周周练06 3.1-3.2勾股定理的探究、勾股定理的逆定理（数学新教材苏科版八年级上册）

**基本信息** 聚焦勾股定理及逆定理，融合赵爽弦图等文化情境与分层设计，强化几何直观、推理意识与创新应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|赵爽弦图面积计算、直角三角形边长求解、勾股数判断|第1题以赵爽弦图为载体，渗透数学文化；第9题网格构图，培养空间观念| |填空题|8/24|正方形面积与勾股定理、网格角计算、四边形面积|第13题网格中求∠ABC度数，发展几何直观；第18题动点最值问题，提升创新意识| |解答题|6/46|勾股定理应用、勾股数探究、动点综合题|第22题探究勾股数规律，强化推理能力；第24题动点情境下等腰三角形存在性问题，培养应用意识|

2026-2027学年八年级上学期数学周周测06 3.1-3.2勾股定理的探究、勾股定理的逆定理 时间：45分钟 分值：60分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（　　） A．64 B．81 C．169 D．225 【答案】C 【详解】解：设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，则a＝12， 又∵小正方形的面积为（a﹣b）2，则（a﹣b）2＝49， 解得b＝5， ∴大正方形的面积为a2+b2＝122+52＝169， 故选：C． 2．一直角三角形的两直角边长为9和12，则斜边长为（　　） A．13 B．15 C．16 D．20 【答案】B 【详解】解：∵一直角三角形的两直角边长为9和12， ∴斜边长为15， 故选：B． 3．如图，网格中每个小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，则AC的长为（　　） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】解：∵∠CBA＝90°， ∴AB＝2，BC＝1， ∴． 故选：C． 4．下列各组线段中，可以构成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．4，5，6 C．1，，2 D．2，，3 【答案】C 【详解】解：根据三角形三边关系和勾股定理的逆定理逐项分析判断如下： A选项中1+2＝3，不能构成三角形，故该选项不符合题意； B选项中42+52＝16+25＝41，62＝36，41≠36，不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； C选项中，22＝4，4＝4，能构成直角三角形，故该选项符合题意； D选项中，32＝9，10≠9，不能构成直角三角形，故该选项不符合题意． 故选：C． 5．△ABC三边分别为a、b、c，在下列条件下，△ABC不是直角三角形的是（　　） A．a＝8，b＝14，c＝17 B．a2+b2＝c2 C．a＝3，b＝4，c＝5 D．a：b：＝5：12：13 【答案】A 【详解】解：A、∵a＝8，b＝14，c＝17， ∴a2+b2＝82+142＝64+196＝260，c2＝172＝289， ∵a2+b2≠c2， ∴△ABC不是直角三角形，符合题意； B、∵a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； C、∵a＝3，b＝4，c＝5， ∴a2+b2＝9+16＝25＝52＝c2， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； D、设a＝5k，b＝12k，c＝13k（k＞0）， ∴a2+b2＝（5k）2+（12k）2＝25k2+144k2＝169k2＝（13k）2＝c2， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意． 故选：A． 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝18，BC＝24，D为BC上一点，将△ACD沿AD折叠，使点C恰好落在AB边上的点E处，则折痕AD的长是（　　） A．15 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在Rt△ABC中，AB30， 由折叠的性质可得AC＝AE＝18，DE＝DC， ∴BE＝12， 在Rt△BDE中，BD2＝BE2+DE2， ∴（24﹣DE）2＝122+DE2，解得DE＝9， 在Rt△AED中，AD9， 故选：D． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，D为BA延长线上一点，，，BC的长是（　　） A．5 B． C． D．4 【答案】D 【详解】解：由题意，过C作CH⊥AB于H， 设AC＝x，则BC＝2x， ∴ABx，则ADABx． ∴根据面积法可得，CHx． ∴AHx． ∴DH＝AD+AHx． ∵CD，DH2+CH2＝CD2， ∴（x）2+（x）2＝（）2， ∴x＝2． ∴BC＝2x＝4． 故选：D． 8．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足4（S1+S2）＝S3，则下列说法正确的是（　　） A．AB＝AC B．2AB＝AC C．2AB＝BC D．2AC＝BC 【答案】A 【详解】解：由勾股定理得：AB2+AC2＝BC2， ∴S1+S2π（AB）2π（AC）2π（BC）2+S△ABCπ（BC2+AC2﹣AB2）+S△ABC＝S△ABCAB•AC， ∵4（S1+S2）＝S3， ∴4AB•AC＝BC2＝AB2+AC2， 即2AB•AC＝AB2+AC2， ∴（AB﹣AC）2＝0， ∴AB＝AC， 故选：A． 9．如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以AB为一边作直角三角形ABC，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是（　　） A．C1 B．C2 C．C3 D．C4 【答案】D 【详解】解：AB2＝10，5，5， ∴AB2， ∴△ABC1是直角三角形， ∵10，AB2＝10，20， ∴AB2， ∴△ABC2是直角三角形， ∵AB2＝10，20，10， ∴AB2， ∴△ABC3是直角三角形， ∵16，18，AB2＝10， ∴AB2， ∴△ABC4不是直角三角形， 所以△ABC2，△ABC3，△ABC1是直角三角形，但△ABC4不是直角三角形， 故选：D． 10．勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以Rt△ABC各边为边向外作正方形ABFG、正方形ACHI、正方形BCDE．连接GI、EF、DH，若，DH＝4，则这个六边形EDHIGF的面积为（　　） A．28 B．26 C．32 D．30 【答案】A 【详解】解：设AC＝a，AB＝b，BC＝c，过E作作FB的垂线，垂足为M，过D作HC的垂线，垂足为N， ∵∠EBM+∠CBM＝90°，∠ABC+∠CBM＝90°， ∴∠EBM＝∠ABC， 在△BME与△BAC中， ， ∴△BEM≌△BCA（AAS）， ∴BM＝AB＝b，EM＝AC＝a， 同理可证△CND≌△CAB， ∴EM＝AC＝a，ND＝AB＝b， 在△EFM中，FM2+EM2＝EF2，即（2b）2+a2＝34， 在△HND中，HN2+ND2＝HD2，即（2a）2+b2＝16， ∴a，b，c． ∴S六边形EDHIGF＝S正方形BEDC+S正方形ABFG+S正方形ACHI+S△GAI+S△ABC+S△FBE+S△HCD ＝c2+b2+a2+2ab＝28． 故选：A． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，三个正方形中的数字和字母分别代表正方形的面积，则字母B所代表的正方形的面积是　144　 ． 【答案】144． 【详解】解：在Rt△DEF中，DF2+EF2＝DE2， ∴EF2＝DE2﹣DF2＝225﹣81＝144， ∴字母B所代表的正方形的面积为144， 故答案为：144． 12．如图，正方形ABCD边AB，CD向外作Rt△ABE，Rt△CDF，∠AEB＝∠DCF＝90°，以AE，EB，CF，DF为边向外作正方形，面积分别为6，2，s，11，则s的值为 　3　 ． 【答案】3． 【详解】解：由正方形的面积公式得：AE2＝6，BE2＝2，DF2＝11，s＝CF2， 在△ABE中，∠AEB＝90°， 由勾股定理得：AB2＝AE2+BE2， ∴AB2＝6+2＝8， ∵四边形ABCD是正方形， ∴CD＝AB， ∴CD2＝AB2＝8， 在△DCF中，∠DCF＝90°， 由勾股定理得：DF2＝CD2+CF2， ∴11＝8+CF2， ∴CF2＝3， ∴s＝CF2＝3． 故答案为：3． 13．如图所示的网格是正方形网格，则∠ABC＝　45　 °（点A，B，C是网格线交点）． 【答案】45． 【详解】解：取格点D，连接AD，则AD2＝5，AB2＝5，BD2＝10， ∴AD＝AB，AD2+AB2＝BD2， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°． 故答案为：45． 14．如图，在“4×4”的正方形网格中，∠1+∠2的度数为 　45度　 ． 【答案】45°． 【详解】解：将∠2向下平移1个单位格得到AB，如图，连接AC， ∴∠2＝∠ABE， ∵AC2＝AD2+CD2＝22+12＝5，AB2＝BE2+AE2＝22+12＝5，BC2＝32+12＝10， ∴AC2+AB2＝BC2， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°， ∴∠ABE+∠1＝45°， ∴∠1+∠2＝45°， 故答案为：45°． 15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S2+S1﹣S3＝36，则阴影部分的面积为 　9　 ． 【答案】9． 【详解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+AB2＝BC2， 即S1+S3＝S2， ∵S2+S1﹣S3＝36， ∴S1＝18， 由图形可知，阴影部分的面积S1， ∴阴影部分的面积18＝9， 故答案为：9． 16．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝AB＝5，BC＝7，CD＝1，四边形ABCD的面积为 　16　 ． 【答案】16 【详解】解：连接BD，如图所示： 在△ABD中，∠A＝90°，AD＝AB＝5， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴S△ABDAB•AE5×5＝12.5， 由勾股定理得：BD2＝AB2+AD2＝52+52＝50， 在△BCD中，BC＝7，CD＝1， ∴BC2+CD2＝72+12＝50， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，即∠C＝90°， ∴S△BCDBC•CD7×1＝3.5， ∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝12.5+3.5＝16． 故答案为：16． 三、解答题：本题共2小题,每题6分，共12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，在BC上取一点E，使得AE＝2BE，AE⊥AD，连接DE，且DE为∠AEC的平分线，若∠C＝75°，CD＝10，求AE的长．（结果保留根号） 【详解】解：过点C作CF⊥DE于F． ∵AE＝2BE， 由三角函数可知，， ∴∠BAE＝30°， ∴∠AEB＝60°， ∴∠AEC＝180°﹣60°＝120°， ∵ED为∠AEC的平分线， ∴∠AED＝∠CED＝60°， ∵∠ECD＝75°， ∴∠CDE＝45°． 由三角函数可得，， ∴， ∴ 由三角函数可得，． 18．（6分）能构成直角三角形三边长的三个正整数a，b，c称为勾股数，a，b，c满足a2+b2＝c2，世界上第一次给出勾股数公式的是我国古代数学著作《九章算术》．观察下列勾股数： 第一类：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）． 第二类：（4，3，5），（6，8，10），（8，15，17），（10，24，26）． （1）任写一组勾股数满足第一类形式为　（11，60，61）（答案不唯一）　 ； （2）假设第二类每组勾股数第一个数记为m，用含有m式子表示这组勾股数　　 ，并证明你的猜想． 【详解】解：（1）第一类：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）． 第二类：（4，3，5），（6，8，10），（8，15，17），（10，24，26）． 取第一个数为11，第二个数为60，第三个数为61， ∵112+602＝121+3600＝3721，612＝3721， ∴112+602＝612， 故一组勾股数满足第一类形式为（11，60，61）（答案不唯一）； （2）第二类每组勾股数的第一个数为偶数，记为m，则． 证明：， ， ∴， ∵m为偶数，且m≥4，故和为正整数， ∴是一组勾股数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期数学周周测06 3.1-3.2勾股定理的探究、勾股定理的逆定理 时间：45分钟 分值：60分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（　　） A．64 B．81 C．169 D．225 2．一直角三角形的两直角边长为9和12，则斜边长为（　　） A．13 B．15 C．16 D．20 3．如图，网格中每个小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，则AC的长为（　　） A． B． C． D．3 4．下列各组线段中，可以构成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．4，5，6 C．1，，2 D．2，，3 5．△ABC三边分别为a、b、c，在下列条件下，△ABC不是直角三角形的是（　　） A．a＝8，b＝14，c＝17 B．a2+b2＝c2 C．a＝3，b＝4，c＝5 D．a：b：＝5：12：13 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝18，BC＝24，D为BC上一点，将△ACD沿AD折叠，使点C恰好落在AB边上的点E处，则折痕AD的长是（　　） A．15 B． C． D． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，D为BA延长线上一点，，，BC的长是（　　） A．5 B． C． D．4 8．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足4（S1+S2）＝S3，则下列说法正确的是（　　） A．AB＝AC B．2AB＝AC C．2AB＝BC D．2AC＝BC 9．如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以AB为一边作直角三角形ABC，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是（　　） A．C1 B．C2 C．C3 D．C4 10．勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以Rt△ABC各边为边向外作正方形ABFG、正方形ACHI、正方形BCDE．连接GI、EF、DH，若，DH＝4，则这个六边形EDHIGF的面积为（　　） A．28 B．26 C．32 D．30 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，三个正方形中的数字和字母分别代表正方形的面积，则字母B所代表的正方形的面积是　 　 ． 12．如图，正方形ABCD边AB，CD向外作Rt△ABE，Rt△CDF，∠AEB＝∠DCF＝90°，以AE，EB，CF，DF为边向外作正方形，面积分别为6，2，s，11，则s的值为 　 　 ． 13．如图所示的网格是正方形网格，则∠ABC＝　 　 °（点A，B，C是网格线交点）． 14．如图，在“4×4”的正方形网格中，∠1+∠2的度数为 　 　 ． 15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S2+S1﹣S3＝36，则阴影部分的面积为 　 　 ． 16．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝AB＝5，BC＝7，CD＝1，四边形ABCD的面积为 　 　 ． 17．如图，四边形ABCD中，AB＝6cm，AC⊥BC于点C，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝60°，则BD的长为 　 　 cm． 18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，P为Rt△ABC内一点，连接AP，BP，CP，则PA+PB+PC的最小值是　 　 ． 三、解答题：本题共2小题,每题6分，共12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，在BC上取一点E，使得AE＝2BE，AE⊥AD，连接DE，且DE为∠AEC的平分线，若∠C＝75°，CD＝10，求AE的长．（结果保留根号） 18．（6分）能构成直角三角形三边长的三个正整数a，b，c称为勾股数，a，b，c满足a2+b2＝c2，世界上第一次给出勾股数公式的是我国古代数学著作《九章算术》．观察下列勾股数： 第一类：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）． 第二类：（4，3，5），（6，8，10），（8，15，17），（10，24，26）． （1）任写一组勾股数满足第一类形式为　 　 ； （2）假设第二类每组勾股数第一个数记为m，用含有m式子表示这组勾股数　 　 ，并证明你的猜想． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期数学周周测06 3.1-3.2勾股定理的探究、勾股定理的逆定理 时间：100分钟 分值：100分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（　　） A．64 B．81 C．169 D．225 【答案】C 【详解】解：设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，则a＝12， 又∵小正方形的面积为（a﹣b）2，则（a﹣b）2＝49， 解得b＝5， ∴大正方形的面积为a2+b2＝122+52＝169， 故选：C． 2．一直角三角形的两直角边长为9和12，则斜边长为（　　） A．13 B．15 C．16 D．20 【答案】B 【详解】解：∵一直角三角形的两直角边长为9和12， ∴斜边长为15， 故选：B． 3．如图，网格中每个小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，则AC的长为（　　） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】解：∵∠CBA＝90°， ∴AB＝2，BC＝1， ∴． 故选：C． 4．下列各组线段中，可以构成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．4，5，6 C．1，，2 D．2，，3 【答案】C 【详解】解：根据三角形三边关系和勾股定理的逆定理逐项分析判断如下： A选项中1+2＝3，不能构成三角形，故该选项不符合题意； B选项中42+52＝16+25＝41，62＝36，41≠36，不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； C选项中，22＝4，4＝4，能构成直角三角形，故该选项符合题意； D选项中，32＝9，10≠9，不能构成直角三角形，故该选项不符合题意． 故选：C． 5．△ABC三边分别为a、b、c，在下列条件下，△ABC不是直角三角形的是（　　） A．a＝8，b＝14，c＝17 B．a2+b2＝c2 C．a＝3，b＝4，c＝5 D．a：b：＝5：12：13 【答案】A 【详解】解：A、∵a＝8，b＝14，c＝17， ∴a2+b2＝82+142＝64+196＝260，c2＝172＝289， ∵a2+b2≠c2， ∴△ABC不是直角三角形，符合题意； B、∵a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； C、∵a＝3，b＝4，c＝5， ∴a2+b2＝9+16＝25＝52＝c2， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； D、设a＝5k，b＝12k，c＝13k（k＞0）， ∴a2+b2＝（5k）2+（12k）2＝25k2+144k2＝169k2＝（13k）2＝c2， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意． 故选：A． 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝18，BC＝24，D为BC上一点，将△ACD沿AD折叠，使点C恰好落在AB边上的点E处，则折痕AD的长是（　　） A．15 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在Rt△ABC中，AB30， 由折叠的性质可得AC＝AE＝18，DE＝DC， ∴BE＝12， 在Rt△BDE中，BD2＝BE2+DE2， ∴（24﹣DE）2＝122+DE2，解得DE＝9， 在Rt△AED中，AD9， 故选：D． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，D为BA延长线上一点，，，BC的长是（　　） A．5 B． C． D．4 【答案】D 【详解】解：由题意，过C作CH⊥AB于H， 设AC＝x，则BC＝2x， ∴ABx，则ADABx． ∴根据面积法可得，CHx． ∴AHx． ∴DH＝AD+AHx． ∵CD，DH2+CH2＝CD2， ∴（x）2+（x）2＝（）2， ∴x＝2． ∴BC＝2x＝4． 故选：D． 8．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足4（S1+S2）＝S3，则下列说法正确的是（　　） A．AB＝AC B．2AB＝AC C．2AB＝BC D．2AC＝BC 【答案】A 【详解】解：由勾股定理得：AB2+AC2＝BC2， ∴S1+S2π（AB）2π（AC）2π（BC）2+S△ABCπ（BC2+AC2﹣AB2）+S△ABC＝S△ABCAB•AC， ∵4（S1+S2）＝S3， ∴4AB•AC＝BC2＝AB2+AC2， 即2AB•AC＝AB2+AC2， ∴（AB﹣AC）2＝0， ∴AB＝AC， 故选：A． 9．如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以AB为一边作直角三角形ABC，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是（　　） A．C1 B．C2 C．C3 D．C4 【答案】D 【详解】解：AB2＝10，5，5， ∴AB2， ∴△ABC1是直角三角形， ∵10，AB2＝10，20， ∴AB2， ∴△ABC2是直角三角形， ∵AB2＝10，20，10， ∴AB2， ∴△ABC3是直角三角形， ∵16，18，AB2＝10， ∴AB2， ∴△ABC4不是直角三角形， 所以△ABC2，△ABC3，△ABC1是直角三角形，但△ABC4不是直角三角形， 故选：D． 10．勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以Rt△ABC各边为边向外作正方形ABFG、正方形ACHI、正方形BCDE．连接GI、EF、DH，若，DH＝4，则这个六边形EDHIGF的面积为（　　） A．28 B．26 C．32 D．30 【答案】A 【详解】解：设AC＝a，AB＝b，BC＝c，过E作作FB的垂线，垂足为M，过D作HC的垂线，垂足为N， ∵∠EBM+∠CBM＝90°，∠ABC+∠CBM＝90°， ∴∠EBM＝∠ABC， 在△BME与△BAC中， ， ∴△BEM≌△BCA（AAS）， ∴BM＝AB＝b，EM＝AC＝a， 同理可证△CND≌△CAB， ∴EM＝AC＝a，ND＝AB＝b， 在△EFM中，FM2+EM2＝EF2，即（2b）2+a2＝34， 在△HND中，HN2+ND2＝HD2，即（2a）2+b2＝16， ∴a，b，c． ∴S六边形EDHIGF＝S正方形BEDC+S正方形ABFG+S正方形ACHI+S△GAI+S△ABC+S△FBE+S△HCD ＝c2+b2+a2+2ab＝28． 故选：A． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．如图，三个正方形中的数字和字母分别代表正方形的面积，则字母B所代表的正方形的面积是　144　 ． 【答案】144． 【详解】解：在Rt△DEF中，DF2+EF2＝DE2， ∴EF2＝DE2﹣DF2＝225﹣81＝144， ∴字母B所代表的正方形的面积为144， 故答案为：144． 12．如图，正方形ABCD边AB，CD向外作Rt△ABE，Rt△CDF，∠AEB＝∠DCF＝90°，以AE，EB，CF，DF为边向外作正方形，面积分别为6，2，s，11，则s的值为 　3　 ． 【答案】3． 【详解】解：由正方形的面积公式得：AE2＝6，BE2＝2，DF2＝11，s＝CF2， 在△ABE中，∠AEB＝90°， 由勾股定理得：AB2＝AE2+BE2， ∴AB2＝6+2＝8， ∵四边形ABCD是正方形， ∴CD＝AB， ∴CD2＝AB2＝8， 在△DCF中，∠DCF＝90°， 由勾股定理得：DF2＝CD2+CF2， ∴11＝8+CF2， ∴CF2＝3， ∴s＝CF2＝3． 故答案为：3． 13．如图所示的网格是正方形网格，则∠ABC＝　45　 °（点A，B，C是网格线交点）． 【答案】45． 【详解】解：取格点D，连接AD，则AD2＝5，AB2＝5，BD2＝10， ∴AD＝AB，AD2+AB2＝BD2， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°． 故答案为：45． 14．如图，在“4×4”的正方形网格中，∠1+∠2的度数为 　45度　 ． 【答案】45°． 【详解】解：将∠2向下平移1个单位格得到AB，如图，连接AC， ∴∠2＝∠ABE， ∵AC2＝AD2+CD2＝22+12＝5，AB2＝BE2+AE2＝22+12＝5，BC2＝32+12＝10， ∴AC2+AB2＝BC2， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°， ∴∠ABE+∠1＝45°， ∴∠1+∠2＝45°， 故答案为：45°． 15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S2+S1﹣S3＝36，则阴影部分的面积为 　9　 ． 【答案】9． 【详解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+AB2＝BC2， 即S1+S3＝S2， ∵S2+S1﹣S3＝36， ∴S1＝18， 由图形可知，阴影部分的面积S1， ∴阴影部分的面积18＝9， 故答案为：9． 16．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝AB＝5，BC＝7，CD＝1，四边形ABCD的面积为 　16　 ． 【答案】16 【详解】解：连接BD，如图所示： 在△ABD中，∠A＝90°，AD＝AB＝5， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴S△ABDAB•AE5×5＝12.5， 由勾股定理得：BD2＝AB2+AD2＝52+52＝50， 在△BCD中，BC＝7，CD＝1， ∴BC2+CD2＝72+12＝50， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，即∠C＝90°， ∴S△BCDBC•CD7×1＝3.5， ∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝12.5+3.5＝16． 故答案为：16． 17．如图，四边形ABCD中，AB＝6cm，AC⊥BC于点C，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝60°，则BD的长为 　　 cm． 【答案】． 【详解】解：如图，取AB的中点E，连接CE，而AC⊥BC， ∴AE＝BE＝CE＝3cm， ∴∠EAC＝∠ECA， ∵∠ABC＝60°， ∴△BCE是等边三角形， ∴∠BEC＝60°， ∵∠BEC＝∠EAC+∠ECA＝60°， ∴∠EAC＝∠ECA＝30°， ∴（cm）， ∵∠ACB＝90°， ∴AC2＝AB2﹣BC2＝27， ∵∠ACD＝∠ADC＝60°， ∴△ADC是等边三角形， ∴AD＝AC，∠CAD＝60°， ∴∠BAD＝90°， ∴， 故答案为：． 18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，P为Rt△ABC内一点，连接AP，BP，CP，则PA+PB+PC的最小值是　2　 ． 【答案】． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AC＝2， ∴AB＝2AC＝4，（根据直角三角形中30°所对直角边是斜边的一半） ∴． 如图，将△BPA绕点B逆时针旋转60°得到△EFB，连接CE，PF， E 由旋转的性质得BE＝AB＝4，AP＝EF，PB＝BF，∠PBF＝60°＝∠ABE， ∴△PBF是等边三角形， ∴PB＝PF， ∴PA+PB+PC＝EF+PF+PC≥CE， 当点P，F在直线CE上时，等号成立，PA+PB+PC取最小值． 又∵∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝30°+60°＝90°， ∴在Rt△BCE中，． ∴PA+PB+PC的最小值为． 故答案为：． 三、解答题：本题共6小题,第19-20题每题6分，第21~23题每题8分，第24题10分，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）如图，在Rt△ABC中，两直角边AC＝5，BC＝12．求： （1）AB的长； （2）斜边上的高CD的长． 【详解】解：（1）在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2＝52+122＝169， 解得AB＝13． （2）∵， ∴． 20．（6分）在如图所示4×4方格中，每个小方格的边长都为1，AB＝3． （1）在图中画出△ABC，使得，，顶点都在格点上． （2）求点A到直线BC的距离． 【详解】解：（1）使得，的△ABC，如图即为所求； ； （2）设点A到直线BC的距离为h， ∵， 解得：． 21．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，在BC上取一点E，使得AE＝2BE，AE⊥AD，连接DE，且DE为∠AEC的平分线，若∠C＝75°，CD＝10，求AE的长．（结果保留根号） 【详解】解：过点C作CF⊥DE于F． ∵AE＝2BE， 由三角函数可知，， ∴∠BAE＝30°， ∴∠AEB＝60°， ∴∠AEC＝180°﹣60°＝120°， ∵ED为∠AEC的平分线， ∴∠AED＝∠CED＝60°， ∵∠ECD＝75°， ∴∠CDE＝45°． 由三角函数可得，， ∴， ∴ 由三角函数可得，． 22．（8分）能构成直角三角形三边长的三个正整数a，b，c称为勾股数，a，b，c满足a2+b2＝c2，世界上第一次给出勾股数公式的是我国古代数学著作《九章算术》．观察下列勾股数： 第一类：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）． 第二类：（4，3，5），（6，8，10），（8，15，17），（10，24，26）． （1）任写一组勾股数满足第一类形式为　（11，60，61）（答案不唯一）　 ； （2）假设第二类每组勾股数第一个数记为m，用含有m式子表示这组勾股数　　 ，并证明你的猜想． 【详解】解：（1）第一类：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）． 第二类：（4，3，5），（6，8，10），（8，15，17），（10，24，26）． 取第一个数为11，第二个数为60，第三个数为61， ∵112+602＝121+3600＝3721，612＝3721， ∴112+602＝612， 故一组勾股数满足第一类形式为（11，60，61）（答案不唯一）； （2）第二类每组勾股数的第一个数为偶数，记为m，则． 证明：， ， ∴， ∵m为偶数，且m≥4，故和为正整数， ∴是一组勾股数． 23．（8分）新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（注：凸四边形就是没有角度数大于180°的四边形，把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁．） （1）已知：如图，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝60°，∠B＝70°，求∠C，∠D的度数． （2）已知：在等对角四边形ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝10，AD＝8，请直接写出对角线AC的长． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝60°，∠B＝70°， ∴∠D＝∠B＝70°， ∴∠C＝360°﹣70°﹣70°﹣60°＝160°； （2）分两种情况： ①当∠ADC＝∠ABC＝90°时，延长AD，BC相交于点E，如图1所示： ∵∠ABC＝90°，∠DAB＝60°，AB＝10，AD＝8， ∴∠E＝30°， ∴AE＝2AB＝20， ∴DE＝AE﹣AD＝20﹣8＝12， ∵∠EDC＝90°，∠E＝30°， ∴CD4． ∴AC4． ②当∠BCD＝∠DAB＝60°时， 过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，如图2所示： 则∠AMD＝90°，四边形BNDM是矩形， ∵∠DAB＝60°，AD＝8，AB＝10， ∴∠ADM＝30°， ∴AMAD＝4． ∴DMAM＝4． ∴BM＝AB﹣AM＝10﹣4＝6， ∵四边形BNDM是矩形， ∴DN＝BM＝6，BN＝DM＝4， ∵∠BCD＝60°， ∴CN2． ∴BC＝CN+BN＝6． ∴AC4． 综上所述：AC的长为4或4． 24．（10分）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）当t＝2秒时，求PQ的长； （2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？ （3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间． 【详解】（1）解：（1）BQ＝2×2＝4cm， BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm， ∵∠B＝90°， PQ2（cm）； （2）解：根据题意得：BQ＝BP， 即2t＝8﹣t， 解得：t； 即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形； （3）解：分三种情况： ①当CQ＝BQ时，如图1所示： 则∠C＝∠CBQ， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBQ+∠ABQ＝90°， ∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝∠ABQ ∴BQ＝AQ， ∵∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm， ∴AC10（cm）， ∴CQ＝AQAC＝5（cm）， ∴BC+CQ＝11（cm）， ∴t＝11÷2＝5.5秒． ②当CQ＝BC时，如图2所示： 则BC+CQ＝12（cm）， ∴t＝12÷2＝6秒． ③当BC＝BQ时，如图3所示： 过B点作BE⊥AC于点E， 则BE4.8（cm） ∴CE3.6cm， ∴CQ＝2CE＝7.2cm， ∴BC+CQ＝13.2cm， ∴t＝13.2÷2＝6.6秒． 由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时， △BCQ为等腰三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期数学周周测06 3.1-3.2勾股定理的探究、勾股定理的逆定理 时间：100分钟 分值：100分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（　　） A．64 B．81 C．169 D．225 2．一直角三角形的两直角边长为9和12，则斜边长为（　　） A．13 B．15 C．16 D．20 3．如图，网格中每个小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，则AC的长为（　　） A． B． C． D．3 4．下列各组线段中，可以构成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．4，5，6 C．1，，2 D．2，，3 5．△ABC三边分别为a、b、c，在下列条件下，△ABC不是直角三角形的是（　　） A．a＝8，b＝14，c＝17 B．a2+b2＝c2 C．a＝3，b＝4，c＝5 D．a：b：＝5：12：13 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝18，BC＝24，D为BC上一点，将△ACD沿AD折叠，使点C恰好落在AB边上的点E处，则折痕AD的长是（　　） A．15 B． C． D． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，D为BA延长线上一点，，，BC的长是（　　） A．5 B． C． D．4 8．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足4（S1+S2）＝S3，则下列说法正确的是（　　） A．AB＝AC B．2AB＝AC C．2AB＝BC D．2AC＝BC 9．如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以AB为一边作直角三角形ABC，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是（　　） A．C1 B．C2 C．C3 D．C4 10．勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以Rt△ABC各边为边向外作正方形ABFG、正方形ACHI、正方形BCDE．连接GI、EF、DH，若，DH＝4，则这个六边形EDHIGF的面积为（　　） A．28 B．26 C．32 D．30 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．如图，三个正方形中的数字和字母分别代表正方形的面积，则字母B所代表的正方形的面积是　 　 ． 12．如图，正方形ABCD边AB，CD向外作Rt△ABE，Rt△CDF，∠AEB＝∠DCF＝90°，以AE，EB，CF，DF为边向外作正方形，面积分别为6，2，s，11，则s的值为 　 　 ． 13．如图所示的网格是正方形网格，则∠ABC＝　 　 °（点A，B，C是网格线交点）． 14．如图，在“4×4”的正方形网格中，∠1+∠2的度数为 　 　 ． 15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S2+S1﹣S3＝36，则阴影部分的面积为 　 　 ． 16．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝AB＝5，BC＝7，CD＝1，四边形ABCD的面积为 　 　 ． 17．如图，四边形ABCD中，AB＝6cm，AC⊥BC于点C，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝60°，则BD的长为 　 　 cm． 18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，P为Rt△ABC内一点，连接AP，BP，CP，则PA+PB+PC的最小值是　 　 ． 三、解答题：本题共6小题,第19-20题每题6分，第21~23题每题8分，第24题10分，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）如图，在Rt△ABC中，两直角边AC＝5，BC＝12．求： （1）AB的长； （2）斜边上的高CD的长． 20．（6分）在如图所示4×4方格中，每个小方格的边长都为1，AB＝3． （1）在图中画出△ABC，使得，，顶点都在格点上． （2）求点A到直线BC的距离． 21．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，在BC上取一点E，使得AE＝2BE，AE⊥AD，连接DE，且DE为∠AEC的平分线，若∠C＝75°，CD＝10，求AE的长．（结果保留根号） 22．（8分）能构成直角三角形三边长的三个正整数a，b，c称为勾股数，a，b，c满足a2+b2＝c2，世界上第一次给出勾股数公式的是我国古代数学著作《九章算术》．观察下列勾股数： 第一类：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）． 第二类：（4，3，5），（6，8，10），（8，15，17），（10，24，26）． （1）任写一组勾股数满足第一类形式为　 　 ； （2）假设第二类每组勾股数第一个数记为m，用含有m式子表示这组勾股数　 　 ，并证明你的猜想． 23．（8分）新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（注：凸四边形就是没有角度数大于180°的四边形，把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁．） （1）已知：如图，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝60°，∠B＝70°，求∠C，∠D的度数． （2）已知：在等对角四边形ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝10，AD＝8，请直接写出对角线AC的长． 24．（10分）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）当t＝2秒时，求PQ的长； （2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？ （3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $