专题14 抛物线重点题型全归纳（压轴题7大类型专项训练）高二数学人教A版2019选择性必修第一册

专题14 抛物线重点题型全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、抛物线的轨迹方程 1 类型二、抛物线的定义理解（含焦半径公式） 2 类型三、抛物线中的距离最值问题 4 类型四、抛物线的几何性质应用 5 类型五、抛物线的焦点弦 6 类型六、求抛物线的标准方程、焦点、准线 8 类型七、抛物线在实际问题中的应用 10 压轴专练 11 类型一、抛物线的轨迹方程 求轨迹方程一般有两种方法:一是直接法,根据题意直接列方程确定点P的轨迹方程;二是定义法,利用抛物线的定义确定轨迹的一部分为抛物线,再根据抛物线的性质写出方程. 1．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知圆心在轴上移动的圆经过，且与轴，轴分别交于两个动点，过分别作轴，轴的垂线，两条垂线的交点记为，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 5．（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 6．（24-25高二上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，到轴的距离与到点的距离相等的点的轨迹方程为 ． 类型二、抛物线的定义理解（含焦半径公式） 1、用坐标表示焦半径公式 （1）抛物线，． （2）抛物线，． （3）抛物线，． （4）抛物线，． 【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式． 2、焦半径公式的应用：利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，解题时方便快捷．一般来说，涉及到过焦点的直线与抛物线的交点问题，利用此公式解决较为简单． 1．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在拋物线上，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为5，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25高二上·甘肃白银·月考）过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点，点在第一象限，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作且垂足为Q，若，则（    ）． A． B． C． D． 5．如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在该抛物线上，点C在y轴上，若，，则（    ） A． B．3 C． D．4 6．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知抛物线焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，则 ． 7．（24-25高二下·上海·期中）抛物线上一点到准线的距离与到轴的距离相等，则 . 8．（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线C：的焦点为F，点A、B是抛物线C上不同的两点，且A、B中点的横坐标为2，则 . 类型三、抛物线中的距离最值问题 (1)解决此类问题通过抛物线定义和运用平面几何知识中的两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等,使问题化难为易. (2)若已知抛物线上点P到焦点F的距离(或与此有关),往往转化为点P到准线的距离,其步骤: ①过P作PN垂直于准线l,垂足为N; ②连接PF; ③|PF|=|PN|=xP+(焦点在x轴正半轴上时). 1．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知是抛物线的焦点，是上的一动点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知，为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河北保定·月考）已知抛物线的焦点为F，P为抛物线上一动点﹐点，记P到x轴的距离为d，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·福建漳州·月考）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为，是圆：上的动点．则的最小值为（    ） A． B． C．27 D． 5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D．3 6．（25-26高二上·北京·期中）P是抛物线上任意一点，点是x轴上的定点，则的最小值为 . 7．（23-24高二上·吉林·期末）已知A，B是抛物线上的两点，A与B关于x轴对称，，则的最小值为 ． 8．（23-24高二下·上海宝山·期末）抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为 . 9．（24-25高二上·广东深圳·月考）已知是抛物线上一点，则的最小值为 ． 类型四、抛物线的几何性质应用 (1)为了简化解题过程,有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标,有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论. (2)不能把抛物线看作是双曲线的一支.虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴,但抛物线却越来越接近对称轴的平行线. (3)通径为 1．（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知焦点为的抛物线上有一点到直线的距离为6，为坐标原点，则（    ） A． B．2 C． D． 2．（25-26高二上·吉林长春·期中）抛物线的焦点为F，C的准线与轴交于点，过且倾斜角为的直线与交于M，N两点（在轴上方），则（   ） A． B． C．2 D．3 3．（23-24高二下·重庆·月考）已知轴上一定点，和抛物线上的一动点，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知线段AB是抛物线的一条弦，且AB中点M在上，则点A横坐标（    ） A．有最大值，无最小值 B．无最大值，有最小值 C．无最大值，无最小值 D．有最大值，有最小值 5．（24-25高二下·云南曲靖·月考）已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 6．（23-24高二上·河南周口·月考）已知边长为的等边三角形的一个顶点位于原点O，另外两个顶点A，B在抛物线上，则 ． 类型五、抛物线的焦点弦 1、解决抛物线的焦点弦问题时,要注意抛物线定义在其中的应用,通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题. 2、焦点弦的定义：过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的焦点弦． 3、焦点弦长：如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； （1）以为直径的圆必与准线相切. （2）(焦点弦长与中点关系) （3）． （4）若直线的倾斜角为，则． （5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，． （6）为定值． 1．（24-25高二上·云南昭通·期末）抛物线 （）的准线方程为，过C的焦点作斜率为的直线与 交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏扬州·期末）过抛物线的焦点作斜率为1的弦，点在第一象限，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广西柳州·期中）（多选题）已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·广东·月考）（多选题）已知是抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线与交于两点，则（    ） A． B． C． D．以为直径的圆与抛物线的准线只有1个公共点 5．（24-25高二下·重庆·期末）（多选题）已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线交于，两点，在第一象限，抛物线的准线与轴交于点，则（   ） A． B．时， C．以为直径的圆与准线相切 D． 6．（25-26高二上·上海·期中）已知抛物线是过其焦点的一条弦，若，则直线的斜率为 类型六、求抛物线的标准方程、焦点、准线 1、由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 （1）已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； （2）焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴． 2、求抛物线标准方程的方法 （1）直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； （2）待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或； 注意：①已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式； ②已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定． 1．（25-26高二上·河北·期中）已知点在抛物线上，则该抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知某抛物线的顶点为坐标原点，焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线上与焦点距离等于的点的纵坐标为，则该抛物线标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25高二下·江苏南京·期末）抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线，过的焦点的直线交于两点，交的准线于，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知抛物线，点，直线，记关于的对称点为，且在上，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2024高二·全国·专题练习）已知O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，点在C上，且，则C的方程为 8．已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，若C恰过，，三点中的两点，则C的方程为 . 9．（24-25高二上·江西南昌·月考）抛物线的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为 类型七、抛物线在实际问题中的应用 抛物线的实际应用问题,关键是建立坐标系,将题目中的已知条件转化为抛物线上点的坐标,从而求得抛物线方程,再把待求问题转化为抛物线的几何量讨论. 1．（24-25高二上·广东深圳·月考）有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米．则水位上涨1米后，水面宽为（    ） A．米 B．2米 C．米 D．4米 2．（23-24高二上·四川德阳·期末）一种卫星接收天线（如图①所示）的曲面是旋转抛物面（抛物线围绕其对称轴旋转而得的一种空间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面的轴线、焦点、顶点），已知卫星波束以平行于旋转抛物面的轴线的方式射入该卫星接收天线经反射后聚集到焦点处（如图②所示），已知该卫星接收天线的口径（直径）为6m，深度为1m，则其顶点到焦点的距离等于（    ） A． B． C．1m D． 3．（23-24高二上·江苏南京·月考）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（   ）      A． B． C． D． 4．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）如图是济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地针式回转缆悬索桥.大桥主跨长约500米，主塔高约100米，缆悬索是以为顶点且开口向上的抛物线的一部分，若为抛物线的焦点，则主塔端点到焦点的距离约为（    ）    A．1350米 B．758米 C．725米 D．558米 1．（24-25高二上·北京平谷·期末）以为焦点的抛物线标准方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·广东·期末）已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖南永州·月考）已知点在抛物线上，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河南南阳·期中）若抛物线上的点到其焦点的距离为，则实数m的值为（    ） A．2 B．3 C． D．3 5．设为抛物线的焦点，若点在上，则（    ） A．3 B． C． D． 6．已知抛物线上一点到焦点的距离为，则的中点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 7．假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为（    ）（，，）    A．0.816m B．1.33m C．1.50m D．1.63m 8．已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（   ） A． B． C．或 D．或 10．（24-25高二上·江西·月考）图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（   ） A． B． C． D． 11．设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（   ） A． B． C． D． 12．已知是抛物线的焦点，是第一象限内抛物线上一点，在抛物线准线上的射影为，，，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 13．已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．6 D．4 14．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 15．已知抛物线的焦点为，直线过点与抛物线相交于，两点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·河南·期中）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 17．（25-26高二上·重庆·期中）已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上异于原点O的两点，且，则的最小值为（    ） A．21 B．13 C．10 D．9 18．（24-25高二下·云南·期中）已知抛物线，其中，是过拋物线焦点的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 19．（25-26高二上·浙江杭州·期中）如图所示，点，B均在抛物线上，等腰直角的斜边为，点C在x轴的正半轴上，则点B的横坐标是（   ）    A．2 B．3 C．4 D．5 20．（多选题）连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是（   ） A．平行四边形 B．梯形 C．有三条边相等的四边形 D．有一组对角相等的四边形 21．（24-25高二上·湖北武汉·期末）（多选题）抛物线的焦点为F，过焦点的倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，设，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 22．（2025高二上·重庆·专题练习）（多选题）已知抛物线C：的准线为l，焦点为F，P为抛物线C上的动点，过点P作：的一条切线，Q为切点，过点P作l的垂线，垂足为B，则（   ） A．准线l与圆A相切 B．过点F，A的直线与抛物线C相交的弦长为5 C．当P，A，B三点共线时， D．满足的点P有且仅有2个 23．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）已知为抛物线的焦点，为抛物线上一点．若，则点的坐标为 ，点的横坐标为 ． 24．（24-25高二上·湖南郴州·期末）已知抛物线，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则 ． 25．（24-25高二上·北京·期末）已知抛物线的焦点为，则的标准方程为 ；设点，点在上，则的最小值为 . 26．已知平面直角坐标系中，动点到的距离比到轴的距离大2，则的轨迹方程是 . 27．（25-26高二上·全国·课后作业）已知为抛物线上的两点，若是边长为的等边三角形，为坐标原点，则抛物线方程为 ． 28．（24-25高二上·全国·课前预习）设，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为 ． 29．（25-26高二上·河南焦作·期中）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A，B两点，若，则 . 30．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，，三点，点P在抛物线上运动，则的最小值为 ． 31．（24-25高二下·上海·月考）已知点是抛物线上的动点，点是圆上的动点，则两点间的最短距离为 ． 32．已知圆与抛物线交于两点，为的焦点，若，则的值为 . 33．（24-25高二下·云南昆明·月考）设抛物线的焦点为，过点的直线与相交于，两点，点在轴上方，且，则直线的方程为 ，的面积为 . 34．已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点A（点A在第一象限），过点A作，垂足为，直线交轴于点，若的外接圆的面积为，则抛物线的方程为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 抛物线重点题型全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、抛物线的轨迹方程 1 类型二、抛物线的定义理解（含焦半径公式） 4 类型三、抛物线中的距离最值问题 8 类型四、抛物线的几何性质应用 14 类型五、抛物线的焦点弦 18 类型六、求抛物线的标准方程、焦点、准线 25 类型七、抛物线在实际问题中的应用 29 压轴专练 33 类型一、抛物线的轨迹方程 求轨迹方程一般有两种方法:一是直接法,根据题意直接列方程确定点P的轨迹方程;二是定义法,利用抛物线的定义确定轨迹的一部分为抛物线,再根据抛物线的性质写出方程. 1．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据，整理即可得解. 【详解】设，则，整理得， 所以动点的轨迹方程是. 故选：A. 2．已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析题意，利用抛物线的定义判断曲线是抛物线，再求解轨迹方程即可. 【详解】由题意知，点到点的距离和它到直线的距离相等， 所以点的轨迹是以为焦点的抛物线，所以的方程为，故C正确. 故选：C. 3．设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点，根据向量关系及垂直关系可得点的轨迹方程. 【详解】设点，因为，则为的中点，且点在轴上， 所以，则, 又，则，， 由， 故点的轨迹方程为. 故选：D. 4．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知圆心在轴上移动的圆经过，且与轴，轴分别交于两个动点，过分别作轴，轴的垂线，两条垂线的交点记为，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】设圆心坐标为，得到圆的方程为，再分别令和求得点P的坐标求解. 【详解】设圆心坐标为，则圆的方程为， 令，得或，则， 令，得，则， 所以， 所以， 所以点的轨迹为抛物线， 故选：D 5．（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求点，根据点在直线上可得，根据点在直线上可得，最后根据轴得，化简即可. 【详解】设， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为轴，所以，则，故D正确. 故选：D． 6．（24-25高二上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，到轴的距离与到点的距离相等的点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设出动点坐标，由给定条件列出方程并化简即得. 【详解】设动点坐标为，依题意，，两边平方整理得， 所以所求轨迹方程为. 故答案为： 类型二、抛物线的定义理解（含焦半径公式） 1、用坐标表示焦半径公式 （1）抛物线，． （2）抛物线，． （3）抛物线，． （4）抛物线，． 【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式． 2、焦半径公式的应用：利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，解题时方便快捷．一般来说，涉及到过焦点的直线与抛物线的交点问题，利用此公式解决较为简单． 1．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在拋物线上，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】将代入可得，再根据抛物线的定义求解即可. 【详解】由题意可知，抛物线的准线为，点在抛物线上，则，解得，即， 则由抛物线的定义可得，． 故选：D 2．（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为5，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】利用抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等即可得到结果. 【详解】由题意知C的准线为，因为P到直线的距离为5，所以P到直线的距离为3，即. 故选：A 3．（24-25高二上·甘肃白银·月考）过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点，点在第一象限，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，结合抛物线定义可得点的坐标，进而确定直线斜率. 【详解】由题意可知焦点，准线为直线， 设点， 由，即，得， 所以直线的斜率， 故选：B. 4．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作且垂足为Q，若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线定义，可得进而求得点的坐标，得点坐标，利用斜率公式得解. 【详解】由题，，则，代入抛物线方程得， ，又， . 故选：C. 5．如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在该抛物线上，点C在y轴上，若，，则（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】根据抛物线方程，求出准线方程，根据抛物线上的点到焦点距离求出点的横坐标，在根据相似三角形求出边长的比值即可. 【详解】 如图所示，设，由，， 由可知准线方程为， 根据抛物线定义可得，，故，， 过A，B分别作y轴的垂线垂足为，过B作的垂线，垂足为E， 明显，所以， 故选：A． 6．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知抛物线焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，则 ． 【答案】2 【分析】利用抛物线的定义进行距离转化即可求得. 【详解】由抛物线的定义，等于点到抛物线的准线的距离， 因，代入，解得， 故. 故答案为：2. 7．（24-25高二下·上海·期中）抛物线上一点到准线的距离与到轴的距离相等，则 . 【答案】/ 【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，根据抛物线的定义及已知条件可知轴，且垂足为点，即可得解. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 因为由抛物线的定义可知，点到准线的距离与到焦点的距离相等， 又点到准线的距离与到轴的距离相等，所以轴，且垂足为点，即. 故答案为： 8．（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线C：的焦点为F，点A、B是抛物线C上不同的两点，且A、B中点的横坐标为2，则 . 【答案】6 【分析】根据抛物线的定义结合已知可求得结果. 【详解】设，由A，B中点的横坐标为2，可得， 所以． 故答案为：6. 类型三、抛物线中的距离最值问题 (1)解决此类问题通过抛物线定义和运用平面几何知识中的两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等,使问题化难为易. (2)若已知抛物线上点P到焦点F的距离(或与此有关),往往转化为点P到准线的距离,其步骤: ①过P作PN垂直于准线l,垂足为N; ②连接PF; ③|PF|=|PN|=xP+(焦点在x轴正半轴上时). 1．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知是抛物线的焦点，是上的一动点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离即可得． 【详解】设到的准线的距离为，则， 所以的最小值为6. 故选：B. 2．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知，为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】点在抛物线的内部，要求的最小值，利用抛物线的定义，过点直接作准线的垂线，与抛物线的交点即为所求. 【详解】由于，所以点在抛物线的内部， 设点在准线上的射影为，由抛物线的定义可知， 要求的取最小值，即求的最小值， 只有当三点共线时最小， 令，，得，所以取最小值时点的坐标为. 故选：A. 3．（24-25高二上·河北保定·月考）已知抛物线的焦点为F，P为抛物线上一动点﹐点，记P到x轴的距离为d，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线的定义，由Q，P，F三点共线时，最小求解. 【详解】解：记是抛物线的准线，过P作，垂足为H，如图所示： 则，． 因为P到x轴的距离比P到l的距离少， 所以． 易知当Q，P，F三点共线时，最小， 且最小值为． 故选：C 4．（23-24高二上·福建漳州·月考）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为，是圆：上的动点．则的最小值为（    ） A． B． C．27 D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义可得，再设，表达出即可得最小值. 【详解】因为点到点的距离与到直线的距离相等，故点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，故. 由题意可得，当且仅当共线时取等号， 设，则 ，当时,. 所以 故的最小值为. 故选：D 5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】求出焦点，准线，设动点到直线的距离分别为，求出点到直线的距离为，由抛物线定义得到． 【详解】由题意可得，抛物线的焦点，准线． 点到直线的距离为． 点到直线的距离， 点到直线的距离为， 所以， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间，即时（如图），等号成立， 故动点到直线、直线的距离之和的最小值是2. 故选：B 6．（25-26高二上·北京·期中）P是抛物线上任意一点，点是x轴上的定点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设点P坐标，利用两点距离公式结合二次函数的性质计算即可. 【详解】设，则，易知 ， 当且仅当时取得最小值. 故答案为： 7．（23-24高二上·吉林·期末）已知A，B是抛物线上的两点，A与B关于x轴对称，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设，则，，利用两点距离公式求得，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】设，则，， 所以 ． 因为，所以当时，取得最小值，且最小值为． 故答案为： 8．（23-24高二下·上海宝山·期末）抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为 . 【答案】 【分析】由题意结合抛物线的定义求出，设点关于直线对称点为，则，从而可求出的最小值. 【详解】由，得，所以，准线为， 不妨设点在第一象限，过作于，则，得， 则，得，所以， 设点关于直线对称点为，则， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为， 故答案为： 9．（24-25高二上·广东深圳·月考）已知是抛物线上一点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点，根据点到直线距离公式及抛物线的定义得，，则进而求解． 【详解】由题可知，过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点， 由，得，所以，则，如图所示， 则，动点到轴的距离为， 所以， 当且仅当三点共线时，有最小值， 所以，（为点到直线的距离）， 因为到直线的距离为， 所以要求的最值为， 故答案为：．    类型四、抛物线的几何性质应用 (1)为了简化解题过程,有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标,有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论. (2)不能把抛物线看作是双曲线的一支.虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴,但抛物线却越来越接近对称轴的平行线. (3)通径为 1．（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知焦点为的抛物线上有一点到直线的距离为6，为坐标原点，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由已知得，进而可求得，可求. 【详解】由已知得，焦点，则. 故选：C. 2．（25-26高二上·吉林长春·期中）抛物线的焦点为F，C的准线与轴交于点，过且倾斜角为的直线与交于M，N两点（在轴上方），则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】易得直线MF的方程为，与抛物线方程联立，求得M，N的坐标，进而得到求解. 【详解】由抛物线得焦点为， 由题意，得直线MF的方程为，与抛物线方程联立， 消去得， 解得， 所以， ， 所以， 故选：D 3．（23-24高二下·重庆·月考）已知轴上一定点，和抛物线上的一动点，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，表示出，依题意可得恒成立，分和两种情况讨论，当时恒成立，即可得到，从而求出的取值范围. 【详解】设，则，所以 ， 因为恒成立，所以恒成立， 所以恒成立， 当时显然恒成立，当时恒成立， 所以，则，又，所以，即实数的取值范围为. 故选：B 4．已知线段AB是抛物线的一条弦，且AB中点M在上，则点A横坐标（    ） A．有最大值，无最小值 B．无最大值，有最小值 C．无最大值，无最小值 D．有最大值，有最小值 【答案】D 【分析】由题意，可知当点A在原点时横坐标有最小值0，由于AB中点M在上，从而最大值为2. 【详解】      由题意，设 由抛物线范围可知，， 所以如图1，当点A在原点时横坐标有最小值，为0， 由AB中点M在上，可知，即， 所以， 即如图2，当点B在原点时,点A横坐标有最大值，为2. 故选：D. 5．（24-25高二下·云南曲靖·月考）已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】利用抛物线与圆的对称性，得出即可求解． 【详解】设，（）， 由，得，所以． 因为在圆上，所以，得， 故选：A． 6．（23-24高二上·河南周口·月考）已知边长为的等边三角形的一个顶点位于原点O，另外两个顶点A，B在抛物线上，则 ． 【答案】2 【分析】利用两点间距离公式，结合抛物线对称性求得，再求出长即可求解. 【详解】设抛物线上的点，即有，，    由是正三角形，得，则，即， 整理得，而，，， 因此，由抛物线对称性得点关于轴对称，即垂直于轴，且，不妨令， 则，而，于是，即， 因此，所以. 故答案为：2 类型五、抛物线的焦点弦 1、解决抛物线的焦点弦问题时,要注意抛物线定义在其中的应用,通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题. 2、焦点弦的定义：过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的焦点弦． 3、焦点弦长：如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； （1）以为直径的圆必与准线相切. （2）(焦点弦长与中点关系) （3）． （4）若直线的倾斜角为，则． （5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，． （6）为定值． 1．（24-25高二上·云南昭通·期末）抛物线 （）的准线方程为，过C的焦点作斜率为的直线与 交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件列方程求，由此可得抛物线方程，联立直线的方程与抛物线方程，利用设而不求法结合抛物线焦点弦公式求结论. 【详解】抛物线 的准线方程为，焦点的坐标为， 由已知，所以， 故抛物线的方程为，焦点的坐标为， 因为直线的斜率为，过点，所以直线的方程为， 联立，可得， 方程的判别式， 设，则， 又， 故选：D. 2．（24-25高二上·江苏扬州·期末）过抛物线的焦点作斜率为1的弦，点在第一象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得两点的纵坐标，由此求得. 【详解】抛物线的焦点为， 直线的方程为， 由，解得， 所以. 故选：D 3．（25-26高二上·广西柳州·期中）（多选题）已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】直线与抛物线联立方程组，求出点的坐标，由，求得，即可计算选项中的结论. 【详解】设，， 因为，直线的斜率为，则设直线的方程为，      联立方程，消去y得，解得或， 又因为点在第一象限，则，即， 因为，即，故正确； 因为，所以，故B正确； 且，故C正确； 因为， 且直线的方程为，即为， 原点到直线的距离为， 所以，故D错误. 故选：ABC. 4．（24-25高二下·广东·月考）（多选题）已知是抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线与交于两点，则（    ） A． B． C． D．以为直径的圆与抛物线的准线只有1个公共点 【答案】ACD 【分析】根据抛物线焦点坐标公式求出的值，判断A；进而得到抛物线方程，再求出直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求出的值，判断B； 然后根据抛物线的焦点弦长公式求出，判断C；最后根据抛物线的定义判断以为直径的圆与抛物线的准线的公共点个数，判断D. 【详解】已知是抛物线的焦点，则，解得，所以选项A正确. 由可得抛物线方程为.过点且倾斜角为的直线的斜率，根据点斜式可得直线的方程为，即. 将代入，可得，即. 因为，是直线与抛物线的交点，根据韦达定理，，所以选项B错误. 由抛物线的焦点弦长公式. 由，根据韦达定理可得. 因为，所以，，则. 又因为，所以，所以选项C正确. 设的中点为，分别过，，作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，则，. 所以. 这说明以为直径的圆的圆心到准线的距离等于圆的半径， 所以为直径的圆与抛物线的准线只有个公共点，所以选项D正确. 故选：ACD. 5．（24-25高二下·重庆·期末）（多选题）已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线交于，两点，在第一象限，抛物线的准线与轴交于点，则（   ） A． B．时， C．以为直径的圆与准线相切 D． 【答案】ACD 【分析】A选项，过焦点的直线方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，计算出；B选项，由焦点弦长公式得到方程，得到，不妨设，解得，，求出，，；C选项，求出的中点坐标为，计算出到准线的距离为，C正确；D选项，计算出，得到D正确. 【详解】A选项，设过焦点的直线方程为， 联立，可得，， ，，则，故A正确； B选项，，故， 当时，，解得， 由对称性，不妨设，则，， 解得，，此时， ，显然，故B错误； C选项，，，的中点坐标为， 到准线的距离为， 所以，以为直径的圆与准线相切，C正确；    D选项，， ， ，故D正确. 故选：ACD. 6．（25-26高二上·上海·期中）已知抛物线是过其焦点的一条弦，若，则直线的斜率为 【答案】 【分析】根据焦点弦长公式，即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，， 所以，所以，， 所以， 所以直线的斜率为. 故答案为： 类型六、求抛物线的标准方程、焦点、准线 1、由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 （1）已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； （2）焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴． 2、求抛物线标准方程的方法 （1）直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； （2）待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或； 注意：①已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式； ②已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定． 1．（25-26高二上·河北·期中）已知点在抛物线上，则该抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将点代入抛物线方程，再化简得到标准方程，由标准方程写出准线方程直接计算求解即可. 【详解】因为点在抛物线上，所以，得到，抛物线的标准方程为，所以该抛物线的准线方程为。 故选：C 2．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知某抛物线的顶点为坐标原点，焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求得焦点坐标，再根据焦点坐标求解抛物线方程即可. 【详解】直线与轴的交点为，与轴的交点为， 当抛物线的焦点在轴上时，可得焦点坐标为，此时抛物线的标准方程为； 当抛物线的焦点在轴上时，可得焦点坐标为，此时抛物线的标准方程为. 故选：D 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线上与焦点距离等于的点的纵坐标为，则该抛物线标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设出满足条件的点的坐标，根据已知列出方程求解即可. 【详解】设满足条件的点为， 则到的准线的距离为， 设，所以， 解得或，故所求方程为或． 故选：C 4．（24-25高二下·江苏南京·期末）抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出的坐标，然后利用垂直关系列出等式求出，进而得到抛物线方程. 【详解】根据题意，设抛物线方程为， 则，准线方程为. 所以点. 因为，所以， 化简得，即，解得. 所以抛物线方程为. 故选：D. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线，过的焦点的直线交于两点，交的准线于，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意记的准线与轴交点为，过分别作准线的垂线，垂足为，再结合和及抛物线定义知识可求得，即可求解. 【详解】记的准线与轴交点为，过分别作准线的垂线，垂足为， 因为，所以，即， 由于，所以， 由可知，所以，而， 由可知，即的方程为．故C正确. 故选：C. 6．已知抛物线，点，直线，记关于的对称点为，且在上，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先应用点关于直线对称得出对称点，再把点代入抛物线求出，进而得出准线方程. 【详解】设，因为的斜率为，所以直线的斜率为， 故直线的方程为4， 将直线的方程与联立，设两直线的交点为，则， 所以，解得，将的坐标代入的方程， 有，解得，故的准线方程为. 故选:B. 7．（2024高二·全国·专题练习）已知O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，点在C上，且，则C的方程为 【答案】. 【分析】先根据抛物线的定义得出及，再把点代入求参即可得出抛物线方程. 【详解】由抛物线的定义，可知，又，， 则，即， 由点在C上，得，结合，解得. 所以C的方程为. 故答案为：. 8．已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，若C恰过，，三点中的两点，则C的方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，得到抛物线经过与两点，设抛物线的方程为，联立方程组，求得，即可得到C的方程. 【详解】因为抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴， 且恰过，，三点中的两点， 因为点和不关于坐标轴对称，所以抛物线不可能过和两点， 又因为在第一象限，在第三象限， 即抛物线不可能同时过和两点， 所以抛物线经过与两点， 设抛物线的方程为，则，解得， 则C的方程为. 故答案为：. 9．（24-25高二上·江西南昌·月考）抛物线的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为 【答案】 【分析】根据题意过点做轴垂线垂足为，做直线垂线垂足为，则根据抛物线定义可得点坐标为或，再根据面积为即可求解. 【详解】根据题意过点做轴垂线垂足为，做直线垂线垂足为， 由抛物线定义可得, 所以可得点坐标横坐标为，代入抛物线可得点纵坐标为， 又因的面积为，所以可得， 所以可求得，则抛物线方程为. 故答案为： 类型七、抛物线在实际问题中的应用 抛物线的实际应用问题,关键是建立坐标系,将题目中的已知条件转化为抛物线上点的坐标,从而求得抛物线方程,再把待求问题转化为抛物线的几何量讨论. 1．（24-25高二上·广东深圳·月考）有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米．则水位上涨1米后，水面宽为（    ） A．米 B．2米 C．米 D．4米 【答案】C 【分析】以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，进而即可得结果． 【详解】以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系， 依题意可设抛物线方程为，代入点， ∴，， 将代入可得，所以水面宽度为． 故选：C． 2．（23-24高二上·四川德阳·期末）一种卫星接收天线（如图①所示）的曲面是旋转抛物面（抛物线围绕其对称轴旋转而得的一种空间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面的轴线、焦点、顶点），已知卫星波束以平行于旋转抛物面的轴线的方式射入该卫星接收天线经反射后聚集到焦点处（如图②所示），已知该卫星接收天线的口径（直径）为6m，深度为1m，则其顶点到焦点的距离等于（    ） A． B． C．1m D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为，代入点求出，进而可得答案. 【详解】如图所示，以接收天线的轴截面所在平面上建立平面直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在上， 设抛物线的标准方程为， 由已知得在抛物线上，所以，得， 其顶点到焦点的距离等于. 故选：A. 3．（23-24高二上·江苏南京·月考）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，利用抛物线方程运算即可得解. 【详解】解：    如上图，取抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，则， 设抛物线方程，将点代入抛物线方程解得：， ∴抛物线方程为， ∵行车道总宽度， ∴将代入抛物线方程，解得：， ∴车辆通过隧道的限制高度为， 故选：C. 4．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）如图是济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地针式回转缆悬索桥.大桥主跨长约500米，主塔高约100米，缆悬索是以为顶点且开口向上的抛物线的一部分，若为抛物线的焦点，则主塔端点到焦点的距离约为（    ）    A．1350米 B．758米 C．725米 D．558米 【答案】C 【分析】根据给定条件，建立直角坐标系，求出其准线方程，结合抛物线的定义即可求解. 【详解】以为原点，直线为轴，过且与主塔平行的直线为轴，建立平面直角坐标系， 连接，，则， 设抛物线的方程为， 则，解得， 因此抛物线的焦点为， 准线方程为， 利用抛物线的定义得：. 故选：C    1．（24-25高二上·北京平谷·期末）以为焦点的抛物线标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线焦点位置，设其标准方程，求出的值，即得. 【详解】由题意，抛物线方程形如，因，解得， 故以为焦点的抛物线标准方程是. 故选：D. 2．（24-25高二下·广东·期末）已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化为抛物线的标准方程即可得解. 【详解】由抛物线化为标准方程得， 则抛物线的焦点到准线的距离为， 故选：A. 3．（24-25高二上·湖南永州·月考）已知点在抛物线上，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线上点的坐标解方程可得，即可求准线方程. 【详解】把点代入抛物线方程可得， 解得或（舍去）， 故抛物线的方程为，其准线方程为， 故选：C. 4．（25-26高二上·河南南阳·期中）若抛物线上的点到其焦点的距离为，则实数m的值为（    ） A．2 B．3 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意，求得抛物线的准线方程，由抛物线的定义转化为点到准线的距离为，求得的值，进而求得的值，得到答案. 【详解】由抛物线，可得，则焦点，准线方程为， 因为点到其焦点的距离为， 根据抛物线的定义，可得点到准线的距离为，即，解得， 所以，因为，所以. 故选：C. 5．设为抛物线的焦点，若点在上，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点在抛物线上，得到抛物线的标准方程，确定准线方程，利用抛物线的定义，. 【详解】依题意，，解得，所以的准线为，所以， 故选:D． 6．已知抛物线上一点到焦点的距离为，则的中点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线定义可知点的横坐标，进而可得中点横坐标. 【详解】由已知抛物线， 则焦点，准线， 又点到焦点的距离为， 结合抛物线定义可知， 点到准线的距离， 则， 所以中点横坐标， 即中点到轴的距离为， 故选：A. 7．假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为（    ）（，，）    A．0.816m B．1.33m C．1.50m D．1.63m 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，求得抛物线方程并将水面宽度坐标化即可求得结果. 【详解】以为原点，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    设抛物线的标准方程为（）， 由题意可得，代入得，得，故抛物线的标准方程为， 设（，），则，则， 即可得， 所以截面图中水面宽的长度约为， 故选：D. 8．已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件可得，再利用数量积的坐标表示求出方程. 【详解】由圆心在y轴上的圆E经过点，得线段为圆的直径， 而点在轴上，则，又， 于是，而不重合，即， 所以M点的轨迹方程为. 故选：D 9．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】假设边长，然后利用抛物线定义计算即可. 【详解】由题可知：，焦点，准线方程为，假设等边三角形的边长为，如图， 所以,即， 又或 则或， 则. 故选：C 10．（24-25高二上·江西·月考）图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立直角坐标系，直线交抛物线于两点，抛物线方程为，代入抛物线，解得答案. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则点.设抛物线的方程为， 由点可得，解得，所以. 当时，，所以水面宽度为. 故选：C. 11．设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得的倾斜角为，进而可得，计算即可. 【详解】作出示意图如图所示：    则抛物线的性质，可得，又， 所以可得的倾斜角为， 则可得， 从而. 故选：C. 12．已知是抛物线的焦点，是第一象限内抛物线上一点，在抛物线准线上的射影为，，，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图结合抛物线定义可得为正三角形，据此可得答案. 【详解】抛物线焦点为，准线为. 由抛物线定义可得，又，则为正三角形. 则，设，又过F做PQ垂线，垂足为G， 则，则，又，准线为 则，则.故抛物线方程为：. 故选：D 13．已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．6 D．4 【答案】D 【分析】由直线AF的倾斜角为得到得到为等边三角形，进而得到，由，得到答案. 【详解】由抛物线定义可知， 因为直线AF的倾斜角为，轴， ， 所以为等边三角形， 故，， 所以， 其中准线l与轴交点为，则，故， 所以. 故选：D. 14．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考察点到F的距离与到直线的距离，作辅助直线结合抛物线定义可解. 【详解】由图可知，到F的距离比到直线的距离大1， 记直线为直线 ，则到F的距离等于到直线的距离， 由抛物线定义可知，M的轨迹为顶点在原点开口向左的抛物线，其中， 所以M的轨迹方程为： 故选：B 15．已知抛物线的焦点为，直线过点与抛物线相交于，两点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线倾斜角为，由，及，可求得，当点在轴上方，又，求得，，利用对称性即可得出结果. 【详解】设直线倾斜角为，由， 所以，因为， 所以，所以， 所以，所以， 当点在轴上，又， 所以，， 所以由对称性知直线的斜率. 故选：B. 16．（25-26高二上·河南·期中）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义得，从而转化为求的最小值，最后转化为计算点到直线的距离即可. 【详解】由题知的焦点，准线方程为．因为点在上，所以， 所以．联立方程组得， 则， 所以直线与无公共点， 如图所示，的最小值即为点到直线的距离， 所以最小值为，即的最小值为5． 故选：A． 17．（25-26高二上·重庆·期中）已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上异于原点O的两点，且，则的最小值为（    ） A．21 B．13 C．10 D．9 【答案】A 【分析】设，根据得，再根据抛物线定义得，最后利用基本不等式求最值. 【详解】根据题意，设， 因为，所以，所以， 因为A、B是抛物线上异于原点O的两点，所以， 又因为抛物线的准线方程为， 根据抛物线定义可得： ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时取最小值为. 故选：A 18．（24-25高二下·云南·期中）已知抛物线，其中，是过拋物线焦点的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【分析】依题写出直线的方程并与抛物线方程联立，求得的横坐标，利用弦长公式结合抛物线对称性求出相关线段长，即可求得答案． 【详解】由题意知，直线的倾斜角，则直线的方程为， 联立，消去可得：，解得， ，， 由抛物线的定义可得，， 根据抛物线的对称性结合是过抛物线焦点的两条互相垂直的弦， 可知，， 故， 故“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为． 故选：D 19．（25-26高二上·浙江杭州·期中）如图所示，点，B均在抛物线上，等腰直角的斜边为，点C在x轴的正半轴上，则点B的横坐标是（   ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用抛物线方程结合已知条件设点B，C，得出向量，利用等腰直角的斜边为，得出两向量垂直，且向量模长相等，进而列方程组求解． 【详解】抛物线的参数方程为， 设点（，不与重合），点（）， ， 等腰直角的斜边为，，， ， ，， ， 转化为， ，， 等式化简为，即，解得或（舍去）， ，故点的横坐标为3，故B正确． 故选：B． 20．（多选题）连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是（   ） A．平行四边形 B．梯形 C．有三条边相等的四边形 D．有一组对角相等的四边形 【答案】BCD 【分析】根据题意作出相应的图形，结合抛物线的性质逐项分析判断. 【详解】对于选项A：作两条平行线与抛物线均相交，根据抛物线的性质可知：截得的弦长一定不相等， 所以所得的四边形不可能为平行四边形，故A错误；    对于选项C：任作一条直线垂直于抛物线的对称轴，交抛物线与两点，则， 再以圆心，为半径作圆，该圆以抛物线必有一个异于坐标原点的交点， 此时可得，符合题意，故C正确；    对于选项B：任作两条直线垂直于抛物线的对称轴，分别与交抛物线交于和， 此时，即为梯形，故B正确；    对于选项D：如图，以为直径作圆，与抛物线交于，    此时，符合题意，故D正确； 故选：BCD. 21．（24-25高二上·湖北武汉·期末）（多选题）抛物线的焦点为F，过焦点的倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，设，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】BCD 【分析】由题设直线AB的方程，联立抛物线方程结合韦达定理可判断A，B；再依次应用抛物线焦点弦长公式和焦半径公式计算即可判断C，D.. 【详解】对于AB，由抛物线的方程可知，，即， ， 直线AB的斜率不可能为0，设其方程为， 联立，消去x，得，， 故，故A错误，B正确； 对于C，若，则， 则，C正确； 对于D，由抛物线的定义知，， 又， ，即选项D正确. 故选:BCD 22．（2025高二上·重庆·专题练习）（多选题）已知抛物线C：的准线为l，焦点为F，P为抛物线C上的动点，过点P作：的一条切线，Q为切点，过点P作l的垂线，垂足为B，则（   ） A．准线l与圆A相切 B．过点F，A的直线与抛物线C相交的弦长为5 C．当P，A，B三点共线时， D．满足的点P有且仅有2个 【答案】BCD 【分析】对于A，只需判断圆的半径是否等于1即可；对于B，联立直线的方程与抛物线方程，结合韦达定理，焦点弦公式即可判断；对于C，直接验算即可；对于D，联立直线的垂直平分线方程与抛物线方程，判断判别式是否大于0即可. 【详解】 对于A，抛物线的准线为，圆A的圆心在轴上，半径，准线l与圆A相离，A错误； 对于B，直线的方程为，代入得， 弦长为，B正确； 对于C，中，令得，故，显然⊥， 由勾股定理得，所以，C正确； 对于D，由抛物线的定义得，故满足要求的点在线段的垂直平分线上， 其中直线的垂直平分线方程为，代入得， 故点有且仅有2个，D正确． 故选：BCD. 23．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）已知为抛物线的焦点，为抛物线上一点．若，则点的坐标为 ，点的横坐标为 ． 【答案】 9 【分析】由抛物线的几何性质可得焦点坐标，由焦半径公式可求的横坐标. 【详解】由题意得抛物线的焦点为．设，因为，所以． 故答案为：；. 24．（24-25高二上·湖南郴州·期末）已知抛物线，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则 ． 【答案】 【分析】首先求出直线与轴的交点坐标，即可得到抛物线方程，再设，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，再由焦点弦公式计算可得. 【详解】直线过点，又抛物线的焦点坐标为， 所以，解得，所以抛物线，设，， 由，消去可得，显然， 所以，则. 故答案为： 25．（24-25高二上·北京·期末）已知抛物线的焦点为，则的标准方程为 ；设点，点在上，则的最小值为 . 【答案】 4 【分析】利用抛物线的性质可得抛物线方程；利用抛物线的性质可求得的最小值. 【详解】因为抛物线的焦点为，所以，开口向轴正方向， 所以的标准方程为； 抛物线的准线为，过向准线作于， 由抛物线的性质可得，所以， 当在一直线上时，的值最小， 最小值即为点到直线的距离. 故答案为：；. 26．已知平面直角坐标系中，动点到的距离比到轴的距离大2，则的轨迹方程是 . 【答案】或 【分析】设出点的坐标，利用已知列出方程化简即得. 【详解】设点，依题意，，即，整理得， 所以的轨迹方程是或. 故答案为：或 27．（25-26高二上·全国·课后作业）已知为抛物线上的两点，若是边长为的等边三角形，为坐标原点，则抛物线方程为 ． 【答案】 【分析】抛物线和其上的等边三角形都关于轴对称，不妨取在第一象限，根据对称性求出点坐标，代入抛物线方程中可得答案． 【详解】抛物线和其上的等边三角形都关于轴对称，则两点关于轴对称， 轴是等边三角形边的垂直平分线，不妨取在第一象限， 如图，由，，得， 将代入抛物线方程中得， 所以，抛物线方程为． 故答案为：. 28．（24-25高二上·全国·课前预习）设，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设，，，根据可得，根据可得，代入即可得结果. 【详解】设，，， 则，，， 因为， 则， 又因为，则，即， 可得，即． 故点的轨迹方程是． 故答案为：. 29．（25-26高二上·河南焦作·期中）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A，B两点，若，则 . 【答案】6 【分析】由抛物线定义结合相似三角形列式求解. 【详解】如图，设直线与抛物线准线交于点，抛物线准线与轴交于点， 分别过点作准线的垂线，垂足分别为， 由抛物线定义可得，由已知,，设， 由，得，即，解得， 又，得，即，解得，即. 故答案为：6. 30．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，，三点，点P在抛物线上运动，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】依题意，设点，根据两点间距离公式将所求式化成关于的二次函数，利用其配方法即可求得最小值. 【详解】由题意，设点，则 ， 故当时，即当点的坐标为时，取得最小值. 故答案为：. 31．（24-25高二下·上海·月考）已知点是抛物线上的动点，点是圆上的动点，则两点间的最短距离为 ． 【答案】/ 【分析】由题意转化为抛物线上动点到圆心的距离的最小值即可得解. 【详解】由圆，知圆心为，半径为， 设为抛物线上动点，则两点间的距离为， 所以当时，， 所以． 故答案为： 32．已知圆与抛物线交于两点，为的焦点，若，则的值为 . 【答案】或 【分析】由题设有且，关于轴对称，若，结合，有，则，即可求参数值. 【详解】由题设的焦点为，且为已知圆的圆心， 又的半径，其与抛物线有两个交点，则， 由交点为，它们关于轴对称，若，又， 则，所以， 当，可得（负值舍）；当，可得（负值舍）； 综上，或. 故答案为：或 33．（24-25高二下·云南昆明·月考）设抛物线的焦点为，过点的直线与相交于，两点，点在轴上方，且，则直线的方程为 ，的面积为 . 【答案】 【分析】求得抛物线方程为，设直线的方程为，由结合抛物线定义可得，代入直线方程即可求得直线的方程；将直线方程代入抛物线方程得，再由代入计算即可. 【详解】由焦点为，得，则， 设直线的方程为，，则， 由，得，解得， 因为点在抛物线上，所以，解得， 则，将点的坐标代入直线方程，得，解得， 故直线的方程为，即； 将代入中，得， 则，所以， 故. 故答案为：；    34．已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点A（点A在第一象限），过点A作，垂足为，直线交轴于点，若的外接圆的面积为，则抛物线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合抛物线的性质可得是Rt的外接圆的直径，可知，过点A作轴，结合抛物线的定义可得，即可得方程. 【详解】如图，因为直线的倾斜角为，，    可知，， 设准线与轴交于点，则坐标原点是线段的中点，， 可知点是线段的中点，则， 即为直角三角形，为斜边， 所以是Rt的外接圆的直径， 由题意可得：，解得． 过点A作轴，垂足为， 在Rt中，， 又因为，则，即， 所以抛物线的方程为． 故答案为： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $