专题04 圆中弦长切线七种考法（压轴题专项训练）数学苏教版高二选择性必修第一册

**基本信息** 以“两条底线原则”为核心，构建圆中弦长切线问题“原理-题型-挑战”三级训练体系，系统整合几何性质与代数运算，培养逻辑推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心总结|弦长公式+几何性质/切线长转化为距离最小|明确核心原理，奠定方法基础| |题型归纳|7类（每类1典例+3变式）|每类题型特征+几何法/代数法/转化思想|从基础计算到参数范围，形成递进应用链| |压轴挑战|14题（选择+填空+解答）|综合应用与多章节融合|突破思维上限，强化知识迁移能力|

专题04 圆中弦长切线七种考法 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、圆中求弦长 题型二、利用圆中弦长求参数值（范围） 题型三、圆中求切线长 题型四、利用圆中切线长求参数值（范围） 题型五、圆中切点弦 题型六、与圆有关的三角形、四边形周长与面积 题型七、与其他章节融合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 圆中弦长切线问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕圆中求弦长、利用圆中弦长求参数值（范围） 、圆中求切线长、利用圆中切线长求参数值（范围）、圆中切点弦、与圆有关的三角形、四边形周长与面积、与其他章节融合七大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是利用弦长公式，结合“圆心到直线的距离最大时弦长最小”的几何性质求解；二是切线长的最小转化为直线上的点与圆心的距离最小来求解即可，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、圆中求弦长 典例1 已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定直线恒过的圆内定点，再利用弦长公式，结合“圆心到直线的距离最大时弦长最小”的几何性质求解. 【解析】将直线 整理为 ， 令 ，得直线 恒过定点 . 圆 的圆心为 ，半径 ， ，故点 在圆 内. 设圆心 到直线 的距离为 ，弦长 . 要使 最小，需 取最大值. 当 时，， 此时 故选：B 题型模版 1.特征：直线恒过的圆内定点，再利用弦长公式求解． 2.方法：结合“圆心到直线的距离最大时弦长最小”求解。 变式1-1若过点的直线的倾斜角为，则直线被圆所截得的弦长为________． 【答案】 【分析】先由倾斜角求出直线方程，再计算圆心到直线的距离，结合弦长公式求解直线被圆截得的弦长. 【解析】由直线的倾斜角为，可得直线斜率， 结合直线过点，可得直线的方程为，即. 圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 因此，直线被圆截得的弦长 变式1-2已知直线和曲线交于A，B两点，则的最小值为（ ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】求出直线所过定点，确定曲线的形状，再利用圆的性质求出最小值. 【解析】直线过定点， 曲线，即表示以原点为圆心，2为半径的上半圆， 点在半圆内，当且仅当时，线段的长最短， 所以. 故选：D 变式1-3已知直线与圆交于，两点，则的最小值为_______ 【答案】4 【分析】根据直线过定点，结合弦长公式计算即可． 【解析】由可变形为，则该直线过定点， 又可变形为，该圆的圆心为，半径为， 设圆心到直线的距离为，则， 所以当直线与直线垂直，即最大时，最小， 又的最大值为,所以， 故的最小值为． 故答案为：4 类型二、利用圆中弦长求参数值（范围） 典例2 已知圆与直线交于A，B两点，若，则实数m的值为（ ） A．6 B． C．6或16 D．或 【答案】D 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程得到圆心坐标与半径，再结合垂径定理和点到直线的距离公式列方程求解m的值. 【解析】化圆的一般方程为标准方程， 因此圆心为，半径. 已知弦长，则弦长的一半为, 根据垂径定理，圆心到直线的距离满足， 代入已知数据得，解得. 圆心到直线的距离为，即，解得或. 故选：D 题型模版 1.特征：结合弦长公式，求解参数值 2.方法：解决有关弦长问题的常用方法及结论: 1、几何法：如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式： 2、代数法：若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点， 则|AB|＝·＝ ·|yA－yB| (其中k≠0)． 特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|， 变式2-1直线被圆截得的弦长的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知直线过定点，且斜率存在，结合圆的性质求弦长的最小值. 【解析】直线即，所以直线过定点，且斜率存在， 圆的圆心为，半径，则，直线的斜率，当时，直线被圆截得的弦长的最小值为，此时直线的斜率，符合题意. 故选：C 变式2-2直线与圆相交于A，B两点，且（为坐标原点），则 . 【答案】 【分析】根据垂径定理可求弦心距，故可求参数的值. 【解析】由，得， 知点到直线的距离为， 所以，得. 故答案为：. 变式2-3，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 【答案】2 【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【解析】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 题型三、圆中求切线长 典例3 从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】先求出圆心和半径，再将切线长的最小转化为直线上的点与圆心的距离最小来求解即可. 【解析】圆化为，圆心为，半径为1， 直线上的点向圆引切线，设切点为， 则， 要使切线长的最小，则最小，即直线上的点与圆心的距离最小， 由点到直线的距离公式可得，. 所以切线长的最小值为. 故选：B. 题型模版 1.特征：已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为. 2.方法：切线长度最值问题常见处理方法： （1）代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； （2）几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题． 变式3-1已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合勾股定理以及点到直线的距离公式求解即可. 【解析】连接，则， 而的最小值为点C到直线l的距离， 所以. 故选：A. 变式3-2（多选）已知圆，直线是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则当切线长取最小值时，下列结论正确的是（ ） A． B．点的坐标为 C．的方程可以是 D．的方程可以是 【答案】BCD 【解析】圆圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 因为是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为， 则切线长的最小值为，故A错误； 设过点与直线垂直的直线方程为，则，解得， 所以，由，解得，所以，故B正确； 显然过点的切线的斜率存在， 设切线的方程为，则，解得或， 所以切线的方程为或，故CD正确. 故选：BCD 变式3-3设点为直线上一点，则由该点向圆所作的切线长的最小值是____________ 【答案】4 【解析】由题知， 圆化简为：，则圆心，半径为， 所以由点向圆所作的切线长为： ， 当时，切线长取得最小值4， 故答案为：4 题型四、利用圆中切线求参数值（范围） 典例4 已知圆，点在直线上，过直线上的任一点引圆的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线的斜率（ ） A．2 B． C．或 D．2或 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径为， 因为切线长的最小值为2，所以， 所以圆心到直线的距离为，所以直线必有斜率，设，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以，整理得，解得或. 故选：C 题型模版 1.特征：利用圆的切线或者切线长求参数. 2.方法：利用切线长公式以及切线长度最值问题常见处理方法：（1）代数法；（2）几何法． 变式4-1已知是直线上一点，是圆的一条切线，是切点，若长度的最小值为，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由切线的性质可得，利用勾股定理可知当长度取最小值时，的长度取得最小值，即圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式可求得正实数的值. 【解析】圆的标准方程为，该圆的圆心为，半径为， 由圆的切线的性质可知，由勾股定理可得，因为，则，即圆心到直线的距离为，所以，，，解得. 故选：D. 变式4-2已知直线与圆相切，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径. 由直线与圆相切，则得， 解得. 故选：A. 变式4-3过点作直线与圆相切，斜率的最大值为，若，，，则的最小值是__________ 【答案】12 【分析】先根据圆心到直线距离等于半径得出或，再应用基本不等式计算最小值即可. 【解析】设直线的方程为，圆心到直线的距离为，解得或， 所以，所以， 所以. 当且仅当时取最小值. 故答案为：12 题型五、圆中切点弦 典例5过一动点向圆作切线，切点分别为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得以为直径的圆的方程，与圆方程相减得到直线方程，进而可求解. 【解析】因为是圆的切线，所以， 所以是圆与以为直径的圆的公共弦，的中点为， 可得以为直径的圆的方程为①， 又因为②， ①与②相减得，直线，即， 由可得， 即过定点，点位于圆内部． 设圆心到直线的距离为，则， 当时，最大，最小， 由题可知，所以． 故选：C 题型模版 1.特征：由动点向圆作切线，切点分别为，则求的最小值； 2.方法：切点弦方程求解，可以有如下两种思路 （1）公共弦法：过圆外一点作圆的切线，则切点与四点共圆，线段就是圆的一条直径．两圆方程相减可得公共弦所在直线方程． （2）二级结论法：外一点做切线，切点所在直线方程（切点弦方程）为： 变式5-1过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出以线段为直径的圆的方程，再与圆方程作差得到直线的方程为，再结合点所在直线方程得到直线所过定点，从而得到最小值. 【解析】设，则以线段为直径的圆的方程是， 与圆的方程相减，得，即直线的方程为， 又点在直线上，所以，则，代入直线的方程， 得，则，解得， 所以直线过定点，所以， 数形结合可知的最小值为． 故选：B.    变式5-2（多选）已知圆和直线，点P在直线l上运动，直线、分别与圆C相切于点，则下列说法正确的是（ ） A．切线长的最小值为 B．四边形面积的最小值为4 C．当最小时，弦所在的直线方程为 D．弦所在直线必过定点 【答案】BD 【分析】根据圆的标准方程得出圆心为，半径为2，由圆切线的性质及勾股定理得，再根据点到直线的距离公式得出，即可判断A；结合A的结论得出即可判断B；结合A的结论，根据两直线交点，中点公式及点斜式方程求得弦所在的直线方程，即可判断C；设，得出以为直径的圆的方程，与圆方程相减即可得出弦所在直线方程，进而求得定点，即可判断D． 【解析】对于A，圆的圆心为，半径为2，由题意可得， 所以，， 所以，故A错误； 对于B，，所以四边形面积的最小值为4，故B正确； 对于C，当最小时，，则直线的斜率为，又，所以直线的斜率为， 的直线方程为，即，由，解得，，即， 因为当最小时，，所以为等腰直角三角形，所以中点即为中点， 因为的中点为，所以弦的中点为，所以弦所在的直线方程为，即，故C错误；对于D，设，则以为直径的圆的方程为， 展开得①， 圆C的方程为，即②， ①②得弦所在直线方程为，即， 令，解得，所以弦所在直线必过定点，故D正确； 故选：BD． 变式5-3如图，圆，为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，切点分别为、，则线段长度的最小值为__________.    【答案】 【分析】推导出，利用等面积法可得，分析可知，当的长度最小，只需使线段的长度最小，可知当时，取最小值，结合点到直线的距离公式可求得的最小值. 【解析】由切线长定理可得， 又因为，，则，所以，， 所以，， 则四边形的面积为，所以. 在中，，代入整理得， 要使线段的长度最小，只需使线段的长度最小， 而是圆心到直线上任意一点的距离， 故当且仅当时，即为圆心到直线的距离时，最小， 此时，则. 故答案为： 题型六、与圆有关的三角形、四边形周长与面积 典例6 点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（ ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】A 【分析】当圆心与点的距离最小时，切线长最小，则四边形的面积最小，此时是点到已知直线的垂线段. 然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再结合弦长公式和面积公式进行计算即可． 【解析】由圆方程知圆心为，半径为1， 因为为圆的切线，所以，   ，要使得最小，只要最小， 由切线长公式知，只要最小． 当时，，此时， 所以的最小值是， 故选：A 题型模版 1.特征：（1）由动点向圆作切线，切点分别为，构建三角形或者四边形研究周长、面积；.（2）直线与圆相交构建三角形研究周长、面积。 2.方法：将问题转化为弦长或者切线长最值问题。 变式6-1过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点间距离公式可得，即可由勾股定理求解，由三角形面积公式即可求解. 【解析】由 可得， 所以，进而可得， 故， 所以四边形的面积为 故选：B 变式6-2已知，C在上，则的面积（ ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【分析】设出曲线上一点为，得出，将三角形的高转化成关于的函数,分析其单调性，从而求解. 【解析】设曲线上一点为，则，则， ，方程为：，即， 根据点到直线的距离公式，到的距离为：， 设， 由于，显然关于单调递减，，无最小值， 即中，边上的高有最大值，无最小值， 又一定，故面积有最大值，无最小值. 故选：A 变式6-3直线与圆交于，两点，且的面积为2，则________． 【答案】3或 【解析】圆化为标准形式，圆心，半径； 面积（为圆心到直线的距离）， 由，得，即，解得； 圆心到直线的距离，即，解得或． 故答案为：3或 题型七、与其他章节融合 典例7 （多选）已知点是圆上的动点，点，为坐标原点，则下列结论正确的有（ ） A．过点的直线被圆截得的最短弦长为4 B．的最大值为7 C． D．对任意实数的最小值为2 【答案】AC 【分析】根据过点的直线与直线垂直时，被圆截得的弦最短，结合弦长公式，可判定A正确；根据圆的性质，可判定B错误；作向量在上的投影向量，利用向量数量积的定义，结合圆的性质求解，或采用向量的数量积的坐标表示，结合直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，列出不等式或方程，也可判定C正确，D不正确. 【解析】由圆的方程，可得圆心，半径． 对于A，因为，可得 所以点在圆内，且， 当过点的直线与直线垂直时，被圆截得的弦最短， 则被截得的最短弦长为，所以A正确． 对于B，因为，可得点在圆外，且， 由圆的性质，可得的最大值为，所以B错误； 对于C，方法一：如图，作向量在上的投影向量， 则， 因为，即， 所以，所以C正确． 方法二：设，则，因为，可得． 设，则直线与圆有公共点， 则满足，解得，所以C正确． 对于D，方法一：对任意实数，向量与共线， 设，则点在直线上，， 则的最小值为圆心到直线的距离， 因为点，所以直线的方程为， 所以圆心到直线的距离为，所以D错误． 方法二：因为，可得， 所以， 当时，，所以D错误． 故选：AC 题型模版 1.特征：利用直线与圆的弦长、切线、三角函数、平面与向量等章节融合。 2.方法：常常与三角函数、基本不等式等章节结合起来考查最值范围。 变式7-1已知直线与圆交于A，B两点，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由计算可得弦心距，进而可得，根据充分条件与必要条件判断即可. 【解析】由直线与圆交于A，B两点可得， 即弦心距， 又因，解得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 变式7-2（多选）设动直线l：（）交圆C：于A，B两点（点C为圆心），则下列说法正确的有（ ） A．直线l过定点（2，3） B．当取得最大值时， C．当∠ACB最小时，其余弦值为 D．的最大值为24 【答案】ABD 【分析】将直线方程变形为，即可求出直线l过的定点进而判断A； 结合选项A可知定点在圆C的内部，进而当直线l过圆心时最大，即可判断B； 根据点线之间的距离可知当时最小，结合余弦定理计算即可判断C； 根据题意可知当为直径时取得最大值，即可判断D. 【解析】选项A，由整理得， 当即时，不论m为何值时，都成立， 所以直线l过定点，故A正确； 选项B，因为直线l过定点，将定点代入圆， 所以定点在圆C的内部，当直线l过圆心时，取得最大值， 此时，解得：，故B正确； 选项C，设直线l过的定点，当时，圆心到直线的距离最大， 即的余弦值最大，结合余弦在上单调递减，可得最小， 而，所以， 所以在中，，故C不正确； 选项D，， 所以当为直径时，取得最大值， 此时，所以的最大值为24，故D正确. 故选：ABD 变式7-3已知圆，圆，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线，切点分别为，则的最小值是_______ 【答案】 【分析】两圆的圆心距为5，大于两圆的半径之和，可以知道两圆相离，结合下图（见解析）的最小值是的值，求出即可． 【解析】由题意，圆的圆心为（1，0），半径为1，圆的圆心（，），半径为2，所以，而，所以两圆相离．，要使取得最小值，需要和越小，且越大才能取到，设直线和圆交于两点（如下图）．则的最小值是. =，，则.所以. 故答案为：. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知圆：，过点的直线与圆交于，两点，则弦的最小值为（ ） A．24 B．12 C．10 D．5 【答案】A 【解析】求弦最小值，即求圆心到直线距离的最大值. 因为，所以在圆中， 所以， 因此. 故选：A 2．已知过原点的直线与圆：交于两点，当面积取得最大值时，直线的斜率为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先由圆方程得圆心与半径，借助垂径定理用圆心到直线距离表示弦长，进而写出的面积解析式；利用基本不等式得到面积最大时，设过原点直线斜截式方程，代入点到直线距离公式列方程，求解得到直线斜率． 【解析】由题意得圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 若的斜率不存在，则的方程为，， 若的斜率存在，设的方程为，即， 所以，即， 整理得，解得，， 综上，直线的斜率为或． 故选：D 3．在平面直角坐标系中，为两不同的动点，以为直径的圆与直线相切，则的最小值为（ ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据点在圆上得出最小时只需往直线作垂线所得垂线段为直径，利用点到直线的距离公式可得. 【解析】因为是直径，，所以点在圆上， 过作垂直直线，垂足为， 因为圆与直线相切，所以最小，只需为圆的直径即可， 到直线的距离， 则的最小值为 故选：A 4．已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当四边形 的面积最小时，的长为（ ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】圆，得圆，圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 四边形的面积， 要使其最小，需取最小值，而，此时. 故选：B 5．在平面直角坐标系中，已知圆，点．点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】设出点的坐标，根据切线的性质可得到直线的方程，进而可知直线过定点，进而可知点到直线的距离的最大值为. 【解析】如图，设，则. 根据圆的切线性质知，以为直径的圆与圆交于两点， 即线段为两圆的公共弦. 而以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以其方程为，即. 与圆的方程作差得直线的方程为， 将代入得，即. 因为上式对恒成立，令，解得， 所以直线恒过定点，所以点到直线的距离， 所以点到直线的距离的最大值为 故选：A 6．已知圆：，直线：，则直线被圆截得的弦长的最小值为（） A． B． C． D．10 【答案】B 【分析】先确定直线所过的定点，然后根据圆的性质，当直线与圆心和定点的连线垂直时，直线被圆C截得的弦长最短，最后利用垂径定理求出弦长的最小值即可. 【解析】 由整理为： ， 所以联立方程组得， 解得，即直线恒过定点， 因为，所以圆心，半径， 所以圆心到定点的距离为：， 所以点在圆内，直线与圆始终相交， 当最大时，弦长最小；当直线时，， 所以弦长最小值为：. 故选：B 7．（多选）若在直线上存在一点，使得过点作圆的两条切线可以相互垂直，则实数的取值可以为（ ） A． B．15 C．10 D．4 【答案】CD 【解析】由圆，圆心为，半径为， ∵在直线上存在一点，使得过点作圆的两条切线可以相互垂直， ∴在直线上存在一点，使得到的距离等于2， ∴只需点到直线的距离小于或等于2， ，解得， 结合选项，实数的取值可以为10，4. 故选：CD 8．（多选）已知点，圆，则下列结论正确的有（ ） A．点在圆内部 B．点与圆上的点之间距离的最大值为 C．以为中点的弦所在的直线方程为 D．若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 【答案】AC 【分析】选项A，通过比较点到圆心的距离与半径的大小来判断；选项B，先求出点到圆心的距离，再加半径；选项C，利用圆的性质，圆心与点的连线与弦垂直求出斜率，然后点斜式写出直线方程；选项D，先根据弦长求出圆心到直线的距离，再结合直线过点来求解. 【解析】点代入，， 点在圆内部，选项A正确； ， 点与上的点之间距离的最大值为，选项B错误； ，以为中点的弦所在的直线的斜率为， 其方程为，即， 以为中点的弦所在的直线方程为，选项C正确； 过点的直线截圆的弦长为，由， 得， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合； 当直线的斜率存在时，设直线为，即， ，解得，直线为，即， 所以直线的方程为或，选项D错误. 故选：AC 9．（多选）已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ） A．存在实数，使得圆关于对称 B．若与圆相切，则 C．存在实数，使圆上存在点到的距离为6 D．若与圆相交于A，B两点，且，则 【答案】CD 【分析】根据圆心不在直线上判断A，根据圆心到直线的距离为半径判断B，根据圆上的点到的距离的范围判断C，根据圆心到直线的距离为1求出的值判断D. 【解析】由题设可得圆的半径为2. 对于A，因为，故直线不过原点， 故不存在实数，使得圆关于对称，故A错误； 对于B，若相切，则圆心到直线的距离， 整理得，故，故B错误； 对于C，由B的分析可得圆心到直线的距离， 故圆上的动点到直线的距离的取值范围， 令，则， 故当时，圆上存在点到的距离为6，故C正确； 对于D，因为，故到的距离为， 结合C中的距离可得，故，故D正确. 故选：CD 10．若斜率为1的直线，被圆截得的弦长为，则该直线方程为____________． 【答案】或 【分析】由点到直线距离公式及垂径定理列出方程即可求解． 【解析】设直线方程为，圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 由垂径定理得或， 所以直线方程为或． 故答案为：或 11．圆与直线：交于、两点，则弦长的最小值为______． 【答案】2 【分析】求出圆心到直线距离的范围，再由弦长、半径、圆心距之间的关系求解. 【解析】因为圆， 所以圆心为，半径， 所以圆心到直线：的距离 ， 因为，所以， 又， 所以当时， 故答案为：2 12．已知圆：，直线：为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则原点到直线距离的最大值是________ 【答案】 【分析】设点，依题意点，在以为直径的圆上，求出该圆的方程，由两圆的方程相减求得两圆公共弦的所在直线方程，整理可得该圆经过定点，由圆的相关性质可得当直线时，原点到直线的距离取得最大值即可. 【解析】因为直线：上的动点，可设其坐标为， 如图，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则，， 则点，在以为直径的圆上，又，， 则以为直径的圆的方程为， 变形得， 将与相减，可得， 整理得，此即直线的方程. 由，解得即直线过定点，该点在圆内， 由图知，当直线时，原点到直线的距离取得最大值， 故原点到直线距离的最大值为． 故答案为： 13．已知圆． (1)若圆的切线在轴和轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程； (2)从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且有，求使得的长度取得最小值的点的坐标． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）根据题意，设所求切线方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可得出关于实数的等式，解出的值，即可得出所求切线的方程； （2）利用两点间的距离公式结合勾股定理可知点在直线上，再由可知当与直线垂直时，取最小值，求出此时的方程，与直线的方程联立可求得点的坐标. 【解析】（1）解：切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零，设切线方程为， 又圆的标准方程为， 所以，圆心到切线的距离等于圆的半径， 则，解得或， 因此，所求切线的方程为或. （2）解：，， 又，， 所以，，则． 所以，点在直线上． ，的长度的最小值就是长度的最小值， 而长度的最小值为到直线的距离， 此时直线的方程为． 由，解得， 因此，使得的长度取得最小值的点的坐标为 14．已知圆C：，P是直线l：上的一动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B． (1)当点P的横坐标为6时，求切线的方程； (2)当点P在直线l上运动时且点P的横坐标，求四边形PACB面积的取值范围． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）求出点P坐标后，借助切线定义，分斜率不存在与斜率存在进行讨论即可得； （2）由切线性质计算可得，再利用点到直线的距离公式可求出的取值范围，即可得解. 【解析】（1）圆的圆心C为，半径为2， 因为P是直线上的一动点，则当点P的横坐标为6时，P点坐标为， 当切线的斜率不存在时，切线方程为，符合题意； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 由，解得， 此时切线方程为，即， 综上，所求的切线方程为或； （2）， 则要使四边形PACB面积的最小值，只需的值最小， 因为点P在直线上， 所以的最小值为圆心C到直线l的距离， 所以， 此时，解得， 即此时点P符合要求； 由，则当或时，取得最大值， 若，则， 若，则， 故，即， 所以四边形PACB面积的最小值为， 最大值为， 即四边形PACB面积的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆中弦长切线七种考法 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、圆中求弦长 题型二、利用圆中弦长求参数值（范围） 题型三、圆中求切线长 题型四、利用圆中切线长求参数值（范围） 题型五、圆中切点弦 题型六、与圆有关的三角形、四边形周长与面积 题型七、与其他章节融合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 圆中弦长切线问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕圆中求弦长、利用圆中弦长求参数值（范围） 、圆中求切线长、利用圆中切线长求参数值（范围）、圆中切点弦、与圆有关的三角形、四边形周长与面积、与其他章节融合七大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是利用弦长公式，结合“圆心到直线的距离最大时弦长最小”的几何性质求解；二是切线长的最小转化为直线上的点与圆心的距离最小来求解即可，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、圆中求弦长 典例1 已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：直线恒过的圆内定点，再利用弦长公式求解． 2.方法：结合“圆心到直线的距离最大时弦长最小”求解。 变式1-1若过点的直线的倾斜角为，则直线被圆所截得的弦长为________． 变式1-2已知直线和曲线交于A，B两点，则的最小值为（ ） A． B． C．4 D． 变式1-3已知直线与圆交于，两点，则的最小值为_______ 类型二、利用圆中弦长求参数值（范围） 典例2 已知圆与直线交于A，B两点，若，则实数m的值为（ ） A．6 B． C．6或16 D．或 题型模版 1.特征：结合弦长公式，求解参数值 2.方法：解决有关弦长问题的常用方法及结论: 1、几何法：如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式： 2、代数法：若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点， 则|AB|＝·＝ ·|yA－yB| (其中k≠0)． 特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|， 变式2-1直线被圆截得的弦长的最小值为（ ） A． B． C． D． 变式2-2直线与圆相交于A，B两点，且（为坐标原点），则 . 变式2-3，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 题型三、圆中求切线长 典例3 从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ） A． B．1 C． D． 题型模版 1.特征：已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为. 2.方法：切线长度最值问题常见处理方法： （1）代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； （2）几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题． 变式3-1已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（ ） A．1 B． C． D．2 变式3-2（多选）已知圆，直线是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则当切线长取最小值时，下列结论正确的是（ ） A． B．点的坐标为 C．的方程可以是 D．的方程可以是 变式3-3设点为直线上一点，则由该点向圆所作的切线长的最小值是____________ 题型四、利用圆中切线求参数值（范围） 典例4 已知圆，点在直线上，过直线上的任一点引圆的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线的斜率（ ） A．2 B． C．或 D．2或 题型模版 1.特征：利用圆的切线或者切线长求参数. 2.方法：利用切线长公式以及切线长度最值问题常见处理方法：（1）代数法；（2）几何法． 变式4-1已知是直线上一点，是圆的一条切线，是切点，若长度的最小值为，则的值是（ ） A． B． C． D． 变式4-2已知直线与圆相切，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式4-3过点作直线与圆相切，斜率的最大值为，若，，，则的最小值是__________ 题型五、圆中切点弦 典例5过一动点向圆作切线，切点分别为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：由动点向圆作切线，切点分别为，则求的最小值； 2.方法：切点弦方程求解，可以有如下两种思路 （1）公共弦法：过圆外一点作圆的切线，则切点与四点共圆，线段就是圆的一条直径．两圆方程相减可得公共弦所在直线方程． （2）二级结论法：外一点做切线，切点所在直线方程（切点弦方程）为： 变式5-1过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 变式5-2（多选）已知圆和直线，点P在直线l上运动，直线、分别与圆C相切于点，则下列说法正确的是（ ） A．切线长的最小值为 B．四边形面积的最小值为4 C．当最小时，弦所在的直线方程为 D．弦所在直线必过定点 变式5-3如图，圆，为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，切点分别为、，则线段长度的最小值为__________.    题型六、与圆有关的三角形、四边形周长与面积 典例6 点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（ ） A． B．2 C．2 D．4 题型模版 1.特征：（1）由动点向圆作切线，切点分别为，构建三角形或者四边形研究周长、面积；.（2）直线与圆相交构建三角形研究周长、面积。 2.方法：将问题转化为弦长或者切线长最值问题。 变式6-1过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 变式6-2已知，C在上，则的面积（ ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 变式6-3直线与圆交于，两点，且的面积为2，则________． 题型七、与其他章节融合 典例7 （多选）已知点是圆上的动点，点，为坐标原点，则下列结论正确的有（ ） A．过点的直线被圆截得的最短弦长为4 B．的最大值为7 C． D．对任意实数的最小值为2 题型模版 1.特征：利用直线与圆的弦长、切线、三角函数、平面与向量等章节融合。 2.方法：常常与三角函数、基本不等式等章节结合起来考查最值范围。 变式7-1已知直线与圆交于A，B两点，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式7-2（多选）设动直线l：（）交圆C：于A，B两点（点C为圆心），则下列说法正确的有（ ） A．直线l过定点（2，3） B．当取得最大值时， C．当∠ACB最小时，其余弦值为 D．的最大值为24 变式7-3已知圆，圆，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线，切点分别为，则的最小值是_______ 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知圆：，过点的直线与圆交于，两点，则弦的最小值为（ ） A．24 B．12 C．10 D．5 2．已知过原点的直线与圆：交于两点，当面积取得最大值时，直线的斜率为（ ） A． B． C．或 D．或 3．在平面直角坐标系中，为两不同的动点，以为直径的圆与直线相切，则的最小值为（ ） A． B．4 C． D． 4．已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当四边形 的面积最小时，的长为（ ） A．2 B． C．3 D． 5．在平面直角坐标系中，已知圆，点．点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知圆：，直线：，则直线被圆截得的弦长的最小值为（） A． B． C． D．10 7．（多选）若在直线上存在一点，使得过点作圆的两条切线可以相互垂直，则实数的取值可以为（ ） A． B．15 C．10 D．4 8．（多选）已知点，圆，则下列结论正确的有（ ） A．点在圆内部 B．点与圆上的点之间距离的最大值为 C．以为中点的弦所在的直线方程为 D．若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 9．（多选）已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ） A．存在实数，使得圆关于对称 B．若与圆相切，则 C．存在实数，使圆上存在点到的距离为6 D．若与圆相交于A，B两点，且，则 10．若斜率为1的直线，被圆截得的弦长为，则该直线方程为____________． 11．圆与直线：交于、两点，则弦长的最小值为______． 12．已知圆：，直线：为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则原点到直线距离的最大值是________ 13．已知圆． (1)若圆的切线在轴和轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程； (2)从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且有，求使得的长度取得最小值的点的坐标． 14．已知圆C：，P是直线l：上的一动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B． (1)当点P的横坐标为6时，求切线的方程； (2)当点P在直线l上运动时且点P的横坐标，求四边形PACB面积的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $