专题07 无理数的大小与估算的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版七年级上册

**基本信息** 以“夹逼法”为核心，系统整合六类无理数大小与估算题型，构建“通法+题型+挑战”三阶训练体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心通法|夹逼定位→数轴/平方/做差比较→回归检验|以“夹逼”为根基，构建从定位到比较的完整逻辑链| |题型归纳|6类题型+多变式|每题型含特征+方法模版，如整数范围用相邻平方/立方数|从基础定位到复杂比较，层层递进覆盖核心考法| |压轴挑战|14道综合题|综合应用夹逼、平方、做差等方法解决复杂问题|衔接中考压轴，提升符号意识与运算能力|

专题07 无理数的大小与估算的六类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、确定无理数所在的整数范围 1 题型二、无理数的大小直接比较 3 题型三、利用数轴比较无理数大小 4 题型四、利用平方或立方比较无理数大小 6 题型五、做差法比较无理数大小 7 题型六、无理数的整数部分与小数部分 8 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 无理数的大小估计与比较，关键不在"比"而在"夹"——先把无理数夹在两个整数之间，所有大小关系、整数部分、小数部分都一目了然。拿到无理数，先用平方或立方估出它所夹的整数区间；定下区间后，比较两个无理数大小可以走三条路：画数轴直观比、用平方/立方法（正数范围内大小关系不变）、用做差法看差的正负。所有结果，最终都要用 "整数夹逼 + 符号判断"回归检验。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、确定无理数所在的整数范围 题型模版 1.特征： 已知，求介于哪两个连续整数之间 2.方法：夹逼法：找被开方数相邻的完全平方数（平方根）/ 完全立方数（立方根） 例1估算的值在（     ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．12和13之间 【答案】C 【分析】找到与11相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，进而推导的范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 变式1-1估计的值（     ） A．在1到2之间 B．在2到3之间 C．在3到4之间 D．在4到5之间 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 变式1-2估计的值在（     ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴估计的值在6和7之间． 变式1-3估计的值在（     ） A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间 【答案】D 【分析】通过比较77与相邻完全平方数的大小，估算的范围． 【详解】解：∵，，， ∴． 题型二、无理数的大小直接比较 例2下列四个实数中，最大的数是（     ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴四个实数中最大的数为． 变式2-1在实数，，0，2中，最大的是（     ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题考查实数大小比较，利用“负数小于0，0小于正数”的规则先排除较小的数，再比较剩余正数的大小即可． 【详解】解：∵ 负数小于0，0小于正数， ∴ ，， 又∵ ，且， ∴ ， ∴ 四个数中最大的是． 故选A． 变式2-2在实数，，，中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵正数大于负数， ∴最大的数是． 变式2-3在实数，，，中，最大的数是_________． 【答案】 【分析】根据实数大小比较法则，正数大于0，0大于负数，先排除负数与0，再比较两个正数和的大小，即可得到最大的数． 【详解】解：∵是负数，因此， 和都是正数，都大于0，且， ∴， ∴最大的数是． 题型三、利用数轴比较无理数大小 题型模版 1.特征： 结合数轴比较大小 2.方法：数轴上右边点表示的数 > 左边点；先估算定位，再比左右 例3把，0，，表示在数轴上（无理数近似表示在数轴上），并比较它们的大小，用“<”号连接. （1）在数轴上把它们表示出来: （2）用“<”号连接:____________________ __________________________ 【答案】答案见解析. 【详解】试题分析：（1）在数轴上表示出来即可； （2）根据在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大比较即可． 试题解析：：（1）在数轴上表示为： ； （2）-2＜0＜＜|-3|， 变式3-1小云的作业中有一道题目如下： 请画出数轴并把实数，π，，－4，，在数轴上表示出来，再把这6个数用“＜”连接． (1)下图是小云画的数轴和标出来的4个无理数，你认为表示的是点________． (2)请你帮助小云完成剩下的任务． 【答案】(1)C (2) 将个实数在数轴上表示出来如图所示． 由图可知，． 【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系及实数的大小比较，掌握估算无理数的取值范围，结合数轴上点的位置和实数大小比较规则是解题的关键． （1）先估算​的取值范围，再确定它在数轴上的对应点； （2）先化简绝对值、估算无理数的近似值，再根据实数大小比较规则，将个数按从小到大的顺序连接． 【详解】（1）解： 因此在数轴上位于和之间，对应点． （2）略 变式3-2把，，，表示在数轴上（无理数近似表示在数轴上），并比较它们的大小，用“＜”号连接． 【答案】数轴见解析，． 【分析】利用绝对值和无理数的近似值化简再用数轴上的点表示各数，利用数轴上的数右边的总比左边的大用“＜”号将个连接即可． 【详解】解：∵， ∴将各数在数轴上表示出来如下： 将各数用“＜”号连接如下： ． 【点睛】本题主要考查了数轴，绝对值，实数大小的比较，利用数轴上的数右边的总比左边的大解答是解题的关键． 变式3-3如图： (1)过A，B两点画一条数轴，使点A表示2，点B表示． (2)在所画数轴上画出表示，，的点，并把这5个数按从小到大的顺序用“<”连接． < < < <． 【答案】(1)见解析 (2)，2，，． 【分析】本题考查作图复杂作图，数轴，实数的大小比较等知识，解题的关键是学会利用数轴比较实数的大小． （1）根据要求作出图形即可； （2）利用数轴比较实数的大小． 【详解】（1）数轴如图所示： （2），， 数轴表示如图所示． ， 故答案为：，2，，． 题型四、利用平方或立方比较无理数大小 题型模版 1.特征： 同次根式，或可化为同次根式 2.方法：同次：直接比被开方数；异次：化为同次（取次数最小公倍数）再比；与有理数比：两边同乘方 例4比较大小：______（用“”、“”或“”填空）． 【答案】 【详解】解：∵ ∴． 变式4-1比较大小：__________（填“＞”、“＝”或“＜”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键．分别求得和，比较即可． 【详解】解：∵，，且， ∴． 故答案为：． 变式4-2比较大小：___________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】＞ 【分析】本题考查比较实数的大小，先比较与5的大小，进而即可解答． 【详解】解：∵，即， ∴． 故答案为：＞． 题型五、做差法比较无理数大小 例5比较大小：______1．（填“”或“”） 【答案】 【分析】通过变形将问题转化为比较和的大小，利用算术平方根的性质估算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 变式5-1比较大小：________．（填写“”或“”） 【答案】 【分析】利用作差法进行大小比较即可． 【详解】， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式5-2比较大小：______．（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：两个分数的分母均为，且，因此只需比较分子与的大小， ∵，， ∴， ∴， ∴. 题型六、无理数的整数部分与小数部分 题型模版 1.方法：①夹逼定范围 → ②整数部分 = 范围左端整数 → ③小数部分 =原数−整数部分 例6．的整数部分为3，则它的小数部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一个数的小数部分等于该数减去它的整数部分，据此直接计算即可得到结果． 【详解】解：∵的整数部分为3， ∴的小数部分为． 变式6-1．的小数部分为__________． 【答案】 【分析】先确定的取值范围，得到它的整数部分，再用原数减去整数部分即可得到小数部分． 【详解】解：，， ， ∴， 的整数部分为， 的小数部分为． 变式6-2．的整数部分是_______，小数部分是_______． 【答案】 / 【分析】先找到与相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，即可得到其整数部分，再用减去整数部分得到小数部分． 【详解】解：， ， 即， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．估算无理数在哪两个数之间，其中最精确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平方后比较大小的方法，逐步缩小的范围，得到最精确的区间即可． 【详解】解：∵ ，，，， ∴ ， 观察四个选项，选项C符合题意． 2．满足的所有整数的和是（     ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数大小的估算，解题的关键是掌握算术平方根的定义．估算和的取值范围，确定符合条件的整数后求和． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴满足的整数为， ∴这些整数的和为． 3．比较大小______ 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握“分母相同的分数，分子大的分数值大”以及二次根式的估值方法是解题的关键． 两个分数分母相同，只需比较分子的大小，即可确定分数的大小关系． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即． ∴． 4．，，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数比较大小，得出各数绝对值的大小关系是解题关键． 比较负数大小时，先比较其绝对值，绝对值大的负数反而小. 通过比较、、的大小，得到绝对值关系，再转化为负数大小关系. 【详解】解：∵ ，， ， 且 ， ∴ ， 即. 故选：A. 5．在实数，，，3中，最小的数是（     ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据，，，确定绝对值的大小，根据实数的大小比较，求解即可． 【详解】解：3是正数，，，均为负数， ∵正数大于负数， ∴3是最大的数； ，，的绝对值分别为，，，且，，， ∵， ∴， ∵ 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小， ∴， 故是最小的． 6．若a为正整数，且满足，则______． 【答案】 【分析】先估算出的范围，确定介于哪两个连续正整数之间，再结合已知不等式即可求出的值． 【详解】解：，，且， ，即， ，且为正整数， ． 7．比较大小：________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】比较平方后结果的大小判断原数大小，平方大的原数更大，据此求解即可． 【详解】解：∵，， 又， ． 8．已知a是的整数部分，b是的小数部分，则________． 【答案】/ 【分析】本题考查算术平方根的整数部分和小数部分，代数式求值，找出离19最近的两个平方数，求出的取值范围，进而求出a，b，代入求值即可． 【详解】解： ， ， ， 的整数部分，小数部分， ， 故答案为：． 9．如图，已知点表示的数为，点向右运动个单位长度到达点，点表示的数为． (1)在数轴上画出点； (2)点表示的数为________，其绝对值为________； (3)利用数轴比较大小：________（填“”“”或“”），所以点在点________．（填“左侧”或“右侧”） 【答案】(1) 在数轴上画出点为： (2)，； (3)，右侧． 【分析】本题考查了数轴上表示数，绝对值定义，实数比较大小，掌握知识点的应用是解题的关键． （）在数轴上表示点即可； （）由点向右运动个单位长度到达点，则有点表示的数为，然后通过绝对值定义即可求解； （）根据数轴特点即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：点表示的数为，其绝对值， 故答案为：，； （3）解：根据数轴可知，，点在点的右侧， 故答案为：，右侧． 10．某数学兴趣小组发现，通过图1构造直角三角形的方法可以分别画出长度为的线段．同理，利用直尺和圆规在图2中可以将这些无理数分别表示在数轴上． (1)请你在图2中，用直尺和圆规继续表示． (2)为了方便进一步研究，该小组在图3中绘制了一个与图2单位长度一致的数轴，请你利用图2的结论，在图3中直接表示与，并比较它们的大小． 【答案】(1) 解：如图所示， (2) 如图所示， 【分析】本题考查用数轴上的点表示无理数，无理数的比较大小； （1）根据题意作出即可； （2）以为圆心，为半径作弧，则可表示，然后以原点为圆心，为半径作弧表示，然后利用数轴上右边的数大于左边的数解题即可． 【详解】（1）略 （2）略 11．已知实数的整数部分为，小数部分为；实数的整数部分为，小数部分为，则的算术平方根为多少？ 【答案】 【分析】先利用夹逼法估算、的取值范围，即可求出m、n、、c的值，再计算的值，最后求出算术平方根即可． 【详解】解： ， ， ， 的整数部分是11，小数部分是， 即，， ， ， ， 的整数部分是5，小数部分是， 即，， ∴， 的算术平方根是， ∴的算术平方根是． 12．在数轴上表示下列各数，并用“<”连接起来． ，，， 【答案】数轴表示见解析， 【分析】根据实数的大小得出结论即可． 【详解】解：，， 【点睛】本题主要考查实数的大小，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 13．我们知道，如果一个正数a不是完全平方数，那么它的算术平方根介于两个连续整数之间． 例如：因为，，所以；的整数部分是1， (1)的整数部分是______，的整数部分是______． (2)若的整数部分是5，写出一个符合条件的m的值：______． (3)已知正整数n满足与的整数部分相同． ①如果它们的整数部分都是1： 因为的整数部分是1，所以只可能是（因为，，所以）． 因为的整数部分也是1，所以只可能是，即只可能是． 同时满足这两个条件，得到______． ②如果它们的整数部分都是2： 因为的整数部分是2，所以只可能是（因为，，所以）． 因为的整数部分也是2，所以只可能是，即只可能是．同时满足这两个条件，得到______． ③如果它们的整数部分都是3：同时满足这两个条件，得到______． ④观察上面得到的n的值，你能发现规律吗？当与的整数部分为k时，请用含k的表达式写出正整数的取值范围． 【答案】(1)3；4 (2)30 (3)①1②4，5，6③9，10，11，12，13④ 【分析】（1）直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案； （2）直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案； （3）①直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案；②直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案；③直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案；④直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是3； ∵， ∴， ∴的整数部分是4； （2）解：∵的整数部分是5， ∴， ∴， ∴可以取30； （3）解：①如果它们的整数部分都是1： 因为的整数部分是1，所以只可能是（因为，，所以）． 因为的整数部分也是1， 所以只可能是，即只可能是． 同时满足这两个条件，得到． ②如果它们的整数部分都是2： 因为的整数部分是2， 所以只可能是（因为，，所以）． 因为的整数部分也是2， 所以只可能是，即只可能是． 同时满足这两个条件，得到，5，6． ③因为的整数部分是3， ∴， ∴； 又的整数部分是3， ∴， ∴， ∴， 所以同时满足两个条件的正整数； ④当与的整数部分为k时， 由当的整数部分为k时，得； 由的整数部分为k时，得，即， 取两者的公共部分可得，正整数的取值范围为． 14．（阅读材料） ∵，即 ∴ ∴的整数部分为1 ∴的小数部分为 （解决问题） (1)填空：的整数部分是__________，小数部分是__________． (2)已知a是的小数部分，b是的整数部分，求代数式的值； (3)已知x是的整数部分，y是的小数部分，求出的值． 【答案】(1)9， (2)4 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的估算，熟练掌握二次根式的估算方法是解题的关键． （1）先估算得到，即，从而得到的整数部分和小数部分； （2）先根据，即，得到的小数部分为，即；同理可得；最后将，代入中计算即可； （3）先根据，即，得到，从而求得的整数部分和小数部分，进而求得的值． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为9， ∴的小数部分为； （2）解：∵，即， ∴的整数部分为2， ∴的小数部分为， 即； ∵，即， ∴的整数部分为6， 即； ∴， 即； （3）解：∵，即， ∴， ∴的整数部分为6， ∴的小数部分为，即， ∵x是的整数部分，y是的小数部分， ∴，， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 无理数的大小与估算的六类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、确定无理数所在的整数范围 1 题型二、无理数的大小直接比较 2 题型三、利用数轴比较无理数大小 2 题型四、利用平方或立方比较无理数大小 3 题型五、做差法比较无理数大小 4 题型六、无理数的整数部分与小数部分 4 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 无理数的大小估计与比较，关键不在"比"而在"夹"——先把无理数夹在两个整数之间，所有大小关系、整数部分、小数部分都一目了然。拿到无理数，先用平方或立方估出它所夹的整数区间；定下区间后，比较两个无理数大小可以走三条路：画数轴直观比、用平方/立方法（正数范围内大小关系不变）、用做差法看差的正负。所有结果，最终都要用 "整数夹逼 + 符号判断"回归检验。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、确定无理数所在的整数范围 题型模版 1.特征： 已知，求介于哪两个连续整数之间 2.方法：夹逼法：找被开方数相邻的完全平方数（平方根）/ 完全立方数（立方根） 例1估算的值在（     ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．12和13之间 变式1-1估计的值（     ） A．在1到2之间 B．在2到3之间 C．在3到4之间 D．在4到5之间 变式1-2估计的值在（     ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 变式1-3估计的值在（     ） A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间 题型二、无理数的大小直接比较 例2下列四个实数中，最大的数是（     ） A． B．0 C．1 D． 变式2-1在实数，，0，2中，最大的是（     ） A． B． C．0 D．2 变式2-2在实数，，，中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 变式2-3在实数，，，中，最大的数是_________． 题型三、利用数轴比较无理数大小 题型模版 1.特征： 结合数轴比较大小 2.方法：数轴上右边点表示的数 > 左边点；先估算定位，再比左右 例3把，0，，表示在数轴上（无理数近似表示在数轴上），并比较它们的大小，用“<”号连接. （1）在数轴上把它们表示出来: （2）用“<”号连接:____________________ __________________________ 变式3-1小云的作业中有一道题目如下： 请画出数轴并把实数，π，，－4，，在数轴上表示出来，再把这6个数用“＜”连接． (1)下图是小云画的数轴和标出来的4个无理数，你认为表示的是点________． (2)请你帮助小云完成剩下的任务． 由图可知，． 变式3-2把，，，表示在数轴上（无理数近似表示在数轴上），并比较它们的大小，用“＜”号连接． 变式3-3如图： (1)过A，B两点画一条数轴，使点A表示2，点B表示． (2)在所画数轴上画出表示，，的点，并把这5个数按从小到大的顺序用“<”连接． 题型四、利用平方或立方比较无理数大小 题型模版 1.特征： 同次根式，或可化为同次根式 2.方法：同次：直接比被开方数；异次：化为同次（取次数最小公倍数）再比；与有理数比：两边同乘方 例4比较大小：______（用“”、“”或“”填空）． 变式4-1比较大小：__________（填“＞”、“＝”或“＜”）． 变式4-2比较大小：___________（填“>”“<”或“=”）． 题型五、做差法比较无理数大小 例5比较大小：______1．（填“”或“”） 变式5-1比较大小：________．（填写“”或“”） 变式5-2比较大小：______．（填“”“”或“”） 题型六、无理数的整数部分与小数部分 题型模版 1.方法：①夹逼定范围 → ②整数部分 = 范围左端整数 → ③小数部分 =原数−整数部分 例6．的整数部分为3，则它的小数部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 变式6-1．的小数部分为__________． 变式6-2．的整数部分是_______，小数部分是_______． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．估算无理数在哪两个数之间，其中最精确的是（     ） A． B． C． D． 2．满足的所有整数的和是（     ） A．0 B．2 C．3 D．5 3．比较大小______ 4．，，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．在实数，，，3中，最小的数是（     ） A． B． C． D．3 6．若a为正整数，且满足，则______． 7．比较大小：________．（填“”“”或“”） 8．已知a是的整数部分，b是的小数部分，则________． 9．如图，已知点表示的数为，点向右运动个单位长度到达点，点表示的数为． (1)在数轴上画出点； (2)点表示的数为________，其绝对值为________； (3)利用数轴比较大小：________（填“”“”或“”），所以点在点________．（填“左侧”或“右侧”） 10．某数学兴趣小组发现，通过图1构造直角三角形的方法可以分别画出长度为的线段．同理，利用直尺和圆规在图2中可以将这些无理数分别表示在数轴上． (1)请你在图2中，用直尺和圆规继续表示． (2)为了方便进一步研究，该小组在图3中绘制了一个与图2单位长度一致的数轴，请你利用图2的结论，在图3中直接表示与，并比较它们的大小． 11．已知实数的整数部分为，小数部分为；实数的整数部分为，小数部分为，则的算术平方根为多少？ 12．在数轴上表示下列各数，并用“<”连接起来． ，，， 13．我们知道，如果一个正数a不是完全平方数，那么它的算术平方根介于两个连续整数之间． 例如：因为，，所以；的整数部分是1， (1)的整数部分是______，的整数部分是______． (2)若的整数部分是5，写出一个符合条件的m的值：______． (3)已知正整数n满足与的整数部分相同． ①如果它们的整数部分都是1： 因为的整数部分是1，所以只可能是（因为，，所以）． 因为的整数部分也是1，所以只可能是，即只可能是． 同时满足这两个条件，得到______． ②如果它们的整数部分都是2： 因为的整数部分是2，所以只可能是（因为，，所以）． 因为的整数部分也是2，所以只可能是，即只可能是．同时满足这两个条件，得到______． ③如果它们的整数部分都是3：同时满足这两个条件，得到______． ④观察上面得到的n的值，你能发现规律吗？当与的整数部分为k时，请用含k的表达式写出正整数的取值范围． 14．（阅读材料） ∵，即 ∴ ∴的整数部分为1 ∴的小数部分为 （解决问题） (1)填空：的整数部分是__________，小数部分是__________． (2)已知a是的小数部分，b是的整数部分，求代数式的值； (3)已知x是的整数部分，y是的小数部分，求出的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $