专题09实数与运算的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版七年级上册

**基本信息** 以“算”“探”双思维为主线，系统整合实数运算六类题型，通过通法提炼与变式训练构建从基础到压轴的能力提升路径，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实数混合运算|1例+4变式|遵循运算规则，强化符号与顺序把控|从基本运算法则到复杂混合运算，夯实运算功底| |无理数大小估算|1例+4变式|夹逼法确定范围，特殊到一般归纳|结合平方数性质，培养数感与估算能力| |实数与数轴综合|1例+4变式|数形结合，利用数轴直观化数量关系|体现实数与数轴一一对应，发展几何直观| |实数运算与程序设计|1例+4变式|按程序规则逐步运算，逆向验证结果|衔接代数运算与逻辑流程，提升数学思维| |新定义下的实数运算|1例+2变式|理解新运算规则，迁移已有运算经验|培养数学语言理解与应用意识| |实数运算的规律探究|1例+2变式|观察特例→归纳规律→验证推广|发展推理意识，提升问题探究能力|

专题09 实数与运算的六类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、实数的混合运算 1 题型二、无理数的大小估算 2 题型三、实数与数轴综合 3 题型四、实数运算与程序设计 5 题型五、新定义下的实数运算 6 题型六、实数运算的规律探究 6 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 实数与运算，题型多但思维就两种——一类是"算"（混合运算、新定义运算、程序运算），拼的是运算功底与规则理解；另一类是"探"（规律探究、无理数大小、数轴综合），拼的是归纳能力与位置感。​"算"的题按规矩来，"探"的题靠特殊到一般。所有结果，最终都要 逐项回归原式或原图验证。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、实数的混合运算 例1. 计算： 变式1-1. 计算：． 变式1-2. 计算： 变式1-3. 计算：． 变式1-4. 计算：． 题型二、无理数的大小估算 例2. 小茗同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为145的正方形的边长是且 ∴设，其中． 画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积 依题意，得 ∴ ∵ ∴ 此时可忽略，得 解得 ∴即的近似值是12.04 (1)的整数部分为______． (2)仿照小茗的探索过程，求的近似值．（画出示意图，标注数据，并写出求解过程，近似值精确到0.01） 变式2-1. 下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上笔记内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为________． (2)任务二：a为的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：，其中x是整数，且，求的平方根 变式2-2. 已知无理数的整数部分和小数部分可以通过夹逼法确定，解答下列问题： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值； (3)已知，其中p是整数，且，求的相反数． 变式2-3. 阅读下面的文字，解答问题． 例：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是___________，小数部分是___________； (2)的小数部分是___________； (3)若分别是的整数部分和小数部分，求的平方根． 题型三、实数与数轴综合 例3. 如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是_____． (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 变式3-1. 如图，半径为 个单位长度的圆片上有一点与数轴上的原点重合．（所有结果均保留） (1)若该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点到达点，设点表示的数为．求的值： (2)若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动的情况记录如下：，，，，． ①第几次滚动后，点距离原点最近？第几次滚动后，点距离原点最远？ ②当圆片结束运动时，点运动的路程共有多少？此时点所表示的数是多少？ 变式3-2. 综合与实践． 主题：实数与数轴的对应关系．素材：一张圆形纸片． 步骤1：将直径为1的圆形纸片的接触点对准数轴原点，沿着数轴正方向无滑动完整滚动1周，滚轮上初始对准原点的标记点随之移动到数轴上点处； 步骤2：规定滚轮向右滚动的周数记作正数，向左滚动的周数记作负数，连续多次滚动记录周数依次为：，，，，； 通过滚轮滚动实验不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数中的相关概念、运算法则及运算律同样适合于实数．据此完成下列问题． (1)数轴上点对应的数是 ； (2)针对步骤2的连续滚动过程： ①标记点移动的总路程一共是多少个单位长度？ ②滚动全部结束后，标记点最终落在数轴上表示的数是多少？ (3)若用直径为的圆形纸片从原点开始滚动，先向右滚动3周，再额外向右滚动一小段距离，恰好到达数轴上对应的点处，求： ①额外滚动的这段距离？ ②的整数部分、小数部分，计算的值． 变式3-3. 用如图①所示的个边长为的小正方形，通过剪拼可以得到一个大正方形． (1)求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间； (2)把图①中的正方形放到数轴上，如图②，点表示的数为．若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推． ①第一次翻滚后，点表示的数为多少 ②是否存在正整数，使得该正方形经过次翻滚后，其顶点，，，中的某个点与数轴上的重合若存在，请求出的值若不存在，请说明理由． 题型四、实数运算与程序设计 例4. 在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出y的值是（     ） A． B． C． D． 变式4-1. 小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是，那么输出的结果是，当输入的值是时，输出的值是（     ） A． B． C． D． 变式4-2. 如图是一个数值转换器的原理图，当输入的值为81时，输出的值是（     ） A．2 B．3 C． D． 变式4-3. 如图，小雅用计算机设计了一个运算程序图，若输入的的值为时，输出的结果是______． 变式4-4. 按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是729，则输出的的值是_____． 题型五、新定义下的实数运算 例5. 对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算：（），如，则_________． 变式5-1. 规定一种新的运算：，如，则________． 变式5-2. 用“”表示一种新运算：对于任意正实数，都有，如，则的结果是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型六、实数运算的规律探究 例6. 学习《实数》之后，在数学活动课上，马老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：，，，，… 【实践探究】 （1）按照此规律，计算：___________； （2）若符合上述规律，则___________． 变式6-1. 对于完全平方数，其算术平方根能够直接算出，如；而非完全平方数的算术平方根无法直接笔算得出，借助计算器是可行的求解途径，如．除此之外，我们还能依托数字间存在的内在规律与关联，推导求出对应算术平方根．请你观察下表： … 0.2 2 20 200 … … 0.4472 1.414 4.472 ？ … 利用这一规律，计算________． 变式6-2. 观察下列各式： 第1个等式：    第2个等式： 第3个等式：    第4个等式： …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)直接写出第5个等式：______． (2)按照上面每个等式反映的规律，第个等式为______． (3)利用上述规律化简：． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法其中正确的是（    ） ①当输出值为时，输入值为3或9； ②当输入值为16时，输出值为； ③存在这样的正整数，输入之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值； ④对于任意的正无理数，都存在正整数，使得输入后能够输出． A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④ 2．规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，，按此规定（     ） A．1 B． 2 C．3 D．4 3．定义：对于任意的实数，，当时，有；当时，，则（     ） A． B． C． D． 4．计算：． 5．计算：． 6．已知，则的整数部分为1；而减去其整数部分的差就是的小数部分，则的小数部分为．根据以上的内容，解答下面的问题： (1)填空：的整数部分是______，的小数部分是_____． (2)若，其中是整数，且，求的平方根． 7．图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为． (1)【问题发现】 图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的面积为_____________，边_____________； (2)【问题探究】 将图②放置在如图③所示的数轴中，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点（点位于原点右侧），则点表示的数的值为_____________； (3)【拓展延伸】 在（2）的条件下，试比较与1的大小，并说明理由． 8．如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A所表示的数为． (1)实数m的值是________； (2)求的值． (3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，e是的整数部分，求的平方根 9．观察等式： ． （1）请用含n（的整数）的式子表示出上述等式的规律； （2）按上述规律若，则________； （3）仿照上面内容，另编一个等式，验证你在（1）中得到的规律． 10．阅读下列解题过程： ①； ②； ③； …… (1)请写出第④个等式：____________； (2)猜想：=______；（为正整数，填最后结果） (3)根据你所发现的规律，计算：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 实数与运算的六类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、实数的混合运算 1 题型二、无理数的大小估算 2 题型三、实数与数轴综合 7 题型四、实数运算与程序设计 11 题型五、新定义下的实数运算 13 题型六、实数运算的规律探究 14 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 实数与运算，题型多但思维就两种——一类是"算"（混合运算、新定义运算、程序运算），拼的是运算功底与规则理解；另一类是"探"（规律探究、无理数大小、数轴综合），拼的是归纳能力与位置感。​"算"的题按规矩来，"探"的题靠特殊到一般。所有结果，最终都要 逐项回归原式或原图验证。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、实数的混合运算 例1. 计算： 【答案】 【分析】先计算乘方、算术平方根与立方根、化简绝对值，再计算实数的加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 变式1-1. 计算：． 【答案】 【详解】解：原式 变式1-2. 计算： 【答案】 【详解】解：原式 变式1-3. 计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 变式1-4. 计算：． 【答案】 【详解】解： 题型二、无理数的大小估算 例2. 小茗同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为145的正方形的边长是且 ∴设，其中． 画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积 依题意，得 ∴ ∵ ∴ 此时可忽略，得 解得 ∴即的近似值是12.04 (1)的整数部分为______． (2)仿照小茗的探索过程，求的近似值．（画出示意图，标注数据，并写出求解过程，近似值精确到0.01） 【答案】(1)16 (2)16.44 【分析】本题考查了无理数的估算，解题关键是准确理解题目中的方法，按照方法进行估算； （1）根据270附近的平方数确定的整数部分即可； （2）按照题目给出的方法求出的近似值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 的整数部分为16， 故答案为：16． （2）解：示意图如图所示： ∵面积为270的正方形边长为， 且， ∴设，其中 根据示意图，可得图中正方形面积为 又∵， ∴， 当时，可忽略，得：，解得： 即． 变式2-1. 下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上笔记内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为________． (2)任务二：a为的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：，其中x是整数，且，求的平方根 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）根据题干提供的方法进行计算即可； （2）先估算出，，然后再代入计算即可； （3）的整数部分为12，小数部分为，根据是整数，且，得出，，代入求值，最后求出平方根即可． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分为4，小数部分为， （2）解：，即， 的小数部分， ，即， 的整数部分， ； （3）解：，即， ， 的整数部分为12，小数部分为， 是整数，且， ，， ， 的平方根为． 变式2-2. 已知无理数的整数部分和小数部分可以通过夹逼法确定，解答下列问题： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值； (3)已知，其中p是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)4， (2) (3) 【分析】（1）估算无理数的大小，即可确定其整数部分和小数部分； （2）估算无理数、的大小，确定m、n的值，再代入计算即可； （3）估算无理数的大小，根据题意确定p、q的值，代入计算后再求其相反数即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是4，小数部分是， 故答案为：4，； （2）解：∵， ∴的小数部分， 又∵， ∴的整数部分， ∴； （3）解：∵， ∴， 又∵，且，p是整数， ∴，， ∴． ∴的相反数为． 变式2-3. 阅读下面的文字，解答问题． 例：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是___________，小数部分是___________； (2)的小数部分是___________； (3)若分别是的整数部分和小数部分，求的平方根． 【答案】(1)3， (2) (3) 【分析】（1）先对无理数进行估值，找到整数部分，再计算得出小数部分； （2）先对无理数进行估值，通过计算得到整数部分，再计算得出小数部分； （3）先求出的值，再代入求代数式的值，最后取平方根即可． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分为3，小数部分为； （2），则， 的整数部分为1，小数部分为； （3）解： ， ， 的整数部分为1，小数部分为， ，， ， 的平方根是， 的平方根是． 题型三、实数与数轴综合 例3. 如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是_____． (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)； (2)的值为2； (3)的平方根为． 【分析】（1）根据点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，即可得到的值； （2）根据数轴得到的取值范围，去绝对值化简即可得出答案； （3）根据非负数的性质得到的值，代入求值，再求平方根得出答案． 【详解】（1）解：∵点A表示，蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B， ∴点表示的数为：； （2）解：由数轴可知，， ∴，， ． （3）解：与互为相反数， ， ，， 解得：，， ， 的平方根为． 变式3-1. 如图，半径为 个单位长度的圆片上有一点与数轴上的原点重合．（所有结果均保留） (1)若该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点到达点，设点表示的数为．求的值： (2)若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动的情况记录如下：，，，，． ①第几次滚动后，点距离原点最近？第几次滚动后，点距离原点最远？ ②当圆片结束运动时，点运动的路程共有多少？此时点所表示的数是多少？ 【答案】(1) (2)①第四次滚动距离原点最近，第三次滚动距离原点最远； ②点运动的路程共有，此时点所表示的数是 【分析】（1）将的值代入，计算算术平方根即可得； （2）①分别求出第次滚动后，点距离原点的距离，由此即可得； ②先将滚动记录的数字的绝对值相加，再乘以即可得点运动的总路程；先将滚动记录的数字相加，再乘以即可得此时点所表示的数． 【详解】（1）解：该圆片滚动一周的距离为， ∵该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点到达点， ∴点表示的数； （2）解：①第1次滚动后，，点距离原点2周， 第2次滚动后，，点距离原点1周， 第3次滚动后，，点距离原点4周， 第4次滚动后，，点在原点处， 第5次滚动后，，点距离原点3周， 由此可知，第4次滚动后，点距离原点最近；第3次滚动后，点距离原点最远； ②∵， ∴当圆片结束运动时，点运动的路程共有； ∵， ∴当圆片结束运动时，此时点所表示的数是． 变式3-2. 综合与实践． 主题：实数与数轴的对应关系．素材：一张圆形纸片． 步骤1：将直径为1的圆形纸片的接触点对准数轴原点，沿着数轴正方向无滑动完整滚动1周，滚轮上初始对准原点的标记点随之移动到数轴上点处； 步骤2：规定滚轮向右滚动的周数记作正数，向左滚动的周数记作负数，连续多次滚动记录周数依次为：，，，，； 通过滚轮滚动实验不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数中的相关概念、运算法则及运算律同样适合于实数．据此完成下列问题． (1)数轴上点对应的数是 ； (2)针对步骤2的连续滚动过程： ①标记点移动的总路程一共是多少个单位长度？ ②滚动全部结束后，标记点最终落在数轴上表示的数是多少？ (3)若用直径为的圆形纸片从原点开始滚动，先向右滚动3周，再额外向右滚动一小段距离，恰好到达数轴上对应的点处，求： ①额外滚动的这段距离？ ②的整数部分、小数部分，计算的值． 【答案】(1) (2)①；② (3)①；② 【详解】（1）解：将直径为1的圆形纸片的接触点对准数轴原点，沿着数轴正方向无滑动完整滚动1周，滚动的距离为周长， ∴数轴上点对应的数是； （2）解：①各次滚动周数的绝对值之和为：， 总路程为：． ②各次滚动周数的代数和为：， 对应数轴上的数为． （3）解：①圆周长为：． 向右滚动三周，移动距离为：． 设额外滚动的距离为，则， ． ②， ， ，， ． 变式3-3. 用如图①所示的个边长为的小正方形，通过剪拼可以得到一个大正方形． (1)求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间； (2)把图①中的正方形放到数轴上，如图②，点表示的数为．若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推． ①第一次翻滚后，点表示的数为多少 ②是否存在正整数，使得该正方形经过次翻滚后，其顶点，，，中的某个点与数轴上的重合若存在，请求出的值若不存在，请说明理由． 【答案】(1)．的长在2和3之间； (2)①第一次翻滚后，点B表示的数为1+；②不存在．见解析． 【分析】（1）根据题意可求出正方形的面积，进而得到正方形的边长，再利用夹逼法即可求出其范围； （2）①根据点表示的数和正方形的边长即可得到一次翻滚后，点表示的数；②设存在正整数，则，由进行判断即可求解 【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， ∴的长在和之间； （2）解：①∵点表示的数为，正方形的边长为， ∴第一次翻滚后，点表示的数为； ②不存在，理由如下： 设存在正整数，则， ∴， ∵为正整数， ∴为有理数，而为无理数， ∴上述等式不成立，即不存在正整数． 题型四、实数运算与程序设计 例4. 在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出y的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的x值是64时，取算术平方根得， 由于8是有理数，所以再取立方根得， 由于2是有理数，所以再取算术平方根得， 由于是无理数，所以输出y的值是． 变式4-1. 小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是，那么输出的结果是，当输入的值是时，输出的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据立方根和算术平方根的定义，并结合流程图计算即可得出结果． 【详解】解：当输入的值是时，，为有理数，再取立方根为，为无理数， 故输出的值是． 变式4-2. 如图是一个数值转换器的原理图，当输入的值为81时，输出的值是（     ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据数值转换器的原理，输入一个数，求其算术平方根，若结果是有理数则重新输入，若结果是无理数则输出，据此逐步计算即可． 【详解】解：输入81，则， 是有理数， 重新输入，则， 是有理数， 重新输入，取算术平方根得，是无理数， 输出． 变式4-3. 如图，小雅用计算机设计了一个运算程序图，若输入的的值为时，输出的结果是______． 【答案】/0.5 【分析】根据程序图所示的运算顺序，对输入的依次进行平方、开立方、取倒数、开算术平方根的运算即可得出结果． 【详解】解：第一步，取的平方，即， 第二步，对结果取立方根，即， 第三步，对结果取倒数，即， 第四步，对结果取算术平方根，即， 因此，当输入时，输出的结果是． 变式4-4. 按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是729，则输出的的值是_____． 【答案】 【分析】根据程序流程图，先取729的立方根为9，再取9的算术平方根为3，然后取3的立方根即可． 【详解】解：若开始输入的的值是729，取立方根为，是有理数， 取算术平方根为，是有理数， 取立方根为，是无理数，则输出． 题型五、新定义下的实数运算 例5. 对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算：（），如，则_________． 【答案】/ 【详解】解：由题意可得，． 变式5-1. 规定一种新的运算：，如，则________． 【答案】 / 【分析】根据新定义列出算式，再进一步计算即可得到答案． 【详解】解： ． 变式5-2. 用“”表示一种新运算：对于任意正实数，都有，如，则的结果是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：根据题中的新定义得： ． 题型六、实数运算的规律探究 例6. 学习《实数》之后，在数学活动课上，马老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：，，，，… 【实践探究】 （1）按照此规律，计算：___________； （2）若符合上述规律，则___________． 【答案】 【分析】（1）根据题干所给式子进行计算，并得出规律即可得解； （2）根据题干所给式子得出规律计算即可． 【详解】解：（1） 可得规律：，其中为大于的正整数． ； （2）由（1）得：， ∵， ， 解得：， ． 变式6-1. 对于完全平方数，其算术平方根能够直接算出，如；而非完全平方数的算术平方根无法直接笔算得出，借助计算器是可行的求解途径，如．除此之外，我们还能依托数字间存在的内在规律与关联，推导求出对应算术平方根．请你观察下表： … 0.2 2 20 200 … … 0.4472 1.414 4.472 ？ … 利用这一规律，计算________． 【答案】14.14 【分析】先观察表格中被开方数与对应算术平方根的变化规律，得到被开方数小数点向右移动两位，算术平方根小数点向右移动一位，结合即可求出的近似值． 【详解】解：观察表格数据可得： 当被开方数扩大为原来的倍时，其算术平方根扩大为原来的倍． ，， ． 变式6-2. 观察下列各式： 第1个等式：    第2个等式： 第3个等式：    第4个等式： …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)直接写出第5个等式：______． (2)按照上面每个等式反映的规律，第个等式为______． (3)利用上述规律化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查与实数相关的规律型问题，算术平方根，关键是由给出的等式，发现规律． （1）由前几个等式的规律，即可得到答案； （2）由给出的等式，发现规律，即可得到答案 （3）根据规律化简，再计算即可． 【详解】（1）解：由前几个等式的规律得到第5个等式是：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ， ∴第n个等式是：， 故答案为：； （3）解： ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法其中正确的是（    ） ①当输出值为时，输入值为3或9； ②当输入值为16时，输出值为； ③存在这样的正整数，输入之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值； ④对于任意的正无理数，都存在正整数，使得输入后能够输出． A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据程序运算图逐项判断即可求解． 【详解】解：①∵输出值为时， ∴输入值为或或等，故①错误； ②当时，∵是有理数， ∴重新输入， ∵是有理数， ∴重新输入， ∵是无理数， ∴输出值为，故②正确； ③当时，的算术平方根为，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值，故③正确； ④当为正无理数时，不存在正整数，使得，故④错误； 综上，说法正确的是②③． 2．规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，，按此规定（     ） A．1 B． 2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先确定，再根据新定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 3．定义：对于任意的实数，，当时，有；当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先比较参与运算的两个数的大小，再根据给定对应法则代入计算，化简算术平方根和立方根即可得到结果． 【详解】解：由题意得，运算中， ，满足， 按定义得， 代入计算. 4．计算：． 【答案】 【分析】先去括号，去绝对值，再根据实数的加减法法则计算． 【详解】解：原式 ． 5．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 6．已知，则的整数部分为1；而减去其整数部分的差就是的小数部分，则的小数部分为．根据以上的内容，解答下面的问题： (1)填空：的整数部分是______，的小数部分是_____． (2)若，其中是整数，且，求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据无理数的估算求出、的取值范围，即可求得的整数部分，的小数部分； （2）先根据估算的取值范围，再得出的范围，再根据整数性质求出、的值，再代入计算，最后求平方根即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴的整数部分是，的小数部分是． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，其中是整数，且， ∴，， ∴， ∴的平方根为． 7．图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为． (1)【问题发现】 图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的面积为_____________，边_____________； (2)【问题探究】 将图②放置在如图③所示的数轴中，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点（点位于原点右侧），则点表示的数的值为_____________； (3)【拓展延伸】 在（2）的条件下，试比较与1的大小，并说明理由． 【答案】(1)5， (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）分割法求出正方形的面积，进而求出正方形的边长即可； （2）根据两点间的距离进行求解即可； （3）作差法比较大小即可. 【详解】（1）解：格点正方形的面积为， 故边； （2）解：由（1）和作图可知：，点表示的数为1， ∴点表示的数为； （3）解：，理由如下： 由（2）可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 8．如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A所表示的数为． (1)实数m的值是________； (2)求的值． (3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，e是的整数部分，求的平方根 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式，直接右边的数减去距离即得左边的数； （2）代入m求值即可； （3）根据非负数的性质，求得c，d的值，根据无理数的估算，求出e的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，则点A所表示的数为． （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∴， ∵17的平方根是， ∴的平方根是． 9．观察等式： ． （1）请用含n（的整数）的式子表示出上述等式的规律； （2）按上述规律若，则________； （3）仿照上面内容，另编一个等式，验证你在（1）中得到的规律． 【答案】（1）（的整数）；（2）；（3）（答案不唯一） 【分析】（1）根据已知等式，找出等式规律，然后总结公式即可； （2）根据（1）中规律，即可求出a和b的值，然后代入即可； （3）根据（1）中规律，再写一个等式，然后验证即可． 【详解】（1）第一个等式：即 第二个等式： 即 第三个等式：即 ∴用含n（的整数）的式子表示为：（的整数）． （2）根据题意得，则 ， 即 故答案为：． （3）此等式可以为：（答案不唯一），验证如下： （此时n=11）． 【点睛】此题考查的是探索规律题，根据已知等式找出规律，并归纳公式是解决此题的关键． 10．阅读下列解题过程： ①； ②； ③； …… (1)请写出第④个等式：____________； (2)猜想：=______；（为正整数，填最后结果） (3)根据你所发现的规律，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】（1）略 （2）解：理由如下： ； （3）解：原式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $