3.1勾股定理的探究（分层作业练题型）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 以勾股定理为核心，通过基础理解、技能应用、综合拓展三层设计，构建从单一知识点到跨情境综合的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|数轴表示、线段长计算|结合网格与尺规作图，强化概念直观认知| |技能应用|勾股树面积、弦图计算|融入ICME会徽等文化情境，提升模型意识| |综合拓展|几何最值、跨知识证明|通过折叠、动态问题设计，发展逻辑推理与创新思维|

3.1勾股定理的探究 题型一 数轴上的勾股定理 1．【答案】B 2．【答案】﹣9 题型二 根据勾股定理求线段长 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】D 题型三 根据勾股定理求面积——勾股树 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】50 6．【答案】3.5 题型四 勾股定理的证明 1．【答案】C 2．【答案】C 3． 【答案】（1）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab； （2）说明详见解析； （3）a2+b2＝c2，理由详见解析． 【详解】解：（1）∵阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣中间小正方形的面积，即：（a+b）2﹣（a﹣b）2， 又阴影部分的面积由4个长为a，宽为b的小正方形构成，即：4ab， ∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， 故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab； （2）（a+b）2﹣（a﹣b）2 ＝a2+2ab+b2﹣（a2﹣2ab+b2） ＝a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2） ＝4ab， ∴（1）中的等式成立； （3）a2+b2＝c2，理由如下： 图②中间小正方形的周长4c，大正方形的边长为a+b， 正方形的面积S＝（a+b）2＝2ab+c2， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴a2+b2＝c2． 题型五 根据弦图求线段长或面积 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】44 4．【答案】 题型一 勾股定理——设未知数 1．【答案】B 2．【答案】B 题型二 根据弦图求线段长或面积（升级） 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】B 题型一 勾股定理的证明的综合应用 1． 【答案】（1）正方形，（b﹣a）2；（2）证明详见解析；（3）． 【详解】解：（1）由题意可知：∠HEF＝∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°， EF＝FG＝GH＝HE＝b﹣a， ∴四边形EFGH是一个正方形，且边长为（b﹣a）， 故答案为：正方形，（b﹣a）2； （2）∵S正方形ABCD＝4×SRt△ABE+S正方形EFGH， ∴c2＝4ab+（b﹣a）2， 整理得：a2+b2＝c2， ∴a2+b2＝c2的正确； （3）∵ABCD是长方形，△AFE是由△ADE折叠得到的， ∴AF＝AD＝BC＝20，DC＝AB＝12，EF＝DE， 在Rt△ABF中， ∵AB＝12， ∴由勾股定理可得：BF16， ∴CF＝BC﹣BF＝20﹣16＝4， 设EF＝x，则EC＝DC﹣DE＝12﹣x， 在Rt△EFC中，由勾股定理可得：EF2＝CF2+EC2， 即x2＝42+（12﹣x）2，解得：x， ∴EF的长为． 2． 【答案】（1）证明详见解析；（2）；（3）． 【详解】（1）证明：∵，，， S四边形ABDC＝S梯形AEDC+S△BED， ∴， ∴， ∴a2+b2＝c2； （2）解：， ， ∵， ∴， ∴AB边上的高是， 故答案为：； （3）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2， ∵BD+CD＝BC＝6， ∴CD＝BC﹣BD＝6﹣x， 在Rt△ACD中，由勾股定理可得：AD2＝AC2﹣CD2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2， ∴16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2， ∴． 题型二 勾股定理——几何法求最值 1． 【答案】（1）13；（2）；（3）4.8． 【详解】解：（1）∵AH＝3+2＝5，HD＝12， ∴， ∴的最小值是13， 故答案为：13； （2）∵AC＝2，DF＝1，CF＝5，AH＝2+1＝3，HD＝5， ∴， ∴的最小值是； （3）如图，构造△ABC，CD⊥BC于点D，AC＝6，BC＝8， 设CD＝x，则， ∴， ∵62+82＝102， ∴∠ACB＝90°， ∴， ∴x＝4.8． 题型三 三角形综合题 1． 【答案】（1）BC＝15，AC＝6；（2）①OD的长为6或66；②4或12． 【详解】解：（1）∵AO＝6，BO＝9， ∴AB＝15， ∵BA＝BC， ∴BC＝15， ∵CO⊥AB， ∴∠AOC＝∠BOC＝90°， 由勾股定理可得：CO12， AC6； （2）①分两种情况： i）如图1，当AO＝OE＝6时，过O作ON⊥AC于N， ∴AN＝EN， ∵DE⊥AC， ∴ON∥DE， ∴ON是△ADE的中位线， ∴OE＝AO＝6； ii）如图2，当AO＝AE＝6时， 在△CAO和△DAE中， ， ∴△CAO≌△DAE（ASA）， ∴AD＝AC＝6， ∴OD＝AD﹣AO＝66； 综上，OD的长为6或66； ②分两种情况： i）如图3，当D在线段OB上时，过B作BG⊥EF于G， ∵S△OBF：S△OCF＝1：4， ∴， ∴， ∵CB＝15， ∴BF＝5， ∵EF⊥AC， ∴BG∥AC， ∴∠GBF＝∠ACB， ∵AE∥BG， ∴∠A＝∠DBG， ∵AB＝BC， ∴∠A＝∠ACB， ∴∠DBG＝∠GBF， ∵BG⊥DF， ∴△BDF是等腰三角形， ∴BD＝BF＝5， ∴OD＝OB﹣BD＝9﹣5＝4， ∴CD4； ii）如图4，当D在线段OB的延长线上时，过B作BG⊥DE于G， 同理可得：， ∵BC＝15， ∴BF＝3， 同理可得：△BDF是等腰三角形， ∴BD＝BF＝3， ∴OD＝BO+BD＝9+3＝12， Rt△COD中，CD12； 综上，CD的长为4或12， 故答案为：4或12． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1勾股定理的探究 题型一 数轴上的勾股定理 1．（2025·建邺区·校级月考）如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：11． 故选：B． 2．（2026·海安市·期中）如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是4×4的正方形网格上的格点，以点A为圆心，AD长为半径画圆交数轴于点P，Q．点P表示的数记为m，点Q表示的数记为n，则mn的值为　　． 【答案】﹣9 【详解】解：由题意可知：AQ＝AD＝AB＝AP， 由勾股定理可得：AD＝AB， ∴AQ＝AP＝AD， ∴m1，n＝1， ∴mn＝（1）（1）＝1﹣10＝﹣9． 故答案为：﹣9． 题型二 根据勾股定理求线段长 1．（2026·建邺区·校级期中）若直角三角形的两边长分别为3，4，则第三边长可以是（　　） A．4 B． C．5 D． 【答案】C 【详解】解：当4是直角边长时，第三边长5； 当4是斜边长时，第三边长； 综上，第三边长可以是5或． 故选：C． 2．（2026·赣榆区·月考）如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以点A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点E，连接AE，则CE的长为（　　） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可得：∠ADC＝90°，AE＝AB＝3， ∴AD2+DE2＝AE2， ∵AD＝2， ∴22+DE2＝32， ∴， ∴． 故选：C． 3．（2025·沭阳县·校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，则斜边上的高CD的长为（　　） A．2.4 B．2.5 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°， ∴AB5， ∵CD是斜边上的高， ∴S△ABCAB·CDAC·BC， ∴AB·CD＝AC·BC， ∴CD2.4． 故选：A． 4．（2026·昆山市·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD平分∠CAB交BC于点D，则线段CD的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， 由勾股定理可得：AB5， ∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝CD， ∵S△ABC＝S△ACD+S△ABD， ∴3×43×CD5×DE， ∴CD＝DE． 故选：B． 5．（2025·盐城·期末）图1是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么OA8的长为（　　） A． B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】解：∵OA1＝1， ∴由勾股定理可得：OA2， OA3， …， ∴OAn， ∴OA82． 故选：D． 6．（2025·南通·期末）在△ABC中，∠C＝90°，三边长分别为a，b，c．若S△ABC＝1，则斜边c的最小值为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，S△ABC＝1， ∴由三角形面积公式可得：，即ab＝2， ∵（a﹣b）2≥0，即a2﹣2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab， 由勾股定理可得：c2＝a2+b2， ∴c2≥2ab， 将ab＝2代入，得c2≥2×2＝4， ∵c＞0， ∴c≥2，即斜边c的最小值为2． 故选：D． 题型三 根据勾股定理求面积——勾股树 1．（2025·惠山区·校级月考）如图，以Rt△ABC的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，若S1＝36，S2＝64，则斜边AB的长是（　　） A．6 B．8 C．10 D．100 【答案】C 【详解】解：由勾股定理可得：AC2+BC2＝AB2， ∵，， ∴AB2＝36+64＝100， ∴AB＝10． 故选：C． 2（2024·扬州·校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，其面积分别记为S1，S2，S3，S4.若S1＝2，S2＝4，S4＝11，则BC的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：如图，连接AC， ， ∵S1＝2，S2＝4，S4＝11， ∴AC2＝AB2+BC2＝S2+S3＝4+S3，AC2＝AD2+CD2＝S1+S4＝13， ∴4+S3＝13， ∴， ∴BC＝3（负值舍去，不合题意）． 故选：C． 3．（2025·栖霞区·校级月考）如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3.若S3+S2﹣S1＝20，则图中阴影部分的面积为（　　） A．5 B．10 C．6 D．8 【答案】A 【详解】解：由勾股定理结合正方形的面积可知：S3﹣S1＝S2， ∵S3+S2﹣S1＝20， ∴2S2＝20， ∴S2＝10， ∴图中阴影部分的面积5． 故选：A． 4．（2025·惠山区·校级月考）如图，分别以Rt△ABC的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当AC＝8，BC＝6时，“希波克拉底月牙”的面积是（　　） A．18 B． C．24 D．48 【答案】C 【详解】解：由勾股定理可得：AB10， S阴形＝S半圆AC+S半圆BC+S△ABC﹣S半圆AB π（）2（）2AC·BCπ（）2 π（）2（）28×6π（）2 ＝24． 故选：C． 5．（2025·工业园区·校级月考）如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是　　． 【答案】50 【详解】解：如图， 由勾股定理可得：AB2＝132﹣122＝25， ∴BC2＝AB2＝25， ∵CD2+BD2＝BC2， ∴CD2+BD2＝25， ∵S阴＝AB2+CD2+BD2， ∴S阴＝25+25＝50． 故答案为：50． 6．（2025·沭阳县·校级期末）如图①，是一个封闭的勾股水箱，其中甲，乙，丙三个部分是可以盛水且互相连通的正方形．已知∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，开始时，丙刚好盛满水，且甲，乙无水．当转动这个勾股水箱到图②位置时，水面刚好经过丙的两条对角线的交点（也是两条对角线的中点），则此时图乙中阴影部分的面积为　　． 【答案】3.5 【详解】解：∵∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5， ∴图①中，丙部分的面积是25， ∵图②中，水面刚好经过丙的中心O， ∴丙部分的水为整个正方形面积的一半，即丙部分的有水部分的面积为12.5， ∴乙中有水部分的面积为25﹣9﹣12.5＝3.5． 故答案为：3.5． 题型四 勾股定理的证明 1．（2025·丹徒区·期中）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣4ab， ∴化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理，故本选项不合题意； B、梯形的面积（a+b）（a+b）＝2abc2， ∴化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理，故本选项不合题意； C、不能证明勾股定理，本选项符合题意； D、中间小正方形的面积（b﹣a）2＝c2﹣4×ab， ∴化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理，故本选项不合题意． 故选：C． 2．（2025·滨湖区·校级月考）意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理．若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可得：S2＝S1，． 故选：C． 3．（2026·栖霞区·期中）（1）如图①，四个完全相同的长方形围成两个正方形．用不同的代数式表示阴影部分的面积，得到的等式是　　； （2）通过计算说明（1）中的等式成立； （3）如图②，四个完全相同的直角三角形围成两个正方形，试探究a，b，c的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab； （2）说明详见解析； （3）a2+b2＝c2，理由详见解析． 【详解】解：（1）∵阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣中间小正方形的面积，即：（a+b）2﹣（a﹣b）2， 又阴影部分的面积由4个长为a，宽为b的小正方形构成，即：4ab， ∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， 故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab； （2）（a+b）2﹣（a﹣b）2 ＝a2+2ab+b2﹣（a2﹣2ab+b2） ＝a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2） ＝4ab， ∴（1）中的等式成立； （3）a2+b2＝c2，理由如下： 图②中间小正方形的周长4c，大正方形的边长为a+b， 正方形的面积S＝（a+b）2＝2ab+c2， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴a2+b2＝c2． 题型五 根据弦图求线段长或面积 1．（2025·盐都区·期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝75，大正方形的面积为39，则小正方形的边长为（　　） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【详解】解：设直角三角形斜边为c，则a2+b2＝c2， ∵大正方形的面积为39， ∴c2＝39，即a2+b2＝39， ∵（a+b）2＝75＝a2+b2+2ab， ∴ab＝18， ∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝39﹣2×18＝3， ∴a﹣b（舍去负值）， ∴中间小正方形的边长为a﹣b为． 故选：A． 2．（2025·锡山区·期中）将四个图1中的直角三角形，分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图2中阴影部分的面积为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【详解】解：由图2可知：大正方形的面积＝5×5＝25，图3中小正方形的面积＝1×1＝1， 设直角三角形的较长边为a，较短边为b，斜边为c， 则由图2可得：（a+b）2＝25，即a2+b2+2ab＝25①， 由图3可得：（a﹣b）2＝1，即a2+b2﹣2ab＝1②， 联立①和②可得：a2+b2＝13， ∴c2＝a2+b2＝13，即图2中阴影部分的面积为13． 故选：C． 3．（2025·南通·期末）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为　　． 【答案】44 【详解】解：设直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c， ∵图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4， ∴a2+b2＝c2＝24，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4， ∴ab＝10， ∴图2中最大的正方形的面积． 故答案为：44． 4．（2025·鼓楼区·校级期中）如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．若小正方形与大正方形的面积分别是为1、8，则直角三角形两直角边和a+b＝　　． 【答案】 【详解】解：设正方形的边长为c， ∵大正方形的面积是8， ∴c2＝8， ∴a2+b2＝c2＝8， ∵直角三角形的面积是， 又∵直角三角形的面积是ab， ∴ab， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝8+215， ∴a+b（舍去负值）． 故答案为：． 题型一 勾股定理——设未知数 1．（2025·海安市·期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，BC＝5，BC的垂直平分线交AB于点D．则AD的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，BC＝5， 由勾股定理可得：AB4， ∴DB＝4﹣AD， ∵BC的垂直平分线交AB于点D， ∴DB＝DC， ∴DC＝4﹣AD， 在Rt△ADC中，DC2＝AC2+AD2，即（4﹣AD）2＝32+AD2， 解得：AD． 故选：B． 2．（2025·邗江区·期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，若，AE：EC＝3：2，则AB的长为（　　） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】解：如图，连接BE， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， 设AE＝BE＝3x， ∵AE：EC＝3：2， ∴EC＝2x， 在Rt△EBC中，BE2＝BC2+EC2，即（3x）2＝（）2+（2x）2， 解得：x＝1（负值舍去）， 则AE＝3x＝3，EC＝2x＝2， ∴AC＝AE+EC＝5， ∴AB． 故选：B． 题型二 根据弦图求线段长或面积（升级） 1．（2026·海州区·校级期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角△ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放入最大的正方形内，若图2中阴影部分的面积为4，且AC+BC＝7，则直角△ABC的面积为（　　） A．5 B．6 C． D． 【答案】B 【详解】解：设BC＝a，AC＝b，AB＝c， 由勾股定理可得：a2+b2＝c2， 由图可得：阴影部分为正方形，边长为b﹣（c﹣a）， ∴b﹣（c﹣a）＝2，即b+a﹣c＝2， ∵a+b＝7， ∴c＝5，（a+b）2＝49， ∴a2+b2＝c2＝25，a2+2ab+b2＝49， ∴25+2ab＝49，即， ∴S△ABC＝6． 故选：B． 2．（2025·工业园区·校级期中）如图，图1是数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．标上字母绘成图2所示，记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b﹣a＝4，a2+b2＝32，则图2中的阴影部分面积为（　　） A．28 B．30 C．32 D．34 【答案】A 【详解】解：∵△EFG≌△CDG，△EFK≌△GHI， ∴阴影部分面积＝S正方形MFGC﹣S△CDG， ∵朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b， ∴GD＝GH＝a，AB＝CD＝BC＝b， ∵青出与青入的三角形全等， ∴△IJC≌△KAM， ∴JC＝AM＝b﹣a， ∴BM＝a， ∴， ∵b﹣a＝4，a2+b2＝32， ∴， ∴阴影部分面积＝S正方形MFGC﹣S△CDG ＝32﹣4 ＝28· 故选：A． 3．（2025·广陵区·期中）中国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，A、B、E三点在一条直线上．现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形CHIE．若正方形ABCD和正方形BEFG的面积之和为220，阴影部分的面积为130，则AE的长为（　　） A．22 B．20 C．18 D．16 【答案】B 【详解】解：如图， 设BC＝b，EF＝a， ∴a2+b2＝220， ∵四边形BEFG、四边形CHIE和ABCD都是正方形， ∴BC＝AB＝b，BG＝BE＝EF＝a，∠EBC＝90°，∠CEI＝90°，CE＝EI， ∴∠CEB+∠ECB＝90°，∠CEB+∠KEI＝90°． ∴∠ECB＝∠IEK， 在△ECB和△IEK中， ， ∴△ECB≌△IEK（AAS）， ∴， ∵将正方形ABCD和正方形BEFG裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形CHIE， ∴S正方形HCEI＝a2+b2，S阴影＝S正方形HCEI﹣（S△ECB+S△IEK）＝a2+b2﹣ab＝130． ∴ab＝90， ∴a2+b2+2ab＝（a+b）2＝220+2×90＝400，即a+b＝20， ∴AE＝a+b＝20． 故选：B． 题型一 勾股定理的证明的综合应用 1．（2025·工业园区·校级月考）数学家发现在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方．如图①，设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b（a＜b），斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：a2+b2＝c2． （1）如图②所示，将4块与图①完全相同的直角三角形拼成一个边长为c的正方形ABCD，则四边形EFGH是一个　　（填“长方形”或“正方形”），其面积为　　（用含a、b的代数式表示）； （2）观察图②，利用面积之间的恒等关系，试说明a2+b2＝c2的正确性； （3）如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝12，BC＝20，利用上面的结论求EF的长． 【答案】（1）正方形，（b﹣a）2；（2）证明详见解析；（3）． 【详解】解：（1）由题意可知：∠HEF＝∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°， EF＝FG＝GH＝HE＝b﹣a， ∴四边形EFGH是一个正方形，且边长为（b﹣a）， 故答案为：正方形，（b﹣a）2； （2）∵S正方形ABCD＝4×SRt△ABE+S正方形EFGH， ∴c2＝4ab+（b﹣a）2， 整理得：a2+b2＝c2， ∴a2+b2＝c2的正确； （3）∵ABCD是长方形，△AFE是由△ADE折叠得到的， ∴AF＝AD＝BC＝20，DC＝AB＝12，EF＝DE， 在Rt△ABF中， ∵AB＝12， ∴由勾股定理可得：BF16， ∴CF＝BC﹣BF＝20﹣16＝4， 设EF＝x，则EC＝DC﹣DE＝12﹣x， 在Rt△EFC中，由勾股定理可得：EF2＝CF2+EC2， 即x2＝42+（12﹣x）2，解得：x， ∴EF的长为． 2．（2025·惠山区·校级月考）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角△ABC和△DEA如图2放置，其三边长分别为a，b，c，∠BAC＝∠DEA＝90°，显然BC⊥AD． （1）请用a，b，c分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2＝c2． 【方法迁移】（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为2，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，直接写出AB边上的高为　　． （3）如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值． 【答案】（1）证明详见解析；（2）；（3）． 【详解】（1）证明：∵，，， S四边形ABDC＝S梯形AEDC+S△BED， ∴， ∴， ∴a2+b2＝c2； （2）解：， ， ∵， ∴， ∴AB边上的高是， 故答案为：； （3）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2， ∵BD+CD＝BC＝6， ∴CD＝BC﹣BD＝6﹣x， 在Rt△ACD中，由勾股定理可得：AD2＝AC2﹣CD2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2， ∴16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2， ∴． 题型二 勾股定理——几何法求最值 1．（2025·徐州·期中）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为　　； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）根据以上学习，解决问题：已知正数x满足，求x的值． 【答案】（1）13；（2）；（3）4.8． 【详解】解：（1）∵AH＝3+2＝5，HD＝12， ∴， ∴的最小值是13， 故答案为：13； （2）∵AC＝2，DF＝1，CF＝5，AH＝2+1＝3，HD＝5， ∴， ∴的最小值是； （3）如图，构造△ABC，CD⊥BC于点D，AC＝6，BC＝8， 设CD＝x，则， ∴， ∵62+82＝102， ∴∠ACB＝90°， ∴， ∴x＝4.8． 题型三 三角形综合题 1．（2025·苏州·校级月考）如图，△ABC中，BA＝BC，CO⊥AB于点O，AO＝6，BO＝9． （1）求BC，AC的长； （2）若点D是射线OB上的一个动点，作DE⊥AC于点E，连结OE． ①当点D在线段OB上时，若△AOE是以AO为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的OD的长． ②设直线DE交直线BC于点F连结OF，CD，若S△OBF：S△OCF＝1：4，则CD的长为　　（直接写出结果）． 【答案】（1）BC＝15，AC＝6；（2）①OD的长为6或66；②4或12． 【详解】解：（1）∵AO＝6，BO＝9， ∴AB＝15， ∵BA＝BC， ∴BC＝15， ∵CO⊥AB， ∴∠AOC＝∠BOC＝90°， 由勾股定理可得：CO12， AC6； （2）①分两种情况： i）如图1，当AO＝OE＝6时，过O作ON⊥AC于N， ∴AN＝EN， ∵DE⊥AC， ∴ON∥DE， ∴ON是△ADE的中位线， ∴OE＝AO＝6； ii）如图2，当AO＝AE＝6时， 在△CAO和△DAE中， ， ∴△CAO≌△DAE（ASA）， ∴AD＝AC＝6， ∴OD＝AD﹣AO＝66； 综上，OD的长为6或66； ②分两种情况： i）如图3，当D在线段OB上时，过B作BG⊥EF于G， ∵S△OBF：S△OCF＝1：4， ∴， ∴， ∵CB＝15， ∴BF＝5， ∵EF⊥AC， ∴BG∥AC， ∴∠GBF＝∠ACB， ∵AE∥BG， ∴∠A＝∠DBG， ∵AB＝BC， ∴∠A＝∠ACB， ∴∠DBG＝∠GBF， ∵BG⊥DF， ∴△BDF是等腰三角形， ∴BD＝BF＝5， ∴OD＝OB﹣BD＝9﹣5＝4， ∴CD4； ii）如图4，当D在线段OB的延长线上时，过B作BG⊥DE于G， 同理可得：， ∵BC＝15， ∴BF＝3， 同理可得：△BDF是等腰三角形， ∴BD＝BF＝3， ∴OD＝BO+BD＝9+3＝12， Rt△COD中，CD12； 综上，CD的长为4或12， 故答案为：4或12． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1勾股定理的探究 题型一 数轴上的勾股定理 1．（2025·建邺区·校级月考）如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（　　） A． B． C． D． 2．（2026·海安市·期中）如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是4×4的正方形网格上的格点，以点A为圆心，AD长为半径画圆交数轴于点P，Q．点P表示的数记为m，点Q表示的数记为n，则mn的值为　　． 题型二 根据勾股定理求线段长 1．（2026·建邺区·校级期中）若直角三角形的两边长分别为3，4，则第三边长可以是（　　） A．4 B． C．5 D． 2．（2026·赣榆区·月考）如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以点A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点E，连接AE，则CE的长为（　　） A．1 B．3 C． D． 3．（2025·沭阳县·校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，则斜边上的高CD的长为（　　） A．2.4 B．2.5 C．3 D．4 4．（2026·昆山市·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD平分∠CAB交BC于点D，则线段CD的长度为（　　） A． B． C． D． 5．（2025·盐城·期末）图1是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么OA8的长为（　　） A． B．4 C．3 D．2 6．（2025·南通·期末）在△ABC中，∠C＝90°，三边长分别为a，b，c．若S△ABC＝1，则斜边c的最小值为（　　） A． B．1 C． D．2 题型三 根据勾股定理求面积——勾股树 1．（2025·惠山区·校级月考）如图，以Rt△ABC的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，若S1＝36，S2＝64，则斜边AB的长是（　　） A．6 B．8 C．10 D．100 2（2024·扬州·校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，其面积分别记为S1，S2，S3，S4.若S1＝2，S2＝4，S4＝11，则BC的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025·栖霞区·校级月考）如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3.若S3+S2﹣S1＝20，则图中阴影部分的面积为（　　） A．5 B．10 C．6 D．8 4．（2025·惠山区·校级月考）如图，分别以Rt△ABC的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当AC＝8，BC＝6时，“希波克拉底月牙”的面积是（　　） A．18 B． C．24 D．48 5．（2025·工业园区·校级月考）如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是　　． 6．（2025·沭阳县·校级期末）如图①，是一个封闭的勾股水箱，其中甲，乙，丙三个部分是可以盛水且互相连通的正方形．已知∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，开始时，丙刚好盛满水，且甲，乙无水．当转动这个勾股水箱到图②位置时，水面刚好经过丙的两条对角线的交点（也是两条对角线的中点），则此时图乙中阴影部分的面积为　　． 题型四 勾股定理的证明 1．（2025·丹徒区·期中）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·滨湖区·校级月考）意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理．若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 3．（2026·栖霞区·期中）（1）如图①，四个完全相同的长方形围成两个正方形．用不同的代数式表示阴影部分的面积，得到的等式是　　； （2）通过计算说明（1）中的等式成立； （3）如图②，四个完全相同的直角三角形围成两个正方形，试探究a，b，c的数量关系，并说明理由． 题型五 根据弦图求线段长或面积 1．（2025·盐都区·期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝75，大正方形的面积为39，则小正方形的边长为（　　） A． B．3 C． D．6 2．（2025·锡山区·期中）将四个图1中的直角三角形，分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图2中阴影部分的面积为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 3．（2025·南通·期末）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为　　． 4．（2025·鼓楼区·校级期中）如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．若小正方形与大正方形的面积分别是为1、8，则直角三角形两直角边和a+b＝　　． 题型一 勾股定理——设未知数 1．（2025·海安市·期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，BC＝5，BC的垂直平分线交AB于点D．则AD的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 2．（2025·邗江区·期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，若，AE：EC＝3：2，则AB的长为（　　） A． B． C． D．3 题型二 根据弦图求线段长或面积（升级） 1．（2026·海州区·校级期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角△ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放入最大的正方形内，若图2中阴影部分的面积为4，且AC+BC＝7，则直角△ABC的面积为（　　） A．5 B．6 C． D． 2．（2025·工业园区·校级期中）如图，图1是数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．标上字母绘成图2所示，记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b﹣a＝4，a2+b2＝32，则图2中的阴影部分面积为（　　） A．28 B．30 C．32 D．34 3．（2025·广陵区·期中）中国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，A、B、E三点在一条直线上．现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形CHIE．若正方形ABCD和正方形BEFG的面积之和为220，阴影部分的面积为130，则AE的长为（　　） A．22 B．20 C．18 D．16 题型一 勾股定理的证明的综合应用 1．（2025·工业园区·校级月考）数学家发现在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方．如图①，设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b（a＜b），斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：a2+b2＝c2． （1）如图②所示，将4块与图①完全相同的直角三角形拼成一个边长为c的正方形ABCD，则四边形EFGH是一个　　（填“长方形”或“正方形”），其面积为　　（用含a、b的代数式表示）； （2）观察图②，利用面积之间的恒等关系，试说明a2+b2＝c2的正确性； （3）如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝12，BC＝20，利用上面的结论求EF的长． 2．（2025·惠山区·校级月考）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角△ABC和△DEA如图2放置，其三边长分别为a，b，c，∠BAC＝∠DEA＝90°，显然BC⊥AD． （1）请用a，b，c分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2＝c2． 【方法迁移】（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为2，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，直接写出AB边上的高为　　． （3）如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值． 题型二 勾股定理——几何法求最值 1．（2025·徐州·期中）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为　　； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）根据以上学习，解决问题：已知正数x满足，求x的值． 题型三 三角形综合题 1．（2025·苏州·校级月考）如图，△ABC中，BA＝BC，CO⊥AB于点O，AO＝6，BO＝9． （1）求BC，AC的长； （2）若点D是射线OB上的一个动点，作DE⊥AC于点E，连结OE． ①当点D在线段OB上时，若△AOE是以AO为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的OD的长． ②设直线DE交直线BC于点F连结OF，CD，若S△OBF：S△OCF＝1：4，则CD的长为　　（直接写出结果）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $