专题04圆的切线、弦长、面积问题七类综合题型（压轴题专项训练）高二数学人教B版选择性必修第一册

**基本信息** 以圆的切线、弦长、面积为核心，通过通法归纳-题型精讲-压轴挑战三级体系，系统提炼七类综合题型的解题方法，构建“概念-关系-应用”的知识逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1模块|圆心转化、夹角转化|圆的核心性质→距离与角度关系| |题型精讲|7类/每类1典例+3变式|弦长：圆心距/过圆心；切线长：圆心距与半径；面积：公式拆分；切点弦：代一留一；点距离：圆心加减半径；两圆距离：圆心距加减半径；公共弦：方程相减|基础概念→核心关系→综合应用，形成模型观念| |压轴挑战|10题|综合运用多方法解决动态与含参问题|复杂情境中迁移方法，提升数学思维|

学科网（北京）股份有限公司 专题04圆的切线、弦长、面积问题七类综合题型（压轴题专项训练） 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一 弦长最值问题 题型二 切线长最值问题 题型三 面积最值问题 题型四 切点弦问题 题型五 圆上的点与点的最值问题 题型六 两圆上点的距离问题 题型七 圆与圆的公共弦问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 弦长面积等问题解析几何中的核心重难点，题型涵盖弦长，切线，切点弦，公共弦等，需要注意：一圆的问题需要注意通过圆心转化，二夹角可以通过你圆心角转化. 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、弦长最值问题 典例精讲1 (25-26高二下·安徽蚌埠北师大等多校联考·月考)已知直线（k为常数）与圆相离，P是l上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B．若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由题可知，圆的半径为3． 设，由题可知，．设与交于点． 由，可得，则， 因为取最小值的充要条件是取最小值，的最小值为圆心到的距离，即， 所以，解得，此时满足与圆相离． 题型归纳 1.特征：圆的弦长问题. 2.方法：弦长最值问题需要考虑，圆心到直线的距离或者直线过圆心. 变式训练1-1 (25-26高二上·甘肃兰州兰州新区多校·期末)过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出以线段为直径的圆的方程，再与圆方程作差得到直线的方程为，再结合点所在直线方程得到直线所过定点，从而得到最小值. 【详解】设，则以线段为直径的圆的方程是， 与圆的方程相减，得，即直线的方程为， 又点在直线上，所以，则，代入直线的方程， 得，则，解得， 所以直线过定点，所以， 数形结合可知的最小值为． 故选：B.    变式训练1-2 (25-26高二上·浙江强基联盟A卷·期中)已知圆，是圆上的动点，点，点满足，过点做圆的切线，切点为，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】先根据向量关系求出点的轨迹方程，再利用切线的性质，将转化为与圆心到点的距离有关的表达式，最后根据点的轨迹求出的取值范围. 【详解】由知， 设，所以， 所以点轨迹方程， 由圆性质知， 因为，所以两圆相交， 又因为点不能在圆内， 所以， 故.    变式训练1-3 (25-26高二上·江西抚州金溪县第一中学等校·)若对于圆上任意的点，直线上总存在不同两点，使得，则的最小值为__________. 【答案】8 【分析】先得到圆的圆心和半径，得到直线与圆相离，设以为直径的圆的圆心为，当以为直径的圆与圆内切且⊥时，即时，取得最小值，求出答案. 【详解】， 故圆的圆心坐标为，半径为1， 故圆心到的距离， 故直线与圆相离， 圆上任意的点A，直线上总存在不同两点，使，    设以为直径的圆的圆心为，即圆包含圆，且至少圆内切于圆， 当以为直径的圆与圆内切且⊥时，即时，取得最小值， 最小值为. 故答案为：8 题型二、切线长最值问题 典例精讲2. (25-26高二上·河北邢台第二中学等校·期末)已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由得到当最小时，最小，此时与直线垂直，求出圆心到直线的距离，从而得到的最小值. 【详解】圆的标准方程为，其圆心为，半径为3． 因为，所以当最小时，最小，此时与直线垂直． 因为圆心到直线的距离为， 所以，故． 答案为：D.    题型归纳 1.特征：切线长最值问题 2.方法：切线问题，需要考虑半径与圆心与点的距离，或者考虑夹角，通过三角函数分析最值. 变式训练2-1 (25-26高二上·江苏淮阴中学·月考)已知圆，圆，定点，动点分别在圆上，且，则线段长度的最大值与最小值的和为___________． 【答案】 【分析】由得，设的中点为，根据向量的运算和两点间的距离公式，求得点的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系，即可求解的最小值和最大值，由求得的最大值与最小值，从而得到答案． 【详解】设，设的中点为， 则， ， 由得， 则，即， 由题意可知，为斜边上的中线，所以， 则， 又 ， 可得，化简得， ∴点的轨迹是以为圆心、半径为的圆． ，则点在圆内， ∴的最大值是，的最小值是， 而， ∴的最大值是，的最小值是， ∴线段长度的最大值与最小值的和为． 故答案为：．    变式训练2-2 (24-25高二上·安徽合肥六校·期末)过动点作圆的切线，点为切点，若（为坐标原点），则的最小值是______. 【答案】 【分析】设的坐标为，由题意结合圆的切线的几何性质推出在直线上，继而将的最小值转化为点到直线的距离，即可求解. 【详解】如图所示，根据题意，设的坐标为， 圆的圆心为，则，为圆的切线， 则有， 又由，则有，即， 变形可得：，即在直线上， 则的最小值即为点到直线的距离， 且，即的最小值是， 故答案为：. 变式训练2-3 (24-25高二上·山东济南历城第二中学·调研)在三棱锥中，且．记直线与平面所成角分别为，已知，当三棱锥的体积最小时，的长为__________． 【答案】 【分析】设点在平面内的投影为，根据线面角定义并结合得到，建立直角坐标系可以得到点的轨迹是圆，根据圆的几何性质进行求解即可. 【详解】设点在平面内的投影为，如下图所示： 由直线与平面所成角分别为，且，则， 可得，于是， 以为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如下图所示： 令，由，，可得， 则，化简可得， 因此点在以为圆心，为半径的圆上， 当最小时，最小，即三棱锥的体积最小， 此时，，而， 易知，所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本体的关键是通过建立直角坐标系，得到点的轨迹是圆，最后利用圆的性质进行求解. 题型三、面积最值问题 典例精讲3 设圆：与圆：（）相交于，两点，则当四边形的面积取得最大值时，（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】两圆联立方程组，求出点，的坐标，由两圆相交求出的范围，计算，利用二次函数求出最大值时的值，将代入点，则得解. 【详解】联立，解得， 圆：与圆：（）相交于，两点， ，， 则，， ，，， ， 设，对称轴为，即，， 在这个范围内， 当时，取最大值，此时取最大值，且 则. 故选：C.    题型归纳 1.面积一般涉及到三角形面积、四边形面积、圆的面积； 2.方法：三角形面积一般考虑两种面积公式，四边形面积可以考虑将四边形分成两个三角形，或者对角线垂直，靠对½对角线相乘。 变式训练3-1 (24-25高二上·江苏常州奔牛、二中、武高·期中)已知直线与圆交于A，B两点，则面积的最大值为_____． 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而得到圆心到直线的距离小于等于，得到的范围，即可得到结果. 【详解】直线可化为，直线过点， 因为，所以点在圆内，且. 如图，过点作于点，则， 设，则， 在中，，故，，， 所以的面积为，面积最大值为. 故答案为：. 变式训练3-2 (24-25高二上·江苏无锡第一中学·期中)在中，D是AB的中点，E在边AC上，，CD与BE交于点F，若AC=6，，则的面积的最大值为______ 【答案】 【分析】根据给定条件，利用平面向量共线向量定理的推论可得，再建立平面直角坐标系，求出点到边的距离的最大值，利用倍分法求出面积最大值. 【详解】在中，D是AB的中点，E在边AC上，， ，令， 则，又点共线，于是，解得， 则，的面积， 由，得，以直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 点，设，则， 整理得，因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆（除圆与轴的交点外）， 则点到边的距离的最大值为， 所以的面积的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用平面向量求得，再借助阿氏圆求出最大距离是解题的关键. 变式训练3-3 (22-23高二上·安徽名校芜湖第一中学·)若经过坐标原点O且互相垂直的两条直线和与圆相交于A，C，B，D四点，则四边形面积的取值范围是________． 【答案】 【分析】将圆方程化为标准方程即知其圆心和半径，然后分别设和的方程为和，再利用点到直线的距离公式并结合勾股定理将弦长表示为关于的函数，最后代入并求解对应表达式的取值范围即可. 【详解】 如图，将圆方程化为标准方程得到， 从而圆心为，半径为. 设圆心为，则. 由于直线和均过原点，且互相垂直，记直线的倾斜角是，则， 且和的方程分别是和. 由点到直线的距离公式，知圆心到直线即的距离为， 圆心到直线即的距离为. 分别记的中点为，则，，，， 根据勾股定理，有， . 设四边形的面积为，由于，知. 从而我们有： ， 由于，故可取一个固定的实数，使得，. 从而 ， 设， 由于是函数的一个周期，故在条件下的取值范围就是在可取任意实数时的取值范围. 而当可取任意实数时，的取值范围是， 所以的取值范围是， 即的取值范围是. 这便说明四边形ABCD的面积的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将和的方程分别设为和，由此便可避免额外讨论或斜率不存在的情形，且基于和的某种对称性，这样得出的表达式也更具备对称性，处理手段更多. 题型四、切点弦问题 典例精讲4 设是圆上的一个动点，过向圆引切线，两切点间的线段称为切点弦，则当点在上运动时，切点弦所形成的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设是切点弦，连接交于，由求得点到直线的距离，进而求出圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积，进而求出切点弦区域面积. 【详解】如图所示，是切点弦，连接交于，若圆内的点不在任何切点弦上， 则该点到圆的圆心的距离应小于，这些点构成了以原点为圆心，半径为的圆的内部． 连接，由题意知，，， 则，所以， 则原点到直线的距离为定值， 故切点弦始终与圆相切， 在圆内不与切点弦相交的区域面积为． 所以切点弦所形成的区域为圆与圆之间的圆环， 故所形成的区域的面积为. 故选：C 题型归纳 1.切点弦二级结论。 2.代一留一：圆外一点M(x0，y0) ，圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，切点弦方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2 变式训练4-1 (25-26高二上·黑龙江五校联盟·期末)直线：与圆：相交于点，，则______.过轴上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为_______. 【答案】 【分析】先由圆的方程求出圆心和半径，再根据点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离，最后由弦长公式计算即可. 由切线性质,，要使最小，只需最小，由两点间距离公式计算即可. 【详解】圆的方程为：， 圆心，半径， 圆心，到直线：的距离为：， . 由切线性质,， 要使最小，需要最小， 点在轴上，设， ， 当时，取最小值3， . 故答案为：， 变式训练4-2 (25-26高二上·江苏常州田家炳高级中学·期中)在平面直角坐标系中，已知点，，从直线上一点Р向圆引两条切线，，切点分别为C，D.设线段的中点为M，则线段长的取值范围为_____. 【答案】 【分析】写出直线的方程，设，利用共圆求得直线的方程，确定其过定点，即可求得点M在以为直径的圆上(除去原点)，进而可求得线段长的取值范围即可. 【详解】因为点,故直线的方程为即， 所以可设，由题可知，四点共圆，设此圆圆心为T，直径是OP， 所以圆T的方程为①， 又圆O的方程为②， ①②得，即直线的方程为， 所以直线过定点 ， 又因为 ，所以点M在以为直径的圆上(除去原点)， 又因为以为直径的圆的方程为，设圆心为, 因为，即A点在圆外， 所以AM的最大值为， AM的最小值为, 故答案为： 变式训练4-3过直线上任意一点向圆作两条切线，切点为，线段的中点为，则点到直线的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，可得为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减可得的方程，进而联立直线方程解方程组可得中点P的坐标，由点P到直线的距离公式和不等式的性质可得． 【详解】∵点为直线上的任意一点，∴可设， 则以为直径的圆的方程为， 化简可得， 与已知圆的方程相减可得的方程为， 由直线的方程为， 联立两直线方程可解得，， 故线段的中点， ∴点到直线的距离， ∵，∴， ∴，∴， ∴，即. 故选：C 题型五、圆上的点与点的最值 典例精讲5 (25-26高二·江苏苏州·期末)在平面直角坐标系中，已知直线：与圆：交于，两点，的中点为，则的最大值为______． 【答案】/ 【分析】根据直线与圆的位置关系，求得线段的最大值； 【详解】直线：过定点， 因为为中点，所以，即， 所以点在为直径的圆上， 即点轨迹方程为圆：． 所以， 当点，，共线时取等，故的最大值为． 故答案为：. 【点睛】 题型归纳 1.含参直线问题，一般注意考虑直线过定点。 2.圆上的点与点的距离，可以考虑圆心分析。加半径最大，减半径最小。 变式训练5-1 (25-26高二上·江西南昌新建区第二中学·月考)已知直线l：与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆的两条切线，记M是CD的中点，则的最小值为_____. 【答案】 【分析】先确定直线与x轴的交点，利用切线的垂直性质得到所在的圆，进而求出的直线方程并确定其恒过的定点；结合是弦中点的性质，得到的轨迹圆，最后通过点到圆的距离公式求出的最小值. 【详解】由题意设点，，， 因为，是圆的切线，所以，， 所以在以为直径的圆上，其圆的方程为: ，又在圆上， 将两个圆的方程作差得直线的方程为：， 即，所以直线恒过定点， 又因为，，，，四点共线，所以， 即在以为直径的圆上， 其圆心为，半径为，如图所示: 所以， 所以的最小值为. 故答案为： 变式训练5-2 (25-26高二上·北京顺义区·期末)已知平面直角坐标系中，，为圆：上的两个动点，，为弦的中点，设点，则最大值为（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【分析】分析可知，点D在以原点为圆心，半径为1，的圆上运动，利用圆的几何性质可知，当D为直线CO与圆在第三象限的交点时，取最大值，即可得解． 【详解】如下图所示， 因为、是圆上的两个动点，且满足，D为线段的中点， 由垂径定理可知，，则， 所以，点D在以原点为圆心，半径为1，的圆上运动， 设为直线CO与圆在第三象限的交点（同时设对应弦）， 则，等号当且仅当D和重合时成立． 故选：D． 变式训练5-3 (25-26高二上·河北滦州第一中学·月考)已知为坐标原点，，点是直线上一点，若以为圆心，2为半径的圆上存在点，使得，则线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，先求得点的轨迹方程，从而可得圆与圆相交，列出不等式，可得的范围，再由两点间距离公式代入计算，即可得到范围. 【详解】由题意可设，则圆的方程为， 若圆上存在点，使得，设，则， 化简可得，故点在以为圆心，为半径的圆上， 因为点也在圆上，所以圆与圆有交点， 所以，即，解得， 又， 所以，即线段长度的取值范围是. 故选：A 题型六、两圆上点的距离问题 典例精讲6 (25-26高二上·河南安阳第一中学·)过圆上的一动点作圆的两条切线，则圆内不在任何切点弦（两个切点之间的线段称为切点弦）上的点形成的区域的面积为______． 【答案】/ 【分析】方法一，设是切点弦，连接交于，由求得点到直线的距离，进而求出区域面积；方法二，设点，则，“留一代一”求得切点弦方程，求出点到直线的距离，进而求出区域面积. 【详解】 方法一：如图所示，是切点弦，连接交于，若圆内的点不在任何切点弦上，则该点到圆的圆心的距离应小于，这些点构成了以原点为圆心，半径为的圆的内部． 连接，由题意知，，， 则，所以，则原点到直线的距离为定值， 故切点弦始终与圆相切，在圆内不与切点弦相交的区域面积为． 方法二：如图所示，弦即为点所对应的切点弦，设点，则，弦所在直线方程为． 因为原点到直线的距离为， 故圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为． 故答案为：. 题型归纳 1.圆上两点的距离 2.连接圆心，圆心距加半径最大，减半径最小 变式训练6-1 (25-26高二上·陕西西安高新唐南中学·月考)已知直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，点是线段的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出恒过的定点，求出恒过的定点，由题可得，进而可得点轨迹，根据圆的性质结合条件得到点的轨迹，求出，则，代入相应的数据得解. 【详解】整理为，设， 解得，即直线恒过点， 整理为，设， 解得，即直线恒过点， 当时，，，则， 当时，的斜率为，的斜率为，， 则， 直线与直线相交于点， 这条直线的斜率一定存在，此直线不可能为这条直线， 这条直线的斜率一定不为0，此直线不可能为这条直线， 直线与直线相交于点， 不可能为点， 直线与直线相交于点， 点是以，为直径端点的圆上的点， ，的中点为，， 点的轨迹方程为，去掉点， 线段是圆的一条动弦，点是线段的中点， ，， ，， 的轨迹是以为圆心，为半径的圆， ，， ， . 故选：D. 变式训练6-2 (25-26高二上·广东茂名第一中学·期中)已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分析两直线的性质，确定两直线的垂直关系，从而得出点的轨迹为圆，再结合圆确定两圆的位置关系，进而利用两点间距离公式结合两圆半径得出的最大值． 【详解】直线可变形为， 直线过定点， 同理，则直线过定点， 时，直线，，此时； 当时，， 直线， 直线与直线的交点的轨迹是以AB的中点为圆心，半径为的圆， 又圆的圆心，半径，两圆位置关系如下图所示， 的最大值是． 故选：D． 变式训练6-3 (25-26高二上·江苏天一中学·期中)已知直线与曲线交于，两点，平面上的动点满足，，则的最大值为______. 【答案】 【分析】由题意可得，直线过定点，且点为曲线的对称中心，解得点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（及内部），求解即可. 【详解】由可知，直线过定点，由知定点为曲线的对称中心，即为的中点，如图， 所以，所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（及内部），所以. 故答案为：. 题型七、圆与圆的公共弦问题 典例精讲7 (25-26高二下·湖南部分学校·期末)已知圆，，圆与圆相交于点，，，过点M的直线l与圆，圆分别交于P，Q两点，则错误的结论是（     ） A． B．直线的方程是 C．四边形的面积是48 D．的最大值是 【答案】C 【分析】对于A，B选项，联立，化简即可求解，对于C，分别求出，，由四边形的面积等于即可求解；对于D，分斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在时，利用圆的弦长公式化简可得，结合向量数量积不等式即可求出最大值. 【详解】对于A：若，代入，即点点在圆上， 联立，化简得：， 所以直线的方程是，故B正确； 联立，解得：，或， 由于，所以，，所以A正确； 圆心距， 公共弦长， 由于，所以四边形的面积是，故C错误； 当直线斜率不存在时，，，此时， 当直线斜率存在时，设方程为， 所以点到直线的距离为，此时， 点到直线的距离为，此时 所以， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，此时 的最大值是， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，此时 的最大值是， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，不满足，此时， 综上的最大值是，故D正确. 题型归纳 1.两圆公共直线问题 2.两圆方程相减即是两圆公共直线方程。 变式训练7-1 (25-26高二上·贵州铜仁一中、思南中学·期中)已知，直线，为上的动点，过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意直线与圆相离，根据圆的性质知共圆且，根据 知，当直线时最小，求出以为直径的圆的方程，即可求出直线的方程. 【详解】由题设，点到直线的距离， 所以直线与圆相离，    又为圆的切线，为切点，则四点共圆，且， 所以，而， 当直线时， ，此时最小， 而，则，故，即， 由，解得，此时， 以为直径的圆的圆心为，半径为，所以，即， 两圆的方程相减可得，即为直线的方程. 故选：A 变式训练7-2已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（    ） A．圆和圆关于直线对称 B．圆和圆的公共弦长为 C．的取值范围为 D．若为直线上的动点，则的最小值为109 【答案】C 【分析】求出圆心和半径，再结合中垂线知识可判断A，利用点到直线的距离公式结合勾股定理可判断B，由题意可知，当点和重合时，的值最小，当四点共线时，的值最大，进而可判断C，求出关于直线对称点的坐标，再结合两点间距离公式可判断D. 【详解】对于A，圆，即， 所以其圆心和半径分别是； 圆的圆心和半径分别是. 则中点为. 点不在直线上，即直线不过的中点， 即不关于直线对称，故A错误； 对于B，圆与圆的公共点的坐标均满足两圆方程， 因此两圆相减可得其公共弦所在直线方程为， 即， 到直线的距离， 故公共弦长为，B错误； 对于C，圆心距为，当点和重合时，的值最小， 当四点共线时，的值最大为， 故的取值范围为，C正确； 对于D，如图，设关于直线对称点为， 则，解得，即关于直线对称点为， 连接交直线于点，此时最小， ， 即的最小值为，D错误. 变式训练7-3 (25-26高二上·江西萍乡·期末)满足的实数对共有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【分析】先将已知等式转化为点与点到直线：的距离均为1，以为圆心作半径的圆，以为圆心作半径的圆，判断两圆的位置关系，作出切线，从而可得解. 【详解】由题知，，即点与点到直线：的距离均为1. 以为圆心作半径的圆，以为圆心作半径的圆， 则，即两圆外切，共有三条公切线（如图）， 因为，的中点为， 所以有一条切线的斜率为，且过点，其方程为，即，经过原点， 另外两条不过原点. 又因为：不过原点（过原点的切线不符合）， 所以有2组这样的实数对（另外两条切线符合），使得点与点到直线：的距离均为1. 故选：B. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知圆：与圆C：，若以直线上任意一点P为圆心，以点P到圆的切线长为半径作圆，该圆始终与圆C有公共点，则实数m的最小值为（   ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】先设直线上点，由切线长公式写出以为圆心的圆半径平方；两圆有公共点等价于，化简发现恒成立，只需保证对任意成立，整理得到含根号的不等式，分与讨论，平方后转化为开口向上的二次函数在恒非负，由判别式求得，即最小值为． 【详解】设，记， 点P到圆O的切线长为，则， 圆C的半径为3，所作圆与圆C有公共点等价于， 因为， 所以. 又，所以，所以恒成立， 由，得，整理得， 即①对任意实数成立， 当时，①式成立； 当时，①式两边平方，得， 即，也即②， 若，则②式成立，且圆心到直线的距离为，满足题意； 若，取，此时，②式不成立， 综上所述，实数的最小值为． 2．(25-26高二上·重庆第十八中学·)已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到直线过定点 , 过定点，点P的轨迹是以AB为直径的圆，然后判断两个圆的位置关系为外离，进而分析得到的取值范围. 【详解】直线过定点 ，过定点； 由于 与 的斜率乘积为（ 时也垂直），故 ； 因此，交点P的轨迹是以AB为直径的圆，圆心为半径为 ； 圆圆心为 半径为 ； 圆心距为 ，故两圆外离； ，， 则的取值范围是. 故选：A. 3．(25-26高二上·河南TOP二十名校·调研)已知圆是圆上的两个动点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，根据题意可得点的轨迹，再将看作点到直线的距离的倍即可求解. 【详解】 由题知，圆的圆心为，半径为2， 取的中点，连接，则， 因为，所以， 所以点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，其方程为. 因为可分别看作点到直线的距离， 所以当点在直线同侧时，是点到直线的距离的2倍， 又点到直线的距离，所以的最大值为， 所以的最大值为； 当点在直线异侧时，， 所以的最大值为. 因为，所以的最大值为. 故选：B. 4．(25-26高二上·四川绵阳南山中学·期中)已知点P是直线上的动点，圆关于直线的对称圆记为圆，以为直径的圆与圆交于A，B两点，则四边形的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据对称性求得圆的方程，其次将所求周长的最小值转化为求线段的最小值问题即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径为1， 设点关于直线的对称点为， 根据对称性可知线段的中点在直线上，且， 即，解得，所以圆的方程为. 因为以为直径的圆与圆交于A，B两点， 所以且，即， 所以为圆的两条切线，所以， 所以四边形的周长为 ， 而为点到直线的距离，即， 所以四边形的周长的最小值为. 故选：A. 5．(25-26高二上·云南文山州马关县第一中学校·月考)已知点为圆上位于第一象限内的点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，直线、分别交轴于、两点，则__________；__________． 【答案】 【分析】分析可知，设点，可得，利用角平分线定理可得出，结合两点间的距离公式化简可得出的值，并结合求出的值，进而可确定圆的标准方程，可求出的大小，进一步可求出直线的方程，判断出直线与圆相切，可判断出点为线段的中点，利用直角三角形的几何性质可求得的值. 【详解】圆的标准方程为，圆的圆心为，半径为， 由切线长定理可得，，， 因为，，，所以， 所以， 设点，则，即， 由角平分线定理可得 ， 因为，则，解得或（舍）， 所以圆的标准方程为，则该圆圆心为，半径为， 因为，则， 易知为锐角，所以，故直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 圆的圆心为，半径为， 点到直线的距离为，故直线与圆相切， 所以，则， 易知为线段的中点，所以为线段的中点， 故. 6．已知点P为直线与直线的交点，点Q为圆上的动点，则的取值范围______． 【答案】 【分析】根据直线方程，可得和恒过定点，根据系数的关系，可得和垂直，即可得点P的轨迹方程D，分析可得圆C和圆D相离，根据两圆的位置关系，分析即可得答案. 【详解】又变形为，则恒过定点， 变形为，则恒过定点， 因为，所以， 则点P的轨迹是以和为直径端点的圆D（去除点）， 所以圆心，半径， 又圆C的圆心，半径， 所以两圆的圆心距， 则两圆相离， 所以的最大值为， 因为点不在圆D上， 所以的最小值大于， 则的取值范围是. 7．(25-26高二上·江苏盐城第一中学·期中)直线被曲线（其中不同时为0）截得的弦长为______. 【答案】/ 【分析】联立方程，消元，求得交点，根据两点之间距离公式得到弦长． 【详解】首先联立，消元得， 设，则方程为，解得或， 因此当时，，交点为原点，（舍去） 当时，或，交点为， ， 所以直线被曲线截得的弦长为. 故答案为：. 8．(25-26高二上·北京清华附中志新学校·期中)已知圆，圆，且圆上任意一点关于直线的对称点都在圆上，则两圆公共弦的长度为__________． 【答案】 【分析】根据圆心在直线上求出，两圆方程相减求公共弦所在直线方程，然后利用弦长公式求解可得. 【详解】由配方得， 由题知，圆的圆心在直线上，则，得， 故圆的标准方程为，其圆心，半径， 圆的标准方程为，其圆心，半径， 因为， 由，可得两圆相交， 将两圆的方程相减并化简，即得公共弦所在直线的方程为， 则点到直线的距离， 所以两圆的公共弦长为. 故答案为： 9．(24-25高二上·广东广州第二中学·期中)已知圆是以圆上任意一点为圆心，半径为1的圆，圆与圆交于两点，则当最大时，的面积为______． 【答案】 【分析】设，写出圆的方程，求得直线的方程，利用点到直线的最小值来求得最大时的面积. 【详解】设，则， 设 ，， 圆的方程为①， 圆：的圆心为，半径为， 圆的方程可化为②， 由①②得直线的方程为，即， 是等腰三角形，为顶角，则当到直线的距离最小时，最大， 当到直线的距离为 ， 当且仅当时等号成立. 当到直线的距离取最小值时，， 所以. 故答案为：. 10．(25-26高二上·云南师范大学附属中学·期中)已知圆在轴右侧，点在轴上运动，以为直径的圆与圆交于点，且最小值为，点为直线与直线的交点，为坐标原点，则__________，最小值__________． 【答案】 【分析】设，可得以为直径的圆的方程，由，结合可求得，与圆的方程相减可得直线的方程，进而求得定点，进而可得的轨迹为以为直径的圆，从而可求的最小值 【详解】因为点为以为直径的圆与圆交点，所以， 所以，又因为， 所以，解得， 设，则以为直径的圆方程为：， 又圆， 两方程作差：可得为直线的方程， 即为：，所以直线过定点， 由对称性可知：，因为点为直线与直线的交点， 所以的轨迹为以为直径的圆（点除外）， 该圆半径，记圆心， 所以最小值． 故答案为：；2 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04圆的切线、弦长、面积问题七类综合题型 (压轴题专 项训练) 目录 通法归纳一明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲一精讲典型题法， 夯实解题根基 题型一弦长最值问题 题型二切线长最值问题 题型三面积最值问题 题型四切点弦问题 题型五圆上的点与点的最值问题 题型六两圆上点的距离问题 题型七圆与圆的公共弦问题 压轴挑战一攻克高难压轴， 突破思维上限 ◆◆ 同通法制归纳一明晰核心解法，助力能力迁移 弦长面积等问题解析几何中的核心重难点，题型涵盖弦长，切线，切点弦，公共弦等，需要注意：一 圆的问题需要注意通过圆心转化，二夹角可以通过你圆心角转化 ◆ 题型精讲一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、弦长最值问题 典例精进1(25-26高二下.安徽蚌埠北师大等多校联考月考)已知直线l:y=kX-5(k为常数)与圆 C:X-1P+y=g相离，P是I上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A,B.若AB1m3 1/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则k=() 3 A.3 B.3 C.1 o.2 题型归纳 1.特征：圆的弦长问题. 2.方法：弦长最值问题需要考虑，圆心到直线的距离或者直线过圆心 变式训练1-1(25-26高二上甘肃兰州兰州新区多校期末)过直线2x+y-8=0上一点P作圆0：x2+y2=4的 两条切线，切点分别为A,B,则AB的最小值为() A.2V2 B.V11 c.15 D.42 变式训练1-2(25-26高二上浙江强基联盟A卷期中)已知圆O:x2+y2=4,P是圆O上的动点，点A4,0, 点Q满足O=A0,过点Q做圆0的切线，切点为M,则QM的取值范国为 变式训练1-3(25-26高二上江西抚州金溪县第一中学等校若对于圆C:x2+y2-2x-2y+1=0上任意的点 A,直线：4x+3y+8=0上总存在不同两点M,N,使得∠MAN≥90°，则MN的最小值为 题型二、 切线长最值问题 典例精进2.(25-26高二上河北邢台第二中学等校期末)已知圆C:x2+y2+4x-6y+4=0,直线 l:3X-4y-2=0,P为l上的动点，过点P作圆C的切线，切点为A,则PA的最小值为() A.2 B.5 C.3 D.V7 题型归纳 1.特征：切线长最值问题 2.方法：切线问题，需要考虑半径与圆心与点的距离，或者考虑夹角，通过三角函数分析最值 变式训练2125-26高二上江苏淮阴中学月考已知圆C,:X+y=36圆C,:x2+y=4:定点P0,1 动点A,B分别在圆C1,C2上，且AP⊥BP,则线段AB长度的最大值与最小值的和为 变式训练2-2(24-25高二上安微合肥六校：期末过动点p作圆C:x-4?+y-3}=3的切线PQ'点Q为切 2/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点，若PQ=PO(O为坐标原点)，则PQ的最小值是 变式训练2-3(24-25高二上·山东济南历城第二中学.调研)在三棱锥中P-ABC,AB=BC=2,且AB⊥BC. 记直线PA,PC与平面ABC所成角分别为Q,阝，已知B=2a=60°，当三棱锥P-ABC的体积最小时，PB 的长为 题型三、面积最值问题 典例精进3设圆0：X+y=1与圆C:K-aP+y=3a>0》相交于A'B两点，则当四边形OACB的 面积取得最大值时，AB=() A.2 3V2 B. c.3 0. 3 题型归纳 1.面积一般涉及到三角形面积、四边形面积、圆的面积： 2.方法：三角形面积一般考虑两种面积公式，四边形面积可以考虑将四边形分成两个三角形，或者对角线 垂直，靠对⅓对角线相乘。 变式训练31(24-25高二上江苏常州奔牛、三中、武高期中)已知直线1：m+y2m- 1 =0与圈 2 O:X2+y2=4交于A,B两点，则△OAB面积的最大值为 变式训练3-2(24-25高二上江苏无锡第一中学.期中)在△ABC中，D是AB的中点，E在边AC上， AE=2EC,CD与BE交于点F,若AC=6,FB=3FC,则△ABC的面积的最大值为 变式训练3-3(22-23高二上安徽名校芜湖第一中学)若经过坐标原点0且互相垂直的两条直线AC和BD与 圆x2+y2-4x+2y-20=0相交于A,C,B,D四点，则四边形ABCD面积的取值范围是 题型四、切点弦问题 典例精进4设M是圆C,:X+y=g上的一个动点，过M向圆C,:X+y'=4引切线，两切点间的线段称为 切点弦，则当点M在C1上运动时，切点弦所形成的区域的面积为() 3/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A. 4π B. 16π 3 c.20m D.4π 9 9 题型归纳 1.切点弦二级结论。 2.代一留一：圆外一点MXo,yo),圆的方程为X-a)2+y-b)2=2切点弦方程是(Xo-Q)X-Q)+yo-b) (y-b)=r2 变式训练41(25-26高=上黑龙江五校联盟：期末直线，：X-y=0与圆c:x-12+y-3P=4相交于点A' B,则AB=过x轴上一点P向圆C作切线，切点为M,则PM的最小值为 变式训练42(2526高二上江苏常州田家炳高级中学期中)在平面直角坐标系xOy中，已知点A-4,0, B0,4,从直线AB上一点P向圆x2+y=4引两条切线PC,PD,切点分别为C,D.设线段CD的中点为 M,则线段AM长的取值范围为· 变式训练43过直线l:x-y-4=0上任意一点Q向圆C:x+y2=4作两条切线，切点为E,F,线段EF的中 点为P,则点P到直线的距离的取值范围为() A.R3,23】 B. c.2,2V2 0.2,2V2 题型五、圆上的点与点的最值 典例精进5(25-26高二江苏苏州期末)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l:x+my-m=0与圆C: x+2P+y-3?=g交于A'B两点·AB的中点为M:则1OM的最大值为 题型归纳 1.含参直线问题，一般注意考虑直线过定点。 2圆上的点与点的距离，可以考虑圆心分析。加半径最大，减半径最小。 变式训练5-1(25-26高二上江西南昌新建区第二中学月考)已知直线1：x-y+8=0与x轴相交于点A,过 4/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 直线1上的动点P作圆x2+y2=16的两条切线，记M是CD的中点，则AM的最小值为一· 变式训练5-2(25-26高二上北京顺义区期末)已知平面直角坐标系xOy中，A,B为圆O:x2+y2=4上的 两个动点，AB=23,D为弦AB的中点，设点C4,3,则CD最大值为() A.5-V3 B.4 c.5+V3 D.6 变式训练5-3(25-26高二上河北滦州第一中学.月考)已知0为坐标原点，P4,0,，点E是直线 l:x-3y-3=0上一点，若以E为圆心，2为半径的圆E上存在点Q,使得PQ=3OQ,则线段OE长度的 取值范围是() A. 3V103V170 10 10 B.1,2 C. 3V10 D 3, 3170 10 10 题型六、两圆上点的距离问题 典例精进6(25-26高二上河南安阳第一中学)过圆x2+y=25上的一动点作圆C:x+y=9的两条切线， 则圆C内不在任何切点弦（两个切点之间的线段称为切点弦）上的点形成的区域的面积为 题型归纳 1.圆上两点的距离 2.连接圆心，圆心距加半径最大，减半径最小 变式训练61(25-26高二上：陕西西安高新唐南中学.月考)已知直线1：mx-y-3m+1=0与直线 2:x+my-3m-1=0相交于点p,线段AB是圆C:(x+1P+y+1P=4的-条动弦，且AB=23点D 是线段AB的中点，则PD的最小值为() A.3V2 B.8V2 c.5V2-1 D.2V2-1 变式训练6-2(25-26高二上，广东茂名第一中学期中)已知点P是直线l1:mx-y-5m+1=0和 5/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2:x+my-5m-1=0的交点，点Q是圆c:(x+1+y=1上的动点，则PQ的最大值是（） A.8+2V2 B.7+2V3 c.6+2PV3 D.6+2/2 空式训练632526高二上江苏天一中学期中)已知直线y=kx+2-2k与曲线y=2x-3交于A,B两点， X-2 平面上的动点p满足，所+P范≤2'则Pò的最大值为 题型七、圆与圆的公共弦问题 典例精进7(25-26高二下湖南部分学校：期末)已知圆c1x-3+y+3=18C,:x-4}+y-4=32' 圆C,与圆C,相交于点Mx1,yNx,y小X<X,过点M的直线1与圆C:圆C,分别交于P,O两点， 则错误的结论是() A.X1=y1=0 B.直线MN的方程是x+7y=0 C.四边形MC1NC2的面积是48 D.PQ的最大值是10V2 题型归纳 1.两圆公共直线问题 2.两圆方程相减即是两圆公共直线方程。 变式训练7-1(25-26高二上贵州铜仁一中、思南中学.期中)已知⊙M:x+y-2x-2y=0,直线 l:2x+y+2=O,P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA,PB,切点为A,B,当PMAB最小时， 直线AB的方程为() A.2x+y-1=0 B.2x-y-1=0 C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0 变式训练7-2已知圆C,:X2+y-2x-4y-7=0和圆C,:x+3+(y+1P=12交于两点，点p在圆C,上运 6/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 动，点Q在圆C2上运动，则下列说法正确的是() A.圆C1和圆C2关于直线8x+6y-5=0对称 B.圆C1和圆C2的公共弦长为2只V23 c.PQ的取值范围为0,5+4V3 D.若M为直线x-y+8=0上的动点，则PM+MQ的最小值为109 变式训练7-325-26高二上江西萍乡：期末满足R3a-5b+1=23a-4b+1-a+b的实数对a,b) 共有() A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 ◆◆ ◆◆ 夙压轴挑战一支克离难压轴，突威思缘上保 1.已知圆0：X+y=9与圆C:X-3?+y=9若以直线x+y=m上任意一点P为圆心，以点P到圆0 的切线长为半径作圆，该圆始终与圆C有公共点，则实数m的最小值为() A.3V2 c D.6 2.(25-26高二上.重庆第十八中学.)已知点P是直线l1:mx-y-5m+1=0和l2:x+my-5m-1=0的交点， 点Q是圆c:x+1P+y+1=1上的动点，则PQ的取值范围是(） A.|22-1,6V2+1 B.2V2-1,62+1 C.|22-1,6/2+1 D.{2V2-1,6/2+1 3.(25:26高二上河南0P二十名校调)已知圆C:X2+y2-6x+5=0,AX1,y,BX,y,是圆C上的两 个动点，且AB=23:则x,+2y,1+X,+2y,-1的最大值为（） A.5+2V5 B.4+2V5 c.2+2V5 D.4+V5 4.(25-26高二上四川绵阳南山中学.期中)已知点P是直线1：3x-4y+11=0上的动点，圆O:x+y2=1关 7/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 于直线x+y-1=0的对称圆记为圆O,以PO为直径的圆与圆O交于A,B两点，则四边形APBO的周长 的最小值为() A.2+2V3 B.2+2V2 c.23 D.2V2 5.(25-26高二上云南文山州马关县第一中学校：月考已知点p为圆C,x-5+y-4上位于第一象限内的 点，过点p作圆C,:X+y2-2ax+a-a+2=02≤a<5的两条切线pMPN: 切点分别为MN?直线 PMPv分别交x轴于A1,0NB4,0两点，则AC MN= BC2 6.已知点P为直线l1:mx-2y-m+6=0与直线l2:2x+my-m-6=0(m∈R的交点，点Q为圆 C:(x+3+y+3P=8上的动点，则|PQ的取值范围 7.(25-26高二上江苏盐城第一中学.期中)直线y=2x被曲线x2+y=x+y(其中x,y不同时为0)截得 的弦长为 8.(25-26高二上北京清华附中志新学校期中)已知圆M:x2+y-2ax+10qy-24=0,圆 N:x+y2+2x+2y-8=0,且圆M上任意一点关于直线x+y+4=0的对称点都在圆M上，则两圆公共弦 的长度为 9.(24-25高二上广东广州第二中学.期中)已知圆D是以圆x2+y2=1上任意一点为圆心，半径为1的圆，圆 C:x+1P+y+2P=5与圆D交于A,B两点，则当∠ACB最大时，△ABC的面积为一 10.2526商二上·云南师范大学附属中学期中已知圆C:(X-2+y-2=r1r>0在y轴右侧，点p在y 轴上运动，以PC为直径的圆与圆C交于点A,B,且PA最小值为V2,点D为直线AB与直线PC的交点， O为坐标原点，则r= OD最小值= 8/8