专题11双曲线离心率的取值范围十类综合题型（压轴题专项训练）高二数学人教B版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦双曲线离心率取值范围，构建“通法归纳-题型精讲-压轴挑战”三阶体系，提炼十类题型核心解法，强化知识逻辑与方法迁移，培养数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1核心解法|整合有界性、三角函数等核心解法|从a,b,c关系切入，构建离心率求解基础逻辑| |题型精讲|10类（每类1典例+3变式）|提炼a,b,c关系、渐近线位置等十类方法|按“概念-原理-应用”链条，实现题型与方法精准对应| |压轴挑战|10题|综合应用函数构造、基本不等式等方法|深化知识内在联系，提升复杂问题解决能力|

学科网（北京）股份有限公司 专题11双曲线离心率的取值范围十类综合题型（压轴题专项训练） 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一 根据a,b,c的大小关系求取值范围 题型二 根据渐近线与双曲线的位置关系求取值范围 题型三 根据图形的位置关系求取值范围 题型四 根据题目条件求取值范围 题型五 与三角函数结合 题型六 构造函数求取值范围 题型七 基本不等式法求最值 题型八 方程有解求取值范围 题型九 角度相关求取值范围 题型十 与正弦定理结合求取值范围 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 离心率取值范围问题是高中数学核心重难点，题型涵盖，双曲线的有界性，三角函数，基本不等式，正余弦定理等，解题需注意：一在求解离心率表达式的过程中考虑不等式，二椭圆自身的有界性，题目的条件，曲线间的位置关系等，均可作为不等式的参考部分. 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据abc的大小关系求取值范围 典例精讲1 已知双曲线的上、下焦点分别为、，是的上支上的一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用切线长定理，结合双曲线的对称性可得，再建立不等关系求出离心率的范围. 【详解】设该内切圆在、上的切点分别为、， 由切线长定理可得，，， 又，，则， 即，解得， 由，即，得，所以． 故选：A. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法： ①定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； ②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解； ③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 题型归纳 离心率的本质是，通过找出a,b,c之间的大小关系求解离心率 变式训练1-1 设双曲线的左、右焦点分别为，若的右支上任意一点，恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，借助双曲线的定义及几何性质列出不等式求出离心率范围. 【详解】依题意，由双曲线定义得，而，则， 令双曲线的半焦距为，则，于是，解得， 所以双曲线的离心率的取值范围是. 变式训练1-2 若直线与双曲线的交点为，，且大于的虚轴长，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线与双曲线方程求出，根据题意列出关于的不等式，再转化为离心率即可. 【详解】将直线代入得， 所以， 因为大于的虚轴长，所以，即， 同时除以得， 解得，所以离心率， 所以的离心率的取值范围是. 变式训练1-3 (25-26高二上·广东茂名·)双曲线的左右焦点分别为，，若在双曲线的右支上存在点P满足，则离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的定义结合，得到，再结合即可求解. 【详解】根据双曲线的定义， 而，∴， ∵， ∴， ∴.∴. 故选：D. 题型二、根据渐近线与双曲线的位置关系求取值范围 典例精讲2. (25-26高二·河南驻马店部分校·期末)直线与双曲线：（，）交于，两点，存在以为的中点，则的离心率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点差法求得，结合已知可得，求解即可. 【详解】设， 因为，两点在双曲线上，所以， 两式相减得， 又为的中点，所以， 所以，所以， 又双曲线的渐近线方程为，为的中点，所以， 所以，两边平方得，所以， 所以，所以，所以，又，所以， 所以的离心率的取值范围是. 题型归纳 双曲线的渐近线方程与夹角可以作为判断直线与双曲线交点个数的判断标准，通过判断直线与渐近线的斜率大小关系判断直线与双曲线的位置关系. 变式训练2-1 已知双曲线的左、右焦点分别是，．若C的渐近线上存在一点P，满足，则C的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用距离差的绝对值计算判断定义结合计算判断. 【详解】解法一：双曲线的渐近线方程为. 当时，满足轨迹不存在，舍去； 当时，满足轨迹为x轴挖去线段，与题意不符，舍去； 当时，满足轨迹为双曲线. 联立方程，得到． 由，解得或（舍去）， 故，解得，故该双曲线离心率的取值范围是． 解法二：上同解法一.双曲线的渐近线方程为， 因为由题意可知与双曲线相交， 所以由双曲线渐近线性质可知只需，即，后仿照解法一即可求得. 变式训练2-2 若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断点在双曲线外部或在双曲线上，得，再结合过该中点的直线斜率可得另一不等式，最后求解出的范围，结合离心率等式即可求解． 【详解】由题意得点在双曲线外部或在双曲线上，则，得， 假设存在以为中点的弦，设弦与双曲线交于点，， 则，， 由点，在双曲线上，得， 两式作差得， 所以， 因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点， 则，也即， 所以，则． 故选：C． 变式训练2-3 已知，，曲线与曲线无公共点，则曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出曲线的渐近线方程，化简的方程可知曲线为双勾函数，要使曲线与曲线无公共点，则，由此求出，即可求出的离心率的取值范围. 【详解】曲线的渐近线方程为：， 可化简为：，所以曲线为双勾函数，其渐近线方程为， 所以要使曲线与曲线无公共点， 如下图： 则，解得：，所以， 所以线的离心率的取值范围为：. 故选：B. 题型三、根据图形的位置关系求取值范围 典例精讲3 (25-26高二·湖南耒阳第一中学等校·)已知双曲线，若圆上存在点使得的中点在双曲线的渐近线上，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线方程，可得渐近线方程，设，根据中点坐标公式，可得Q点坐标，根据Q在渐近线上，得，所以点在直线上，所以直线与圆有公共点.由圆心到直线的距离不大于圆的半径，求得的关系，进而求出双曲线的离心率的取值范围. 【详解】双曲线的渐近线为，即. 设，则. 因为点在双曲线的渐近线上，所以，即. 所以点在直线上. 因为点在圆上，所以直线与圆有公共点. 所以圆心到直线的距离不大于圆的半径，所以，. 设双曲线的焦距为，则，所以，所以. 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B. 题型归纳 双曲线与其他曲线结合时： 考虑几种曲线的位置关系，通过位置关系列出相应不等式。 变式训练3-1 (25-26高二下·重庆南开中学校·)已知两点均在双曲线的右支上，若恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将条件转化为恒成立，结合渐近线的斜率即可求解. 【详解】因为是双曲线右支上的两点，且， 所以，即， 由双曲线性质可知，，所以， 又恒成立，所以，所以，所以. 故选：B 变式训练3-2 (25-26高二上·山东青岛第二中学·期中)已知双曲线的左、右焦点分别是、，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义可得，又，可得，又当轴时最小，可得，即，可得，结合即可求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】由已知，设，则，， 两式相加得， 又，所以， 又，所以， 当轴时最小，此时，所以， 又，则，整理得， 又，两边除以得，解得， 又双曲线的离心率，所以双曲线的离心率取值范围是. 故选：B. 变式训练3-3 已知双曲线的左、右焦点分别是，点A是圆上的一个动点，且线段的中点B在E的一条渐近线上．若E的焦距为4，则E的离心率的最小值是__________． 【答案】2 【分析】设，，由条件出点的轨迹，根据所求曲线与双曲线渐近线有公共点，求出临界状态下渐近线的斜率，数形结合求出有公共点时渐近线斜率的范围，从而求出离心率的范围. 【详解】设，且E的焦距为4，则， 因为点A是圆上的一个动点， 所以． 因为B是的中点， 所以，即， 所以， 所以B点在圆上，同时B在E的一条渐近线上． 设E的渐近线：，所以直线与圆有公共点， 即， 又． 故答案为：2． 题型四、根据题目条件求取值范围 典例精讲4 (25-26高二上·天津南开中学·)已知，是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A，B两点若，则双曲线的离心率的取值范围是_____ 【答案】 【分析】先将圆的方程和渐近线方程表示出来，然后将它们联立，结合韦达定理求出，进而根据已知条件列出不等式，从而可求出结果. 【详解】已知，是双曲线的左、右焦点，所以. 以为圆心，为半径的圆的方程为，双曲线的一条渐近线为， 联立渐近线与圆的方程得，化简得， 设，根据韦达定理得. 所以. 而，所以有，化简得， 所以解得，又，所以. 故答案为：. 题型归纳 题目中给出条件时： 可按照给出条件列出不等式 变式训练4-1 (23-24高二上·福建福州福清高中联合体·期末)已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点.若的左支上存在点，使得，则的离心率的取值范围为________. 【答案】 【分析】利用定义化简条件，根据两点距离公式建立不等式，化简可得关系，由此可求离心率范围. 【详解】因为，，所以. 又因为，连接， 可知，当且仅当A，B，三点共线时取等号， 所以，即， 所以，又， 所以的离心率的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据双曲线的定义分析可知，结合存在性问题分析求解. 变式训练4-2 (23-24高二上·江苏南通海安高级中学·期中)已知、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于A、B两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，且，则此双曲线离心率的取值范围为______. 【答案】 【分析】设圆切、、分别于点、、，推导出，可得出，可得出关于、的不等式，即可求得该双曲线离心率的取值范围. 【详解】设、的内切圆圆心分别为、， 设圆切、、分别于点M、N、G， 过的直线与双曲线的右支交于A、B两点， 由切线长定理可得，，， 所以 ，则，所以点G的横坐标为． 故点的横坐标也为a，同理可知点的横坐标为a，故轴， 故圆和圆均与x轴相切于，圆和圆两圆外切． 在中，， 即，所以，， 所以，所以，则， 所以， 即，所以，可得，可得， 则，因此. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线中三角形内切圆和离心率相关问题的求解，解题关键是能够利用三角形内切圆的知识点结合双曲线的性质，求得之间的等量关系从而求得结果. 变式训练4-3 (22-23高二下·四川成都第七中学·)双曲线：其左、右焦点分别为、，倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，设双曲线右顶点为，若，则双曲线的离心率的取值范围为________． 【答案】 【分析】设，则，然后在中利用余弦定理列方程可表示出，再由可求出离心率的范围 【详解】设，则， 因为直线的倾斜角为，所以， 在中，由余弦定理得， ， 得， 因为，所以 得，， 所以， 所以， 解得， 即双曲线的离心率的取值范围为 故答案为： 【点睛】关键点睛：此题考查求双曲线的离心率的范围，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是根据题意在中利用余弦定理表示出，然后代入已知条件中可求得结果，考查数学转化思想，属于较难题. 题型五、与三角函数结合 典例精讲5 已知双曲线的左､右焦点分别为为上异于实轴端点的动点，若，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理和三角恒等变换化简整理出离心率，再结合三角函数范围求解即可. 【详解】 设，，在中，结合双曲线定义， 由正弦定理得， 化简分子： ， 分母， 代入得 ， 已知，代入整理得， 是三角形内角，故，结合双曲线离心率， 由，， 由，， 因此离心率. 题型归纳 题目中涉及角度： 可以考虑通过正余弦定理，将边长转化为角度，利用三角函数求解最值 变式训练5-1 已知为双曲线（，）上的任意一点，过分别引其渐近线的平行线，分别交轴于点， ，交轴于点，，若恒成立，则双曲线离心率的取值范围为________ 【答案】 【分析】设点，由双曲线的渐近线斜率为，求出点与渐近线平行的直线方程，解得点坐标，进而得，利用恒成立即可求解. 【详解】设点，双曲线的渐近线斜率为， 过点与一条渐近线平行的直线方程为， 令得，令得， 同理过点与另一条渐近线平行的直线方程为， 令得，令得， 所以， 所以 ， ， 由恒成立， 所以恒成立，所以，即， 所以， 所以双曲线离心率的取值范围为. 故答案为：. 变式训练5-2 已知双曲线的左、右焦点分别是，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，且，若，则该双曲线离心率的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用双曲线的定义、几何性质结合向量的数量积，直线与双曲线的位置关系求解即可. 【详解】如图，由双曲线的定义可知，，两式相加得，即，因为， 所以，即，所以为等腰三角形． 设，由于，所以． （当直线与轴重合时，，不满足题意，所以） 取线段的中点，连接，则，且，，于是．在中，， ，， 所以由余弦定理可得， 整理得，所以， 由于，所以，即，所以， 故该双曲线离心率的取值范围是． 故答案为： 【点睛】本题考查了向量、双曲线的知识，深入考查逻辑思维能力、运算求解能力以及数形结合思想．本题需要学生借助双曲线的定义理清各几何量之间的关系. 1.利用双曲线的定义得到为等腰三角形． 2.设，得到相关线段的长及角的大小； 3.利用余弦定理得到双曲线离心率的表达式； 4.借助三角知识求出结果 变式训练5-3 (22-23高二上·甘肃酒泉普通高中·期末)已知、分别是椭圆和双曲线的离心率，、是它们的公共焦点，是它们的一个公共点．且，则的最大值为______． 【答案】/ 【分析】利用椭圆、双曲线的定义以及余弦定理找到、的关系，然后利用三角换元求最值即可. 【详解】设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为， 设，，， 因为，所以由余弦定理可得，① 在椭圆中，，①化简为，即，② 在双曲线中，，①化简为，即，③ 联立②③得，，即， 记，，， 则， 当且仅当，即，时取等号． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 题型六、构造函数求取值范围 典例精讲6 (25-26高二·广东深圳福田区红岭中学·)已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据椭圆与双曲线的定义可得，从而可得，于是可得的取值范围. 【详解】设椭圆与双曲线的焦距为，则， 由椭圆与双曲线的定义得，可得， 因为，所以，即， 则，故，且，则 所以， 由于函数在上为增函数，所以， 则，故的取值范围是. 故选：C 题型归纳 1.求解离心率表达式的过程可以通过形似类比函数 2.通过对应类型函数的单调性，求解最值。 变式训练6-1 (25-26高二下·广东广州第六中学·开学考)已知椭圆和双曲线有公共焦点，左，右焦点分别为，设两曲线在第一象限的交点为，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设椭圆与双曲线的焦距，，由题意可得，用表示出，结合对勾函数的性质即可得答案． 【详解】设椭圆与双曲线的焦距，， 由题意， ，， ，， ， ， ，则 ， ， ，解得， 设，则，， ， 在上单调递增， ． 故选：A． 变式训练6-2 设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易得，再由，，设，可得，两边平方即可求解. 【详解】因为双曲线的渐近线的斜率小于， 所以，则，， 设，则 所以；由于， 因为，所以，则，则， 因为，所以 故选：B 变式训练6-3 (24-25高二上·江苏常州奔牛、二中、武高·期中)设双曲线：的右焦点为，双曲线上的两点关于原点对称，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性结合，得到四边形为矩形，设，，在直角中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，从而利用对勾函数的值域得到的范围，进而由即可得解. 【详解】如图所示： 设双曲线的左焦点，由双曲线的对称性可知，四边形为平行四边形， 又，则，所以平行四边形为矩形，故， 设，，则， 在中，，， 所以，则， 所以， 令，得， 又由，得， 因为对勾函数在上单调递增，所以， 所以 ，即， 则，故， 所以， 所以双曲线离心率的取值范围是， 故选：A 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用椭圆的对称性证得四边形为矩形，再利用椭圆的定义与勾股定理，结合条件得到关于的齐次不等式，从而得解. 题型七、基本不等式法求最值 典例精讲7 (25-26高二上·天津咸水沽第一中学·月考)已知椭圆与双曲线有公共的焦点、，为曲线、在第一象限的交点，且的面积为，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由椭圆的定义和余弦定理结合面积公式求出，再由双曲线的定义和椭圆定义找到a，的关系，代入目标式化简可得，再用基本不等式可求解. 【详解】记椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为、、， 双曲线的实半轴、虚半轴、半焦距分别为、、，设，， 则由椭圆和双曲线定义可得①，②， 两式分别取平方再相减整理得， 记，则由余弦定理得③， ①2③得④， 由面积公式可得，即， 代入④整理得，即， 所以，即， 因为，所以，所以，得， 所以，，即， 所以，即， 所以， 当且仅当，时等号成立，故的最小值为. 故选：A. 题型归纳 求解离心表达式的过程如果出现加和与乘积为定值的情况，可以考虑基本不等式 变式训练7-1 已知椭圆和双曲线有相同的焦点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率.若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据椭圆、双曲线的定义，结合三角形的相似，探索的关系，再利用基本不等式求的最小值. 【详解】如图： 根据椭圆和双曲线的定义，可得 . 又，，所以∽. 所以 . 又，， 所以 ， 当且仅当，即时取“”. 故选：C 变式训练7-2 (25-26高二上·河南光山县第二高级中学·月考)已知椭圆：与双曲线有公共的焦点，，A为，在第一象限的交点，且的面积为2，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则最小值为________. 【答案】8 【分析】设，根据双曲线与椭圆有公共焦点可得，再由的面积为2可知，，再由离心率定义可得，结合基本不等式计算可得当且仅当时最小值为. 【详解】记椭圆中的几何量为，双曲线中的几何量为， 则由椭圆和双曲线的定义可得①，②， 两式平方相减整理得， 记，则由余弦定理得③，如下图： 得， 由面积公式得，则, 代入整理得，即， 故，因为，所以，所以，得， 因此，，则， 所以，即， 所以，当且仅当时等号成立， 即最小值为. 故答案为：8 变式训练7-3 (24-25高二上·辽宁沈阳东北育才学校双语校区·期中)已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，点为两曲线的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，那么的最小值为______. 【答案】 【分析】分别在椭圆和双曲线中，利用焦点三角形中的余弦定理建立等量关系，再构造，利用基本不等式，即可求解. 【详解】设两曲线的半焦距为，由余弦定理得：， 在椭圆中，， 又，，， 则，即， 在双曲线中，， 又，，， 则，即， 从而，得，0 则，，即， 则，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 即的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用椭圆，双曲线定义及余弦定理得到，进而利用基本不等式求解即可. 题型八、方程有解求取值范围 典例精讲8 (25-26高二·河南许昌长葛·期末)已知点为双曲线 的右顶点，点的坐标为，若上存在一点（不与点重合），使得，则的离心率的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由得，整理得： ，与双曲线方程联立得： ，计算即可. 【详解】点为双曲线 的右顶点， ， 若上存在一点（不与点重合），使得，设， ， ，， ， 整理得： ， 与双曲线方程联立得：， 整理得：， 解得： ， 由题意知要使点P存在，须，解得， 又P不与A重合，故，则点P必在双曲线右支上， 则， 整理得：即，结合， . 故答案为： 题型归纳 求解离心率表达式的过程，若含有一元二次不等式或方程。可以通过一元二次方程有解列出对应不等式。 变式训练8-1 已知双曲线的左､右焦点分别是.点为左支上的一点，过作与轴垂直的直线，若到的距离满足，则的离心率的取值范围为___________. 【答案】 【分析】设，，表达出，，从而得到关于的一元二次方程，转化为关于的一元二次方程在上有解问题，结合根的判别式和特殊点的函数值，得到，求出离心率的取值范围. 【详解】设，，则， 由题意得，，， 则， 两边平方得，整理得， 又， 所以， 变形得到， 即上式在上有解， 其中， 令， 则， ， 要想使得在上有解， 只需要开口向上，即， 即，所以，，解得 故离心率的取值范围是.    故答案为： 【点睛】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围). 变式训练8-2 (22-23高二下·广东深圳高级中学·开学考)过双曲线：的左焦点的动直线与的左支交于A、B两点，设的右焦点为.若存在直线，使得，则的离心率的取值范围是______. 【答案】 【分析】由题可设为，，，联立l与双曲线的方程可得、；根据得，将、代入可得关于m的表达式，根据m范围和可求离心率范围﹒ 【详解】依题意知直线的斜率不为0，设的方程为， 联立，消去，得， 设，，则由知，，， 由得， 故，即， 整理得， 将、代入整理得，， 则，∴，故， ∴，两边除以，得，解得， 又∵，∴，故， 又A、B在左支且过，∴，即，故， ∴，∴， 即，则，故，即， 综上：，即． 故答案为：. 【点睛】本题的关键在于根据直线l方程里面m的范围，得到关于a、b、c的不等式，从而求得离心率的范围． 变式训练8-3已知双曲线，过点的两条直线分别与双曲线的上支､下支相切于点.若为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立直线方程与双曲线方程，利用判别式法，结合双曲线的对称性可得离心率的取值范围. 【详解】如图， 设过点的直线，联立， 整理，得， 依题意，得，所以. 由双曲线的对称性，得，所以， 整理，得双曲线的离心率. 故选：D. 题型九、角度相关求取值范围 典例精讲9 (23-24高二上·浙江杭州第二中学·期末)设双曲线的中心为O，右焦点为F，点B满足，若在双曲线的右支上存在一点A，使得，且，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为，所以A是以O为圆心，为半径的圆O与的交点，根据条件结合双曲线的定义得求解即可. 【详解】不妨设A在第一象限． 因为， 所以A是以O为圆心，为半径的圆O与的交点． 设的左焦点为X， 则，， 即， 在圆O上上取一点C，使，则 由双曲线的定义知（a是实半轴长）， 即（c是半焦距）， 由，得，得 ，又离心率，所以， 又， 所以， 故选：B 题型归纳 出现角度关系时，可适当进行转化，当角度系数一致时可以考虑： 1.正余弦定理， 2.三角恒等变换等 变式训练9-1已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为．若，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题中的条件求出，根据三角形两边之和大于第三边得到，再根据，得到，即可求出离心率的取值范围. 【详解】解：如图所示： ，是双曲线的左右焦点，延长交于点， 是的角平分线， ， 又点在双曲线上， ，， 又 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， 即， 在中，，，， 由三角形两边之和大于第三边得：， 两边平方得：， 即， 两边同除以并化简得：， 解得：， 又， ， 在中，由余弦定理可知，， 在中，， 即， 又， 解得：， 又 ， , 即， ， 综上所述：. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出，，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关， ，的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围)． 变式训练9-2已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点P 是 C 上一点且位于第一象限，若的平分线所在直线的斜率与 的平分线所在直线的斜率分别为，且，则C的离心率为________. 【答案】 【分析】设的平分线与的平分线所在直线交于点，的平分线与轴交于点，得到，根据题意，求得，结合，联立方程组求得，求得，得到，结合双曲线的定义和离心率的定义，即可求解. 【详解】设的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点， 的平分线所在直线与轴交于点，， 则， 因为， 且， 所以， 又因为且，所以， 联立方程组，解得， 所以， 因为，所以，所以， 在直角中，因为，所以， 又因为，所以， 所以双曲线的离心率. 变式训练9-3 (24-25高二上·福建龙岩·期末)已知双曲线：的右焦点为，焦距为，点的坐标为．若在双曲线的右支上存在点，使得，且，则双曲线的离心率取值范围是______． 【答案】 【分析】设的左焦点为，由已知作图，可得，根据圆周角定理得，再由三角形外角可得，即得，结合双曲线定义和勾股定理，即可化简得到，进而求出离心率的范围. 【详解】因为， 所以是以为圆心，为半径的圆与双曲线的交点， 设的左焦点为，则， ，， 又，，则． 在双曲线的右支上，，， 又在中，， ，即，解得， 又，．    故答案为： 题型十、与正弦定理结合求取值范围 典例精讲10 已知，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上的一点，是线段的中点，，，则双曲线的离心率的取值范围是______． 【答案】 【分析】由可知，又可得，则．设，，在中，由双曲线的定义及勾股定理可求得，．由根据正弦定理可知，进而可求得离心率的范围． 【详解】由可知， 由是线段的中点，是线段的中点，则，可得．    设，， 在中，由双曲线的定义可知，由勾股定理可知， 则，， 因为，所以由正弦定理可知， 代入整理可得，则， 又，所以． 则双曲线的离心率的取值范围是． 故答案为：． 题型归纳 1.大边对大角，小边对小角 2.通过正弦定理的边角互化，可以将离心率问题转化为角度的问题。 变式训练10-1 (24-25高二上·浙江舟山·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线的右支上一点，，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由锐角三角形，建立不等式组求得的范围，然后由正弦定理用表示出，由双曲线的定义得到等式，从而表示出离心率.由的范围求出离心率. 【详解】设，则， ∵，解得， ， 即由正弦定理可知： ， ∴，， 在双曲线中， 即，即， ∴， ∵， ∴. 故选：D. 【点睛】方法点睛，本题时双曲线上的焦点三角形问题，通过正弦定理和双曲线的定理得到关于离心率的等式.结合题意中的三角形为锐角，建立不等式求得角的范围，从而得到离心率的范围. 变式训练10-2 已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，由正弦定理可得，再由已知可得，根据点在双曲线右支上，得到关于的不等式，从而可求出的范围. 【详解】由题意可得点不是双曲线的顶点，否则无意义 在中，由正弦定理得， 因为， 所以， 所以， 因为点在双曲线右支上， 所以， 所以，得， 由双曲线的性质可得， 所以，化简得， 所以，解得， 因为， 所以， 即双曲线离心率的取值范围为， 故选：C 变式训练10-3 (23-24高二上·江西吉安五所县二中·)已知双曲线（，）左、右焦点分别为，，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理得，，可得在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得，根据在双曲线右支上，得关于的不等式，从而求出的范围 【详解】解：由题意，点不是双曲线的顶点，否则无意义， 在中，由正弦定理得， 又， ∴，即， ∵在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得， ∴，即， 由双曲线的几何性质，知，∴，即， ∴，解得，又，双曲线离心率的范围是． 故选：C． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设为圆上一点，得到的中点，求得，结合直线与圆有公共点，得到，求得，进而求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】因为双曲线的右焦点为，则，即， 且双曲线的渐近线方程为， 设为圆上一点，且圆心为，半径， 则的中点在其渐近线上，可得， 即，所以点在直线上， 因为圆心到直线的距离为， 因为圆上存在点满足条件，所以直线与圆有公共点， 所以，即，可得，可得，所以， 又因为双曲线的离心率，所以， 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B. 2．(24-25高二上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)已知点是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若双曲线的离心率的取值范围是，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设椭圆与双曲线的离心率分别为、，利用圆锥曲线的定义与余弦定理建立、、的关系式，进而推导出，结合，利用不等式的性质算出的取值范围. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，它们的焦距为，且 设点P在第一象限，则根据椭圆与双曲线的定义，可得，解得 在中，，由余弦定理得， 即，整理得 两边都除以c，可得， 设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为， 则可得，整理得， 因为，所以，可得， 所以，可得，可得. 故选：C. 3．(24-25高二上·重庆第一中学校·月考)已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，结合椭圆和双曲线的定义得到的关系式，根据取值范围分析函数单调性得到结果. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，它们的公共焦距为，不妨设点在第一象限. ∵在的中垂线上， ∴， 由椭圆、双曲线的定义得：， ∴，整理得， ∴，即， ∴， ∴， 令，由定义法可证在为增函数，且， ∵， ∴. 故选：B. 4．已知双曲线上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，则可取，代入双曲线方程整理可得，结合渐近线列式求解即可. 【详解】由题意可知：双曲线的渐近线方程为， 设点，则可取， 则，整理得， 解得，即，可得，则， 所以该双曲线离心率的取值范围是． 故选：A. 【点睛】关键点点睛：1.巧妙设点：设点，根据垂直和长度关系可取； 2.根据渐近线的几何意义可得：. 5．如图，双曲线的左右焦点分别为，，若存在过的直线交双曲线右支于，两点，且，的内切圆半径，满足，则双曲线的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据内切圆切线长性质和双曲线定义得到两圆与有公共切点，且是双曲线右顶点，从而可知轴；接着通过解三角形知识计算得到焦点弦的斜率是；最后通过渐近线与相交弦斜率关系，得到离心率范围. 【详解】设，的内切圆圆心分别为, 如图，设的内切圆与轴的切点为，由双曲线定义，根据圆的切线长性质得，进而得点的横坐标为，即点是双曲线右顶点； 同理可得点也是的内切圆与轴的切点，连接，，，从而可知轴， 设直线的倾斜角为，∴，，又，∴，， ∴，解得， ∴，∴，则离心率. 故选项为：B. 【点睛】根据内切圆切线长性质和双曲线定义得到两圆与有公共切点，且是双曲线右顶点是第一个突破口；通过解三角形知识计算得到焦点弦的斜率是第二个突破口；通过渐近线与相交弦斜率关系得到离心率范围是第三步.本题对相关知识的基本功要求较高，运算能力、数形结合能力要求高，具有典型模型特点. 6．(23-24高二下·云南开远第一中学校·开学考)已知是双曲线的两个焦点，为上除顶点外的一点，，且，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出根据题意有，利用余弦定理表示出，，结合，求出离心率的取值范围. 【详解】    设，显然， 则， 所以的离心率．由于， 所以，所以的取值范围是； 故选：A 7．(25-26高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期末)直线与双曲线左、右支各一个交点，则双曲线离心率的取值范围为___________． 【答案】 【分析】联立直线和双曲线方程，结合韦达定理列不等式求解. 【详解】联立直线和双曲线方程得到，， 设直线和双曲线的交点的横坐标为， 结合题意与韦达定理，， 即，即， 即，则. 故答案为： 8．(25-26高二上·贵州六盘水·期末)设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】先根据双曲线渐近线斜率的取值范围确定的取值范围，再用表示出，然后分析的取值范围. 【详解】因为双曲线的渐近线的斜率小于，所以. 又，， 设，则， 则， 因为 ， 所以 ， 即 . 故答案为： 9．(24-25高二上·河南豫东名校·期末)已知双曲线 的两条渐近线将双曲线所在平面分为上，下，左，右4个部分（不含渐近线上的点），若位于上部分，不位于下部分，则的离心率的取值范围为______． 【答案】 【分析】依题意，需使渐近线的斜率，利用离心率的定义计算即可求得范围. 【详解】双曲线的两条渐近线方程为， 因为位于上部分，不位于下部分，而， 故得，则的离心率． 故答案为：. 【点睛】思路点睛：正确理解渐近线把平面分成4个部分内的点的特征，建立渐近线斜率与对应点和原点所在直线斜率之间的大小关系，即可利用齐次式不等式求得离心率范围. 10．(24-25高二上·浙江余姚中学·期中)已知双曲线，若双曲线不存在以点为中点的弦，则双曲线离心率的取值范围是__________________． 【答案】 【分析】由题意知点必在双曲线外部或在双曲线上.若存在以为中点的弦，根据点差法可得弦的斜率为，要使弦不存在，则弦与双曲线至多一个交点，弦的斜率大于等于渐近线斜率，如此即可得到的取值范围，进而求出离心率的范围﹒ 【详解】由题意得点在双曲线外部或在双曲线上，则，得. 假设存在以为中点的弦，设弦与双曲线交于点，则， 由点在双曲线上得，， 两式作差得，， ∴. ∵不存在该中点弦，∴直线与双曲线至多一个交点，则，， ∴， ∵，∴，即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于分析出点在双曲线外部或在双曲线上，在这个前提下确定当直线与双曲线至多一个交点时直线斜率与渐近线斜率的关系即可得到结果. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题11双曲线离心率的取值范围十类综合题型（压轴题专项 训练) 目录 通法归纳一明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一根据a,b,c的大小关系求取值范围 题型二根据渐近线与双曲线的位置关系求取值范围 题型三根据图形的位置关系求取值范围 题型四根据题目条件求取值范围 题型五与三角函数结合 题型六构造函数求取值范围 题型七基本不等式法求最值 题型八方程有解求取值范围 题型九角度相关求取值范围 题型十与正弦定理结合求取值范围 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 夙通法归纳一明晰核心解法，助力能力迁移 离心率取值范围问题是高中数学核心重难点，题型涵盖，双曲线的有界性，三角函数，基本不等式， 正余弦定理等，解题需注意：一在求解离心率表达式的过程中考虑不等式，二椭圆自身的有界性，题目的 条件，曲线间的位置关系等，均可作为不等式的参考部分 ◆ 夙题型精讲精讲典型通法，奔实解题根送 1/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型一、根据abc的大小关系求取值范围 特进1已知双曲线c一10>0b>0的正、下焦点分别为FFpc的上支上的 (不在y轴上)，PF2与x轴交于点A,△PAF1的内切圆在边AF1上的切点为B,若AB>2b,则C的离 心率的取值范围是() B. D. 3 -00 .+00 题型归纳 离心率的本质是，通过找出a,b,c之间的大小关系求解离心率 变武训练11设双曲线E:号-兰-1(a>0,b>0的左、右焦点分别为R,F:若E的右支上任意一点p a2 b2 PF<3|PF恒成立，则双曲线E的离心率的取值范围是() B.(1,2] c.（1,3] D.(2,+o 变式训然12若直线n后与双曲域C:22一1，月B“AB大于⌒的虑轴 长，则C的离心率的取值范围是() A.1,5) B.1,6 C., D.旧V6,+oo 变式训练1-325-26高二上广东茂名)双曲线x,y =1a>0,b>0的左右焦点分别为F1'F:若在双曲 a2 b2 线的右支上存在点P满足PF=2PF,则离心率的取值范围是（） A.2,+o B.3,+o c.1,2 D.1,3 2/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二、根据渐近线与双曲线的位置关系求取值范围 2巧26高三河南驻马店部分校期末直线，万双曲线c:￥、兰1Ca>0'b>0》交 两点，存在以M 为AB的中点，则C的离心率e的取值范 A.1,3 B. 3,+o0 c.1,5 D.5,+o∞ 题型归纳 双曲线的渐近线方程与夹角可以作为判断直线与双曲线交点个数的判断标准，通过判断直线与渐近线的斜 率大小关系判断直线与双曲线的位置关系 变式训练21已知双曲线C:X.二=1a>0,b>0的左、右焦点分别是F'F: 若C的渐近线上存在一 a2 b2 点P,满足PF-PF,=4b,则C的离心率的取值范围为（） B 17 c. 5 +o D V17 +0 2 4 式训练22若双由金一。1a>0b20个释在以a,2a为原的路，则孩双自我离心车的取值的 围为() c. 523 D. 2’3 变式训饿23已知a>0'6>0曲线C,:兰，广=1与曲线C :义.义=-1无公共点， 则曲线C的离心率 a2 b2 的取值范围为() A.(1,V2] B.[2,+o) c.(1,3] D.[V3,+0) 3/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三、根据图形的位置关系求取值范围 奥糙进3526高二面天阳第中学已双用孩c:等1O>0,6>0,A-20若员 M:x-2+y-2P=1上存在点p使得A的中点Q在双曲线c的渐近线上，则双曲线c的离心率的取值范 围为() A.(1,2] B.[2,+∞） c.(1,3] D.[3,+0) 题型归纳 双曲线与其他曲线结合时： 考虑几种曲线的位置关系，通过位置关系列出相应不等式。 变式训练3-12526商二下重庆南开中学校已知AX1,y,BX,y,两点均在双曲线 。~=1。>0b>0的右支上，若xx2>yy,恒成立，则双曲线c的离心率的取值范围为 A.1,2 B.1,2 C.2,+o D.日2，+0 变式训练3习256高三上山东青岛第二中学·期中己知双曲线c:×=1a>0,b>0的左、右焦点分 别是F,F,:过点F,的直线卢双曲线C的右支交于AB两点，若AF,+BF,=4F,F则双曲线C 离心率的取值范围是() A.2+3,+∞ B.1,2+3 C.旧7-2，+oo D. 变式训练33已双曲线E:。Q>0,b>0的、石贰分别是E瓦1是圆 4/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (x+2P+(y-4}=4上的一个动点，且线段AF,的中点B在B的一条渐近线上.若E的焦距为4，则E的 离心率的最小值是 题型四、根据题目条件求取值范围 典例精进425：26高二上天津南开中学已知F,?F,是双曲线E:士-云=1a>b>0的左、右焦点，以 a2b2 F,为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条浙近线交于A,B两点若ABF,F,则双曲线卫的离心率的 取值范围是 题型归纳 题目中给出条件时： 可按照给出条件列出不等式 变式训练4123,24高二上福建福州福清高中联合体期末)已知双曲线W:.兰=1a>0,b>0的左、 a2 b2 右焦点分别为F?F,'点A0,b若w的左支上存在点B使得BA+2BF,sBF,'则w的离心率的 取值范围为 变式训练422324高=上江苏南通海安高级中学·期中已知F八B,分别为双曲线×.号=1Q>0,b>0 a2 b2 的左、右焦点，过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，记△AF1F2的内切圆半径为r1,△BF1F2 的内切圆半径为，且，r2≤3a2,则此双曲线离心率的取值范围为 变式训练4322.23高二下四川成都第七中学双曲线日：￥.上=1(a,b>0其左、右焦点分别为F a2b21 F2,倾斜角为乃的直线PF,与双曲线H在第一象限交于点P,设双曲线H右顶点为A,若PF≥6AF, 5/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则双曲线H的离心率的取值范围为 题型五、与三角函数结合 典倒精进5已知双曲线C:号二=1a>0,b>0的左.右焦点分别为F,厂，P为C上异于实辅端点的动点， a2 b2 若tan ∠PPF:.sin∠FR,P专测C的离心率e的取位范国为() 2 A.1,2 B.2,3 c.1,3 D.1,4 题型归纳 题目中涉及角度： 可以考虑通过正余弦定理，将边长转化为角度，利用三角函数求解最值 变式训练51已知s为双曲线X兰=1（a>0'b>0)上的任意一点，过s分别引其渐近线的平行线，分 a b2 别交x抽于点MN:交y抽于点pQ若Lt ,oP+oQ≥4恒成立，则双曲线离心率 的取值范围为 变式训练5-2已知双曲线X、1a>0,b>0的左、石点分别是F,E,’过原E的直线，与双曲线的 左、右两支分别交于点M,N:且|MN=4a'若F,M·F,N≥0：则该双曲线离心率的取值范围是一· 变式训练5-3(22-23高二上甘肃酒泉普通高中.期末)已知e1、e2分别是椭圆C1和双曲线C2的离心率，F1、 F2是它们的公共焦点，M是它们的一个公共点.且∠F1MF2=60,则。+。的最大值为， e1 e, 6/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型六、构造函数求取值范围 典例精进6(25-26高二广东深圳福田区红岭中学)已知椭圆℃，： 足+兰=1la,>b,>0与双曲线 C,:兰=10，>0，b,>0有相同的左、右焦点F1,F若点p是C,与C,在第一象限内的交点，且 a b F,F,=2PF,设C,与c,的离心率分别为e,e,则e,+e,的取值范围是() A. 3,+0 B. + 0 题型归纳 1.求解离心率表达式的过程可以通过形似类比函数 2.通过对应类型函数的单调性，求解最值。 变式训练612526商二下矿东州第六中学开学考已知精圆C:誉+ a b =1(a1>b,>0和双曲线 C,:,之=1l0,>0,b,>0有公共焦点，左，右焦点分别为F,E,:设两曲线在第一象限的交点为M a,b 设椭圆c,的离心率为e,:双曲线C,的离心率为e,若E,F,=6MF,则e,e,的取值范围为（） 33 A. 42 B. 0 3-2 c. 35 D. 43 变式训练62设椭圆X+上=1a>b>0与双曲线父兰-1的离心率分别为c,e, 双曲线的渐近线的斜 a2 b2 a b2 元2V5 率小于5，则e,+e的取值范围为（） 7/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.R2,2 B. c. 3545 0 1+ 5’5 1 5 变式训练6324,25商二上江苏猫州奔牛、二中、武高期中设双曲线c:号兰=1a>0,b>0的右焦 a2 b2 点为F,双曲线C上的两点A,B关于原点对称，且满足F函·FB=0,FB<FA≤3FB,则双曲线C的离 心率的取值范围是() 0 +00 B.2,+o + D.2,+0 题型七、基本不等式法求最值 奥例精进72526商二上天津成水洁第一中学月考1己知椭圆℃，：士+号=1a>925双曲线c,有公共的 a 2 焦点F1、F2,A为曲线C1、C2在第一象限的交点，且△AF1F2的面积为2，若椭圆C1的离心率为1，双 曲线C,的离心率为e,则ge+e的最小值为（） A.8 B.16, C.7 D. 7-2 题型归纳 求解离心表达式的过程如果出现加和与乘积为定值的情况，可以考虑基本不等式 变式训练71已桶圆C:兰+关=1a>b>0利双曲线C,:￡，兰=1m≥0，n>0有相同的焦点 d m n F1,F2,P为两曲线在第一象限的交点，e1,e2分别为曲线C1,C2的离心率若∠PF1F2=∠F2PO,则 e2+二的最小值为() es A.2V2 B.3V2 c.4V2 D.6V2 变式训练7-2(25-26高二上河南光山县第二高级中学月考已知椭圆C,:号+号=1(a>2)与双曲线C, a22 8/14 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 有公共的焦点F1,F2,A为C1,C2在第一象限的交点，且△AF1F2的面积为2，若椭圆C1的离心率为1， 双曲线C的离心率为e,则ge+e最小值为 变式训练7,324-25高上江宁沈阳东北育才学校双语校区期中吧知椭圆C1:X+1m>>0与双 m n 步=1la>0,b>0有共同的焦点E'F点p为两曲线的-个公共点，且∠F,PE,=60, 曲线C2 a2 b2 椭圆的离心率为e:双曲线的离心率为g,那么e+e4 e 2的最小值为 题型八、方程有解求取值范围 典例精进825：26高二河南许昌长葛期利吧知点A为双由骏c1a>0,b>0的右项点，点Q一 的坐标为5a,0,若C上存在一点P(不与点A重合)，使得AP⊥PQ,则C的离心率的取值范围为 题型归纳 求解离心率表达式的过程，若含有一元二次不等式或方程。可以通过一元二次方程有解列出对应不等式。 变式训练81已知双曲线C:兰=1a>0,b>0的左，右焦点分别是F,F,点M为C左支上的一点，过 a2 b2 F,作与x轴垂直的直线，若M到的距离d清足MFd。则C的离心率e的取值范国为 变式训练82223高下系深同吸中学开学过双践r名1Q>0.b>0的左焦点r的 动直线与T的左支交于A、B两点，设Γ的右焦点为F2.若存在直线！，使得AF2⊥BF2,则T的离心率的 取值范围是 9/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式训然83已知双曲线E:号=1a>0,b>0过点M-b,0的两条直线1，l,分别与双曲线E的上 支、下支相切于点A,B.若△MAB为锐角三角形，则双曲线E的离心率的取值范围为() B 6 只5 +00 D 6 ,+00 题型九、角度相关求取值范围 典例精进9(23-24高二上浙江杭州第二中学期末)设双曲线T的中心为O,右焦点为F,点B满足 2FB=OF,若在双曲线T的右支上存在一点A,使得OA=|OF,且∠OAB≥3∠OBA,则T的离心率 的取值范围是() A. 2V15-22V15+2 B 2V15+2 ，7 7 C 3V15+3 D. 3/15-33V15+3 7 7 题型归纳 出现角度关系时，可适当进行转化，当角度系数一致时可以考虑： 1.正余弦定理， 2.三角恒等变换等 变式训练91已知F'F,分别是双曲线X 日=1(Q>0,b>0)的左、右焦点.点p在双曲线右支上且不 与顶点重合，过F,作∠F,PF,的角平分线的垂线，垂足为A若F,A=R5b:则该双曲线离心率的取 值范围为() A.1,2 B. 10/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c.2,3 D. 变式训练9-2已知双曲线C:兰=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F点P是C上一点且 位于第一家限，若∠PF,F,号∠F,PF的平分线所在直线的斜率与∠PFF,的平分线所在直线的 斜率分别为k1,k2,且k1k2=1,则C的离心率为 变式训练93(2425高=上福建龙岩期末已知双曲线c:号.兰=1a>0,b>0的右焦点为F,焦距为 a2 b2 2cc>0,点A的坐标为2c,0.若在双曲线C的右支上存在点B,使得OB=OF,且 ∠OBA≥3∠OAB,则双曲线C的离心率取值范围是 题型十、与正弦定理结合求取值范围 奥例猫进10已知FF,分别是双面线C,:兰=1a>0,6>0的左、右焦点，p是双曲线右支上的 a2 b2 点，E是线段pF,的中点，O元·FP=0'sin∠PF,F1≥4sin∠PF,F,则双曲线C,的离心率的取值 范围是 题型归纳 1.大边对大角，小边对小角 2.通过正弦定理的边角互化，可以将离心率问题转化为角度的问题。 变式训练1012425高=上浙江舟山期未已知双曲线C:誉兰=a>0,b>0的左、右焦点分别为 a2 b2 F1,F2,点P为双曲线C的右支上一点，∠PF2F1=2∠PF1F2,若△F2PF1为锐角三角形，则双曲线 C的离心率的取值范围为() A.5,22 B.1,2+1 C.22,+o D.2+1,3+1 11/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式训练102已知双面线兰=1(a>0,b>0左，右焦点分别为F,c,0,F,引c,0:若双曲线右支上 a2 b2 a 存在点P使得in2PF,E,sin2PF,E,则离心率的取值范围为(） A.IR2+1,+0 B.1,2+1 c.1,2+1 D.R2+1,+0 空式训练1032324高二上江西吉安五所县二中)已知双曲线父二=1a>0b>0)左、右焦点分别 a2 b2 C 为E1-c,0,F,c,0,若双曲线右支上存在点P使得in∠PF,E,5in2PF,F,则离心率的取值范 围为() A0,2-1 B.2-1,1 c.1,2+1 D.旧2+1，+0 同压轴挑战一成克高难压轴，突威思缘上限 1. 已知双曲线C:兰兰=1a>0,b>0)的右焦点为F,2,0y若圆M:(x+2P+y-6P=4上存在点p a2 b2 使得PF2的中点在C的渐近线上，则C的离心率的取值范围为() A.[2,+o) B.[3,+o) c.(1,2] D.(1,3] 2.(24-25高二上吉林长春东北师范大学附属中学.期末)已知点F1,F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F,P℉，=60，若双曲线C的离心率的取值范围是32,6，则椭圆C,的 4’2 离心率的取值范围为() 12/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A. 22 B.1V2 c.[V231 D. 4’2 2’2 2’2 3.(24-25高二上重庆第一中学校月考)已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点， 且PF>PP,线段PF,的中垂线经过F,记椭圆的离心率为e,双曲线的离心率为，则2+4e,的取值 e, 范围是() A.6,+o B.7,+o c.6,7 D.5,+∞ 4.已知双曲线x2y Ia,b≥0上存在关于原点中心对称的两点A,B,以及双曲线上的另一点C,使得 △ABC为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是() A.只2，+∞ B.3,+oo C.2,+0∞ D. 5.如图，双曲线E:义上=1的左右焦点分别为F'下，若存在过F,的直线交双曲线E右支于A'B两 a2 b2 点，且△AF1F2,△BF1F2的内切圆半径r1,r2满足3r1=4r2,则双曲线E的离心率取值范围为() A.1,3 B.1,7 c.2,43 D.1,43 6.(23-24高二下，云南开远第一中学校开学考)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点，P为C上除顶点外的一 点，|PF,=3PF且∠F,PF,>60,则c的离心率的取值范围是（） 13/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A. B. 2,3 C.1,2 D.3,3 7.(25-26高二上湖北华中师范大学第一附属中学.期末)直线 8京-1a>0,b>0左、 y=x+1与双曲线父.y 右支各一个交点，则双曲线离心率的取值范围为 8.(526高=上贵州六盘水期末设椭圆号+兰=1a>b>0与双曲线兰=1的离心率分别为e,6 a b2 a b2 双曲线的渐近线的斜率小于V5,则31的取值范围是 5e2 高二上河南豫东名校期末)已知双曲线C:父.y=1(a>0,b>0的两条渐近线将双曲线所在 面分为上，下，左，右4个部分（不含渐近线上的点），若A1,2位于上部分，B-1,-1不位于下部分， 则C的离心率的取值范围为一· 10.24-25高二上浙江余姚中学期中已知双曲线C:号.兰 :产古=1la>0,b>0若双曲线不存在以点2a,dl 为中点的弦，则双曲线离心率e的取值范围是 14/14