专题07抛物线小题七类综合题型（压轴题专项训练）高二数学人教B版选择性必修第一册

**基本信息** 以七类综合题型为框架，通过通法归纳-题型精讲-压轴挑战三级体系，系统提炼抛物线小题解题方法，构建从定义应用到综合最值的知识逻辑链，培养逻辑推理与数学建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|核心解法归纳|明晰定义、参数求解等通法，助力能力迁移|从抛物线概念原理出发，奠定解题基础| |题型精讲|7题型（每题型1典例+3变式）|针对定义方程、和差最值等题型提炼专属方法（如将军饮马、定义转化、弦长公式）|按“概念应用→几何综合→代数运算”递进，形成知识网络| |压轴挑战|10道高难题|综合运用多模块方法，突破思维上限|整合向量、不等式等跨知识点，实现知识迁移与综合应用|

学科网（北京）股份有限公司 专题07抛物线小题七类综合题型（压轴题专项训练） 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一 抛物线的定义与方程 题型二 抛物线中的和差最值 题型三 抛物线中的面积问题 题型四 直线与抛物线斜率问题 题型五 弦长问题 题型六 向量问题 题型七 基本不等式与最值 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 抛物线小题是高中数学的重难点，题型涵盖抛物线方程，周长面积弦长等，此类问题知识点较为综合：一考查内容综合正余弦定理，二考内容会涵盖向量，三考查内容涵盖定值定点，斜率角度等问题，这类习题经常需要多方面考查各类内容. 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、抛物线的定义与方程 典例精讲1 (24-25高二上·贵州遵义红花岗区·期末)已知点是抛物线上任意一点，若点到直线的最短距离为，则抛物线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用点到直线的距离公式和最值求出的值，得到抛物线方程. 【详解】联立，消去并化简得：， 因为点到直线的最短距离为， 所以抛物线与直线无交点，且点到直线的距离为， 所以，且 所以，且当时，， 解得或，又，所以， 所以抛物线方程为， 故选：C 题型归纳 1.抛物线的标准方程需要考虑p. 2.方法：一考虑抛物线的定义，二考虑通过代数式求参数. 变式训练1-1 已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，圆与直线相交于两点，与线段相交于点，且．若是线段上靠近的四等分点，则抛物线的方程为________． 【答案】 【分析】设，表示出，利用抛物线定义、点在抛物线上以及圆的弦长的几何性质列出关于的方程，即可求得p，即得答案. 【详解】由可知， 设，则， 则，故，即①； 又点在抛物线上， 故②，且，即③， ②联立得，得或， 由于，故，结合③， 解得，故抛物线方程为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要结合抛物线的定义以及圆的弦长的几何性质，找出参数间的等量关系，从而列出方程组，即可求解. 变式训练1-2 (22-23高二上·广东珠海第一中学·期末)已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过的直线交于、两点，交准线于点．若平分，，则的方程为 ______． 【答案】 【分析】设直线的方程为，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，可得，再由抛物线的定义和平行线分线段成比例、直角三角形的正切函数的定义和二倍角的正切公式，化简整理可得，分别解得，的纵坐标（用，表示），结合韦达定理，解方程可得的值，可得抛物线的方程． 【详解】设过的直线的方程为， 与抛物线的方程联立，可得， 设，，， 则，， 则． 过作，垂足为，过作，垂足为， 则，，设，， 则， 即有， 设，则， ，即， 则， 解得， 则，，可得， 即有， 又，解得，， 又，可得， 又，则，解得， 则抛物线的方程为．    故答案为：． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 变式训练1-3 (25-26高二下·河北邢台卓越联盟·)若抛物线上的动点P到C的准线的距离为d，点，则的最大值为________，此时点P的坐标为________． 【答案】 【详解】抛物线的焦点，准线，由抛物线定义得， 则，当且仅当是线段的延长线与抛物线的交点时取等号， 直线，由且，得，即点， 所以的最大值为，此时点P的坐标为. 题型二、抛物线中的和差最值 典例精讲2. (25-26高二下·广东深圳龙岗区龙城高级中学·期中)已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】直线方程与抛物线方程联立，求得，利用抛物线定义可得，再根据基本不等式得结果. 【详解】由题知，的焦点，准线为， 如图，作准线，准线， 联立，得， ，解得， 设，则， 又， 当且仅当时等号成立. 题型归纳 和差最值问题： 优先考虑将军饮马，直线需要考虑与直线对称，圆需要考虑圆心转化。椭圆、双曲线、抛物线需要考虑定义转化。 变式训练2-1 (25-26高二·山西太原·期末)希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值且的点的轨迹是圆”．后来，人们将这样的圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，点是当的阿氏圆上的动点．若点为抛物线上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】先求出点的轨迹方程，再结合阿波罗尼斯圆的定义及抛物线的定义可得，当且仅当四点共线时取等号. 【详解】设，已知，， 则，化简整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆； 抛物线的焦点，准线方程为， 则， 当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号， 又， 所以的最小值为. 故答案为： 变式训练2-2 (25-26高二上·福建泉州·期末)已知抛物线的焦点为,为上两点，为坐标原点.若在以为直径的圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由在以为直径的圆上得，代入点坐标及坐标之间的关系，用表示出，由抛物线定义列出关于的表达式，利用基本不等式求得的最小值. 【详解】设，则， ，， 由题意可知，即， ∴， ∵，∴，， ∴，∴， ∴∴，或，∵， ∴， ∵， ∵，当且仅当，即时取等号. ∴， 故选：D. 变式训练2-3 (25-26高二上·江西萍乡·期末)设点为抛物线C：上任意一点，P为直线：上一动点，则的最小值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】将的最小值转化为到焦点与点P的距离和的最小值问题，数形结合可得最小值. 【详解】由抛物线C的方程，知其焦点为，准线方程为， 所以， 的最小值，即的最小值， 如图， ，当且仅当与抛物线交于，即三点共线时等号成立， 而的最小值为点到直线：的距离， 所以的最小值为. 故选：C. 题型三、抛物线中的的面积问题 典例精讲3 (25-26高二上·贵州贵阳·期末)过抛物线的焦点作一条直线与抛物线交于两点，，抛物线的准线与轴交于点，则的面积为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义求出和直线的斜率，再结合韦达定理求出两点间的距离，使用三角形面积公式计算即可. 【详解】如图所示， 已知可得焦点，准线，可得，则, 设直线倾斜角为，过作准线的垂线，垂足分别为， 由抛物线定义可得：, 设，则,， 过作于点，则 , 在中，,故直线倾斜角， 直线的斜率，故直线的方程为：, 联立，消去得：, 设，则 ， . 故选：D 题型归纳 1.面积一般涉及到三角形面积、四边形面积、圆的面积； 2.方法：三角形面积一般考虑两种面积公式，四边形面积可以考虑将四边形分成两个三角形，或者对角线垂直，靠对½对角线相乘。 变式训练3-1 已知抛物线：（）的焦点到的距离为1，是抛物线上的动点，到的距离与之和的最小值为1，则点的轨迹围成的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出抛物线的焦点坐标及准线方程，再探求点的轨迹图形，进而求出面积. 【详解】抛物线：的焦点，由到的距离为1，得， 而，解得，则抛物线的焦点，准线方程为， 直线与准线的距离为1，由到的距离与之和的最小值为1， 得到准线的距离与之和的最小值为2，因此的最小值为2， 显然，当且仅当点在线段上时取等号，则， 此时点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，由点在线段上，得点在圆内， 又直线与的距离为1，当点在直线上，点在直线及下方的抛物线弧上， 且垂直于直线时，到的距离与之和为1，符合题意， 因此点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆在直线及下方的圆弧与弦组成， 而点到直线的距离是1，则， 所以点的轨迹围成的面积扇形的面积减去的面积， 即. 故选：A 【点睛】关键点点睛：把点到的距离与之和的最小值为1，转化为到的距离与之和的最小值为2是解决问题的关键. 变式训练3-2 (25-26高二上·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)已知，，动点P满足，O为坐标原点，则最小值为__________；过点P作抛物线的两条切线，切点分别为M，N，则面积的取值范围是__________． 【答案】 2 【分析】设，结合已知可得动点P的轨迹方程，进而可求的最小值；先求得切点弦的方程，进而求得弦长与点到直线的距离，进而计算可求得面积的取值范围. 【详解】设，因为，，， 所以， 两边平方， 所以，整理得， 所以，所以动点P的轨迹为圆心为，半径为， 又，所以最小值为； 设，过与抛物线相切的直线斜率显然存在且不为0， 设切线方程为，与抛物线方程联立可得， 即，所以， 即，即， 所以，所以， 所以，即，所以， 直线过切点，， 所以切点弦方程为， 与抛物线方程联立可得，所以， ， 所以. 点到直线的距离为， 所以， 又，所以， 令， 又，所以，所以， 当时，，当，， 所以.    变式训练3-3 (22-23高二上·豫南九校·)已知抛物线，斜率为的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于点，若，则______ 【答案】 【分析】过，两点分别作准线的垂线，根据，结合抛物线定义可得，再结合已知可得，由点向作垂线交于点，再在中，由余弦定理即可得解. 【详解】如图，过，两点分别作准线的垂线，垂足分别为，， 则，所以， 由抛物线定义得，所以， 由，得，所以， 由点向作垂线交于点， 不妨令，则， 在直角三角形中，， 因为直线斜率为，所以，， 在中，由余弦定理可得， . 故答案为：. 【点睛】方法点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 题型四、直线与抛物线斜率问题 典例精讲4 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点（点在第一象限），且满足，则直线的斜率为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的性质，并结合基本的几何关系即可求解直线l的斜率． 【详解】设抛物线的准线为， 分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，，如图所示， 过点作交于点， 则，，因为， 则，根据可得， 解得， 又因为轴，所以， 也即直线的斜率为． 题型归纳 斜率问题： 以点斜式设直线方程时，考虑斜率是否存在，以倾斜角考虑直线的斜率。 变式训练4-1 (25-26高二下·河北邯郸·期末)已知抛物线的焦点为F，点B在C的准线上，且线段与C交于点A．若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，可得，利用勾股定理求出即可求解. 【详解】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，所以， 则， 所以，解得：， 所以 根据对称性可得直线的斜率为. 变式训练4-2 (25-26高二上·河南南阳·期末)抛物线的焦点为为抛物线上一点，点满足，则直线（为坐标原点）斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由可得到点的坐标，进而可得的表达式，对进行讨论即可. 【详解】由题知，设， 由得， ∴，解得，∴， 当时，； 当时，（当且仅当时等号成立）， 又当时，∴； 当时，（当且仅当时等号成立）， 又当时，∴. 综上，直线（为坐标原点）斜率的取值范围为， 故选：B． 变式训练4-3 已知点是抛物线上位于第一象限内一点，为上位于第四象限内一点，为坐标原点，，且直线的斜率是直线的斜率的2倍，则直线的斜率为_________. 【答案】1 【分析】表示出，，，根据，可得结果. 【详解】设点的坐标分别为， 则，，， 因为，所以，， 整理得①， 又直线的斜率是直线的斜率的2倍，， 所以，整理得②，由①②解得， 所以直线的斜率为1. 故答案为：1 题型五、弦长问题 典例精讲5已知A，B是抛物线（）上不同两点，点F是抛物线的焦点，且（O为坐标原点）的重心恰为F，若，则（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据重心可得，结合对称性可得，再根据抛物线的定义运算求解得出，最后得出弦长即可. 【详解】设， 因为的重心恰为F，则，解得， 由可知关于x轴对称，即， 代入，可得， 又因为，解得，所以， 又因为，所以，，设，所以， 则. 故选：D. 题型归纳 弦长公式|AB|＝＝·|x1－x2|＝·|y1－y2|(k≠0) 变式训练5-1 (25-26高二下·重庆南开中学校·)抛物线的焦点为，过该抛物线上的一点作其准线的垂线，垂足为，若，则______． 【答案】/0.5 【分析】利用抛物线的性质和定义，结合两点间距离公式计算求解． 【详解】   的标准形式为，则， 抛物线焦点为，准线为， 由抛物线的定义可知，又， 是等边三角形， 设点，则，则， ，， ，令，方程化为，整理得， 解得或（舍去），，， 故答案为：． 变式训练5-2 (25-26高二上·黑龙江哈尔滨第十二中学校·期末)已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则________. 【答案】（或12.5）. 【分析】先利用“抛物线的焦点到准线的距离为”这一性质，确定抛物线方程、焦点坐标和准线方程，再利用抛物线定义转化距离问题，联立直线与抛物线方程后，再次利用定义结合韦达定理求弦长即可. 【详解】由题知：，则抛物线方程为， 所以焦点的坐标为，准线方程为， 设，则，解得， 将代入抛物线方程，得，即，故或， 因为直线过和，则斜率（取 为例，符号不影响结果）， 所以直线方程为，即， 联立直线与抛物线方程得， 代入得 ，化简为 ， 由韦达定理得， 因为，则， 根据抛物线定义，， 因此（或12.5）， 故答案为：（或12.5）. 变式训练5-3 (25-26高二上·重庆青木关中学校·期中)已知在平面直角坐标系xOy中，，动点满足，则动点的轨迹方程为__________；点为抛物线上的动点，点在上的射影为，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】设点的坐标为，进而结合距离公式化简整理得点的轨迹方程为，再结合抛物线的定义，转化求解即可. 【详解】设点的坐标为，则， 因为，所以，整理得， 所以点的轨迹方程为，即点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 设抛物线的焦点为，则，故是抛物线的准线， 所以， 因为，所以， 所以， 此时，分别为线段与圆和抛物线的交点. 所以，的最小值为 故答案为：； 题型六、向量问题 典例精讲6 (25-26高二·河南驻马店·期末)已知，为圆的某直径的两端点，动点在抛物线上，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的加减运算得出，再令得出，将问题转化为抛物线上动点和圆上动点距离的最小值即可求解. 【详解】因为为圆的直径，所以， 则， 令，则点为直线与圆的交点，且位于线段内， 则， 设，且，则， 则当时，， 因为，等号成立时三点共线， 所以， 则的最小值为. 故选：C 题型归纳 1.向量与双曲线结合 2.一通过向量求解点的坐标，二建系法解决向量问题， 变式训练6-1 (25-26高二下·重庆巴蜀教育集团·期中)抛物线：的焦点是，不过原点的直线与抛物线相交于，两点，且，直线与抛物线相交于点，直线与抛物线相交于点，则________． 【答案】/ 【分析】设，利用得出，再利用三点共线得出，即可求出，代入计算即可. 【详解】由题意得，， 设，其中， 因为，所以， 因为，即， 所以，即， 因为，所以，同理可得，， 则， 故. 变式训练6-2 (25-26高二上·四川绵阳绵阳南山中学·月考)在平面直角坐标系中，的三个顶点均位于抛物线上，点为的焦点，若，直线的斜率为，则使成立的实数的值为________. 【答案】/ 【分析】过分别作直线平行于x轴，分别交于点，根据三角形的特征求出，设，根据，求出，最后根据即可求出. 【详解】由题意可知：，不妨设点在x轴上方，取的中点，过分别作直线平行于x轴，分别交于点， 因为，由正弦定理可得， 设，则， 则，且，可得，又因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为，可得，，则，可得，即x轴，则， 可得直线的斜率为， 设，则， 则，， 整理可得，解得， 又因为， 则， 又，则，即， 所以. 故答案为：. 变式训练6-3 (25-26高二上·河北衡水第二中学·调研)已知抛物线的焦点为，准线为，第一象限内有一点在抛物线上，，直线的斜率是_____，过点作，垂足为，连接，交抛物线于点，若，则_____. 【答案】 2 【分析】由，得到点的纵坐标为3，进而得到点的坐标为，所以直线的斜率；根据题目条件以及抛物线的定义证明，所以. 【详解】由抛物线，得，因为，所以点的纵坐标为3， 代入抛物线，得点的坐标为， 所以直线的斜率； 设直线与的交点为，则，因为，所以， 又因为，所以为等边三角形，所以，则， 过点作，垂足为，在直角三角形中，， 由抛物线的定义得到，所以，所以. 故答案为：，2. 题型七、基本不等式与最值 典例精讲7 (25-26高二上·辽宁朝阳建平县实验中学·期末)已知O为坐标原点，过抛物线的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，设出直线方程并与抛物线方程联立求出，再利用抛物线定义，结合基本不等式求出最小值. 【详解】抛物线的焦点，设直线l的方程为，,， 由消去得，则，， 由，得，解得， 抛物线的准线方程为，，，， 于是，， ，因此，当且仅当，即时取等号， 所以当时，对应点的横坐标为，由得， 则，该情况符合题意，可以取到最小值，所以取得最小值． 故选：A. 题型归纳 1.基本不等式解决最值 2.抛物线的定义求出等式，求解最值时，可以考虑基本不等式。 变式训练7-1 (23-24高二上·江苏泰州中学·期中)已知抛物线为上一点，，当最小时，点到坐标原点的距离为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】设，然后根据坐标表示出，结合基本不等式求解出最小值并确定出点坐标，则可求. 【详解】设，则，所以， 当时，； 当时，， 当且仅当即时取等号，所以； 由上可知，取最小值时，， 所以， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线方程的运用，解答问题的关键在于根据抛物线的方程合理设出点坐标并利用坐标关系去化简，从而达到分析最值的目的. 变式训练7-2 (24-25高二上·安徽智学大联考�皖中名校联盟合肥八中·期末)已知，轴于点B，M为射线OA上任意一点，轴于点C，点D为直线AB上一点，且，直线OD与直线MC相交于点P.已知点，，则的最大值为_______. 【答案】 【分析】设点，再利用焦半径公式得的表达式，最后利用基本不等式即可得到答案. 【详解】设，其中，则， 由于三点共线，则，所以得点的轨迹方程是，， 点为该抛物线的焦点，准线，点为准线与轴的交点， 作于点，则，， 则 ，当且仅当，即时取等号．则的最大值为． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是采用设线法，从而得到比值表达式，最后利用基本不等式即可. 变式训练7-3 (24-25高二上·山东青岛·期末)已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，则的取值范围是__________，的最小值为__________． 【答案】 5 【分析】利用焦半径公式表示，利用抛物线上点的范围求解第一空，利用焦半径公式结合基本不等式求解第二空即可得到答案. 【详解】 ①由题意得，，设，，， 则，，， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，解得， ∴. ②∵，∴， ∵，∴，即， ∵，当且仅当时等号成立， ∴，即， ∴，即的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线综合问题，解题关键是合理运用焦半径公式结合基本不等式，然后找到取等条件，得到所要求的最值即可． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．(25-26高二上·四川成都树德中学·期末)已知点在抛物线上，过点作圆的两条切线，与抛物线交于，则和的横坐标之和为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】求出抛物线方程并根据两条切线的斜率均存在，设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径得出，联立切线和抛物线方程并利用韦达定理化简求和即可得出结果. 【详解】由点在抛物线上可得，解得； 所以； 易知圆的圆心为，半径为，且圆心在抛物线焦点处，如下图： 显然过点的两条切线的斜率均存在，所以设切线方程为， 因此圆心到直线的距离为，整理可得， 因此两切线的斜率即为该方程的两根，不妨设为， 由韦达定理可得； 联立，整理可得； 显然(对应点)是该方程的根，则另一根需满足， 即可得， 不妨取点和点的横坐标分别为； 所以两点横坐标之和为 , 将代入可得. 故选：C 2．(25-26高二上·安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·月考)过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，设为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（    ） A．3 B．5 C．7 D．4 【答案】B 【分析】通过抛物线焦点弦长公式结合题设条件求出，利用抛物线定义将转化为点到准线的距离，进而求距离和的最小值. 【详解】抛物线方程为，根据抛物线的标准形式，其焦点为，准线方程为. 因与垂直，故存在且不为0，直线过焦点， 设直线的斜率为，方程为. 将直线方程代入抛物线方程，联立得： 设、，由韦达定理得： 因，，故： 因，故直线的斜率为，直线的方程为. 同理可得. 根据题设，将、代入得， 即，解得，故抛物线方程为， 此时焦点，准线方程为. 设点到准线的垂线段为（为垂足）， 则，因此， 表示点到准线的距离与到点的距离之和. 根据几何最短路径原理，当、、三点共线（且该直线垂直于准线）时，距离和最小. 此时的坐标为，则，即. 综上，的最小值为. 故选：B 3．(24-25高二下·贵州2025年新高考`大数据赋分`·)已知抛物线的焦点为，过作一条直线交抛物线于P，Q两点，直线的倾斜角满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：由题意可得直线，与抛物线方程联立，可得，结合焦半径公式可求得的值.方法二：利用抛物线的二级结论可得，，可求得的值. 【详解】（方法一）由，所以，不妨假设， 设，联立方程组可得， 由，所以， 不妨设，， 所以，所以， 又，所以，所以， 又，所以， 所以，解得. （方法二），所以. 故选：A. 4．(24-25高二上·重庆第八中学校·月考)已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，垂直于点，直线与相交于两点.若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】过点M作于点H，设准线l与x轴的交点为K，结合抛物线定义可得，可得为等边三角形，即，求出直线的方程与抛物线C的方程联立，求得点N的横坐标为，可得垂直x轴，在中，利用运算得解. 【详解】 如图，过点M作于点H，设准线l与x轴的交点为K， 因为，所以， 因为，所以，由抛物线定义知，， 而，所以，在中，因为， 所以，因为，所以， 由抛物线定义知，，所以为等边三角形， 所以，可得点P的横坐标为， 设与x轴的交点为G，则， 因为直线的斜率为， 点，所以直线的方程为， 联立，消去y化简并整理得，， 解得或，则点N的横坐标为，又点P的横坐标为， 可得垂直x轴，且垂足为G，在中，由， 所以，故 故选：D． 5．(24-25高二上·湖南长沙明德中学·期中)过拋物线上一动点作圆（r为常数且）的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，利用圆的切线性质，借助图形的面积把表示为的函数，再求出函数的最小值即可. 【详解】设，则，圆的圆心，半径为， 由切圆于点，得， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 可知的最小值为，整理可得，解得或， 因为，所以，即. 故选：A. 【点睛】思路点睛：本题考查圆和抛物线综合问题，具体思路如下： （1）当四边形对角线互相垂直时，四边形面积等于对角线乘积的一半. （2）根据圆的切线垂直于过切点的半径，可把四边形面积转化为两个全等三角形面积的和. （3）设，利用圆的切线性质，借助图形的面积把表示为的函数，求出函数的最小值，利用等量关系即可得到结果. 6．(24-25高二上·浙江宁波余姚中学·月考)已知抛物线和圆，点F是抛物线C的焦点，圆M上的两点满足，，其中O是坐标原点，动点P在圆M上运动，则点P到直线AB的最大距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件可知满足到两定点距离比为常数，设动点满足求解动点轨迹为圆，可知为两圆相交弦，得直线方程，再结合图形由点线距离公式得到圆上动点到直线的距离最大值. 【详解】抛物线的焦点， 圆，其圆心，半径． 设点是满足的任意一动点，， 则， 化简得，即. 故动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 由已知，，则圆M上的两点也在圆上. 所以AB是圆与圆的公共弦， 将圆与圆的方程联立， 两式相减化简得直线AB的方程为， 由动点P在圆M上运动，又圆心到直线的距离， 结合图形可知，点到直线的最大距离为. 故选：A． 7．(25-26高二上·湖北楚天协作体·月考)已知，是抛物线上的两点，的焦点为，为坐标原点，上一点到焦点的距离为，若，则直线过定点_____. 【答案】 【分析】由抛物线的定义及焦半径公式求出，即可得到抛物线方程，设直线的方程为 ，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由，得到，即可求出的值，从而得解. 【详解】抛物线的准线方程为， 根据抛物线的定义得，解得，所以抛物线， 依题意直线，，的斜率必存在， 设直线的方程为 ，，， 联立方程，消去整理得， 则，，， 因为， 所以， 即 ， 解得或（舍去），满足，此时直线的方程为， 所以直线过定点. 故答案为： 8．(25-26高二上·四川绵阳中学·)抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．已知点为抛物线的焦点，从点出发的光线经抛物线上一点反射后，反射光线经过点（10，1），若入射光线和反射光线所在直线都与圆相切，则的值是_________． 【答案】 【分析】L根据点斜式求解入射光线的方程，进而根据点到直线的距离公式求解. 【详解】由题意，反射光线平行于轴且经过点，故其方程为， 因反射点在光线与抛物线上，所以该点纵坐标为， 当时，，故入射光线经过和，， 故入射光线的方程为，化简得， 圆心为，半径为， 所以， 当，化简得：，解得， 当，化简得：， 无解. 综上. 故答案为： 9．(25-26高二上·江苏南京第九中学·)已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】由圆的方程求出圆心的坐标和半径，由切线性质可得，由此可得，，设，根据两点距离公式结合二次函数性质求的最小值，由此可得结论. 【详解】圆的圆心的坐标为，半径为， 因为，为圆的切线，切点分别为， 所以，，，， 所以， 所以，， 设，则， 当时，，此时最大， 又，函数在上单调递增， 所以当时，即时，最大， 此时最大，最小， 则． 故答案为：． 10．(25-26高二上·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·月考)已知抛物线，直线与相交于，两点，若的准线上一点满足，则的坐标为_____. 【答案】/ 【分析】根据抛物线标准方程确定其准线方程，设出准线上动点的坐标形式，将直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理得到两交点横、纵坐标的和与积的关系式，然后，将垂直条件转化为两向量的数量积为零，写出代数等式并代入韦达定理所得的坐标关系式，得到关于动点纵坐标的一元二次方程. 【详解】已知抛物线，则准线方程为，设点在准线上，， 将直线代入抛物线方程得： ， 化简整理得：， 设，则是方程的两个根， ， 由得：， 于是 则， 代入，得：， ，， 即， 化简得： 代入已知数值得：， 整理得：， 即故，即. 故答案为： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07抛物线小题七类综合题型（压轴题专项训练） 目 录 通法归纳一明晰核心解法， 助力能力迁移 题型精讲一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一抛物线的定义与方程 题型二抛物线中的和差最值 题型三抛物线中的面积问题 题型四直线与抛物线斜率问题 题型五弦长问题 题型六向量问题 题型七基本不等式与最值 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 夙通法制归纳一明晰核心解法，助力能方迁移 抛物线小题是高中数学的重难点，题型涵盖抛物线方程，周长面积弦长等，此类问题知识点较为综合： 一考查内容综合正余弦定理，二考内容会涵盖向量，三考查内容涵盖定值定点，斜率角度等问题，这类习 题经常需要多方面考查各类内容. ◆◆ 夙题型精讲精讲典型题法，奔尖解题根基 题型一、抛物线的定义与方程 典例精进1(24-25高二上贵州遵义红花岗区期末)已知点P是抛物线x=2pyp>0上任意一点，若点P到 V5 直线2x-y-4=0的最短距离为 则抛物线方程为() 1/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .y C.x2=y D.x2=2y 题型归纳 1.抛物线的标准方程需要考虑p. 2.方法：一考虑抛物线的定义，二考虑通过代数式求参数 变式训练1H1已知点Na,23(a>0在抛物线C:y=2px(0<p<2a上·p为抛物线C的焦点，圆N 与直线x号相交于A、B两点，与线假NF相交于点R,月AB-235RF,若R是袋段NF上近F的 四等分点，则抛物线C的方程为 变式训练1-2223商二上厂东珠海第一中学期末已知抛物线C:y=2px(p>0的焦点为p:准线与x 轴交于点M,过F的直线I交C于A、B两点，交准线于点D.若BM平分∠AMD,IAB|=6,则C的方程 为 变式训练1-3(25-26高二下河北邢台卓越联盟)若抛物线C:x2=-4y上的动点P到c的准线的距离为d, 点A(4,0),则PA-d的最大值为 此时点P的坐标为 题型二、 抛物线中的和差最值 典例精进2.(25-26高二下，广东深圳龙岗区龙城高级中学期中)已知F为抛物线C:y=4x的焦点，直线 y=kx+1与C交于A,B两点，则2AF+BF的最小值是 题型归纳 和差最值问题： 优先考虑将军饮马，直线需要考虑与直线对称，圆需要考虑圆心转化。椭圆、双曲线、抛物线需要考虑定 义转化。 变式训练2-1(25-26高二山西太原期末)希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点A,B的 距离之比为定值入（入>0且入≠1）的点的轨迹是圆”，后来，人们将这样的圆称为阿波罗尼斯圆，简称 2/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 阿氏圆.己知在平面直角坐标系xOy中，A-2,1,B-2,-2,点M是当入=2的阿氏圆上的动点.若点N 为抛物线y2=I2x上的动点，过点N作y轴的垂线，垂足为H,则MA+MN+NH的最小值为 变式训练2-2(25-26高二上福建泉州·期末)已知抛物线T:y2=4x的焦点为F,M,N为T上两点，O为坐标 原点.若M在以ON为直径的圆上，则FM+|FNI的最小值为() A.8+4V5 B.10+4V2 c.10+4V5 D.10+8V2 变式训练23(25-26高二上江西萍乡期未设点Mx,y为抛物线C:y=4x上任意一点，P为直线1： x-22y+8=0上一动点，则x,+MP的最小值为（) A.3 B.2V2 C.2 D.2V2-1 题型三、抛物线中的的面积问题 典例精进3(25-26高二上，贵州贵阳期末)过抛物线C:y=6x的焦点F作一条直线与抛物线交于A,B两 点，A正=3FB,抛物线的准线与x轴交于点K,则△KAB的面积为() A.3 B.3V3 C.6 D.6V3 题型归纳 1.面积一般涉及到三角形面积、四边形面积、圆的面积； 2.方法：三角形面积一般考虑两种面积公式，四边形面积可以考虑将四边形分成两个三角形，或者对角线 垂直，靠对对角线相乘。 变式训练31已知抛物线C:X=2py(p>0)的焦点到y号的距离为1，M是抛物线C上的动点，M到 y=- 2的距离与MP之和的最小值为1，则点P的轨迹围成的面积是《) A.4π.3 8. 8π 3 4π+3 D.4π 3 变式训练3-2(25-26高二上黑龙江哈尔滨第三中学校期末)已知A-1,0,B 动点P满足 3/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PA=2PB,O为坐标原点，则PO最小值为 过点P作抛物线y=x的两条切线，切点分别 为M,N,则△PMN面积的取值范围是 室式训器53四3商上度南九快已如鹅物线y2-8解率为4的宜戴与范物线相交于A.B雨点 与抛物线的准线相交于点C,若3S△ACr=8 SABCF,则cos∠AFB=」 题型四、直线与抛物线斜率问题 典例精进4已知抛物线C:y=2pxp>0的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于A,B两点（点A在第 一象限)， 且满足3AF=5BF,则直线的斜率为() A.2V3 B.V15 C.4 D.3V2 题型归纳 斜率问题： 以点斜式设直线方程时，考虑斜率是否存在，以倾斜角考虑直线的斜率。 变式训练41(25-26高二下河北邯郸，期末)已知抛物线C:x=2pyp>0的焦点为F,点B在c的准线上， 且线段BF与C交于点A.若BA=5V2AF,则直线BF的斜率为() A.±7 3 2 B.± C.± 12 D.士 6 12 变式训练42(25-26高二上河南南阳，期末)抛物线C:y=4x的焦点为F,P为抛物线C上一点，点M满足 FM=2MP,则直线OM(O为坐标原点)斜率的取值范围为() A.l0,2 B.1-2,V2 c.0,3 D.-3,3 变式训练43己知点A是抛物线C:y=x上位于第一象限内一点，B为C上位于第四象限内一点，O为坐 标原点，OA⊥AB,且直线AB的斜率是直线OB的斜率的2倍，则直线OA的斜率为 题型五、弦长问题 典例精进5己知A,B是抛物线y=2px(p>0)上不同两点，点F是抛物线的焦点，且△OAB(O为坐 标原点)的重心恰为F,若AF=5,则AB=() 4/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.8 B.4V2 c.493 D.46 题型归纳 弦长公式|AB|==|&1-X2|=|y1-y2k=0) 变式训练5-1(25-26高二下.重庆南开中学校)抛物线y=2x的焦点为F,过该抛物线上的一点P作其准线 的垂线，垂足为Q,若∠PQF=60°，则PQ= 变式训练5-2(25-26高二上·黑龙江哈尔滨第十二中学校期末)已知抛物线C:y=2pxp>0的焦点F到准 线的距离为4，过点F的直线！与抛物线C交于P,Q两点，若PF=10,则PQ= 变式训练5-3(25-26高二上重庆青木关中学校期中)已知在平面直角坐标系x0y中， A-1,-2,B4,-2,动点P满足治则动点P的轨迹方程为 _；点Q为抛物线 C:x2=8y上的动点，点Q在y=-2上的射影为M,则PB+2PQ+2QM的最小值为 题型六、向量问题 典例精进62526高二河南驻马店期利已知A'B为圆M:X-4+y=g的某直径的两端点，动点Q在 抛物线y=4X上，则12O方+Q成的最小值为(） A.2P3-1 B.9 c.6V3-3 D.6V3+3 题型归纳 1.向量与双曲线结合 2.一通过向量求解点的坐标，二建系法解决向量问题， 变式训练61(25-26高二下，重庆巴蜀教育集团期中)抛物线E:y=4x的焦点是F,不过原点的直线与抛 物线E相交于A,B两点，且OA·OB=O,直线AF与抛物线E相交于C点，直线BF与抛物线E相交于D点， 则00·0D= 变式训练6-2(25-26高二上四川绵阳绵阳南山中学·月考)在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点均 5/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 位于抛物线T:y=2pxp>0上，点F为T的焦点，若sinA:sinB:sinC=3:1:1,直线BC的斜率为 V3,则使OB·OF+OC·OF=λOF成立的实数λ的值为 变式训练6-3(25-26高二上河北衡水第二中学.调研)已知抛物线C:x=4y的焦点为F,准线为l,第一象 限内有一点P在抛物线C上，PF=4,直线PF的斜率是，过点P作PH⊥L,垂足为H,连接HF, 交抛物线C于点N,若NH=入FN,则λ= 题型七、基本不等式与最值 典例精进7(2526高二上辽宁朝阳建平县实验中学期末已知0为坐标原点，过抛物线y'=2px(p>0)的 BF 焦点F作直线1交抛物线于A,B两点，若OA·OB=48,则9A可 的最小值为() 1 2 A. B.12 C. 3 D. 3 18 题型归纳 1.基本不等式解决最值 2抛物线的定义求出等式，求解最值时，可以考虑基本不等式。 变式训练7-1(23-24高二上江苏泰州中学.期中)已知抛物线C:y2=4x,P为C上一点，A-2,0,B2,0, P 当 PA最小时，点P到坐标原点的距离为() A.2V5 B.3V2 c.2V3 D.8 变式训练7-2(24-25高二上，安徽智学大联考。皖中名校联盟合肥八中.期末)已知A2,1,AB⊥X轴于点 B,M为射线OA上任意一点，MC⊥X轴于点C,点D为直线AB上一点，且MD·AB=0,直线OD与直 线Mc相交于点P.已知点E0,-1,F0,1,则 PE PF 的最大值为 变式训练7-3(24-25高二上山东青岛期末)已知抛物线C:y=4x的焦点为F,点M,N,P在C上，且 M正+2NF+2PF=0,则MF的取值范围是 ,|MF+2NF的最小值为 6/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同压轴挑战一支克高障压轴，突破思维上保 1.(25-26高二上四川成都树德中学.期末)已知点A4,4在抛物线C:y2=2pxp>0上，过点A作圆 (x-1P+y=1的两条切线，与抛物线交于M,N则M和N的横坐标之和为() 8 8 88 A. 5 B. 75 C. D.2 75 2.(25-26高二上安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·月考)过抛物线E:x2=2pyp>0的焦 1+1=1 点F作两条互相垂直的弦AB,CD,设P为抛物线上的一动点，Q2,1,若A日CD16则 PF+PQ的最小值是() A.3 B.5 C.7 D.4 3.(24-25高二下费州2025年新高考大数据赋分已知抛物线C:X=2pyp>0的焦点为p:过p作一条 直线交抛物线于卫，Q两点，直线的顺斜角9满足sn日=，且P序-QF-10,则p的值为← A.2 B.2V2 c.32 D.6V2 4.(24-25高二上重庆第八中学校月考)已知抛物线C:y=2x的焦点为F,准线为l,点P在C上，PQ垂直 l于点Q,直线QF与C相交于M、N两点.若QM=2MF,则PN=() 4. B.3 C.2 D.2V3 3 5.(24:25商二上潮南长沙明德中学期中)过抛物线X=2y上一动点p作圆C:X2+(y-2尸=？2r为常数且 r∈N)的两条切线，切点分别为A,B,若AB·PC的最小值是2V2,则r=() A.1 B.2 C.3 D.4 6.(24-25高二上浙江宁波余姚中学.月考)已知抛物线C:y=12x和圆M:x2+y2-4x-4y+4=0,点F是 抛物线C的焦点，圆M上的两点A,B满足AO=2AF,BO=2BF,其中O是坐标原点，动点P在 7/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 圆M上运动，则点P到直线AB的最大距离为() A.2+92 B.2 c.4+2 D.22 7.(25-26高二上湖北楚天协作体月考)已知M,N是抛物线C:x=2pyp>0上的两点，C的焦点为F, O为坐标原点，C上一点Pt,1到焦点F的距离为 3 若OM⊥ON,则直线MN过定点一 8.(2526高二上四川绵阳中学)抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上一点反射后， 反射光线平行于抛物线的对称轴.已知点F为抛物线C:y=2pxp>1的焦点，从点F出发的光线经抛物 上一点反射后，反射光线经过点(10,1)，若入射光线和反射光线所在直线都与圆E:x~号+y 相切，则p的值是 9.(2526高二上江苏南京第九中学已知点p为抛物线y=8x上一点，过点p作圆C:(x-5+y2=1的 两条切线，切点分别为M,N,则Cos∠MPN的最小值为 10.(25-26高二上江苏苏州西安交通大学苏州附属中学月考)已知抛物线E:y=4x,直线1：y=4x-1与 E相交于A,B两点，若E的准线上一点M满足∠AMB=90°，则M的坐标为一· 8/8