2026-2027学年江西省抚州市高三数学上学期开学自编模拟卷2

**基本信息** 高三开学一轮复习模拟卷，覆盖集合、函数、几何等主干知识，通过分层设计与真实情境考查数学思维与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、向量、函数图像、数列、圆锥曲线等|第2题结合向量夹角考查充要条件，体现逻辑推理| |填空题|3题/15分|二项式定理、抛物线、数列求和|14题数列分段求和，考查数学抽象与运算能力| |解答题|5题/77分|解三角形、立体几何、概率统计、圆锥曲线、函数导数|17题以军事演习为情境，19题函数与数列结合，考查数学建模与证明能力|

2026-2027学年江西省抚州市高三数学上学期开学自编模拟卷2 （北师大版2019） 一、单选题 1．设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由交集的运算可知. 2．已知单位向量、，则“”是“、夹角为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合向量垂直的数量积性质与单位向量模长为的特征，分别验证两个条件的充分性和必要性即可判断逻辑关系. 【详解】设单位向量、的夹角为，则， 充分性验证：若，根据向量垂直的充要条件可得 ，展开得， 因为是单位向量，即，代入得， 因为，且， 所以，则，充分性成立； 必要性验证：若，则， 所以，所以，必要性成立. “”是“、夹角为”的充要条件. 3．下列选项中，的图象不可以由的图象经过平移得到的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于A，，的图象可由的图象向上平移个单位而得，A不是； 对于B，，的图象可由的图象向左平移个单位而得，B不是； 对于C，，的图象可由的图象向左平移个单位而得，C不是； 对于D，的图象可由的图象上所有点的横坐标变为原来的而得（纵坐标不变），D是. 4．已知数列是等差数列，且，，若，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】利用等差数列的性质求解即可. 【详解】因为数列是等差数列，且，所以, 由于,所以数列的公差为，所以，解得： 5．已知双曲线的一条渐近线过点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由双曲线方程可知一条渐近线方程为， 代入点可得，即， 所以双曲线的离心率为. 6．已知圆上至少有个点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将圆配方得， 因此圆心为，半径； 若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离需满足； 当时，圆上恰好有3个点到直线距离为1； 当时，圆上有4个点到直线距离为1，均满足要求； 由此可得圆心到直线的距离 ， 解得，即. 7．设函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由转化为①或②，由指数函数及对数函数性质可得②无解；对①再转化为，分别构造函数，，再利用导数分别求函数的最大值及的最小值可得. 【详解】函数的定义域为， 由，得，等价于①或②. 由②得，即，所以. 因为对任意，恒有，所以不等式不成立，因此不等式组无解. 由①得，即（）. 令，则，令，解得. 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减； 所以当时，函数有最大值. 要使恒成立，所以. 再令，则，令，解得. 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增； 所以当时，函数的最小值. 要使恒成立，所以. 综上所述，的取值范围为. 8．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4 的正方形，， ，则该四棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以正方形中心为原点建立空间直角坐标系，先由 ， 求出点 的坐标；再利用外接球球心到 的距离相等，求出外接球半径，从而求其表面积． 【详解】设正方形 的中心为 ． 以 为坐标原点，以平行于 ， 的方向分别为 轴、 轴正方向， 以垂直于平面 且向上的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 ． 则，设 ，其中 ． 由 ，得，所以 ． 又因为 ，，所以， 两式相减，得 ，所以 ．代入上式，得 ． 因为 ，所以 ，故 设该四棱锥外接球的球心为 ，因为 ， 所以点在过正方形中心 且垂直于平面 的直线上． 设由 ，得，解得 所以外接球半径满足， 因此外接球的表面积为 二、多选题 9．设，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的虚部为9 D．为纯虚数 【答案】ABD 【分析】根据共轭复数，复数的模与组成以及复数的四则运算法则逐一计算即可. 【详解】对于A，由易得，故A正确； 对于B，因，故B正确； 对于C，，其虚部为，故C错误； 对于D，，是纯虚数，故D正确. 10．一个书架上摆放着4本科普读物、3本历史传记、2本经典文学书籍.现每次从书架上不放回地随机取出一本书，记事件表示“第次取出的书籍是历史传记”，k=1，2，3，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A ，，故A正确； 对于B ，，，，故B正确； 对于C ，，故C错误； 对于D，，，，故D正确. 11．定义在R上的奇函数，满足且在上单调递减，，则（    ） A．函数图象关于直线对称 B．函数的周期为4 C． D．设，则和的图象所有交点横坐标之和为 【答案】AC 【分析】A：将变形为即可判断； B：根据、的大小关系可作出判断； C：根据B中计算出的周期化简，结合的奇偶性可判断结果； D：先分析，的图象的对称性，然后作出，在同一坐标系下的图象，根据图象的交点个数作出判断. 【详解】对于A：因为，所以，所以图象关于直线对称，故A正确； 对于B：因为，所以. 又因为是R上的奇函数，所以，所以， 所以，所以的周期为，又因为， 所以，所以的周期不可能为，故B错误； 对于C：因为的周期为，， 因为是R上的奇函数，所以， 所以，故C正确； 对于D：因为，所以，所以， 所以的图象关于对称，， 所以，所以的图象也关于对称， 作出，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示： 由图象可知：，的交点关于对称，且交点个数为大于等于2的偶数， 所以当且仅当，的图象仅有两个交点时，所有交点横坐标之和才为，故D错误. 三、填空题 12．的展开式中，常数项为________． 【答案】60 【详解】展开式的通项， 令，得，所以常数项为． 13．记抛物线的焦点为，过的直线与C交于，两点，与C的准线交于点，若，且，则_________． 【答案】 【分析】过A、B作准线的垂线，利用抛物线定义将焦半径转化为点到准线的距离，结合向量条件与相似三角形比例关系求得|FB|，再由中点坐标性质和中位线公式计算p. 【详解】 抛物线的焦点为，准线方程为， 分别过点、作准线的垂线，垂足为、， 根据抛物线定义得，， 设，则， 由得，且四点共线， 故， 因为，故， 则，所以， 由于，约去化简得，解得，即， 此时，故为线段的中点， 设准线与轴交点是，所以是的中位线， 则，即. 14．已知数列，的通项公式分别为，，数列满足，，，记为数列前n项和，则使得成立的最小正整数为________． 【答案】24 【分析】就的奇偶性分类讨论求出的通项公式可求最小正整数. 【详解】因为、均为正数数列，故， 故即为，故. 当时，， 此时，故考虑的正整数解. 此不等式即为， 设，则， 因为均为递增数列，故为递增数列， 设， 则，， 故， 但，， ， 故此时的最小值为即的最小值为. 当时，， 此时，故考虑的正整数解. 此不等式即为， 当时，， 故当时，， 而，故无解， 综上，最小正整数为. 四、解答题 15．在锐角中，内角所对的边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若，求的面积. 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）将等式左边用平方差公式展开，化简后与余弦定理的标准形式对照，可得 的值，从而求出 的大小； （2）由内角和求出角，利用正弦定理求出边，再代入面积公式即可求得三角形面积． 【详解】（1）由已知， 整理得， 由余弦定理， 所以，因为，所以，又为锐角，所以. （2）因为，，由(1)知，则， 由正弦定理得， 所以． （） 16．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1) 证明：连接交于点，连接， 因为为菱形，则为的中点， 又因为为的中点，在三角形中，， 且平面，平面， 所以平面． (2) 【分析】（1）连接交于点，根据题意可得，结合线面平行判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，分别求解平面与平面的法向量，结合面面夹角余弦公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）建立如图所示坐标系， 则，，，，， 可得，，， 设平面法向量， 则，令，则 设平面法向量， 则，令，则 设平面与平面夹角， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17．某空军基地进行发射炮弹演习训练，分成甲乙两队进行对抗训练，已知无障碍时甲、乙两队发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为，甲、乙两队空中拦截对方炮弹成功的概率分别为，，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗训练．经过数轮对抗训练后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，演习训练结束．假定各轮结果相互独立．记在1轮对抗中，甲队击中乙队目标为事件A，乙队击中甲队目标为事件B． (1)求概率、； (2)设随机变量表示经过1轮对抗后甲队与乙队击中对方目标次数之差，求的分布列和数学期望； (3)求恰好经过3轮对抗后训练结束的条件下，甲队多击中乙队目标两次的概率． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）事件A表示甲队攻击乙队且乙队拦截失败；事件B为乙队攻击甲队且甲队拦截失败；而无障碍时甲、乙两队发射炮弹攻击对方目标与对方拦截事件为相互独立事件，根据独立事件的概率计算公式计算即可； （2）经过1轮对抗，甲队与乙队击中对方目标数之差包括随机事件：甲击中乙未击中，甲乙都击中对方，甲乙都未击中对方，以及甲未击中乙击中四种情况，由此取随机变量的取值计算概率即可； （3）根据3轮中，每轮都互不影响，故甲队与乙队击中对方目标次数之差可借助（2）中1轮的概率值进行计算． 【详解】（1）记无障碍时甲队、乙队发射炮弹攻击对方目标击中分别为事件，，， 甲队、乙队空中拦截对方炮弹成功分别为事件，，，． ， ． （2）经过1轮对抗，甲队与乙队击中对方目标数之差的可能取值为，，． ， ． ， 的概率分布为： 所以的数学期望． （3）记3轮对抗后训练结束为事件，记甲队比乙队多击中对方目标两次为事件． 记3轮对抗训练结束后甲队与乙队击中对方目标次数之差为， ， ， 所以， ，所以． 在3轮对抗后训练结束的条件下，甲队比乙队多击中对方目标两次的概率为． 18．已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)设是椭圆上关于坐标原点对称的两点，是椭圆上异于的任意一点，直线的斜率分别为．证明：为定值； (3)设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)设，则．设，其中． 依题意：，， ， 由椭圆方程知：，， 代入得， ，为定值． (3) 【分析】（1）根据已知条件列出方程，解出的值即可求得的标准方程； （2）设出点的坐标，根据斜率的定义代入计算即可得到为定值； （3）设直线，根据到的距离为可得，再将其代入面积的表达式，换元变形后利用基本不等式即可求得最大值． 【详解】（1）由离心率，得， 又，所以， 椭圆过点，代入椭圆方程得， 将代入得，从而． 故椭圆的标准方程为． （2）略 （3）设直线，与椭圆：联立，得， 即， 判别式， 原点到直线的距离， 将代入得恒成立， 设，， 则弦长， 的面积， 令，则， 令，变形得， 当时，由基本不等式：，当且仅当，即时等号成立， 此时，故， 当时，， 当直线斜率不存在时，由到直线的距离为可知， 由对称性取，此时，，， 综上可得，面积的最大值为． 19．当时，定义函数： ，完成以下问题： (1)证明不等式：，并指出等号成立条件. (2)若对任意恒成立，求实数k的取值范围. (3)设数列满足，证明：数列单调递减，且对任意正整数n，有. 【答案】(1)因为，所以， 令，则， 则在上单调递减，而，， 则，由零点存在性定理得存在作为零点， 令，，令，， 可得在上单调递增，在上单调递减， 而，，则成立，当且仅当和时取等. (2) (3)因为，所以， 可得，则数列单调递减， 令， 后面可以用数学归纳法证明， 当时，满足， 假定当时，满足，即， 则证明当时，满足即可， 而， 可得，， 则证即可， 即证即可， 故证， 而，， 则证成立， 令，解得，即证， 先证明，，则证， 令，则，， 因为，所以，再证明即可， 即证即可，故证即可， 令，则， 当时，恒成立，在上单调递减， 可得，故得证， 此时得到，故在上恒成立， 可得，即得证， 再证明，则证， 令，可得， 令，则， 令，则， 则在上单调递增，由余弦函数性质得在上单调递增， 得到在上单调递增，而，，则， 由零点存在性定理得存在作为零点， 令，，令，， 可得在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 而，， 且，可得， 由零点存在性定理得存在作为零点， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 而，，则恒成立， 即得证，故得证， 则可由归纳法得到对任意正整数n，有成立. 【分析】（1）利用导数得到的单调性，再求出端点值，进而证明不等式即可. （2）结合上问结论并对参数范围分类讨论，最后求解参数范围即可. （3）利用归纳法并结合题意转化为证明，再构造函数并结合导数证明即可. 【详解】（1）略 （2）由题意得， 当时，恒成立， 当时，，此时满足， 当时，，不满足，排除， 故实数k的取值范围为. （3）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年江西省抚州市高三数学上学期开学自编模拟卷2 （适用于：北师大版 一轮复习） 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知单位向量、，则“”是“、夹角为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列选项中，的图象不可以由的图象经过平移得到的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．已知数列是等差数列，且，，若，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．已知双曲线的一条渐近线过点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．已知圆上至少有个点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．设函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4 的正方形，， ，则该四棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．设，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的虚部为9 D．为纯虚数 10．一个书架上摆放着4本科普读物、3本历史传记、2本经典文学书籍.现每次从书架上不放回地随机取出一本书，记事件表示“第次取出的书籍是历史传记”，k=1，2，3，则（     ） A． B． C． D． 11．定义在R上的奇函数，满足且在上单调递减，，则（    ） A．函数图象关于直线对称 B．函数的周期为4 C． D．设，则和的图象所有交点横坐标之和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中，常数项为________． 13．记抛物线的焦点为，过的直线与C交于，两点，与C的准线交于点，若，且，则_________． 14．已知数列，的通项公式分别为，，数列满足，，，记为数列前n项和，则使得成立的最小正整数为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在锐角中，内角所对的边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若，求的面积. 16．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 17．某空军基地进行发射炮弹演习训练，分成甲乙两队进行对抗训练，已知无障碍时甲、乙两队发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为，甲、乙两队空中拦截对方炮弹成功的概率分别为，，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗训练．经过数轮对抗训练后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，演习训练结束．假定各轮结果相互独立．记在1轮对抗中，甲队击中乙队目标为事件A，乙队击中甲队目标为事件B． (1)求概率、； (2)设随机变量表示经过1轮对抗后甲队与乙队击中对方目标次数之差，求的分布列和数学期望； (3)求恰好经过3轮对抗后训练结束的条件下，甲队多击中乙队目标两次的概率． 18．已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)设是椭圆上关于坐标原点对称的两点，是椭圆上异于的任意一点，直线的斜率分别为．证明：为定值； (3)设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值． 19．当时，定义函数： ，完成以下问题： (1)证明不等式：，并指出等号成立条件. (2)若对任意恒成立，求实数k的取值范围. (3)设数列满足，证明：数列单调递减，且对任意正整数n，有. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $