江西九江市匡庐星瀚高级中学2026-2027学年高三上学期开学数学试题

**基本信息** 高三开学考数学卷，全面覆盖集合、复数、椭圆等核心知识，融入“刍童”文化传承与无人机科技情境，通过新定义与实际应用考查数学眼光、思维及语言表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、向量、三角函数、椭圆、数列、立体几何、新定义|第8题“平衡数”新定义，考查创新思维；第7题“刍童”外接球，渗透文化传承| |多选题|3/18|立体几何、等比数列、函数性质|正方体中点线面关系（第9题），综合空间观念与推理能力| |填空题|3/15|正态分布、分层抽样方差、二项式定理|分层抽样方差计算（第13题），体现数据处理能力| |解答题|5/77|立体几何证明与二面角、导数应用、统计回归、椭圆综合、概率期望|第17题果园利润回归模型、第19题无人机传感器概率问题，强化数学建模与实际应用；椭圆综合题（第18题）符合高考命题趋势|

江西省九江市匡庐星瀚高级中学2026-2027学年度上学期开学考 高三数学试题 （时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 一、单选题（共8题，每题5分，共40分） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．若，其中是虚数单位，则（    ） A． B．2 C． D．4 3．已知向量，，，其中，，若，，则可以是（     ） A． B． C． D． 4．已知函数的最小正周期为π．将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是（    ） A． B． C． D． 5．椭圆的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知等差数列的公差为，其前项和为，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．中最大 D． 7．我国古代举世闻名的数学专著《九章算术》将底面为矩形的棱台称为“刍童”．已知棱台是一个所有侧棱的长相等，高为2的“刍童”，，，则该“刍童”外接球的表面积为（   ） A． B．64π C．80π D． 8.如果一个正整数中没有数字重复出现，不包含数字0，且没有任何一个数字的两个相邻数字都比它大，那么称其为“平衡数”．例如，23，196，12463均为平衡数，但1546，320，34321则不是．问共有多少个平衡的正整数？（    ） A．511 B．2584 C．9841 D．17711 E．19682 二、多选题（每题6分，少选得3分，错选或多选得0分，共18分） 9．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是的中点，则下列结论正确的是（    ）    A．直线MN与直线所成角为 B． C．直线平面 D．三棱锥的体积为 10．已知等比数列的前项和为，且，，等差数列满足，，下列选项正确的是（   ） A． B． C．，，使得 D． 11.已知定义在上的函数，满足关于对称，且满足，则(    ) A. 的图象关于直线对称 B. 是以为周期的周期函数 C. 的图象关于点对称 D. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．随机变量服从正态分布，，则______. 13．在层数为两层的分层抽样中，第1层、第2层的样本容量之比为，且第1层平均数、方差分别为5、3，第2层的平均数、方差分别为10、8，则总的样本方差为_____． 14.已知的展开式的二项式系数和等于，则展开式中的含项的系数为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知四棱锥，底面为矩形，底面，垂足在边上，且，，． (1)求证：； (2)若四棱锥的体积为，求二面角的大小． 16．（15分）已知函数 求函数的单调区间和极值； 求函数在上的最值. 17.（15分）某果园种植“糖心苹果”已有十余年，为了提高利润，该果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进．如图是2009年至2018年，该果园每年的投资金额单位：万元与年利润增量单位：万元的散点图： 该果园为了预测2019年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了y关于x的两个回归模型： 模型：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：； 模型：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对投资金额x做变换，令，则，且有，，， 根据所给的统计量，求模型中y关于x的回归方程； 分别利用这两个回归模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量结果保留两位小数； 根据下列表格中的数据，比较两种模型的决定系数，并说明谁的预测值精度更高、更可靠． 回归模型 模型 模型 回归方程 附：样本的最小二乘估计公式为， ， 参考数据：， 18．（17分）已知椭圆：的离心率为，为坐标原点，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，直线与直线相交于点． （ⅰ）求证：点在定直线上； （ⅱ）设和的面积分别为，，求的取值范围． 19．（17分）现有一款处于研发阶段用于农业生产的无人机，该款无人机通过识别物体并精准喷洒农药的核心原理是“感知-决策-执行”的闭环智能控制，其核心是通过AI图像识别技术来初步判断是否为农作物，再由多传感器融合处理模块进行最终决定是否需要喷洒.由于处在研发阶段，在工作过程中可能会出现AI图像识别错误、多传感器融合处理模块出现错误，导致执行了错误命令，为此工程师们修改程序为：只有当多传感器融合处理模块中，作出相同判断的传感器数目不少于传感器总数的一半时，无人机才会执行相应的命令.已知每个传感器的判断相互独立，且正常情况下作出正确判断的概率均为. (1)若多传感器融合处理模块中有6个传感器，求正常情况下作出正确判断的传感器数目的期望； (2)当该款无人机上一次作出错误判断而最终导致执行了错误命令时，下一次每个传感器作出正确判断的概率降为.记该款无人机第n次执行正确命令的概率为，当传感器的数目为2时，求； (3)当传感器的数目为时，求正常情况下，无人机执行正确命令的概率. 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 1.【答案】D 【详解】由，，得， 所以． 2.【答案】A 【分析】先根据复数的除法运算计算出，再由复数模长计算公式求结果. 【详解】因为，所以. 故选：A. 3.【答案】D 【分析】先设向量坐标，再应用向量平行的坐标关系列式排除A，B，C，再应用模长公式计算D选项符合题意即可. 【详解】由，可设，设， 结合得，即，A，B,C选项错误； 再结合得，代入验证仅选项D满足上述条件，故D为正确选项； 4.【答案】D 【分析】本题考查三角函数的图象和性质，先求出的图象向左平移个单位长度的解析式，再由所得图象关于y轴对称即可求得. 【详解】由函数的最小正周期为π，得，所以， 将的图象向左平移个单位长度，得 ， 由于图象关于y轴对称，那么 , ,故的一个值是. 5.【答案】D 【分析】设椭圆的左顶点为,根据右焦点F在AP的垂直平分线上，知，得到，列出关于的不等式，求解即得的取值范围. 【详解】设椭圆的左顶点为. 由题意，即以F为圆心，为半径画圆与椭圆有交点P，如图．只需 即即 两边除以得即 得，又， ． 6.【答案】D 【详解】等差数列的公差为d，其前n项和为， 由，得，由，得， 则有，即，B正确；，A正确； 因，且，，则是递减等差数列，其前6项均为正，从第7项起为负数，因此，中最大，C正确； ，，，即，D不正确. 7.【答案】C 【详解】 如图，连接，设，连接， 由棱台侧棱相等，得该棱台的外接球球心在直线上， 设外接球球心为，而， 由，得球心在线段的延长线上，如图所示： 由，得，则，， 所以所求外接球表面积为. 8.【答案】C 【分析】题中“一个正整数没有任何一个数字的两个相邻数字都比它大”等价于“该正整数从左往右不会出现先减后增”，再对“平衡数”按照数字个数分类讨论即可. 【详解】题中“一个正整数没有任何一个数字的两个相邻数字都比它大”等价于“该正整数从左往右不会出现先减后增”，也等价于“该正整数从左往右单调递增或单调递减，或先增后减”， 因为平衡数中没有数字重复出现，不包含数字0，所以只能从中不重复地选取， 先从中选个数，除了最大数，每个其他数字可以选择放在左边或右边，且一旦选定左右分组，顺序就被唯一确定：左边递增，右边递减，但注意：如果所有数字都在左边（递增）或都在右边（递减）也算，所以总数恰好. ，从中选个数，有种选法，排列方法有种，， ，从中选个数，有种选法，排列方法有种，， ，从中选个数，有种选法，排列方法有种，， 一共有， 设， 所以，解得. 9.【答案】ACD 【分析】由线面垂直的性质定理可得可判断A正确；由平行的传递性可判断B不正确；先证明，由线面平行的性质定理可判断C正确；由锥体的体积公式可判断D正确. 【详解】对于A，因为平面， 因为平面，所以， 所以直线MN与直线所成角为，故A正确； 对于B，因为相交，而，所以不平行，故B错误； 对于C，连接，由正方体的性质可得：，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以直线平面，故C正确；    对于D，由正方体的性质可得：平面 三棱锥的体积为，故D正确； 故选：ACD. 10.【答案】BCD 【分析】对于AB,根据题意，求出等比数列以及等差数列的通项公式分析判断，对于C，根据指数函数与一次函数的增长速度分析判断，对于D，根据错位相减法求解判断. 【详解】设公比为，，则 ， 两式作比得 ，进而，因此，故选项B正确. ，因此公差 ，因此，选项A错误. ，指数函数增长速度远快于一次函数， 当时 .因此对任意，总能找到正整数使得，选项C正确. 则， 所以 ， 因此，选项D正确. 11.【答案】BC  【解析】对于，由，得， 因为，所以，故， ，得，所以的图象关于点对称，故C正确； 对于，因为关于对称，所以关于对称，所以为偶函数， 所以， 所以，， 故，所以的周期为， 在中，令，得， 所以， 结合的周期性得，， ，所以，故D错误； 对于，，得， 所以， 所以的图象关于对称，而不是关于直线对称，故A错误； 对于，由得， 因为是奇函数，所以， 所以是以为周期的周期函数，故B正确． 故选：． 由已知可判断是偶函数，是奇函数，由及是奇函数，可得，判断对；由及是偶函数可判断的周期为，进而求和判断错；由，可判断关于对称，错；由，及是奇函数，可得，对． 本题主要考查抽象函数的性质，属于中档题． 12.【答案】/ 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以， 所以. 13.【答案】12 【分析】先求总均值，再用“层内方差+均值差平方”按样本占比加权求和 【详解】由题，设第1层样本量为，第2层样本量为，则， 分层抽样方差 14.【答案】45 【详解】， ， ，又展开式的通项为， 当，解得， ，即展开式中的含项的系数为． 15.【答案】(1)根据已知四棱锥的性质，结合已知条件，以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， 则，设点， 则， ， ． (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，得出相关点和向量坐标，利用向量的数量积为0，推出向量垂直； （2）利用棱锥体积公式求出，进而求出点，得出相关向量坐标，求出平面的法向量，进而利用向量夹角余弦公式求解． 【详解】（1）略 （2）四棱锥体积，解得， ，则，， 设平面的法向量为，则， 令，则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 设二面角为，则， 由图可知，二面角为锐角，则二面角大小为． 16.【答案】函数的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值．   函数在上的最小值为，最大值为  【解析】对函数求导，可得 令，即，移项可得，根据对数的性质，解得 当时，，那么，所以函数在上单调递减． 当时，，则，所以函数在上单调递增． 由单调性可知，当时，函数取得极小值，将代入函数可得：，函数无极大值． 由可知函数在上单调递减，在上单调递增． ，， 比较，，的大小，可得 所以函数在上的最小值为，最大值为 求导，结合导函数判断即可． 结合函数的单调性判断最值即可． 本题考查导数的综合应用，属于中档题． 17.【答案】解：由可得， 又由题，得， 则，              所以，模型中y关于x的回归方程为 当时，模型的年利润增量的预测值为万元， 当时，模型的年利润增量的预测值为万元 由表格中的数据，有，即， 所以模型的小于模型，说明回归模型刻画的拟合效果更好， 所以当时，模型的预测值比模型的预测值，精度更高、更可靠．  【解析】本题考查了散点图的知识以及回归直线方程的应用，决定系数，考查了分析与计算能力，属较综合的中档题． 由题意得出，以及，由算出，从而得出y关于x的回归方程 当时，根据题意算出模型的年利润增量的预测值和模型的年利润增量的预测值 由表格中的数据，有，得关系式从而得出模型的预测值比模型的预测值，精度更高、更可靠． 18.【答案】(1) (2)（i）在定直线上. （ii） 【分析】(1)根据椭圆的定义和离心率求方程； (2)（i）设直线的方程，并与椭圆方程联立整理得到根与系数的关系，同时表示出直线和的方程，利用两个方程得到交点的横坐标，得以证明点在定直线上； （ii）先表示出两个三角形的面积比的形式，结合求得的根与系数的关系进行化简整理得到 的关系，代入分析最终得到的取值范围. 【详解】（1）由椭圆的定义得，解得，又因为离心率， 所以，则， 因此椭圆标准方程为. （2）（i）设过点且斜率不为的直线的方程为，设， 由椭圆方程可知，联立， 整理得， 由根与系数的关系得， 设直线的方程为，直线的方程为， 设，则， 将代入得， 同时将根与系数关系式代入上式，化简整理得， 因为直线的斜率不为，不能同时为，且若假设， 代入到，得； 代入到，得， 将代入到中，整理得，即矛盾，故假设不成立， 即， 故只能，即， 在定直线上. （ii）由题可知， 且，， 所以. 由（i）可知，且， 设，则，代入到根与系数关系中， 即， 将上式化简整理得， 再结合消去， 得， 可得，解得， 所以，则， 则， 故的取值范围为. 19.【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）根据二项分布的数学期望公式计算即可. （2）根据全概率公式计算即可. （3）根据二项分布和组合数的性质计算即可. 【详解】（1）设多传感器融合处理模块中作出正确判断的传感器数目为，则由题意可知. 所以正常情况下作出正确判断的传感器数目的期望为. （2）当传感器的数目为2时，一半为1. 根据题意得，无人机执行正确命令的条件是：作出正确判断的传感器数目不少于1. 设第次判断时，每个传感器作出正确判断的概率为. 设事件表示第次判断为“正常情况”，即；事件表示第次判断为“降级情况”，即； 由题意知，第1次为正常情况，所以. 根据题设条件，若第次执行了错误命令，则第次发生； 若第次未执行错误命令等价于：第次作出正确判断的传感器数目为大于等于1. 由全概率公式，第次发生的概率为： ，因为 ，代入上式得： ，对其进行变形，构造等比数列： ，由于， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 故，即. 记该款无人机第次执行正确命令的概率为，执行正确命令等价于作出正确判断的传感器数目. ，故当传感器的数目为2时，该款无人机第次执行正确命令的概率. （3）设多传感器融合处理模块中作出正确判断的传感器数目为， 当传感器的数目为时，一半的数目为，正常情况下，每个传感器作出正确判断的概率为. 执行正确命令的条件是：作出正确判断的传感器数目满足 ，此时， 无人机执行正确命令的概率为：. 设，则根据二项式系数的对称性得. 令 ，当从取到时，恰好从取到0，所以 . 又因为二项式系数的所有项之和为，所以，解得. 于是，执行正确命令的概率为：. 故当传感器的数目为时，正常情况下，无人机执行正确命令的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $