重难点专题02 椭圆的几何性质（专项训练）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

重难点专题02 椭圆的几何性质 重难点一 椭圆的顶点、长短轴问题 核心考察椭圆的几何性质，包括长半轴、短半轴b、焦距2c之间的关系，以及长轴长的定义，同时需要根据椭圆方程的形式判断焦点位置（区分焦点在x轴或y轴的情况）。 1.若椭圆的长半轴长等于其焦距，则(    ) A. B. C. D. 2.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则实数的值是(    ) A. B. 或 C. D. 或 3.已知点为椭圆的右焦点，点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 4.已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，为椭圆上一点异于左，右顶点，且的周长为，则下列结论正确的是(    ) A. 椭圆的焦距为 B. 椭圆的短轴长为 C. 面积的最大值为 D. 椭圆上存在点，使得 5.已知椭圆：的焦距为，则(    ) A. 椭圆的焦点在轴上 B. 椭圆的长轴长是短轴长的倍 C. 椭圆的离心率为 D. 椭圆上的点到其一个焦点的最大距离为 6.椭圆：的左、右焦点分别为，，点为上的任意一点，则(    ) A. 椭圆的长轴长为 B. 椭圆的离心率为 C. 的最大值为 D. 存在点，使得 重难点二 椭圆的离心率（或取值范围） 步骤一：明确椭圆的基本元素与焦点位置先确定椭圆的标准形式（焦点在x轴或y轴），明确顶点、焦点的坐标，以及的定义。 步骤二：结合题目条件，建立的等式或不等式 1、若涉及线段长度、等腰三角形、三角形边长关系等几何条件，需利用距离公式（如两点间距离公式）、勾股定理等建立等式。 2、若涉及离心率的取值范围，常结合椭圆的有界性（如点在椭圆内、外，或线段长度的限制）建立不等式。 步骤三：1、将等式或不等式转化为关于e的方程或不等式利用进行代换，消去b，进而求解e 2、将等式或不等式转化为仅含e的形式，求范围。 步骤四：验证结果求解得到的e需满足舍去不符合范围的解。 1.已知椭圆的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为(    ) A. B. C. D. 2.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与椭圆交于，两点，若，则椭圆的离心率为(    ) A. B. C. D. 3.已知椭圆：的上顶点为，左、右焦点分别为，，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为  ． A.                     B.                   C.                          D. 4.若椭圆的离心率为，左顶点为，点、为上任意两点且关于轴对称，则直线和直线的斜率之积为(    ) A. B. C. D. 5.已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为(    ) A. B. C. D. 6.已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为(    ) A. B. C. D. 7.已知椭圆的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为(    ) A. B. C. D. 8.已知椭圆的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为(    ) A. B. C. D. 9.如图，，，分别是椭圆的顶点，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足为焦点，且，则该椭圆的离心率为          ． 重难点三 与离心率有关的参数问题 由离心率求出的比例关系。 结合题目条件（焦点坐标、定点距离、向量关系等）建立参数方程。 利用椭圆定义或代数运算消去参数，求解目标值。 验证参数是否满足椭圆约束条件、点在椭圆上）。 1.若椭圆的离心率为，则的值是(    ) A. B. C. 或 D. 或 2.已知椭圆的右焦点为，离心率为若，点是上的任意一点，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 3.已知椭圆的离心率为，分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则的方程为(    ) A. B. C. D. 4.已知椭圆的离心率为，分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则的方程为(    ) A. B. C. D. 5.设椭圆的左焦点为，点在椭圆外，，在椭圆上，且是线段的中点，若椭圆的离心率为，则直线，的斜率之积为(    ) A. B. C. D. 重难点四 椭圆的弦长、焦点弦问题 设直线方程（斜率存在设为，斜率不存在设为，与椭圆方程联立。 利用韦达定理求出交点横坐标（或纵坐标）的和与积。 代入弦长公式：；焦点弦可结合椭圆定义简化（如）。 涉及三角形面积时，结合点到直线的距离公式计算。 1.已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为，则的值是(    ) A. B. C. D. 2.已知，是椭圆：的焦点，为上一点，且，则的内切圆的半径(    ) A. B. C. D. 3.已知椭圆的左、右焦点为，为坐标原点，直线过交于两点，若的周长为，则(    ) A. 椭圆焦距为； B. 椭圆方程为； C. 弦长； D. ． 4.已知椭圆：的焦距为，离心率为． Ⅰ求椭圆的标准方程； Ⅱ经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，求线段的长． 5.已知椭圆的离心率为，焦距为斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点． 求椭圆的方程； 若过椭圆左焦点且，求． 6.已知椭圆的离心率为，上顶点为． 求的方程 过点斜率为的直线与椭圆交于不同的两、，且，求的值． 重难点五 椭圆的中点弦问题 设弦的两端点坐标 将两端点代入椭圆方程，两式作差，利用平方差公式推导斜率 点差法核心）。 由中点坐标和斜率写出直线方程，与椭圆方程联立验证确保弦存在）。 1.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点．若的中点坐标为，则的方程为(    ) A. B. C. D. 2.已知椭圆：内一点，直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，则下列结论正确的是(    ) A. 椭圆的焦点坐标为、 B. 椭圆的长轴长为 C. 直线的方程为 D. 3.已知椭圆方程为，且椭圆内有一条以点为中点的弦，则弦所在的直线的方程是          ． 4. 已知椭圆的长轴长为，是上一点． 求的方程 若，是上两点，且线段的中点坐标为，求的值． 重难点六 椭圆的定值定点定直线问题 设含参数的直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示交点坐标的和与积。 定值问题：将目标表达式（斜率乘积、向量数量积等）用交点坐标表示，代入韦达定理结果化简，消去参数得到定值。 定点 / 定直线问题：设动点坐标，利用共线、垂直等条件建立坐标关系，消去参数得到定点坐标或定直线方程。 1.设椭圆的左右焦点分别为，，左右顶点分别为，，点是椭圆上的动点，则下列结论正确的是(    ) A. 离心率 B. 面积的最大值为 C. 以线段为直径的圆与直线相切 D. 为定值 2.已知椭圆经过点 求椭圆的标准方程 过点的直线交该椭圆于，两点点在点的上方，椭圆的上、下顶点分别为，，直线与直线交于点，证明：点在定直线上． 3.已知椭圆：的离心率为，是上一点． 求的方程． 设，分别为椭圆的左、右顶点，过点作斜率不为的直线，与交于，两点，直线与直线交于点，记的斜率为，的斜率为． 证明：为定值；点在定直线上． 重难点七 直线与椭圆的位置关系问题 解题方法 联立直线与椭圆方程，消去一个变量得到一元二次方程。 由判别式判断位置关系：相离。 距离最值问题：设与已知直线平行的切线方程，利用求出切线方程，计算两平行线间的距离即为最值。 涉及直线与椭圆相交的线段问题，利用韦达定理结合弦长公式、中点坐标公式求解。 1.椭圆上的点到直线的最短距离为(    ) A. B. C. D. 2.已知是椭圆上的动点，则点到直线：的距离的最小值为(    ) A.   B. C. D. 3.设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点，则(    ) A. 为定值 B. 的周长的取值范围是 C. 当时，为直角三角形 D. 当时，的面积为 4.设椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为已知为原点． Ⅰ求椭圆的离心率； Ⅱ设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且求椭圆的方程． 5.已知椭圆及直线：． 若直线与椭圆没有公共点，求实数的取值范围； 为椭圆上一动点，若点到直线距离的最大值为，求直线的方程． 重难点八 与椭圆的位置关系的轨迹问题 解题方法 定义法：若动点满足 “到两定点距离之和为定值（定值> 两定点间距离）”，直接判定为椭圆，求出得方程。 相关点法：设动点坐标和相关点坐标（如圆上点、椭圆上点），建立坐标关系，将相关点代入已知曲线方程，化简得轨迹。 参数法：设参数（角度、斜率等）表示动点坐标，消去参数得到轨迹方程。 1.已知圆和，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为(    ) A. B. C. D. 2.一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是(    ) A. B. C. D. 3.已知椭圆的短轴的两个端点分别为、，为椭圆上一动点，则的重心的轨迹方程是． A. B. C. D. 4.已知：椭圆，求： 以为中点的弦所在直线的方程； 斜率为的平行弦中点的轨迹方程．  5.如图，在圆：内有一点为圆上一点，的垂直平分线与，的连线交于点，求点的轨迹方程． 6.如图，设是圆上的动点，点是在轴上的射影，为上一点，且． 当在圆上运动时，求点的轨迹的方程； 求过点且斜率的直线被所截线段的长度． 7 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题02 椭圆的几何性质 重难点一 椭圆的顶点、长短轴问题 核心考察椭圆的几何性质，包括长半轴、短半轴b、焦距2c之间的关系，以及长轴长的定义，同时需要根据椭圆方程的形式判断焦点位置（区分焦点在x轴或y轴的情况）。 1.若椭圆的长半轴长等于其焦距，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查椭圆的几何性质，属于基础题． 根据题意，焦点在轴，根据 的关系可得的值． 【解答】  解：椭圆的长半轴长等于其焦距，即， 所以，解得或舍去． 2.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则实数的值是(    ) A. B. 或 C. D. 或 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 椭圆化为：，根据椭圆的长轴长是短轴长的倍，可得，或，解得． 【解答】 解：椭圆化为：， 椭圆的长轴长是短轴长的倍， ，或， 解得：或． 故选：． 3.已知点为椭圆的右焦点，点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查椭圆的定义以及性质，涉及点到圆上点的最值问题，考查运算推理能力，属于中档题． 由椭圆的方程求出，的值，再求出圆的圆心和半径，则可得为椭圆的左焦点，利用椭圆的定义性质及圆的性质即可求解． 【解答】 解：由圆的方程可得：圆心，半径， 由椭圆的方程可得：，，则椭圆的左焦点为， 所以， 根据圆的性质可得：的最大值为， 所以， 此时点在椭圆的右顶点处，取得最小值为， 故选B． 4.已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，为椭圆上一点异于左，右顶点，且的周长为，则下列结论正确的是(    ) A. 椭圆的焦距为 B. 椭圆的短轴长为 C. 面积的最大值为 D. 椭圆上存在点，使得 【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查椭圆的几何性质，椭圆中三角形的面积和角度的问题，属于中档题． 通过离心率和三角形周长求出，，得出，即可判断，，由点为短轴端点时，面积的取得最大 值，且取得最大值，即可判断． 【解答】 解：由椭圆的离心率为，得， 由的周长为，得，即， 由解得：，，所以，， 所以，故A错误，，故B正确； 当点为短轴端点时，面积取得最大值， 此时，故C正确； 当点为短轴端点时，最大，此时，， 所以为正三角形， 此时，最大为，故D错误． 故选BC． 5.已知椭圆：的焦距为，则(    ) A. 椭圆的焦点在轴上 B. 椭圆的长轴长是短轴长的倍 C. 椭圆的离心率为 D. 椭圆上的点到其一个焦点的最大距离为 【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查了椭圆的方程以及性质、离心率，考查了学生的运算能力，属于中档题． 由已知椭圆方程即可求出的值，进而可以求出，，的值，从而可以判断选项是否正确． 【解答】 解：因为，所以，所以椭圆的焦点在轴上，故A项错误； 因为焦距为，所以，解得， 椭圆的标准方程为， 所以，，，即椭圆的长轴长是短轴长的倍，故B项正确； 离心率，故C项正确； 椭圆上的点到其一个焦点的最大距离为，故D项错误． 故选：． 6.椭圆：的左、右焦点分别为，，点为上的任意一点，则(    ) A. 椭圆的长轴长为 B. 椭圆的离心率为 C. 的最大值为 D. 存在点，使得 【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查求椭圆的离心率或取值范围、椭圆的顶点、长短轴、椭圆上点到焦点或定点距离的最值，属于基础题． 根据给定的椭圆方程，求出其长短半轴长、半焦距，再逐项判断得解． 【解答】 解：椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距． 对于，椭圆的长轴长为，A错误； 对于，椭圆的离心率为， B正确； 对于，，C正确； 对于，，以线段为直径的圆在椭圆内，因此不存在点，使得， D错误． 故选：． 重难点二 椭圆的离心率（或取值范围） 步骤一：明确椭圆的基本元素与焦点位置先确定椭圆的标准形式（焦点在x轴或y轴），明确顶点、焦点的坐标，以及的定义。 步骤二：结合题目条件，建立的等式或不等式 1、若涉及线段长度、等腰三角形、三角形边长关系等几何条件，需利用距离公式（如两点间距离公式）、勾股定理等建立等式。 2、若涉及离心率的取值范围，常结合椭圆的有界性（如点在椭圆内、外，或线段长度的限制）建立不等式。 步骤三：1、将等式或不等式转化为关于e的方程或不等式利用进行代换，消去b，进而求解e 2、将等式或不等式转化为仅含e的形式，求范围。 步骤四：验证结果求解得到的e需满足舍去不符合范围的解。 1.已知椭圆的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查椭圆的离心率的求解，属于中档题． 设椭圆的上顶点、右顶点、左焦点分别为，，，依题意可得，结合即可求得椭圆的离心率． 【解答】 解：设椭圆的上顶点、右顶点、左焦点分别为，，， 则，，，且， 所以，，， 依题意为等腰三角形，， 所以，化简得，又， 所以，即， 解得，又，所以， 即椭圆的离心率为． 故选：． 2.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与椭圆交于，两点，若，则椭圆的离心率为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查椭圆的离心率，方程思想，化归转化思想，属中档题． 由题意表示圆方程，且为圆和椭圆交点的横坐标，由此求解． 【解答】 解：由题意得圆：， 联立，消得： ， 因为， 所以为方程的解， 即， 即， 整理得， 因为， 解得， ． 3.已知椭圆：的上顶点为，左、右焦点分别为，，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为  ． A.                     B.                   C.                          D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查求椭圆的离心率，属于基础题． 求出点坐标，代入椭圆方程，即可求离心率． 【解答】 解：由椭圆定义可得，又， 所以，又， 所以， ，，设， 则，， 可得 得，代入椭圆方程可得． 故选C． 4.若椭圆的离心率为，左顶点为，点、为上任意两点且关于轴对称，则直线和直线的斜率之积为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由题意可知，椭圆的离心率为，故， 设点，则点，其中， 因为点在椭圆上，所以，可得， 易知点，所以， 故选：． 5.已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：因为为等腰三角形，，所以， 由斜率为，得， ， 由正弦定理得， 所以， ． 故选：． 6.已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题． 利用已知条件得出关系式，然后求解椭圆的离心率即可． 【解答】 解：，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且， 在直角中，，，， 易知， 解得． 故选D． 7.已知椭圆的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了椭圆的性质，点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于中档题． 根据题意，可得，进而求得离心率． 【解答】解：以线段为直径的圆与直线相切， 原点到直线的距离等于， 即， 化为， 利用已知条件得出关系式，然后求解椭圆的离心率即可． 【解答】 解：，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且， 在直角中，，，， 易知， 解得． 故选D． 8.已知椭圆的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了椭圆的性质，点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于中档题． 根据题意，可得，进而求得离心率． 【解答】解：以线段为直径的圆与直线相切， 原点到直线的距离等于， 即， 化为， 椭圆的离心率． 故选A． 9.如图，，，分别是椭圆的顶点，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足为焦点，且，则该椭圆的离心率为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查求椭圆的离心率，属于基础题． 由得，即可求离心率． 【解答】 解：由题意，得，即 整理，得，故离心率为 故答案为． 重难点三 与离心率有关的参数问题 由离心率求出的比例关系。 结合题目条件（焦点坐标、定点距离、向量关系等）建立参数方程。 利用椭圆定义或代数运算消去参数，求解目标值。 验证参数是否满足椭圆约束条件、点在椭圆上）。 1.若椭圆的离心率为，则的值是(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】C  【解析】解：当即时， 离心率，解得，符合， 当即时， 离心率，解得，符合． 综上，的值是或． 故选： 2.已知椭圆的右焦点为，离心率为若，点是上的任意一点，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：设的左焦点为，半焦距为， 由题意得，又离心率，所以， 由椭圆的定义得：， 所以， 当点为线段的延长线与的交点时取等号， 故的最大值为． 故选：． 3.已知椭圆的离心率为，分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则的方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查根据椭圆的性质求椭圆的方程，属于中档题． 由数量积的坐标表示得，结合求出，，即可得椭圆方程． 【解答】 解：由题意，，，， 由题意得，又离心率，所以， 由椭圆的定义得：， 所以， 当点为线段的延长线与的交点时取等号， 故的最大值为． 故选：． 4.已知椭圆的离心率为，分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则的方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查根据椭圆的性质求椭圆的方程，属于中档题． 由数量积的坐标表示得，结合求出，，即可得椭圆方程． 【解答】 解：由题意，，，， 所以，， ． 又离心率为， 则，即， 代入式解得，， 所以的方程为． 5.设椭圆的左焦点为，点在椭圆外，，在椭圆上，且是线段的中点，若椭圆的离心率为，则直线，的斜率之积为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查与椭圆离心率有关的参数问题，直线与椭圆的位置关系及其应用，过两点的斜率公式，属于中档题． 取线段的中点，连接，取右焦点，连接，推导出，可得出，利用点差法可求得，再结合椭圆的离心率的值，从而可求解． 【解答】 解：取椭圆的右焦点为，连接，，如下图所示，    由题意可知，点为椭圆的左焦点， 因为点、，易知点为线段的中点， 又因为为的中点，所以， 取线段的中点，连接，则， 所以，则，所以， 设点、，则点， 所以，两个等式作差可得，可得， 所以， 因为椭圆的离心率为，得， 所以，即，故 B正确． 故选：． 重难点四 椭圆的弦长、焦点弦问题 设直线方程（斜率存在设为，斜率不存在设为，与椭圆方程联立。 利用韦达定理求出交点横坐标（或纵坐标）的和与积。 代入弦长公式：；焦点弦可结合椭圆定义简化（如）。 涉及三角形面积时，结合点到直线的距离公式计算。 1.已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查椭圆的焦点弦问题，属于中档题． 由题意可知椭圆是焦点在轴上的椭圆，利用椭圆定义得到， 再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当垂直于轴时最小，把的最小值代入，由的最大值等于列式求的值即可． 【解答】 解：由可知，焦点在轴上，， 过的直线交椭圆于，两点， 则 当垂直轴时最小，值最大， 此时，则， 解得， 故选D． 2.已知，是椭圆：的焦点，为上一点，且，则的内切圆的半径(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 利用椭圆方程，求出，，，通过，结合三角形的面积转化求解即可． 【解答】 解：椭圆：中，，，则，，，． ，，． ， ，解得 故选C． 3.已知椭圆的左、右焦点为，为坐标原点，直线过交于两点，若的周长为，则(    ) A. 椭圆焦距为； B. 椭圆方程为； C. 弦长； D. ． 【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查椭圆定义的应用，直线与椭圆位置关系，椭圆中的弦长及面积问题，属基础题． 依题意，，可判断，根据椭圆定义得，，进而求得，判断， 联立，根据弦长公式求得，可判断，求出到直线的距离，计算三角形的面积，可判断． 【解答】 解：直线过，得，即，椭圆焦距为，故A错误； 的周长为，根据椭圆定义得的周长为，所以，得， 所以，所以椭圆方程为，故B正确； 联立得，， 所以，故C正确； 到直线的距离， 所以故D错误， 故选BC． 4.已知椭圆：的焦距为，离心率为． Ⅰ求椭圆的标准方程； Ⅱ经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，求线段的长． 【答案】解：Ⅰ设椭圆的半焦距为， 由题意可得，，解得， ， 则椭圆的方程为； Ⅱ过椭圆的左焦点，倾斜角为的直线的方程为， 与椭圆方程联立，可得， 设，的横坐标分别为，，可得，， 则．  【解析】本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题． Ⅰ设椭圆的半焦距为，由题意可得，运用离心率公式可得，由，，的关系可得，进而得到椭圆方程； Ⅱ求得直线的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值． 5.已知椭圆的离心率为，焦距为斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点． 求椭圆的方程； 若过椭圆左焦点且，求． 【答案】解：依题意得，解得，所以椭圆方程为． 设、两点坐标分别为点， 由知，椭圆左焦点坐标为，故直线的方程为， 代入椭圆方程消去化简得，， 故．  【解析】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆相交所得弦长公式的求法，属于基础题． 利用离心率和焦距，结合列方程组，解方程组求得的值，即求得椭圆方程． 设出点、坐标，求得直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简后结合韦达定理，利用弦长公式求得弦长． 6.已知椭圆的离心率为，上顶点为． 求的方程 过点斜率为的直线与椭圆交于不同的两、，且，求的值． 【答案】解：因为椭圆  的离心率为，上顶点为， 所以，，即， 因为，解得， 所以椭圆的方程为； 根据题意，设直线，设，， 则，整理得， ，即， ，， ， 即，解得：或舍去， ．  【解析】本题考查椭圆的概念及标准方程、椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系． 根据题意求出，的值，即可求出结果； 根据题意，设直线，设，，与椭圆方程联立，得出，利用弦长公式，即可求出结果． 重难点五 椭圆的中点弦问题 设弦的两端点坐标 将两端点代入椭圆方程，两式作差，利用平方差公式推导斜率 点差法核心）。 由中点坐标和斜率写出直线方程，与椭圆方程联立验证确保弦存在）。 1.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点．若的中点坐标为，则的方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查直线与圆锥曲线的关系、点差法，考查学生的化归与转化能力． 结合直线与圆锥曲线的关系，使用点差法进行求解即可 【解答】 解：设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为， 联立直线与椭圆的方程，所以； 又因为，解得． 所以的方程为 故选D 2.已知椭圆：内一点，直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，则下列结论正确的是(    ) A. 椭圆的焦点坐标为、 B. 椭圆的长轴长为 C. 直线的方程为 D. 【答案】CD  【解析】【分析】 本题考查了椭圆的中点弦问题 【解答】 解：由椭圆方程可得椭圆焦点在轴上，且，，，椭圆的焦点坐标为，，故A错误； 椭圆的长轴长为，故B错误； 易知直线的斜率存在，设斜率为，，， 则两式相减得， ，解得， 则直线的方程为，即，故C正确； 联立整理得，，， ，故D正确． 3.已知椭圆方程为，且椭圆内有一条以点为中点的弦，则弦所在的直线的方程是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查椭圆的中点弦问题，属于中档题． 设，由点差法得斜率，再求解直线方程． 【解答】 解：设，直线的斜率为， 由题意得， 两式相减化简得， 由是中点，得， 代入得， 故直线方程为，即， 故答案为：． 4. 已知椭圆的长轴长为，是上一点． 求的方程 若，是上两点，且线段的中点坐标为，求的值． 【答案】解：由题可知，解得 故E的方程为． 设，，则 两式相减得， 即． 因为线段的中点坐标为， 所以， 所以直线的方程为． 联立方程组 整理得， 则，， ．  重难点六 椭圆的定值定点定直线问题 设含参数的直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示交点坐标的和与积。 定值问题：将目标表达式（斜率乘积、向量数量积等）用交点坐标表示，代入韦达定理结果化简，消去参数得到定值。 定点 / 定直线问题：设动点坐标，利用共线、垂直等条件建立坐标关系，消去参数得到定点坐标或定直线方程。 1.设椭圆的左右焦点分别为，，左右顶点分别为，，点是椭圆上的动点，则下列结论正确的是(    ) A. 离心率 B. 面积的最大值为 C. 以线段为直径的圆与直线相切 D. 为定值 【答案】BD  【解析】【分析】 本题考查了椭圆的概念及标准方程和椭圆的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题． 根据椭圆的定义和几何性质逐项判断即可． 【解答】 解：依题意， 所以，故A错误； 对于选项，，当为椭圆短轴顶点时， 的面积取得最大值为，故B正确； 对于选项，线段为直径的圆，其圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离不等于半径， 所以选项错误 设，则， 又，，， ，根据椭圆方程知，， 则，故D正确， 故选BD． 2.已知椭圆经过点 求椭圆的标准方程 过点的直线交该椭圆于，两点点在点的上方，椭圆的上、下顶点分别为，，直线与直线交于点，证明：点在定直线上． 【答案】解：将把点代入椭圆方程得：， 整理得：，解得或， 又因为，故舍去， 所以椭圆的标准方程． 直线的斜率必存在，设的直线方程为， 有，故， 设，， 故 得， ，，设， 由，，三点共线得， 由，，三点共线得， 故， 解得， 故点在定直线上  【解析】本题主要考查了椭圆的性质，椭圆中的定点、定值、定直线问题，属于中档题． 将把点代入椭圆方程，即可求椭圆的方程 由题意可知直线的斜率必存在，设的直线方程为，设，，联立方程，根据根与系数的关系以及由，，三点共线与，，三点共线即可求出． 3.已知椭圆：的离心率为，是上一点． 求的方程． 设，分别为椭圆的左、右顶点，过点作斜率不为的直线，与交于，两点，直线与直线交于点，记的斜率为，的斜率为． 证明：为定值；点在定直线上． 【答案】解：椭圆的离心率为，是上一点， ，， 解得，． 椭圆的方程为． 证明：设，，不妨设， 直线的方程为， 联立，化为， 恒成立， ，， 所以，可得 ，， 为定值． 直线的方程为，直线的方程为， 联立，解得， 点在定直线上．  【解析】本题考查了椭圆的标准方程，椭圆中的定值，定直线问题，属于较难题． 重难点七 直线与椭圆的位置关系问题 解题方法 联立直线与椭圆方程，消去一个变量得到一元二次方程。 由判别式判断位置关系：相离。 距离最值问题：设与已知直线平行的切线方程，利用求出切线方程，计算两平行线间的距离即为最值。 涉及直线与椭圆相交的线段问题，利用韦达定理结合弦长公式、中点坐标公式求解。 1.椭圆上的点到直线的最短距离为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查了直线与椭圆的相交关系的应用，解题的关键是利用三角函数设出的坐标即参数方程，从而把所求的函数的取值范围或最值转化为求三角函数的值域及最值． 由点到直线的距离公式可得，通过两角和与差的三角函数，结合三角函数的性质可求最小值． 【解答】 解：由是椭圆上的动点． 可设，， 由点到直线的距离公式可得 ， ， ， ， 最短距离． 故选：． 2.已知是椭圆上的动点，则点到直线：的距离的最小值为(    ) A.   B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查直线与椭圆的位置关系、两平行直线间的距离等知识点，属于中档题． 设与直线平行且与椭圆相切的直线方程是，与椭圆方程联立并消元，由可得的值，求出两条平行线的距离，即可求得椭圆上的动点到直线距离的最小值． 【解答】 解：设与直线平行且与椭圆相切的直线方程是， 与椭圆方程联立 消元可得， 则，可得， 故与直线平行且与椭圆相切的直线方程是， 与之间的距离为， 与之间的距离为， 椭圆上的动点到直线距离的最小值是． 故选A． 3.设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点，则(    ) A. 为定值 B. 的周长的取值范围是 C. 当时，为直角三角形 D. 当时，的面积为 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查椭圆的性质，椭圆与直线的位置关系．考查分析问题解决问题的能力，属于中档题． 利用椭圆的性质以及定义，直线与椭圆的位置关系，向量的数量积以及三角形的面积，分析判断选项的正误即可． 【解答】 解：设椭圆的左焦点为，则， 所以为定值，A正确； 的周长为， 因为为定值，易知的范围是， 所以的周长的范围是，B错误； 将与椭圆方程联立， 可解得，又易知， 所以， 所以， 所以为直角三角形，C正确； 将与椭圆方程联立，解得， 所以，D正确． 故选ACD． 4.设椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为已知为原点． Ⅰ求椭圆的离心率； Ⅱ设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且求椭圆的方程． 【答案】解：设椭圆的半焦距为， 由已知有， 又由， 消去得，解得， 所以，椭圆的离心率为； 由知，， 故椭圆方程为， 由题意，，则直线的方程为， 点的坐标满足 消去并化简，得到， 解得， 代入到的方程，解得， 因为点在轴上方，所以， 由圆心在直线上，可设， 因为，且由知， 故，解得， 因为圆与轴相切，所以圆的半径长为， 又由圆与相切，得，可得， 所以，椭圆的方程为． 【解析】本题考查椭圆的方程和性质，注意运用直线和椭圆方程联立，求交点，以及直线和圆相切的条件：，考查化简运算能力，属于中档题． 5.已知椭圆及直线：． 若直线与椭圆没有公共点，求实数的取值范围； 为椭圆上一动点，若点到直线距离的最大值为，求直线的方程． 【答案】解：联立方程组，消去得：， 因为直线与椭圆没有公共点， 所以，解得或， 所以实数的取值范围为； 由题意，点到直线距离的最大值， 等价于与直线平行且与椭圆相切的直线与直线间的距离， 由中，，解得或， 此时直线：或直线：与椭圆相切， 当与之间的距离为时，可得，解得或舍去， 当与之间的距离为时，可得，解得或舍去， 综上，所求直线的方程为或．  【解析】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合应用，属于中档题． 重难点八 与椭圆的位置关系的轨迹问题 解题方法 定义法：若动点满足 “到两定点距离之和为定值（定值> 两定点间距离）”，直接判定为椭圆，求出得方程。 相关点法：设动点坐标和相关点坐标（如圆上点、椭圆上点），建立坐标关系，将相关点代入已知曲线方程，化简得轨迹。 参数法：设参数（角度、斜率等）表示动点坐标，消去参数得到轨迹方程。 1.已知圆和，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查圆与圆的位置关系，与椭圆有关的轨迹问题，属于中档题． 根据圆的位置关系及椭圆的定义可判断点轨迹为椭圆，即可得出轨迹方程． 【解答】 解：圆和的圆心、半径分别为， ，，， 由可知圆内含于圆内， 设动圆半径为， 由题意，， ， 两式相加可得， 故点的轨迹为以，为焦点的椭圆，其中，， 所以，，所以椭圆方程为． 故选：． 2.一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、， 将圆的方程配方得：，圆心，半径为， 圆同理化为，圆心，半径为， 当动圆与圆相外切时，有， 当动圆与圆相内切时，有， 将两式相加，得， 动圆圆心到点和的距离和是常数， 所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆， 故，，，则点的轨迹为． 故选：． 3.已知椭圆的短轴的两个端点分别为、，为椭圆上一动点，则的重心的轨迹方程是． A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查椭圆的简单性质，利用代入法相关点法求轨迹方程，属于中档题． 由已知椭圆方程求出，的坐标，再分别设出与的坐标，利用重心坐标公式把的坐标用的坐标表示，再由在椭圆上即可求得的重心的轨迹方程． 【解答】 解：由椭圆，得， ，的坐标为，， 设，， 由重心坐标公式可得： ，代入椭圆方程可得， 即． 故选B． 4.已知：椭圆，求： 以为中点的弦所在直线的方程； 斜率为的平行弦中点的轨迹方程． 【答案】解：设弦的端点，，可得：，， 相减可得：， 因为为弦的中点， 所以，， 带入上式可得：． 以为中点的弦所在直线的方程为：， 化简得：． 设直线方程为：，弦的端点，，中点． 联立，化为：， 由，解得：． ，即，． 又，， ．  5.如图，在圆：内有一点为圆上一点，的垂直平分线与，的连线交于点，求点的轨迹方程． 【答案】解：如图，连结． 由题意知点在线段上， 从而有． 又点在的垂直平分线上， 则， 故． 又，， 故点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且， 故，， ． 故点的轨迹方程为．  【解析】本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，是基础题． 6.如图，设是圆上的动点，点是在轴上的射影，为上一点，且． 当在圆上运动时，求点的轨迹的方程； 求过点且斜率的直线被所截线段的长度． 【答案】解：设，， 由已知得， 又因为点在圆上， 所以， 即． 所以轨迹的方程为． 过点且斜率为的直线的方程为． 把直线的方程代入曲线的方程得： 设直线与的交点为，，则是方程的两解， 因此， 所以 ． 【解析】本题考查了动点的轨迹方程和直线与圆锥曲线相交的弦长，属于中档题． 7 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $