专题08实数中非负性的综合题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版七年级上册

**基本信息** 以“圈、列、解”三步通法为核心，系统整合非负性五类题型，构建从概念识别到综合应用的递进式训练体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1方法总结|非负性问题“圈（识别非负量）、列（列方程/不等式）、解（验证求解）”三步法|从非负量本质出发，建立问题解决通用流程| |题型归纳|5题型（每题型1例+3变式）|单项识别（特征判断与逆向反推）、零和模型（两项/三项非负和为0）、隐藏非负性（相反数/隐含平方转化）、双重非负性（被开方数互反锁定定值）、新定义运算（非负性与新规则结合）|按“基础识别→直接应用→间接转化→特殊性质→综合创新”逻辑递进| |压轴挑战|14题|综合运用非负性解决复杂求值、最值及新定义问题|衔接中考高频考点，提升模型意识与应用能力|

专题08 非负性的综合题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、单项非负性的识别 1 题型二、非负性零和模型 3 题型三、隐藏非负性问题模型 5 题型四、算术平方根的双重非负性 6 题型五、非负性与新定义运算问题 8 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 非负性综合题，做题就三步——圈、列、解。圈：把题目里所有非负量（绝对值、平方）圈出来，这是解题的眼睛；列：若非负量之和为 0，则每个非负量都等于 0，据此列方程组求值；若只是单个非负量约束范围，则用"≥0"列不等式；解：解出未知数，带回原式验证是否满足条件。所有结果，最终都要逐项回归原式。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、单项非负性的识别 题型模版 1.特征： |a| ≥ 0；a² ≥ 0； ≥ 0；偶次幂 aⁿ（n 为偶数）≥ 0。 判断一定非负的式子：|a|、a²、、(a−1)⁴ 等。 易错辨析：−a² ≤ 0（带负号的平方不非负）；|−a| = |a|（化简后仍非负）。 逆向考查：若 |a| = −|a|，则 a = 0；若 |a| = |b|，则 a = ±b。 有意义条件： 有意义 ⟺ a ≥ 3。 2.方法：先识别"非负三兄弟"（绝对值、偶次幂、算术平方根），再判断符号，最后逆向反推字母取值。 例1. 关于代数式的值说法正确的是（     ） A．时最小 B．时最大 C．时最大 D．时最小 变式1-1. 如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是__________． 变式1-2. 代数式的最小值为____． 变式1-3. 代数式的最小值是_____，的最小值是_____． 题型二、非负性零和模型 题型模版 1.特征： 1. 两项基本型：|a−1| + (b+2)² = 0 ⟹ a = 1，b = −2，进而求 (a+b)²⁰²⁶ 等代数式值。 1. 三项推广型：|x−2| + + (z−3)² = 0 ⟹ x = 2，y = −1，z = 3。 例2. 已知实数x，y满足，则代数式的值为（   ） A． B．1 C．2012 D． 变式2-1. 若，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2 变式2-2. 已知，则的平方根是__________． 变式2-3. 已知实数满足：，则的算术平方根__________． 题型三、隐藏非负性问题模型 题型模版 1.特征： 1. 逆向变形型：|a−2| 与 (b+3)² 互为相反数 ⟹ |a−2| + (b+3)² = 0。 1. 隐含平方型：(x−y)² 与 √(x+y−3) 相加为 0 的组合。 例3. 如果与互为相反数，那么的算术平方根是_________． 变式3-1. 若与互为相反数，则的平方根是______． 变式3-2. 已知实数，满足与互为相反数，则的值为________． 题型四、算术平方根的双重非负性 题型模版 1.特征： 1. 互为相反数陷阱： + + b = 5。由被开方数同时 ≥0 和 ≤0，逼出 a = 3，从而 b = 5。 1. 双重条件求范围：已知 y =+ + 2，求 xʸ（先逼出 x = 1，得 y = 2）。 1. 非负性判断符号：由 ≥ 0 且被开方数 a−2 ≥ 0，判断式子最值或符号。 2.方法：看到两个被开方数互为相反数（或同一字母在两处被开方数中符号相反），立即锁定该字母为定值，再回代求其余字母。 例4. 已知实数x，y满足，则的平方根为____________． 变式4-1. 已知，则的平方根是_____． 变式4-2. 已知实数和满足，则的值为__________． 变式4-3. 已知，则______． 题型五、非负性与新定义运算问题 例5. 小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)若，求的值． 变式5-1. 对任意有理数x,y定义新运算“*”如下：x*y=，若，求a*(a*b)的值． 变式5-2. 对于有理数a，b，定义一种新运算“⊗”，规定 ． (1)计算 的值； (2)若，求． 变式5-3. 定义新运算：． (1)计算的值； (2)当，化简； (3)若求第（2）问中的值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知实数a、b满足，则等于（     ） A．﹣1 B．2 C．3 D．5 2．在、、、中，负数的个数是（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．若为实数，且，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 4．代数式的最大值为 __． 5．已知：，则_________． 6．若，则的平方根为___________． 7．a与b均为实数，且与互为相反数，则____；____． 8．对于X，Y定义一种新运算“*”：，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算．若成立，那么______． 9．对任意有理数，定义新运算“”如下：，若，则_______． 10．二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为______； (2)若x，y为实数，且，求的值． 11．已知，则________． 12．已知，则的值为________． 13．解答下列问题 (1)已知、满足，求的算术平方根； (2)如果一个正数的两个平方根分别是和，求的值． 14．已知．求的平方根． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 非负性的综合题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、单项非负性的识别 1 题型二、非负性零和模型 3 题型三、隐藏非负性问题模型 5 题型四、算术平方根的双重非负性 6 题型五、非负性与新定义运算问题 8 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 非负性综合题，做题就三步——圈、列、解。圈：把题目里所有非负量（绝对值、平方）圈出来，这是解题的眼睛；列：若非负量之和为 0，则每个非负量都等于 0，据此列方程组求值；若只是单个非负量约束范围，则用"≥0"列不等式；解：解出未知数，带回原式验证是否满足条件。所有结果，最终都要逐项回归原式。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、单项非负性的识别 题型模版 1.特征： |a| ≥ 0；a² ≥ 0； ≥ 0；偶次幂 aⁿ（n 为偶数）≥ 0。 判断一定非负的式子：|a|、a²、、(a−1)⁴ 等。 易错辨析：−a² ≤ 0（带负号的平方不非负）；|−a| = |a|（化简后仍非负）。 逆向考查：若 |a| = −|a|，则 a = 0；若 |a| = |b|，则 a = ±b。 有意义条件： 有意义 ⟺ a ≥ 3。 2.方法：先识别"非负三兄弟"（绝对值、偶次幂、算术平方根），再判断符号，最后逆向反推字母取值。 例1. 关于代数式的值说法正确的是（     ） A．时最小 B．时最大 C．时最大 D．时最小 【答案】B 【分析】根据算术平方根的非负性，分析代数式的取值变化，判断其最值对应的值即可． 【详解】解：∵算术平方根的值为非负数， ∴， ∵代数式中，被减数固定，越小，代数式的值越大， ∴当取最小值时，代数式取得最大值，令， 解得，又不存在最大值，因此代数式不存在最小值， 故时，代数式的值最大． 变式1-1. 如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是__________． 【答案】 【分析】利用绝对值的非负性，得出的最小值进而确定表达式的最大值即可． 【详解】解：为有理数， ， ， ，当且仅当时，即时取等号， 最大值为． 变式1-2. 代数式的最小值为____． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性，得到的最小值为，即可求出原代数式的最小值． 【详解】解：∵， ∴的最小值是， 当时，， ∴代数式的最小值为． 变式1-3. 代数式的最小值是_____，的最小值是_____． 【答案】 0 3 【分析】根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵， ∴的最小值为0； ∵， ∴， ∴的最小值是3． 题型二、非负性零和模型 题型模版 1.特征： 1. 两项基本型：|a−1| + (b+2)² = 0 ⟹ a = 1，b = −2，进而求 (a+b)²⁰²⁶ 等代数式值。 1. 三项推广型：|x−2| + + (z−3)² = 0 ⟹ x = 2，y = −1，z = 3。 例2. 已知实数x，y满足，则代数式的值为（   ） A． B．1 C．2012 D． 【答案】B 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性，当几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，先求出和的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴． 变式2-1. 若，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了平方的非负性、绝对值的非负性、算术平方根的非负性、有理数的加法运算． 由于平方、绝对值和算术平方根都具有非负性，且它们的和为零，因此每个部分都必须为零，从而可求出，，的值，代入计算即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴． 故选：B． 变式2-2. 已知，则的平方根是__________． 【答案】 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性，求出和的值，再代入计算得到的值，最后求该值的平方根即可． 【详解】解：，，且， ，， 解得，， ， ， 的平方根为， 的平方根是． 变式2-3. 已知实数满足：，则的算术平方根__________． 【答案】2 【分析】首先利用非负数的性质求得a、b、c，再求出的值，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵实数满足：， ∴，，， ∴，，， ∴， ∵4的算术平方根是2， ∴的算术平方根是2． 【点睛】非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 题型三、隐藏非负性问题模型 题型模版 1.特征： 1. 逆向变形型：|a−2| 与 (b+3)² 互为相反数 ⟹ |a−2| + (b+3)² = 0。 1. 隐含平方型：(x−y)² 与 √(x+y−3) 相加为 0 的组合。 例3. 如果与互为相反数，那么的算术平方根是_________． 【答案】1 【分析】根据相反数的定义和非负数的性质求出x、y的值，然后求出的值，最后根据的算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 的算术平方根是1． 变式3-1. 若与互为相反数，则的平方根是______． 【答案】 【分析】根据相反数的定义得到两个非负数的和为，利用非负数的性质求出与的值，代入代数式计算后，根据平方根的定义求解即可． 【详解】解： 与互为相反数， ， ，， ，， 解得，， ， 的平方根是， 故答案为：． 变式3-2. 已知实数，满足与互为相反数，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的非负性，算术平方根的非负性，代数式求值． 根据相反数的定义，两个数互为相反数则它们的和为零，根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性求出a和b的值，进而代入计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵且， ∴且， ∴，， ∴． 故答案为：． 题型四、算术平方根的双重非负性 题型模版 1.特征： 1. 互为相反数陷阱： + + b = 5。由被开方数同时 ≥0 和 ≤0，逼出 a = 3，从而 b = 5。 1. 双重条件求范围：已知 y =+ + 2，求 xʸ（先逼出 x = 1，得 y = 2）。 1. 非负性判断符号：由 ≥ 0 且被开方数 a−2 ≥ 0，判断式子最值或符号。 2.方法：看到两个被开方数互为相反数（或同一字母在两处被开方数中符号相反），立即锁定该字母为定值，再回代求其余字母。 例4. 已知实数x，y满足，则的平方根为____________． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根的定义，根据算术平方根的非负性求出，再代入求的值，然后计算，最后求其平方根即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， 当时，， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 变式4-1. 已知，则的平方根是_____． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，平方根的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次根式的被开方数非负，求出的值，再代入方程求出的值，然后计算，最后求平方根． 【详解】解：由二次根式的定义，被开方数必须非负， 即且， 解得， 代入原方程，， 即， 解得． 则， ∴的平方根为． 故答案为：． 变式4-2. 已知实数和满足，则的值为__________． 【答案】 【分析】利用算术平方根的非负性，先求出的取值，再代入等式求出的值，最后代入所求式子计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 即， 解得， 将代入，得． 变式4-3. 已知，则______． 【答案】8 【分析】根据算术平方根的非负性的条件求出的取值，再求出的值，最后代入计算即可． 【详解】解：根据算术平方根的非负性的条件，被开方数为非负数，得：且， 解得， 将代入原等式，得， 即， 将代入，得． 题型五、非负性与新定义运算问题 例5. 小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题考查新定义运算，有理数的混合运算，绝对值非负性质，理解新定义的运算规则并正确计算是解题的关键． （1）根据新定义的运算规则计算即可； （2）先求出m、n的值，再代入根据新定义运算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ， ， ． 变式5-1. 对任意有理数x,y定义新运算“*”如下：x*y=，若，求a*(a*b)的值． 【答案】 【分析】利用非负数的性质求出a与b的值，再利用新定义计算即可求出所求式子的值． 【详解】∵， ∴，， 解得：，， 则a*b ， 则a*(a*b) ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，以及非负数的性质，弄清题中的新定义是解本题的关键． 变式5-2. 对于有理数a，b，定义一种新运算“⊗”，规定 ． (1)计算 的值； (2)若，求． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据新定义的运算公式列式计算即可； （2）先根据非负性求得a和b的值，再根据新定义的运算公式列式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算、非负数的性质等知识点，根据新定义的运算公式正确列式是解答本题的关键． 变式5-3. 定义新运算：． (1)计算的值； (2)当，化简； (3)若求第（2）问中的值． 【答案】(1)-10 (2) (3)7 【分析】（1）利用定义的新运算，进行计算即可解答； （2）利用定义的新运算可得，然后去括号，合并同类项进行计算即可解答； （3）根据绝对值和偶次方的非负性可得，从而可得，然后再把的值代入（2）中的结论，进行计算即可解答． 【详解】（1）由题意得： ； （2）， ； （3）， ， ， ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，绝对值和偶次方的非负性，理解定义的新运算是解题的关键． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知实数a、b满足，则等于（     ） A．﹣1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的被开方数是非负数，求出的取值范围，进而对原等式进行化简，再根据绝对值和算术平方根的非负性确定的值即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， 则原式可化为， 整理得＝0， 则， 解得， ． 2．在、、、中，负数的个数是（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：，是负数， ，不是负数， ，是负数， ，是负数， 综上，负数的个数是3个． 3．若为实数，且，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由绝对值和算术平方根的非负性质得出，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵为实数，且， ∴，， ∴，， ∴． 4．代数式的最大值为 __． 【答案】2 【详解】解： ， 当时，代数式有最大值，最大值为2． 5．已知：，则_________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质得，再代入计算即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 所以，． 6．若，则的平方根为___________． 【答案】 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性可得x，y的值，再根据平方根的定义即可得． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根为． 7．a与b均为实数，且与互为相反数，则____；____． 【答案】 1 3 【分析】本题考查了非负数的性质，相反数的定义等知识，根据相反数的定义，两个式子的和为零；利用平方和算术平方根的非负性，得出每个式子都等于零，从而求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵ ，， ∴ 且 ， 解得：，， 故答案为：1；3． 8．对于X，Y定义一种新运算“*”：，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算．若成立，那么______． 【答案】7 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、负整数指数幂、不等式的解法，根据新定义得出正确的关系式是解题的关键． 根据二次根式的性质即可得出，再根据负整数指数幂即可得出，再根据新运算的定义将原式展开求解即可得出答案． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ． 故答案为：7． 9．对任意有理数，定义新运算“”如下：，若，则_______． 【答案】9 【分析】本题考查了定义新运算，非负数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据非负数的性质求出、，然后再根据定义新运算进行计算即可． 【详解】解：， ，， ， ； 故答案为：9． 10．二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为______； (2)若x，y为实数，且，求的值． 【答案】(1) (2)7或3 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件，绝对值的非负性求得a，b的值，然后代入中计算即可； （2）根据二次根式有意义的条件求得x，y的值后代入中计算即可． 【详解】（1）解：， ∴，， 解得：，， 那么， 故答案为：； （2）解：由题意可得，， 则， 那么， 则或， 那么或， 即的值是7或3． 11．已知，则________． 【答案】 【详解】解： ， ， ． 12．已知，则的值为________． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性确定的取值范围，再化简绝对值，整理等式变形即可求出所求式子的值． 【详解】解：由题意可得，，即 ， 由， 可得， ， ， ． 13．解答下列问题 (1)已知、满足，求的算术平方根； (2)如果一个正数的两个平方根分别是和，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值都是非负数，列出方程组求出、的值，从而求出的算术平方根； （2）根据一个正数的两个平方根互为相反数，据此求出的值，再根据平方根的定义计算的值． 【详解】（1）解：， ， 解得：， ， 的算术平方根为； （2）解：一个正数的两个平方根分别是和， ， 整理得：， 解得：， ． 14．已知．求的平方根． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：，，， ，，解得，．           ． 的平方根为， 的平方根为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $