专题09双曲线离心率十二类综合题型（压轴题专项训练）高二数学人教B版选择性必修第一册

**基本信息** 以十二类典型题型为框架，系统整合几何与代数方法，构建双曲线离心率问题的通法迁移体系，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1核心方法|换元简化计算、对称转化坐标、二级结论应用|从离心率本质出发，建立基本计算策略| |题型精讲|12类题型（每类1典例+3变式）|内切圆（等面积/切线长）、圆（对称性/方程）、外接圆（正弦定理）、余弦定理（齐次化）、斜率（点斜式/点差法）等|以离心率为核心，串联圆、三角形、向量等知识，形成“概念-原理-应用”链条| |压轴挑战|10道综合题|多方法交叉应用（如反射光学性质+几何关系）|深化复杂情境下的逻辑推理与知识整合能力|

学科网（北京）股份有限公司 专题09双曲线离心率十二类综合题型（压轴题专项训练） 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一 内切圆与离心率 题型二 圆与离心率 题型三 外接圆与离心率 题型四 余弦定理与离心率 题型五 斜率与离心率 题型六 渐近线与离心率 题型七 周长与离心率 题型八 面积与离心率 题型九 角平分线与离心率 题型十 反射与离心率 题型十一 向量与离心率 题型十二 带点法与离心率 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 双曲线的离心率问题是高中数学核心重难点，题型涵盖范围较广，知识点综合性强，包含圆，斜率，渐近线，周长与面积，角平分线等，解题需注意：一离心率计算量大可以采取换元法，二是双曲线具有对称性，注意利用的对称性转化点坐标，三双曲线二级结论较多，小题可以适当使用. 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、内切圆与离心率 典例精讲1 (25-26高二下·广西河池·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，直线与双曲线的右支交于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知内切圆的半径，可利用焦点三角形面积公式建立等式，得到关于的表达式，根据余弦定理建立的齐次式，进而计算离心率． 【详解】如图，作出符合题意的图形， 由直线，整理可得，恒过点；故直线过点； 由点到直线的距离公式可知到的距离为； 则（为内切圆半径）， 因为点在右支上，所以， 则； 又因为；所以， 解得，故； 故，解得； 因为点在右支上，斜率为负，故，故， 代入直线方程可得，解得； 因为在双曲线上，所以代入可得， 由整理可得， 由；则； 则原式化简可得， 两边同乘可得， 约分可得 即，整理得； 即，化简得， 化简得，解得或或； 由题意得，则符合题意，故A正确. 题型归纳 内切圆问题通常考虑： 1.等面积法 2.角平分线 3.切线长相等 变式训练1-1 (25-26高二下·贵州部分学校联考·期中)已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，为双曲线上位于第二象限的一点，，的内切圆的圆心为，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据内切圆的性质及双曲线定义可得，再求出，结合直线的斜率得到即可求解． 【详解】由题可知，， ，又， ，则， 当时，，解得， ，为双曲线上位于第二象限的一点， ，又直线的斜率为， ， 解得，. 变式训练1-2 (25-26高二上·湖南岳阳岳阳楼区·期末)设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与轴切于点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出，由，利用之间的关系得到关于的方程，解出即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为：，即， 到渐近线的距离为， ，则直角的内切圆的半径为， 如图，设三角形的内切圆与切于，则， 又，，， 即，则，， 同时除以，得，，. 故选：B. 变式训练1-3 (25-26高二上·浙江衢州·)已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，当时，的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由双曲线的定义得到，利用余弦定理得到，解得，利用计算出，利用的周长为即三角形的面积公式得到，代入，的值，经过整理，通过计算求出双曲线的离心率的值. 【详解】双曲线：（，）的左右焦点分别为，， 为双曲线右支上一点， 设，， ， ，， ，. ， ，， ，， 的周长为， 的内切圆半径为， ， 又， ， ，，， 转化为， ， ， ， ， ， 即， 双曲线的离心率，. 故选：D. 题型二、圆与离心率 典例精讲2 (25-26高二下·重庆鲁能巴蜀中学校·) 是双曲线 的左、右焦点，若双曲线的左顶点关于其渐近线的对称点恰好落在以 为圆心、以半虚轴长 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】设左顶点关于渐近线的对称点为， 则，解得，即， 已知在圆上，即， 化简得，代入化简得：， ， ，解得（舍去）或， 双曲线的离心率为2． 题型归纳 与圆结合时： 1.考虑圆的对称性 2.考虑圆的方程 3.考虑圆的圆心与半径的性质 变式训练2-1 (25-26高二上·贵州遵义仁怀周林高级中学·)设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线 与圆相切，切点为，延长交的右支于点，且，则的离心率为_________． 【答案】/ 【分析】取中点为，由题意易得，，，在中由勾股定理列出方程，即可得到，再由解出答案. 【详解】 不妨设点在轴上方，如图所示：取中点为，连接， 因为直线与圆相切，即， 所以在中，， 又 所以，， 由双曲线的定义知： 所以， 在中分别为的中点， 所以为的中位线， 所以，且， 又，所以， 在中，， 所以， 化简得：， 所以双曲线的离心率. 变式训练2-2 (25-26高二·浙江衢州第三中学等校·期中)已知双曲线的左右焦点分别为，以C的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与交于两点，且，则的离心率为______． 【答案】 或 【分析】当在双曲线的两支上时，先由正弦定理得到，再由双曲线的定义得到，得到，最后在三角形中由余弦定理化简得到离心率为.当在双曲线的左支上时，，，类比上一种情况求解得到离心率为 . 【详解】设双曲线的方程为， 则圆的方程为，直线与圆的切点为连接， ①如图所示，当在双曲线的两支上时， 由题可知， ， ，则 ， 因为，所以； 在三角形中由正弦定理得到， 即，得到； 由双曲线的定义得到，所以， 在三角形中由余弦定理得 ， 即，化简得到 . 此时，离心率为 . ②如图所示，当在双曲线的左支上时，， ，由正弦定理得； 由双曲线的定义得到，所以， 在三角形中由余弦定理得 ， 即，化简得到 . 此时，离心率为 . 综上的离心率为 或. 变式训练2-3 (25-26高二上·浙江杭州师范大学附属中学·期中)若圆为双曲线的“伴随圆”，过的左焦点F与右支上一点Q，作直线l交“伴随圆”C于A，B，若，则的离心率为_________． 【答案】 【分析】取的中点，右焦点，设，结合双曲线定义，通过，，结合勾股定理，列出方程即可求解. 【详解】 设双曲线左焦点，右焦点，满足，离心率， 由，设， 则总长度， 的中点满足， ，因此是的中点 原点是中点，因此是的中位线， 得： ，且， 由双曲线定义：在双曲线右支，故， 代入得，因此， 是圆的弦中点，故， 由勾股定理： ，其中（半径），， 代入得： 展开化简得，，故， 由，，得，即是直角三角形， 由勾股定理： ， 代入，，， 得 化简得，即， 因此离心率. 题型三、外接圆与离心率 典例精讲3 (25-26高二下·云南民族大学附属高级中学·期中)已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过其右焦点作轴的垂线交双曲线于，两点，设的内切圆半径为，外接圆半径为，若，则双曲线的离心率为________． 【答案】或 【分析】本题考查双曲线的定义和简单几何性质的应用，由已知分别将，用，，表示，然后由求解即可． 【详解】由已知的横坐标为，所以，得， 则由双曲线的定义有， 因为的内切圆半径为， 所以由等面积得 ， 所以 ， 由于为直角三角形，斜边为， 所以， 又，所以， 化简得 ， 所以 ， 解得或． 题型归纳 外接圆知识点： 1.外接圆半径考虑正弦定理 2.外接圆圆心为中垂线的交点 3.圆中需注意随时注意直径所对的圆周角是直角 4.圆的性质需要随时考虑。 变式训练3-1 已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，点在上，是等腰三角形，且外接圆面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】不妨设点在第一象限，作出图形，分析可知，利用正弦定理求出的值，进而可得出直线的斜率，求出直线的方程，结合二倍角的正切公式以及点斜式可得出直线的方程，可求出点的坐标，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可求出双曲线的离心率的值. 【详解】不妨设点在第一象限，如下图所示： 由图可知，，且， 因为为等腰三角形，则， 设的外接圆半径为，则，可得， 由正弦定理可得，则，即， 易知，为锐角，则， 所以，， ， 所以，直线的方程为，直线的方程为， 联立，解得，即点， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，可得， 因此，双曲线的离心率为. 故选：A. 变式训练3-2 (23-24高二上·江苏盐城阜宁中学·期中)已知双曲线的左、右顶点分别为、，是上一点，为等腰三角形，且的外接圆面积为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设点在第一象限，作出图形，分析可知，利用正弦定理求出的值，进而可得出直线的斜率，求出直线的方程，结合二倍角的正切公式以及点斜式可得出直线的方程，可求出点的坐标，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可求出双曲线的离心率的值. 【详解】不妨设点在第一象限，如下图所示： 由图可知，，且， 因为为等腰三角形，则， 设的外接圆半径为，则，可得， 由正弦定理可得，则，即， 易知，为锐角，则， 所以，， ， 所以，直线的方程为，直线的方程为， 联立，解得，即点， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，可得， 因此，双曲线的离心率为. 故选：C. 变式训练3-3 (23-24高二上·天津南开区·)已知双曲线C：，为坐标原点，为双曲线的左焦点，若的右支上存在一点，使得外接圆的半径为，且四边形为菱形，则双曲线的离心率是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设双曲线的右焦点为，连接，易证为直角三角形，解出与 代离心率的计算公式即可求解 【详解】 如图所示，设双曲线的右焦点为，连接 因为外接圆的半径为，则 又四边形为菱形，所以 则为正三角形，所以， 因为，所以，又 所以为正三角形，所以，所以 在中，，， 所以 所以 故选：B 题型四、余弦定理与离心率 典例精讲4. (25-26高二下·重庆巴蜀教育集团·期中)双曲线（，）的左右焦点分别是，，是坐标原点，，两个点在双曲线上满足，，则该双曲线的离心率（     ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，可推出为直角三角形；再根据，结合双曲线定义，表示出三角形各边的长，利用勾股定理建立等量关系，即可求出离心率. 【详解】解：由题意知，，，，    由，为中点，易知为直角三角形，即， 因为，所以设，则，， 根据双曲线定义可知，，， 所以，，， 在中，由勾股定理可得， 即，化简整理得， 因为，所以. 在中，由勾股定理可得，即， 代入得，，所以，即， 又因为，所以. 题型归纳 1.双曲线中与焦点相关的多个三角形可以考虑多次使用余弦定理建立等式. 2.齐次化构造离心率e. 变式训练4-1 (25-26高二下·广东深圳某校·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点，若，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，设，结合双曲线的定义，在中，由勾股定理可得，在中，由勾股定理可得，进而可解. 【详解】设，则，， 由双曲线定义可知，，， 因为，所以是直角三角形，即， 所以是直角三角形， 所以，即， 化简可得，所以， 在中有， 即，化简可得， 所以的离心率为. 变式训练4-2 (25-26高二下·浙江强基联盟·)已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线分别交双曲线左､右两支于两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，借助双曲线定义可得，再在及中，使用余弦定理计算即可得. 【详解】设，则， 在中，， 整理得，又，故，则， 在中，， 化简得，所以. 变式训练4-3 (25-26高二·江苏扬州大学附属中学·)已知双曲线，为其右焦点，点在右支上，且，直线与双曲线左支的一个交点是，若，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用勾股定理解出，再利用勾股定理找出a和c的关系即得. 【详解】如图设左焦点为，连，由知，， 因，设，则，从而，， 在直角中，由得：， 解得，从而， 又，即， 所以. 题型五、斜率与离心率 典例精讲5 (25-26高二下·湖北三所名校·)已知点是双曲线上第一象限内的一点，点、是其左、右顶点，且，过点作与直线倾斜角互补的直线与直线交于点，若点在椭圆上，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆上点到顶点、的斜率之积为，结合直线与倾斜角互补的条件，即可求出，进而求得离心率. 【详解】由双曲线，左右顶点为，则， 因为，所以，得，即. 设，满足，所以， 所以， 设，满足，所以， 所以， 因为直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，所以， 又因为，所以，即，所以， 所以. 题型归纳 斜率问题分析方法： 1.设点斜式方程； 2.利用倾斜角 3.点差法。 变式训练5-1 (25-26高二上·山东济南·期末)已知分别为双曲线的左、右顶点，点是双曲线的右支上异于的一点，延长交轴于点，则双曲线的离心率为_________． 【答案】 【分析】设，根据直线的方程可得点的坐标，进而可知，根据斜率之积为化简可得的值，进而可知离心率. 【详解】因为分别为双曲线的左、右顶点， 所以. 设，则，所以. 直线的方程为， 令，解得，即， 所以， 由知，即， 所以，所以双曲线的离心率为， 故答案为：. 变式训练5-2 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支上，直线的斜率为2.若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【分析】设，可利用斜率的关系及正弦定理，得到三边的比例关系，由面积公式求出，进而得出，结合双曲线的定义再求出即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 由题可知，点必落在第四象限，， 设，， 由可得， 因为，所以， 所以，即，所以， 由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线的定义可得：，所以， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 变式训练5-3 (25-26高二上·湖南A佳教育联盟·期中)已知A，B为双曲线上关于原点对称的两点（异于顶点），点在双曲线上且满足直线AC，AB的斜率之积为，设直线BC与轴的交点为，若，则双曲线的离心率为______． 【答案】2 【分析】先利用点差法得到，结合，可得.再设，利用和三点共线，可得的关系，进而求双曲线的离心率. 【详解】如图：    设，，则. 由 ， 所以. 又，，所以. 又，所以． 设，由，得 ． 又三点共线，故． 代入，得，故． 离心率. 故答案为：2 题型六、渐近线与离心率 典例精讲6 (25-26高二下·湖南长沙第一中学·期中)双曲线 的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且则C的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】联立圆与双曲线渐近线方程得出，知，又由确定得，最后根据求得离心率 . 【详解】如图所示： 以为直径的圆的方程为，双曲线的渐近线为， 联立圆的方程与渐近线方程得， 化简得，解得，所以轴， 又因为与相互平分，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以， 所以，即， 所以，所以，从而． 题型归纳 渐近线的特征： 1.渐近线的方程利于求点坐标， 2.渐近线的对称性，两个坐标轴平分夹角。 变式训练6-1 (25-26高二·江苏常州北郊高级中学·期末)过双曲线右焦点F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率为_____________． 【答案】或 【分析】求得渐近线方程和过右焦点F与双曲线一条渐近线的垂线方程，进而求得的坐标，结合，可得，求解即可. 【详解】由双曲线，得双曲线的渐近线方程为， 过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，垂线方程为 由，解方程组得，所以， 由，解得，所以， 因为，所以， 若，可得，所以，所以， 所以，所以，所以，所以， 若，可得，所以，所以， 所以，所以，所以，所以， 所以双曲线C的离心率为或. 故答案为：或. 变式训练6-2 (25-26高二上·河南实验中学·期末)已知双曲线的左右焦点分别为，过作渐近线的垂线交双曲线的左支于点，已知，则双曲线的离心率为_________________． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合双曲线的定义、余弦定理求出a，b的关系即可作答. 【详解】依题意，，，则，令双曲线半焦距为c， 双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线的距离，有， 在中，由余弦定理， 得，整理得，即，解得， 所以双曲线的离心率为. 故答案为： 变式训练6-3 (25-26高二上·浙江强基联盟·)已知双曲线的左､右焦点分别为.以为直径的圆和的渐近线在第一象限交于点，直线交的另一条渐近线于点，若，则的离心率为__________. 【答案】 【分析】先得出以为直径的圆，进而联立直线及圆计算得出点，再应用向量关系得出等式计算齐次式即可求解. 【详解】双曲线的左､右焦点分别为， ， 以为直径的圆和的渐近线在第一象限交于点， 设坐标原点为， 以为直径的圆的方程为， 又的渐近线方程为， 联立方程组，解得，则， 直线的方程为， 联立方程组， 解得，则， ， ， ， ， ， . 故答案为：6. 题型七、周长与离心率 典例精讲7 (25-26高二上·江苏无锡宜兴·期末)已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作与x轴不垂直的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，若是周长为的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理列式得到，再根据离心率公式即可求出. 【详解】 设， 两点位于双曲线C的右支上，根据双曲线的定义得，即， ，即， 又是等腰三角形，，即，， 又的周长为，，，即， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 又和互补，， 即，化简得， ，又，. 故选：B. 题型归纳 周长问题可以考虑： 1.双曲线对称性转化线段. 2.设点坐标求解线段长度. 变式训练7-1 双曲线E：的左、右焦点分别为，Q为线段上一点，P为双曲线上第一象限内一点，，与的周长之和为10a，且它们的内切圆半径相等，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据“与的周长之和”、“与的内切圆半径相等”、“”等知识列方程，化简求得双曲线的离心率. 【详解】记与的周长分别为与， 设与的内切圆半径为， 则， 根据，得， 又与的周长之和为， 所以． 因为 ， 又，所以可得．又， 所以． 由可得， 即，化简得， 所以离心率． 故选：B. 【点睛】方法点睛：求解双曲线焦点三角形有关问题，可以考虑利用双曲线的定义来建立等量关系式，即.求解三角形面积有关问题，如果两个三角形的高相等，则面积与三角形的底边长有关. 变式训练7-2 已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线C的左支于P，Q两点，若，且的周长为，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件求得，∴，在中，由勾股定理可得关于的等式，进而可求得离心率. 【详解】由双曲线定义知， 则，，所以， ∴的周长为， ∴，， 由， 所以，故，∴， ∴，，∴， 在中，，故. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：由得到. 变式训练7-3 (25-26高二上·天津蓟州区第一中学·)双曲线 的左、右焦点分别为， 为线段 上一点， 为双曲线上第一象限内一点， ， 与的周长之和为，且它们的内切圆面积相等，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【分析】根据“ 与的周长之和”、“ 与的内切圆面积相等”、“”等列方程，化简求得双曲线的离心率. 【详解】记与的周长分别为与， 设与的内切圆半径为， 则， 根据，则，则， 又与的周长之和为， 所以． 因为 ， 又，所以可得．又， 所以． 由，即，化简得， 所以离心率． 故答案为：2 题型八、面积与离心率 典例精讲8 (25-26高二下·河北衡水第二中学·期中)已知分别是双曲线的左、右焦点，双曲线右支上任意一点处的切线为，过作切线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】求双曲线的离心率即找三者之间的关系，题干中已知右支上一点，根据双曲线定义可知；且根据双曲线的光学性质：从一个焦点发出的光线，经双曲线上一点反射后，反射光线的反向延长线必过另一个焦点；即双曲线上一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角；所以，点处的切线为，是的角平分线；因此想到构造对称点和中位线，结合已知条件求出离心率． 【详解】设，则； 双曲线在点处的切线的方程为， 设切线与轴的交点， 双曲线右焦点，其中：； ； ； ，所以，， 则，故或（舍去）， 所以切线与的平分线重合． 如图，延长交于点， 则，故，且为的中点， 则．在中，中位线．又 ， 则，所以离心率． 题型归纳 面积求解离心率： 1. 可以实现边角互化 2.等面积法可以实现边角互化 3.边长问题可以转化成面巾问题。 变式训练8-1 (25-26高二上·陕西西安铁一中学·月考)已知点P为双曲线C：右支上一点，，为双曲线C的两条渐近线，点A，M在上，点B，N在上，且，，，，O为坐标原点，记，的面积分别为，，若，则曲线C的离心率是______． 【答案】 【分析】先由直线的平行关系得到，由垂直关系得到，再分别利用表示出，结合诱导公式及三角形面积公式表示出，再根据列出方程，可求得，继而依次确定渐近线的倾斜角与斜率，最后运用双曲线的离心率公式即可得解. 【详解】 由对称性，不妨设渐近线的斜率为正， 由，，设，故. 即，故在四边形中， 有，故. . ， ， 由，得， 整理得， ，，即. 由对称性可知，直线的渐近线的倾斜角为，又因为， 即渐近线的斜率为，则， 因此离心率. 故答案为：. 变式训练8-2 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在的左支上，且，线段的中垂线与在第一象限内交于点为坐标原点，若的面积是的面积的4倍，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线定义可得 三点共线，结合面积关系判定为等边三角形，再利用余弦定理求解离心率. 【详解】如图，，根据双曲线的定义，得，因为 ，所以，故 三点共线. 因为，所以，所以， 又，所以是等边三角形，所以. 在中，由余弦定理得， 整理得，故离心率 . 变式训练8-3 (25-26高二上·浙江湖州长兴县南太湖联盟·)已知A，B是双曲线上的两点，是双曲线的左焦点，满足，，，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合双曲线的对称性求得，利用向量数量积求出，再设出点的坐标，利用双曲线方程及给定面积建立方程求出离心率. 【详解】由，得双曲线上的两点关于原点对称， 令该双曲线的右焦点为，则四边形是平行四边形，， 由，，得，令双曲线半焦距为c， 由，，得， 即，解得，设，则， 消去得，由，得， 因此，整理得，即， 所以双曲线C的离心率. 故选：A 题型九、角平分线与离心率 典例精讲9 (25-26高二下·河南平顶山·期中)已知不经过点的直线：与双曲线：交于，两点，若的角平分线与轴垂直，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线和双曲线方程，根据题意可得直线、的斜率互为相反数，进而结合韦达定理建立关于的方程并求解，再根据双曲线离心率公式求解. 【详解】设，，由 整理得， 则，且， ，. 因为的角平分线与轴始终垂直，所以，恒有， 即，所以， 则， 整理得， 则， 所以， 又，所以， 因此双曲线的离心率为. 题型归纳 角平分线方法： 1.角平分线平分角 2.角平分线比值对应相等：即较平分线分成的两个三角形，对应边长比值相同 3.角平分线考虑等面积法 变式训练9-1 双曲线：的左右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的左支交于点（在第二象限），为坐标原点，且被直线平分，则双曲线的离心率为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由为中位线及的三边比求出，进而由定义得与之间的关系，通过计算得出离心率. 【详解】如图， 易知，设与的平分线交点为， 因为，则有，所以， 为的中点，则为的中点， 又在中，， 所以， 所以， 由双曲线定义，可得， 所以，所以双曲线的离心率， 故选：B. 变式训练9-2 (25-26高二·浙江金华十校·期末)已知点分别为双曲线的左、右焦点，点是双曲线位于第一象限的点，且．则该双曲线的离心率为___________． 【答案】 【分析】设交轴于，根据已知条件可得为的角平分线，再利用角平分线定理和相似即可求出. 【详解】已知，，作，垂直于轴，轴于，两点， 设交轴于，连接，为的角平分线， 由角平分线定理和相似可知， ． 由双曲线定义可知． 故答案为：. 变式训练9-3 已知双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，射线是的外角平分线，其与轴的交点为点的角平分线与直线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作于点于点于点，利用角平分线的性质，得到，从而可得，再结合条件，可得，即可求解. 【详解】不妨设点在第一象限，由于点为角平分线的交点， 过作于点于点于点， 则，且， 所以， 则 ， 所以（*），因为，所以， 所以，代入（*）式得. 故选：C. 题型十、反射与离心率 典例精讲10 “双曲线电瓶新闻灯”是我国首先研制成功的，利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．这种灯的轴截面是双曲线的一部分（如图），从双曲线的右焦点发出的互为反向的光线，经双曲线上的点P，Q反射，反射光线的反向延长线交于点M，且，．制作时，通过双曲线的离心率控制该新闻灯的开口大小，则该新闻灯轴截面双曲线的离心率为________． 【答案】/ 【分析】结合双曲线的光学性质可知，为双曲线的左焦点，进而结合正弦定理可设，，，，再根据双曲线的定义可得，进而得到，再结合勾股定理可得，进而求解即可. 【详解】由双曲线的光学性质可知，直线，的交点为双曲线的左焦点， 在中，由正弦定理得， 则，设，， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 两式作商得， 设，， 由双曲线的定义可知，， ， 解得，则，，，， 所以，则，即， 在中，， 则，则，即， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 题型归纳 反射问题：入射光线的点对称后在反射光线上 变式训练10-1 (25-26高二上·安徽六安第一中学·期中)如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为________.    【答案】/ 【分析】连接，，设，表示出，，再由双曲线的定义得到，再在中利用余弦定理得到、的关系，即可得解. 【详解】连接，，根据题意，，，三点共线，，，三点共线. 所以， 又由知，所以， 故，所以. 可设，则，. 由于 ，故. 从而，，故，. 在中，由余弦定理得，解得， 所以.    故答案为： 变式训练10-2 (24-25高二上·江苏连云港灌南县·期中)如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用表示，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答. 【详解】依题意，直线都过点，如图，有，，    设，则，显然有，， ， 因此，，在，， 即，解得，即，令双曲线半焦距为c， 在中，，即，解得， 所以E的离心率为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，进而转化为的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以或转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范围）. 变式训练10-3 (25-26高二下·山东实验中学·)已知分别为椭圆的左、右焦点，若从点射出的一条光线经直线反射后经过点，且反射后的光线与在第三象限交于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出反射点的坐标，再求反射光线的斜率，根据几何关系，结合余弦定理，构造关于的齐次方程，即可求解离心率. 【详解】设从点射出的一条光线与直线的交点为，反射后经过点， 则点，可知轴，，可得， 又因为，解得，， 在中，由余弦定理可得， 即， 整理可得， 解得或（舍去）， 所以椭圆的离心率为. 题型十一、向量与离心率 典例精讲11 (25-26高二上·河南开封五县·期末)已知双曲线：（，），斜率为1的直线与双曲线交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点，且，，则双曲线的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由题意作出图像，设直线的方程为：，根据向量的关系推出的坐标，利用这两点在双曲线上列方程组求解. 【详解】 作图如上，设直线的方程为：，则， 由于，即为中点，则，此时， 设，由可知， 解得，即， 由两点在双曲线上可知， 则，解得， 于是. 故选：A 题型归纳 向量问题思考方向： 1.向量线性转化. 2.向量中点转化 3.利用向量求夹角线段等。 变式训练11-1 (25-26高二上·江西万载中学等校·)过双曲线：（，）的左焦点作圆的一条切线，切点为，该切线与在第一象限的交点为，若，则的离心率为______. 【答案】 【分析】利用向量关系将条件转化为坐标运算，得出关于离心率的方程求解即可. 【详解】由题可得双曲线的左焦点为，其中； 圆的圆心为，半径为.因为是圆的切线，所以， 在中，，由勾股定理得. 因为，则. 设，由，则， ，即，又， 代入得，解得，再代入到圆方程中得，即， 设，由，则， 解得，故. 因为在双曲线上，代入得， 化简得，两边同乘得， 将代入整理得，两边除以， 即，则，因为，所以， 解得，即. 故答案为： 变式训练11-2 (25-26高二上·江苏苏州工业园区苏州大学附属中学·月考)设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线l与双曲线C的左支交于点A，与双曲线C的右支交于点B，点D满足，，则双曲线C的离心率为______. 【答案】/ 【分析】通过向量条件确定点的位置及垂直关系，结合直线与双曲线联立后的韦达定理，建立、、的关系，进而求得离心率. 【详解】设，，直线的方程为. 设，，由，得为的中点，故. 由，得，即. 因，故，即， 化简得. 将，代入上式， 得， 解得，则. 将直线与双曲线联立：， 整理得. 由韦达定理，，约去得， 化简得，即，得. 此时，即渐近线的斜率大于直线的斜率， 直线与双曲线左右两支相交，符合题意. 因，代入得，化简得， 故离心率. 故答案为： 变式训练11-3 (25-26高二上·河南濮阳·期中)已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点M在E的右支上，点N在y轴上，且，，则E的离心率为________． 【答案】 【分析】依题设点，，利用，代入坐标计算可得，再由，化简后将结论代入可得，利用点是E的右支上的一点，建立关于的方程，求解即得离心率. 【详解】如图： 设点，则，，因 ，则， 由可得，解得（*）， 又，可得， 将（*）代入整理得，即. 又点是E的右支上的一点，故，将以上结论代入可得， 因代入可得，化简得， 两边同除以，可得，解得或，因，故，则. 故答案为： 题型十二、带点法求离心率 典例精讲12 (25-26高二上·广西桂林·)已知是双曲线的两个焦点，直线与双曲线的右支交于点．若（为坐标原点），则双曲线的离心率是______． 【答案】 【分析】联立直线与圆的方程得点坐标，代入双曲线方程，结合离心率定义求解. 【详解】联立，消去得 解得（因在右支，取正根），代入得，即. 将代入得， 设，即，代入化简得：， 解得（舍去小于1的根），故. 故答案为： 题型归纳 1.利用双曲线对称性设出点坐标 2.代入双曲线方程构造关于离心率的二次型方程可得结果 变式训练12-1 (25-26高二上·河南新乡·期中)双曲线的右焦点为，为坐标原点，点在双曲线上，且轴.若是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为________. 【答案】 【分析】根据题意，双曲线右焦点，由，可得，又是等腰直角三角形，即，进而建立齐次方程，化简整理，即可求解. 【详解】由题意，点为双曲线的右焦点，所以， 将代入双曲线的方程，得， 又，所以， 又是等腰直角三角形，所以，所以，即， 又，即，所以，化简得， 解得或（舍），即双曲线C的离心率为. 故答案为： 变式训练12-2 (25-26高二上·河南九师联盟·)已知是双曲线的左､右焦点，是左支上一点，是右支上一点，且，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【分析】采用设点法，根据向量共线比例得，再将其代入双曲线方得到的表示，再根据得，联立得到的另一种表示，从而得到关于的齐次方程，转化为离心率方程，解出即可. 【详解】如图所示，设， 则，． 因为，所以， 因为，在双曲线上，所以， 又因为，所以是以为直径的圆与的交点， 所以．又， 联立得， 所以，整理得， 解得或（，舍去），所以． 故答案为： 变式训练12-3 已知为双曲线的两个焦点，过的直线与双曲线交于两点，双曲线在点处的切线与轴交于，且，，则双曲线的离心率为___________． 【答案】/ 【分析】设双曲线上一点处的切线为，联立后利用以及点在双曲线上化简求得切线方程，进而得到点坐标，利用可求得，结合双曲线方程和两点间距离公式可求得，结合双曲线定义和向量数乘关系可分别表示出，在中分别利用余弦定理求得，由此可构造齐次式求得离心率. 【详解】不妨令为下焦点，为上焦点， 设，在点处的切线为，则， 由得：， 且， 又， 整理可得：，，则点处的切线为，； ，，解得：， ， ， 由双曲线定义得：， ，，， 在中，， 在中，， ，即，离心率. 故答案为：. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．(25-26高二下·甘肃临洮中学·期末)在双曲线（，）中，把以原点为圆心、实轴长为直径的圆O叫做双曲线C的“伴随圆”，过双曲线C上任意一点P（顶点除外）作“伴随圆”O的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x，y轴上的截距分别为p，q，双曲线C的离心率为2，则（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】先写出伴随圆方程，设点的坐标，得到的方程，得到点坐标与的关系，再利用离心率得到的关系，代入双曲线方程整理即可. 【详解】双曲线实轴长为，伴随圆以原点为圆心、实轴长为直径，故半径为，伴随圆方程为： ， 设双曲线上点，根据圆的切点弦方程结论，过的切点弦的方程为：， 令得，即；令得，即， 在双曲线上，满足，即，即， 两边同乘整理得，即， 已知双曲线离心率，故，得， 因此. 2．如图双曲线（，）的左右焦点分别为，，直线过交双曲线的渐近线于，两点，若，，则双曲线的离心率（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设方程为，联立渐近线方程求出点坐标，利用求出，再化简点坐标，利用求出，即可得解. 【详解】由题意，直线的斜率存在，设方程为， 双曲线渐近线方程为， 由 ， 所以，故， 同理可得， 因为，所以， 所以，即，所以， 所以，， 所以， ， 所以， 化简可得，所以. 3．已知双曲线：的右焦点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据圆心和直线方程求出弦心距，再根据直角三角形和向量条件求出半弦长，最后在直角三角形建立关于的关系式，用离心率公式可得离心率. 【详解】如图所示，设中点为，连接， 因为为圆心，为中点，可得， 所以三角形为直角三角形. 根据条件得圆心为， 设其中一条渐近线方程为，则圆心到渐近线的距离为，即， 又因为，所以， 由可知三点共线，且为上靠近点的三等分点， 所以， 所以在直角三角形中，， 所以. 4．如图，双曲线：的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线与双曲线C的右支相交于A，B两点，且，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义及勾股定理，得到与关系，从而求得双曲线的离心率. 【详解】设，则，. 在中，有，整理得，故. 设， 在中，有，即， 所以的离心率. 5．已知双曲线的一个焦点为，过原点的直线交于两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据双曲线的对称性得四边形为平行四边形，然后结合双曲线的定义，利用勾股定理得，即可求解离心率. 【详解】由双曲线的对称性，不妨为右焦点，在第一象限， 设双曲线的左焦点为，由双曲线的对称性可知，， 所以四边形为平行四边形，所以，又因为， 所以，所以， 在中， ，即， 所以，所以双曲线的离心率为.    6．已知双曲线的左、右焦点分别为，点（在第二象限）是双曲线的左支上一点，且，直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】便于计算，设，根据双曲线的定义、勾股定理得到一个关于的等式，换元法可求得，进而可求解离心率. 【详解】设， 因为双曲线的渐近线方程为，在第二象限， 所以直线的斜率为负，所以直线与垂直，如图： 所以直线的斜率为，所以，所以.① 由双曲线的定义得，② 由①②解得. 等式②两边同时平方得.③ 由知，所以， 代入③式得， 所以，即，整理得. 令，则，代入得， 整理得，解得. 所以双曲线的离心率为. 7．已知双曲线的左右焦点分别为，，经过的直线与C的右支交于A，B两点，且，，则C的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据双曲线的定义和余弦定理，求得，在中，利用余弦定理，求得即，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】设，则， 由双曲线的定义，可得，所以， 又由， 因为，所以， 在中，由余弦定理得， ，即， 即，所以，则， 在中，由余弦定理得， 即，解得，所以， 所以双曲线的离心率为. 8．(25-26高二上·湖南张家界桑植县·期末)已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，用定义得，代入余弦定理得的关系，转化为离心率约束，对目标式平方后用基本不等式求最大值，再由等号条件求. 【详解】设为第一象限内的交点，，，焦距为.    椭圆的定义：， 双曲线的定义：（因在第一象限，）， 解得：，. 在中，，由余弦定理，得， 得，即， 交叉相乘并整理： ， 两边除以，结合，，得. . 当且仅当，即， 因，故，则时等号成立，即取最大值. 因此，. 综上所述，当取最大值时，. 故选：C 9．(25-26高二上·安徽芜湖第一中学·期末)已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，直线与的左、右两支分别交于点，，若，且，则的离心率为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】设，可得，，，在中根据余弦定理建立关于的方程，求解可得，可以判断为等边三角形，再结合余弦定理求解离心率. 【详解】如图，因为，故设， 则，，． 在中，， 由余弦定理得， 化简得，即， 可得，所以为等边三角形， 所以，在中， 由余弦定理得， 所以离心率为．    10．(25-26高二上·河南南阳·期末)为双曲线的右焦点，为左顶点，为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由题知，，设双曲线的左焦点为，连接，则，在中，由余弦定理化简可得，即可求解． 【详解】因为，，，所以， 设双曲线的左焦点为，连接，则， 所以在中，，由余弦定理得， ， 整理得，即，得． 故选：C． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题09双曲线离心率十二类综合题型（压轴题专项训练) 目录 通法归纳一明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一内切圆与离心率 题型二圆与离心率 题型三外接圆与离心率 题型四余弦定理与离心率 题型五斜率与离心率 题型六渐近线与离心率 题型七周长与离心率 题型八面积与离心率 题型九角平分线与离心率 题型十反射与离心率 题型十一向量与离心率 题型十二带点法与离心率 压轴挑战一攻克高难压轴， 突破思维上限 ◆◆ 同通法归纳一明晰核心解法，助力能力迁移 双曲线的离心率问题是高中数学核心重难点，题型涵盖范围较广，知识点综合性强，包含圆，斜率， 渐近线，周长与面积，角平分线等，解题需注意：一离心率计算量大可以采取换元法，二是双曲线具有对 称性，注意利用的对称性转化点坐标，三双曲线二级结论较多，小题可以适当使用 ◆◆ 夙题型精讲情讲臭型题法，夺失解题报基 1/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型一、内切圆与离心率 良例精进526利已知双阳我C奇宁10>0.b>0的左、石焦点分别E F2,焦距为2c,直线l:3x+4y+3c=0与双曲线C的右支交于点P,若△PF1F2的内切圆半径为 c ,则 双曲线C的离心率为() A.5 B.5 C.2 D.3 题型归纳 内切圆问题通常考虑： 1.等面积法 2.角平分线 3.切线长相等 变式训练11526商二下贵州部分学校联号期中已知双曲线C:戈，兰=1a>0'b>0的左、右焦 点分别为F1,F2,P为双曲线C上位于第二象限的一点，PF1上F1F2,△PFF2的内切圆的圆心为I, 直线PI的斜率为-2，则双曲线C的离心率为() A.2 B.2 C.3 D. 变式训练122526高二上湖南岳阳岳阳楼区：期末设F是双曲线X.上=1a>0,b>0的右焦点·0为 a b2 坐标原点，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H,若△FOH的内切圆与X轴切于点B,且 BF=2OB,则双曲线的离心率为() A. 3+2V17 8. 3+3V17 C. 5+29V/17 5+317 8 D. 6 8 8 麦盐鉴1356客南心短双战e吾若1g060的左有出点分 F2,P为双曲线右支上一点，当∠F1PF2=60°时，△PF1F2的内切圆半径为a,则双曲线C的离心率e 2/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为() 4 A.3 B.2 C. V61+V7 V3+V21 D. 6 3 题型二、圆与离心率 典例精进225：26高二下重庆鲁能巴蜀中学校)F1,F,是双曲线C:女，号=11a>0,b>0的左、右焦 a b2 点，若双曲线的左顶点关于其渐近线的对称点恰好落在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则 双曲线C的离心率为() A.2 B.5 C.2 D.3 题型归纳 与圆结合时： 1.考虑圆的对称性 2.考虑圆的方程 3.考虑圆的圆心与半径的性质 变式训练215.26高=上费州遵义仁杯周林高级中学设双曲线C:号.兰-10>0，b>0)的左、 a2 b2 右焦点分别为F1,F2,过F1的直线！与圆x2+y=a相切，切点为P,延长F1P交C的右支于点Q,且 QP=2P方：则c的离心率为 变式训练222526商二浙江衢州第三中学等校期中尼知双曲线C:士兰 a6=1(a>0,b>0的左右焦点 分别为F1,F2,以C的实轴为直径的圆记为D,过F1作圆D的切线与C交于M,N两点，且 cas∠rNF:=景C的房心率为 变式训练2-3(25-26高二上浙江杭州师范大学附属中学.期中)若圆C:x2+y2=α为双曲线 3/17 耐学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 r:兰兰=1a>0,b>0)的“件随圆”，过n的左焦点R与右支上一点0，作直线1交“件随圆”C于 a b2 A,B,若FA:AB:BQ=1:2:1,则T的离心率为 题型三、外接圆与离心率 典例精进325：26高=下云南民族大学附属高级中学期中已知双曲线C:号.兰=1(a>0,b>0)的左、 a2b21 右焦点分别为F1,F2,过其右焦点F2作x轴的垂线交双曲线于P,Q两点，设△PFF2的内切圆半径为r, 外接圆半径为R,若5r=2R,则双曲线C的离心率为 题型归纳 外接圆知识点： 1.外接圆半径考虑正弦定理 2.外接圆圆心为中垂线的交点 3.圆中需注意随时注意直径所对的圆周角是直角 4.圆的性质需要随时考虑。 变式训练31已知双曲线E:父.芝=1的左、右顶点分别为A、B,点M在E上，△ABM是等腰三角形， a 6 且外接圆面积为4πa,则双曲线E的离心率为() A.2 B.2 c.2V3 D.93 变式训练3-22324高二上江苏盐城草宁中学期中已知双曲线口：兰.兰=1a>0,b>0的左、右顶点分 别为A、B,M是E上一点，△ABM为等腰三角形，且△ABM的外接圆面积为3πa,则双曲线E的离心 率为() A.2 B.2 c.V3 D.5 变式训练332324高=上天津南开区)尼知双曲线C:号.兰=1a>0,6>0'0为坐标原点：F为双曲 a2 b2 线C的左焦点，若C的右支上存在一点P,使得△OFP外接圆M的半径为1，且四边形MFOP为菱形，则 4/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 双曲线C的离心率是() A.V2+1 B.3+1 c.3-1 D.2 题型四、余弦定理与离心率 奥精进42526高下肤巴司教有期可双面线子女1Q>0b>0的左石焦点分别呢 F,O是坐标原点，A,B两个点在双曲线上满足B克，=3A,1OA=引F,F,则该双曲线的离心率 e=() 5 10 A. 2 B.2 D.V2 题型归纳 1.双曲线中与焦点相关的多个三角形可以考虑多次使用余弦定理建立等式 2.齐次化构造离心率e. 空式测攀412526高二下厂东深圳某校期末已知双曲线C:￥-兰=1a>0,b>0的左、右焦点分别为 F1,F2,过F2的直线与C的右支交于A,B两点，若OA=|OFl,IBF2=2|AF2l,则C的离心率为 () 4.03 V15 c.Vi7 9V19 B. D. 3 3 3 3 式训练43②526高下浙江强基联塑已知双曲线C:为1a>0,6>0的左、右焦点分别为 F,P,过F,的直线分别交双曲线左，右两支于A,B两点，若BF=3AF,∠F,BF,=号， 则双曲线 的离心率为() A.2V2 B.7 C.6 D.5 5/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式训练432526商二江苏扬州大学附属中学已知双面线C:兰-10>0，b>0下为其右焦 a2 b2 点，点A在右支上，且OA=|OF,直线AF与双曲线左支的一个交点是B,若AB=2i,则双曲线的离 心率是() A.V/13 13 B. C.V5 5 D. 2 题型五、斜率与离心率 良份精进556香名圈知点p是双酸C冬多鞋内的点·是 其左、右顶点，且|AB=4,过点B作与直线PB倾斜角互补的直线与直线PA交于点Q,若点Q在椭圆 43 =1上，则该双曲线的离心率为() 2/3 7 A. C.2 21 3 B. 2 D. 3 题型归纳 斜率问题分析方法： 1.设点斜式方程： 2.利用倾斜角 3.点差法。 (25-26高二上山东济南期末已知A,A分别月双曲线C:2-立2=1a>0,b>0)的 顶点，点P是双曲线C的右支上异于A的一点，延长PA2交y轴于点D,A1P⊥A1D,则双曲线C的离心 率为 变式训签5-2已知双曲线兰.兰=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F:点p在双曲线右支上，直线 a2b21 PF2的斜率为2.若△PF1F2是直角三角形，且面积为8，则双曲线的离心率为 6/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式训练5325,26高二上湖南A佳教有联盟期中)已知4，B为双曲线r:号兰：1上关于原点0对称的 两点（异于顶点），点C在双曲线上且满足直线AC,AB的斜率之积为-6，设直线BC与x轴的交点为P, 若OP?+3OA·OP=0,则双曲线T的离心率为 题型六、渐近线与离心率 典例特进62526高=下湖南长沙第一中学期中)双曲线c:寸兰=1心的左、右焦点分别为F,F: a b2 医，顶点分别为A,A,以上为直径的圆与C的一条近线交于M,N两点，且∠NA,M二则 C的离心率为() A.2 21 B. C.2 D.V13 3 题型归纳 渐近线的特征： 1.渐近线的方程利于求点坐标， 2.渐近线的对称性，两个坐标轴平分夹角。 变式训练61(25-26高二江苏常州北郊高级中学期末)过双曲线x2y =1a>0,b>0右焦点F作双曲线 a b2 一条渐近线的垂线，垂足为A,与另一条祈近线交于点B,若AF吉FB,则双曲线C的离心率为 变式训练62526高二上河南实验中学期末已知双曲线C:艾兰 。尔=1(Q>0,b>0)的左有焦点分别为 F,F,过F,作渐近线的垂线交双曲线的左支于点p,已知PE_是，则双曲线的离心率为 PF,2 7/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式训练632526高二上渐江强基联盟)已知双曲线C:寸步=1a>0,b>0的左，右焦点分别为 a b2 F1,F2.以F1F2为直径的圆和C的渐近线在第一象限交于点M,直线MF1交C的另一条渐近线于点N,若 E,N=3N应：则c的离心率为 题型七、周长与离心率 典例箱进725-26高二上江苏无锡宜兴期末)已知双曲线c:.二=1a>0,b>0的左、右焦点分别为 a2 b2 F1,F2,过F2作与x轴不垂直的直线与双曲线C的右支交于P,Q两点，若△PQF1是周长为10a的等腰 三角形，则双曲线C的离心率为() A. 2/5 21 B. C. 3 3 3 D.93 题型归纳 周长问题可以考虑： 1.双曲线对称性转化线段. 2.设点坐标求解线段长度， 变式训练7-1双曲线E: X=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F,Q为线段F,F,上一点，P为 a2 b2 双曲线上第一象限内一点，S605,2S0△PQF,与△PQF,的周长之和为10a,且它们的内切圆 半径相等，则双曲线的离心率为() A.3 B.2 c.V3 D.2 变式训练72已知双由我C:三1Q>0,b>0的左石焦点分别为F'E过P的直线交双曲线C的 8/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 左支于P,Q两点，若pF,=PF,QF,且△PQF,的周长为12a: 则双曲线C的离心率为() A. V10 B.3 c.5 D.2V2 变式训练732526高=上天津蓟州区第一中学风曲线E:号兰=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别 a b2 为E,F,'Q为线段F,E,上一点，P为双曲线上第-象限内一点，FQ=2Q京'△PQE,与 △PQF2的周长之和为10a,且它们的内切圆面积相等，则双曲线的离心率为」 题型八 面积与离心率 兔例箱讲85五百下北商水第中学中吧，P分别是双线c名1a>06>0的充一 右焦点，双曲线C右支上任意一点P处的切线为l,过F2作切线的垂线，垂足为M,O为坐标原点，若 OM=b,则双曲线C的离心率为() 5 A. B.92 2 C.3 D.2 题型归纳 面积求解离心率： 1 1.s=三·a·b·sin∠C可以实现边角互化 2 2.等面积法可以实现边角互化 3.边长问题可以转化成面巾问题。 变式训练8125,26高二上陕西西安铁一中学月考已知点P为双曲线C:号.广=10>b>0右支上一 点，1,12为双曲线C的两条渐近线，点A,M在l1上，点B,N在L2上，且PA⊥11，PB⊥l2,PM12, PNl1,O为坐标原点，记△PAB,△PMN的面积分别为S1,S2,若4S:=3S2,则曲线C的离心率是 9/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式训练82已知双庙线C:号兰=1la>0,b>0的左，右焦点分别为F1,F点A在C的左支上且 AF,=2a线段AF,的中垂线与C在第一象限内交于点B,O为坐标原点，若△ABF,的面积是△A0F2 的面积的4倍，则C的离心率为() A.5 B.6 c.7 D.2V2 变式训练8-32526高二上浙江湖州长兴县南太湖联盟，已知A,B是双曲线C:丈.芝 a263三1上的两点，F1 是双曲线的左焦点，满足OA+OB=0,F1A=3引F1B,SAF,oA= 3b,则双曲线C的离心率为〈） 6 A. V13 V7 V22 V13 2 B.2 C. D.- 4 题型九、角平分线与离心率 典例精进9(25-26高二下·河南平顶山期中)已知不经过点A2,1的直线：y=-x+mm≠1与双曲线E: 苦y广1a>0之于Bc雨点.丰之B1C的角学分钱与，白，则双曲地p的高为() 4.6 B.2 C. V10 2 D.3 2 题型归纳 角平分线方法： 1.角平分线平分角 2.角平分线比值对应相等：即较平分线分成的两个三角形，对应边长比值相同 3.角平分线考虑等面积法 变式训练91双曲线C1a>0.b>0的左石点分别羽E,E列直径的菌写取曲线 10/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C的左支交于点M(M在第二象限)，O为坐标原点，且∠M0F,被直线y=bx平分，则双曲线C的离 心率为() A.2 B.5 C.4 D.5 0方=1的左、有焦点， 变式训练92(2526高二浙江金华十校期已知点F,F,分别为双曲线C:兰兰 点p是双曲线位于第一象限的点，且|PF,=2F,F,∠PF,F,=2∠PF,E,:则该双曲线的离心率为 式训练以E。a>0,b>0的、有赛点分别列P,上A为E有支一点，到 线AB是∠F1AF2的外角平分线，其与x轴的交点为点B,∠AF1F2的角平分线与直线AB交于点C,若 3AC=AB,则双曲线E的离心率为() A.2 B.3 C.2 D.V5 题型十、反射与离心率 典例精进10“双曲线电瓶新闻灯”是我国首先研制成功的，利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦 点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.这种灯的轴截面 是双曲线的一部分（如图），从双曲线的右焦点F2发出的互为反向的光线，经双曲线上的点P,Q反射， 反射光线的反向延长线交于点M,且sin∠MPQ= 3sin∠MQP,sin∠PMF,=9sin∠QMF,.制作 3 5 时，通过双曲线的离心率控制该新闻灯的开口大小，则该新闻灯轴截面双曲线的离心率为 11/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型归纳 反射问题：入射光线的点对称后在反射光线上 变式训练101(25-26高二上·安徽六安第一中学，期中)如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出 的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点若双曲线 E:兰.兰=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F'下从F,发出的光线经过图中的A'B两点反射后， 分别经过点C和D.且cs∠BMC-青峦-D=0,则E的离心率为 D 变式训练102(24-25高二上江苏连云港灌南县·期中)如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点 发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点若双曲线 E:兰立=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F下，从F,发出的光线经过图2中的A'B两点反射后， a2 b2 分别经过点C和D,且cos∠BAC=手AB⊥BD,则E的离心率为() B 图1 图2 12/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 V17 V10 A. B. c. D.75 2 3 2 变式训练1032526商二下山东实验中学已知F,(-c,0),F,c,0)分别为椭圆C:号+兰=1(a>b>0) a2'b2 的左、右焦点，若从点A(3C,0)射出的一条光线经直线y=-2V2c反射后经过点F1,且反射后的光线与C 在第三象限交于点p:若|PF,PF,=a'则c的离心率为（） 3 A.2 3 B.3 C.2 2 0.3 题型十一、向量与离心率 典创精进12526高二上河南开封五县期末)已知双曲线c:兰.兰=1a>0°b>0,斜率为1的直 a2 b2 线I与双曲线C交于A,B两点，直线l与X轴，y轴分别交于M,N两点，且AN=2NB,NB=BM,则双 曲线C的离心率为() A.6 B.2 C. 2 D. 3 题型归纳 向量问题思考方向： 1.向量线性转化. 2.向量中点转化 3利用向量求夹角线段等。 交式订练11526高中学夜过双我c名·芳a>0”6>0》阿左焦点，作圆 x2+y=a的一条切线，切点为T,该切线与C在第一象限的交点为A,若函=5FT,则C的离心率为 变式训练11-2(25-26高二上江苏苏州工业园区苏州大学附属中学·月考)设F1,F2分别为双曲线 13/17 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 号片中1(a>0b>0阿、石医点，为的安巧双周安C的在支交于点1数团 C的右支交于点B,点D满足D=号BA,励·FD=0,则双曲线C的离心率为 变式别赛11325-26高三上河南濮阳：期中)已知双曲线：片1a>0'b>0的左、右焦点分别为 E,E,点M在E的右支上，点N在精上，且MT,上NF,F,N=号MR,则E的离心率为 题型十二、带点法求离心率 奥精进122526商pc.0,上G.0是双面我C1a>0.h>0两个售一 点，直线l:3x-4y+3c=0与双曲线C的右支交于点B.若OB=c(O为坐标原点)，则双曲线C的离心 率是 题型归纳 1利用双曲线对称性设出点坐标 2代入双曲线方程构造关于离心率的二次型方程可得结果 变式训练1212526高=上词南新乡期中双曲线C:兰-二=1a>0,b≥0)的右焦点为T·0为坐标原 a2 b2 点，点A在双曲线C上，且AF⊥x轴若△AOF是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为 变式训维1222526商=上河南九师联盟)已知下，B,是双商线c:父 。后=1Q>0,b>0的左、右焦点， M是C左支上一点，N是C右支上一点，且N下，=2M市1，M正1⊥M下：则双曲线C的离心率为 14/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式训然123已知E,F,为双曲线r:少士=1的两个焦点，过F,的直线与双曲线r交于P,Q两点，双 a2 b2 曲线r在点p处的切线与y轴交于M:且P克=4Q京：F,M=2OM则双曲线r的离心率为 同压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 1.(2526高二下甘肃临满中学期末利在双曲线C:号，上=1a>0°b>0)中，把以原点为圆心、实轴长 为直径的圆O叫做双曲线C的“伴随圆”，过双曲线C上任意一点P(顶点除外)作“伴随圆”O的两条 切线，切点分别为M、N,若直线MN在x,y轴上的截距分别为p,q,双曲线C的离心率为2，则 d.6=(） q p A.4 B.-4 C.3 D.-3 首方1a>0b>0》的左有焦点分别为”上直线，过5，交双曲线的商近线于 2.如图双曲线c:.上 A'B两点，若2A户，=F,BA京·AB=0:则双曲线C的离心率e=（） B 15/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B.5 c.7 3 0 3 3.己知双曲线E:￥上=1a>0,b>0的右焦点为F:以F为圆心，2b为半径的圆与双曲线E的一条 a2 b2 渐近线交于A,B两点，若OB=3OA,则双曲线E的离心率为() 4. B.3 C.5 2 D.2 4如图.双曲线o1Q>0b>0的左、石焦点分别为？下过石焦亮r的宜我写双由线C 的右支相交于A,B两点，AB⊥BF,且|AF,=|BF则C的离心率为(） A.2 B.2 c.0 V10 3 D.2 5.已知双曲线c:号兰=1a>0,b>0的一个焦点为p过原点的直线交C于P,Q两点，若 a2 b2 PQ=2b,PQ⊥PF,则C的离心率为() A. 6 c.V3 D.3 2 G已知双由线C文1Q>0,b≥0阁、石分别为下KMM在第三象限)是双型 的左支上一点，且M下，·M正，=0？直线MF,与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线C的离心率为（） A.2 B.5 C.4 D.5 16/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.已知双曲线C:兰=1(a>0,b>0的左右焦点分别为F,'P,经过F,的直线与C的右支交于4，B a2 b2 两点，且AF,-IABI,cos∠BAF,=号则C的离心率是() 4.21 &. c.3 D.5 3 3 576高上游南张家界系县明闲已限园C:+士10>6，>0与双前线 C 言发1a,>0.6,>0有相同的焦点耳，上量圆c的离心*为e:双唐线C,的离率为ey点p 3 12 为椭圆C与双曲线C,的交点，且cos∠F1PF,=弓，则当。+2取最大值时，e1+e,=（) ee) 4.32 B.4+3 c.310 V2+V6 D. 5 3 5 2 9.(25:26商二上安微芜湖第一中学期末已知双曲线c:X.少 。方=1Q>0'b>0的左、石焦点分别为 F1,F,直线1与C的左、右两支分别交于点P,Q:若P0=2Q,且∠PFQ=3则C的离心率为 () A.2 B.3 C. D.V13 0526商r为双联C名10>0，h>0的石点，4为在项点，D为玫 线C右支上一点，若PA⊥PF,∠PAF=30°，则双曲线C的离心率为() 3 A.2 B.93 C.2 D.5 17/17