专题03直线与圆中的最值取值范围十类综合题型（压轴题专项训练）高二数学人教B版选择性必修第一册

学科网（北京）股份有限公司 专题03直线与圆中的最值取值范围十类综合题型（压轴题专项训练） 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一 类比两点距离 题型二 类比点到直线距离 题型三 三角函数换元 题型四 类比斜率 题型五 利用基本不等式 题型六 圆中向量问题 题型七 切线夹角问题 题型八 直线与圆的位置关系求参数 题型九 半圆问题 题型十 阿氏圆问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 形式复杂的代数式最值问题，一般需要类比的形式有：两点间距离，点到直线的距离，斜率，二元代数式等。解题注意：一是形似，二转化，三换元，通过形似，转化成对应的形式. 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、类比两点距离 典例精讲1 (25-26高二上·重庆黔江新华中学校等“大一联盟”·期中)已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点之间的距离公式，将转化为点，，，之间的距离的长度的和，作图分析线段和最小值情况即可得结论. 【详解】因为表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 设，，，， 则表示的长度的和， 如图所示：      当四点共线时，和最小为， 故的最小值是. 故选：D． 题型归纳 1.特征：形似，长得像两点间距离公式. 2.方法：凑成两点间距离公式的形式，利用距离公式求解. 变式训练1-1 已知，是正数，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从中解出，代入得到，则表示点到点的距离与点到点的距离之和，故的最小值就是的值，利用两点间距离公式求解即可得解. 【详解】是正数，，，，，， ， 表示点到点的距离与点 到点的距离之和， 的最小值就是的值，且， 的最小值即的最小值为. 故选：A.    变式训练1-2 (25-26高二上·贵州贵阳清华中学·月考)若点在直线，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据两点间的距离公式，判断代数式的几何意义，再根据点关于直线的对称点的求法，求出最小值，判断结果即可. 【详解】设点为直线上的动点， 由， 则其几何意义为与的距离和与的距离之和， 设点， 则点关于直线的对称点为点， 故，且， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：B. 变式训练1-3 已知，则的最大值是___________. 【答案】 【分析】设，原式化为，设，则可以看成点到点两点的距离之差，可求最大值. 【详解】因为，设， ， 令，则， 则上式为， 设， 点为双曲线位于第一象限的点， 可以看成点到点两点的距离之差， 又， 所以的最大值是.    故答案为： 题型二、类比点到直线距离 典例精讲2. (25-26高二上·湖北襄阳部分学校·月考)若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，试写出满足条件的一个实数的值：__________________. 【答案】，，（只需写出其中一个值即可） 【分析】化简得到，然后根据情况，对进行分类讨论即可求解. 【详解】由已知得，明显地，，整理得，又由， 看成有且仅有三条直线满足，和到直线：（不过原点）的距离均为， 由， （1）当，此时，易得符合题意的直线为线段的垂直平分线， 以及与直线平行的两条直线和 （2）当时，有4条直线会使得点和到它们的距离相等， 注意到不过原点，所以，当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去， 设点到的距离为， ①作为增根被舍去的直线，过原点和的中点，其方程为， 此时，，符合； ②作为增根被舍去的直线，过原点且以为方向向量，其方程为， 此时，，符合； 综上，满足题意的实数为，，； 故答案为：，，. 题型归纳 1.特征：形似点到直线距离公式，主要是含有绝对值一般可以类比. 2.方法：类比点到直线距离公式求解. 变式训练2-1 (24-25高二上·黑龙江大庆实验中学实验一部·)已知实数，，且满足成立，则的最小值与最大值的和是______________. 【答案】 【分析】设，将问题转化为求两点到原点距离之和的最小值与最大值的和， 结合图形可得答案. 【详解】设，. 则， 表示两点到原点距离之和. 如图，建立直角坐标系，其中. 注意到点在直线上（其中 ）， 过B作y轴垂线，垂足为.则， 设原点关于直线对称的点为，又直线斜率为-2. 则，即. 则由对称性， ，当且仅当C，B，D三点共线， 即DC垂直于y轴时取最小值； 又设DC垂直于y轴时，与直线交点为E. 则当点B位于点E上方或下方时，始终有， 要使最大，则点B需位于G点或H点， 可得最大值为. 则最小值与最大值的和是. 故答案为：.    【点睛】关键点睛：对于求解含有根式的条件等式范围问题，可利用数形结合思想，将问题转化为距离相关的问题. 变式训练2-2 (23-24高二上·浙江杭州四校·)若关于x的方程；在上有实数根，则的最小值是______. 【答案】 【分析】转化为点到原点的距离平方后由点到直线的距离公式求解． 【详解】由题意得存在，使得点在直线上 故点到原点的距离最小值为， 当时，取最小值，此时的最小值为， 故答案为： 变式训练2-3 实数，满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】D 【分析】设，，，问题转化为直线上的动点到直线和点的距离之和的最小值，数形结合求最小值即可. 【详解】设，，， 表示直线上的动点到直线和点的距离之和，    令关于直线的对称点，则，可得， 所以关于直线的对称点，则， 当且仅当时取等号，故所求最小值是到的距离为. 选择：D 题型三、三角函数换元 典例精讲3 (23-24高一下·广东中山中山纪念中学等五校·)已知点,点是内(包含边界)一动点，请你结合所学向量的知识，求出的最大值为___. 【答案】 【分析】利用点坐标即的坐标，引入与轴的夹角，将点的坐标用的三角函数表示，从而将所求式转化成，求其值域即得. 【详解】 如图，设与轴的夹角为，因点是内(包含边界)一动点， 由图知，当点与点重合时，直线的斜率最小，为,此时， 故，因， 故，，则 ，， 于是， 因，则，由正弦函数的图象可得，， 即，当且仅当时，即时，取得最大值，此时点与点重合. 故答案为： . 【点睛】关键点点睛：本题主要考查线性区域内点的坐标相关的解析式的范围问题，属于较难题. 解决此类问题的关键是运用向量知识，将点的坐标用一个变量的函数表示，继而将所求式化成关于该变量的函数式，通过求函数的值域求其范围即得. 题型归纳 1.将点坐标转化成三角函数的形式； 2.利用三角函数进行消元，转变成三角函数进行求解。 变式训练3-1 (25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末)在平面直角坐标系中，已知是以点为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点）重合，两次的折痕方程分别为和，若点在圆 上，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先联立两条直线的方程求出圆心坐标，然后根据两点距离公式求出圆的半径，进而得到圆的方程，然后利用参数方程将表示为，然后代入所求表达式化简，从而求出范围. 【详解】由题意得，两条直线和的交点为， 所以联立两条直线方程为，解得. 因为是以点为圆心的圆上的一点，所以圆的半径为. 所以圆的方程为. 由于点在圆 上，所以用参数方程表示为， 代入表达式得. 因为，所以. 故选：A. 变式训练3-2 (25-26高二上·湖南名校联考联合体·期中)在平面直角坐标系中，已知三动点，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定三点的轨迹方程，然后判断直线与圆的位置关系，然后作辅助线确定最大和最小时三点的位置关系，进而由几何图形和三角函数的单调性可求得范围. 【详解】设，，则，所以为直线上的动点， 令，则，所以， 则为圆上的动点. 同理知，也为圆上的动点. 易知圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离. 如图，当时，过作直线，与相切，且切点为，，此时最大， 由圆的切线性质可知，，所以. 又，所以， 当，，三点共线，或，重合时，最小，且为， 根据余弦函数的单调性可知，. 故选：C. 变式训练3-3 (24-25高二上·江西南昌雷式学校&进贤县第一中学·)设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】可得直线分别过定点和且垂直，可得设，则，,,则，利用正弦函数的性质求值域即可． 【详解】由题意可知，动直线，经过定点， 动直线即，经过定点， 时，动直线和动直线的斜率之积为， 时，也垂直， 所以两直线始终垂直，又P是两条直线的交点， ， ． 设，则，， 由且，可得， ， ， ， ， ， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：因为，设，则，，则，即可求得的取值范围. 题型四、类比斜率 典例精讲4 (22-23高二下·上海三校（金山中学、闵行中学、嘉定一中）·)在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】由题意可知满足为四边形的四边上任意一点，然后画图由几何意义求解即可. 【详解】将直线与的方程化为一般式为， ，所以到两直线的距离之和为：， 所以①. 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 则动点为如图所示的四边形的边，   的几何意义为正方形边上任意一点与连线的斜率. ，，，. 则的取值范围是：. 故答案为：. 题型归纳 1.特征：形似斜率，一般以分数的形式为主。 2.方法：转化为斜率求解。 变式训练4-1 已知，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】将看成是平面直角坐标系中点与点连线的斜率，然后根据的范围求出斜率的范围，进而得出结果. 【详解】表示平面直角坐标系中点与点连线的斜率， 其中点在直线的的部分上，点在线段上， 取点，点的坐标为时，直线的斜率为， 当时，直线的斜率小于0且趋近于0， 所以的取值范围是． 故答案为：. 变式训练4-2 (25-26高二上·北京理工大学附属中学·期中)已知两点，动点在线段上运动，则的取值范围是__________，的取值范围是__________. 【答案】 【分析】分析可知表示动点与定点之间连线的斜率，结合斜率公式分析求解即可；表示动点与定点之间距离的平方，结合相关距离公式运算求解. 【详解】由题意可知：直线的方程为，即，    因为表示动点与定点之间连线的斜率，即， 且，，可得或， 所以的取值范围是； 又因为表示动点与定点之间距离的平方，即， 可知点到直线的距离为， 且，，可得，即， 所以的取值范围是. 故答案为：；. 变式训练4-3 (25-26高二上·浙江七彩阳光新高考研究联盟·期中)已知点满足方程，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】C 【分析】对于AB：圆心，，因为，， ，故AB错误； 对于C：三角换元后可求最值； 对于D：利用的几何意义即可知当直线与圆相切时取得最值. 【详解】如图：的圆心, ，,即，，故AB错误； 令，， 的最小值是，故C正确； 设则，由图可知当与圆相切时取得最值， 设切线方程为，整理得，由题意得 两边同时平方，解得.故D错误.    故选：C 题型五、利用基本不等式 典例精讲5 (25-26高二上·贵州贵阳一中等学校·)已知直线恒过定点，点也在直线上，其中、均为正数，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先将直线方程变形得到定点，将点代入直线确定的关系，最后运用基本不等式中的“乘1法”即可. 【详解】由，得， 由得，则直线过定点，故， 代入直线，得，整理得， ， 当且仅当时，即时取等号， 故最小值为. 故选：D． 题型归纳 1.特性：和积问题求最值。 2.方法：考虑基本不等式，常用的基本不等式方法，常数1的应用。 变式训练5-1 过定点的直线与过定点的直线交于点（与、不重合），则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知方程求得点A，点B的坐标，求得直线的方程；用m表示出点P的坐标，利用点到直线的距离公式求得点P到直线的距离，并求得其取值范围，从而得到面积的最大值.或根据方程得两直线垂直，从而得到面积为，根据不等式得到其最大值. 【详解】由，得; 由，得. 所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即. 由，得，且. 所以，所以点P到直线的距离为. 因为且，所以且，所以且， 即且. 所以面积为，当且仅当时，等号成立. 所以当时，面积取得最大值，最大值为2. 故选：D. 方法二：由，得; 由，得.所以. 易知直线与直线垂直. 所以. 所以面积为. 所以时，面积取得最大值，最大值为2. 故选：D. 变式训练5-2 (25-26高二上·江苏镇江丹阳·)设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值为______． 【答案】4 【分析】求得直线恒过的定点，判断两直线位置关系，找到与的关系，利用均值不等式求最值. 【详解】直线可整理为，故恒过定点，即为A的坐标； 直线整理为，故恒过定点，即为B的坐标； 又两条直线垂直，故可得， 即 整理得, 即，解得，当且仅当时取得最大值. 故答案为：4 变式训练5-3 (22-23高二上·四川射洪中学校·期中)设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值____________． 【答案】9 【分析】根据直线方程求出定点，然后根据直线垂直，结合基本不等式求解即可； 【详解】由题意，动直线过定点， 直线可化为， 令，可得， 又，所以两动直线互相垂直，且交点为P， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号． 【点睛】根据直线方程求定点，判断直线垂直，将问题转化为基本不等式是本题的难点和突破点. 题型六、圆中向量问题 典例精讲6 (25-26高二下·河南沈丘县第一高级中学等校·期中)已知平面内的两个动点连线的中点在圆上，是直线上的一个动点，且，则的最小值为（    ） A．9 B．7 C．-3 D．-1 【答案】D 【详解】取的中点，则. 圆心到的距离为，此时取得最小值，且最小值为3， 取得最小值，且最小值为.故的最小值为. 题型归纳 1.特征：向量与解析几何结合。 2.方法：向量问题，一般需要化简，可以考虑通过圆心转化，或者通过定点转化，或者通过重点转化。 如果几何法比较困难，建系法也需要考虑。 变式训练6-1 (25-26高二上·安徽多校·月考)已知直线：与圆：交于，两点，若点，是圆上的一动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出圆的圆心坐标及半径，判断出直线过圆心，从而得到，将转化为，利用向量的三角不等式求范围即可. 【详解】圆：，即， 其圆心为，半径， 因为的坐标满足直线的方程， 所以直线过圆心， 则是圆的直径，所以. 因为， 所以. 因为是圆上的动点，所以. 因为，，所以， 所以. 故选：B. 变式训练6-2(25-26高二上·广东六校·)已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知直线分别过定点，，又易得，所以可得点的轨迹为圆，设为弦的中点，再由向量的加法运算和圆与圆的位置关系可得到最值. 【详解】依题意得，半径，设点坐标为， 直线恒过点，直线恒过点， 因为，所以，则，即， 所以点的轨迹是以为直径的圆，的中点为，， 故点的轨迹为圆，但是去掉点，其中， 若点为弦的中点，位置关系如图：   ，连接，由，易知， 故点在以为圆心，半径为1的圆上， ，直线为， 联立与得或（舍去）， 又点为圆上的点，， 此时. 故选：D 变式训练6-3(25-26高二下·湖南郴州·期末)已知，，过点的直线与单位圆交于，两点，为的中点，则的最大值为________． 【答案】/ 【分析】先利用垂径定理确定动点D的圆的轨迹方程及其取值，再通过向量分解将问题转化为求固定向量与旋转向量的数量积的最大值即可. 【详解】因为是圆的一条弦，且为的中点，所以，即， 则点始终在以为直径的圆上运动，设的中点为，， 该圆的半径，则该圆的方程为，即， 由于直线必须与单位圆交于两点，圆心到直线的距离即， 即，即，因为在圆上， 则，综上，， 由题意得，，其中， 则， 其中， ，其中， 因为在圆上，所以， 因此， 当与同向时，即，取最大值， 则， 当与同向时， 单位向量为， 此时，则， 以下验证， 因为，所以，则， 若，即，同时平方得，该不等式恒成立， 综上的最大值为. 题型七、切线夹角问题 典例精讲7 (25-26高二上·陕西榆林·期末)已知圆，直线上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据切线的性质求出点的轨迹，然后根据直线与圆的位置关系求出的范围. 【详解】因为过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，， 所以，因为， 所以，那么. 所以是以为圆心，4为半径的圆. 因为直线上存在点满足条件，所以直线与点的轨迹圆有公共点， 所以圆心到直线的距离为. 解得. 故选：C. 题型归纳 1.考查切线夹角的习题。 2.方法：通过切线与半径垂直，寻找夹角，一般是圆心部分的夹角，或者是切线与圆心连线的夹角。或者通过距离求解。 变式训练7-1(25-26高二上·海南多校·期末)过点作圆的切线，切点为，则的最大值为_____. 【答案】 【分析】先确定点的轨迹为一条直线，再利用直角三角形中正弦函数的定义，将角的最大值转化为线段长度的最小值，最后通过点到直线的距离公式求出最小值，从而得到角的最大值. 【详解】易知点在直线上， 如图，在中，， 要使最大，只需最小， 的最小值即为点到的距离， 则，. 故答案为： 变式训练7-2 (25-26高二上·山东名校考试联盟·期中)过点作圆的两条切线，切点分别为，，设，则的最小值为_____. 【答案】/ 【分析】先表示出，问题转化为求解，即求解圆半径的最小值求解. 【详解】设圆心为，则，. 由题意可知， 所以，因为， 所以当时，有最小值， 所以的最小值为. 故答案为： 变式训练7-3 (25-26高二上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)已知圆 ，是圆上的动点，且，点是线段的中点，则当取得最大值时，的值为___________． 【答案】 【分析】根据圆的性质可得，即可根据两点距离得的轨迹为，结合图形，可判断当直线与圆相切时，取得最大值，故可由勾股定理求解. 【详解】连接，，因为点是线段的中点，所以， 又，则，即， 设，则，即， 即点在圆上， 由图知，当直线与圆相切时，取得最大值， 此时. 故答案为：. 题型八、直线与圆的位置关系求参数 典例精讲8 (25-26高二上·河北唐山迁安第四高级中学（迁安第一中学西校区）·月考)实数满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则直线在轴上的截距的最大值就是的最大值，分析出当直线与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值.利用直线和圆相切时，圆心到直线的距离求出，即可得解. 【详解】将变形可得， 可知圆心，半径. 令，则直线在轴上的截距的最大值就是的最大值，， 当直线与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值. 此时，圆心到直线的距离， 即，解得. 所以的最大值为. 故选：C 题型归纳 1.特征：求解一元二次代数式的最值。 2.方法：一般需要将医院二次代数式换元，通过直线与圆的位置关系求解参数。 变式训练8-1(25-26高二上·重庆部分校·月考)已知平面内两点，若在直线上存在点，满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由题意和题中条件求出点的轨迹方程，由题意得直线与圆相交，由此能求出实数的取值范围，进而得到最大值． 【详解】设，在直线上存在点，满足， 可得，化简整理得点P的轨迹方程为：， 由题意得直线与圆相交，所以， 化简可得，即得．故的最大值为. 故选：C． 变式训练8-2 (25-26高二上·辽宁实验中学·期中)已知实数x，y满足，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】将所求问题转化为求的范围，然后过原点作圆的切线，求出切线方程，然后与圆的方程联立，求出两个切点的坐标，进而根据点到直线的距离公式和两点距离公式求出角的正弦值，最后求得的范围. 【详解】如图，设直线方程为，设为圆上任意一点， 则，由图可知圆在直线的上方，且在第一象限，所以. 而，所以. 所以要求的取值范围，只需求的范围即可. 由图可知，过原点与圆相切的一条直线为，设另一条切线为， 那么的范围在与之间， 则，化简得，解得或. 可以得到，联立直线与圆的方程得， 解得，所以. 计算，此时； 计算，此时. 所以，解得. 故答案为：. 变式训练8-3 (25-26高二上·江苏扬州中学·)已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆与圆相外切，可得，再根据圆的对称性不妨令，再分，和三种情况讨论即可. 【详解】圆D：的圆心，半径为， 圆C：的圆心，半径为， 因为圆与圆相外切，所以，所以， 且圆与轴交于，不妨记， 因为圆关于轴对称，点与点关于轴对称，点在轴上， 由对称性不妨令， 当时，则，解得， 故 ， 当时，则，解得， 此时， 故， 当时，则，解得， 故 ， 综上所述，所求范围为. 故选：B. 题型九、半圆问题 典例精讲9 (25-26高二上·山东枣庄峄城区·期中)已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先分析曲线和直线，根据直线与圆的位置关系求得的取值范围. 【详解】曲线，两边平方得， 整理为且，这是以为圆心，半径的下半圆， 直线可整理为，直线恒过定点， 由题意，直线与下半圆的交点情况，先求直线与下半圆相切的的值： 圆心到直线的距离等于半径，即，化简得， 平方后，即，解得或， 当时，直线为，与下半圆无交点，舍去， 当时，直线与下半圆相切， 求直线过下半圆端点的的值：下半圆的端点为和， 直线过时，代入得，解得， 直线过时，代入得，解得， 直线与下半圆有两个不同的交点，则实数的取值范围 故答案为：.    题型归纳 1.特征：含有根号的二次代数式。 2.方法：二次代数式一般需要类比圆，含有根号一般类比半圆。 变式训练9-1 (25-26高二上·河北雄安新区·期中)已知点是曲线上的动点，则的取值范围为_____. 【答案】 【分析】由题意可知曲线表示的是一个半圆，可表示为点与点两点间的直线的斜率，数形结合求得的取值范围. 【详解】曲线可化为， 可知曲线表示为以为圆心，1为半径在直线上方的半圆， 又由， 可得表示点与点两点间的直线的斜率， 当直线与曲线相切时，设直线的方程为， 有，解得（舍去）或， 设曲线与直线的一个交点为， 因为点和点两点间的直线的斜率为， 所以，由图形可知的取值范围为， 可得的取值范围为. 故答案为：. 变式训练9-2 (25-26高二上·浙江浙里特色联盟·期中)设函数和.已知当时，恒有，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】由题可得，令，变形得，令，利用数形结合法画出图象，分析图象，列式即可求解. 【详解】因为，即， 变形得， 令，① ，② ①式变形得， 即为以为圆心，2为半径的轴上方的半圆， ②式表示斜率为，在轴上的截距为的平行直线系， 如图所示，当直线，即与圆相切时， 圆心到直线的距离， 解得或， 又因为，即， 所以，此时， 由图可知，要使在上恒成立， 则直线必在半圆的切线上方或重合， 所以，解得. 故答案为：. 变式训练9-3 若直线与曲线交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知有曲线且，讨论、研究直线与对应曲线的关系，再数形结合求线段长. 【详解】由，则，故且， 当，则且，圆心为且在直线上，半径为1， 当，则且，圆心为，半径为1， 由圆心到直线的距离，故直线与圆相切， 如上图示，. 故选：C 题型十、阿氏圆问题 典例精讲10 (25-26高二上·湖北武汉江岸区等2地·期中)已知点，，圆.在圆上求一点，使得的值最小，则点的坐标是________. 【答案】 【分析】根据阿氏圆的知识，设，，，进而待定系数得，所以,进而将问题转化为求的最小值问题即可求解. 【详解】根据题意，设，，， 所以， 整理后得：， 又因为点的轨迹为圆，即圆， 所以，解得，所以. 所以 当且仅当三点共线时取得最小值，即点为图中点时，取得最小值. 此时，直线的方程为：，即， 所以，联立方程得或 即直线与圆的交点坐标为或 由题知，故舍去， 所以点的坐标为. 故答案为： 题型归纳 1.特征：两个变元，系数不一致。 2.方法：系数不一致，需要转化成系数一致。将系数不为1 的式子，通过阿氏圆，设为系数一致，才仝待定系数法，转化为系数为1的式子。 变式训练10-1 (25-26高二上·山西太原·期中)平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，该圆被称为阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是关于定点的阿波罗尼斯圆，其方程为，，且．若点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】令，应用两点距离公式列方程求P轨迹，结合已知圆的方程求出点的坐标，再由，数形结合求目标式最小值. 【详解】设，依题意，， 即， 整理得， 与对照得，解得， 因此； 由，得在圆内， 在圆外， 于是，当且仅当共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 变式训练10-2 (25-26高二上·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期中)已知正方形ABCD的边长为2，点在以为圆心，1为半径的圆上，则的最小值为____________. 【答案】 【分析】建立直角坐标系，取点，探讨满足条件的点的轨迹，再结合已知条件，求出两条线段长度和的最小值作答. 【详解】依题意，以点为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，则，如图， 取点，设，当时，，化简整理得， 即点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 而点在以为圆心，1为半径的圆上，因此， 显然点在圆：外， 则， 当且仅当为线段与圆的交点时取等号， 而， 所以的最小值为. 故答案为：. 变式训练10-3 (25-26高二上·四川嘉祥教育集团·期中)已知实数x，y满足 ， 则式子的最小值为__________． 【答案】 【分析】根据同角三角函数关系式，得，所以点的轨迹为圆.将的最小值问题转化为圆上的动点到两定点间的距离之和的最小值问题，即可求得结果. 【详解】因为实数x，y满足 ，且，所以. 所以点是以点为圆心，以2为半径的圆上的动点. 记点，点，点， 则 如图所示，当三点共线，且点在线段上时，取得最小值， 最小值为. 因此的最小值为. 故答案为：. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．(25-26高二·广东广州第四中学·期末)已知直线与相交于点，点为坐标原点，则直线的斜率的最大值与最小值之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分析两条直线的定点，再求交点的轨迹，最后计算直线的斜率的最值之和. 【详解】直线整理为， 令，得定点； 直线整理为， 令，得定点； 因为，所以，则交点在以为直径的圆上. 的中点为，半径， 圆的方程为. 设直线的方程为，则圆心到直线的距离， 整理得，解得， 所以斜率的最大值为，最小值为，最值和为. 故选： 2．已知直线 与坐标轴分别交于 两点， 为坐标原点，若 ， 则 内切圆半径的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据直线方程求两点的坐标，进而得到的长度，再根据内切圆半径公式得到关于的表达式，最后结合已知条件求出的最大值. 【详解】已知直线 与坐标轴分别交于 两点， 令，得，则，则； 令，得，则，则， 根据距离公式可得， 设 内切圆半径为，则， 又，，即， 又，，即， 令，，当且仅当时等号成立， 又，，则， 将代入中，得， 又在上单调递增，当时，. 故选：A. 3．(25-26高二上·山东济宁曲阜·期中)设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，与交于点，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若光线所经长度，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设关于轴的对称点为，先求出点关于直线的对称点的坐标，再根据光学性质得到四点共线，由求出的坐标，进而求出直线与直线的交点的坐标，即可求出的值. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则得，即. 设关于轴的对称点为，由光学性质可知，四点共线， 所以，， 又因为，所以，解得或， 故或， ①当时， 此时直线的斜率为，直线的方程为， 由，解得，所以直线与直线的交点， 此时，不符合题意，舍去； ②当时， 此时直线的斜率为，直线的方程为， 由，解得，所以直线与直线的交点， 此时. 综上，的值为. 故选：D. 4．(25-26高二上·浙江温州浙南名校联盟·期中)在平面直角坐标系中，点，，动点满足，则的纵坐标的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】设动点，根据两点之间距离列得等式，结合方程有根解得范围. 【详解】设动点，因为，所以， 两边平方得，化简得， 即，将该式看作关于的一元二次方程： ， 因为点存在，所以该关于的方程必有非负实数解， 其判别式， 解得，所以，故的纵坐标的最大值为. 故选：C. 5．(25-26高二上·江苏盐城六校联盟·)已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，设点在点的左下方，推导出点，利用两点间距离公式计算 ，利用距离公式将其转化成两定点与一条定直线上的点的距离之和的最小值问题解决． 【详解】不妨设点在点的左边，因为直线的倾斜角为， 且，所以点的坐标为 ， 则． 记， 则可将理解为直线上一动点到的距离之和， 如图，作出点关于直线的对称点， 则，连接，交直线于点， 则即的最小值， 且， 故的最小值为．    故选：A. 6．(25-26高二上·贵州贵阳第一中学·月考)已知点在直线上，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】将所求目标转化为直线上的点到定点和的距离和，求出点关于直线的对称点为，可得，当三点共线时，最小，从而得出结论. 【详解】， 表示直线上的点到定点和的距离和， 假设点关于直线的对称点为，且交直线于点， 则有，解得， 因此得到， ， 当三点共线时，最小，最小值为. 故答案为：.    7．(25-26高二上·广东佛山南海区南海中学·)已知直线方程为，则过定点的坐标为______；已知的坐标为且满足方程，则直线的斜率取值范围是______ 【答案】 【分析】通过将直线方程整理为关于参数的线性组合，令系数为零构建方程组，求解得定点坐标.先判断含绝对值方程对应的图形为菱形，将斜率转化为两点连线的斜率，计算菱形顶点与定点的连线斜率，结合图形得出取值范围. 【详解】对于直线的方程， 整理为. 令，解得，， 故定点的坐标为. 对于， 当时，方程可化为；当时，方程可化为； 当时，方程可化为；当时，方程可化为. 由此画出方程的图象如下图所示， 其图形为四个顶点分别是、、、的菱形. 设直线的斜率为， 计算各顶点与连线的斜率： 与连线斜率为，与连线斜率为， 与连线斜率为，与连线斜率为. 结合图形可知，斜率取值范围是. 故答案为：； 8．(24-25高二上·湖北部分名校·期中)我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多的代数问题都可以通过转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．已知点在直线：上，点在直线：上，且，结合上述观点，的最小值为________． 【答案】 【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点到点的距离与点到点的距离和，过点A作，垂足为，证明，由 求目标函数最小值. 【详解】由已知表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 所以，    过点A作，垂足为， 因为直线的方程为，，则， 又直线与直线平行，，则， 可得， 则四边形为平行四边形，所以， 可得， 且，当且仅当三点共线时等号成立， 所以当点为线段与直线的交点时， 取最小值，最小值为， 因为过点与直线垂直的直线的方程为， 联立，可得，即点的坐标为， 可得， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于根据两点距离公式将目标函数转化为求线段的距离和问题，进一步结合图形将问题转化为两点之间的距离问题. 9．(25-26高二·专题13章末复习与测试（练）·)动直线与动直线相交于点，则的最小值为______. 【答案】2 【分析】易知动直线与动直线分别过定点，且两直线垂直，所以点的轨迹为以为直径的圆（不含两点).根据的几何意义（斜率），利用点到直线的距离公式可求得其取值范围，从而求得的最小值. 【详解】由，得，所以动直线过定点，不含直线； 由，得，所以动直线过定点，不含直线. 又直线与动直线垂直， 所以点的轨迹是以为直径的圆（不含点）. 因为线段的中点为，， 所以点的轨迹方程为. 令，则，即. 可以看作上的点与点的连线的斜率， 设到直线（不过)的距离为，则， 即，即，解得且. 所以，且，所以，且. 故的最小值为. 10．(25-26高二上·湖南怀化·期末)已知动点在圆O：上，点的坐标满足方程，则点到直线的距离的最小值为______． 【答案】 【分析】由方程的几何意义，确定点在以为中心、边长为的菱形上，结合点在圆上，将问题转化为动点集到定直线距离的最值；再通过圆心到直线的距离与圆半径得出到直线距离的范围，确定所在平行边到直线的最短距离，从而得到最小值. 【详解】如图，点在以为中心的正方形上， 正方形四条边所在直线斜率，边长，圆心到直线的距离， 到直线的距离最小值，到直线的距离最小值． 故答案为： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学科网（北京）股份有限公司 专题03直线与圆中的最值取值范围十类综合题型（压轴题专项训练） 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一 类比两点距离 题型二 类比点到直线距离 题型三 三角函数换元 题型四 类比斜率 题型五 利用基本不等式 题型六 圆中向量问题 题型七 切线夹角问题 题型八 直线与圆的位置关系求参数 题型九 半圆问题 题型十 阿氏圆问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 形式复杂的代数式最值问题，一般需要类比的形式有：两点间距离，点到直线的距离，斜率，二元代数式等。解题注意：一是形似，二转化，三换元，通过形似，转化成对应的形式. 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、类比两点距离 典例精讲1 (25-26高二上·重庆黔江新华中学校等“大一联盟”·期中)已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 题型归纳 1.特征：形似，长得像两点间距离公式. 2.方法：凑成两点间距离公式的形式，利用距离公式求解. 变式训练1-1 已知，是正数，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 变式训练1-2 (25-26高二上·贵州贵阳清华中学·月考)若点在直线，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 变式训练1-3 已知，则的最大值是___________. 题型二、类比点到直线距离 典例精讲2. (25-26高二上·湖北襄阳部分学校·月考)若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，试写出满足条件的一个实数的值：__________________. 题型归纳 1.特征：形似点到直线距离公式，主要是含有绝对值一般可以类比. 2.方法：类比点到直线距离公式求解. 变式训练2-1 (24-25高二上·黑龙江大庆实验中学实验一部·)已知实数，，且满足成立，则的最小值与最大值的和是______________. 变式训练2-2 (23-24高二上·浙江杭州四校·)若关于x的方程；在上有实数根，则的最小值是______. 变式训练2-3 实数，满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 题型三、三角函数换元 典例精讲3 (23-24高一下·广东中山中山纪念中学等五校·)已知点,点是内(包含边界)一动点，请你结合所学向量的知识，求出的最大值为___. 题型归纳 1.将点坐标转化成三角函数的形式； 2.利用三角函数进行消元，转变成三角函数进行求解。 变式训练3-1 (25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末)在平面直角坐标系中，已知是以点为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点）重合，两次的折痕方程分别为和，若点在圆 上，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式训练3-2 (25-26高二上·湖南名校联考联合体·期中)在平面直角坐标系中，已知三动点，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式训练3-3 (24-25高二上·江西南昌雷式学校&进贤县第一中学·)设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是___________. 题型四、类比斜率 典例精讲4 (22-23高二下·上海三校（金山中学、闵行中学、嘉定一中）·)在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是______. 题型归纳 1.特征：形似斜率，一般以分数的形式为主。 2.方法：转化为斜率求解。 变式训练4-1 已知，则的取值范围是________． 变式训练4-2 (25-26高二上·北京理工大学附属中学·期中)已知两点，动点在线段上运动，则的取值范围是__________，的取值范围是__________. 变式训练4-3 (25-26高二上·浙江七彩阳光新高考研究联盟·期中)已知点满足方程，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 题型五、利用基本不等式 典例精讲5 (25-26高二上·贵州贵阳一中等学校·)已知直线恒过定点，点也在直线上，其中、均为正数，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 题型归纳 1.特性：和积问题求最值。 2.方法：考虑基本不等式，常用的基本不等式方法，常数1的应用。 变式训练5-1 过定点的直线与过定点的直线交于点（与、不重合），则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式训练5-2 (25-26高二上·江苏镇江丹阳·)设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值为______． 变式训练5-3 (22-23高二上·四川射洪中学校·期中)设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值____________． 题型六、圆中向量问题 典例精讲6 (25-26高二下·河南沈丘县第一高级中学等校·期中)已知平面内的两个动点连线的中点在圆上，是直线上的一个动点，且，则的最小值为（    ） A．9 B．7 C．-3 D．-1 题型归纳 1.特征：向量与解析几何结合。 2.方法：向量问题，一般需要化简，可以考虑通过圆心转化，或者通过定点转化，或者通过重点转化。 如果几何法比较困难，建系法也需要考虑。 变式训练6-1 (25-26高二上·安徽多校·月考)已知直线：与圆：交于，两点，若点，是圆上的一动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式训练6-2(25-26高二上·广东六校·)已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 变式训练6-3(25-26高二下·湖南郴州·期末)已知，，过点的直线与单位圆交于，两点，为的中点，则的最大值为________． 题型七、切线夹角问题 典例精讲7 (25-26高二上·陕西榆林·期末)已知圆，直线上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型归纳 1.考查切线夹角的习题。 2.方法：通过切线与半径垂直，寻找夹角，一般是圆心部分的夹角，或者切线与圆心连线的夹角。或者通过距离求解。 变式训练7-1(25-26高二上·海南多校·期末)过点作圆的切线，切点为，则的最大值为_____. 变式训练7-2 (25-26高二上·山东名校考试联盟·期中)过点作圆的两条切线，切点分别为，，设，则的最小值为_____. 变式训练7-3 (25-26高二上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)已知圆 ，是圆上的动点，且，点是线段的中点，则当取得最大值时，的值为___________． 题型八、直线与圆的位置关系求参数 典例精讲8 (25-26高二上·河北唐山迁安第四高级中学（迁安第一中学西校区）·月考)实数满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 题型归纳 1.特征：求解一元二次代数式的最值。 2.方法：一般需要将医院二次代数式换元，通过直线与圆的位置关系求解参数。 变式训练8-1(25-26高二上·重庆部分校·月考)已知平面内两点，若在直线上存在点，满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 变式训练8-2 (25-26高二上·辽宁实验中学·期中)已知实数x，y满足，则的取值范围是______. 变式训练8-3 (25-26高二上·江苏扬州中学·)已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 题型九、半圆问题 典例精讲9 (25-26高二上·山东枣庄峄城区·期中)已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是_______． 题型归纳 1.特征：含有根号的二次代数式。 2.方法：二次代数式一般需要类比圆，含有根号一般类比半圆。 变式训练9-1 (25-26高二上·河北雄安新区·期中)已知点是曲线上的动点，则的取值范围为_____. 变式训练9-2 (25-26高二上·浙江浙里特色联盟·期中)设函数和.已知当时，恒有，则实数的取值范围是_____. 变式训练9-3 若直线与曲线交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 题型十、阿氏圆问题 典例精讲10 (25-26高二上·湖北武汉江岸区等2地·期中)已知点，，圆.在圆上求一点，使得的值最小，则点的坐标是________. 题型归纳 1.特征：两个变元，系数不一致。 2.方法：系数不一致，需要转化成系数一致。将系数不为1 的式子，通过阿氏圆，设为系数一致，才仝待定系数法，转化为系数为1的式子。 变式训练10-1 (25-26高二上·山西太原·期中)平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，该圆被称为阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是关于定点的阿波罗尼斯圆，其方程为，，且．若点，则的最小值为______． 变式训练10-2 (25-26高二上·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期中)已知正方形ABCD的边长为2，点在以为圆心，1为半径的圆上，则的最小值为____________. 变式训练10-3 (25-26高二上·四川嘉祥教育集团·期中)已知实数x，y满足 ， 则式子的最小值为__________． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．(25-26高二·广东广州第四中学·期末)已知直线与相交于点，点为坐标原点，则直线的斜率的最大值与最小值之和为（   ） A． B． C． D． 2．已知直线 与坐标轴分别交于 两点， 为坐标原点，若 ， 则 内切圆半径的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．(25-26高二上·山东济宁曲阜·期中)设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，与交于点，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若光线所经长度，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．(25-26高二上·浙江温州浙南名校联盟·期中)在平面直角坐标系中，点，，动点满足，则的纵坐标的最大值为（   ） A． B． C． D．1 5．(25-26高二上·江苏盐城六校联盟·)已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．(25-26高二上·贵州贵阳第一中学·月考)已知点在直线上，则的最小值为__________. 7．(25-26高二上·广东佛山南海区南海中学·)已知直线方程为，则过定点的坐标为______；已知的坐标为且满足方程，则直线的斜率取值范围是______ 8．(24-25高二上·湖北部分名校·期中)我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多的代数问题都可以通过转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．已知点在直线：上，点在直线：上，且，结合上述观点，的最小值为________． 9．(25-26高二·专题13章末复习与测试（练）·)动直线与动直线相交于点，则的最小值为______. 10．(25-26高二上·湖南怀化·期末)已知动点在圆O：上，点的坐标满足方程，则点到直线的距离的最小值为______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $