专题08椭圆离心率十五类综合题型（压轴题专项训练）高二数学人教B版选择性必修第一册

**基本信息** 以椭圆离心率为核心，通过15类综合题型系统构建“通法归纳-题型精讲-压轴挑战”三层训练体系，提炼几何转化、代数运算、三角工具等跨模块解题方法，培养数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|核心解法3条|换元法、对称性转化、二级结论应用|从椭圆定义出发，建立离心率e=c/a的基本关系| |题型精讲|15类（每类典例1+变式3）|涵盖对称性转化、等面积法、齐次化构造e、正余弦定理应用等15类专项方法|结合几何性质（周长/面积）、代数工具（向量/斜率）、三角知识（角度/定理）构建e的计算路径| |压轴挑战|10道综合题|多模块方法融合（如光学性质+曲线综合）|从单一知识点应用过渡到跨模块综合，提升复杂问题解决能力|

学科网（北京）股份有限公司 专题08椭圆离心率十五类综合题型（压轴题专项训练） 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一 周长与离心率 题型二 面积与离心率 题型三 向量与离心率 题型四 余弦定理与离心率 题型五 内切圆与离心率 题型六 圆与离心率 题型七 外接圆与离心率 题型八 角平分线与离心率 题型九 对称性与离心率 题型十 斜率与离心率 题型十一 代点法与离心率 题型十二 正弦定理与离心率 题型十三 角度与离心率 题型十四 椭圆与抛物线综合 题型十五 椭圆与双曲线综合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 椭圆的离心率问题是高中数学核心重难点，题型涵盖范围较广，知识点综合性强，包含圆，斜率，渐近线，周长与面积，角平分线等，解题需注意：一离心率计算量大可以采取换元法，二是椭圆具有对称性，注意利用的对称性转化点坐标，三椭圆二级结论较多，小题可以适当使用. 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、周长与离心率 典例精讲1 已知椭圆的左焦点为，点，在上，轴，若，且的周长为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆的对称性可知，又因为的周长为， 所以， 设，， 则， 因为，所以，即， 又因为点，在上，所以， 所以，整理得， 即，所以.    题型归纳 周长问题可以考虑： 1.椭圆对称性转化线段. 2.设点坐标求解线段长度. 变式训练1-1 设为椭圆：（）的左焦点，，是椭圆上的两个动点，若周长的取值范围为，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助椭圆上的点到焦点的距离的最小值及椭圆定义可得周长的取值范围，即可得、间关系，即可得离心率. 【详解】设为椭圆：（）的右焦点， 周长， 由椭圆上的点到焦点的距离的最小值为， 故， 由，， 故， 当且仅当、、三点共线时取等号， 故有，，即， 则，故. 变式训练1-2 (25-26高二上·天津第一中学·期末)已知F是双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点，直线与C交于A，B两点若△ABF的周长为9a，则C的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出坐标，结合对称性与双曲线定义，得出，由距离公式以及的关系代入整理得到关于的方程，求解即可. 【详解】联立解得，即， 则，由的周长为可得，， 设左焦点，由对称性，， 则， 由于，则， 即， 代入，整理得， 即 解得或（舍）， 故选：A. 变式训练1-3 (24-25高二下·贵州遵义·)设点F为椭圆E：（）的右焦点，M是圆O：与x轴正半轴的交点，过点M作圆O的切线，交椭圆E于A，B两点，若△ABF的周长是4b，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的坐标，代入椭圆方程可求得的坐标，进而可求的周长，结合离心率公式求解即可. 【详解】如图，易知，， 将代入椭圆E：得：，解得 不妨设，则， 因为，所以，所以， ， 因为的周长是4b，所以， 即，所以. 故选：B 题型二、面积与离心率 典例精讲2 (25-26高二下·广西桂林龙胜各族自治县龙胜中学·)已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点（不与顶点重合），若且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，垂足为，表示出，由，可得，即可表示出，再在中利用勾股定理得到、的关系，从而转化为离心率的方程，解得即可. 【详解】如图，，垂足为， 因为，所以，为的中点， ，， ， ，整理得， 所以，即， ， ， 在中，，在中，， ， 化简整理得， ，解得或，又，. 题型归纳 面积求解离心率： 1. 可以实现边角互化 2.等面积法可以实现边角互化 3.边长问题可以转化成面巾问题。 变式训练2-1 (25-26高二上·江西九江六校协作体·期末)已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线交于，两点，为坐标原点，若，且的面积是面积的5倍，则的离心率为______. 【答案】/ 【分析】由题可得，即，结合椭圆定义可得，，过点作于点，求得，在中，由余弦定理可得关系，得解. 【详解】由已知得，所以，即， 所以，因为，所以，， 所以，， 如图所示，过点作于点，则点为的中点，则， 在中，由余弦定理，得， 所以，则. 故答案为：. 变式训练2-2 已知椭圆的左、右顶点分别为，左焦点为为椭圆上一点，直线与直线交于点的角平分线与直线交于点，若，的面积是面积的倍，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可求得，求出直线以及角平分线方程可得，，利用的面积是面积的倍可得，即得出离心率. 【详解】根据题意可得， 则，，又可得， 设点坐标为，如下图所示：    将代入椭圆方程可得，解得； 可得，直线方程为， 联立，解得，即 易知的角平分线倾斜角为，斜率为， 直线方程为， 联立，解得； 所以的面积为， 面积为； 即，即，可得； 所以离心率. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于分别求得直线以及角平分线方程得出坐标，计算出两三角形面积表达式即可得出，可求出离心率. 变式训练2-3 设分别为椭圆的左，右焦点，以为圆心且过的圆与x轴交于另一点P，与y轴交于点Q，线段与C交于点A．已知与的面积之比为，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可逐步计算出点A坐标，由点A在椭圆上，将其代入椭圆方程得到等式后，借助等式即可计算离心率. 【详解】由题意可得、，， 则以为圆心且过的圆的方程为， 令，则，由对称性，不妨取点在轴上方，即， 则，即， 有，则， 又，即有，即， 代入，有，即， 即在椭圆上，故， 化简得，由， 即有， 整理得，即， 有或， 由，故舍去，即， 则. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率时，可将已知的几何关系转化为关于椭圆基本量a，b，c的方程，利用和转化为关于的方程，通过解方程求得离心率． 题型三、向量与离心率 典例精讲3. 已知椭圆的左右焦点分别为是上一点．若（为坐标原点），则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆的定义，设，结合已知得，再由及向量数量积的定义和运算律、余弦定理得到，最后列方程得，即可得. 【详解】由椭圆的定义可知，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为，即， 由题意知，设，则，， 代入得，所以，，， 由于原点是两焦点的中点，所以是边上的中线， 所以，则， 由且， 所以，则， 综上，即， 所以 ，则，即， 椭圆的离心率满足，且，解得， 故椭圆的离心率为. 题型归纳 向量问题思考方向： 1.向量线性转化. 2.向量中点转化 3.利用向量求夹角线段等。 变式训练3-1 (25-26高二上·江苏无锡宜兴六校·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为_____． 【答案】 【分析】先设出点的坐标，利用向量的关系和垂直的条件，结合椭圆的性质来求解离心率即可. 【详解】设，， ，，解得， 又，，即， 把代入，得，化简得， 点在上，把代入，得，得， 又，，化简得，即， 等式两边同时除以，得，即， 令，得，解得或， ，，即. 故答案为：. 变式训练3-2 (25-26高二上·河南郑州“八校联盟”·期中)已知点是椭圆的下顶点，是的右焦点，延长交于点，若，则的离心率为__________. 【答案】 【分析】根据椭圆的基本性质，和椭圆离心率的定义，利用向量共线，求出点的坐标，进而求出离心率. 【详解】设椭圆的焦距为，设，所以，因为，所以，即，即， 因为点在椭圆上，所以，所以，所以的离心率为. 故答案为：. 变式训练3-3 (25-26高二下·河南鹤壁高中·)已知、分别是椭圆的左､右焦点，为坐标原点，是椭圆上的点，若的面积是，且，则的离心率是______． 【答案】/ 【分析】依题意可得且在线段上，从而得到，设，利用余弦定理及椭圆的定义得到，再由面积公式得到，即可求出，再由勾股定理求出、与的关系，最后在中利用勾股定理求出、的关系，即可得解. 【详解】因为，所以且在线段上， 所以， 设，则， 在中，由余弦定理得， 即， 即， 又因为， 所以，即， 所以， 因为，所以， 所以，又，所以，所以， 即．    故答案为： 题型四、余弦定理与离心率 典例精讲4 (25-26高二·山西运城·期末)已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，若四边形为菱形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用菱形性质确定点的坐标，代入椭圆方程，再通过转化为关于离心率的方程求解. 【详解】因为是菱形，所以，且，点的横坐标为中点的横坐标，即， 由可得，，整理得，解得，故， 代入椭圆，得，整理得， 又，所以，整理得， 两边同时乘以，得，解得， 因为，所以，所以，解得. 故选：D. 题型归纳 1.椭圆中与焦点相关的多个三角形可以考虑多次使用余弦定理建立等式. 2.齐次化构造离心率e. 变式训练4-1 (25-26高二下·上海曹杨第二中学·月考)已知椭圆的左、右焦点分别是，过的直线与椭圆交于两点．若，则该椭圆的离心率为_____． 【答案】 【分析】根据椭圆定义，都用表示，由，构造齐次式即可求解. 【详解】 依题得，，又， 则，， 则， 则， 即， 则，则， 即. 变式训练4-2 (25-26高二·河北雄安新区·期末)如图，点、分别是椭圆的左、右焦点，、是椭圆上两点，，且，则椭圆的离心率为______． 【答案】/ 【详解】如图，延长，交椭圆于点，连接． 设，由知且，由椭圆的定义可知． 又，所以，所以， 所以，由椭圆的定义可知． 因为，所以在中，由勾股定理得， 即①． 在中，由勾股定理得， 即，整理得． 将代入①式得，整理得， 所以离心率． 故答案为： 变式训练4-3 (25-26高二上·吉林东北师范大学附属中学·期末)已知P为椭圆上的一点，、分别为左、右焦点，A为右顶点，O为坐标原点，点A到OP的距离为，点P到x轴的距离为.若，且，则此椭圆的离心率为______. 【答案】 【分析】设，，，由已知得出，再由椭圆定义得出，由，得出，结合两点之间距离公式，代入化简整理即可求得离心率． 【详解】设，，， 过点作轴于点，过作于点，如图所示， 则，所以，即， 又因为，所以，即， 由椭圆定义得，，则， 又因为，则， 所以，将代入，化简得， 所以， 故答案为：． 题型五、内切圆与离心率 典例精讲5 (25-26高二下·湖北新八校协作体·月考)椭圆的左右焦点分别为，，是上一点且．是内心，连接的直线交轴于．若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在，中，由正弦定理及可得，设，在中，由余弦定理化简可得，进而计算可解. 【详解】因为是内心，所以是的角平分线， 在中，由正弦定理可得，即， 在中，由正弦定理可得，即， 因为，所以， 因为，， 所以，即， 因为，所以， 在中，由余弦定理可得， 化简可得，所以. 题型归纳 内切圆问题通常考虑： 1.等面积法 2.角平分线 3.切线长相等 变式训练5-1 (25-26高二上·福建泉州第五中学·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上不与左右顶点重合的动点，设，分别为的内心和重心（内心和重心不重合）.当直线的倾斜角不随着点的运动而变化时，椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，不妨设，利用三角形重心性质可得，由题意可知轴，可得，设三角形内切圆的半径为，由三角形内切圆的性质及三角形面积公式可得，设分别与内切圆相切于点，可得，在中，由勾股定理可得：，化简整理与椭圆方程比较，即可得出. 【详解】设，不妨设，如图，   ，则， 当时，轴， 当直线的倾斜角不随着点的运动而变化时，则有轴，， 设三角形内切圆的半径为，由三角形内切圆的性质可得：，解得， 设分别与内切圆相切于点，由， 则， 在中，由勾股定理可得：， ，整理得， 点为椭圆上不与左右顶点重合的动点，则椭圆，，， 即，. 故选：A. 变式训练5-2 (25-26高二下·四川资阳安岳中学·开学考)已知分别为椭圆的两个焦点，为上异于顶点的任意一点，的内心为，连接MP并延长交于点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内切圆的性质，结合椭圆的定义、椭圆的离心率公式、平行线等分线段定理进行求解即可. 【详解】设的内切圆与边切于点，所以该三角形内切圆的半径为， 所以， 过作， 因为，所以， 所以， 由三角形内切圆的性质可知： ， 所以， . 故选：C 变式训练5-3 (25-26高二上·甘肃兰州兰州新区多校·期末)已知为坐标原点，为椭圆的左、右焦点，是椭圆上异于顶点的一点，点是以为底的等腰的内切圆的圆心，过作于点，，则椭圆的离心率为___________． 【答案】或 【分析】根据等腰三角形和中位线的性质建立与已知条件之间的关系，结合椭圆的定义即可求出值，进而求出椭圆离心率. 【详解】因为，即，所以． 因为点是以为底的等腰内切圆的圆心，则， 又为的角平分线，延长交直线于点， 在与中， ， 所以， 所以，， 所以为的中点. 又为的中点，所以为的中位线， 所以． 若在轴右侧，则， 所以， 即，所以． 若在轴左侧，则， 所以， 即，所以．      综上，椭圆的离心率为或. 故答案为：或. 题型六、圆与离心率 典例精讲6 (25-26高二上·湖南怀化·期末)设分别是椭圆C：的左、右焦点，圆与椭圆C在第一象限内的交点为，延长与椭圆C交于点，若，则椭圆的离心率为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆过点知，设，根据椭圆定义得，；在直角三角形中应用勾股定理可解得与的关系，再在直角三角形中利用勾股定理建立与的方程，从而求出离心率. 【详解】如图，连接， 线段是圆O的直径，所以， 设，所以， 在直角三角形中，，整理得， 在直角三角形中，， ，得，即． 故选：A. 题型归纳 与圆结合时： 1.考虑圆的对称性 2.考虑圆的方程 3.考虑圆的圆心与半径的性质 变式训练6-1 已知椭圆的左焦点为，以为圆心、为半径的圆与交于，两点，若，则的离心率为_____． 【答案】或 【分析】记右焦点为，利用倍角公式求出，再在中利用余弦定理可得. 【详解】不妨设焦距为2c，记右焦点为，易知，， 由定义知，记，显然其为锐角， 故由，解得. 在中由余弦定理得，化简得，即，可得离心率或. 变式训练6-2 (24-25高二下·河南商丘部分学校·开学考)已知是椭圆的左焦点，过点的直线与圆交于，两点，与在轴右侧交于点，且，则的离心率为________． 【答案】/ 【分析】设椭圆的右焦点为，的中点为，连接，设，表示出，，再由三角形的中位线定理得，然后在中利用勾股定理列方程求得，再在中列方程化简可求出离心率. 【详解】设椭圆的右焦点为，的中点为，连接，则，， 因为，所以为的中点， 因为为的中点，所以‖，， 所以， 设，则，， 因为，所以， 所以， 在中，由，得， 化简整理得，解得或， 当时，，不合题意，舍去， 所以， 所以， 在中，由，得， 则，得， 即的离心率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆的定义的应用，解题的关键是取的中点为，由已知条件结合圆的知识得为的中点，再应用三角形中位线定理和勾股定理求解，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题. 变式训练6-3 (25-26高二上·河南安阳第一中学·)已知椭圆，圆，过原点且斜率为正的直线与圆相切于点，与椭圆在第一象限交于点，若是的中点，则椭圆的离心率是__________. 【答案】/ 【分析】由题意画出图形，根据已知条件求出直线的斜率，求出直线，结合已知条件求出点的坐标，再利用中点公式表示出点的坐标公式，将点代入方程中得到一个关于的方程，然后结合得出关于椭圆离心率的方程解出即可. 【详解】由题意如图所示：    圆的圆心为，半径， 由题意得直线的斜率，且经过坐标原点， 所以设直线的方程， 即， 由圆与直线相切， 所以圆心到直线的距离等于半径即：， 化简得：，解得， 所以， 由于点在直线上，所以设， 所以， 又圆与直线相切则有， 且， 所以， 所以有， 则， 又因为是的中点，所以， 由点在椭圆上，故有：， 化简整理得：， 所以椭圆的离心率为： ， 故答案为：. 【点睛】方法总结： 求椭圆离心率的方法： （1）简单类：知道直接用公式计算即可 （2）较难类：根据已知条件建立关于的齐次式方程解出即可. 题型七、外接圆与离心率 典例精讲7 (25-26高二上·吉林长春第十七中学·)已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点，且，的外接圆面积是其内切圆面积的16倍，则椭圆的离心率___________． 【答案】 【分析】由正弦定理可得的外接圆半径，结合椭圆的定义、面积公式及内切圆的性质可得的内切圆半径，再由，可得，最后根据离心率公式求解即可. 【详解】解：设的外接圆半径为，内切圆半径为，由题意可得，    在中，，， 由正弦定理可得，解得； 设 由椭圆的定义可得， 所以①， 在中，由余弦定理可得②， 由①-②,得， 所以， 所以， 又因为， 所以， 又因为， 所以， 解得， 所以椭圆的离心率. 故答案为： 题型归纳 外接圆知识点： 1.外接圆半径考虑正弦定理 2.外接圆圆心为中垂线的交点 3.圆中需注意随时注意直径所对的圆周角是直角 4.圆的性质需要随时考虑。 变式训练7-1 (25-26高二上·福建三明第一中学·期中)已知椭圆，、分别是的左、右焦点，是上异于左右顶点的动点，记的内切圆面积为，的外接圆面积为，若的最小值为，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据焦点三角形的性质表示焦点三角形内切圆半径与外界圆半径，结合面积比可知半径比，结合焦点三角形定角的取值范围可知当在短轴端点时，取得最值，代入即可得解. 【详解】 如图所示，设，，， 由椭圆定义可知， 在中，由余弦定理可得， 则，所以， 又的周长为， 则内切圆半径， 又在中，由正弦定理可知，为的外接圆半径， 即， 所以， 由椭圆的对称性可知， 如图所示，当点为短轴端点时取得最大值为， 所以取得最小值为， 又的最小值为， 即的最小值为，即， 即，化简可得， 等式左右同时除以， 可得，即， 由椭圆离心率， 则， 故选：A. 变式训练9-2 (24-25高二上·江西景德镇一中·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上的动点．若的外接圆和内切圆的半径之积的最大值为，则该椭圆的离心率为__________． 【答案】/ 【分析】设，利用正弦定理可得外接圆半径；利用余弦定理结合椭圆的定义，通过等面积法可得内切圆半径，当为椭圆的短轴顶点时取得最大值，结合题意可得，即可得出离心率． 【详解】 设，则由正弦定理得的外接圆半径， 由余弦定理得， ∴， ∴， ∴，整理得， 设内切圆半径为，所以由等面积法可得 ， 即，解得 所以两半径之积， 由题意，为锐角，当为椭圆的短轴顶点时，最大，此时， 则，所以， 所以，当为椭圆的短轴顶点时取等号， 由题意得，解得， 则该椭圆的离心率为． 故答案为：． 变式训练7-3 (23-24高二上·重庆永川北山中学校·期中)设椭圆的焦点为是椭圆上一点，且，则的面积为__________（用含或的式子表示即可）若的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为__________． 【答案】 / 【分析】在中由余弦定理求的面积；由正弦定理，根据，求离心率. 【详解】 空1：设，，，根据椭圆定义由， 在中，由余弦定理有， 整理有，化为， 整理有，又，所以有， 在中，由正弦定理有的面积； 空2：依题意可知， 即．即，又， 得因此，得． 故答案为：；． 题型八、角平分线与离心率 典例精讲8 (25-26高二·江苏苏州·期末)在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，，上有一点位于第一象限，线段交轴于点，若为的角平分线，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法1，利用角平分线定理及三角形相似可得，，利用椭圆的定义求出，即可求离心率， 法2，设，，，利用面积关系列出方程求解. 【详解】如图， 法1：由角平分线性质得①． 因为，， 故， 可得②， 联立①②， ，． 所以， 椭圆离心率. 法2：设，，则． 设，则， 由，可得． ， 所以，， 故，所以为等腰直角三角形， 所以，所以， . 故选：C 题型归纳 角平分线方法： 1.角平分线平分角 2.角平分线比值对应相等：即较平分线分成的两个三角形，对应边长比值相同 3.角平分线考虑等面积法 变式训练8-1 (25-26高二·河南洛阳·期末)已知是椭圆上第一象限内的一点，分别是椭圆的左、右焦点，，点在的平分线上，为原点，，且，则椭圆的离心率为___________. 【答案】 【分析】延长交于点A，可得A为的中点，根据角平分线及，得，结合椭圆定义及余弦定理列式计算可求解离心率. 【详解】设，延长OQ交于点A，延长交于， 因为点在的平分线上，，所以， 所以，又因为，O为的中点， 所以为的中点，所以， 所以，又，所以为的中点， 所以是的垂直平分线，所以， 又因为，所以，所以，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以， 所以，即， 又，所以，所以，所以， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：.      变式训练8-2 (25-26高二·内蒙古包头·期末)已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且它们在第二象限的公共点为点，点与右焦点的连线交轴于点，且平分，则双曲线的离心率是______． 【答案】/ 【分析】先由椭圆求公共焦点，利用角平分线定理得，并结合分点坐标求横坐标；再根据椭圆定义和距离公式联立得，的方程组；最后解方程组得线段长，由双曲线定义求，并代入求出离心率即可. 【详解】 因为椭圆 ，所以，得 故双曲线焦点为 、，所以 设 ，，因为 平分 所以由角平分线定理： 又因为 ，所以 ，即 分 的比为 因为 在 轴上，横坐标为 ，由分点坐标公式：，解得 因为，即 又因为， 两式平方相减消去 ： 化简得 ，代入 ，得 ，即 则 ，解得 ， 所以，得 所以 故答案为： 变式训练8-3 如图，椭圆焦点三角形的，为的角平分线且，则椭圆离心率为______． 【答案】 【分析】解法一：根据知：，点坐标代入方程：，可得：，将点代入椭圆方程列式求解； 解法二：根据题意，根据知：，根据角平分线的性质，得到直线的方程，再得到点，利用，得到点，然后利用点差法，通过计算化简，可得答案. 【详解】解法一：根据 ，， 知，且， 则点坐标代入方程：， 当时，， 由可得：， 将点代入椭圆方程得：，化简得． 所以. 因此离心率为. 解法二：设点，且，， 因为，所以， 联立，解得， 由点A在椭圆C上，且， 则 ， 同理， 设角平分线交x轴于，根据角平分线的性质，可知 ， ， ，解得，，得． 可得直线．进而可得， 由，可得， 设中点为M，则．， 点差法的结论，证明如下： 设，，，为中点， 故，两式作差得，， 又由，，可整理得，， 最后化简得，， 进而得到，， 进而得． 所以，故，解得． 故答案为：． 题型九、对称性与离心率 典例精讲9 (25-26高二上·贵州毕节黔西·)设是坐标原点，是椭圆的左焦点，椭圆上的点关于点的对称点是，若，，则该椭圆的离心率是_____． 【答案】 【分析】利用对角线相互平分判断四边形为平行四边形，利用，中的余弦定理，面积公式列方程，得关于，，的方程，构造出离心率，求解即可. 【详解】如图： 由题意，点关于点的对称点是，所以点是线段的中点， 根据椭圆的对称性知，点是线段（为椭圆的右焦点）的中点， 则四边形为平行四边形； 由，得，则， 在平行四边形中，由，得， 所以，即， 在中，由余弦定理得， 所以， 由题意，， 又，所以， 则，即，得，所以离心率. 故答案为：. 题型归纳 椭圆中有平行线，特殊四边形可以考虑椭圆的对称性，利用对称性设点 变式训练9-1 (25-26高二下·黑龙江大庆实验中学·开学考)已知是椭圆上关于原点对称的两点，是的右焦点，的延长线交于点，则的离心率为__________. 【答案】/ 【分析】设椭圆的左焦点为，证明四边形为平行四边形，设，结合椭圆定义和余弦定理可得，在中，由余弦定理可得的关系，由此可求离心率. 【详解】如图，设椭圆的左焦点为，连接、、， 由题意可知，关于原点对称，且为的中点，所以四边形为平行四边形， 因为，所以， 由，设，则， 所以，，， 在中，由余弦定理得， ， ，解得，所以， 在中，由余弦定理得， 所以，解得，故椭圆的离心率. 故答案为：. 变式训练9-2 (25-26高二上·福建宁德柘荣县第一中学·月考)将椭圆：上所有的点绕原点旋转角，得到曲线的方程：，则椭圆的离心率为______. 【答案】/ 【分析】根据题意，由椭圆的对称性，求解顶点坐标，从而可得，即可求解. 【详解】椭圆上所有的点绕原点逆时针旋转角， 得到椭圆的方程：，设点在椭圆上， 则其关于的对称点满足方程，即， 因此椭圆关于直线对称，同理椭圆关于直线对称， 即椭圆：关于对称，如图： 联立与，得，椭圆长轴端点为，即， 联立与，得，椭圆短轴端点为，即， 因此椭圆的离心率，而旋转不改变图形大小， 所以椭圆的离心率为. 故答案为： 变式训练9-3 (25-26高二上·江西景德镇乐平第一中学·月考)如图，点分别是椭圆：的左、右焦点，是上两点，，且，则的离心率为__________. 【答案】 【分析】利用椭圆的定义设出焦半径，结合勾股定理列方程组，求得离心率. 【详解】如图，延长，交椭圆于点，连接. 设由知且， 由椭圆的定义可知. 又所以，所以所以由椭圆的定义可知. 因为， 所以在中，由勾股定理得即.① 在中，由勾股定理得即整理得. 将代入①式得，整理得，所以离心率. 故答案为：. 题型十、斜率与离心率 典例精讲10 (25-26高二上·重庆部分校·月考)已知椭圆 为坐标原点，直线 与椭圆 交于 两点， 点 关于 轴的对称点为 ，且 ，若直线 与椭圆 交于点 ，且 ，则椭圆 的离心率为__________． 【答案】 【分析】设，由向量共线求出的坐标，然后求出直线的方程，然后联立直线与椭圆方程，根据韦达定理求出，然后根据向量垂直求出直线的斜率，进而求出，从而得到的关系式，最后求出离心率即可. 【详解】设，则，所以， 由得，所以. 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 将代入椭圆方程中，得到， 化简得，又满足， 即，根据韦达定理可得， 所以①. 由得，所以直线的斜率为. 而，解得②. ①②联立得，化简得. 所以离心率为. 故答案为： 题型归纳 斜率问题分析方法： 1.设点斜式方程； 2.利用倾斜角； 3.点差法。 变式训练10-1 已知椭圆的右焦点和右顶点分别为，，点在上．若直线与的斜率之积为，且，则的离心率等于________． 【答案】或 【分析】设右焦点为，且，再设点在椭圆上，求得，根据直线和的斜率之积为，化简得到，再由，以及椭圆的焦半径公式，化简得到，求得或，即可求解. 【详解】由椭圆，可得，则右顶点， 设右焦点为，则，离心率为， 设点在椭圆上，可得，则， 又由直线和的斜率分别为， 因为直线和的斜率之积为，可得， 将代入上式，可得， 整理得，即， 即，所以， 因为，由椭圆的焦半径公式，可得， 又因为，可得，即，解得或， 所以椭圆的离心率为或. 变式训练10-2 已知椭圆的左､右焦点分别为为上与顶点不重合的一点，为的内心，为坐标原点，记直线的斜率分别为，，若，则椭圆的离心率为__________. 【答案】 【分析】设，设内切圆与边相切于点，结合圆的切线长的性质和椭圆性质可得，由内切圆性质可得，，由条件确定关系，由此可求离心率. 【详解】如图，不妨设在第一象限，过点分别作的垂线，垂足分别为， 设， 因为，所以， 利用两点间距离公式可以得到， 代入，可得， 同理， 所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 所以内心的横坐标为，则， 所以， 又因为，所以， 化简得，所以. 变式训练10-3 已知椭圆C：（）的右焦点为F，P，Q为C上关于原点对称的两点，，直线PF交C于另一点M，若直线QM的斜率为，则C的离心率为__________. 【答案】 【分析】已知直线QM的斜率为，P，Q为C上关于原点对称的两点,直线PF交椭圆C于另一点M，不妨计算直线的斜率，利用斜率乘积为定值，得到直线的斜率.即直线的斜率.再根据椭圆的定义列出关于的方程，求得椭圆的离心率. 【详解】不妨设，，， 由可知，直线、斜率均存在且不为0， ∵， 且， ∴，∴直线的倾斜角为, ∴， 设为C的左焦点，连接， 根据椭圆的对称性得：,则， ∵,∴，， 由椭圆的定义得：， ∴C的离心率. 题型十一、代点法求离心率 典例精讲11 (25-26高二下·云南玉溪峨山彝族自治县第一中学·开学考)已知为椭圆的上顶点，点、的坐标分别为和，点、分别是椭圆位于第一、三象限上的两点，且，直线和的斜率之差为，，则椭圆的离心率为___________. 【答案】 【分析】由题得到、关于原点对称，设出P、两点坐标，再由和的斜率之差和夹角条件求出P点坐标，再将P点坐标代入椭圆方程，即可求解离心率. 【详解】因为为椭圆的上顶点，所以设 . 又因为点、的坐标分别为和，点、分别是椭圆位于第一、三象限上的两点，且，所以根据椭圆的对称性得到、关于原点对称. 所以设 ，，所以直线和的斜率分别为 ，； 由直线和的斜率之差为，得，得； 因为，由，即，得到， 因为在椭圆上，所以，即，得到， 椭圆的离心率 因此，椭圆的离心率为. 故答案为：. 题型归纳 1.利用椭圆对称性设出点坐标 2.代入椭圆方程构造关于离心率的二次型方程可得结果 变式训练11-1 (24-25高二上·湖北“鄂北联考”·期中)已知为椭圆上关于坐标原点O对称的两点，为椭圆的半焦距，P为平面上一点，且，椭圆的左、右顶点分别为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆对称性设出点坐标，再由向量数量积的坐标运算并根据可得点坐标，代入椭圆方程构造关于离心率的二次型方程可得结果. 【详解】由为椭圆上关于坐标原点对称的两点，可设，则， 设，则， 则， 整理得， 又，即可得， 则可得， 由， 则， 解得， 又，则， 代入到椭圆，可得， 又， 可得， 整理得，解得， 又，则， 易知，又， 所以. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用椭圆对称性设出点的坐标，将向量数量积进行坐标表示求得点坐标，代入椭圆方程得出关于离心率的等式即可得出结果. 变式训练11-2设椭圆的右焦点为F，过坐标原点O的直线与E交于A，B两点，点C满足，若，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，表示出，根据列方程，用表示出，然后代入椭圆方程构造齐次式求解可得. 【详解】设，则，则， 因为，所以， 所以， 因为， 所以，得， 又在椭圆上，所以，即， 整理得，即， 解得或（舍去），所以. 故选：D    【点睛】关键点睛：根据在于利用向量关系找到点A坐标与c的关系，然后代入椭圆方程构造齐次式求解. 变式训练11-3 (23-24高二下·湖南衡阳县三校联考·月考)已知分别是椭圆的左､右焦点，是的右顶点，过的直线与直线交于点，射线与交于点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题意可得，借助相似三角形的性质可得，即可得，，代入椭圆方程计算即可得离心率. 【详解】不妨设点在轴上方， 由，即有，， 则， 由，即， 故，， 故有，整理可得， 故或（大于1，故舍去）， 故. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助点的横纵坐标，结合题意得到的，计算出点坐标，再代入椭圆中即可得解. 题型十二、正弦定理与离心率 典例精讲12 (23-24高二上·黑龙江哈尔滨第三中学校·月考)已知M为椭圆：上一点，，为左右焦点，设，，若，则离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，结合三角恒等变换以及正余弦定理将化为，继而推出的关系，求得答案. 【详解】设，，则，    由得， 即， 在中，由正弦定理得， 故，又， 故， 即， 即，即或， 结合椭圆定义可知且， 故，即， 故选：C 【点睛】关键点睛：本题是椭圆的离心率的求解问题，即求之间的关系，解答的关键是对于已知等式的化简，即利用三角恒等变换结合正余弦定理将转化为三角形边之间的关系式，进而化简可得的关系，即可求解答案. 题型归纳 1.含有角的正弦时。可以不考虑正弦定理进行边角互化 2.角度通常含有三角恒等变换 3.化简后可以考虑余弦定理实构造等式，再进行齐次化运算。 变式训练12-1 (25-26高二上·江苏扬州高邮·期中)椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，且，若内切圆的半径，则椭圆的离心率为________. 【答案】 【分析】利用余弦定理找到，再将 的面积为用表示，利用三角形内切圆半径公式找到，利用正弦定理得出，使两个式子相等，解出，根据离心率公式即可得到答案. 【详解】设，. 由椭圆定义可知：，，， 在中，利用余弦定理可知： ，而， 所以，故， 而的面积为， 的周长为：， 由三角形内切圆半径公式可知：， 在中，利用正弦定理可知：， 所以由题知：， 化简得：，故椭圆的离心率. 故答案为：. 变式训练12-2 已知为椭圆：（）上一点，，为左、右焦点，设，，若，则该椭圆的离心率______ 【答案】/ 【分析】根据题意由和差化积公式可得，再由正弦定理和诱导公式即可求得该椭圆离心率. 【详解】利用和差化积公式可得：. 由两边同时乘以可得：，即. 设，，，则. 在中，由正弦定理可得， 所以. 所以该椭圆离心率. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据已知角的关系利用和差化积公式得出，再由正弦定理实现边角互化求得离心率. 变式训练12-3已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上存在一点P使，且△F1PF2为锐角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由正弦定理可得，由两角和的正弦公式和倍角公式化简可得，结合的范围和余弦函数的单调性即可得出答案. 【详解】设，则，由三角形的内角和为， 所以，在中，由正弦定理可得： ， 由可得：， 所以， 因为 ， 因为， 因为△F1PF2为锐角三角形，所以，解得：， 所以，所以， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以 题型十三、角度与离心率 典例精讲13已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，焦距为，点P为C在第一象限上一点，直线与y轴交于点M，，若直线的斜率为，则C的离心率为______． 【答案】 【分析】根据椭圆的对称性，可得，结合二倍角公式，求出直线的斜率，联立直线、可得点坐标，根据在椭圆上，可得关于的齐次方程，结合的关系，解方程可求椭圆的离心率. 【详解】如图： 易知，， 设，则，因为，所以. 因为，所以， 所以直线的斜率为：. 所以直线：；直线：. 由得：. 因为点在椭圆：上， 所以 ， 所以， 又，所以. 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到与的关系，进一步得到直线与的方程，从而得到点坐标. 题型归纳 角度问题特征： 1.斜率互为相反数角度互补 2.角度二倍考虑角平分线 3.三角形考虑内角和。 4.角度问题可以考虑正弦定理。 变式训练13-1 (25-26高二上·四川科学城第一中学·期末)数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的P点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在P点处的切线垂直于法线（即的平分线）．已知椭圆，坐标原点O到点P处切线l的距离为，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出辅助线，根据光学性质，得到点处切线与直线所成的角均为，求出点到l的距离，结合椭圆的定义得到原点到切线l的距离，得到方程，求出，由余弦定理，得到，求出离心率. 【详解】设点P处切线为l， 如图，是的平分线，则，设，则． 根据椭圆的光学性质，点P处切线l与直线所成的角均为， 点到切线l的距离分别为，． 为的中点， ∴由梯形中位线性质得，原点O到点P处切线l的距离为 ， ，故．又， 由余弦定理，得， ，即，故， 椭圆C的离心率．    故选：C． 变式训练13-2 (25-26高二上·浙江浙里特色联盟·期中)已知点，分别为椭圆的左、右焦点，点在直线上运动.若的最大值为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线，的倾斜角分别为，， ，且，利用差角正切公式、基本不等式求关于椭圆中参数的表达式，结合已知求椭圆参数的数量关系，进而求离心率. 【详解】由题意知，，，直线为， 设直线，的倾斜角分别为，， 由椭圆的对称性，不妨设为第一象限的点，即，， 则，. ， ，当且仅当，即时取等号， 又得最大值为， ，即，整理得，故椭圆的离心率是. 故选：C. 变式训练13-3 (25-26高二上·重庆彭水第一中学校·)已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点P在椭圆C上，直线与直线交于点Q，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设，，则，由题意，结合椭圆定义可列关于的方程由此即可得解. 【详解】 椭圆的左、右焦点分别为，离心率为， 不妨设，则， 点P在椭圆C上，直线与直线交于点Q，且， 所以， 又是的中点， 所以， 所以是正三角形， 所以，可得， 设，， 所以，即， 所以，解得， 又，所以，所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关键是想办法用含的式子表示出，从而即可顺利得解. 题型十四、椭圆与抛物线结合 典例精讲14 已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为焦点的抛物线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率______. 【答案】3 【分析】先求出抛物线方程为，设点的坐标为，求出，及，在中，，即可求解． 【详解】如图所示： 抛物线的焦点为，准线为， 则，得，得抛物线方程为， 设抛物线与双曲线在第一象限交于点的坐标为， 过点作准线，交准线于点，则， 由，得，得， 再由及，解得， 由，得， 在中，， 整理得，得， 即，得. 故答案为：3 题型归纳 椭圆与抛物线结合： 1.考虑两者的定义 2.两种曲线可以联立求解点的坐标 变式训练14-1 (25-26高二下·重庆西南大学附属中学校·期中)椭圆的左、右焦点分别为，，以右焦点为焦点的抛物线与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率__________. 【答案】 【分析】根据椭圆定义结合已知条件求出，利用椭圆第二定义及抛物线定义列方程求解离心率. 【详解】 根据题意，，， 所以，， 设的横坐标为，，解得， 抛物线的焦点为右焦点，可得， 可得，椭圆的离心率. 变式训练14-2 已知椭圆：（）与抛物线：（）有相同的焦点，椭圆与抛物线在第一象限交于点，轴，则椭圆的离心率等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，从而得，代入椭圆方程可得，再由及离心率公式求解即可, 【详解】由题意，抛物线的焦点为，则. 抛物线方程为. 因为轴且点在第一象限，所以点的横坐标为. 将代入抛物线方程得，故. 又点在椭圆上，且椭圆过焦点的通径半长为，因此. 由代入得. 两边同除以并设离心率，得. 解得（负根已舍去）. 变式训练14-3 (25-26高二·浙江舟山·期末)已知椭圆的左，右焦点分别为，且与抛物线的焦点重合，椭圆与抛物线准线的一个交点为，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】首先得出和的关系，然后求出点坐标，最后结合椭圆的定义列出关于的方程即可求解. 【详解】对于抛物线，其焦点坐标为，准线方程为， 由抛物线焦点与椭圆的右焦点重合可得，即， 因为椭圆与抛物线准线的一个交点为，所以点的横坐标为， 又，则点的横坐标为，所以， 在中，，由可得，， 由椭圆的定义可知，即，所以椭圆的离心率. 故选：C 题型十五、椭圆与双曲线结合 典例精讲15 (25-26高二上·湖北云学联盟·月考)已知点为椭圆与双曲线的公共顶点，点为双曲线第一象限内一点，直线分别与椭圆交于两点，若直线过点，且，则椭圆的离心率为__________. 【答案】 【分析】根据直线斜率公式，结合两角和的正切公式、椭圆的离心率公式、椭圆的对称性进行求解即可. 【详解】 ，设. 则， 又点P在双曲线上，则. ， 又点M在椭圆上，则. 注意到，则. 即直线MB与直线NB关于x轴对称，又椭圆为轴对称图形， 则M，N两点关于x轴对称，故. 因直线MN过，则，将其代入椭圆方程可得， ， 因为， 所以有 ，或，舍去， 解得， 故答案为： 题型归纳 椭圆与双曲线结合： 1.考虑两者的定义 2.两种曲线可以联立求解点的坐标 变式训练15-1 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为M，且．双曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，P为曲线与的一个公共点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】由，可求得，假设点在第一象限，则根据双曲线和椭圆的定义列方程组可表示出，然后在中利用余弦定理列方程化简可求出结果. 【详解】因为椭圆的上顶点为M，且， 所以， 所以，所以， 设双曲线的方程为， 假设点在第一象限，则 ，得， 在中，由余弦定理得 ，即， 整理得， 所以，则， ，所以， 所以， 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆和双曲线定义的应用，考查余弦定理的应用，解题的关键是根据椭圆和双曲线的定义列方程组表示出，考查计算能力，属于较难题. 变式训练15-2 已知椭圆和双曲线有公共焦点，（为左焦点），与在第三象限交于点，直线交轴于点且平分，则的离心率为_________． 【答案】 【分析】利用椭圆方程求出，利用椭圆和双曲线定义求出，设点，利用角平分线定理、两点间距离公式结合椭圆方程求出，进而求出离心率． 【详解】 椭圆中，故，， ， 由题意可知，且， 由椭圆定义可得①， 由双曲线定义可得②， 联立①②得， 由角平分线定理可知，， 设，在直线上，由分点比例得， 则，解得， 在椭圆上，则，解得， ， ， 由得， ，化简得， ， ，解得， ． 变式训练15-3 (25-26高二上·浙江金华部分示范高中·)已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且它们在第二象限的公共点为点，点与右焦点的连线交轴于点，且平分，则双曲线的离心率为________． 【答案】/2.5 【分析】由椭圆及双曲线的定义可得，，设，从而可得，在中，由余弦定理求得，在中，由余弦的定义可得，从而得，求出的值，再由离心率公式求解即可. 【详解】由椭圆的定义知，①，， 由双曲线的定义知，②， 由①②解得，， 设， 因为点与右焦点的连线交轴于点， 且平分， 所以， 在中，由余弦定理知， ③， 设， 则， 由角平分线定理知，， 即， 解得， 在中，④， 由③④得，， 解得或（舍）， 所以双曲线的离心率为． 故答案为： 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．设、分别为椭圆的左、右焦点，，、两点均在椭圆上且满足，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，设出，根据椭圆的定义可知，，在和中，利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】因为，所以设，则． 由椭圆的定义，得，， 在中，， 因为，所以．① 在中，，即．② 联立①②，解得，， 又因为，所以椭圆的离心率． 2．(25-26高三下·河北秦皇岛山海关第一中学·二模)已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出另一个焦点，利用椭圆的定义结合余弦定理求出基本量的关系，可得椭圆的离心率. 【详解】如图， 设椭圆的左焦点为，根据椭圆的对称性可得：四边形为平行四边形， 所以，， 所以，所以. 又，所以. 在中，由余弦定理得：， 即 . 所以椭圆的离心率为. 3．(25-26高二下·陕西西安临潼区华清中学·期末)已知椭圆的离心率为，且经过点，过原点 的直线与交于 两点，若，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由离心率和点 求出椭圆方程及点坐标，设过原点的直线与椭圆交点关于原点对称，利用垂直条件向量点积为零，结合椭圆方程解出斜率平方，检验排除与重合的情况，得到斜率. 【详解】已知椭圆离心率，则， 椭圆方程可化为，即 . 代入点得， 因此 ，椭圆E的方程为 ，点A坐标为 . 椭圆关于原点对称，直线过原点，故关于原点对称，设，则， ， 直线的斜率. 由，得 ， 即，展开化简得. 在椭圆上，故满足 ，联立方程， 两式相减得 ，代入得，因此斜率， 当时，联立与 ，解得， 此时点与点重合，为零向量，不满足垂直条件，故舍去. 因此的斜率为. 4．(23-24高二下·山西祁县中学校·)从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆T与双曲线S构成，现有一光线从左焦点发出，依次经S与T反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的S去掉，如图②，此光线从点 发出，经T两次反射后又回到了点，历时秒.已知，则T的离心率与S的离心率之比（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆定义与双曲线定义可得的周长与的周长，再利用计算可得，即可得离心率之比. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为， 在题图①中，由椭圆的定义得， 由双曲线的定义得， 两式相减得， 所以的周长为， 在题图②中，的周长为，因为光速相同， 所以，又因为， 所以，所以T与S的离心率之比. 5．椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆内壁反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆 的左、右焦点分别为从发出的一条光线交椭圆于点A，在点A处反射后交椭圆于点B，在点B处反射后再次经过点.若且 则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用椭圆的定义得到线段之间的关系，再结合余弦定理建立关于的方程，进而求出离心率. 【详解】设，所以，故，，则 在中，， 即， 化简为，解得：， 在中，根据余弦定理，， 即，化简为 两边同时除以得：，则离心率.    6．椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为A，P为C上一点，，以为直角顶点的直角三角形的面积为，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据三角形面积公式求解，通过椭圆的几何性质即可得到，结合余弦定理求解得到椭圆离心率. 【详解】已知椭圆，则左、右焦点分别为，，点坐标， 因为是以为直角顶点的直角三角形，所以， 直角边， 而，因此， 而，因此， 在中，，，由余弦定理得， 即， 化简得，而， 因此离心率.    7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为第一象限内一点且在椭圆上，交轴于点，若，，则的离心率为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据方程可得，根据题意可得为的角平分线，结合角平分线性质可得，设，可得，代入椭圆方程可得，进而可得和离心率. 【详解】由题意可知：，则，， 因为，，则为的角平分线， 则，可得， 设，，，则，， 因为，则，解得，即， 则，解得，即， 则，则，即， 所以椭圆C的离心率. 8．设，分别是椭圆：（）的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为________． 【答案】/ 【分析】利用椭圆的定义表示，再结合直角三角形勾股定理建立与的关系，进而求得离心率. 【详解】设，则，， 根据椭圆定义，，， 又因为，所以在中， 即，解得，则，， 则在中，，即， 所以 故离心率. 9．已知O为坐标原点，若椭圆E：上存在三点A，B，C，使四边形OABC为正方形，则椭圆E的离心率为__. 【答案】 【分析】利用正方形的向量性质得到各顶点坐标关系，代入椭圆方程化简得到与的关系式，再结合椭圆基本参数关系推导离心率. 【详解】如图，为原点，四边形为正方形，因此满足，且， 设，将逆时针旋转90°得，则，因此点坐标为， 都在椭圆上，分别代入椭圆方程，得①，②， ①②得，因为，则，因此， 若，则，代入椭圆方程得，即， ①②得，代入化简得，与矛盾； 若，则，代入椭圆方程得，即； ①②得，代入化简得 又，所以，整理得，即， 因此离心率.    10．已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，满足，则椭圆的离心率_____． 【答案】 【分析】设，则，，，在分别由余弦定理解得，计算即可求解. 【详解】因为，所以可设过点的直线与椭圆在第一象限的交点为，如图所示： 设，则，，， 由题意可得，， 在分别由余弦定理解得： ，， 即，， 解得，，即. 故答案为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08椭圆离心率十五类综合题型（压轴题专项训练) 目 录 通法归纳一明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一周长与离心率 题型二面积与离心率 题型三向量与离心率 题型四余弦定理与离心率 题型五内切圆与离心率 题型六圆与离心率 题型七外接圆与离心率 题型八角平分线与离心率 题型九对称性与离心率 题型十斜率与离心率 题型十一代点法与离心率 题型十二正弦定理与离心率 题型十三角度与离心率 题型十四椭圆与抛物线综合 题型十五椭圆与双曲线综合 压轴挑战一攻克高难压轴， 突破思维上限 ◆◆ 夙通法制归纳一明晰核心解法，助力能力迁移 椭圆的离心率问题是高中数学核心重难点，题型涵盖范围较广，知识点综合性强，包含圆，斜率，渐 近线，周长与面积，角平分线等，解题需注意：一离心率计算量大可以采取换元法，二是椭圆具有对称性， 注意利用的对称性转化点坐标，三椭圆二级结论较多，小题可以适当使用 ◆◆ 同题型精讲精诗臭型道法，务失解题根透 1/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型一、周长与离心率 负暗团1日如c台长=1o>6n的在在方：pQc上P0热齐 a 24 ∠PFQ=90°，且△PFQ的周长为号a,则C的离心率为() A 6.1 6 1 C. 0. 4 题型归纳 周长问题可以考虑： 1.椭圆对称性转化线段 2.设点坐标求解线段长度 试训选1p。Q60》的点B是的两直 △AF1B周长的取值范围为m,5m,则C的离心率为() A.2 B. 3 1 C.3 D 3 3-5 变式训露12526商三上天建第一中学期已和P是双阳我C:冬00,6>0)的右焦直 5 直线y= 2 b与C交于A,B两点若△ABF的周长为9a,则C的离心率为() 4 A.2 B. 3 C. 3 0.5 变式训练1.32425高二下贵州避义)设点F为椭圆E:+兰=1a>b>0)的右焦点，M是圆0： a b2 x2+y2=b2与x轴正半轴的交点，过点M作圆O的切线，交椭圆E于A,B两点，若△4BF的周长是4b, 2/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则椭圆的离心率为() 1 3 A.2 B. 2 C.2 3 0.3 题型二、面积与离心率 典例精进22526高二下广西挂林龙胜各族自治县龙胜中学)已知椭园C:兰+二=1（a>b>0)的左、 a2 b2 右焦点分别为F,·F,过r,的直线与椭圆C交于MN两点（不与顶点重合），若2SAm6=5SaMF, 且∠F2F,N=∠F2NF1,则椭圆C的离心率为() 3 A.3 B.5 C. 5 4 题型归纳 面积求解离心率： 1.S= a~b~sin∠C可以实现边角互化 1 2.等面积法可以实现边角互化 3.边长问题可以转化成面巾问题。 试训练21526高三上江西九江六校协作体期末已知稀圆：式+1>b≥0的左、有焦点分 别为F,F:过点F,的直线交C于A,B两点，O为必标原点，若AB=a,且△R,AB的面积是 △AOF1面积的5倍，则C的离心率为 变式训盥22已知椭圆c:父+上 22方行a≥b>0的左、右顶点分别AB左焦点为rp为椭圆上点 直线AP与直线X=a交于点M,∠PFB的角平分线与直线X=Q交于点N,若PF⊥AB,△MAB的面积是 △WFB面积的倍，则椭圆C的离心率是() 3/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c.1 6 变式训练23设F,F,分别为椭圆C:士+兰=1(a>b>0的左，右焦点，以F,为圆心且过F,的圆与x轴 交于另一点P,与y轴交于点Q,线段QF2与C交于点A.已知△APF2与△QF1F2的面积之比为3：2， 则该椭圆的离心率为() B.9V13-3 c.3-1 D. V3+1 4 题型三、向量与离心率 终例精讲3已知瓶黑C:合+1a>b>0的左石点分别为，上，2pc何若 POl=PF,=PF(O为坐标原点)，则C的离心率为() A. B. 2 6 2 3 C.3 0.3 题型归纳 向量问题思考方向： 1.向量线性转化 2.向量中点转化 3利用向量求夹角线段等。 变式训练312526高二上江苏无锡宜兴六校期中)已知椭圆C:+号-1a>b>0的左、右焦点分别为 R,F,点A在C上，点B在y上，A上FB.方=号可B,则G的离心率为一 C。+岁-1a>b0的下顶点， 变式训练3-2(25：26高二上河南郑州“八校联盟”，期中)已知点4是椭圆C:丈+之 4/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F是C的右焦点，延长AF交C于点B,若AF=2FB,则C的离心率为 变式训练33(25,26高二下河南鹤塞高中已知F,,分别是椭园C:兰+兰=1a>b>0的左.右焦点， a2 b2 O为坐标原点，P,Q是椭圆C上的点，若△PQF,的面积是b,且P京，+2Q=0,则C的离心率是 题型四、余弦定理与离心率 典例精进42526高二山西运域期未已知椭圆c:士+兰-1a>b>0的左焦点为F:点M,N在椭圆C a2 b2 上，若四边形OFMN为菱形，则椭圆C的离心率为() 1 A. B. 2 2 c.2-1 D.3-1 2 题型归纳 1.椭圆中与焦点相关的多个三角形可以考虑多次使用余弦定理建立等式. 2.齐次化构造离心率e. 变式训练41(2526高二下.上海曹扬第二中学月考)已知椭圆x+y 。+尔-1Q>b>0的左、右焦点分别是 F,、F,过F,的直线与椭圆交于P、Q两点.若PF,=2PF,=3F,Q:则该椭圆的离心率为 交式训蚕42526西要明闲0图点E上分别是稀国C名+1a>b>0的、 右焦点，A、B是椭圆C上两点，FA=多可B,且2F,AF:=乃则椭圆C的离心率为一 5/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式训练43(2526高二上吉林东北师范大学附属中学期末)已知P为椭圆X+y =1a>b>0上的-点， ab2 FF,分别为左、右焦点，A为右顶点，O为坐标原点，点A到OP的距离为d,d,≠0？点P到x轴的距 离为d,若d,=2d,且PEPE,=Po,则此椭圈的离心率为一 3 题型五、内切圆与离心率 典例精进525-26高二下湖北新八校协作体月考)椭圆℃：父+ 言岁=1a>6>0)的左石焦点分别为rF, p是C上一点且∠FPF2=60:t是△PF,F,内心，连接pr的直线交x轴于M:若FM=2M下，：则 该椭圆的离心率为() 1 A. 3 C. 6 2 B. D. 2 3 3 2 题型归纳 内切圆问题通常考虑： 1.等面积法 2.角平分线 3.切线长相等 变式训然51(2526高=上福建泉州第五中学期末已知椭园C:艾+兰=1a>6>0的左、右焦点分别为 F、F2,点P为椭圆C上不与左右顶点重合的动点，设I,G分别为△PFF2的内心和重心（内心和重心 6/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 不重合).当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，椭圆C的离心率为() 1 1 3 A.3 B. 3 2 C. 3 0.2 变式训练5-2(25-26高二下四川资阳安岳中学开学考)已知F1（~C,0),F2(c,0(c>0)分别为椭圆 C:大ty=1O>b>0的两个焦点，M为C上异于顶点的在意一点，△ME,E,的内心为p'连接MP开 延长交F1F2于点N,若|MN|=4|PN,则C的离心率为() 1 A.2 B.2 C.3 变式训练5-3(25-26高二上甘肃兰州兰州新区多校期末)已知O为坐标原点，F1,F2为椭圆 兰+兰=1la>b>0的左、右焦点，F,F=8,p是椭圆上异于项点的一点，点Q是以pF,为底的等腰 6 △F1PF2的内切圆的圆心，过F1作FM⊥PQ于点M,OM=2,则椭圆的离心率为 题型六、圆与离心率 典创精进62526商二上湖南怀化：期末设耳，F,分别是稀圆C:士+号-1的左、右焦点，圆 a2 b2 X+y'=a2-b2与椭圆C在第一象限内的交点为p延长PF,与椭圆C交于点Q若PF,=2QF,则椭 圆C的离心率为() A. 5 B. 2 D. 3 C.3 题型归纳 与圆结合时： 1.考虑圆的对称性 7/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.考虑圆的方程 3.考虑圆的圆心与半径的性质 拉法D6不好字野子0<4<o片塑回海 N两点，若cos∠MFN=127 162' 则E的离心率为一· 度式练6245商分学取开学考已知P远稀C名+10>h>0尚在传点，过 点F的直线与+y-号交于A,B两点，1与C在y有侧交于点D.且RA=A-BDl,测G的庆 心率为 变式训练6-3(25：26高二上河南安阳第一中学已知椭圆C:丈 6 =1a>b>0圆 M:X-2aP+y-牙，过原点O且斜车为正的直线与圈M相切于点N,与椭圆C在第一象限交于点B,若 B是ON的中点，则椭圆C的离心率是 题型七、外接圆与离心率 奥创精进72526高二上吉林长春第十七中学)已知椭圆7：+兰=11a>b>0的左、右焦点分别为 a2 b2 F1,F2,P为T上一点，且∠E,PF2=60”△PF,F,的外接圆面积是其内切圆面积的16信，则椭圆T 的离心率e= 题型归纳 外接圆知识点： 1.外接圆半径考虑正弦定理 2.外接圆圆心为中垂线的交点 8/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.圆中需注意随时注意直径所对的圆周角是直角 4.圆的性质需要随时考虑。 空式训练12526商二上福建三明第一中学期中已知椭圆c:之+兰=1a>b>0'FF,分别是c a2 b2 的左、右焦点，P是C上异于左右顶点的动点，记△PF1F2的内切圆面积为S1,△PF1F2的外接圆面积 为S,若的最小值为4：则C的离心率为() A.2 2 B.2 c 3 0.3 变式训练922425高二上江西景德镇一中：期中已知椭圆寸+兰=1a>b>0)的左、右焦点分别为F a F2,P为椭圆上的动点.若△PF1F,的外接圆和内切圆的半径之积的最大值为22+2 则该椭圆的离心 率为 变式训练7-3(2324高二上重庆永川北山中学校期中)设椭圆x+y 日+岁=1(a>b>0的焦点为r,E,P是 椭国上一点，且∠FPF:=号则△FPF,的面积为 (用含a或b的式子表示即可)若 △F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R,r,当R=6r时，椭圆的离心率为 题型八、角平分线与离心率 典例精进825,26高二江苏苏州期在平面直角坐标系x0y中，已知椭圆c:￥+广=1a>b>0的 a b2 左、右焦点分别为F'F'E,E,=2:C上有一点p位于第一象限，线段PF交y轴于点M,PM=/2 若F2M为∠F1F2P的角平分线，则C的离心率为() 9/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A. 2 3 B.2 c.2-1 D.3-1 2 题型归纳 角平分线方法： 1.角平分线平分角 2.角平分线比值对应相等：即较平分线分成的两个三角形，对应边长比值相同 3.角平分线考虑等面积法 变式骏812526高帝阳期利E别p是稀职C。+1a>b20上第一象限内的点 F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点，∠F1PF2=60°，点Q在∠F1PF2的平分线上，O为原点， OQ//PF1,且OQ=b,则椭圆C的离心率为 变式训练82(2526高二内蒙古包头期末已知椭圆c:+上=1与双曲线E:兰=1(a>0,b>0)有 95 a b2 相同的焦点F1,F2,且它们在第二象限的公共点为点P,点P与右焦点F2的连线交y轴于点Q,且QF1平 分∠PF:F2,则双曲线E的离心率是 变式训练83如图，椭圆焦点三角形的∠F1AF2=90°，AB为∠F1AF2的角平分线且AB=2BD,则 椭圆离心率为 题型九、对称性与离心率 猛进92576比o足半标原高，r足和园苄+1a>h>0网玉要 10/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 上的点p关于点o的对称点是Q若∠PF,Q=60,|PQ=a 则该椭圆的离心率是 题型归纳 椭圆中有平行线，特殊四边形可以考虑椭圆的对称性，利用对称性设点 变式训练91(2526高二下黑龙江大庆实验中学开学考已知P,Q是椭圆E:兰+少-1a>b>0上关于 原点O对称的两点，F是E的右焦点，PF的延长线交E于点R,∠QFR=60°，3QF=5RF,则E的离心 率为 变式训练9,225：26高二上：福建宁德柘荣县第一中学月考)将椭圆C,:+兰-1a>b>0上所有的点绕 原点旋转(0<日<乃)角，得到曲线C的方程：X+y2-y=6,则椭圆C,的离心率为一 2 变式训练9-3(25-26高二上江西景德镇乐平第一中学.月考)如图，点F1,F2分别是椭圆C: 长1ob0)的，能点A,Bo病点F=上上a分c d 离心率为 题型十、斜率与离心率 奥植讲10526商上甲天分考已知南肉C名+1a≥b>0,0为坐标原点，直酸 11/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=k:与椭圆C交于P,Q两点，点P关于X轴的对称点为P,且A=P户，若直线 3 QA与椭圆C交于点B,且PB·PQ=0,则椭圆C的离心率为 题型归纳 斜率问题分析方法： 1.设点斜式方程： 2.利用倾斜角； 3.点差法。 变式训练1011 1的右焦点和右顶点分别为F'A'点M在C上.若直线MF与MA的 9b2 务车之海号r- 3,则C的离心率等于」 变式训练10-2已知椭圆E:×+ +卡=1a≥b>0的左，有焦点分别为F,F,P为E上与顶点不重合的点 I为△PF1F2的内心，O为坐标原点，记直线OP,OI的斜率分别为k1,k2,若3k1=4k2,则椭圆E的离心 率为 变式训练103已知椭圆C:Y+兰=1a>b>0)的右焦点为，P,Q为C上关于原点对称的两点， a2 b2 PF⊥QF' 直线PF交C于另一点M,若直线QM的斜率为b2, 则C的离心率为 3a 题型十一、代点法求离心率 典例精进11(25-26高二下·云南玉溪峨山彝族自治县第一中学开学考)已知A为椭圆 C兰+若-1加>60的上点，点灯N的事标分男为0。-l0ta点p0提 12/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 位于第一、三象限上的两点，且MP‖NQ,直线AP和AQ的斜率之差为-6，∠PAQ=T, 4 则椭圆的离心 率为 题型归纳 1.利用椭圆对称性设出点坐标 2代入椭圆方程构造关于离心率的二次型方程可得结果 变式训练1-12425高二上湖北“鄂北联考”期中)已知M,N为椭圆+兰=1a>b>0上关于坐标原 a b 点O对称的两点，c为椭圆的半焦距，P为平面上一点，且PM·PN=0,OP=c,椭圆的左、右顶点分别 为A,B,若NM·AB=2ac,则椭圆的离心率为() 人号 93 B.2 c.3-1 D.V5-2 变式训练1-2设椭圆E:父+y ,a>6>0的右焦点为品.过丝标点0的直线与交于4，B点 点c满足A=子F心，若AB.O心=0，AC·萨=0，则B的离心率为() 3 5 A.g 5 5 B.7 C.5 5 0.3 变式训统132324高=下湖南衡阳县三校联考，月考)已知卫，F,分别是椭圆M:士+=1a>b>0)的 a 左，右焦点，A是M的右顶点，过F,的直线与直线X=3a,C交于点P,射线F,P与M交于点Q,且 2 ∠QE:∠BAR=,则M的离心年为() 1 3-1 A.2 B. C.4 D. 2-1 2 2 13/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型十二、正弦定理与离心率 典例精进1223-24高二上黑龙江哈尔滨第三中学校月考)已知M为椭圆：寸+上=1a>b>0上止一点， a b2 F1,F,为左右焦点，设∠MF,F,=a,∠MF2F1=B,若sinQ-sincosB=1 则离心率e=() sinβ+cos a sin B3' 4.1 B. 3 c D. 3 题型归纳 1.含有角的正弦时。可以不考虑正弦定理进行边角互化 2.角度通常含有三角恒等变换 3.化简后可以考虑余弦定理实构造等式，再进行齐次化运算。 空式训练1212526高=上江苏扬州高邮期中)椭圆C:兰+兰=1a>b>0的左、右焦点分别为F a2 b2 p是播圆C上一点，且∠RPF,=受、若△FPE,内切题的半， PF2 ,则椭圆c的 9sin∠PF1F2 离心率为 变式训练122已知M为椭圆：义+y 苦+长1ab0》上点Fr,为左、有焦点，设2MF,R,-a ∠MF,F1=B,若cosa:E=2cosa+e 2 )二，则该椭圆的离心率e VA F1O F2 14/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式训练123己知椭圆C:士+之=1a>0,b>0的左、右焦点分别为A,乃，椭圆C上存在一点P 使∠PF2F1=2∠PF1F2,且△FPF2为锐角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是() B. V23 2’2 c.(2-1,3-1) D. 2 0,2 题型十三、角度与离心率 例精进13已知椭圆C:丈土=1Q>b>0的左、右焦点分别为E?E,'焦距为2。'点P为C在第一 家限上一点，直线PF,与y箱交于点M∠PF,M=∠MF,F,若直线PE,的斜率为则C的离心率 为 题型归纳 角度问题特征： 1.斜率互为相反数角度互补 2.角度二倍考虑角平分线 3.三角形考虑内角和。 4.角度问题可以考虑正弦定理。 变式训练131(25-26高二上四川科学城第一中学期末)数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质： 从椭圆的一个焦点F1发出的光线经过椭圆上的P点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点F2,且在P点 的切线莲重法线®EP正的平分现·已知隔圆℃：名+Q>h>0色杯原点O到点 15/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 处切线1的距离为 3a ， 且PFPF2=ab,则椭圆c的离心率为() V15 3 啊 A. B. C. 4 4 0.8 变式训练1322526高二上浙江浙里特色联盟期中已知点F,'F,分别为椭圆C:丈+少=1Q>b>0的 左、右焦点，点Q在直线l:x=a上运动.若tn∠F1QF2的最大值为V3,则椭圆C的离心率为() A. V2 3 3 R2 B. C. 4 3 2 0.2 变式训练13,32526高二上重庆彭水第一中学校)尼知椭园C:+上-1a>b>0)的左、右焦点分别为 P,F2,房心率为号点P在精圆C上，直线P与直线y3x交于点Q,Q5土QF,面 tan∠F1PF2=() A.V3 B.9V2 V2 C.2 D. 3 题型十四、椭圆与抛物线结合 奥签话14吸钱c号芳-1o>0,60的左、台货点分到为F以上，为在点做排物线 y=2px(p>0与双曲线c在第一象限交于点p若6PF,=5E,F, 则双曲线一的离心率 e= 题型归纳 椭圆与抛物线结合： 1.考虑两者的定义 2.两种曲线可以联立求解点的坐标 C训纸1412526高三下重肤西南大学附属中学夜期甲可椭圆X+1Q>b>0的左、右焦点分别 16/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F1,F2,以右焦点F2为焦点的抛物线y=2pxp>0与椭圆在第一象限的交点为P,若 PFPF=F,F,则椭圆的离心率e= 变式训练142已知椭园c兰+兰=1口>b>0）与抛物线gy=2pNp>0〉有相同的焦点p椭 圆C与抛物线E在第一象限交于点P,PF⊥x轴，则椭圆C的离心率等于() V2-1 A. V2 2 B.92-1 c.1.2 D. 2 2 变式巡继432526高二浙丽已所圈+>b≥0的东，有黑分为RR,月广 F,与抛物线y=2Pxp>0)的焦点重合，椭圆与抛物线准线的一个交点为A,若∠F,F2A= 6 则椭圆 的离心率为() A.3 B 13 3 C.3 D.3 题型十五、椭圆与双曲线结合 典例精进1525-26高二上湖北运学联盟：月考)已知点A,B为消☒C,:X+名三1Q>b>0写双曲线 X兰=1的公共顶点，点p为双曲线第一象限内一点，直线A,PB分别与椭圆C,交于M,N两点，若 C2 a2 b2 直线MN过点Q 0且tan∠AMB=-2,则椭圆C,的离心率为 Q 题型归纳 椭圆与双曲线结合： 1.考虑两者的定义 2.两种曲线可以联立求解点的坐标 17/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式训练T已c名七岁1a>h0的医分别内p正药ec印 顶点为M,且M下，·M下，=0：双曲线C,和椭圆C有相同焦点，且双曲线C,的离心率为e,P为曲线C 与C,的一个公共点，若∠FPF:=号则e,的值为《） V5 6 A.2 B.3 C. 2 0.2 威线52已c苔号双c号若=1a060内会类k:k,k 焦点)，C1与C2在第三象限交于点M,直线MF2交y轴于点N且F1N平分∠MF1F2,则C2的离心率为 变式训继1532526商二上浙江金华都分示范商中尼知桶风C:父+兰=1与双曲线E:女，兰=1有相 43 a2 b2 同的焦点F1,F2,且它们在第二象限的公共点为点P,点P与右焦点F2的连线交y轴于点Q,且QF1平分 ∠PF1F2,则双曲线E的离心率为 ◆◆ 同压轴挑战一或克高难压釉，突孩思维上保 1.设pF,分别为椭圆C:号+兰=1a>b>0的左、右焦点·F,F,=23AB两点均在椭园c a2 b2 且满足AF11AF,'A京，=2F2B'则椭圆C的离心率为（) A c 5 D.3 2.2526高三下河北秦皇岛山海关第一中学.二模)已知椭圆x+y 日+方-1a>b>02的右焦点为p过原 18/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点的直线交椭圆于A,B两点，若2BF=3AF,且∠AFB=号则椭圆的离心率为《) A.3 V15 V17 V19 B. C. D. 5 尼，2526高下陕西西安临通区华清中学期末已知E:文+龙三(Q>6>0的腐心率为3，且经 2 过点A(b,1过原点0的直线卢E交于B,C两点，若AB⊥AC则的斜率为（） B.-1 c.-V3 D.-2 4.(2324高二下山西祁县中学校)从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的 另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的 另一个焦点如图①，一个光学装置由有公共焦点F1,F的椭圆T与双曲线S构成，现有一光线从左焦点 F1发出，依次经S与T反射，又回到了点F1,历时t1秒；若将装置中的S去掉，如图②，此光线从点F1 发出，经T两次反射后又回到了点F,:历时，秒.已知，=4，：则T的离心率e,与S的离心率e,之比1= e) e2 图① 图② 4. V6 B. 1 3 C. 2 2 03 5.椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆内壁反射后，反射光线过椭圆的另一 个焦点已知椭圆C:X关a>b>0的左、右焦分为P从r,发出的一条光线交椭圆于 19/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点4，在点4处反射后交椭圆于点B,在点B处反射后再次经过点E.若c0s∠F1AF2,且 AF1=2BF1,则C的离心率为() 1 1 A.3 2 C. 2 3 2 0.3 Q椭圆CX±之=1>b>0的、右焦点分别为E?E下顶蓝为4，P为C上一点 么R,PF,号 以F为直角顶点的直角三角形PF1A的面积为ab,则C的离心率为() 4.3 B. 5 7 3 3 c.y 4 7.已知椭圆C:女+兰=1la>3的左、右焦点分别为F'Fp为第一象限内一点且在椭圆c上， a2a2-3 PF交y轴于点M:若FM=2M心'∠F1E,M=∠PF,M:则C的离心率为（） 12 2 B. c.V3-1 D.9/3-1或V2-1 2 &g几园名为ah20阿过P闻p0 且PF1⊥PQ'PF,3QF则椭圆E的离心率为 0鸡坚怀原点，石福盟B:±1Q>b>0上存在惠点4，C使四边形OBc为正万形 则椭圆E的离心率为· 0已知椭圆C:义2+之 +兰=1(a>b>0)的左右焦点分别为F,F,:过右焦点F,且倾斜角为加的直线交椭圆 3 于A,B两点，满足2A户2=FB'则椭圆C的离心率e=一， 20/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21/21