专题02 有理数运算中程序、古代、新定义型及规律探究问题的五类综合题型（高效培优专项训练）数学新教材浙教版七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数运算综合应用，通过程序流程、古代文化、新定义、规律探究等五类题型，融合数学抽象与推理，提炼运算技巧与归纳方法。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |程序问题|5题|按流程图分步计算，循环规律识别|有理数混合运算的流程化应用，培养数学抽象能力| |算24点|5题|3×8/4×6模型构建，除法逆向思维（24÷a）|运算组合技巧，发展运算能力与创新意识| |古代问题|5题|数学文化转化（如《九章算术》问题、进制换算）|数学史与有理数运算结合，强化模型意识| |新定义型|5题|新运算规则解读与符号应用|符号意识与推理能力，提升数学思维严谨性| |规律探究|5题|等式观察归纳，字母表示一般规律|从特殊到一般的推理，培养数据意识与归纳能力|

专题02 有理数运算中程序、古代、新定义型及规律探究问题的五类综合题型 题型一 有理数运算中的程序问题 题型二 算24点 题型三 古代中的有理数运算问题 题型四 有理数运算中的新定义型问题 题型五 有理数运算中的规律探究问题 题型一：有理数运算中的程序问题 1．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序计算，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为……这样下去第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，把分别输入数值转换器，则输出的结果是______； 3．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）在如图所示的运算程序中，若开始输入的值是，则最终输出的结果是______． 4．（25-26七年级上·广西崇左·期末）如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的为时，最后输出的结果是多少？（写出计算过程） 5．（2026·河北石家庄·模拟预测）图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 题型二：算24点 6．（24-25七年级上·浙江温州·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26六年级上·上海静安·期末）如图，现有5张卡片写着不同数，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算，从中选取4张卡片（每张卡片上的数只能用一次），使这4张卡片上的数运算结果为24，写出一个符合要求的等式为___________． 8．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，每个数必须且只用一次，可以添加括号，使其运算结果等于24．现有3，，5，9，列出一个求“24点”的算式是__．（写出一个即可） 9．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）游戏“ 点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为 ，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出符合规则的算式． 10．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 题型三：古代中的有理数运算问题 11．（2024·湖南长沙·模拟预测）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为20尺，则需要几天时间才能打穿（结果取整数）（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 12．（25-26七年级上·广东广州·期中）年第十四届国际数学教育大会第一次在我国举办，大会标识（如下图）中蕴含着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数，而八进制数可由十进制数换算得来：，则十进制数换算成八进制数是_______． 13．（24-25七年级上·河北邢台·期中）概念感知：第十四届国际数学教育大会（）会徽（如图）的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的记数符号写出的八进制数，八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． (1)请把八进制数换算成十进制数； (2)应用拓展：我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结来记录采集到的野果数量，满六进一，她一共采集到的野果数量为多少个？ 14．（25-26七年级上·广西来宾·期中）《九章算术》是我国古代数学最重要的著作之一，全书分成九章．第八章《方程》的第八题讲述一个人有一次到家畜市场，卖了牛和羊，买了猪，钱还有剩余．把卖牛和羊得到的钱记作正，把买猪付出的钱记作负．按照这种记法，假设王大爷某天在农贸市场的收支（单位：元）情况为，，，，，请回答以下问题： (1)计算王大爷当天的收支余额是多少？ (2)假设王大爷在开始交易前身上有55元钱，那么经过这些买卖后，他身上总共有多少钱？ (3)王大爷核对账目时，发现当天的总收支余额应该是元，他怀疑有一笔交易被漏记了，请问被漏记的那笔交易是多少元？并说明理由． 15．（2025·安徽合肥·二模）学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和， ____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律， ____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和， ____________． 题型四：有理数运算中的新定义型问题 16．（25-26七年级上·河北唐山·期中）定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，；按上述定义计算的值为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级上·全国·单元复习）学习情境·新定义对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：，则的值为________． 18．（24-25七年级上·广东深圳·阶段检测）定义一种新运算，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，再定义另一种新运算“☆”，对于任意有理数a，b和c，， 比如，请计算__________ 19．（25-26七年级上·河南郑州·期中）对于有理数，定义两种新运算“※”与“”，规定： 例如，． (1)计算的值． (2)若在数轴上的位置如图所示，化简． (3)对于任意有理数，请你定义一种新运算“★”，使得，直接写出你定义的运算：___________．（用含的代数式表示） 20．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）探究2个“新定义运算”问题． (1)定义一种新运算“”，运算规则为：，则______． (2)定义另一种新运算“”，运算规则未知，其运算符合下述规律： ，且，． 请先阅读范例，然后回答问题． 范例学习 若， 则， ； 或． ①若， 填空：______，______，______，______ ②若， 计算：． 题型五：有理数运算中的规律探究问题 21．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下面每个表格中的五个数都是按相同规律填写的： 根据此规律确定a的值为（   ） A．1584 B．3036 C．1728 D．3630 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列等式： ；；；；… （1）根据上面规律，若，，则____，____． （2）用含有自然数n的式子表示上述规律为_______________． 23．（24-25六年级上·山东泰安·期末）阅读探究：；；；； （1）根据上述规律，_____（填写计算后的结果）． （2）根据你发现的规律，_____． 24．（2025·安徽滁州·一模）观察下列等式： ①； ②； ③； ④； … (1)请根据你发现的规律，猜想等式⑥________________； (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并说明理由； (3)用你发现的规律计算． 25．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）【阅读与思考】张景中院士说：“代数比算术高明，高明在一个‘代’字上，用字母来代替数，会使我们打开眼界，……，‘代’的方法用途很广，它可以把已知与未知联系起来，把普遍与特殊联系起来，把复杂的式子变得简单而易于观察，把平凡的事实弄得花样翻新便于应用．”例如，有些有理数的运算蕴含着有趣的规律，这些运算规律也可以用代数的方法表示． (1)①              ②              ③              在下列两组有理数中，符合上述式子蕴含的运算规律的是 （填写正确选项前的字母代号）： A．2、        B．、7 (2)对于有理数a、b，请你“用字母来代替数”，表示出（1）中式子蕴含的有理数之间的特殊的运算规律： ； (3)若有理数m、n符合上述运算规律，试判断有理数、是否一定符合上述运算规律？并说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数运算中程序、古代、新定义型及规律探究问题的五类综合题型 题型一 有理数运算中的程序问题 题型二 算24点 题型三 古代中的有理数运算问题 题型四 有理数运算中的新定义型问题 题型五 有理数运算中的规律探究问题 题型一：有理数运算中的程序问题 1．D 【分析】先根据程序框图计算出前个数，从而得出这列数除前个数外，每个数为一个周期，据此求解可得． 【详解】解：当时，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， 第九次输出的结果为， 第十次输出的结果为，…… 由上可知，从第五次开始，输出结果三次一循环，分别为：， ∵， ∴第次计算输出的结果是， 故选：D． 2．9 【分析】根据题意只需要计算出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∴输出的结果是9． 3．29 【分析】根据运算程序列式计算，直至结果大于15即可． 【详解】解：若开始输入的值是， 则，返回继续运算， ，返回继续运算， ，返回继续运算， ，返回继续运算， ，输出结果． 4． 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，先根据流程图求出运算结果，再把代入计算即可求解，看懂流程图是解题的关键． 【详解】解：由流程图得，， 当输入时，， ∵， ∴第二次输入， 当时，，输出， ∴输出的结果是． 5．(1)，， (2) 【分析】（1）根据题意计算即可； （2）先计算乘方和绝对值，再计算乘除，最后计算减法． 【详解】（1）解：；；综合算式： （2）解： ． 题型二：算24点 6．A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则逐项计算可得答案． 【详解】解：A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意；     D．，故不符合题意； 故选A． 7．或（答案不唯一） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，理解题意是解决本题的关键． 任意取出4张卡片，进行计算得出结果即可． 【详解】解：由题意得，可以用、、、这四个数来构造等式： 则 ； 或者用、、、构造： 则 ， 故答案为：或． 8．（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题中“24点”的游戏规则，熟练掌握有理数运算法则是解题的关键．根据“24点”的游戏规则组合成结果为24的算式即可解答． 【详解】解：通过观察数字，发现，，则， 因此可列算式． 故答案为：（答案不唯一）． 9．（答案不唯一）. 【详解】解：由题意得： （答案不唯一）． 10．(1) 所选数字为，算式： (2) 可以， 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，在理解有关规则的基础上灵活应用有理数的混合运算法则求解是解题关键； （1）根据运算结果为和已知给定的三个数，筛选出合适的数字； （2）根据已给数字有，按照题干所给方法进行判断即可． 【详解】（1）解：当选时， ∵， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 任选其一即可； （2）答：可以，． 题型三：古代中的有理数运算问题 11．B 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，算出前五天累计所打的墙厚，即可求解． 【详解】解：根据题意可得： 第一天：大鼠打1尺，小鼠打1尺，累计共尺， 第二天：大鼠打尺，小鼠打尺，累计共尺， 第三天：大鼠打尺，小鼠打尺，累计共尺， 第四天：大鼠打尺，小鼠打尺，累计共尺， 第五天：大打尺，小打尺，累计共尺， ∵墙厚为20尺，， 故在第五天相逢， 故需要5天时间才能打穿， 故选：B． 12． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意找到进制转化的方法是解题的关键． 用，得到商和余数（余数是八进制数的低位），再用新的商继续，重复记录商和余数直到商为，将所有余数从最后一个到第一个逆序排列，得到对应的八进制数． 【详解】解：， ， ， ， ∴． 故答案为：． 13．(1) (2)个 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意即可写出八进制数换算成十进制数的式子，计算出结果，即可得到答案． （2）根据题意可得图中的六进制数为，对比八进制换算成十进制数的方法，即可得六进制数换算成十进制数的式子，计算出结果，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得八进制数换算成十进制数为：， ∴八进制数换算成十进制数是． （2）解：根据题意可得图中的六进制数为， ∴对比八进制换算成十进制数的方法，可得六进制数换算成十进制数为： (个)， ∴她一共采集到的野果数量为个． 14．(1)9元 (2)64元 (3) 元；理由：（元） ∴被漏记的交易是元． 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的混合运算. （1）将各数相加即可； （2）用（1）的结果加上55即可； （3）用正确结果减去（1）的结果即可. 【详解】（1）解：由题意得 （元） 答：王大爷当天的收支余额是9元； （2）解：由题意得（元） 答：他身上总共有64元； （3）略 15．(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况 （1）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到； （2）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到3； （3），然后求和即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：，； （3）解： ， 故答案为：，． 题型四：有理数运算中的新定义型问题 16．A 【分析】本题考查定义新运算，有理数的运算，先比较和的大小，由于，即，故使用定义，代入计算即可． 【详解】解：当， 时， ∵， ∴， ∴， 故选A． 17． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 18．14 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，绝对值的求解，根据题目中给出的定义代入数字进行计算即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：14． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义化简，根据绝对值的代数意义得到结果即可； （3）根据题意只要写出一个符合要求的式子即可，这是一道开放性题目，答案不唯一． 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得：原式； （2）解：由在数轴上位置可知，且， ， 则； （3）解：∵， ， 故答案为：（答案不唯一）． 20．(1)1 (2)①4    0  ；② 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据新定义运算计算即可求解； （2）①根据新定义运算即可求解；②根据新定义计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意：； （2）解：①根据题意：， ， ， ， ； ②， ， ， 同理：，，； ． 题型五：有理数运算中的规律探究问题 21．B 【分析】本题主要考查了数字规律探索，解题的关键是根据已知数据，得出一般规律．根据给出的已知图形得出规律，求出a的值即可． 【详解】解：由第1个图可知：； 由第2个图可知：； 由第3个图可知：； …… 可得：； ∴． 故选：B． 22． 11 15 【分析】此题主要考查了含乘方的数字变化规律，得出数字之间的运算规律是解题关键． （1）根据所给等式两边数字变化规律可得答案； （2）根据所给等式两边数字变化规律列出等式即可． 【详解】解：（1）∵； ； ； ； … 故，， 故答案为：11，15； （2）第n个等式为； 故答案为：． 23． 55 1185 【分析】此题考查了有理数的混合运算，以及数字的变化规律，找到规律是解题的关键 ． （1）根据所给的4个算式的规律，可知等于； （2）根据所给的算式总结得到规律：等于；用的值减去的值，求出算式的值是多少即可．1 【详解】解：（1）根据所给的4个算式的规律：， 故答案为：55； （2）根据所给的算式总结得到规律： ∴原式 ． 故答案为：1185． 24．(1)49， (2)解：，理由见解析： ∵①， ②， ③， ④， …… ∴． (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律进行计算是解题的关键． （1）通过观察所给的等式，直接写出即可； （2）通过观察所给的等式，总结出一般规律即可； （3）将每个小括号进行通分为，再根据（2）的规律，将所求的式子变形为，再求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：49，． （2）略 （3）解：原式 ． 25．(1)A (2)； (3) 若有理数m、n符合上述运算规律，有理数、不一定符合上述运算规律，理由如下： 由题意得，符合运算规律， ∵，， ∴此时 ∴若有理数m、n符合上述运算规律，有理数、不一定符合上述运算规律． 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算： （1）观察式子可知，两数的积等于1减去这两个数的和的2倍，这样的两个有理数就符合对应的运算规律，据此求解即可 （2）观察式子可知，两数的积等于1减去这两个数的和的2倍，这样的两个有理数就符合对应的运算规律，据此求解即可； （3）由题意得，符合运算规律，而可证明，据此可得结论． 【详解】（1）解：，； ，； ∴A组符合规律，B组不符合题意； 故答案为：A； （2）解：由题意得，， 故答案为：；； （3）略 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数运算中程序、古代、新定义型及规律探究问题的五类综合题型 题型一 有理数运算中的程序问题 题型二 算24点 题型三 古代中的有理数运算问题 题型四 有理数运算中的新定义型问题 题型五 有理数运算中的规律探究问题 题型一：有理数运算中的程序问题 1．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序计算，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为……这样下去第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据程序框图计算出前个数，从而得出这列数除前个数外，每个数为一个周期，据此求解可得． 【详解】解：当时，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， 第九次输出的结果为， 第十次输出的结果为，…… 由上可知，从第五次开始，输出结果三次一循环，分别为：， ∵， ∴第次计算输出的结果是， 故选：D． 2．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，把分别输入数值转换器，则输出的结果是______； 【答案】9 【分析】根据题意只需要计算出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∴输出的结果是9． 3．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）在如图所示的运算程序中，若开始输入的值是，则最终输出的结果是______． 【答案】29 【分析】根据运算程序列式计算，直至结果大于15即可． 【详解】解：若开始输入的值是， 则，返回继续运算， ，返回继续运算， ，返回继续运算， ，返回继续运算， ，输出结果． 4．（25-26七年级上·广西崇左·期末）如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的为时，最后输出的结果是多少？（写出计算过程） 【答案】 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，先根据流程图求出运算结果，再把代入计算即可求解，看懂流程图是解题的关键． 【详解】解：由流程图得，， 当输入时，， ∵， ∴第二次输入， 当时，，输出， ∴输出的结果是． 5．（2026·河北石家庄·模拟预测）图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据题意计算即可； （2）先计算乘方和绝对值，再计算乘除，最后计算减法． 【详解】（1）解：；；综合算式： （2）解： ． 题型二：算24点 6．（24-25七年级上·浙江温州·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则逐项计算可得答案． 【详解】解：A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意；     D．，故不符合题意； 故选A． 7．（25-26六年级上·上海静安·期末）如图，现有5张卡片写着不同数，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算，从中选取4张卡片（每张卡片上的数只能用一次），使这4张卡片上的数运算结果为24，写出一个符合要求的等式为___________． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，理解题意是解决本题的关键． 任意取出4张卡片，进行计算得出结果即可． 【详解】解：由题意得，可以用、、、这四个数来构造等式： 则 ； 或者用、、、构造： 则 ， 故答案为：或． 8．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，每个数必须且只用一次，可以添加括号，使其运算结果等于24．现有3，，5，9，列出一个求“24点”的算式是__．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题中“24点”的游戏规则，熟练掌握有理数运算法则是解题的关键．根据“24点”的游戏规则组合成结果为24的算式即可解答． 【详解】解：通过观察数字，发现，，则， 因此可列算式． 故答案为：（答案不唯一）． 9．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）游戏“ 点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为 ，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出符合规则的算式． 【答案】（答案不唯一）. 【详解】解：由题意得： （答案不唯一）． 10．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 【答案】(1) 所选数字为，算式： (2) 可以， 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，在理解有关规则的基础上灵活应用有理数的混合运算法则求解是解题关键； （1）根据运算结果为和已知给定的三个数，筛选出合适的数字； （2）根据已给数字有，按照题干所给方法进行判断即可． 【详解】（1）解：当选时， ∵， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 任选其一即可； （2）答：可以，． 题型三：古代中的有理数运算问题 11．（2024·湖南长沙·模拟预测）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为20尺，则需要几天时间才能打穿（结果取整数）（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，算出前五天累计所打的墙厚，即可求解． 【详解】解：根据题意可得： 第一天：大鼠打1尺，小鼠打1尺，累计共尺， 第二天：大鼠打尺，小鼠打尺，累计共尺， 第三天：大鼠打尺，小鼠打尺，累计共尺， 第四天：大鼠打尺，小鼠打尺，累计共尺， 第五天：大打尺，小打尺，累计共尺， ∵墙厚为20尺，， 故在第五天相逢， 故需要5天时间才能打穿， 故选：B． 12．（25-26七年级上·广东广州·期中）年第十四届国际数学教育大会第一次在我国举办，大会标识（如下图）中蕴含着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数，而八进制数可由十进制数换算得来：，则十进制数换算成八进制数是_______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意找到进制转化的方法是解题的关键． 用，得到商和余数（余数是八进制数的低位），再用新的商继续，重复记录商和余数直到商为，将所有余数从最后一个到第一个逆序排列，得到对应的八进制数． 【详解】解：， ， ， ， ∴． 故答案为：． 13．（24-25七年级上·河北邢台·期中）概念感知：第十四届国际数学教育大会（）会徽（如图）的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的记数符号写出的八进制数，八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． (1)请把八进制数换算成十进制数； (2)应用拓展：我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结来记录采集到的野果数量，满六进一，她一共采集到的野果数量为多少个？ 【答案】(1) (2)个 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意即可写出八进制数换算成十进制数的式子，计算出结果，即可得到答案． （2）根据题意可得图中的六进制数为，对比八进制换算成十进制数的方法，即可得六进制数换算成十进制数的式子，计算出结果，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得八进制数换算成十进制数为：， ∴八进制数换算成十进制数是． （2）解：根据题意可得图中的六进制数为， ∴对比八进制换算成十进制数的方法，可得六进制数换算成十进制数为： (个)， ∴她一共采集到的野果数量为个． 14．（25-26七年级上·广西来宾·期中）《九章算术》是我国古代数学最重要的著作之一，全书分成九章．第八章《方程》的第八题讲述一个人有一次到家畜市场，卖了牛和羊，买了猪，钱还有剩余．把卖牛和羊得到的钱记作正，把买猪付出的钱记作负．按照这种记法，假设王大爷某天在农贸市场的收支（单位：元）情况为，，，，，请回答以下问题： (1)计算王大爷当天的收支余额是多少？ (2)假设王大爷在开始交易前身上有55元钱，那么经过这些买卖后，他身上总共有多少钱？ (3)王大爷核对账目时，发现当天的总收支余额应该是元，他怀疑有一笔交易被漏记了，请问被漏记的那笔交易是多少元？并说明理由． 【答案】(1)9元 (2)64元 (3) 元；理由：（元） ∴被漏记的交易是元． 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的混合运算. （1）将各数相加即可； （2）用（1）的结果加上55即可； （3）用正确结果减去（1）的结果即可. 【详解】（1）解：由题意得 （元） 答：王大爷当天的收支余额是9元； （2）解：由题意得（元） 答：他身上总共有64元； （3）略 15．（2025·安徽合肥·二模）学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和， ____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律， ____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和， ____________． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况 （1）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到； （2）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到3； （3），然后求和即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：，； （3）解： ， 故答案为：，． 题型四：有理数运算中的新定义型问题 16．（25-26七年级上·河北唐山·期中）定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，；按上述定义计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查定义新运算，有理数的运算，先比较和的大小，由于，即，故使用定义，代入计算即可． 【详解】解：当， 时， ∵， ∴， ∴， 故选A． 17．（24-25七年级上·全国·单元复习）学习情境·新定义对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 18．（24-25七年级上·广东深圳·阶段检测）定义一种新运算，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，再定义另一种新运算“☆”，对于任意有理数a，b和c，， 比如，请计算__________ 【答案】14 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，绝对值的求解，根据题目中给出的定义代入数字进行计算即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：14． 19．（25-26七年级上·河南郑州·期中）对于有理数，定义两种新运算“※”与“”，规定： 例如，． (1)计算的值． (2)若在数轴上的位置如图所示，化简． (3)对于任意有理数，请你定义一种新运算“★”，使得，直接写出你定义的运算：___________．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义化简，根据绝对值的代数意义得到结果即可； （3）根据题意只要写出一个符合要求的式子即可，这是一道开放性题目，答案不唯一． 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得：原式； （2）解：由在数轴上位置可知，且， ， 则； （3）解：∵， ， 故答案为：（答案不唯一）． 20．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）探究2个“新定义运算”问题． (1)定义一种新运算“”，运算规则为：，则______． (2)定义另一种新运算“”，运算规则未知，其运算符合下述规律： ，且，． 请先阅读范例，然后回答问题． 范例学习 若， 则， ； 或． ①若， 填空：______，______，______，______ ②若， 计算：． 【答案】(1)1 (2)①4    0  ；② 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据新定义运算计算即可求解； （2）①根据新定义运算即可求解；②根据新定义计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意：； （2）解：①根据题意：， ， ， ， ； ②， ， ， 同理：，，； ． 题型五：有理数运算中的规律探究问题 21．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下面每个表格中的五个数都是按相同规律填写的： 根据此规律确定a的值为（   ） A．1584 B．3036 C．1728 D．3630 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字规律探索，解题的关键是根据已知数据，得出一般规律．根据给出的已知图形得出规律，求出a的值即可． 【详解】解：由第1个图可知：； 由第2个图可知：； 由第3个图可知：； …… 可得：； ∴． 故选：B． 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列等式： ；；；；… （1）根据上面规律，若，，则____，____． （2）用含有自然数n的式子表示上述规律为_______________． 【答案】 11 15 【分析】此题主要考查了含乘方的数字变化规律，得出数字之间的运算规律是解题关键． （1）根据所给等式两边数字变化规律可得答案； （2）根据所给等式两边数字变化规律列出等式即可． 【详解】解：（1）∵； ； ； ； … 故，， 故答案为：11，15； （2）第n个等式为； 故答案为：． 23．（24-25六年级上·山东泰安·期末）阅读探究：；；；； （1）根据上述规律，_____（填写计算后的结果）． （2）根据你发现的规律，_____． 【答案】 55 1185 【分析】此题考查了有理数的混合运算，以及数字的变化规律，找到规律是解题的关键 ． （1）根据所给的4个算式的规律，可知等于； （2）根据所给的算式总结得到规律：等于；用的值减去的值，求出算式的值是多少即可．1 【详解】解：（1）根据所给的4个算式的规律：， 故答案为：55； （2）根据所给的算式总结得到规律： ∴原式 ． 故答案为：1185． 24．（2025·安徽滁州·一模）观察下列等式： ①； ②； ③； ④； … (1)请根据你发现的规律，猜想等式⑥________________； (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并说明理由； (3)用你发现的规律计算． 【答案】(1)49， (2)解：，理由见解析： ∵①， ②， ③， ④， …… ∴． (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律进行计算是解题的关键． （1）通过观察所给的等式，直接写出即可； （2）通过观察所给的等式，总结出一般规律即可； （3）将每个小括号进行通分为，再根据（2）的规律，将所求的式子变形为，再求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：49，． （2）略 （3）解：原式 ． 25．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）【阅读与思考】张景中院士说：“代数比算术高明，高明在一个‘代’字上，用字母来代替数，会使我们打开眼界，……，‘代’的方法用途很广，它可以把已知与未知联系起来，把普遍与特殊联系起来，把复杂的式子变得简单而易于观察，把平凡的事实弄得花样翻新便于应用．”例如，有些有理数的运算蕴含着有趣的规律，这些运算规律也可以用代数的方法表示． (1)①              ②              ③              在下列两组有理数中，符合上述式子蕴含的运算规律的是 （填写正确选项前的字母代号）： A．2、        B．、7 (2)对于有理数a、b，请你“用字母来代替数”，表示出（1）中式子蕴含的有理数之间的特殊的运算规律： ； (3)若有理数m、n符合上述运算规律，试判断有理数、是否一定符合上述运算规律？并说明理由． 【答案】(1)A (2)； (3) 若有理数m、n符合上述运算规律，有理数、不一定符合上述运算规律，理由如下： 由题意得，符合运算规律， ∵，， ∴此时 ∴若有理数m、n符合上述运算规律，有理数、不一定符合上述运算规律． 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算： （1）观察式子可知，两数的积等于1减去这两个数的和的2倍，这样的两个有理数就符合对应的运算规律，据此求解即可 （2）观察式子可知，两数的积等于1减去这两个数的和的2倍，这样的两个有理数就符合对应的运算规律，据此求解即可； （3）由题意得，符合运算规律，而可证明，据此可得结论． 【详解】（1）解：，； ，； ∴A组符合规律，B组不符合题意； 故答案为：A； （2）解：由题意得，， 故答案为：；； （3）略 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $