数为 ∴点到点的距离为， ∴或， ∴点对应的数为或； （3）解：设运动时间为秒，则，， ∵点到点的距离等于点到原点的距离， ∴点为的中点， ∴， ∴． 变式6-4. 综合与实践 【提出问题】 我们知道，数轴上表示数的点与原点的距离可以用来表示．那么，数轴上任意两点间的距离又该如何表示呢？ 【观察比较】 （1）如图，点、、、在数轴上对应的数分别为、、3、10，通过观察，请写出以下两点间的距离（即线段的长度）：______；______；______． 【分析归纳】 （2）请你再举些例子，分析两点间的距离与表示这两个点的数之间的关系，类比绝对值的表示，可归纳出：数轴上表示数与数的两点间的距离可用______来表示．（请填写序号） ①    ②    ③    ④ 【迁移应用】 （3）在（1）的前提下，点，点同时向右运动，点的速度为每秒4个单位长度，点的速度为每秒个单位长度．设运动时间为秒，同时停止时点，点分别记为点，点． ①当，时，求点与点的距离． ②当时，若经过秒后点与点相距32个单位长度，求经过秒后点与点的距离． 【答案】（1）3；7；11； （2）由数轴可得,， 故类比绝对值的表示，可归纳出：数轴上表示数与数的两点间的距离可用来示； ③； （3）①；②． 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，整式加减的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据数轴求解即可； （2）先举例子，再类比绝对值的表示归纳即可； （3）①先求出点与点表示的数，再求出距离即可；②由题意可知点一直在点的右侧，根据秒后点与点相距32个单位长度，得出，再代入秒后点与点的距离即可求解． 【详解】解：（1）观察数轴可知，，，， 故答案为：3；7；11； （2） 略 （3）①当，时，点表示的数为，点表示的数为， 则点与点的距离为； ②点、在数轴上对应的数分别为、10，点，点同时向右运动，点的速度为每秒4个单位长度，点的速度为每秒个单位长度， 点一直在点的右侧， 经过秒后点与点相距32个单位长度， ， ， 经过秒后点与点的距离． 题型七、距离和差为定值问题 题型模版 特征： 研究PA+PB、|PA-PB|等距离组合在动点运动过程中的变化。有些位置下距离和保持不变，有些位置下距离差保持不变，是数轴动点题中由基础走向综合的重要类型。 方法： 1. 先把两个固定点A、B标在数轴上，再判断动点P位于A左侧、AB之间还是B右侧。 2. P在A、B之间时，PA+PB通常等于AB，是最典型的距离和定值。 3. P在A、B外侧时，要根据具体位置重新表示PA、PB，不能直接套用中间区域的结论。 4. 研究距离差时同样先分区域，再观察是否可以转化为固定线段长度 例7. 【问题背景】 已知点、、在数轴上表示的三个数分别为、、，若点在原点的左侧，距离原点个单位长度，点在原点的右侧，距离原点个单位长度，点在点的右侧． 【初步探究】 （1）填空：___________，___________，、两点间的距离为___________； （2）若数轴上的点到､两点的距离相等，且点与点不重合，用含的代数式表示点到点的距离； 【深度拓展】 （3）若将数轴上两点间的距离用这两点的字母表示（如点和点之间的距离表示为），点以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，同时点以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，点从原点开始以每秒个单位的速度沿数轴向右移动，数轴上的点和点分别满足和，通过计算说明的结果与点､､运动的时间无关． 【答案】（1），， （2）或 （3）设运动的时间为秒，则点运动秒后对应的点表示的数为，点运动秒后对应点表示的数为，点运动秒后对应点表示的数为， ，           ， 点表示的数为，点表示的数为， ，                     ， 的结果与点、、运动的时间无关． 【分析】（1）根据数轴的特点写出、两点表示的有理数，再根据距离公式求出两点之间的距离； （2）点到､两点的距离相等得点表示的数为，再分两种情况讨论：当点在点的右侧时；当点在点的左侧时；即可解答； （3）设运动的时间为秒，则点运动秒后对应的点表示的数为，点运动秒后对应点表示的数为，点运动秒后对应点表示的数为，化简即可求解． 【详解】解：（1）点在原点的左侧，距离原点个单位长度， ， 点在原点的右侧，距离原点个单位长度， ， 、两点间的距离为， 故答案为：，，； （2）点到､两点的距离相等， 点表示的数为，                 当点在点的右侧时，点到点的距离为；                     当点在点的左侧时，点到点的距离为； 点到点的距离为或；                    （3）略 【点睛】本题考查了用有理数表示数轴上的点，数轴上两点之间的距离，列代数式，整式的加减运算，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 变式7-1. 已知数轴上有A、、三个点，点A到原点的距离是30（点A在原点的左边），、两点表示的数互为相反数（点在原点的左边），线段． (1)填空：两点的距离是______，点表示的数是______； (2)若点距离点的距离为5，则点表示的数是什么？ (3)若点距离的距离为，那么点表示的数是什么？（请用的代数式表示）； (4)若点A以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒1个单位长度和6个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，若的值不随着时间的变化而改变，求的值． 【答案】(1)48； (2)点表示的数是13或23 (3)E点表示的数是或 (4) 【分析】（1）根据两点间的距离公式结合数轴进行计算即可； （2）根据两点间距离公式进行计算即可； （3）根据两点间距离公式，列出代数式即可； （4）先表示出，，然后再表示出，根据的值不随着时间的变化而改变，得出，求出m的值即可． 【详解】（1）解：∵点A到原点的距离是30， ∴点A表示的数为， ∵、两点表示的数互为相反数，线段， ∴点B表示的数为，点C表示的数为． ∴两点的距离为； 故答案为：48；． （2）解：∵点距离点的距离为5，点C表示的数为， ∴当点在点C的左侧时，点D表示的数为：， 当点在点C的右侧时，点D表示的数为：， 即点表示的数是13或23． （3）解：∵点距离的距离为，点C表示的数为， ∴当E点在点C的左侧时，点E表示的数为：， 当E点在点C的右侧时，点E表示的数为：， 即E点表示的数是或． （4）解：∵点A以每秒个单位长度的速度向左运动， ∴点A表示的数为， ∵点和点分别以每秒1个单位长度和6个单位长度的速度向右运动， ∴点B表示的数为，点C表示的数为， ∴， ， ∴ ， ∵的值不随着时间的变化而改变， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点间的距离，整式加减的应用，数轴上的动点问题，列代数式，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式． 变式7-2. 已知数轴上有、、三个点对应的数分别是、、，且满足．动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，设移动时间为秒． (1)则___________，__________，_____________； (2)若点到点距离是到点距离的3倍，求点的对应的数； (3)当点运动时，点从点同时出发，以每秒2个单位的速度向终点点运动，若为的中点，若为定值且为正数，求出这个定值，并求出此时的取值范围． 【答案】(1)，， (2)11或2 (3)定值为:，此时 【分析】（1）根据非负数的性质，分别求得的值； （2）根据题意表示出点到点距离是，点到点距离为，根据题意建立绝对值方程，解方程即可求解； （3）根据题意得出，分四种情形讨论，根据为定值且为正数，逐个计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得：，，； 故答案为：，，． （2）解：根据题意可得点表示的数为，则点到点距离是，点到点距离为， ∴， 或18， 对应的数为：11或2 （3）解：点表示的数为，点表示的数为，为的中点， ∴点表示的数为：， 点从点同时出发，以每秒2个单位的速度向终点点运动， ∴点表示的数为：， 分四种情况讨论：①，； ，不合题意； ②， ，不合题意； ③，， ，符合题意， 此时， ④，，，不合题意； 综上所述，只有③成立，故时，定值为 【点睛】本题考查了非负数的性质，数轴上两点距离，动点问题，列代数式，绝对值的意义，化简绝对值，整式的加减，分类讨论，数形结合是解题的关键． 变式7-3. 如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足． (1) ； ； (2)动点P，Q分别从点A，点B同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度． ①t秒时，点P表示的数是 ，点Q表示的数是 ． ②动点P，Q分别从点A，点B出发的同时，动点R也从原点O出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒n（n＞1）个单位长度．记点P与点R之间的距离为，点A与点Q之间的距离为，点O与点R之间的距离为．设运动时间为t秒，请问：是否存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出此n值和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，5 (2)①②当时，的值为定值，这个定值是59或时，的值为 【分析】（1）由绝对值和平方的非负性可得答案； （2）①t秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是； ②根据题意得R表示的数是，故，当时，，可得时，为定值59；当时，，故时，为定值． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：，5； （2）①t秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是； 故答案为：； ②存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值，理由如下： 根据题意得R表示的数是， ∴， ∴， 当时，， ∴时，为定值59； 当时，， ∴时，为定值； 综上所述，当时，的值为定值，这个定值是59或时，的值为． 题型八、动点中点问题 题型模版 特征： 研究动点是否处在线段中点、是否到两个固定点距离相等，或两个动点是否关于原点、某个固定点对称。其本质是利用数轴上特殊位置之间的几何关系。 方法： 1. 看到“中点”时，先确定线段两个端点，中点位于两点正中间。 2. 看到“到A、B两点距离相等”时，优先想到AB的中点。 3. 看到“关于原点对称”时，两个点到原点距离相等且分居原点两侧。 4. 看到“关于某点对称”时，可把该固定点看成两点连线的中点，再分析位置关系 例8. 综合探究：已知 a、b 满足，，且有理数a、b、c在数轴上对应的点分别为A、B、C． (1)则_____，_____，_____． (2)点D在数轴上对应的点为3，点E、点F分别为中点，求线段的长为_____． 点D在数轴上对应的点为4，点E、点F分别为中点，求线段的长为_____． (3)点D是数轴上A点右侧一动点，点E、点F分别为中点，当点D运动时，线段的长度是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出其值； 【答案】(1)2，， (2)； (3)不变， 【分析】（1）首先根据绝对值和平方的非负性求出a和b的值，然后代入求出c的值； （2）首先根据点E、点F分别为中点，得出点E和点F所对应的点，然后根据两点间的距离的表示方法求解即可； （3）设点D表示的数为x，然后根据点E、点F分别为中点，得出点E和点F所对应的点，然后根据两点间的距离的表示方法求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∴ ∴， 故答案为：2，，； （2）如图所示， 当点D在数轴上对应的点为3时， ∵点E、点F分别为中点， ∴点E在数轴上对应的点为，点F在数轴上对应的点为， ∴； 当点D在数轴上对应的点为4时， ∵点E、点F分别为中点， ∴点E在数轴上对应的点为，点F在数轴上对应的点为， ∴； 故答案为：，； （3）设点D表示的数为x， ∵点E、点F分别为中点， ∴点E在数轴上对应的点为，点F在数轴上对应的点为， ∴． ∴线段的长度不变，其值为． 【点睛】此题考查了绝对值的意义，数轴上两点之间的距离和动点问题，线段中点的有关计算，线段的和差关系，整式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 变式8-1. 已知多项式是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b． (1) ， ，线段 ； (2)若数轴上有一点C，使得，点M为的中点，求的长 ； (3)有一动点G从点A出发，以3个单位每秒的速度向右方向运动，同时动点H从点B出发，以1个单位每秒的速度在数轴上作同方向运动，设运动时间为t秒（），点D为线段的中点，点F为线段的中点，点E在线段上且，在G，H的运动过程中，求的值 ．（用含t的代数式表示） 【答案】(1)，20，30 (2)3或75 (3) 【分析】本题考查多项式和数轴有关知识，关键是根据题意列出合适的代数式求解． （1）根据多项式的有关概念求得a、b值即可； （2）分点C在之间和点C在B右侧两种情况，分别计算、，进而可求解； （3）根据速度和时间表示出点G、H表示的数，进而得到点D和点F表示的数，根据题意和数轴上两点的距离求解方法列式求解即可． 【详解】（1）解：∵多项式是关于x的二次多项式， ∴， ∴； ∵二次项系数为b， ∴； ∴线段． 故答案为：，20，30； （2）解：分两种情况： ①当点C在之间时，如图1， ∵，， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴； ②当点C在B右侧时，如图2， ∵，， ∴，又， ∴， 综上，的长是3或75． 故答案为：3或75； （3）解：由题意得，点G表示得数为：，点H表示的数为：， ∵，， ∴点G在线段之间， ∵D为中点， ∴点D表示的数为：， ∵F是中点， ∴点F表示的数为：， ∵，， ∴， ∴点E表示的数为：， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 变式8-2. 【背景知识】 数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离；线段的中点表示的数为． 【知识运用】 （1）点、表示的数分别为、，若与互为倒数，与互为相反数．则、两点之间的距离为_________；线段的中点表示的数为_________． 【拓展迁移】 （2）在（1）的条件下，动点从点出发以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒5个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点． ①点表示的数是_________（用含的代数式表示）； ②线段、的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）12，1；（2）①；②存在，，定值为18 【分析】本题考查列代数式，整式加减中的无关型问题，有理数与数轴，熟练掌握两点间的距离公式，中点公式，是解题的关键： （1）根据倒数和相反数的定义求出，根据两点间的距离公式，中点公式，进行求解即可； （2）①表示出点表示的数，中点公式列出代数式即可； ②根据两点间的距离公式表示出，根据，得到的值与无关，进而得到含的项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意，， ∴，线段的中点表示的数为； （2）①由题意，点表示的数为，点表示的数为， ∴点表示的数为； ②存在， 当点在点左侧时，点在点的左侧， ∴，， ∴， ∵为定值， ∴， ∴， ∴． 变式8-3. 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律．    (1)【特例感知】：若数轴上点A，点B表示的数分别为5，，则A，B两点之间的距离为______，线段的中点表示的数为______； (2)①【分类讨论】：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，当，则A，B两点之间的距离为；当，则A，B两点之间的距离为；当，则A，B两点之间的距离为______； ②【类比探究】：线段的中点表示的数为______（用含a，b的代数式表示）； (3)【综合运用】：若数轴上点A，点B表示的数分别为5，，点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，同时，点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当M，N两点相遇时，均停止运动，设运动时间为t秒（），点M，N在运动过程中； ①M，N两点之间的距离为______；（用含t的代数式表示） ②若点C为的中点，点D为的中点，线段的长度为______（用含t的代数式表示）． 【答案】(1)12； (2)①；② (3)①；② 【分析】（1）直接利用数轴上两点之间的距离公式进行计算即可；再利用最右边的数减去线段的一半可得中点对应的数； （2）①直接利用数轴上两点之间的距离公式进行计算即可；②利用最右边的数减去线段的一半可得中点对应的数； （3）①先根据向左移动用减法，向右移动用加法表示M，N对应的数，再表示M，N之间的距离即可；②利用（2）中的中点对应的数的公式先表示两个中点对应的数，再利用两点之间的距离公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点A，点B表示的数分别为5，， ∴A，B两点之间的距离为， ∴线段的中点表示的数为； （2）①当，则A，B两点之间的距离为； ②线段的中点表示的数为； （3）①∵M对应的数为，N对应的数为，在N的右边， ∴M，N两点之间的距离为， ②∵点C为的中点， ∴由（2）中公式可得C对应的数为：， ∵点D为的中点， ∴D对应的数为， ∴线段的长度为． 【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，中点对应的数的公式推导及应用，数轴上的动点问题，整式的加减运算的应用，理解数轴上两点之间的距离公式是解本题的关键． 变式8-4. 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒 【综合运用】 (1)填空： A、B两点间的距离 ，线段的中点C表示的数为 ； (2)求当t为何值时，； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)10，3 (2)1或3 (3)不会变化， 【分析】本题考查数轴上点的性质、列代数式、绝对值方程，熟练运用方程思想是解决本题的关键． 根据数轴上两点之间的距离公式和中点公式计算即可； 先表示出t秒后点P和点Q表示的数，再利用数轴上两点之间的距离公式计算即可； 根据中点公式，表示出点M和点N，再利用数轴上两点之间的距离公式计算即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为，点B表示的数为8， ； 根据题意，C表示的数为 故答案为：10，3； （2）解：根据题意，t秒后点P表示的数为，点Q表示的数为， ， ， ， 当时，解得， 当时，解得， 的值为1或3； （3）解：∵点M为的中点，点N为的中点， 点M表示的数为，点N表示的数为， ， 点P在运动过程中，线段的长度不会变化， 题型九、分类讨论型动点问题 题型模版 特征： 由于动点的位置会不断变化，同一个距离或位置关系在不同区间的表示方式可能不同。常见划分方式是“在A左侧、A与B之间、B右侧”，是七年级动点压轴题的重要思维。 方法： 1. 先找出会导致关系变化的关键点，通常是原点、固定点、相遇点或折返点。 2. 用这些关键点把数轴分成若干区间。 3. 分别在每个区间画简图，明确点的左右顺序。 4. 每种情况独立分析位置和距离关系，最后汇总；注意排除不符合运动实际的情况 例9. 数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，学习以上内容解决问题： (1)若数轴上A、B两点表示的数分别为x、1，若A、B两点之间的距离为5，那么x的值为______； (2)若数轴上A、B两点表示的数分别为x、y． ①的最小值为______； ②且x为整数，求的最大值； (3)若数轴上A、B两点表示的数分别为x、y，O为原点，当，时，动点P、Q分别从点A、点B出发，动点R从原点O同时出发，均沿着数轴向右匀速运动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，点R速度为每秒个单位长度．记点P与点R之间的距离为，点A与点Q之间的距离为，点O与点R之间的距离为，设运动时间为t秒，请问，是否存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出n的值和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或； (2)①；②； (3)不存在n的值，使得在运动过程中的值是定值． 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式求解即可； （2）①表示数到和的距离之和，当数在和之间时，有最小值，即可求解； ②由①可知，当时，的最小值为，同理可得，当时，的最小值为，再分两种情况讨论：若，则，此时，求出的值，再代入计算最大值；若，则，不符合题意，即可得解； （3）设运动时间为t秒，由题意可知，动点P、Q、R表示的数分别为、，，则，，再分两种情况求解：当时，点在点右侧，此时；当时，点在点左侧，此时，分别代入合并化简，再结合题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：或， 故答案为：或； （2）解：①表示数到和的距离之和， 当时，有最小值，最小值为， 故答案为：； ②由①可知，当时，的最小值为， 同理可得，当时，的最小值为， ，且x为整数， 若，则，此时， 的最小值为， 或， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 此时，的最大值为； 若，则，不符合题意， 综上可知，的最大值为； （3）解：存在n的值，使得在运动过程中的值是定值， 设运动时间为t秒， 由题意可知，动点P、Q、R表示的数分别为、，， ，， 当时，点在点右侧，此时， ， 的值是定值， ， 解得：， 对于所有，不成立，不符合题意； 当时，点在点左侧，此时， ， 的值是定值， ， 解得：， 当，时，不成立，舍去， 综上可知，不存在n的值，使得在运动过程中的值是定值． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离公式，绝对值的几何意义，数轴上的动点问题，整式的无关型问题等，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 变式9-1. 如图，已知数轴上有三个点，它们表示的数分别是. （1）填空: ， . （2）若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动.试探索:的值是否随着时间的变化而改变? 请说明理由。 （3）现有动点都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向终点移动:当点移动到点时，点才从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动，且当点到达点时，点就停止移动.设点移动的时间为秒，请试用含的式了表示两点间的距离(不必写过程，直接写出结果). 【答案】（1），；（2）的值不会随时间的变化而变化，理由见解析；（3）t， 或 【分析】（1）根据数轴上任意两点间的距离公式等于这两点所表示的数的差的绝对值而得出结论； （2）先分别求出t秒后A、B、C三点所对应的数，就可以表示出BC，AB的值，从而求出BC-AB的值而得出结论； （3）先求出经过t秒后，P、Q两点所对应的数，分类讨论①当0＜t≤14时，点Q还在点A处，②当14＜t≤21时，点P在点Q的右边，③当21＜t≤34时，点Q在点P的右边，从而得出结论． 【详解】解：（1）由题意，得AB=-10-（-24）=14，BC=10-（-10）=20． 故答案为：14，20； （2）答：不变． ∵经过t秒后，A、B、C三点所对应的数分别是-24-t，-10+3t，10+7t， ∴BC=（10+7t）-（-10+3t）=4t+20， AB=（-10+3t）-（-24-t）=4t+14， ∴BC-AB=（4t+20）-（4t+14）=6． ∴BC-AB的值不会随着时间t的变化而改变． （3）经过t秒后，P、Q两点所对应的数分别是-24+t，-24+3（t-14）， 由-24+3（t-14）-（-24+t）=0解得t=21， ①当0＜t≤14时，点Q还在点A处， ∴PQ=t， ②当14＜t≤21时，点P在点Q的右边， ∴PQ=（-24+t）-[-24+3（t-14）]=-2t+42， ③当21＜t≤34时，点Q在点P的右边， ∴PQ=[-24+3（t-14）]-（-24+t）=2t-42． 【点睛】本题考查线段的动点问题以及线段的长度的运用，数轴的运用，两点间的距离的运用，熟练运用数形结合思维分析是解题的关键． 变式9-2. 【问题背景】：的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离；如图，在数轴上，点，，，，的位置如图所示，则；；． 【问题解决】 （1）计算________． （2）如果点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，，则________． 【关联运用】 （3）代数式的最小值为________． （4）当是________时，代数式 （5）若点表示的数，点与点的距离是10，且点在点的右侧，动点、同时从、出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，、、三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点? 【答案】（1）5；（2）1或；（3）5；（4）或3；（5）运动秒或秒或5秒后，B、P、Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，列代数式，整式加减的应用等知识点，熟练掌握数轴上两点之间的距离并运用数形结合思想是解题的关键． （1）直接计算即可得出答案； （2）由数轴上两点之间的距离公式得出，解方程即可直接得出答案； （3）代数式表示点x与1的距离与点x与点距离的和，然后分三种情况讨论，得到答案； （4）由（3）知当时取最小值3，已知，然后分情况讨论，得到答案； （5）先求出运动秒后点P所对应的数为，点Q所对应的数为，再分三种情况讨论，根据线段中点的定义，分别列方程求解． 【详解】解：（1）； （2）由题意得：， 或， 或； （3）代数式表示点x与1的距离与点x与点距离的和， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述：当时，取最小值为5； （4）由（3）知，当时，取最小值为3， ，则或， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，当是或3时，代数式； （5）∵点A表示的数，点B与点A的距离是10，且点在点的右侧， ∴点B所表示的数是9， 运动t秒后点P所对应的数为，点Q所对应的数为， ①当B是的中点时，， ∴， 解得； ②当P是的中点时，则， ∴， 解得； ③当Q是的中点时，则， ∴， 解得； 综上所述，运动秒或秒或5秒后，B、P、Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点． 变式9-3. 【定义新知】 在数轴上，点M和点N分别表示数和，可以用绝对值表示点M、N两点间的距离，即． 【初步应用】 (1)在数轴上，点A、B、C分别表示数、2、，解答下列问题： ①____________； ②若，则x的值为____________； ③若，且x为整数，则x的取值有_________个． 【综合应用】 (2)在数轴上，点D、E、F分别表示数、4、6．动点P沿数轴从点D开始运动，到达F点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度．设点P的运动时间为t秒，在整个运动过程中，请用含t的代数式表示． 【答案】(1)①3；②1或；③4 (2)当时，；当时，；当时，；当时， 【分析】（1）①根据新定义运算计算即可． ②根据新定义建立含有x的绝对值方程求解即可． ③根据新定义建立含有x绝对值方程，分类化简求解即可． （2）根据运动的特点，分类计算即可． 【详解】（1）①由题意得：， 故答案为：3． ②由题意得：， 所以， 所以， 所以， 解得， 故答案为：1或． ③由题意得：，且x为整数， 当时，， 解得，符合题意； 当时，， 解得，符合题意； 当时，，是定值， 此时， ∴x的取值有4个； 故答案为： 4． （2）当时，点P表示的数为， 所以； 当时，点P表示的数为， ； 当时，点P表示的数为， ； 当时，点P表示的数为， ． 【点睛】本题考查了数轴的动点问题，熟练掌握新定义两点间的距离是解题的关键． 题型十、多动点周期性运动问题 题型模版 特征： 动点在固定区间内反复往返，或多个动点按照一定规律运动，位置会呈现重复性。题目常问较大时间后的所在位置、第若干次到达某点的规律等。 方法： 1. 先研究较短时间内的位置变化，完整列出一个往返过程。 2. 确定一个完整周期所需要的时间，以及一个周期结束后动点回到什么状态。 3. 面对较大的时间或次数时，优先利用“总时间÷周期时间”的余数判断处于周期中的哪一段。 4. 多动点规律题可先列表记录前几个时刻的位置，从中寻找重复规律，再推广到一般情况 例10. 如图，在数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数a，b，c，且a，b，c满足式子；如图：动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度一直向右运动，点P运动5秒后，长度为6个单位的线段（M为线段左端点且与点B重合，N为线段右端点）从B点出发以3个单位/秒的速度向右运动，当点N到达点C后，线段立即以同样的速度返回向左运动，当点M到达点B后线段再以同样的速度向右运动，如此往返．设点P运动时间为t秒． (1)求a，b，c的值； (2)当　 　秒时，点P与点C重合，并求出此时线段上点N所表示的数； (3)记线段的中点为Q，在运动过程中，当点P与点Q的距离为1个单位时，求t的值． 【答案】(1)，，14 (2)22，11 (3)或15 【分析】（1）根绝绝对值的非负性求解； （2）根据数轴上两点间距离公式计算出，根据线段的运动速度及方式确定点P与点C重合时点N所在位置； （3）在运动过程中：点P所表示数为：，点Q的起始位置所表示数为：，分，，三个阶段，表示出点Q所表示的数，根据列绝对值方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，， ∴，，， ∴，，； （2）解：当秒时，点P与点C重合， ∵A所表示数为，C所表示数为14， ∴， ∴点P从A运动到点C所用时间为：（秒）， 故答案为：22； 线段的运动时间为（秒）， 线段从B运动到C所用时间为：（秒）， ∵数轴上点N起始位置所表示数为：， ∴线段运动17秒后，点N所表示数为：； （3）解：点Q的起始位置所表示数为：； 在运动过程中：点P所表示数为：， ①当，即时，点Q第一次由B向C运动， 点Q所表示数为：， ， 解得（舍去）或（舍去）； ②当，即时，点Q第一次由C向B运动， 点Q所表示数为：， 即：， 解得或； ③当，即时，点Q第二次由B向C运动， 点Q所表示数为：， ， 解得（舍去）或（舍去）， 综上所述：t的值为或15． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，解一元一次方程的应用，数轴上两点间距离公式，绝对值的非负性等，难度较大，用含t的式子表示出不同阶段点Q所表示的数是解题的关键． 变式10-1. 已知数轴上，三点表示的数分别为、、，点，分别从，两处同时出发相向匀速运动，点的速度为个单位长度/秒，点的速度为个单位长度/秒，设两点运动时间为 秒： (1)当秒时，线段 ， (2)当点在，之间，线段 ， （用含字母的代数式表示）．若，求出此时的值； (3)当点运动到点时，立刻以原来的速度返回，到达点后停止运动；当点运动到点时，立刻以原来速度返回，到达点后再次以相同速度返回向点运动，如此在，之间不断往返，直至点停止运动时，点也停止运动．求在此运动过程中，当，两点运动了多少秒时，它们第二次相遇． 【答案】(1)； (2)；； (3)秒 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，掌握数轴上两点之间距离的表示方法，以及仔细分析点的运动情况是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离以及点的运动情况即可解答； （2）由数轴上两点间的距离公式先求出，由题意得，则，根据列出关于的方程，解方程即可； （3）由题意得，点的运动路程为，点的运动路程为，点运动的时间为秒，当点、第一次相遇时有：；当点到达点返回但未到达回，且点到达点返回时，、两点第二次相遇，则，解方程判断是否符合题意即可解答． 【详解】（1）解：点的速度为个单位长度/秒，点的速度为个单位长度/秒，点，分别从，两处同时出发相向匀速运动，且秒， ，， 故答案为：，； （2）解： 点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ， 点的速度为个单位长度/秒，点的速度为个单位长度/秒，点，分别从，两处同时出发相向匀速运动， ， ， ， 解得：， 故答案为：，，； （3）解：由题意得：，， 点的运动路程为，点的运动路程为，点运动的时间为（秒）， 当点、第一次相遇时有：，解得：； 当点到达点返回但未到达回，且点到达点返回时，、两点第二次相遇，则， 解得：， ，符合题意， 所以，当，两点运动秒时，它们第二次相遇． 变式10-2. 如图，已知点A距离数轴原点2个单位长度，且位于原点左侧，将点A先向右平移10个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到点B，点P是数轴上的一个动点． （1）在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离； （2）当点P在数轴上移动，满足时，求P点表示的数； （3）动点P从数轴上某一点出发，第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，…… ①若在原点处，按以上规律移动，则点P第n次移动后表示的数为__________； ②若按以上规律移动了次时，点P在数轴上所表示的数恰是，则动点P的初始位置K点所表示的数是___________． 【答案】（1）数轴见解析，A、B之间的距离为6；（2）2或10；（3）①（-1）n•n；②4 【分析】（1）根据数轴的定义得到点A和点B表示的数，从而得到A、B之间的距离； （2）设点P表示的数为x，表示出PA和PB，令PA=2PB，得到方程，解之即可； （3）①根据点P前几次表示的数找出规律即可得出结论； ②设动点P的初始位置K点所表示的数是m，根据①中所得规律，列出方程即可求出m值． 【详解】解：（1）∵点A距离数轴原点2个单位长度，且位于原点左侧， ∴点A表示的数为-2， 将点A先向右平移10个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到点B， ∴点B表示的数为：-2+10-4=4， 数轴如下： A、B之间的距离为：4-（-2）=6； （2）设点P表示的数为x， ∴PA=，PB=， ∵PA=2PB， ∴， 若点P在点A左侧， ， 解得：x=10，不符合； 若点P在A、B之间， ， 解得：x=2； 若点P在点B右侧， ， 解得：x=10， 综上：点P表示的数为2或10； （3）①∵在原点处， 第一次移动后点P表示的数为0-1=-1， 第二次移动后点P表示的数为0-1+3=2， 第三次移动后点P表示的数为0-1+3-5=-3， 第四次移动后点P表示的数为0-1+3-5+7=4， ... ∴第n次移动后点P表示的数为：（-1）n•n； ②设动点P的初始位置K点所表示的数是m， 由①可得： 第n次移动后点P表示的数为：m+（-1）n•n， ∵移动了2n+1次时，点P在数轴上所表示的数恰是3-2n， ∴m+（-1）2n+1•（2n+1）=3-2n， 即m-（2n+1）=3-2n， 解得：m=4， 即点P的初始位置K点所表示的数是4． 【点睛】本题考查了数轴，两点之间的距离，数字型规律，一元一次方程，解题的关键是注意分类讨论和数形结合思想的运用，同时要善于总结规律． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动： ①求15秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A：，B：，C：4 (2)①点P与点B之间的距离为1； ②由题意知，运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为， 则，， 当时， ， 当时， 解得， ， 当时， ， 当时， 解得， ， 当时， ， 当时， 解得， ， 所以，不存在一个有理数m，使的值始终保持不变． 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，数轴上的点表示数，数轴上点的移动等知识点，解决此题的关键是读懂题意用式子表示出每个点； （1）运用数轴上的点可以用有理数表示和数轴上两点间的距离公式即可得到答案； （2）①根据点的运动规律用有理数表示出运动后点表示的数，再运用数轴上两点间的距离公式即可得到答案； ②先根据点的运动规律表示出运动后点表示的数，根据两点间的距离公式用式子表示运动距离，再根据题意列出整式，根据项无关得到结果进行对比即可得到答案； 【详解】（1）解：∵点从数轴原点开始，向左移动3个单位， ∴点表示的数为，再向右移7个单位， ∴点表示的数为，、C两点间距离为， ∴接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B，那么B点到A、C的距离均为， ∴点表示的数为， 即A：，B：，C：4； （2）解：①动点P从点C出发，速度为每秒个单位长度，运动15秒，移动的距离为， ∵表示的数为4， ∴表示的数为：，又B表示的数为， ∴点P与点B之间的距离为1， 动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． ②略 2．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为（a为定值，且），C为数轴上异于点A的一点，且到原点O的距离与点A到原点O的距离相等． (1)请在图中标出原点O与点C． ​ (2)点A到点C的距离为 ．（用含a的式子表示） (3)P为数轴上一动点，其对应的数为x． ①当P是B，C之间的一动点时，点P到点B、点C的距离之和是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． ②设点P到A、B、C三点的距离之和为S．在动点P从点B开始沿数轴的正方向运动到点A这一运动过程中，若S的最大值为m，最小值为n，求的值． 【答案】(1) 在图中标出原点O与点C的位置如图： (2) (3)①当P是B，C之间的一动点时，点B、点C的距离之和为定值，定值是；② 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数、数轴上两点间的距离及数轴上动点问题： （1）依据题干要求画出图形即可； （2）利用点A对应的数字减去点C对应的数字解答即可； （3）①利用点P，A，B对应的数字求得P到点 B、点C的距离之和即可得出结论； ②利用点P，A，B，C对应的数字求得点P到A、B、C三点的距离之和为S，结合图形求得S的最大值，最小值，再代入运算即可． 利用数轴上是点对应的数字表示出相应线段的长度是解题的关键． 【详解】（1）解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为，点C到原点O的距离与点A到原点O的距离相等， ∴点C对应的数字为， （2）点A到点C的距离为． 故答案为：． （3）①当P是B，C之间的一动点时，点B、点C的距离之和为定值． 理由： ∵P是B，C之间的一动点， ， ，， ． ∴当P是B，C之间的一动点时，点B、点C的距离之和为定值； ②∵动点P从点B开始沿数轴的正方向运动到点A， ， ∵A，B两点表示的数分别为，点C对应的数字为， ，， ∵点P到A、B、C三点的距离之和为S， ． ∵动点P从点B开始沿数轴的正方向运动到点A， ∴当点P与点B重合时，， ． 当点P与点A重合时，， ， ． 3．已知：如图数轴上有三点，点A和点B间距20个单位长度且点A、B表示的有理数互为相反数，，数轴上有一动点P从点A出发，以2个单位秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为t秒． (1)点A表示的有理数是______，点C表示的有理数是______，点P表示的数是______用含的式子表示． (2)当______秒时，两点之间相距8个单位长度？ (3)若点A、点B和点C与点P同时在数轴上运动，点A以个单位秒的速度向左运动，点B和点C分别以3个单位秒和4个单位秒的速度向右运动，是否存在常数，使得为一个定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)或 (3)，这个定值为 【分析】（1）设点B表示的数为，则点A表示的数为，由数轴可知，求出，根据算出点C表示的数，再由点P的运动速度和时间求出点P表示的数即可； （2）分点P在点B左边和点P在点B右边两种情况进行解答即可； （3）根据题意先将点A、点B和点C表示的数用t表示出来，再算出、、并代入中，合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：设点B表示的数为，则点A表示的数为， ∵点A和点B间距个单位长度， ∴， 解得：， ∴点A表示的有理数是， ∵， ∴点C表示的有理数是， ∵动点P从点A出发，以2个单位长度秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为秒， ∴点P表示的数是， 故答案为：，，； （2）解：①当点P在点B左边时， ， ∵两点之间相距8个单位长度， ∴， 解得：， ②当点P在点B右边时， ， ∵两点之间相距8个单位长度， ∴， 解得：， ∴当或秒时，两点之间相距8个单位长度， 故答案为：或； （3）解：存在常数，使得为一个定值，理由如下： 由题意可知， 点A表示的数为， 点B表示的数为， 点C表示的数为， 则， ， ， ， ∵要使得为一个定值， ∴， 解得：， ∴， ∴，这个定值为． 【点睛】本题考查的是数轴的知识，整式的加减，一元一次方程的应用，掌握相反数的概念、灵活运用数形结合思想和分情况讨论思想是解题的关键． 4．如图，已知数轴上两点、，点为数轴上的动点，其表示的数为．    (1)若点到点、的距离相等，则点表示的数的值为______； (2)式子的最小值是______； (3)点也是数轴上的一个动点，已知点的运动速度为每秒个单位长度，动点、同时分别从点、出发开始运动． 若点、相向而行，在表示数的点相遇，求点的运动速度； 若点的运动速度是每秒个单位长度，、两点同时向左匀速运动，则当、两点之间的距离为时，两点运动了多长时间？ (4)若动点从点出发，第一次向左运动个单位长度，第二次向右运动个单位长度，第三次向左运动个单位长度，…，按此规律不断在数轴上做往复运动，当点运动了次时，直接用含的代数式表示出点所表示的有理数． 【答案】(1)； (2)； (3) 点的运动速度为每秒个单位长度；当、两点之间的距离为时，两点运动了秒或秒； (4)当是奇数时，表示的有理数是；是偶数时，表示的有理数是． 【分析】（）根据数轴上两点之间的距离可以求出点的值； （）根据两点间的距离公式即可求解； （）根据两点间的距离公式即可求解；根据两点间的距离公式分两种情况讨论求解； （）根据题意可得出第1次和第2次、第3次和第4次、第5次和第6次，…，类推，点连续两次运动的总量为：动点总体上是向右运动1个单位长度，再根据为偶数和奇数两种情况讨论求解． 【详解】（1）根据题意可知，点在点、之间， ∴， 解得； （2）表示点到点的距离，表示点到点的距离，当点在点、之间时，式子取最小值， ∴最小值， 故答案为：； （3）因为在表示数 的点相遇 ， 所以点的运动距离是， 、点的运动时间是（秒），           点的运动距离是，              ， 答：点的运动速度为每秒个单位长度． 分两种情况讨论： 当点在点左侧时，（秒）； 当点在点右侧时，（秒）； 综上所述，当、两点之间的距离为时，两点运动了秒或秒； （4）∵动点从点出发，第一次向左运动个单位长度，第二次向右运动个单位长度，第三次向左运动个单位长度，…，按此规律不断在数轴上做往复运动， ∴第1次和第2次、第3次和第4次、第5次和第6次，…，类推，点连续两次运动的总量为：动点总体上是向右运动1个单位长度， ∵点从点出发，点表示的数为， ∴当是偶数时，表示的有理数是：． 当是奇数时，则是偶数， ∴运动次时，表示的有理数是：， ∵点第次是向左运动了个单位长度， ∴表示的有理数是， 即：当是奇数时，表示的有理数是；是偶数时，表示的有理数是． 【点睛】此题考查了数轴及数轴上两点之间的距离，根据题意找到等量关系，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 5．如图，数轴上的点和分别表示0和10，点是线段上一动点，沿以每秒2个单位的速度往返运动1次，是线段的中点，设点运动时间为秒． (1)线段的长度为　　； (2)当时，点所表示的数是　　； (3)求动点所表示的数（用含的代数式表示）； (4)在运动过程中，若中点为，则的长度是否发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请直接用含的代数式的长度． 【答案】(1)5 (2)6 (3)当时，动点所表示的数是；当时，动点所表示的数是 (4)的长度发生变化，当时，，当时， 【分析】（1）根据是线段的中点，即可得到结论； （2）根据已知条件即可得到结论； （3）当时，当时，即可得到结论； （4）当时，当时，根据线段的和差即可得到结论． 【详解】（1）解：是线段的中点， ； 故答案为：5； （2）解：当时，点所表示的数是， 故答案为：6； （3）解：当时，动点所表示的数是；当时，动点所表示的数是； （4）解：的长度发生变化，当时，，当时，． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的位置关系，根据点位置的不同得出等式方程求出是解题关键． 6．已知A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，并且关于x的多项式（a+10）x7+2xb-15﹣4是五次二项式，P，Q是数轴上的两个动点． （1）a＝_____，b＝_____； （2）设点P在数轴上对应的数为x，PA+PB＝40，求x的值； （3）动点P，Q分别从A，B两点同时出发向左运动，点P，Q的运动速度分别为3个单位长度/秒和2个单位长度/秒．点M是线段PQ中点，设运动的时间小于6秒，问6AM+5PB的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由． 【答案】（1）﹣10，20；（2）x＝﹣15或x＝25；（3）不变，6AM+5BP＝240． 【分析】（1）由已知得到a+10＝0，b﹣15＝5，即可求解； （2）由已知分析可得点A左侧或点B右侧，分两种情况求x即可； （3）设运动的时间为t秒，①当t＝6时，P点在数轴上的对应的数为﹣10﹣6×3＝﹣28，Q点在数轴上的对应的数为20﹣6×2＝8，PQ的中点M在数轴上的对应的数为﹣10，此时点M与点A重合，②当t＜6时，M一定在线段AB上，P点在数轴上的对应的数为﹣10﹣3t，Q点在数轴上的对应的数为20﹣2t，由PM＝QM，设M在数轴上的对应的数为y，则有：y﹣（﹣10﹣3t）＝20﹣2t﹣y，解得，y＝5﹣，分别求出AM＝5﹣﹣（﹣10）＝15﹣，BP＝20﹣（﹣10﹣3t）＝30+3t，代入6AM+5BP＝6（15﹣）+5（30+3t）＝240即可判断． 【详解】解：（1）由已知可得a+10＝0，b﹣15＝5， ∴a＝﹣10，b＝20， 故答案为﹣10，20； （2）由AB＝30，PA+PB＝40可知，点P不可能在线段AB上，只可能在点A左侧或点B右侧， ①若P在A左侧，则PA＝﹣10﹣x，PB＝20﹣x， 根据题意，得﹣10﹣x+20﹣x＝40 解得，x＝﹣15． ②若P在B右侧，则PA＝x﹣（﹣10）＝x+10，PB＝x﹣20， 根据题意，得x+10+x﹣20＝40， 解得，x＝25． （3）不变．理由如下： 设运动的时间为t秒， 当t＝6时，P点在数轴上的对应的数为﹣10﹣6×3＝﹣28， Q点在数轴上的对应的数为20﹣6×2＝8， PQ的中点M在数轴上的对应的数为﹣10， 此时点M与点A重合， ∴当t＜6时，M一定在线段AB上， P点在数轴上的对应的数为﹣10﹣3t， Q点在数轴上的对应的数为20﹣2t， ∵M是PQ的中点， ∴PM＝QM， 设M在数轴上的对应的数为y，则有： y﹣（﹣10﹣3t）＝20﹣2t﹣y， 解得，y＝5﹣， AM＝5﹣﹣（﹣10）＝15﹣， BP＝20﹣（﹣10﹣3t）＝30+3t， 6AM+5BP＝6（15﹣）+5（30+3t）＝240． 【点睛】本题考查列代数式和数轴；掌握代数式的性质，根据点的运动规律和数轴上点的特点列出代数式是解题的关键． 7．距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能形成量感，进而掌握世界尺度．“数轴”是数形结合的重要工具，在数轴上，两点的距离等于对应两数之差的绝对值．如：数轴上表示2和5的两点的距离为；再如，数轴上表示x和2的两点的距离为（若为正，距离即为；若非正，距离即为） 依据上述材料，解答下列问题： 如图，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且． (1)填空：a的值为_________，b的值为_________，点A与点B的距离为_________； (2)若点M，N为数轴上两个动点，点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；点N同时从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间t（）为秒． ①填空：点M表示的数是_________；点N表示的数是_________；（均用含t的代数式表示）； ②当t为何值时，点M与点N的距离为3个单位长度？ 【答案】(1)；9；13 (2)①；；②或 【分析】本题考查了数轴、一元一次方程的应用，理解题意，利用距离找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）利用绝对值和平方的非负性求出a、b的值，再根据题意求出距离即可； （2）①直接用含t的代数式表示点M和点N即可；②结合点M与点N的距离为3个单位长度列出方程，求解方程即可解答． 【详解】（1）解：， ，， ，， 点A与点B的距离为． 故答案：；9；13． （2）①由题意得，点M表示的数是，点N表示的数是． 故答案为：；； ②点M与点N的距离为， 由题意得，， 或， 解得：或， 当或时，点M与点N的距离为3个单位长度． 8．已知、、是数轴上三点，点为原点，点在数轴上表示的数为8，点到点的距离为5，点到点的距离为13，且点位于数轴的负半轴上，点在点的左侧． (1)数轴上点表示的数为_____，点表示的数为_____； (2)动点、分别从、同时出发，沿数轴向右匀速运动，点的速度是每秒6个单位长度，点的速度是每秒4个单位长度，设运动时间为秒． ①当、两点到原点的距离相等时，求出的值； ②点到点的距离等于点到点的距离，点到点的距离等于点到点距离的，且点在点和点之间．当、、三个点中的其中一个点到另两点距离相等的时候，求出的值． 【答案】(1)（1） (2)①9 或；② 2 或或 23 【分析】（1）根据点表示的数为，结合点位于数轴的负半轴上，点在点的左侧，列式计算，即可作答； （2）（1）因为、两点到原点的距离相等，所以列式，然后化简计算，即可作答； （2）结合点为的中点，点在线段上，且．所以在数轴上点表示的数为，点表示的数为，进行分类讨论，分别是当是的中点；当是的中点；当是的中点，逐个情况进行列式，化简计算即可作答． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点位于数轴的负半轴上，点在点的左侧， ∴点表示的数为：， 点表示的数为：； （2）解：①∵动点、分别从、同时出发，沿数轴向右匀速运动，点的速度是每秒6个单位长度，点的速度是每秒4个单位长度，设运动时间为秒， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵P、两点到原点的距离相等， ， 则， ∴或， 则或， 的值为 9 或； ②∵点到点的距离等于点到点的距离， ， 即点表示的数为； ， ， ∵点在线段上， ∴点表示的数为， 当是的中点时， 即， ， 解得； 当是的中点时， 即， ， 解得； 当是的中点时， 即， ， 解得； 综上：满足题意的的值为 2 或或 23 ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴上的动点问题，列代数式表达式，数轴两点间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 9．在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 【答案】(1)，，9 (2)7 (3)①2.5或7.5；②或 【分析】（1）由b是最大的负整数，可得．由，可求得，． （2）设点B与数x表示的点对应，根据折叠点既是的中点，也是B点及其对应点的中点，可得，求得x的值即可． （3）①由题意得t秒时，P点对应的数为，分两种情况：P点在 B点右侧时和P点在 B点左侧时，分别计算即可． ②由“点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍”列方程得，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵b是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，，9． （2）解：设点B与数x表示的点对应，则 ， 解得， 故答案为：7． （3）解：①情况1：P点在 B点右侧时， ， 解得； 情况2：P点在 B点左侧时， ， 解得． 综上，t的值为2.5或7.5时，点P到点B的距离是5． ②由题意得， 整理得， ∴或， 解得或． ∴点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍时t的值为或． 【点睛】本题考查了数轴，数轴上两点之间的距离，以及数轴上的动点问题，正确的表示出t秒后P、Q所对应的数，以及分类讨论是解题的关键． 10．【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，数轴上的点到点的距离和点到点的距离相等，则点对应的数可以表示为． 【初步探究】 （1）数轴上点、对应的数分别为、1，数轴上点到点的距离和点到点的距离相等，则点对应的数为_____； （2）在（1）的条件下，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向负方向移动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向正方向移动． ①当运动时间为3秒时，若，求数轴上到、两点距离相等的点对应的数； ②当运动时间为2秒时，用含的代数式表示数轴上到、两点距离相等的点对应的数；（结果化为最简） 【拓展提升】 （3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向负方向移动，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向正方向移动，当运动时间为5秒时，数轴上点到点的距离和点到点的距离相等，数轴上点到点的距离和点到点的距离相等，判断、两点间的距离是否为定值，并说明理由． 【答案】（1）； （2）①2；②； （3）当运动时间为5秒时， 则点所对应的数为，点所对应的数为， ∵数轴上点到点的距离和点到点的距离相等，数轴上点到点的距离和点到点的距离相等， ∴点所对应的数为，点所对应的数为， ∴、两点间的距离为， 综上，、两点间的距离为，是定值． 【分析】本题考查了数轴、整式加减的应用等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据数轴的性质列式，先计算加法，再计算除法即可得； （2）①先求出点所对应的数为，点所对应的数为，再将代入计算，参考（1）列式计算即可得； ②先求出点所对应的数为，点所对应的数为，再参考（1）列式，计算整式的加减，进行化简即可得； （3）先求出点所对应的数为，点所对应的数为，再求出点所对应的数，列式计算整式的加减，由此即可得． 【详解】解：（1）由题意得：点对应的数为， 故答案为：． （2）①当运动时间为3秒时， 则点所对应的数为，点所对应的数为， 若，则点所对应的数为，点所对应的数为， 所以此时数轴上到、两点距离相等的点对应的数为． ②当运动时间为2秒时， 则点所对应的数为，点所对应的数为， 所以此时数轴上到、两点距离相等的点对应的数为． （3）略 11．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为10．点表示的数为，动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． 【解决问题】 (1)填空：两点间的距离___________，线段的中点表示的数为___________； (2)设点是的中点，点是的中点．点在直线上运动的过程中，线段的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变化，求出线段的长度． (3)若点从点开始运动时，另一点同时从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．求当为何值时，？ 【答案】(1)14，3 (2)不发生变化， (3)或 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示与两点距离、绝对值方程及整式加减的应用，熟练掌握数轴上有理数的表示与两点距离、绝对值方程及整式加减的应用是解题的关键； （1）根据数轴上两点距离及中点可进行求解； （2）由题意得：秒后，点表示的数为，则有的中点M所表示的数为，的中点N所表示的数为，然后问题可求解； （3）由题意得：秒后，点表示的数为，点表示的数为，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：两点间的距离，线段的中点表示的数为； 故答案为14，3； （2）解：不发生变化，理由如下： 由题意得：秒后，点表示的数为， ∴的中点M所表示的数为，的中点N所表示的数为， ∴； （3）解：由题意得：秒后，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 综上所述：当或时，． 12．已知数轴上点对应的数为，点对应的数为，且满足． (1)求、的值． (2)点，分别从点，同时出发，点以每秒个单位长度的速度向右移动，点以每秒个单位长度的速度向右移动；点从点出发，与点，同时开始移动，在之间以每秒个单位长度的速度往返移动．设移动时间为秒． ①用含的代数式表示点对应的数为，点对应的数为． ②当点，相遇时，求点移动的总距离． ③当时，判断是否等于，并说明理由． 【答案】(1)的值为，的值为 (2)①点对应的数为，点对应的数为；②点移动的总距离为12；③当时，等于 【分析】本题考查了非负数的性质（用于求解、）、数轴上点的移动规律、相遇问题的等量关系及往返运动中距离的计算．解题关键是准确把握各点的运动状态，结合公式建立等式或计算距离． （1）依据非负数的性质（平方数与绝对值均为非负数，其和为时各自为）求解、的值； （2）①利用“数轴上点向右移动后表示的数=初始数+速度时间”确定点、对应的数； ②先通过、相遇时对应数相等求出时间，再结合“路程=速度时间”计算点移动的总距离； ③当时，分别求出、、的位置，进而计算与的距离并比较． 【详解】（1）因为任何数的平方和绝对值都是非负数，即，． 又因，所以只有当且时等式成立． 由，解得；由，解得． （2）①点从（对应数）出发，以每秒个单位长度向右移动，秒后移动的距离为3t，故点对应的数为． 点从（对应数）出发，以每秒个单位长度向右移动，秒后移动的距离为，故点对应的数为． 故答案为：，． ②当点、相遇时，它们对应的数相等，即． 移项得，合并同类项得，解得． 点的速度为每秒个单位长度，移动时间为秒，根据“路程=速度时间”，点移动的总距离为． ③当时， 点对应的数：； 点对应的数：； 点移动的距离为，移动个单位后到达． ， 所以． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 数轴上的动点问题的十类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、单动点的基本运动 2 题型二、单动点的分段运动 3 题型三、两动点同向运动 5 题型四、两动点相向运动 6 题型五、两动点先后运动 8 题型六、动点中距离问题 9 题型七、距离和差为定值问题 11 题型八、动点中点问题 13 题型九、分类讨论型动点问题 15 题型十、多动点周期性运动问题 17 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 数轴上的动点问题，核心就一招——"动中取静"​。动点看似变化多端，本质就是几个关键瞬间的位置关系。做题时先把动点轨迹画在数轴上，把关键瞬间（出发、相遇、追及、中点）"定格"标好坐标，再根据运动情境列方程或不等式。所有结果，最终都要 代回数轴检验是否符合情境。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、单动点的基本运动 题型模版 1.特征： 只有一个动点在数轴上运动，通常给出起点、运动方向、速度和时间。题目核心是判断动点运动后对应的数，以及它与原点或某个固定点的相对位置。这是所有动点问题的基础。 2.方法：1. 先在数轴上标出起点，明确“向右为正、向左为负”。 2. 根据“路程＝速度×时间”确定移动的单位长度。 3. 用“起点对应的数 ± 移动路程”表示运动后的位置；向右用加，向左用减。 4. 最后结合数轴判断点在原点左侧、右侧，或与某固定点的位置关系。 例1. 已知数轴上有，两个点，分别表示有理数，． (1)数轴上点到点的距离为______；数轴上到点，的距离相等的点的位置表示的有理数为______； (2)若有动点从点出发，以每秒1个单位的速度向右移动，设移动时间为秒．用含的式子分别表示点到点和点的距离． (3)若，则的取值范围是______； (4)若表示一个有理数，则式子有最大值吗？若有，请求出最大值．若没有，说出理由． 变式1-1. 如图，在数轴上有A、B两点，点A表示的数为，点B表示的数为14，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒（）． (1)当时， ，此时点P表示的数为 ； (2)当时，求t的值； (3)若动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点P、Q同时出发，经过多少秒后，P、Q两点之间的距离为6个单位长度？ 变式1-2. 如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB=20，动点P从点A出发，以3个单位/秒的速度沿着数轴负方向匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．       (1)写出数轴上点B表示的数 ；动点P对应的数是 （用含t的代数式表示）； (2)动点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度匀速运动，且点P, Q同时出发 ①若动点Q沿着数轴正方向匀速运动，多少秒时点P与点Q相遇？ ②若动点Q沿着数轴负方向匀速运动，多少秒时点P与点Q相距4个单位？ 题型二、单动点的分段运动 题型模版 特征： 动点运动过程中会改变方向，或到达某个位置后折返，也可能不同阶段采用不同速度。此类题不能把整个运动过程当成一个阶段，需要按时间或转折点分段分析。 方法： 1. 先找出运动过程中的“分界点”，如折返点、变速时刻、改变方向的时刻。 2. 把整个运动过程分成若干阶段，每一阶段分别判断方向、速度和运动时间。 3. 逐段确定该阶段结束时的位置，并把它作为下一阶段的起点。 4. 遇到往返或重复运动时，可进一步观察一个完整往返过程是否形成周期。 例2. 学习情境·规律探究如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，并且规定： 每向左运动秒就向右运动秒，则该动点运动到第秒时所对应的数是（   ） A． B． C． D． 变式2-1. 如图，数轴上一动点从原点出发，在数轴上进行往返运动，运动情况如下表．    运动次数 运动路程（记向右为正） 第1次 第2次 第3次 第4次 当，回答下列问题： （1）第2次运动的方向是向_________运动（填“左”或“右”）； （2）通过计算，在数轴上确定点第3次运动后的大概位置； （3）经历4次运动后，若点想回到原点，则需要再向________（填“左”或“右”）运动，运动的距离是__________； （4）求点在这4次运动过程中运动距离的总和． 变式2-3. 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A 和点B 表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离． ，若 则可化简为． 若， 则可化简为， 请你利用数轴解决以下问题∶ (1)已知点 P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，m满足，则m的值为 ； (2)已知点 P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示2的点的右边，则 ； (3)已知点A， B， C， D在数轴上分别表示数a， b， c， d， 四个点在数轴上的位置如图所示， 若， ，， 则等于 ． (4)已知，数轴上一动点Q从数 100表示的点出发，沿数轴以每秒钟 1个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度……，求Q 点运动几秒钟后满足 的值最小？ 变式2-4. 七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴” 素材1 如图，将一条数轴在原点 O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”． 图中点A表示， 点B表示12， 点C表示24， 点 D表示36，我们称点 A与点 D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为 ． 素材2 动点 P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点 B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点 B与点 C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点 C后立刻恢复初始速度． 问题解决 探索 1 动点 P从点 A运动至点 B需要多少时间？ 探索 2 动点P从点A出发，运动 t秒至点B和点C之间时，求点 P表示的数 （用含 t的代数式表示）； 题型三、两动点同向运动 题型模版 特征： 两个动点从数轴上不同位置出发，朝同一方向运动。重点不是简单看两点都向哪边运动，而是比较两点速度，从而判断它们之间的距离是变大、变小还是保持不变。 方法： 1. 先分别确定两点的初始位置，并判断谁在左、谁在右。 2. 比较两点运动方向和速度大小：后面的点更快，距离一般缩小；前面的点更快，距离一般增大。 3. 分别表示两点在同一时刻的位置，再根据左右顺序求两点距离。 4. 若两点可能发生位置交换，要注意交换前后“左点、右点”会发生变化。 例3. 如图，数轴上点A，B，O表示的数分别是，动点P，Q同时从点A，B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右运动．在运动过程中，下列数量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 变式3-1. 如图，数轴上A，B两点分别表示和5，一动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动；另一动点Q同时从点B出发，以每秒1个单位的速度同向而行，设运动时间为t秒． (1)当t为多少秒时，的值为8个单位长度； (2)当t为多少秒时，点P与点Q相距3个单位长度． 变式3-2. 如图，数轴上A，B两点分别表示和5． (1)线段与的数量关系为： ； (2)一动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动；另一动点Q同时从点B出发，以每秒1个单位的速度同向而行，设运动时间为t秒． ①当t为多少秒时，的值为8个单位长度； ②当t为多少秒时，点P与点Q相距3个单位长度． 变式3-3. 如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，到达点A时运动停止．设运动的时间为t（秒）． (1)P、A两点间的距离是___________；（用含字母t的代数式表示） (2)当t的值分别为和时，求O，Q两点间的距离； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求O，P两点间的距离． 题型四、两动点相向运动 题型模版 特征： 两个动点运动方向相反。相向运动时两点距离不断缩小，经过相遇位置后可能再次增大；背向运动时两点距离通常不断增大。常考两点间距离随时间的变化规律。 方法： 1. 先判断两点是“相向靠近”还是“背向远离”。 2. 相向时可从“原距离减去两点共同缩短的距离”理解；背向时可从“原距离加上两点共同增加的距离”理解。 3. 若相向运动后两点交叉，需要分清交叉前后的位置顺序。 4. 求具体位置时，仍分别从各自起点按运动方向确定位置，再比较两点 例4. 如图，数轴上点A表示的数为6，点B位于A点的左侧，AB=10，动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动． （1）点B表示的数是 ； （2）若点P，Q同时出发，求： ①当点P与Q相遇时，它们运动了多少秒？相遇点对应的数是多少？ ②当PQ=5个单位长度时，它们运动了多少秒？ 变式4-1. 如图，数轴上点A表示的数为．点B表示的数为7．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，设点P的运动时间为t秒． (1)①A、B两点之间的距离为______，到A、B两点距离相等的点表示的数为______； ②用含t的式子分别表示t秒后点P与点Q表示的数； (2)当时，描述P、Q两点的位置关系． 变式4-2. 已知有理数a，b满足，有理数c比a小1，且a，b，c分别是点A，B，C在数轴上对应的数．若动点M，从点A出发沿数轴正方向运动，动点N同时从点B出发沿数轴负方向运动，点M的速度是每秒3个单位长度，点N的速度是每秒1个单位长度． (1)在如图所示的数轴上标出点A，B，C的位置； (2)①求运动前，点M，N之间的距离； ②求运动t秒后，点M，N在数轴上对应的数．（用含t的代数式表示） 题型五、两动点先后运动 题型模版 特征： 两个动点不是同时开始运动，一个先出发，另一个经过一段时间后再出发。因此整个过程天然具有“前一阶段只有一个点运动、后一阶段两个点同时运动”的分段特点。 方法： 1. 先抓住后一个动点的“出发时刻”，把它作为分界点。 2. 第一阶段只计算先出发点的位置变化，确定第二个点开始运动时两点各自的位置。 3. 第二阶段再把此时的位置作为新的起点，研究两个动点的共同运动。 4. 若题目问某时刻的距离或位置关系，要先判断该时刻属于哪个阶段，再作答 例5. 在数轴上有两点A，B，并且A，B表示的数a，b分别是﹣6，18．现在P，Q都从A点出发往B点停止，已知P点速度是4个单位长度/秒，Q点速度6个单位长度/秒，已知P出发1秒后，Q才出发． （1）若M点与Q点同时从A点出发，且M点速度是8个单位长度/秒，M出发追上P后再返回与Q相遇就停止，它一共走了多远？ （2）在整个过程中，P，Q两点在Q点出发后多久相距一个单位长度？ 变式5-1. 如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（）秒. （1）数轴上点B表示的数______；点P表示的数______.（用含t的代数式表示） （2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时，P，Q重合？ （3）若动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，且点M出发1秒后，点P才开始运动．问从点M运动后，经过多少秒时，P，M之间的距离恰好等于1个单位长度？ 变式5-2. 已知数轴上、两点表示的数分别为、，且、满足；点、沿数轴从出发向右匀速运动，点的速度为5个单位长度/秒，点的速度为3个单位长度/秒，当点运动3秒到点时正好从出发； (1)________；________； (2)若点、一直向右匀速运动，点到点的距离是点到点距离的2倍，求点对应的数； (3)若点、运动到点，迅速以原来的速度返回，到达出发点后，又折返向点运动，点运动至点后停止运动，当点停止运动时点也停止运动．在点开始运动后第几秒时，、两点之间的距离为1？请说明理由． 题型六、动点中距离问题 题型模版 特征： 以“距离”为核心，包括两动点之间的距离、动点到原点的距离、动点到固定点的距离等。此类题常与绝对值的几何意义结合，是数轴动点题中最常见的基本模型。 方法： 1. 先确定各点在数轴上的位置，尽量画出简图。 2. 两点距离始终取非负值，本质上是“右边点对应的数－左边点对应的数”。 3. 动点到原点的距离就是该点对应数的绝对值所表示的几何距离。 4. 若不能确定谁在左、谁在右，要根据动点所处区间分类讨论，不能直接机械相减 例6. 如图，在数轴上点A表示的数为a，A、B两点间的距离为9． (1)若，则点B表示的数为________； (2)若点C在A、B两点之间，且点C到A、B两点的距离相等，用含a的代数式表示点C所表示的数； (3)若点A到原点的距离是点B到原点距离的一半，在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左匀速运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左匀速运动，在碰到挡板后（忽略小球的大小，可看作一点）乙球以原来的速度向相反的方向运动，设运动时间为t（秒）． ①用含t的代数式分别表示甲、乙两球到原点的距离； ②当时，求小球甲和小球乙之间的距离． 变式6-1. 如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“5格距点”． (1)若点P表示的数是0，则n的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为2，求点P表示的数及n的值； (4)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的3倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 变式6-2. 已知点P，点，点是数轴上的三个点．若点到原点的距离等于点、点到原点距离的和的一半，则称点P为点和点的“关联点”． (1)已知点表示，点B表示，下列各数，，，在数轴上所对应的点分别是，，，，其中是点和点的“关联点”的是 ； (2)已知点表示，点表示，点P为点和点的“关联点”，且点到原点的距离为，求的值； (3)已知点表示数，将点沿数轴正方向移动个单位长度，得到点．当点为点和点的“关联点”时，我们把点P到点B的距离记为，点P到点A的距离记为，直接写出的值是______________． 变式6-3. 已知数轴上的在负半轴上，到原点的距离为个单位长度，点在正半轴上，从点到点，要经过个单位长度． (1)求出点在数轴上表示的数，点在数轴上表示的数； (2)若点也是数轴上的点，点到点的距离是点到原点距离的倍，求点的对应的数； (3)点从点向右出发，速度为每秒个单位长度，同时点从点向右出发，速度为每秒个单位长度，点到点的距离等于点到原点的距离，求出的值． 变式6-4. 综合与实践 【提出问题】 我们知道，数轴上表示数的点与原点的距离可以用来表示．那么，数轴上任意两点间的距离又该如何表示呢？ 【观察比较】 （1）如图，点、、、在数轴上对应的数分别为、、3、10，通过观察，请写出以下两点间的距离（即线段的长度）：______；______；______． 【分析归纳】 （2）请你再举些例子，分析两点间的距离与表示这两个点的数之间的关系，类比绝对值的表示，可归纳出：数轴上表示数与数的两点间的距离可用______来表示．（请填写序号） ①    ②    ③    ④ 【迁移应用】 （3）在（1）的前提下，点，点同时向右运动，点的速度为每秒4个单位长度，点的速度为每秒个单位长度．设运动时间为秒，同时停止时点，点分别记为点，点． ①当，时，求点与点的距离． ②当时，若经过秒后点与点相距32个单位长度，求经过秒后点与点的距离． 题型七、距离和差为定值问题 题型模版 特征： 研究PA+PB、|PA-PB|等距离组合在动点运动过程中的变化。有些位置下距离和保持不变，有些位置下距离差保持不变，是数轴动点题中由基础走向综合的重要类型。 方法： 1. 先把两个固定点A、B标在数轴上，再判断动点P位于A左侧、AB之间还是B右侧。 2. P在A、B之间时，PA+PB通常等于AB，是最典型的距离和定值。 3. P在A、B外侧时，要根据具体位置重新表示PA、PB，不能直接套用中间区域的结论。 4. 研究距离差时同样先分区域，再观察是否可以转化为固定线段长度 例7. 【问题背景】 已知点、、在数轴上表示的三个数分别为、、，若点在原点的左侧，距离原点个单位长度，点在原点的右侧，距离原点个单位长度，点在点的右侧． 【初步探究】 （1）填空：___________，___________，、两点间的距离为___________； （2）若数轴上的点到､两点的距离相等，且点与点不重合，用含的代数式表示点到点的距离； 【深度拓展】 （3）若将数轴上两点间的距离用这两点的字母表示（如点和点之间的距离表示为），点以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，同时点以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，点从原点开始以每秒个单位的速度沿数轴向右移动，数轴上的点和点分别满足和，通过计算说明的结果与点､､运动的时间无关． 变式7-1. 已知数轴上有A、、三个点，点A到原点的距离是30（点A在原点的左边），、两点表示的数互为相反数（点在原点的左边），线段． (1)填空：两点的距离是______，点表示的数是______； (2)若点距离点的距离为5，则点表示的数是什么？ (3)若点距离的距离为，那么点表示的数是什么？（请用的代数式表示）； (4)若点A以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒1个单位长度和6个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，若的值不随着时间的变化而改变，求的值． 变式7-2. 已知数轴上有、、三个点对应的数分别是、、，且满足．动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，设移动时间为秒． (1)则___________，__________，_____________； (2)若点到点距离是到点距离的3倍，求点的对应的数； (3)当点运动时，点从点同时出发，以每秒2个单位的速度向终点点运动，若为的中点，若为定值且为正数，求出这个定值，并求出此时的取值范围． 变式7-3. 如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足． (1) ； ； (2)动点P，Q分别从点A，点B同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度． ①t秒时，点P表示的数是 ，点Q表示的数是 ． ②动点P，Q分别从点A，点B出发的同时，动点R也从原点O出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒n（n＞1）个单位长度．记点P与点R之间的距离为，点A与点Q之间的距离为，点O与点R之间的距离为．设运动时间为t秒，请问：是否存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出此n值和这个定值；若不存在，请说明理由． 题型八、动点中点问题 题型模版 特征： 研究动点是否处在线段中点、是否到两个固定点距离相等，或两个动点是否关于原点、某个固定点对称。其本质是利用数轴上特殊位置之间的几何关系。 方法： 1. 看到“中点”时，先确定线段两个端点，中点位于两点正中间。 2. 看到“到A、B两点距离相等”时，优先想到AB的中点。 3. 看到“关于原点对称”时，两个点到原点距离相等且分居原点两侧。 4. 看到“关于某点对称”时，可把该固定点看成两点连线的中点，再分析位置关系 例8. 综合探究：已知 a、b 满足，，且有理数a、b、c在数轴上对应的点分别为A、B、C． (1)则_____，_____，_____． (2)点D在数轴上对应的点为3，点E、点F分别为中点，求线段的长为_____． 点D在数轴上对应的点为4，点E、点F分别为中点，求线段的长为_____． (3)点D是数轴上A点右侧一动点，点E、点F分别为中点，当点D运动时，线段的长度是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出其值； 变式8-1. 已知多项式是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b． (1) ， ，线段 ； (2)若数轴上有一点C，使得，点M为的中点，求的长 ； (3)有一动点G从点A出发，以3个单位每秒的速度向右方向运动，同时动点H从点B出发，以1个单位每秒的速度在数轴上作同方向运动，设运动时间为t秒（），点D为线段的中点，点F为线段的中点，点E在线段上且，在G，H的运动过程中，求的值 ．（用含t的代数式表示） 变式8-2. 【背景知识】 数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离；线段的中点表示的数为． 【知识运用】 （1）点、表示的数分别为、，若与互为倒数，与互为相反数．则、两点之间的距离为_________；线段的中点表示的数为_________． 【拓展迁移】 （2）在（1）的条件下，动点从点出发以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒5个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点． ①点表示的数是_________（用含的代数式表示）； ②线段、的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由． 变式8-3. 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律．    (1)【特例感知】：若数轴上点A，点B表示的数分别为5，，则A，B两点之间的距离为______，线段的中点表示的数为______； (2)①【分类讨论】：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，当，则A，B两点之间的距离为；当，则A，B两点之间的距离为；当，则A，B两点之间的距离为______； ②【类比探究】：线段的中点表示的数为______（用含a，b的代数式表示）； (3)【综合运用】：若数轴上点A，点B表示的数分别为5，，点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，同时，点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当M，N两点相遇时，均停止运动，设运动时间为t秒（），点M，N在运动过程中； ①M，N两点之间的距离为______；（用含t的代数式表示） ②若点C为的中点，点D为的中点，线段的长度为______（用含t的代数式表示）． 变式8-4. 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒 【综合运用】 (1)填空： A、B两点间的距离 ，线段的中点C表示的数为 ； (2)求当t为何值时，； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 题型九、分类讨论型动点问题 题型模版 特征： 由于动点的位置会不断变化，同一个距离或位置关系在不同区间的表示方式可能不同。常见划分方式是“在A左侧、A与B之间、B右侧”，是七年级动点压轴题的重要思维。 方法： 1. 先找出会导致关系变化的关键点，通常是原点、固定点、相遇点或折返点。 2. 用这些关键点把数轴分成若干区间。 3. 分别在每个区间画简图，明确点的左右顺序。 4. 每种情况独立分析位置和距离关系，最后汇总；注意排除不符合运动实际的情况 例9. 数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，学习以上内容解决问题： (1)若数轴上A、B两点表示的数分别为x、1，若A、B两点之间的距离为5，那么x的值为______； (2)若数轴上A、B两点表示的数分别为x、y． ①的最小值为______； ②且x为整数，求的最大值； (3)若数轴上A、B两点表示的数分别为x、y，O为原点，当，时，动点P、Q分别从点A、点B出发，动点R从原点O同时出发，均沿着数轴向右匀速运动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，点R速度为每秒个单位长度．记点P与点R之间的距离为，点A与点Q之间的距离为，点O与点R之间的距离为，设运动时间为t秒，请问，是否存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出n的值和这个定值；若不存在，请说明理由． 变式9-1. 如图，已知数轴上有三个点，它们表示的数分别是. （1）填空: ， . （2）若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动.试探索:的值是否随着时间的变化而改变? 请说明理由。 （3）现有动点都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向终点移动:当点移动到点时，点才从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动，且当点到达点时，点就停止移动.设点移动的时间为秒，请试用含的式了表示两点间的距离(不必写过程，直接写出结果). 变式9-2. 【问题背景】：的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离；如图，在数轴上，点，，，，的位置如图所示，则；；． 【问题解决】 （1）计算________． （2）如果点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，，则________． 【关联运用】 （3）代数式的最小值为________． （4）当是________时，代数式 （5）若点表示的数，点与点的距离是10，且点在点的右侧，动点、同时从、出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，、、三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点? 变式9-3. 【定义新知】 在数轴上，点M和点N分别表示数和，可以用绝对值表示点M、N两点间的距离，即． 【初步应用】 (1)在数轴上，点A、B、C分别表示数、2、，解答下列问题： ①____________； ②若，则x的值为____________； ③若，且x为整数，则x的取值有_________个． 【综合应用】 (2)在数轴上，点D、E、F分别表示数、4、6．动点P沿数轴从点D开始运动，到达F点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度．设点P的运动时间为t秒，在整个运动过程中，请用含t的代数式表示． 题型十、多动点周期性运动问题 题型模版 特征： 动点在固定区间内反复往返，或多个动点按照一定规律运动，位置会呈现重复性。题目常问较大时间后的所在位置、第若干次到达某点的规律等。 方法： 1. 先研究较短时间内的位置变化，完整列出一个往返过程。 2. 确定一个完整周期所需要的时间，以及一个周期结束后动点回到什么状态。 3. 面对较大的时间或次数时，优先利用“总时间÷周期时间”的余数判断处于周期中的哪一段。 4. 多动点规律题可先列表记录前几个时刻的位置，从中寻找重复规律，再推广到一般情况 例10. 如图，在数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数a，b，c，且a，b，c满足式子；如图：动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度一直向右运动，点P运动5秒后，长度为6个单位的线段（M为线段左端点且与点B重合，N为线段右端点）从B点出发以3个单位/秒的速度向右运动，当点N到达点C后，线段立即以同样的速度返回向左运动，当点M到达点B后线段再以同样的速度向右运动，如此往返．设点P运动时间为t秒． (1)求a，b，c的值； (2)当　 　秒时，点P与点C重合，并求出此时线段上点N所表示的数； (3)记线段的中点为Q，在运动过程中，当点P与点Q的距离为1个单位时，求t的值． 变式10-1. 已知数轴上，三点表示的数分别为、、，点，分别从，两处同时出发相向匀速运动，点的速度为个单位长度/秒，点的速度为个单位长度/秒，设两点运动时间为 秒： (1)当秒时，线段 ， (2)当点在，之间，线段 ， （用含字母的代数式表示）．若，求出此时的值； (3)当点运动到点时，立刻以原来的速度返回，到达点后停止运动；当点运动到点时，立刻以原来速度返回，到达点后再次以相同速度返回向点运动，如此在，之间不断往返，直至点停止运动时，点也停止运动．求在此运动过程中，当，两点运动了多少秒时，它们第二次相遇． 变式10-2. 如图，已知点A距离数轴原点2个单位长度，且位于原点左侧，将点A先向右平移10个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到点B，点P是数轴上的一个动点． （1）在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离； （2）当点P在数轴上移动，满足时，求P点表示的数； （3）动点P从数轴上某一点出发，第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，…… ①若在原点处，按以上规律移动，则点P第n次移动后表示的数为__________； ②若按以上规律移动了次时，点P在数轴上所表示的数恰是，则动点P的初始位置K点所表示的数是___________． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动： ①求15秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 2．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为（a为定值，且），C为数轴上异于点A的一点，且到原点O的距离与点A到原点O的距离相等． (1)请在图中标出原点O与点C． ​ (2)点A到点C的距离为 ．（用含a的式子表示） (3)P为数轴上一动点，其对应的数为x． ①当P是B，C之间的一动点时，点P到点B、点C的距离之和是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． ②设点P到A、B、C三点的距离之和为S．在动点P从点B开始沿数轴的正方向运动到点A这一运动过程中，若S的最大值为m，最小值为n，求的值． 3．已知：如图数轴上有三点，点A和点B间距20个单位长度且点A、B表示的有理数互为相反数，，数轴上有一动点P从点A出发，以2个单位秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为t秒． (1)点A表示的有理数是______，点C表示的有理数是______，点P表示的数是______用含的式子表示． (2)当______秒时，两点之间相距8个单位长度？ (3)若点A、点B和点C与点P同时在数轴上运动，点A以个单位秒的速度向左运动，点B和点C分别以3个单位秒和4个单位秒的速度向右运动，是否存在常数，使得为一个定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 4．如图，已知数轴上两点、，点为数轴上的动点，其表示的数为．    (1)若点到点、的距离相等，则点表示的数的值为______； (2)式子的最小值是______； (3)点也是数轴上的一个动点，已知点的运动速度为每秒个单位长度，动点、同时分别从点、出发开始运动． 若点、相向而行，在表示数的点相遇，求点的运动速度； 若点的运动速度是每秒个单位长度，、两点同时向左匀速运动，则当、两点之间的距离为时，两点运动了多长时间？ (4)若动点从点出发，第一次向左运动个单位长度，第二次向右运动个单位长度，第三次向左运动个单位长度，…，按此规律不断在数轴上做往复运动，当点运动了次时，直接用含的代数式表示出点所表示的有理数． 5．如图，数轴上的点和分别表示0和10，点是线段上一动点，沿以每秒2个单位的速度往返运动1次，是线段的中点，设点运动时间为秒． (1)线段的长度为　　； (2)当时，点所表示的数是　　； (3)求动点所表示的数（用含的代数式表示）； (4)在运动过程中，若中点为，则的长度是否发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请直接用含的代数式的长度． 6．已知A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，并且关于x的多项式（a+10）x7+2xb-15﹣4是五次二项式，P，Q是数轴上的两个动点． （1）a＝_____，b＝_____； （2）设点P在数轴上对应的数为x，PA+PB＝40，求x的值； （3）动点P，Q分别从A，B两点同时出发向左运动，点P，Q的运动速度分别为3个单位长度/秒和2个单位长度/秒．点M是线段PQ中点，设运动的时间小于6秒，问6AM+5PB的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由． 7．距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能形成量感，进而掌握世界尺度．“数轴”是数形结合的重要工具，在数轴上，两点的距离等于对应两数之差的绝对值．如：数轴上表示2和5的两点的距离为；再如，数轴上表示x和2的两点的距离为（若为正，距离即为；若非正，距离即为） 依据上述材料，解答下列问题： 如图，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且． (1)填空：a的值为_________，b的值为_________，点A与点B的距离为_________； (2)若点M，N为数轴上两个动点，点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；点N同时从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间t（）为秒． ①填空：点M表示的数是_________；点N表示的数是_________；（均用含t的代数式表示）； ②当t为何值时，点M与点N的距离为3个单位长度？ 8．已知、、是数轴上三点，点为原点，点在数轴上表示的数为8，点到点的距离为5，点到点的距离为13，且点位于数轴的负半轴上，点在点的左侧． (1)数轴上点表示的数为_____，点表示的数为_____； (2)动点、分别从、同时出发，沿数轴向右匀速运动，点的速度是每秒6个单位长度，点的速度是每秒4个单位长度，设运动时间为秒． ①当、两点到原点的距离相等时，求出的值； ②点到点的距离等于点到点的距离，点到点的距离等于点到点距离的，且点在点和点之间．当、、三个点中的其中一个点到另两点距离相等的时候，求出的值． 9．在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 10．【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，数轴上的点到点的距离和点到点的距离相等，则点对应的数可以表示为． 【初步探究】 （1）数轴上点、对应的数分别为、1，数轴上点到点的距离和点到点的距离相等，则点对应的数为_____； （2）在（1）的条件下，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向负方向移动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向正方向移动． ①当运动时间为3秒时，若，求数轴上到、两点距离相等的点对应的数； ②当运动时间为2秒时，用含的代数式表示数轴上到、两点距离相等的点对应的数；（结果化为最简） 【拓展提升】 （3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向负方向移动，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向正方向移动，当运动时间为5秒时，数轴上点到点的距离和点到点的距离相等，数轴上点到点的距离和点到点的距离相等，判断、两点间的距离是否为定值，并说明理由． 11．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为10．点表示的数为，动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． 【解决问题】 (1)填空：两点间的距离___________，线段的中点表示的数为___________； (2)设点是的中点，点是的中点．点在直线上运动的过程中，线段的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变化，求出线段的长度． (3)若点从点开始运动时，另一点同时从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．求当为何值时，？ 12．已知数轴上点对应的数为，点对应的数为，且满足． (1)求、的值． (2)点，分别从点，同时出发，点以每秒个单位长度的速度向右移动，点以每秒个单位长度的速度向右移动；点从点出发，与点，同时开始移动，在之间以每秒个单位长度的速度往返移动．设移动时间为秒． ①用含的代数式表示点对应的数为，点对应的数为． ②当点，相遇时，求点移动的总距离． ③当时，判断是否等于，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 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