专题05椭圆小题十三类综合题型（压轴题专项训练）高二数学人教B版选择性必修第一册

学科网（北京）股份有限公司 专题05椭圆小题十三类综合题型（压轴题专项训练） 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一 椭圆的标准方程 题型二 椭圆的离心率 题型三 椭圆离心率的取值范围 题型四 椭圆中的和差最值 题型五 周长问题 题型六 三角形面积问题 题型七 斜率问题 题型八 弦长问题 题型九 角度问题 题型十 中点弦问题 题型十一 定值问题 题型十二 椭圆与向量问题 题型十三 基本不等式求最值 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 椭圆小题是高中数学的重难点，题型涵盖椭圆方程，离心率，周长面积弦长，离心率等，此类问题知识点较为综合：一考查内容综合正余弦定理，二考内容会涵盖向量，三考查内容涵盖定值定点，斜率角度等问题，这类习题经常需要方面考虑各类内容. 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、椭圆的标准方程 典例精讲1 (25-26高二上·广东河源河源中学·期末)如图，已知，，.动点P到A点的距离为6，线段的垂直平分线交直线于点M、当点P在运动时，记点M的轨迹为，则的方程为_____，的取值范围为_____. 【答案】 【分析】根据椭圆的定义式判断点M的轨迹为椭圆，求出标准方程；，可得，，换元令，结合函数单调性求值域即可. 【详解】如图，连接， 因点是线段的中垂线上一点，故， 则，且，即， 可知点M的轨迹为以点A，B为两焦点的椭圆， 则，，即，，则， 所以轨迹的方程为； 因点M是椭圆上的一点，则 设， 则， ， 令， 则， 设， 则时 所以在上单调递增， 则最小值为，最大值为， 所以的取值范围为. 故答案为：；. 题型归纳 1.椭圆的标准方程需要求解a,b,c. 2.方法：一考虑椭圆的定义，二考虑通过代数式求参数. 变式训练1-1 (25-26高二·浙江舟山·期末)已知椭圆的离心率，左，右焦点分别为，点在椭圆上，且轴，为的内心，若，则___________． 【答案】 【分析】先根据离心率得出的关系，再用表示各点的坐标，利用列式，可求的值. 【详解】如图：    因为椭圆的离心率为，所以 . 又点在椭圆上，且轴，不妨设点在第一象限，则，即. 所以. 设的内切圆半径为， 则 . 又. 所以，所以， 又， 所以 . 故答案为： 变式训练1-2 (25-26高二下·河北保定蠡县蠡县中学·)曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小，已知椭圆上点处的曲率半径公式为，若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值为，最小值为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆方程化简曲率半径表达式，根据单调性得到曲率半径最值对应的表达式，列方程组求解得，从而得到椭圆标准方程. 【详解】 已知点在椭圆上，故， 代入曲率半径公式中括号部分： ， 由于，系数， 故是关于的减函数，且，因此与同增减. 当（短轴端点），取最大值，此时最大： 当（长轴端点），取最小值，此时最小： 已知，得方程组： 两式相乘得，即， 代入第一个方程得：，解得，即，进而得. 所以 ，故椭圆标准方程为. 变式训练1-3 (25-26高二下·四川荣县中学校·)已知圆 和圆 ，若动圆 与圆 外切，同时与圆 内切，则该动圆圆心 的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据两圆位置关系得动圆圆心到两已知圆心距离和为定值，再由椭圆的定义求解 【详解】圆的圆心为， 圆的圆心为， 设动圆的圆心为，半径为， 由题意得，则， 所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆， 设椭圆方程为，则, 得，所以, 的轨迹方程为， 故选：A 题型二、椭圆的离心率 典例精讲2. (25-26高二下·湖南怀化·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为、．过的直线与椭圆交于、两点，且满足．若是以为斜边的直角三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，可得出，利用椭圆的定义结合勾股定理可得出与的等量关系，可得出的值，然后在中利用余弦定理可得出与的关系，即可得出椭圆的离心率的值. 【详解】不妨设，则，， 由椭圆定义可得，， 因为是以为斜边的直角三角形，由勾股定理可得， 即，整理可得， 即，解得或（舍去）， 所以，，， ， 由余弦定理可得， 整理可得，故椭圆的离心率为. 题型归纳 1.离心率通常是考查a,b,c的关系. 2.公式汇总：一利用,二，三构造齐次方程. 变式训练2-1 (25-26高二下·重庆鲁能巴蜀中学校·期中)如图，已知椭圆的左、右焦点是、，P为椭圆上一点，在边上的旁切圆（旁切圆圆心是一个内角平分线和两个外角平分线的交点）与直线相切于D点，与x轴相切于A点，若，则椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的切线长定理及椭圆的定义求解即可. 【详解】设旁切圆与相切于B，由题意可知，， 设，则，， 又，且， ， 所以，即， 又，即， 所以. 变式训练2-2 (25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔建华区部分学校·)设椭圆：的左、右焦点分别为，，上一点满足，直线和直线分别与交于另一点和.若，则的离心率为________. 【答案】/ 【分析】设，，，表示出，，，根据，可得以及，结合，可解得，继而根据可得的关系式，即可求得答案. 【详解】设，，，，（c为椭圆的半焦距）， 则，，，    由于，，， 在中，由，可得， 整理得① 在中，由，则， 整理得② 由②①，整理得.又，联立解得， 在中，由，可得， 整理得， 故椭圆的离心率. 故答案为： 变式训练2-3 (25-26高二上·江苏扬州高邮·期中)椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，且，若内切圆的半径，则椭圆的离心率为________. 【答案】 【分析】利用余弦定理找到，再将 的面积为用表示，利用三角形内切圆半径公式找到，利用正弦定理得出，使两个式子相等，解出，根据离心率公式即可得到答案. 【详解】设，. 由椭圆定义可知：，，， 在中，利用余弦定理可知： ，而， 所以，故， 而的面积为， 的周长为：， 由三角形内切圆半径公式可知：， 在中，利用正弦定理可知：， 所以由题知：， 化简得：，故椭圆的离心率. 故答案为：. 题型三、椭圆离心率的取值范围 典例精讲3 (25-26高二上·湖北孝感·期末)已知椭圆.若圆的方程为，椭圆上存在点，过作圆的两条切线，切点分别为，使得，则椭圆的离心率的取值范围为__________. 【答案】 【分析】分和两种情况，利用圆与椭圆的位置关系、切线性质及三角函数单调性，推导出椭圆离心率的取值范围. 【详解】若，此时与椭圆有公共点，故存在点， 过作圆的两条切线，切点分别为， 使得，此时，即； 若，即时，如图， 连接，显然，则， 因为在上单调递增，要想最大，只需最大， 故当最小时，满足要求，故点与上顶点C或下顶点D重合时，最大， 故当时满足要求，所以， 即，所以，解得，所以， 综上，椭圆的离心率的取值范围是. 故答案为：. 题型归纳 1.离心率取值范围列不等式； 2.一椭圆的有界性，二题目中的不等式，三代数式中的恒等式范围，四椭圆中临界情况。 变式训练3-1 (25-26高二·广东深圳龙岗区布吉高级中学·期末)记动椭圆 的左、右焦点分别为，，若上存在点使得，且的取值范围为，则的离心率的取值范围为_________________． 【答案】 【分析】设的半焦距为，则易知的离心率也为，由椭圆的对称性易知，再讨论两个临界位置时的情况即可求得答案. 【详解】显然动椭圆的长半轴长为，设的半焦距为，则，且的离心率亦为， 由椭圆的对称性易知， ∴，即，    ①当点在上顶点位置时（临界位置一）， 在中，由余弦定理得：， ②当点的横坐标为的时（或对应的点）（临界位置二）， 满足条件的点有四个，不妨取，如图， ∴，则由椭圆定义可知， 在△中，由余弦定理的推论可知， ∴，解得，即， ∴的离心率的取值范围亦为， 故答案为：. 变式训练3-2 (24-25高二上·四川广安加德学校·期末)从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为，现有如图所示的两个椭圆，，离心率分别为，，内含于，椭圆上的任意一点M关于的极线为，若原点到直线的距离为，则的最大值为______． 【答案】 【分析】根据定义写出极线的方程，由点到直线距离公式列出一个方程，再结合点在椭圆上找到，的关系，再利用基本不等式计算可得. 【详解】设，椭圆的方程：，椭圆方程：，， 则有①， 由极线的定义得直线的方程为，即， 又原点到直线的距离，化简得②， 对比①②式得出，， 则有， 因为椭圆的离心率在内，所以， 所以， 当且仅当，即时取等，此时， 所以的最大值为. 故答案为：. 变式训练3-3 已知椭圆的左、右焦点分别是，其中．椭圆上存在一点，满足，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设出点，然后由向量数量积得到的轨迹，应用在椭圆上则两个曲线有交点，再求离心率即可. 【详解】设点，则， 即，所以点在以为圆心，半径为的圆上， 又因为点在椭圆上，所以圆与椭圆有交点， 根据对称性可知，即，则，则 则，即椭圆离心率， 故选：D. 题型四、椭圆中的和差最值 典例精讲4 (25-26高二上·江苏常州田家炳高级中学·期末)已知是椭圆的左、右焦点，且椭圆上存在一点，使得，若点分别是圆和椭圆上的动点，则当椭圆的离心率取得最小值时，的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】问题化为的最大值不小于，椭圆的性质知为椭圆短轴的端点时最大，结合已知求得椭圆的标准方程为，再由椭圆的定义转化求最大值. 【详解】若要满足椭圆上存在一点，使得，只需的最大值不小于即可， 在中，余弦定理得 ， 当且仅当，即此时为椭圆短轴的端点时，最大， 如图，不妨设点为短轴的上顶点时，最大， 设，则，所以， 因此当椭圆的离心率取得最小值时，， 故椭圆的标准方程为， 连接，则， 所以只需研究的最大值即可， 连接， 当且仅当三点共线（点在线段的延长线上）时，不等式取得等号， 所以的最大值，故的最大值是． 题型归纳 和差最值问题： 优先考虑将军饮马，直线需要考虑与直线对称，圆需要考虑圆心转化。椭圆、双曲线、抛物线需要考虑定义转化。 变式训练4-1 (25-26高二上·山东青岛第二中学·期中)已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（  ） A．5 B．5 C． D．4 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义可得，然后化简，要求的最大值，即求的最大值，当三点共线时，的最大值为，最后根据圆外一点到圆上一点距离的最大值即可得到结果. 【详解】根据椭圆方程可得：， 所以， 故点为椭圆的焦点，设另一个焦点为， 设圆的圆心为，其半径为， 所以，所以， 要求的最大值，即求的最大值， 因为，所以当三点共线时，的值最大为，而的最大值为， 所以的最大值为. 故选：B. 变式训练4-2 (25-26高二上·河北保定多校联考·期中)已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义将所求最大值转化为求的最大值，再结合圆的性质求解. 【详解】显然为椭圆的左焦点，令其右焦点为， 圆的圆心，半径，由椭圆定义得， 则， 当且仅当点在线段上时取等号，而，当且仅当在线段上时取等号， 所以当是线段延长线与椭圆的交点、是线段反向延长线与圆的交点时，取得最大值. 故选：B 变式训练4-3 (25-26高二上·海南华侨中学·月考)椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上的动点，为圆上的动点，则的最大值为_______________． 【答案】 【分析】先根据椭圆方程及椭圆的定义得出焦点坐标及，再根据圆与椭圆的位置关系结合两点间的距离公式计算求解． 【详解】 椭圆，， ， 根据椭圆的定义，椭圆上任意点满足，右焦点坐标， 圆的标准方程为， 圆心为，半径， ， ， ，当在的延长线与椭圆交点时取等号， ， ， 故答案为：． 题型五、周长问题 典例精讲5已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，离心率为．过且垂直于的直线与交于两点，，则的周长是（   ） A．24 B．26 C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义及中垂线的性质求出直线的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式列出方程，进而求出三角形周长. 【详解】因为椭圆离心率为，故，则， 又，故， 故为等边三角形，为的垂直平分线， 所以，，则的周长等于， 其中，则的周长为， 直线的斜率为，故直线的斜率为， 故直线为，联立，得， 又，故， 设，则， 故，解得， 故，则的周长为. 题型归纳 1.周长问题分析： 2.一焦点三角形周长考虑定义，二非焦点三角形考虑弦长公式|AB|＝＝·|x1－x2|＝·|y1－y2|(k≠0)。 变式训练5-1 (25-26高二上·广西钦州·期末)已知椭圆，点，若直线与椭圆交于两点，则的周长为（   ） A． B．12 C． D．8 【答案】C 【分析】根据椭圆的方程可得其左、右焦点的坐标，又已知直线过右焦点，根据椭圆的定义可得焦点三角形的周长. 【详解】因为椭圆的方程为， 所以，所以， 所以其左、右焦点的坐标分别为，即为左焦点. 由直线的方程可知，该直线过定点，即过右焦点， 记为点，如图.    所以的周长为, 由椭圆的定义可知， 所以的周长为. 故选：C. 变式训练5-2 (25-26高二上·山东日照第一中学·)已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，短轴长是长轴长的倍，则直线的斜率为___________；过点且垂直于的直线与椭圆交于D，E两点，，则的周长是___________. 【答案】 13 【分析】由题设易得，,则直线的斜率为,做出简图，分析可得直线 的方程为，直线 垂直平分，所以的周长等于的周长，将直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式求出c，a的值，进而得解. 【详解】因为短轴长是长轴长的倍，故，即； 因为 ，即 ， 上顶点 ，焦点， 则直线的斜率为 ； 设直线的倾斜角为，所以，所以 ， 所以 , 又因为 ,所以 为等边三角形， 因为过点且垂直于的直线与椭圆交于D，E两点， 所以是的垂直平分线， 所以 所以的周长等于的周长   ， 所以的周长为， 因为且，所以, 所以直线的方程为； 联立，得到 又因为，所以 设，所以 故 解得，故； 所以的周长为， 则的周长是13. 故答案为：， . 变式训练5-3 (22-23高二上·广东广州越秀区·调研)已知曲线的离心率是，P为其上顶点，分别为左、右焦点，过且垂直于的直线与C交于两点，，则的周长是_______． 【答案】26 【分析】利用椭圆的离心率求得的关系，表示椭圆方程，进而表示出直线的方程，联立椭圆方程，利用弦长公式即可求得c,从而求得点的坐标，进而求得的长，即可求得答案. 【详解】由曲线的离心率是，P为其上顶点， 可知，， 则，即 则的斜率为，故的斜率为， 所以的方程为，联立， 可得，， 设，不妨设，则， 由于，故， 故，即得， 故，即， 解得，故， 则， , 故的周长为, 故答案为：26 【点睛】难点点睛：解答本题的思路方法并不困难，即利用方程思想求得的坐标，然后求出的长，即可求得答案，但本题的难点不在于思路，而是在于计算，因此要注意计算的准确性. 题型六、三角形面积问题 典例精讲6 (25-26高二·专题1椭圆及其标准方程（讲）·)已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为的平分线与轴交于点，过点作直线PM的垂线，垂足为H，O为坐标原点，若，则面积为（   ） A． B．8 C． D．12 【答案】C 【分析】延长，交的延长线于点，确定为等腰三角形，进而得到，设，再由椭圆定义求得，进而可求解. 【详解】如图所示，延长，交的延长线于点，    因为PH为的平分线，， 故为等腰三角形， 即为的中点， 因为为的中点，所以OH为的中位线， 故，设，由椭圆定义知， ，故，解得， 故在中，边上高为. 故面积为. 故选：C 题型归纳 求椭圆中焦点三角形面积的方法” ①根据椭圆的定义求出|PF1|+PF2|＝2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； ③利用公式＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．利用公式＝×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积； ④结论： 变式训练6-1 (25-26高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中)已知点，，是圆与轴的交点.若点满足：以为直径的圆与圆相切.则面积的最大值为（    ） A． B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】由图可以判定，两圆内切，然后根据内切的判定得到B的轨迹方程为椭圆，根据椭圆的性质即可确定最大值. 【详解】显然点在圆内，由以为直径的圆与圆相切，得两圆内切， 设以为直径的圆的圆心为，，为中点，则为的中位线， 因此，即有， 于是点的轨迹为以为左右焦点，长轴长为6的椭圆，该椭圆短半轴长， 又，所以当且仅当为椭圆短轴顶点时，的面积最大，最大值为. 故选：C 变式训练6-2 (25-26高二上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点和上顶点的直线交椭圆于另外一点，若，且的面积为．则正数的值为（　　） A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】设椭圆的标准方程为，求得直线l的方程：，与椭圆方程联立求得，由，可得，进而得，利用面积可得，求解即可. 【详解】设椭圆的标准方程为，这里，， 因此，，焦距满足， 又，上顶点. 所以，所以直线l的方程：. 代入椭圆方程得， 整理得，解得或， 所以， 所以，， 又因为，所以， 所以且， 所以，又因为，所以 因为的面积为，所以，解得 即，所以，所以，所以， 解得或（舍去），所以. 故选：A. 变式训练6-3 (25-26高二上·湖北曾都区第一高级中学·)若椭圆且直线点为y轴正半轴上一点（在椭圆上顶点上方），过A点作椭圆两条切线交直线l于B，C两点，则面积的最小值为______ 【答案】 【分析】设切线：，和椭圆方程联立得到的关系，然后用来表示的面积，结合基本不等式求解. 【详解】    显然直线的斜率存在，设的方程为：，如图可知， 直线和椭圆联立，得到， 由可得， 令可得，则， 令，解得，则， 由对称性，， 由可知，，则， 记，则， 记，则， 由基本不等式，， ， 则，，当时取得等号， 即，时，面积最小值是. 故答案为： 题型七、斜率问题 典例精讲7 (25-26高二上·四川凉山州·期末)如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先连接 ，，设 ，利用椭圆的定义用 表示出 ，，，再运用勾股定理求出，并求出 的值，最后求得直线 的斜率即可. 【详解】连接 ，， ∵点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，∴，  设 ∵，∴ ∴， ∴ 在中，∵ ∴，解得，∴ 在中，∴， ∵ P 在第一象限，直线 向下倾斜， ∴直线的斜率为， 故选：A. 题型归纳 1.斜率问题 2.以点斜式设直线方程时，考虑斜率是否存在，以倾斜角考虑直线的斜率， 3.点差法考虑斜率问题，点差法通常考虑二级结论，焦点在x轴时，。 变式训练7-1 (22-23高二下·河北廊坊固安县马庄中学等2校·开学考)已知椭圆的左顶点为A，O为坐标原点，直线与椭圆C交于M，N两点，射线与椭圆C交于点P，设直线，的斜率分别为，，则__________． 【答案】3 【分析】设，，直线过定点,设，由此求得，．再利用点差法求出，，即可结合，化简求值，求得答案. 【详解】设，，直线过定点．    设，即， 则，． 因为，所以， 两式作差得， 即， 所以，结合，得，， 由于，即，而射线与椭圆C交于点P，故， 又，故， 所以， 故答案为：3. 【点睛】关键点睛：本题的关键是设，再利用点差法解出，，最后再化简，将上述两式代入即可得到答案. 变式训练7-2 (22-23高二下·湖北荆门·期末)已知椭圆：的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为．若，且的周长为，则直线的斜率为________． 【答案】/ 【分析】由平行关系得出对应线段成比例，结合椭圆定义，表示出长度，利用余弦定理求出，得出结果. 【详解】因为椭圆：的离心率为，则， 又因为，即， 则，可得， 所以，① 又因为，可得，② 又因为，③ 由①②③知，， 在中，由余弦定理可得， 可得为锐角，则， 所以，即的斜率为． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：1．椭圆离心率(离心率范围)的求法 求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值． 2．焦点三角形的作用 在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来． 变式训练7-3 (23-24高二上·广东江门广雅中学·期中)已知椭圆：的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为．若，则直线的斜率为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似关系可得，再利用直线方程和椭圆方程后可求直线的斜率. 【详解】 因为离心率为，故可设，故， 故椭圆方程为：， 而，，故，因，故. 故直线与轴不垂直也不重合， 故可设，，，则， 由可得， 因在椭圆内部，故恒成立，且， 故，因，故， 此时，， 故在第一象限，符合条件，的斜率为， 故选：A. 题型八、弦长问题 典例精讲8 (25-26高二上·贵州名校协作体·)已知，为椭圆的两个焦点，，为的中点，直线垂直且交于，两点，若，则的值为（   ） A．26 B．22 C．18 D．14 【答案】D 【分析】根据给定条件可得为正三角形，用半焦距c表示出直线的方程及椭圆的方程，联立并利用弦长公式求出c，再利用椭圆的定义求得答案. 【详解】设椭圆的半焦距为c，连接， 由，得，由为的中点，， 得，，且为正三角形，，直线斜率为， 直线的方程为，椭圆的方程为， 由消去并整理得，设， 则， ，解得，，而垂直平分， 所以. 故选：D 题型归纳 弦长公式|AB|＝＝·|x1－x2|＝·|y1－y2|(k≠0) 变式训练8-1 已知椭圆Γ: 的左、右焦点分别为，，过原点的直线与椭圆Γ相交于A，B两点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出椭圆的焦点坐标，再利用椭圆的定义结合余弦定理列方程组求解． 【详解】椭圆Γ: 的左、右焦点分别为，， ， 如下图所示，连接，，根据椭圆的对称性，可得四边形为平行四边形， 由椭圆的定义可得， ①， ， ，在中，由余弦定理可得， 即②， 由①减②得，，故B正确． 故选：B． 变式训练8-2 (25-26高二上·辽宁朝阳·期中)椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线过左焦点，交于，两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围是，线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可求得，，即可得出，再根据离心率范围即可求出. 【详解】 设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得， ， 又 ， ，， ，，则，即， 所以线段的长度的最小值为. 故选：D. 变式训练8-3 (25-26高二·贵州黔东南苗族侗族·期末)已知椭圆的右焦点为，点在的左半部分上，点在的右半部分上，且平行于轴，若的离心率，则__________. 【答案】 【分析】设的左焦点为，连接，过作的垂线，垂足为，设，即可表示、，再在中利用余弦定理表示出，从而得到，即可得解. 【详解】设的左焦点为，连接，过作的垂线，垂足为. 依题意可得四边形为等腰梯形，则， 设，则，，， 由椭圆的定义得， 在中， ， 所以整理得，则. 故答案为： 题型九、角度问题 典例精讲9 (25-26高二上·江苏徐州第三十七中学·期中)设为椭圆上一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆及圆的方程可确定椭圆的焦点及圆的圆心，即可得，根据切线可知，结合二倍角公式及直角三角形中的三角函数值可得解. 【详解】    如图所示， 由椭圆方程，得，，， 即椭圆的左焦点坐标为， 又圆，即圆心与椭圆的左焦点重合， 所以椭圆上的点到圆心的距离， 又，且，则， 则， 所以当时，取得最大值为， 故选：A. 题型归纳 1.角度问题考虑方向： 2.考虑直线的斜率，考虑倍角公式，考虑两角和差公式，或者内角和公式考虑三角函数，考虑正弦定理或余弦定理。 变式训练9-1已知点分别是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为 B．椭圆的离心率 C．面积的最大值为 D．的最大值为 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义和标准方程、离心率、三角形面积、余弦定理、三角恒等变换等知识对选项进行分析，从而确定正确答案即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，    对于A，由题意得椭圆， 可得，， 设,，，则， 则， 函数在上单调递增， 所以当时，取得最小值，且最小值如下， 为，故A错误， 对于B，由题意得椭圆的离心率，故B错误， 对于C，由于为定值，所以当位于椭圆的上下顶点时， 三角形的面积取得最大值为，故C正确， 对于D，设，由余弦定理得 ， 当且仅当时等号成立，而，则， 可得的最大值不为，故D错误. 故选：C 变式训练9-2 (22-23高二下·福建福州四校·期末)已知椭圆的两焦点为，，x轴上方两点A，B在椭圆上，与平行，交于P.过P且倾斜角为的直线从上到下依次交椭圆于S，T.若，则“为定值”是“为定值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不必要也不充分条件 【答案】D 【分析】先求出的轨迹，其轨迹方程为，取，结合特殊情形可得“当取定值， 是定值”是错误的；再由 是定值可得，从而可判断当取定值， 是定值”是错误的，从而可得正确的选项. 【详解】解法一：设为椭圆上的动点，为椭圆的半焦距， 故，故 ， 设直线，则到该直线的距离为，故， 如图，设直线的倾斜角为，过作的垂线，垂足为， 则，故，设， 故，同理. 设的倾斜角为，则，， 因为，故， 所以， 所以，同理， 故， 故的轨迹为以为焦点的椭圆，其长半轴长为， 短半轴长为， 故的轨迹方程为：，其中. 取，, 而，故不是定值即不是定值. 故“当取定值， 是定值”是错误的. 设,则直线的参数方程为：， 设， 由整理得到： ， 故， 而，故， 所以， 若为定值，则为定值， 而， 故当变化时，始终为定值， 又 故且， 但，故， 所以 ， 但此时随的变化而变化，不是定值， 故“当取定值，是定值”是错误的. 解法二：根据题意能够作出点，由椭圆的对称性得 关于y轴的对称点也满足题意.过作倾斜角为的直线，交椭圆于； 过点作倾斜角为的直线交椭圆于； 直线关于y轴的对称直线，交椭圆于 那么，记，过做一直线垂直轴， 则与关于直线对称，由椭圆形状得； 所以“为定值”是“为定值”的不充分条件. 反之，取直线与直线，所得的线段比值相同为，但它们的倾斜角互补，即不为定值； 所以＂为定值＂是＂为定值＂的不必要条件. 综合得＂为定值＂是＂为定值＂的既不充分条件也不必要条件. 故选：D. 【点睛】思路点睛：对于圆锥曲线中的动态问题，注意利用圆锥曲线的几何性质去研究动点的轨迹，对于是否为定值的问题，注意构建不同变量之间的关系，结合特例来处理是否为定值的问题. 变式训练9-3 (25-26高二上·河北邢台质检联盟·期中)已知，分别是椭圆的左、右顶点，点满足，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造直角三角形，利用角度关系和正切函数建立联系，进而求得离心率. 【详解】 过作垂直于轴，垂足为， 易得，得， 则. 在中，由，得， 得. 故选：C. 题型十、中点弦问题 典例精讲10 (25-26高二上·广东深圳某校·期中)已知椭圆C：，过椭圆C的焦点的直线l与椭圆C相交于，两点，设线段的中点为P.若，则（   ） A． B． C．1 D．9 【答案】B 【分析】要解决这道题，我们可以利用椭圆的性质以及点差法来求解. 【详解】已知椭圆C：的焦点，故椭圆焦点在轴上，标准形式为 ，其中，且，得方程（1）， 设直线l与椭圆C相交于，，中点为，则 ，直线l过和P. 其斜率为，将，代入椭圆方程并相减。得： ，因式分解后除以，得： ，代入的值： ，化简得：， 即（2），联立（1）（2），将代入（1）：， 所以，即，则，故. 故选：B 题型归纳 解决椭圆中点弦问题的两种方法： 1. 根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2.点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和 3.二级结论，焦点在x轴时， 变式训练10-1 (25-26高二上·河北百师联盟·月考)已知椭圆的左、右两焦点分别是、，为坐标原点，过点的直线与椭圆交于、两点，则下列说法中正确的是（   ） A．当直线与轴不重合时，的周长为 B．当直线的斜率存在，且时，若弦的中点为，则 C．当直线轴时，若，则椭圆的离心率 D．若，则椭圆的离心率的取值范围是 【答案】C 【分析】利用椭圆定义可判断A选项；利用点差法可判断B选项；利用椭圆定义结合椭圆离心率公式可判断C选项；设，则，则，利用平面向量数量积的坐标运算结合求出的取值范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，当直线与轴不重合时，的周长为，A错； 对于B选项，当直线的斜率存在，且时，则线段的中点不在坐标轴上， 设点、，则， 所以，，则， 因为，两式作差可得，所以，B错； 对于C选项，当直线轴时，点、关于轴对称，则， 由勾股定理可得， 由椭圆定义可得， 故该椭圆的离心率为，C对； 对于D选项，设点，则，且，则， 易知，， 则， 即， 因为，所以，所以，故， 所以，故，故该椭圆的离心率的取值范围是，D错. 故选：C. 变式训练10-2 (24-25高二上·江苏苏州吴中区苏苑高级中学·月考)已知直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，以OA，OB为邻边作平行四边形，点P恰好在C上．若线段AB的中点M在直线上，则直线l的方程为______． 【答案】 【分析】设，，，利用点差法得到，根据平行四边形的性质及点P在椭圆上得到，解方程组即可求解. 【详解】设，，， 则，两式相减，得， 故，得①． 在平行四边形中，M为线段AB的中点，所以M为线段OP的中点， 所以，又P在椭圆C上，所以②． 由①②，得，故直线l的方程为， 即，经检验，该直线满足题意. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：通过点差法求得是本题的解题关键. 变式训练10-3 (25-26高二上·江西南昌·期末)已知点A、B、C是离心率为的椭圆Γ： （a>b>0）上的三点，直线AB、AC、BC的斜率分别为k₁、k₂、k₃，点D、E、F分别是线段AB、AC、BC的中点，O为坐标原点，直线OD、OE、OF的斜率分别为k₁'、k₂'、k₃'，若，则________． 【答案】 【分析】由点差法以及离心率可得，同理，，则可求. 【详解】设，则， ，， 由于点A、B在椭圆上，则， 两式相减得， 同时乘以得， 即， 由于，则， 则，即， 同理，， 由于， 则， 故答案为：. 题型十一、定值问题 典例精讲11 (25-26高二下·河南鹤壁高中·)已知为坐标原点，直线与椭圆交于，两点，，垂足为，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：利用特值法可得解；方法二：联立直线方程与椭圆方程，可得，结合可得解. 【详解】方法一：当点在轴正半轴上时， 由，，结合椭圆的对称性可知为等腰直角三角形， 则点，且点在椭圆上，所以，所以； 方法二：ⅰ）当存在时，设直线为，，， 联立直线与椭圆，得到， 则， 根据韦达定理可得：，， 由，即，即， ，， ， ，即，， 即， 等式两边同时除以， 可得，即. ⅱ）当不存在时，如方法一； 故选：C. 题型归纳 1.特殊值：通过特殊值求解速度较快，适合小题，或者解答题，提前计算出定值。 2.通过代数式定值。这个方法速度较慢，计算量较大。适合解答题。 变式训练11-1 (25-26高二上·江苏镇江扬中第二高级中学·)从椭圆上一点引出以短轴为直径的圆的两条切线，切点分别为，，直线与轴、轴分别相交于点，，则______． 【答案】/ 【分析】设，根据题意得到切线的方程，进而分析得直线的方程，从而求得点的坐标，再结合椭圆方程即可得解. 【详解】由椭圆方程可知：，圆的方程为， 设， 在切线上任取一点，则，， 因为，可得， 即，且，可得， 所以切线的方程为， 同理可得：切线的方程为， 因为点在切线上，则，， 所以直线的方程为， 则，可得， 因为点在椭圆上，可得， 所以. 故答案为：. 变式训练11-2 (22-23高二下·上海浦东新区·期中)已知点M、N分别是椭圆上两动点，且直线的斜率的乘积为，若椭圆上任一点P满足，则的值为_________. 【答案】1 【分析】设，由得，由表示出坐标，代入椭圆方程，可求得的值. 【详解】设， ， ，又P在椭圆上， ， ， ， ， ， ， . 故答案为：1 【点睛】方法点睛：椭圆上任一点P满足的处理方法：用表示出的坐标，代入椭圆方程，结合化简即可. 变式训练11-3 (22-23高二上·湖南长沙四校·期中)已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于两点，过作轴的垂线交椭圆与另一点（不与重合）．设的外心为，则的值为__________． 【答案】4 【分析】设出直线方程，与椭圆方程联立后由弦长公式得，再由几何关系得点坐标，得出后化简计算 【详解】由题意知，直线的斜率存在，且不为0，设直线为， 代入椭圆方程得． 设，则， ∴的中点坐标为， ∴． ∵是线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点， 的垂直平分线方程为， 令，得，即，∴ ∴． 故答案为：4 题型十二、椭圆与向量问题 典例精讲12 (25-26高二上·辽宁锦州·期末)椭圆的左、右焦点分别是，，过C上一点P作直线，分别交C于M，N两点，且，，则______. 【答案】6 【分析】设，直线，的方程分别与椭圆方程联立求出点M，N的纵坐标，进而结合给定向量关系求解即可. 【详解】由椭圆，则，即， 设，则，即， 而直线的方程为， 联立，消去得， 则，解得， 而直线的方程为， 联立，消去得， 则，解得， 因为，， 所以，， 则. 故答案为：6. 题型归纳 1.向量与椭圆结合 2.一通过向量求解点的坐标，二建系法解决向量问题， 变式训练12-1 (25-26高二上·四川攀枝花·期末)在平面直角坐标系中，和分别是与轴和轴方向相同的单位向量，向量满足，向量满足，则的最大值为______. 【答案】 【分析】先利用向量的坐标运算求出两个轨迹方程，再根据向量线性运算及模的定义将的最大值转化为求的最大值，进而转化为圆上的点到椭圆上点的最远距离问题，设，则，结合正弦函数性质和二次函数性质求解最大值，即可得解. 【详解】因为和分别是与轴和轴方向相同的单位向量， 所以，， 设，由可得： ， 表示动点到两点的距离之和为， 则， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，， 则点的轨迹方程为：， 设，由可得：， 表示动点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 所以动点的轨迹方程为， ，的最大值表示圆上的点到椭圆上点的最远距离， 即为圆心A到椭圆上点的最大距离加上半径， ，设， 则 ， 设， 当时，取最大值，且最大值为， 所以的最大值为，的最大值为， 所以的最大值为. 故答案为：    变式训练12-2已知是圆上的动点，且， 当点满足，点在椭圆上运动时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的坐标及已知等式，可得到，结合求出点的轨迹方程为，其轨迹为以为圆心的圆，进而求出的最大值，根据（r为轨迹圆的半径）即可求出答案. 【详解】因为圆，所以圆心， 由是圆上的动点知， 由，得， 由，得， 所以， 将等式两边同时平方，得， 所以，所以动点的轨迹方程为， 由椭圆的方程可设点的坐标为， 由动点的轨迹方程可得该圆的圆心为，半径为，如图， 则， 当时，， 所以. 变式训练12-3 (24-25高二下·河北邯郸大名县第一中学·开学考)自19世纪之后，折纸艺术与自然科学结合到了一起，它开始在西方成为教育教学和科学研究的工具.随着折纸过程中的数学之迷被解开，折纸发展成为了现代几何学的一个分支.现有一张半径为，圆心为的圆形纸片，在圆内选定一点且.将圆形纸片翻折一角，使圆周正好过点，把纸片展开后，留下一条折痕，折痕上到两点距离之和最小的点为.如此反复，就能得到越来越多的折痕，设点的轨迹为曲线，线段的中点为，在上任取一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用折叠的几何性质及椭圆的定义先判定曲线的轨迹，再建立直角坐标系，结合向量的坐标运算和函数的最值的求法即可求解. 【详解】 如图所示，设折痕为直线，点与关于折痕对称，，在上任取一点， 由中垂线的性质可知：， 当且仅当与重合时取等号. 即折痕上到两点距离之和最小的点为，且. 故的轨迹是以为焦点，且长轴长为的椭圆，焦距，， 故， 以所在直线为轴，的中垂线为轴建立直角坐标系， 则曲线的方程为，则，， 设，则，， 则，， 因此可得，， 由二次函数的性质知，当时，取得最小值为 故选：A. 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法， （1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解． （2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值(注意：有时需先换元后再求最值)． 题型十三、基本不等式求最值 典例精讲13 (25-26高二上·重庆第十一中学校教育集团·期中)已知，是椭圆C：（）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段与圆相切于点Q，且点Q为线段的中点，则（其中e为椭圆C的离心率）的最小值为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据切线，三角形中位线结合椭圆定义，可以求出，，再用勾股定理找到，进而将化简为，利用均值不等式求解即可. 【详解】 由题意，根据切线的性质可得，， 又为的中点，为线段的中点， 所以，所以； 所以，， 在中，，即， 则，整理得，所以， 即，所以， 当且仅当，即时，取得最小值. 故选：D. 题型归纳 1.基本不等式解决最值 2.椭圆的定义求出两个线段和，求解最值时，可以考虑基本不等式。 变式训练13-1 曲线的形状是一个斜椭圆，其方程为，点是曲线上的任意一点，点为坐标原点，则下列说法错误的是（   ） A．曲线关于对称 B．的最大值为 C．该椭圆的离心率为 D．的最大值为 【答案】C 【分析】根据方程的特点分析曲线的对称性，可判断A的真假，并求出椭圆的长轴长和短轴长，根据离心率的概念，可求椭圆的离心率，判断C的真假；利用基本（均值）不等式可以判断B的真假；把方程看成关于的不等式，利用可求的取值范围，判断D的真假. 【详解】由方程可以看出其关于，对称，A正确； 由题意知，，，，，B正确： 联立方程，解得顶点坐标为和，所以椭圆长轴长为 ；同理可得另外两个顶点坐标为和，所以椭圆的短轴长为 ，所以，所以该椭圆的离心率为：，C错误； 看作关于的一元二次方程，，解得，D正确， 故选：C． 【点睛】结论点睛：在曲线方程中，若用代替，方程不变，则曲线关于轴对称；若用代替，方程不变，则曲线关于轴对称；若用代替，代替，方程不变，则曲线关于原点对称；若用代替，同时用代替，方程不变，则曲线关于直线对称. 变式训练13-2 (24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·开学考)已知，是椭圆：的两个焦点，为上一点，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义得到，且，换元后得到，根据“1”的妙用得到，求出的最小值为，从而求出的最小值. 【详解】由题意得：椭圆：的两个焦点在y轴上，且，故， 则，故， 由椭圆定义可知：， 设，则由椭圆性质可知：，故， ， 其中 ， 令，则，则， 由对勾函数的性质可知：在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为， 故， 等且仅当时，等号成立. 故选：D 变式训练13-3 (22-23高二上·福建三明五校协作·期中)已知椭圆）的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则（其中为椭圆的离心率）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知即向量数量积定义可得，应用余弦定理求得，根据等面积法可得，再由正弦定理列方程求离心率，结合目标式、基本不等式求其最小值，注意等号成立条件. 【详解】由题设，故， 又，则， 由余弦定理知： ， 所以，而， 因为的内切圆的半径，故， 所以 ，则， 由，即， 所以，整理得且， 所以， ，当且仅当时等号成立， 所以目标式最小值为. 故选：B 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．(25-26高二上·湖北孝感·期末)曲线是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出的下列结论中正确的个数为（    ） ①曲线关于坐标轴和直线均对称； ②曲线恰好经过8个整点（即横､纵坐标均为整数的点）； ③曲线围成的图形的面积是； ④曲线上任意两点间的距离的最大值为4； ⑤若是曲线上任意一点，则的最小值是2. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分别讨论，，和四种情况，去掉绝对值，可得曲线的方程，作出其图象，可判断①的正误；根据图象的对称性及特殊值，可判断②的正误；根据面积公式，代入求解，可判断③的正误；根据圆的性质及图象，分析可得曲线上任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，代入数据，即可判断④的正误；根据点到直线距离公式，变形整理，结合直线与圆的位置关系，即可判断⑤的正误. 【详解】当时，曲线， 整理化简可得，表示圆心为半径为的半圆， 同理可得当时，，表示圆心为半径为的半圆， 当时，，表示圆心为半径为的半圆， 当时，，表示圆心为半径为的半圆， 作出曲线图形如图所示， 对于①，由图象可得，曲线关于坐标轴和直线均对称，故①正确； 对于②，当时，曲线，则过点， 同理曲线还过，共个整数点，故②正确； 对于③，曲线围成的图形的面积为，故③错误； 对于④，曲线上任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和， 即为，故④错误； 对于⑤，因为点到直线的距离， 所以，当最小时，易得点在曲线的第一象限图象上， 且最小距离为圆心到直线的距离减去半径， 所以， 所以，故⑤正确， 综上所述总共有个正确. 故选： 2．(25-26高二上·四川资阳安岳中学·期末)下图中的曲线C经过坐标原点O，曲线C上的任意一点到两定点，的距离之积为定值，当时，曲线C上第一象限内的点P满足的面积为，则（   ）    A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】D 【分析】设是曲线C上的任意一点，结合题中条件得到，当时，结合三角形面积公式得到，进而得到结果； 【详解】设是曲线C上的任意一点， 因为点到两定点，的距离之积为定值，所以， 即， 因为曲线C经过坐标原点O，所以，即， 所以 当时，曲线C上第一象限内的点P满足的面积为， 则，因为，所以 则 故选：D. 3．(25-26高二上·广东汕头金山中学·期中)平面内两定点和，动点，满足，动点的轨迹为曲线，下列命题错误的有几个（    ） ①存在，使曲线过坐标原点； ②曲线关于轴对称，但不关于轴对称； ③若三点不共线，则周长最小值为； ④曲线上与不共线的任意一点关于原点对称的点为，则四边形的面积不大于. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据题意得到曲线方程为，代入原点坐标判断①；根据方程研究对称性判断②；利用基本不等式判断③；转化为两个三角形的面积，结合三角形面积公式和正弦函数的有界性判断④. 【详解】平面内和，动点满足，故 ， ①：代入，可得，正确； ②：对曲线上任意点，关于y轴对称点为，关于轴对称点为， 将代入上式得； 将代入上式得； 所以曲线既关于轴对称，也关于轴对称，不正确; ③：若、、三点不共线，则 ，且， 当且仅当时等号成立，又， 所以周长的最小值为，正确； ④：曲线上与、不共线的任意一点关于原点对称的点为， 又图象既关于轴对称，又关于轴对称，且，知： 四边形的面积为， 当且仅当时等号成立，此时， 所以四边形的面积不大于，正确. 故选：B. 4．(24-25高二上·广东广州第五中学·)已知椭圆的左、右焦点分别为，点都在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线，直线代入椭圆方程，消元后得一元二次方程，计算出两根和与积，再由题设条件，求出，和，代入中，利用韦达定理代入，化简即得， ，由的齐次不等式，即可求得离心率的取值范围. 【详解】依题意知，， 如图，由，可知三点共线，三点共线. 设，，，直线，直线, 由消去，可得， 则，同理可得，显然，，， 由代入坐标可得：，即得， 同理由可得，，由，可得， 同理，，故 （*）， 又点在椭圆上，则有，则（*）式可化成： ，解得，故得， 又，故的离心率的取值范围为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求椭圆离心率（或范围）的方法有三： （1）根据已知条件列方程组，解出的值，直接利用离心率公式求解即可； （2）根据已知条件得到一个关于（或）的齐次方程（或不等式），然后转化为关于离心率的方程（或不等式）求解； （3）因为离心率是比值，故有时也可以利用特殊值法，例如令，求出相应的值，进而求出离心率. 5．(24-25高二上·安徽黄山八校联盟·期中)数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题.若曲线，且点M，N分别在曲线和圆：上，则M，N两点间的最大距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】表示到两定点和的距离之和为，可得动点轨迹为椭圆：，两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径. 【详解】因为， 所以可以转化为到的距离， 同理，可以转化为到的距离， 因为， 所以到两定点和的距离之和为， 所以在以点和为焦点的椭圆上， 设椭圆的标准方程为：， 则，即，又，所以， 所以曲线，即椭圆的方程为：， 又因为圆的圆心为，半径为， 则M，N两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径， 点在，故， 所以圆心到椭圆上点的距离 ， 因为开口向下，对称轴为， 所以在上单调递减，故，则， 所以M，N两点间的最大距离是． 6．(24-25高二上·吉林·期中)如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在，则半椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆上点的坐标从而得到向量坐标，利用向量坐标表示数量积得到相应等量关系，再由点的变化范围得到相应不等式，进而求得取值范围. 【详解】 设， 因为， 又点为半椭圆上一点，所以， 所以 ， 因为存在， 所以， 即在上有解， 因为， 且， 所以在上有解， 即在上有解，所以 又因为， 所以， 即，解得， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是采用设点法，再代入计算相关向量数量积，转化为在上有解，从而得到不等式组，解出即可 7．(25-26高二·浙江北斗星盟·)已知向量是互相垂直的单位向量，向量满足 ，若恰有两个不同的使得取到最大值，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】由于向量是互相垂直的单位向量，不妨令，设，运用坐标解决问题，转化为求解点的轨迹问题. 【详解】由于向量是互相垂直的单位向量，不妨令， 设， 由可得 ， 故点为到定点与定点之和为的点的轨迹， 若恰有两个不同的使得取到最大值，即恰有两个点使取得最大值， 那么设，， 当时，点轨迹不存在，无解； 当即时，点轨迹为线段， 由于线段中垂线方程为直线，经过原点， 故此时取得最大值处为点或点； 当即时，点轨迹为以点，点为焦点的椭圆， 如图所示，不妨以线段中点为原点，所在直线为轴， 不妨把点在y轴正半轴上为区别原点重命名为，则椭圆的标准方程为， 则原问题等价于恰有两个点使取得最大值， 那么 ， 设那么函数图像为开口向下，对称轴为直线的抛物线， 由于，所以当且时， 恰有两个点使取得最大值，此时，取值范围为且， 即取值范围为； 当时，在上单调递减， 在时取得最大值，取得最大值的点为，仅有一个点，不满足题意，舍去； 综上，取值范围为. 8．(25-26高二上·安徽池州多校·)已知椭圆的左焦点为F，过原点的直线与C交于M，N两点，若的最小值为，则C的焦距为______． 【答案】 【分析】设椭圆的右焦点为，则有四边形为平行四边形，即，根据椭圆的定义得，即，则利用基本不等式得到的最小值为，根据已知条件得到，求出的值，利用公式求出的值，由C的焦距为，从而求出焦距的值． 【详解】设椭圆的右焦点为， 则四边形为平行四边形，即，又， 则， 则 ，当且仅当时取等号， 又的最小值为，则，解得，则， 即C的焦距为． 故答案为：. 9．(25-26高二上·黑龙江哈尔滨宾县第一中学·月考)已知椭圆，､分别是的左､右焦点，是上异于左右顶点的动点，记的内切圆面积为，的外接圆面积为，若的最小值为4，则的离心率为______. 【答案】/ 【分析】设，求得内切圆半径，利用正弦定理求得的外接圆半径，结合，根据题意可得，求解即可. 【详解】设，由椭圆定义可知， 在中，由余弦定理可得， 则，所以， 又的周长为， 则内切圆半径， 又在中，由正弦定理可知为的外接圆半径，即， ， 由椭圆的对称性可知，当点为短轴端点时取得最大值为， 所以取得最小值为， 又的最小值为4，即的最小值为2，即， 即，化简可得， 等式左右同时除以，可得，即， 由椭圆离心率，则. 故答案为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学科网（北京）股份有限公司 专题05椭圆小题十三类综合题型（压轴题专项训练） 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一 椭圆的标准方程 题型二 椭圆的离心率 题型三 椭圆离心率的取值范围 题型四 椭圆中的和差最值 题型五 周长问题 题型六 三角形面积问题 题型七 斜率问题 题型八 弦长问题 题型九 角度问题 题型十 中点弦问题 题型十一 定值问题 题型十二 椭圆与向量问题 题型十三 基本不等式求最值 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 椭圆小题是高中数学的重难点，题型涵盖椭圆方程，离心率，周长面积弦长，离心率等，此类问题知识点较为综合：一考查内容综合正余弦定理，二考内容会涵盖向量，三考查内容涵盖定值定点，斜率角度等问题，这类习题经常需要方面考虑各类内容. 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、椭圆的标准方程 典例精讲1 (25-26高二上·广东河源河源中学·期末)如图，已知，，.动点P到A点的距离为6，线段的垂直平分线交直线于点M、当点P在运动时，记点M的轨迹为，则的方程为_____，的取值范围为_____. 题型归纳 1.椭圆的标准方程需要求解a,b,c. 2.方法：一考虑椭圆的定义，二考虑通过代数式求参数. 变式训练1-1 (25-26高二·浙江舟山·期末)已知椭圆的离心率，左，右焦点分别为，点在椭圆上，且轴，为的内心，若，则___________． 变式训练1-2 (25-26高二下·河北保定蠡县蠡县中学·)曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小，已知椭圆上点处的曲率半径公式为，若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值为，最小值为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 变式训练1-3 (25-26高二下·四川荣县中学校·)已知圆 和圆 ，若动圆 与圆 外切，同时与圆 内切，则该动圆圆心 的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 题型二、椭圆的离心率 典例精讲2. (25-26高二下·湖南怀化·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为、．过的直线与椭圆交于、两点，且满足．若是以为斜边的直角三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型归纳 1.离心率通常是考查a,b,c的关系. 2.公式汇总：一利用,二，三构造齐次方程. 变式训练2-1 (25-26高二下·重庆鲁能巴蜀中学校·期中)如图，已知椭圆的左、右焦点是、，P为椭圆上一点，在边上的旁切圆（旁切圆圆心是一个内角平分线和两个外角平分线的交点）与直线相切于D点，与x轴相切于A点，若，则椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 变式训练2-2 (25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔建华区部分学校·)设椭圆：的左、右焦点分别为，，上一点满足，直线和直线分别与交于另一点和.若，则的离心率为________. 变式训练2-3 (25-26高二上·江苏扬州高邮·期中)椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，且，若内切圆的半径，则椭圆的离心率为________. 题型三、椭圆离心率的取值范围 典例精讲3 (25-26高二上·湖北孝感·期末)已知椭圆.若圆的方程为，椭圆上存在点，过作圆的两条切线，切点分别为，使得，则椭圆的离心率的取值范围为__________. 题型归纳 1.离心率取值范围列不等式； 2.一椭圆的有界性，二题目中的不等式，三代数式中的恒等式范围，四椭圆中临界情况。 变式训练3-1 (25-26高二·广东深圳龙岗区布吉高级中学·期末)记动椭圆 的左、右焦点分别为，，若上存在点使得，且的取值范围为，则的离心率的取值范围为_________________． 变式训练3-2 (24-25高二上·四川广安加德学校·期末)从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为，现有如图所示的两个椭圆，，离心率分别为，，内含于，椭圆上的任意一点M关于的极线为，若原点到直线的距离为，则的最大值为______． 变式训练3-3 已知椭圆的左、右焦点分别是，其中．椭圆上存在一点，满足，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型四、椭圆中的和差最值 典例精讲4 (25-26高二上·江苏常州田家炳高级中学·期末)已知是椭圆的左、右焦点，且椭圆上存在一点，使得，若点分别是圆和椭圆上的动点，则当椭圆的离心率取得最小值时，的最大值是（    ） A． B． C． D． 题型归纳 和差最值问题： 优先考虑将军饮马，直线需要考虑与直线对称，圆需要考虑圆心转化。椭圆、双曲线、抛物线需要考虑定义转化。 变式训练4-1 (25-26高二上·山东青岛第二中学·期中)已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（  ） A．5 B．5 C． D．4 变式训练4-2 (25-26高二上·河北保定多校联考·期中)已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式训练4-3 (25-26高二上·海南华侨中学·月考)椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上的动点，为圆上的动点，则的最大值为_______________． 题型五、周长问题 典例精讲5已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，离心率为．过且垂直于的直线与交于两点，，则的周长是（   ） A．24 B．26 C． D． 题型归纳 1.周长问题分析： 2.一焦点三角形周长考虑定义，二非焦点三角形考虑弦长公式|AB|＝＝·|x1－x2|＝·|y1－y2|(k≠0)。 变式训练5-1 (25-26高二上·广西钦州·期末)已知椭圆，点，若直线与椭圆交于两点，则的周长为（   ） A． B．12 C． D．8 变式训练5-2 (25-26高二上·山东日照第一中学·)已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，短轴长是长轴长的倍，则直线的斜率为___________；过点且垂直于的直线与椭圆交于D，E两点，，则的周长是___________. 变式训练5-3 (22-23高二上·广东广州越秀区·调研)已知曲线的离心率是，P为其上顶点，分别为左、右焦点，过且垂直于的直线与C交于两点，，则的周长是_______． 题型六、三角形面积问题 典例精讲6 (25-26高二·专题1椭圆及其标准方程（讲）·)已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为的平分线与轴交于点，过点作直线PM的垂线，垂足为H，O为坐标原点，若，则面积为（   ） A． B．8 C． D．12 题型归纳 求椭圆中焦点三角形面积的方法” ①根据椭圆的定义求出|PF1|+PF2|＝2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； ③利用公式＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．利用公式＝×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积； ④结论： 变式训练6-1 (25-26高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中)已知点，，是圆与轴的交点.若点满足：以为直径的圆与圆相切.则面积的最大值为（    ） A． B．4 C．6 D．8 变式训练6-2 (25-26高二上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点和上顶点的直线交椭圆于另外一点，若，且的面积为．则正数的值为（　　） A． B． C． D．7 变式训练6-3 (25-26高二上·湖北曾都区第一高级中学·)若椭圆且直线点为y轴正半轴上一点（在椭圆上顶点上方），过A点作椭圆两条切线交直线l于B，C两点，则面积的最小值为______ 题型七、斜率问题 典例精讲7 (25-26高二上·四川凉山州·期末)如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为（    ）    A． B． C． D． 题型归纳 1.斜率问题 2.以点斜式设直线方程时，考虑斜率是否存在，以倾斜角考虑直线的斜率， 3.点差法考虑斜率问题，点差法通常考虑二级结论，焦点在x轴时，。 变式训练7-1 (22-23高二下·河北廊坊固安县马庄中学等2校·开学考)已知椭圆的左顶点为A，O为坐标原点，直线与椭圆C交于M，N两点，射线与椭圆C交于点P，设直线，的斜率分别为，，则__________． 变式训练7-2 (22-23高二下·湖北荆门·期末)已知椭圆：的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为．若，且的周长为，则直线的斜率为________． 变式训练7-3 (23-24高二上·广东江门广雅中学·期中)已知椭圆：的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为．若，则直线的斜率为（ ）． A． B． C． D． 题型八、弦长问题 典例精讲8 (25-26高二上·贵州名校协作体·)已知，为椭圆的两个焦点，，为的中点，直线垂直且交于，两点，若，则的值为（   ） A．26 B．22 C．18 D．14 题型归纳 弦长公式|AB|＝＝·|x1－x2|＝·|y1－y2|(k≠0) 变式训练8-1 已知椭圆Γ: 的左、右焦点分别为，，过原点的直线与椭圆Γ相交于A，B两点，若，则（   ） A． B． C． D． 变式训练8-2 (25-26高二上·辽宁朝阳·期中)椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线过左焦点，交于，两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围是，线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式训练8-3 (25-26高二·贵州黔东南苗族侗族·期末)已知椭圆的右焦点为，点在的左半部分上，点在的右半部分上，且平行于轴，若的离心率，则__________. 题型九、角度问题 典例精讲9 (25-26高二上·江苏徐州第三十七中学·期中)设为椭圆上一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型归纳 1.角度问题考虑方向： 2.考虑直线的斜率，考虑倍角公式，考虑两角和差公式，或者内角和公式考虑三角函数，考虑正弦定理或余弦定理。 变式训练9-1已知点分别是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为 B．椭圆的离心率 C．面积的最大值为 D．的最大值为 变式训练9-2 (22-23高二下·福建福州四校·期末)已知椭圆的两焦点为，，x轴上方两点A，B在椭圆上，与平行，交于P.过P且倾斜角为的直线从上到下依次交椭圆于S，T.若，则“为定值”是“为定值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不必要也不充分条件 变式训练9-3 (25-26高二上·河北邢台质检联盟·期中)已知，分别是椭圆的左、右顶点，点满足，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型十、中点弦问题 典例精讲10 (25-26高二上·广东深圳某校·期中)已知椭圆C：，过椭圆C的焦点的直线l与椭圆C相交于，两点，设线段的中点为P.若，则（   ） A． B． C．1 D．9 题型归纳 解决椭圆中点弦问题的两种方法： 1. 根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2.点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和 3.二级结论，焦点在x轴时， 变式训练10-1 (25-26高二上·河北百师联盟·月考)已知椭圆的左、右两焦点分别是、，为坐标原点，过点的直线与椭圆交于、两点，则下列说法中正确的是（   ） A．当直线与轴不重合时，的周长为 B．当直线的斜率存在，且时，若弦的中点为，则 C．当直线轴时，若，则椭圆的离心率 D．若，则椭圆的离心率的取值范围是 变式训练10-2 (24-25高二上·江苏苏州吴中区苏苑高级中学·月考)已知直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，以OA，OB为邻边作平行四边形，点P恰好在C上．若线段AB的中点M在直线上，则直线l的方程为______． 变式训练10-3 (25-26高二上·江西南昌·期末)已知点A、B、C是离心率为的椭圆Γ： （a>b>0）上的三点，直线AB、AC、BC的斜率分别为k₁、k₂、k₃，点D、E、F分别是线段AB、AC、BC的中点，O为坐标原点，直线OD、OE、OF的斜率分别为k₁'、k₂'、k₃'，若，则________． 题型十一、定值问题 典例精讲11 (25-26高二下·河南鹤壁高中·)已知为坐标原点，直线与椭圆交于，两点，，垂足为，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特殊值：通过特殊值求解速度较快，适合小题，或者解答题，提前计算出定值。 2.通过代数式定值。这个方法速度较慢，计算量较大。适合解答题。 变式训练11-1 (25-26高二上·江苏镇江扬中第二高级中学·)从椭圆上一点引出以短轴为直径的圆的两条切线，切点分别为，，直线与轴、轴分别相交于点，，则______． 变式训练11-2 (22-23高二下·上海浦东新区·期中)已知点M、N分别是椭圆上两动点，且直线的斜率的乘积为，若椭圆上任一点P满足，则的值为_________. 变式训练11-3 (22-23高二上·湖南长沙四校·期中)已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于两点，过作轴的垂线交椭圆与另一点（不与重合）．设的外心为，则的值为__________． 题型十二、椭圆与向量问题 典例精讲12 (25-26高二上·辽宁锦州·期末)椭圆的左、右焦点分别是，，过C上一点P作直线，分别交C于M，N两点，且，，则______. 题型归纳 1.向量与椭圆结合 2.一通过向量求解点的坐标，二建系法解决向量问题， 变式训练12-1 (25-26高二上·四川攀枝花·期末)在平面直角坐标系中，和分别是与轴和轴方向相同的单位向量，向量满足，向量满足，则的最大值为______. 变式训练12-2已知是圆上的动点，且， 当点满足，点在椭圆上运动时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式训练12-3 (24-25高二下·河北邯郸大名县第一中学·开学考)自19世纪之后，折纸艺术与自然科学结合到了一起，它开始在西方成为教育教学和科学研究的工具.随着折纸过程中的数学之迷被解开，折纸发展成为了现代几何学的一个分支.现有一张半径为，圆心为的圆形纸片，在圆内选定一点且.将圆形纸片翻折一角，使圆周正好过点，把纸片展开后，留下一条折痕，折痕上到两点距离之和最小的点为.如此反复，就能得到越来越多的折痕，设点的轨迹为曲线，线段的中点为，在上任取一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型十三、基本不等式求最值 典例精讲13 (25-26高二上·重庆第十一中学校教育集团·期中)已知，是椭圆C：（）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段与圆相切于点Q，且点Q为线段的中点，则（其中e为椭圆C的离心率）的最小值为（   ）. A． B． C． D． 题型归纳 1.基本不等式解决最值 2.椭圆的定义求出两个线段和，求解最值时，可以考虑基本不等式。 变式训练13-1 曲线的形状是一个斜椭圆，其方程为，点是曲线上的任意一点，点为坐标原点，则下列说法错误的是（   ） A．曲线关于对称 B．的最大值为 C．该椭圆的离心率为 D．的最大值为 变式训练13-2 (24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·开学考)已知，是椭圆：的两个焦点，为上一点，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D． 变式训练13-3 (22-23高二上·福建三明五校协作·期中)已知椭圆）的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则（其中为椭圆的离心率）的最小值为（    ） A． B． C． D． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．(25-26高二上·湖北孝感·期末)曲线是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出的下列结论中正确的个数为（    ） ①曲线关于坐标轴和直线均对称； ②曲线恰好经过8个整点（即横､纵坐标均为整数的点）； ③曲线围成的图形的面积是； ④曲线上任意两点间的距离的最大值为4； ⑤若是曲线上任意一点，则的最小值是2. A．1 B．2 C．3 D．4 2．(25-26高二上·四川资阳安岳中学·期末)下图中的曲线C经过坐标原点O，曲线C上的任意一点到两定点，的距离之积为定值，当时，曲线C上第一象限内的点P满足的面积为，则（   ）    A．30° B．45° C．60° D．90° 3．(25-26高二上·广东汕头金山中学·期中)平面内两定点和，动点，满足，动点的轨迹为曲线，下列命题错误的有几个（    ） ①存在，使曲线过坐标原点； ②曲线关于轴对称，但不关于轴对称； ③若三点不共线，则周长最小值为； ④曲线上与不共线的任意一点关于原点对称的点为，则四边形的面积不大于. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．(24-25高二上·广东广州第五中学·)已知椭圆的左、右焦点分别为，点都在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·安徽黄山八校联盟·期中)数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题.若曲线，且点M，N分别在曲线和圆：上，则M，N两点间的最大距离为（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·吉林·期中)如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在，则半椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．(25-26高二·浙江北斗星盟·)已知向量是互相垂直的单位向量，向量满足 ，若恰有两个不同的使得取到最大值，则的取值范围是______. 8．(25-26高二上·安徽池州多校·)已知椭圆的左焦点为F，过原点的直线与C交于M，N两点，若的最小值为，则C的焦距为______． 9．(25-26高二上·黑龙江哈尔滨宾县第一中学·月考)已知椭圆，､分别是的左､右焦点，是上异于左右顶点的动点，记的内切圆面积为，的外接圆面积为，若的最小值为4，则的离心率为______. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $