2.3.3 直线与圆的位置关系（七大题型）专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

2.3.3 直线与圆的位置关系 题型一 定点到圆上点的最值（范围） 1．已知且，则的最大值为（   ） A．5 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】先由（圆的方程），用三角换元将表示为三角函数形式，再代入，借助辅助角公式将其化简为单一三角函数的形式；最后借助三角函数的有界性（正弦函数最大值为1），求出表达式的最大值. 【详解】，是圆心在原点、半径的圆的方程， 设，将、代入， 得， 利用公式, 则， 因为的最大值为1， 所以的最大值为. 故选：B. 2．（多选）已知实数x，y满足曲线C的方程，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．曲线C上恒有四个点到直线的距离等于 【答案】AD 【分析】令，，，根据其几何意义求解判断ABC，先求出直线所过的定点，然后求出圆上的点到直线距离的最大值，即可判断D. 【详解】根据题意，方程，即， 表示圆心为，半径为的圆， 对于A，设，即， 直线与圆有公共点， 所以，解得 则的最大值为，故A正确； 对于B，设，其几何意义为圆上的点到原点的距离， 所以的最大值为， 故的最大值为，故B错误； 对于C，设，则，直线与圆有公共点， 则，解得，即的最大值为，故C错误； 对于D，直线化为， 令，解得， 所以直线过圆心， 则圆上的点到直线距离的最大值为，且直线与圆相交， 因为， 所以曲线C上恒有四个点到直线的距离等于，故D正确. 故选：AD. 3．已知动点满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】画出点对应轨迹的图象，结合两点间的距离公式确定正确答案. 【详解】依题意，动点满足， 即：当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即. 由此画出点对应的轨迹如下图所示， 表示点与点两点间距离的平方， 最大值为. 故答案为：    4．已知点． (1)求的外接圆的标准方程； (2)已知为圆上的动点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的一般方程列方程组计算求解，再转化为圆的标准方程即可得到答案； （2）设圆的参数方程，利用辅助角公式进行化简，得到函数，求函数的最大值和最小值即可求解. 【详解】（1）设的外接圆的标准方程为， 则，解得，即 则的外接圆的标准方程为. （2）因为为圆上的动点，设（其中为参数，） 则， 所以当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为， 所以的取值范围为. 题型二 圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 5．过直线上一动点作圆的切线，切点为，则线段的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据题意可知圆心和半径，利用勾股定理结合圆的性质分析求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 可知直线与圆相离， 由题意可知：， 当且仅当与直线垂直时，等号成立， 所以线段的最小值为5. 故选：B. 6．（多选）已知直线与圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当直线与圆相切时，切线方程是 C．当时，圆上一点到直线上一点距离的最小值为 D．圆上的一点到直线的最大距离是 【答案】ABD 【分析】根据直线过定点求法求出直线所过的定点即可判断A；由直线与圆相切结合点到直线距离公式列等量关系求出a即可得解判断B；由圆心到直线的距离减去半径即可得解判断C；由直线所过的定点到圆心的距离，加半径即可得解判断D. 【详解】直线，即， 令，所以直线恒过定点，故A正确； 圆的圆心为，半径为， 当直线与圆相切时，有， 所以直线即，故B正确； 当时，直线，此时圆心到直线距离为， 所以圆上一点到直线上一点距离的最小值为，故C错误； 由A得直线恒过定点，所以圆上的一点到直线的最大距离是，故D正确. 故选：ABD 7．已知圆O：，直线l：，点，点P在圆O上运动，点Q满足（O为坐标原点），则点Q到直线l距离的最大值为 . 【答案】/8.8 【分析】设，由得，进而得，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】设，由有， 所以，又点在圆上，所以， 即，所以点轨迹是以为半径，圆心为的圆， 由圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最大值为：， 故答案为：. 8．已知圆C经过三点. (1)求圆C的标准方程； (2)求过点且被圆C截得的弦长为2的直线l的方程. (3)过直线l：上任意一点P向圆C引切线，切点为Q，求的最小值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法，结合配方法进行求解即可； （2）根据圆的性质，结合点到直线距离公式进行求解即可； （3）根据圆的切线性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】（1）设圆C的方程为， 因为圆C经过三点，所以有 （2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 把，代入中，得，或， 因为，所以符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 由可得，圆心，半径为， 圆心到直线的距离为， 当弦长为2时，则有， 所以直线l的方程或； （3）连接，根据圆的切线性质可知， 所以由勾股定理可得：， 要想最小，只需最小，当时，最小， 根据点到直线距离公式可得：的最小值为， 所以的最小值为. 题型三 过圆内定点的弦长最值（范围） 9．已知圆，直线与圆相交，则直线被圆所截得的最短弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到圆心和半径，分析得到直线过定点，再根据与圆心连线与直线垂直时，l被圆C截得的弦最短求解即可． 【详解】圆，即， 故圆心为，半径为， 直线，即， 当，即，此时方程恒成立，故直线过定点， 当与圆心连线与直线l垂直时，l被圆C截得的弦最短， 此时圆心到直线的距离， 最短弦长为． 故选：A 10．（多选）已知圆，直线，则下列说法正确的是（   ） A．当时，被圆截得的弦长为 B．恒过点 C．当被圆截得的弦长最大时，l的斜率为1 D．被圆截得的弦长的最小值为 【答案】BD 【分析】根据直线与圆相交弦长公式求解圆心到直线的距离从而得弦长，即可判断A；根据含参直线确定定点坐标即可判断B；根据相交弦长的公式可得直线过圆心时截得的弦长最大，从而可得直线方程从而得斜率即可判断C；由几何性质，当当时，可得弦长最小值，即可判断D. 【详解】对于A选项，圆的圆心为，半径为，当时，直线的方程为， 则圆心到直线的距离为，此时，被圆截得的弦长为，故A错误； 对于B选项，将直线的方程可化为， 由，解得因此，恒过点，故B正确； 对于C选项，当被圆截得的弦长最大时，直线过圆心， 则，解得， 此时，直线的方程为，即，即直线的斜率为，故C错误； 对于D选项，记点，则， 当时，设直线的斜率为，此时， 即当时，圆心到直线距离取最大值，被圆截得的弦长取最小值， 且因为，弦长的最小值为，故D正确． 故选：BD． 11．已知直线l过点，则被圆所截得的弦中，最短弦所在直线的一般方程是 ． 【答案】 【分析】根据圆的几何性质，可得弦最短时的斜率，代入点斜式方程，化简整理，即可得答案. 【详解】直线过点     圆的圆心为，半径为， 连接点与圆心可得直线m， 所以直线m的斜率， 根据圆的性质可得，最短弦所在直线与直线m垂直， 所以最短弦所在直线的斜率， 所以最短弦所在直线的方程为，整理得 故答案为：. 12．已知，动点满足到两点的距离之比为，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线交于两点，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求P的轨迹方程，首先设出点，然后根据两点间距离公式，求得方程； （2）先求出直线的定点坐标，然后根据垂径定理求得的距离，又因为直线过定点，所以最大取到直径，最小就是垂径定理求得的距离，故可得的取值范围. 【详解】（1）设，， 由题意可得，两端同时平方得， 故，化简得. 故曲线的方程为：. （2）直线：，即， 令，解得， 故直线过定点. 代入点到圆的方程：， 故点在圆的内部. 设圆心到直线的距离为，又， 所以. 又因为，， 所以,解得. 故的取值范围为：. 题型四 圆的弧长、面积、圆心角的计算 13．直线截圆得到的劣弧所对的圆心角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离，由垂径定理及勾股定理求出直线被圆截得的弦长， 即可根据等边三角形求解. 【详解】过作，垂足为点， 由圆的方程，得到圆心的坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 直线被圆截得的弦， ， ， 故选：D． 14．（多选）已知曲线的方程是，则下列关于曲线的说法正确的是（    ） A．曲线与轴和轴共有4个公共点 B．曲线总长度为 C．点、在曲线上，则的最大值为 D．曲线与坐标轴围成的图形面积为 【答案】BCD 【分析】根据曲线C的方程可得且，故选项A错误；分类讨论，画出曲线C的图象，可计算曲线的总长度和面积，判断出BD正确；根据图象的对称，当PQ经过原点时，得到最大值，可判断选项C正确. 【详解】根据题意，曲线的方程是，必有且，故选项A错误； 当，时，方程为， 当，时，方程为， 当，时，方程为， 当，时，方程为，作出图象如图所示， 设的圆心为，则可求得， 易知，， 所以曲线的总长度为， 与坐标轴围成的面积为，故BD正确； 当点P、Q与圆弧所在的圆心共线时，取得最大值，此时，故选项C正确. 故选：BCD.    15．已知圆C的圆心在直线上，点（3，0）与（1，－2）都在圆C上，则圆C的面积为 ． 【答案】 【分析】首先设圆的标准方程，根据条件列式求圆心和半径，即可求解. 【详解】设圆的方程为， 所以，解得：， ，， 所以圆的面积. 故答案为： 16．已知圆的圆心在直线上，且过点，. (1)求圆的方程； (2)已知点是圆上的任意一点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设圆的圆心为，利用求出参数a即可求解； （2）先由题意依次求出和点到直线的距离的最大值即可求解. 【详解】（1）由题可设圆的圆心为， 则，即， 所以圆的圆心为，半径为， 所以圆C的方程为. （2）由题，， 所以直线，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最大值为， 故面积的最大值为. 题型五 轨迹问题——圆 17．若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出点坐标，根据条件列出等式，可求出阿氏圆方程，得到半径，从而求出面积. 【详解】设，因为定点，， ，化简得：，即. 点的轨迹为圆，半径为，所以圆面积为：. 故选：B 18．（多选）已知，，，动点满足、是直线上一点，记点的轨迹为曲线，过点作的两条切线、切点分别为，，则（   ） A．的方程为 B．的最小值为 C．的最小值为2 D．直线恒过定点 【答案】ABD 【分析】根据题目条件逐一分析判断选项即可. 【详解】对于A选项，已知， 即，整理得，A选项正确； 对于B选项，在直线上， 圆心到直线的距离，圆的半径为2， 所以的最小值为，即B选项正确； 对于C选项，设，切点弦的方程： 圆心到的距离：， 弦长：， ， ， 令，则， ， ，最小值为，C选项错误； 对于D选项，直线即， 对任意成立⇒过定点满足：， 解得定点，D选项正确. 故选：ABD 19．在平面直角坐标系中，圆，若曲线上有且仅有两个点，过点作圆的两条切线，，为切点，满足，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由所给条件可转化为曲线与圆有且仅有两个交点即可，利用圆心到射线的距离及数形结合即可求解. 【详解】连接，    因为，所以， 所以， 即的轨迹方程为， 又曲线恒过点， 当时，曲线为上图所示折线， 由题意，此时折线与圆有且仅有两个交点即可， 所以圆心到射线的距离， 且圆心到射线的距离， 化简可得且， 解不等式可得且，所以； 同理，当时，折线开口向下，与圆无交点，不符合题意； 当时，曲线为，与圆无交点，不符合题意. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 20． 已知圆过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆C上运动，求线段AB中点P的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得线段的垂直平分线的方程，通过联立垂直平分线的方程和直线的方程求得圆心的坐标，进而求得半径，从而求得圆的标准方程. （2）设出点的坐标，求得点的坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程. 【详解】（1）线段的中点的坐标为， 直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即 由，解得，所以， , 所以圆的标准方程为. （2）设，，由于是线段的中点，已知， 则，即，所以， 将点的坐标代入圆的方程得， 整理得点的轨迹方程为：（x-）2+（y-3）2=1. 题型六 过圆上一点的圆的切线方程 21．过圆上的点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，点在圆上，且，由此可得出所求切线的方程 【详解】圆的圆心为，因为点在圆上，且， 易知所求切线与轴垂直，故所求切线的方程为，即. 故选：D. 22．（多选）已知圆O：，点是圆O上的点，直线l：，则（    ） A．圆O上恰有3个点到直线l的距离等于1 B．直线l与圆O相交弦长 C．过点P的圆O的切线方程是 D．过点P向圆M：引切线，A为切点．则最小值为 【答案】ABD 【分析】根据点到直线的距离判断弦长及圆上的点到直线的距离即可判断AB，根据圆上切线特点即可判断C，再根据切线长的计算公式可得最值，即可判断D. 【详解】A选项：如图所示，由已知圆，则圆心，半径， 圆心到直线的距离， 则，，所以圆上恰有个点到直线的距离等于，A选项正确； B选项：由A知弦长为，B选项正确； C选项：当直线的斜率存在且不为0时，此时斜率为， 则切线斜率为，此时切线方程为， 即，即， 当直线的斜率不存在或为0时，切线方程适合上式， 故过点P的圆O的切线方程是，故C错误； D选项：由圆可知圆心，半径， 由切线长可知， 所以当取得最小值时，取最小值， 又，即的最小值为， 当三点共线，且P在O，M之间时取等号， 所以的最小值为，D选项正确； 故选：ABD. 23．过点的直线与圆相切，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】首先可得点在圆上，求出，即可求出直线的斜率，再由点斜式求出切线方程. 【详解】圆的圆心为， 又，所以点在圆上， 又由直线的斜率， 所以直线的斜率为2，则直线的方程为，即． 故答案为：． 24．已知圆经过点，，． (1)求圆的方程； (2)求经过点的圆的切线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法将三个点的坐标代入圆的一般方程，解方程组即可； （2）根据圆的切线性质求出切线的斜率，点斜式求得直线方程. 【详解】（1）设圆的方程为， 将三点坐标代入得，， 即，解得， 所以圆的方程为，即. （2）由（1），可得圆心，则， 所以经过点的圆的切线斜率， 所以经过点的圆的切线方程为，即. 题型七 过圆外一点的圆的切线方程 25．过坐标原点，且与圆相切的直线方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】求出圆的圆心、半径，再利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 由，即原点在圆外，而圆心到轴距离， 因此过原点与此圆相切的直线斜率存在，设切线方程为， 由，解得或，则或， 所以所求切线方程或. 故选：A 26．（多选）已知直线l过点，且与圆相切，则直线l的方程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先分析直线斜率不存在情况，再设点斜式，根据圆心到直线的距离等于半径得到方程，解出即可. 【详解】由题知圆的圆心为，半径为2． ①当直线的斜率不存在时，直线与圆相切，满足题意； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则，解得， 所以直线的方程为． 综上直线的方程为或． 故选：AC． 27．已知点．若点关于的对称点为点，过作圆的切线，则切线的方程是 ． 【答案】或 【分析】求得圆心与半径，由题意求得对称点，分斜率存在与不存在两种情况，设出直线的方程，利用切线的性质及点到直线的距离公式，可得答案． 【详解】圆，即， 则圆心，半径， 设点关于的对称点为， 则线段的中点，直线的斜率， 可得，解得，则点， 若直线的斜率不存在，即直线的方程为，此时直线与圆C相切，符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 故圆心到直线的距离，解得， 此时直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或． 故答案为：或． 28．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点，且与圆相切，求直线的方程； 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)利用弦的中垂线必过圆心，去求解圆心坐标，然后可求圆的标准方程； (2)利用斜率是否存在来分析直线方程，再由圆心到直线的距离公式可求解切线方程. 【详解】（1）经过点和的中垂线方程为：， 再与联立解得:, 此时可知该圆的圆心坐标为， 再由，可知该圆的半径为， 所以圆的标准方程为； （2）当过点的直线的斜率不存在时，即直线方程为， 此时圆心到直线的距离等于半径，即该直线与圆相切， 当过点的直线的斜率存在时，可设， 由直线与圆相切可知：，解得， 所以直线方程为， 综上可得：直线的方程为或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.3 直线与圆的位置关系 题型一 定点到圆上点的最值（范围） 1．已知且，则的最大值为（   ） A．5 B． C．7 D． 2．（多选）已知实数x，y满足曲线C的方程，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．曲线C上恒有四个点到直线的距离等于 3．已知动点满足，则的最大值为 ． 4．已知点． (1)求的外接圆的标准方程； (2)已知为圆上的动点，求的取值范围． 题型二 圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 5．过直线上一动点作圆的切线，切点为，则线段的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 6．（多选）已知直线与圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当直线与圆相切时，切线方程是 C．当时，圆上一点到直线上一点距离的最小值为 D．圆上的一点到直线的最大距离是 7．已知圆O：，直线l：，点，点P在圆O上运动，点Q满足（O为坐标原点），则点Q到直线l距离的最大值为 . 8．已知圆C经过三点. (1)求圆C的标准方程； (2)求过点且被圆C截得的弦长为2的直线l的方程. (3)过直线l：上任意一点P向圆C引切线，切点为Q，求的最小值. 题型三 过圆内定点的弦长最值（范围） 9．已知圆，直线与圆相交，则直线被圆所截得的最短弦长为（    ） A． B． C． D． 10．（多选）已知圆，直线，则下列说法正确的是（   ） A．当时，被圆截得的弦长为 B．恒过点 C．当被圆截得的弦长最大时，l的斜率为1 D．被圆截得的弦长的最小值为 11．已知直线l过点，则被圆所截得的弦中，最短弦所在直线的一般方程是 ． 12．已知，动点满足到两点的距离之比为，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线交于两点，求的取值范围. 题型四 圆的弧长、面积、圆心角的计算 13．直线截圆得到的劣弧所对的圆心角的大小为（    ） A． B． C． D． 14．（多选）已知曲线的方程是，则下列关于曲线的说法正确的是（    ） A．曲线与轴和轴共有4个公共点 B．曲线总长度为 C．点、在曲线上，则的最大值为 D．曲线与坐标轴围成的图形面积为 15．已知圆C的圆心在直线上，点（3，0）与（1，－2）都在圆C上，则圆C的面积为 ． 16．已知圆的圆心在直线上，且过点，. (1)求圆的方程； (2)已知点是圆上的任意一点，求面积的最大值. 题型五 轨迹问题——圆 17．若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（   ） A． B． C． D． 18．（多选）已知，，，动点满足、是直线上一点，记点的轨迹为曲线，过点作的两条切线、切点分别为，，则（   ） A．的方程为 B．的最小值为 C．的最小值为2 D．直线恒过定点 19．在平面直角坐标系中，圆，若曲线上有且仅有两个点，过点作圆的两条切线，，为切点，满足，则实数的取值范围是 . 20． 已知圆过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆C上运动，求线段AB中点P的轨迹方程. 题型六 过圆上一点的圆的切线方程 21．过圆上的点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 22．（多选）已知圆O：，点是圆O上的点，直线l：，则（    ） A．圆O上恰有3个点到直线l的距离等于1 B．直线l与圆O相交弦长 C．过点P的圆O的切线方程是 D．过点P向圆M：引切线，A为切点．则最小值为 23．过点的直线与圆相切，则直线的方程为 . 24．已知圆经过点，，． (1)求圆的方程； (2)求经过点的圆的切线方程． 题型七 过圆外一点的圆的切线方程 25．过坐标原点，且与圆相切的直线方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 26．（多选）已知直线l过点，且与圆相切，则直线l的方程可能为（   ） A． B． C． D． 27．已知点．若点关于的对称点为点，过作圆的切线，则切线的方程是 ． 28．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点，且与圆相切，求直线的方程； 1 学科网（北京）股份有限公司 $