专题13 双曲线的标准方程（高效培优专项训练）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题13 双曲线的标准方程 题型一：双曲线定义的理解 题型二：利用双曲线定义求方程 题型三：利用双曲线定义求点到焦点距离及最值 题型四：利用双曲线定义求双曲线中线段和差最值 题型五：判断方程是否表示双曲线 题型六：求双曲线方程 题型七：双曲线中的轨迹方程问题 题型八：双曲线中的焦点三角形问题 题型一：双曲线定义的理解 1．已知是双曲线上的动点，则到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得，即； 再由双曲线定义可得到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为. 故选：B 2．双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，则的值为（   ）. A．9 B．1 C．1或9 D．2 【答案】A 【分析】根据焦距，可得值，根据的关系，可得值，根据双曲线定义，分类讨论，即可求得答案. 【详解】因为，所以， 所以，解得， 根据双曲线定义可得， 所以，解得或， 当时，不合题意，故舍去， 当时，，满足题意， 综上，. 故选：A 3．（多选）在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则（   ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为两条射线 【答案】AD 【分析】利用椭圆、双曲线、圆的定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，，则点的轨迹为以为焦点的椭圆，A正确； 对于B，，则点的轨迹是以为焦点双曲线的右支，B错误； 对于C，由，得，则点的轨迹是以为直径的圆，C错误； 对于D，，则点的轨迹是以为端点，且不过的两条射线，D正确. 故选：AD 4．已知双曲线C：的两个焦点为，，双曲线C上有一点P，若，则 ． 【答案】18 【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义求解即可. 【详解】双曲线C：的实半轴，半焦距， 而，则，所以. 故答案为：18 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，上有一点到左焦点的距离为9，则点到的距离是 . 【答案】17 【分析】利用双曲线定义计算可得结果. 【详解】由双曲线方程可知：， 因为，所以点在的左支上， 由双曲线定义可得. 故答案为：17 6．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，并且经过点，则＝ 【答案】 【分析】根据给定条件，求出，再利用点的位置特点及双曲线定义求出结果. 【详解】由点在双曲线：上，得，解得， 即双曲线方程为，显然点在双曲线左支上， 所以. 故答案为： 题型二：利用双曲线定义求方程 7．已知，，动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义可知点的轨迹为以为焦点，实轴为的双曲线的上支，求出、，即可得到轨迹方程. 【详解】由及双曲线的定义可知， 点的轨迹为以为焦点，实轴为的双曲线的上支，则， 因为，所以，故点的轨迹方程为． 故选：A 8．化简方程的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线定义即可求解. 【详解】设动点，则由题意可得， 所以动点到两个定点的距离的差的绝对值等于常数8，又， 所以由双曲线定义可知P点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线， 所以，， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 9．已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两圆外切的判定方法列出方程，推出，即得动圆圆心的轨迹和轨迹方程. 【详解】设动圆的半径为，因动圆同时与圆及圆相外切， 则，， 则， 故动圆圆心的轨迹是以为两焦点的双曲线的左支. 又因，解得，故其轨迹方程为. 故选：D. 10．已知点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中为定值，故先化简再分析满足的距离关系即可. 【详解】设，因为， 故，即. 故点的轨迹是以为焦点的双曲线的下支， 且，故. 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 11．在平面直角坐标系中，已知的顶点，其内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内切圆的性质，结合双曲线的定义，可得答案. 【详解】如图，设与圆的切点分别为，则有，所以. 根据双曲线定义，所求轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线的右支（右顶点除外）， 即，又，所以，所以方程为. 故选：B. 12．已知圆，圆，动圆与圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的定义，判断出双曲线的参数的值，写出轨迹方程. 【详解】对圆，圆心为；对圆，圆心为. 设动圆的半径为，则，所以点的运动轨迹为以为焦点的双曲线的左支. 易知，解得； 又，解得； ，所以动圆圆心的轨迹方程为. 故答案为： 13．在平面直角坐标系中，已知点点的轨迹为.则的方程为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的定义待定系数法求解即可，由于是双曲线的一支，注意横坐标的范围. 【详解】由题，点M的轨迹是为焦点，实轴长为2的双曲线的右支， 故可设C的方程为， 由题：，解得：, 故C的方程为. 故答案为：． 题型三：利用双曲线定义求点到焦点距离及最值 14．双曲线：上的点到右焦点的距离为19，则它到左焦点的距离为（    ） A．9 B．7 C．9或29 D．7或19 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义来求解点到左焦点的距离. 【详解】对于双曲线，可得，则. 设双曲线的左右焦点分别为，已知点到右焦点的距离为19，即. 根据双曲线的定义，则有. 可得或. 当时，； 当时，. 所以点到左焦点的距离为或. 故选：C. 15．设是双曲线上一点，分别是双曲线的左，右焦点，若，则等于（    ） A．2 B．18 C．2或18 D．以上均不对 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由，得， 根据双曲线的定义得，则或18， 又，故. 故选：B. 16．双曲线上的点到点的距离为，则点到点的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义分析即可求解. 【详解】由双曲线，可得，所以， 所以与是双曲线的焦点， 因为双曲线上的点到点的距离为，且， 所以或，又，所以. 故选：A. 17．已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用双曲线定义转化，再结合三点位置关系分析即可. 【详解】由，得，所以为双曲线的右支， 为该双曲线的左焦点．设右焦点为，则， 所以．所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立，所以的最小值为． 故选：D. 18．已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．6 D． 【答案】D 【分析】首先利用双曲线的定义转化，再结合图象，求的最小值，再联立方程求交点坐标. 【详解】由题意并结合双曲线的定义可得 ， 当且仅当，，三点共线时等号成立. 而直线的方程为，由可得，所以， 所以点的坐标为. 所以当且仅当点的坐标为时，的最小值为. 故选：D. 19．已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是 . 【答案】6 【分析】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解. 【详解】由圆可化为，则，半径为1， 设是的下焦点，则，由双曲线定义可得，如图：    所以，又， 当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是. 故答案为：6 题型四：利用双曲线定义求双曲线中线段和差最值 20．已知是双曲线的下焦点，，是双曲线上支上的动点，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】求出上焦点的坐标，由双曲线的定义可得，求得的值，即得结果． 【详解】由得，， ， 所以下焦点，上焦点为， 由双曲线的定义得 ， 当，，三点共线时，取得最小值9． 故选：A． 21．过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【分析】根据双曲线定义可得，结合圆的切线性质可得，结合图形，即得答案. 【详解】如图所示，双曲线方程的两焦点坐标为，， 连接，，，，则， 因为，， 所以 ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故选：B. 22．设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义将转化成，数形结合求得最值得解. 【详解】如图，设双曲线的左焦点为， 由双曲线的定义得， 所以的最小值为. 故选：B. 23．是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据题设及双曲线定义、圆的性质确定点到圆上点距离差的最大值. 【详解】双曲线中，如图所示：   ，，，设左、右焦点为，， ，， ， ，三点共线且在之间时取等号， ，则，共线且在之间时取等号， 所以. 故选：D 24．双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】利用双曲线的定义将进行转化，再结合三角形三边关系求的最小值； 【详解】设双曲线的右焦点为. 对于双曲线，可得，则. 因为点在双曲线的右支上，所以，即. 则. 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得，当且仅当，，三点共线时取等号. 已知，，根据两点间距离公式，可得. 所以，即的最小值为. 故答案为： 25．已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用双曲线定义，将转化为，结合圆的性质求解即可. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接，. 由题知，实轴长， 由双曲线定义知，， 则， 当P，D，三点共线时，取得最小值， 且最小值为. 故答案为： 26．已知F是双曲线的右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设是左焦点，由双曲线定义转化，取最小值时，的最小值是在线段上即得． 【详解】双曲线，，，，，，即为， 圆的圆心为，半径， P在双曲线的左支上，，， 所以， 根据圆的几何性质可知， 的最小值是， 所以的最小值是. 故答案为：6 27．已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】结合双曲线的定义与三角形三边关系可得，再根据定点到圆上一动点的距离最值的解法即可求解. 【详解】设双曲线E：的右焦点为，则，. 由双曲线定义可得，即. ， 当且仅当三点共线时，取得最大值. ∵点N是圆上的动点， ∴圆心设为，半径， ，. 故答案为：. 题型五：判断方程是否表示双曲线 28．对于方程，表示的曲线，下列说法正确的是 （    ） A．曲线只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若为负角，则曲线为双曲线 C．若为正角，则曲线为椭圆 D．若为椭圆，则曲线的焦点在轴上 【答案】B 【分析】对于A，根据的取值，即可判断；对于B若为负角，即，结合双曲线标准方程的形式，即可判断； 对于C，当时，结合圆的标准方程的形式，即可判断；对于D，变形后结合椭圆的标准方程的形式，即可判断选项. 【详解】对于A，当，即时，曲线的方程为，即， 此时曲线为两条平行的直线，故A错误； 对于B，若为负角，即，则， 此时曲线为双曲线，故B正确； 对于C，若为正角，即，当时，， 则曲线的方程为1，是圆，故C错误； 对于D，若为椭圆，当，，又可变形为， 则为焦点在轴上的椭圆，故D错误． 故选：B. 29．（多选）在平面直角坐标系中，若一曲线的方程为，则（    ） A．当时，该曲线为椭圆 B．当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线 C．当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线 D．无论取何值，该曲线不可能为等轴双曲线 【答案】BCD 【分析】据的不同取值范围对曲线方程进行变形分析，根据椭圆、双曲线以及等轴双曲线的标准方程来判断曲线的类型即可. 【详解】当时，，方程可化为 因为，所以，，当，即时，方程，所以此时该曲线为圆，A选项错误. 当时，，方程可化为 因为，，满足焦点在轴上的双曲线的标准方程，所以此时该曲线为焦点在轴上的双曲线，B选项正确. 当时，，方程可化为 因为，所以，，满足焦点在轴上的双曲线的标准方程，所以此时该曲线为焦点在轴上的双曲线，C选项正确. 若曲线为等轴双曲线，则，两边平方可得，解得. 当时，方程为，即，表示圆，不是等轴双曲线，D选项正确. 故选：BCD. 30．（多选）已知，曲线：，则（    ） A．当时，是轴 B．当时，是椭圆 C．当时，是双曲线，焦点在轴上 D．当时，是双曲线，焦点在轴上 【答案】CD 【分析】通过的取值范围，判断选项正误即可. 【详解】，曲线：， 对于A，当时，方程化为，是轴，故A错误； 对于B，当时，方程化为，当时，曲线是圆，故B错误； 对于C，当时，是双曲线，方程化为，焦点在轴上，故C正确； 对于D，当时，是双曲线，方程化为，焦点在轴上，故D正确， 故选：CD. 31．（多选）已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（    ） A．当时，曲线是椭圆 B．当或时，曲线是双曲线 C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则 【答案】BCD 【分析】利用曲线C所表示的曲线类型求出参数的值或取值范围，由此可得出合适的选项. 【详解】选项A：若曲线为椭圆，则，即且，故A错误； 选项B：若曲线为双曲线，则，即或，故B正确； 选项C：若曲线为焦点在x轴上的椭圆，则，即，故C正确； 选项D：若曲线为焦点在y轴上的双曲线，则，即，故D正确； 故选：BCD. 32．（多选）已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（    ） A．当时，曲线是椭圆 B．当或时，曲线是双曲线 C．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则 D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 【答案】BC 【分析】按双曲线和椭圆的标准方程逐项判断即可 【详解】A：，时，若即，则是圆，故错误 B：时，且，，故是双曲线；时，且，是双曲线，故正确 C：若曲线是焦点在轴上的双曲线，则且，解得，故正确 D：，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故错误 故选：BC 33．（多选）已知A､B两点的坐标分别是，，直线AP､BP相交于点P，且两直线的斜率之积为m，则下列结论正确的是（    ） A．当时，点P的所在的曲线是焦点在x轴上的双曲线 B．当时，点P的所在的曲线是焦点在y轴上的双曲线 C．当时，点P的所在的曲线是焦点在y轴上的椭圆 D．当时，点P的所在的曲线是圆 【答案】AD 【分析】设出点的坐标，利用斜率乘积转化为求解轨迹方程，通过的范围，判断选项的正误即可. 【详解】设点的坐标为，则直线的斜率为， 直线的斜率为， 由已知可得，， 化简得点的轨迹方程为， 当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的交点)，所以A正确； 当时，点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线 (除去与x轴的交点)，所以B错误； 当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆(除去与x轴的交点)，所以C错误； 当时，点P的轨迹为圆(除去与x轴的交点)，所以D正确. 故选： AD. 题型六：求双曲线方程 34．求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)经过点，且； (2)经过点、． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为，代入运算求解即可； （2）设双曲线的标准方程为，代入点、运算求解即可. 【详解】（1）因为，可知双曲线的焦点在x轴上， 设双曲线的标准方程为， 代入，即，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）设双曲线的标准方程为， 代入点、可得，解得， 所以双曲线的标准方程为. 35．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上，且过点； (2)经过两点，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点位置及曲线所过的点求出，即可得标准方程； （2）依题意可设双曲线的方程为，利用待定系数法求解即可. 【详解】（1）由于双曲线的焦点在轴上， 可设其标准方程为：， 因为双曲线过点， 所以， 又因为，所以， 解得：，， 故所求双曲线的标准方程为：. （2）设双曲线方程为， 把点与点代入， 有，解得：， 故所求双曲线的标准方程为：. 36．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在轴上，，经过点； (2)经过、两点． (3)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设双曲线的标准方程为，将点代入双曲线的方程，求得，即可求解； （2）设双曲线的方程为，将点代入双曲线方程，求得的值，即可求解； （3）根据题意，设双曲线标准方程为，代入点，结合，求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：因为，且双曲线的焦点在轴上， 可设双曲线的标准方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程得，解得， 因此，双曲线的标准方程为. （2）解：设双曲线的方程为， 将点的坐标代入双曲线方程可得，解得， 因此，双曲线的标准方程为. （3）解：由题意知，椭圆的焦点坐标为， 所以可设双曲线标准方程为，其中， 代入点可得，联立解得； 所以双曲线标准方程为. 37．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于； (2)焦点在轴上，经过点和点． (3)经过点和． (4)已知与椭圆共焦点的双曲线过点 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据焦点坐标、双曲线的定义可得答案； （2）设双曲线的方程为，将两点代入可得答案； （3）设双曲线的方程为，将两点代入可得答案； （4）求出椭圆的焦点坐标可得双曲线的焦点坐标，设所求双曲线的标准方程为，代入点可得答案. 【详解】（1）由已知得，，即，∵，∴， ∵焦点在轴上，∴所求的双曲线的标准方程是； （2）设双曲线的方程为，则，所以， ∴双曲线方程为； （3）设双曲线方程为，将两点代入可得， 解得，所以双曲线的标准方程为； （4）设椭圆的半焦距为，则，∴， 所以椭圆的焦点坐标为，， 所以双曲线的焦点坐标为，， 设所求双曲线的标准方程为，则， 故所求双曲线方程可写为，∵点在所求双曲线上， ∴代入有，化简得，解得或； 当时， ，不合题意，舍去； ∴， ∴所求双曲线的标准方程为. 38．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，，焦点在x轴上； (2)，经过点，焦点在y轴上． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意设出双曲线的标准方程，将条件，代入即可得出答案. （2）由题意设出双曲线的标准方程，将点的坐标代入方程即可得出答案. 【详解】（1）依题意，，且焦点在x轴上， 所以双曲线的标准方程为． （2）因为焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为 ． 由，且点在双曲线上，可得，解得． 因此，所求双曲线的标准方程为． 39．写出适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)两个焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆方程； (2)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知为避免讨论焦点位置带来的麻烦，可设出椭圆一般方程代入点坐标即可求得结果； （2）利用椭圆可求得焦点坐标，设出双曲线标准方程代入点即可求得其标准方程. 【详解】（1）根据题意可设椭圆一般方程为， 将和两点代入可得，解方程组可得； 所以椭圆的标准方程为. （2）由题意可知椭圆的焦点坐标为； 所以可设双曲线标准方程为，其中； 代入点可得，联立解得； 所以双曲线标准方程为. 题型七：双曲线中的轨迹方程问题 40．已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点,根据题意建立方程，化简即得点的轨迹方程，同时要注意条件的满足即得. 【详解】设点，则， 化简即得：. 即点的轨迹方程为：. 故选：B. 41．设两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用给定条件直接求解动点的轨迹方程即可. 【详解】设点，则的斜率为，的斜率为， 故， 所以，故D正确. 故选：D 42．已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先得到圆心坐标与半径，设动圆的半径为，分两圆相内切与外切两种情况讨论，结合双曲线的定义计算可得. 【详解】圆，即，圆心为，半径， 设动圆的半径为， 若动圆与圆相内切，则圆在圆内，所以，， 所以， 所以动点是以、为焦点的双曲线的右支，且、， 所以， 所以动圆圆心的轨迹方程是， 若动圆与圆相外切，所以，， 所以， 所以动点是以、为焦点的双曲线的左支，且、， 所以， 所以动圆圆心的轨迹方程是， 综上可得动圆圆心的轨迹方程是. 故选：C 43．已知的两个顶点A，B的坐标分别是、，且，所在直线的斜率之积等于2，则顶点C的轨迹方程是（    ） A．（） B． C． D．（） 【答案】A 【分析】首先设点，根据条件列式，再化简求解. 【详解】设，， 所以，整理为：，， 故选：A 44．在平面直角坐标系中，已知的顶点，，其内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图可得：为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得． 【详解】解：如图设与圆的切点分别为、、， 则有，，， 所以． 根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外）， 即、，又，所以， 所以方程为． 故选：A． 45．点P到点的距离与它到点的距离的差等于16的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】轨迹为焦点在轴的双曲线的右支，直接根据双曲线的定义计算得到答案. 【详解】根据题意，轨迹为焦点在轴的双曲线的右支，，，， 故，故轨迹方程为：. 故答案为： 46．已知圆，圆，动圆与圆、圆都外切．圆心的轨迹为曲线.求的方程； 【答案】 【分析】 由动圆与两定圆外切得到圆心距与半径之间的关系，作差后得到动圆圆心的轨迹符合双曲线的定义，由已知求出实半轴和焦半距，则动圆圆心的轨迹方程可求. 【详解】 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 设动圆的半径为，因为动圆与圆，圆都外切， 所以 所以， 所以点在以，为焦点，以为实轴长的双曲线的右支上， 设双曲线的方程为， 所以，所以， 注意圆与圆外切于点，所以不可能为， 所以的方程为 47．已知中的两个顶点是，边与边所在直线的斜率之积是，求顶点的轨迹． 【答案】去掉顶点的双曲线 【分析】设点，进而根据斜率之积直接计算即可得轨迹方程，再根据轨迹方程求解即可. 【详解】解：设点，因为中的两个顶点是， 所以，， 因为边与边所在直线的斜率之积是， 所以，整理得 所以，顶点的轨迹方程为， 所以，顶点的轨迹是以为焦点，实轴为，且去掉顶点的双曲线. 题型八：双曲线中的焦点三角形问题 48．已知是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线定理及余弦定理可求. 【详解】由题设，双曲线的实半轴长，且， 因为，故在右支上且， 而，故， 由余弦定理可得：， 故选：C. 49．设满足，且，则的面积为（   ） A．3 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】根据点的轨迹方程及可得，结合勾股定理及可得从而得的面积. 【详解】依题意，所以， 所以． 又，即， 所以，所以. 故选：A． 50．如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点、，若为等边三角形，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的定义，可得，，由三角形面积公式，即可求出的面积． 【详解】在双曲线中：，所以， 根据双曲线的定义，可得， 是等边三角形，即 又， ， 的面积为． 故选：C． 51．设，分别是双曲线的下、上焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．12 B．24 C． D． 【答案】B 【分析】利用条件及双曲线的定义求出，进而可得为直角三角形，然后直接求面积即可. 【详解】由双曲线得， 又，且， 得到， 所以， 即为直角三角形， 所以. 故选：B. 52．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线以及椭圆的定义可得，即可利用余弦定理求解. 【详解】由双曲线方程知，焦点为，则椭圆中，    由双曲线和椭圆的定义知：，， 所以，又， 则. 故选：C 52．已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．10 D．8 【答案】A 【分析】由双曲线的定义求解即可； 【详解】 由题意可得， 的周长为， 由双曲线定定义可得， 又 所以， 所以的周长为12， 故选：A 53．若是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在双曲线上，且，离心率为，则的面积为 . 【答案】4 【分析】由题意，易知为直角三角形，根据勾股定理和双曲线的定义计算可得，结合三角形的面积公式计算即可求解. 【详解】双曲线中，解得， 所以，得，所以， 故为直角三角形，得， 由双曲线的定义知， 所以， 得，所以. 故答案为：4 54．双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线右支上，若，则 . 【答案】 【分析】根据双曲线的定义求得，再利用余弦定理求解. 【详解】因为点在双曲线右支上，且， 则，又， 在中，由余弦定理可得，， 所以. 故答案为：.    2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 双曲线的标准方程 题型一：双曲线定义的理解 题型二：利用双曲线定义求方程 题型三：利用双曲线定义求点到焦点距离及最值 题型四：利用双曲线定义求双曲线中线段和差最值 题型五：判断方程是否表示双曲线 题型六：求双曲线方程 题型七：双曲线中的轨迹方程问题 题型八：双曲线中的焦点三角形问题 题型一：双曲线定义的理解 1．已知是双曲线上的动点，则到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为（    ） A． B． C． D． 2．双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，则的值为（   ）. A．9 B．1 C．1或9 D．2 3．（多选）在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则（   ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为两条射线 4．已知双曲线C：的两个焦点为，，双曲线C上有一点P，若，则 ． 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，上有一点到左焦点的距离为9，则点到的距离是 . 6．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，并且经过点，则＝ 题型二：利用双曲线定义求方程 7．已知，，动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．化简方程的结果是（    ） A． B． C． D． 9．已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 10．已知点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 11．在平面直角坐标系中，已知的顶点，其内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 12．已知圆，圆，动圆与圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 13．在平面直角坐标系中，已知点点的轨迹为.则的方程为 . 题型三：利用双曲线定义求点到焦点距离及最值 14．双曲线：上的点到右焦点的距离为19，则它到左焦点的距离为（    ） A．9 B．7 C．9或29 D．7或19 15．设是双曲线上一点，分别是双曲线的左，右焦点，若，则等于（    ） A．2 B．18 C．2或18 D．以上均不对 16．双曲线上的点到点的距离为，则点到点的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 17．已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 18．已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．6 D． 19．已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是 . 题型四：利用双曲线定义求双曲线中线段和差最值 20．已知是双曲线的下焦点，，是双曲线上支上的动点，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 21．过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 22．设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 23．是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 24．双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为 ． 25．已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为 . 26．已知F是双曲线的右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为 . 27．已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 题型五：判断方程是否表示双曲线 28．对于方程，表示的曲线，下列说法正确的是 （    ） A．曲线只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若为负角，则曲线为双曲线 C．若为正角，则曲线为椭圆 D．若为椭圆，则曲线的焦点在轴上 29．（多选）在平面直角坐标系中，若一曲线的方程为，则（    ） A．当时，该曲线为椭圆 B．当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线 C．当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线 D．无论取何值，该曲线不可能为等轴双曲线 30．（多选）已知，曲线：，则（    ） A．当时，是轴 B．当时，是椭圆 C．当时，是双曲线，焦点在轴上 D．当时，是双曲线，焦点在轴上 31．（多选）已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（    ） A．当时，曲线是椭圆 B．当或时，曲线是双曲线 C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则 32．（多选）已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（    ） A．当时，曲线是椭圆 B．当或时，曲线是双曲线 C．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则 D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 33．（多选）已知A､B两点的坐标分别是，，直线AP､BP相交于点P，且两直线的斜率之积为m，则下列结论正确的是（    ） A．当时，点P的所在的曲线是焦点在x轴上的双曲线 B．当时，点P的所在的曲线是焦点在y轴上的双曲线 C．当时，点P的所在的曲线是焦点在y轴上的椭圆 D．当时，点P的所在的曲线是圆 题型六：求双曲线方程 34．求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)经过点，且； (2)经过点、． 35．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上，且过点； (2)经过两点，. 36．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在轴上，，经过点； (2)经过、两点． (3)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程. 37．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于； (2)焦点在轴上，经过点和点． (3)经过点和． (4)已知与椭圆共焦点的双曲线过点 38．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，，焦点在x轴上； (2)，经过点，焦点在y轴上． 39．写出适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)两个焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆方程； (2)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程. 题型七：双曲线中的轨迹方程问题 40．已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 41．设两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 42．已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 43．已知的两个顶点A，B的坐标分别是、，且，所在直线的斜率之积等于2，则顶点C的轨迹方程是（    ） A．（） B． C． D．（） 44．在平面直角坐标系中，已知的顶点，，其内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 45．点P到点的距离与它到点的距离的差等于16的轨迹方程为 ． 46．已知圆，圆，动圆与圆、圆都外切．圆心的轨迹为曲线.求的方程； 47．已知中的两个顶点是，边与边所在直线的斜率之积是，求顶点的轨迹． 题型八：双曲线中的焦点三角形问题 48．已知是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，则（   ） A． B． C． D． 49．设满足，且，则的面积为（   ） A．3 B． C．9 D． 50．如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点、，若为等边三角形，则的面积为（    ） A． B． C． D． 51．设，分别是双曲线的下、上焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．12 B．24 C． D． 52．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为，则的值为（    ） A． B． C． D． 52．已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．10 D．8 53．若是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在双曲线上，且，离心率为，则的面积为 . 54．双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线右支上，若，则 .   2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $