第21 章 二次函数与反比例函数 单元练习题 2026--2027学年沪科版九年级数学上册

**基本信息** 沪科版九年级数学上册第21章单元卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，融合弹珠投掷、温室大棚等真实情境，考查二次函数与反比例函数核心知识，适配单元复习，培养抽象能力、运算能力及模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|二次函数根与图像、反比例函数面积|结合表格数据（第1题）、几何图形（第7题等腰直角三角形）考查直观想象| |填空题|4|顶点坐标、函数对称性|第14题结合平移与轴对称，考查逻辑推理| |解答题|9|实际应用（利润问题、抛物线运动轨迹）、综合探究|第15题弹珠投掷建模、22题温室大棚截面计算，体现模型意识与应用能力|

沪科版九年级数学上册第21章 二次函数与反比例函数单元练习题 一、单选题 1．根据下表中二次函数的取值情况，可知方程的根是（　　） … 0 1 2 3 4 … … 15 8 3 0 0 3 8 … A．， B．， C．， D．， 2．如图，过反比例函数（x＞0）的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得（ ） A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．大小关系不能确定 3．若是关于的二次函数，则的值是（　　） A． B．2 C．3 D．或3 4．下列的各点中，在反比例函数图象上的点是（　　） A． B． C． D． 5．已知二次函数的图象与x轴交于不同两点，与y轴的交点在y轴正半轴，它的对称轴为直线，有以下结论：①，②，③抛物线上有两点和，若，且，则，④设是方程的两根，若，则，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 6．已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y 的最大值为-1，则h 的值为(　　). A．3 或6 B．1 或6 C．1或3 D．4 或6 7．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，点和都在轴上，是等腰直角三角形，，，则的值为（　　） A． B． C． D．4 8．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则函数的图象与函数的图象交点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 9．二次函数的图象如图所示，给出四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 10．如图，直线与反比例函数相交于点，与轴交于点，将射线绕点逆时针旋转，交反比例函数图象于点，则点构成的三角形面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．二次函数的顶点坐标是　 　． 12．已知抛物线（其中b，c为常数）经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则的值为　 　． 13． 如图，，是反比例函数 的图象与正比例函数 的图象的交点，已知点的坐标为，则关于的不等式 的解集为　 　． 14．若二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．则下列说法正确的序号为　 　．（少选得1分，错选得0分，选全得满分） ① ②当时，代数式的最小值为3 ③对于任意实数，不等式一定成立 ④，为该二次函数图象上任意两点，且．当时，一定有 三、解答题 15．某班级在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（长方体无盖箱子放在水平地面上）．同学们受游戏启发，将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，矩形为箱子的截面示意图），某同学将弹珠从处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线：（单位长度为）的一部分，且当弹珠的高度为时，对应的两个位置的水平距离为．已知，，． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标． （2）请通过计算说明该同学抛出的弹珠能否投入箱子． 16．如图，已知抛物线和直线相交于点和． （1）求和的值； （2）求抛物线的对称轴； （3）结合图象直接写出满足的的取值范围． 17．某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售量利润为y元． （1）每天的销售量为___瓶，每瓶洗手液的利润是___元；（用含x的代数式表示） （2）若这款洗手液的日销售利润y达到300元，则销售单价应上涨多少元？ （3）当销售单价上涨多少元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为多少元？ 18．为了巩固脱贫攻坚成果，建设社会主义新农村，某市出台了一系列对口帮扶优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为每千克20元．经市场预测，销售价定为每千克26元时，日销量为32千克；若该产品每天的销售价每增加1元，则日销量就减少2千克．设这种产品的销售价为每千克x元，每天的销售利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式；（要求化为一般形式，并写出自变量的取值范围） （2）当销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元每千克，该农户想要每天获得170元的销售利润，销售价应定为多少元？ 19．直线与双曲线交于点，交y轴于点． （1）求k，m的值； （2）如图1，点E是直线上A点右侧的一个动点，过点E作y轴的平行线，交反比例函数图象于点D，连接，． ①当时，求的面积； ②如图2，在①的条件下，将沿射线方向平移一定距离，得到，若点恰好落在反比例函数图象上，请直接写出点的坐标． 20．小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x的值为时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6． （1）直接写出k，a，b的值． （2）小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图象，如图（2）． Ⅰ.当y随x的增大而增大时，求x的取值范围． Ⅱ.若关于x的方程（t为实数），在时无解，求t的取值范围． Ⅲ.若在函数图象上有点P，Q(P与Q不重合)P的横坐标为m，Q的横坐标小明对P，Q之间（含P，Q两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化时，直接写出m的取值范围． 21．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式y2＋4y＋8的最小值． 解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝（y＋2）2＋4 ∵（y＋2）2≥0， ∴（y＋2）2＋4≥4 ∴y2＋4y＋8的最小值是4． （1）求代数式x2＋2x＋4的最小值； （2）求代数式4－x2＋2x的最大值； （3）如图，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 22．综合与实践． 【材料阅读】云南晋宁是我国花卉生产的核心区，是全球温带花卉的最佳产地之一．产业园内鲜花温室大棚可以人为地控制温度、湿度以及光照等环境因素，为鲜花提供最佳的生长条件．一般大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间． 【实践操作】如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． 【解答问题】 （1）如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式； （2）如图，在某一时刻，平行的太阳光照射在大棚的一侧，太阳光线透过点恰好照射到点，此时大棚截面的影子为，求的长． 23．小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量y（毫克／立方米）与时间（月）成正比例．施工结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示，请根据图中信息，回答下列问题： （1）施工过程中关于的函数解析式是______； （2）已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于毫克／立方米，按照这个标准，请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？ （3）施工开始后的第2个月底到第4个月底，室内的甲醛含量一直在下降，假设这两个月每个月甲醛含量降低的百分率相同，求这个降低的百分率．（，结果精确到） 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】C 【解析】【解答】解： 是关于 的二次函数， ， 解得 ， ， ， . 故选： . 【分析】根据二次函数的定义：形如 ，（ 为常数且 ）可得 且 ，然后进行计算即可得到答案. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：由题意知，在反比例函数图象上的点满足其解析式，即横纵坐标的乘积为5； ∵2×4=8≠5，，，， ∴A、C、D三个选项所给的点均不在反比例函数的图象上，只有B选项所给的点在反比例函数的图象上. 故答案为：B． 【分析】反比例函数的图象上任意一点的横纵坐标的积等于比例系数k，据此逐一判断得出答案． 5．【答案】D 【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与轴的交点在轴正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故结论①正确； 由①知：， ∴，故结论②正确； ∵， ∴二次函数的图象开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远其函数值就越小， ∵点和在抛物线上，且，， ∴，即到的距离大于到的距离， ∴，故结论③正确； ∵二次函数的图象与轴交于不同两点，设左边交点的横坐标为，右边交点的横坐标为，即，如图所示， 若，则，，， ∴， 若，则，，， ∴， 若，则，，， ∴， 综上所述，，故结论④正确， ∴正确的结论是①②③④． 故答案为：①②③④． 【分析】先根据抛物线和轴交点的位置，判断出系数和的大小关系，再结合对称轴的位置，判断出系数和的大小关系，以此验证结论①；接下来利用抛物线的对称轴公式对结论②进行判断；再结合抛物线的增减性规律验证结论③；最后根据抛物线和轴交点的不同情况分三类讨论，以此判断结论④． 6．【答案】B 【解析】【解答】解：顶点为(h，0)，当x=h时，y有最大值0. ∵当2≤x≤5时，y的最大值为-1，∴h≤2或h≥5，而A，C，D三项中各有一个数满足在2和5之间，y的最大值为0，不符合题意. 故答案为：B 【分析】原二次函数存在最大值y=0， 当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y 的最大值为-1 ，因此h≤2或h≥5，结合选项判断即可. 7．【答案】D 8．【答案】A 【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 即，解得。 联立两个函数的解析式，得， 两边同乘整理得，即。 ∵，∴， 又∵对任意实数，都有， ∴方程无实数解，即两个函数图象没有交点。 故答案为：A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与函数交点问题的综合应用。先通过一元二次方程有两个不等实根的条件，利用根的判别式求出的取值范围；再将两个函数解析式联立，转化为一元二次方程，结合的取值范围判断方程根的情况，根的个数就对应函数图象的交点个数。 9．【答案】D 【解析】【解答】解：①由函数图象可知，开口向上，对称轴，且图像与y轴交于负半轴， ∴a＞0，b＜0，c＜0， ∴abc＜0，故①错误； ②∵对称轴，a＞0，b＜0， ∴-b＜2a， ∴2a+b＞0，故②正确； ③由函数图象可知，图象过，， ∴， ①+②得，2（a+c）=2. ∴a+c=1，故③正确； ④， ， ， ，故④正确； 故答案为：D． 【分析】根据函数图象判断其开口向上，对称轴，且图像与y轴交于负半轴，求得a＞0，b＜0，c＜0，即可分析①，②；由函数图象可知，图象过，，代入化简，即可分析③、④． 10．【答案】D 【解析】【解答】解：过作于，过作轴于，过作延长线于，连接，设交轴于点， ∵直线与反比例函数相交于点， ∴，， 解得：，， ∴直线解析式为，反比例函数， 当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵点和点， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴， 令，则， ∴， ∴， 联立，解得：或， ∴， ∴ ， 故答案为：。 【分析】过作于，过作轴于，过作延长线于，连接，设交轴于点，将A点坐标分别代入一次函数和 反比例函数，求出直线AB的解析式和反比例函数的解析式，然后令x=0，求出B点坐标，然后再根据旋转的角度，易得是等腰直角三角形，再根据 ，易证，设，由点和点，则，，代入数据，即可求出a的值，可得F点的坐标， 设直线的解析式为 ，因F点在AC直线上，将A点坐标和F点坐标代入 ，求得直线的解析式，然后建立方程组，求出C点坐标，最后再通过，代入数据即可求解。 11．【答案】 12．【答案】3 【解析】【解答】解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线x==b， ∵抛物线经过不同两点，， ∴A、B两点关于直线x=b对称， ∴， ∴， ∵该二次函数的图象与x轴有公共点， ∴△==≥0， ∴≥0，即-4（b-2）2≥0， ∴b=2， ∴c=b-1=1， ∴=3， 故填：3. 【分析】根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=b，根据A、B坐标可得A、B两点关于直线x=b对称，可得，得出c与b的关系，根据二次函数的图象与x轴有公共点，列不等式可得出b的值，从而得出c的值，即可得答案． 13．【答案】或 【解析】【解答】解：正比例函数与反比例函数的图象均关于原点中心对称，因此两函数的两个交点也关于原点对称。 点坐标为，另一交点的坐标为。 不等式的几何意义为：反比例函数图象位于正比例函数图象上方时，对应的自变量的取值范围。 结合函数图象分析： 当时，反比例函数图象在正比例函数上方； 当时，反比例函数图象在正比例函数上方。 因此不等式的解集为或。 故答案为：或 【分析】本题考查反比例函数与正比例函数的交点问题，以及利用函数图象解不等式。正比例函数与反比例函数的图象都具有中心对称性，对称中心为坐标原点，因此两函数的两个交点必然关于原点对称，可由一个交点坐标直接推导得到另一个交点坐标。求解不等式时采用数形结合思想，不等式的解集，对应反比例函数图象位于正比例函数图象上方部分的自变量取值范围，分与两个区间分析即可得到完整解集。 14．【答案】①③④ 15．【答案】（1），顶点坐标为 （2）该同学抛出的弹珠不能投入箱子 16．【答案】（1）， （2） （3） 17．【答案】解：（1），； （2）由题意得：， 解得，， 答：销售单价应上涨2元或6元； （3）由题意得：， 化成顶点式为， 由二次函数的性质可知，当时，y取得最大值，最大值为320， 答：当销售单价上涨4元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为320元． 【解析】【解答】（1）由题意得：当销售单价上涨x元时，每天销售量会减少瓶， 则每天的销售量为瓶， 每瓶洗手液的利润是（元）， 故答案为：，； 【分析】（1）售价每上调x元，每日销量随之相应减少指定数量瓶，据此列出每日销售量代数式；再依照单件利润 = 销售单价−进货成本，写出单件利润表达式。 （2）依托第一问所得代数式，以每日总利润等于 300 元为等量关系，构建关于x的一元二次方程，求解方程并结合实际销售场景舍去不合理解，得到最终取值。 （3）总利润 = 单件利润 × 每日销售数量，据此推导利润y与涨价金额x之间的二次函数关系式；结合二次函数开口方向、对称轴取值范围，利用二次函数增减性求出日利润最大值及对应定价． 18．【答案】（1）； （2）当销售价定为31元/千克时，每天可获最大销售利润242元； （3）当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润170元． 19．【答案】（1）， （2）①；② 20．【答案】（1），， （2）解：Ⅰ：∵，，∴一次函数解析式为：，二次函数解析式为：， 当时，，其对称轴为直线，开口向上， ∴时，y随x的增大而增大， 当时，，， ∴时，y随x的增大而增大， 综上：当y随x的增大而增大时，x的取值范围为或. Ⅱ：∵在时无解， ∴在时无解 ∴问题转化为抛物线与直线在时无交点 顶点为，画出图像，如图所示： ∴当时，抛物线与直线在时正好一个交点 ∴当时，抛物线与直线在时没有交点 当， ∴当时，抛物线与直线在时正好一个交点 ∴当时，抛物线与直线在时没有交点 ∴当或时，抛物线与直线在时没有交点 即：当或时，关于x的方程（t为实数），在时无解. Ⅲ：或 【解析】【解答】（1）解：∵， ∴将，代入得：，解得， ∵，， 将，和，分别代入得 解得 综上所诉，，. （2）Ⅲ：∵，， ∴ ∴直线与直线关于直线对称， 当，， 当，， ∵当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当时，，时，， ∴①当时，如图所示： 由题意得 ∴ ②当时，如图所示： 由题意得 ∴ 综上：或. 【分析】(1) 读懂程序框图的分段规则：自变量x≤0时运行一次函数；x>0时运行二次函数，把题目给出的输入、输出对应点，代入到各自对应的函数解析式中，通过解方程、解方程组，求出参数k、a、b. (2)Ⅰ. 把分段函数写完整，分别研究两段函数的增减性：x≤0的一次函数看斜率正负；x>0的二次函数结合开口方向和对称轴判断增减区间，最后把两段递增区间合并，得到y随x增大而增大的x取值范围. Ⅱ. 把方程进行变形，将方程解的问题转化为函数图象交点问题，即判断抛物线y=x2-2x+3与水平线y=t在0<x<4内有没有交点.先求出抛物线在此区间的顶点与端点函数值，得到函数的值域，再反过来确定没有交点时t的取值范围. Ⅲ. 先计算P、Q两点横坐标的中点，发现两点关于直线x=对称，题意要求：P、Q两点之间（包含两点）图像上的最大值、最小值固定，不受参数m变化影响.利用对称关系，分m>与m<两种情况，结合图像对P、Q的横坐标列不等式，求出m的取值范围. （1）解：∵， ∴将，代入得：，解得， ∵，， 将，和，分别代入得 解得 故答案为：，，. （2）解：Ⅰ：∵，， ∴一次函数解析式为：，二次函数解析式为：， 当时，，其对称轴为直线，开口向上， ∴时，y随x的增大而增大， 当时，，， ∴时，y随x的增大而增大， 综上：当y随x的增大而增大时，x的取值范围为或. Ⅱ：∵在时无解， ∴在时无解 ∴问题转化为抛物线与直线在时无交点 顶点为，画出图像，如图所示： ∴当时，抛物线与直线在时正好一个交点 ∴当时，抛物线与直线在时没有交点 当， ∴当时，抛物线与直线在时正好一个交点 ∴当时，抛物线与直线在时没有交点 ∴当或时，抛物线与直线在时没有交点 即：当或时，关于x的方程（t为实数），在时无解. Ⅲ：∵，， ∴ ∴直线与直线关于直线对称， 当，， 当，， ∵当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当时，，时，， ∴①当时，如图所示： 由题意得 ∴ ②当时，如图所示： 由题意得 ∴ 综上：或. 21．【答案】解：（1）x2＋2x＋4＝x2＋2x＋1＋3＝（x＋1）2＋3∵（x＋1）2≥0， ∴（x＋1）2＋3≥3 ∴x2＋2x＋4的最小值是3． （2）4－x2＋2x＝－x2＋2x＋4＝－（x2－2x－4）＝－（x2－2x＋1－5）2＝－（x－1）2＋5 ∵（x－1）2≥0， ∴－（x－1）2≤0 ∴－（x－1）2＋5≤5 ∴4－x2＋2x的最大值是5． （3）设花园的面积为S（m2），根据题意，得 S＝AB·BC ＝x（20－2x） ＝－2x2＋20x ＝－2（x2－10x） ＝－2（x2－10x＋25－25） ＝－2（x－5）2＋50 ∵－2（x－5）2≤0 ∴－2（x－5）2＋50≤50 ∴当x取5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2 【解析】【分析】（1）理解例题解答步骤，将代数式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值； （2）理解例题解答步骤，将代数式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值； （3）结合长方形面积公式，列出表示花园面积的代数式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及的值即可． 22．【答案】（1）解：，，， ，，，， 设抛物线的解析式为，将点，的坐标代入解析式， 得，解得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，取最右侧光线与抛物线切于为点， 设直线的解析式为， 将点，的坐标代入解析式， 得，解得 ∴直线的解析式为， ， 设直线的解析式为， 联立得，整理得， ， 解得， 直线的解析式为， 令，得， ， 【解析】【分析】（1）根据点的坐标可得，，，， 设抛物线的解析式为，根据待定系数法将点A，E坐标代入解析式即可求出答案. （2）取最右侧光线与抛物线切于为点，设直线的解析式为，根据待定系数法将点B，D坐标代入解析式可得直线的解析式为，根据平行性质可得设直线的解析式为，联立两直线解析式可得，则判别式，解方程可得，则直线的解析式为，根据x轴上点的坐标特征可得，再根据边之间的关系即可求出答案. 23．【答案】（1） （2）解：当时，设此阶段关于的函数解析式为， 将点代入，可得， 解得：， ∴施工结束后关于的函数解析式为， 当时，， 解得：， 答：小明一家从施工开始计算，至少经过个月才可以入住； （3）解：当时，，当时，， 设这个降低的百分率为， 根据题意得：， 解得：或（不合题意，舍去） ∴这个降低的百分率为． 【解析】【解答】（1）解：当时，设直线解析式为， 将点代入，可得， 解得：， ∴施工过程中关于的函数解析式是， 故答案为：. 【分析】（1）结合函数图象中的数据，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先利用待定系数法求出函数解析式，再将y=0.08代入解析式求出x的值即可； （3）设这个降低的百分率为，根据题意列方程，再求出a的值即可. （1）当时，设直线解析式为， 将点代入，可得，解得， 所以施工过程中关于的函数解析式是， （2）当时，设此阶段关于的函数解析式为， 将点代入，可得，解得， 所以施工结束后关于的函数解析式为， 当时，，解得， 答：小明一家从施工开始计算，至少经过个月才可以入住； （3）当时，， 当时，， 设这个降低的百分率为，根据题意得， ， 解得或（不合题意，舍去） ∴这个降低的百分率为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $