专题09 轴对称 相关基础解答题分类训练（6种类型48道） 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦轴对称从基础作图到综合应用的6类48道解答题，以题载法构建“作图-证明-应用”三阶训练体系，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |网格作图|8道|坐标系建立与对称点坐标规律|从直观操作到坐标量化| |尺规作图|8道|垂直平分线/角平分线作图规范|基本作图到推理证明| |折叠证明|8道|轴对称性质与全等转化|折叠不变性的应用深化| |等腰三角形|8道|等边对等角及三线合一|轴对称与特殊三角形结合| |等边三角形|8道|60°角性质与全等构造|等腰三角形的特殊化拓展| |将军饮马|8道|对称转化求最短路径|轴对称在实际问题中的模型应用|

专题09 轴对称相关基础解答题分类训练 （6种类型48道） 专题目录 【类型1 轴对称相关网格作图】 1 【类型2 轴对称相关尺规作图】 13 【类型3 折叠相关几何证明】 26 【类型4 等腰三角形相关几何证明】 44 【类型5 等边三角形相关几何证明】 57 【类型6 “将军饮马”实际应用】 68 【类型1 轴对称相关网格作图】 1．在如图正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线的交点）三个顶点的坐标分别为，． (1)请在如图网格平面内画出平面直角坐标系； (2)请在如图网格平面内画出关于轴对称的图形，并写出顶点的坐标； (3)若点，且轴，则的长为__________． 【答案】(1) 建立平面直角坐标系，如下图所示： (2) 如下图所示， 顶点的坐标是 (3) 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系、作图-轴对称变换、坐标与图形． (1)借助点、的坐标建立平面直角坐标系； (2)根据轴对称的性质，在坐标系中画出关于轴对称的图形，再根据坐标系写出点的坐标； (3)根据轴，可得、两点的纵坐标相等，从而可得方程，解方程求出的值，即可求出点的坐标，根据、两点的坐标求出的长度． 【详解】（1）略 （2）解：分别作出点、、关于轴的对称点、、， 连接点、、，得到， 即为所求， 顶点的坐标是； （3）解：由平面直角坐标系可知，点的坐标是， 轴， ， 解得：， ， 点的坐标是， ， 故答案为：． 2．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上． (1)请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系，使点A坐标为，点坐标为； (2)在（1）的条件下： ①B的坐标是__________； ②请画出点关于轴的对称点，并在图中注明点的坐标． 【答案】(1) 解：由点A坐标为，点C坐标为，建立平面直角坐标系如图所示； (2)①； ②如图，点即为所求，且点的坐标为． 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系，作轴对称图形．熟练掌握平面直角坐标系，作轴对称图形是解题的关键． （1）根据点坐标的位置，建立平面直角坐标系即可； （2）①由坐标系直接得到点B的坐标； ②根据轴对称的性质作图即可． 【详解】（1）略 （2）略 3．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点A坐标为，点B坐标为； (2)请画出关于y轴对称的图形，并写出点的坐标为______． 【答案】(1) 平面直角坐标系如图所示即为所求， ； (2)即为所求， 【分析】本题主要考查了作图−轴对称变换等知识点， （1）根据A，B两点坐标，确定平面直角坐标系即可； （2）分别作出A，B，C的对应点，，即可解决问题； 熟练掌握轴对称变换的性质是解决此题的关键． 【详解】（1）∵ ， ∴y轴在A点的左方1个方格所在直线上，x轴在A点下方3个方格所在直线上 （2）如图所示：由关于y轴对称的点的坐标特征为：横坐变为相反数，纵坐标不变，画图即可， ∴， 故答案为：． 4．如图，在的网格图中，点A，B，C都在网格的格点上． (1)利用网格图，画出关于直线l对称的； (2)在直线l上画出点P，使的值最小．（保留作图痕迹，标出点） 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，点P即为所求． 【分析】本题考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）连接交直线l于点P，连接，点P即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 5．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点A坐标为，点B坐标为； (2)请画出关于y轴对称的图形，并写出点的坐标为______； (3)在y轴上标出点P，使得的值最小． 【答案】(1) 如图所示平面直角坐标系即为所求； (2) 如图所示，即为所求； (3) 如图所示，连接交轴于P，点P即为所求． 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—轴对称，轴对称最短路径问题： （1）根据点A和点B的坐标确定原点的位置和坐标轴的位置，进而建立坐标系即可； （2）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同得到A、B、C对应点的坐标，再描出，并顺次连接即可； （3）如图所示，连接交轴于P，点P即为所求 【详解】（1）略 （2）解：∵与关于y轴对称，且点B坐标为， ∴点的坐标为； （3）略 6．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上．    (1)请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系，使点A坐标为，点C坐标为． (2)在（1）的条件下，画出关于y轴对称的． 【答案】(1) 建立平面直角坐标系如图1；    (2) 由轴对称的性质作图，如图2，即为所求；    【分析】本题考查了平面直角坐标系，作轴对称图形．熟练掌握平面直角坐标系，作轴对称图形是解题的关键． （1）根据点坐标的位置，建立平面直角坐标系即可； （2）根据轴对称的性质作图即可． 【详解】（1）解：由点A坐标为，点C坐标为； （2）略 7．如图，是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，已知的顶点均为格点（网格线的交点）且直线l也经过格点． (1)画出关于直线成轴对称的； (2)将向下平移2个单位长度得到，画出． 【答案】(1) 如图，即为所求. (2) 如图，即为所求. 【分析】本题考查的是画轴对称图形，平移图形. （1）分别确定点关于直线对称的点，再顺次连接即可. （2）分别确定点向下平移2个单位长度的对应点，再顺次连接即可. 【详解】（1）略 （2）略 8．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线交点． (1)建立平面直角坐标系，使点A，B的坐标分别为，； (2)在（1）建立的平面直角坐标系中， ①点与点C关于y轴对称，写出点的坐标； ②若A，B，C，D四点构成一个轴对称图形，直接写出满足条件的点D的个数． 【答案】(1) 如图， (2)①；②6 【分析】本题考查了坐标与图形，轴对称的性质等知识，解题的关键是： （1）根据A、B的坐标即可得到坐标轴的位置建立平面直角坐标系； （2）①找到点C关于y轴对称的点，然后根据点的位置写出坐标即可； ②根据轴对称图形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①如图， ，； ②如图，以y轴为对称轴， 四边形是轴对称图形， 以x轴为对称轴，如图， 四边形是轴对称图形； 以所在直线为对称轴，如图， 四边形是轴对称图形； 以所在直线为对称轴，如图， 四边形是轴对称图形； 以的垂直平分线为对称轴，如图， 四边形是轴对称图形； 以的垂直平分线为对称轴，如图， 四边形是轴对称图形； ∴满足条件的点D的个数为6． 【类型2 轴对称相关尺规作图】 9．如图，在中，，． (1)请用尺规完成基本作图：作斜边的垂直平分线分别交、于点D、E，连接；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：．（请补全下面的证明过程） 证明：在中，∵，，∴， ∵垂直平分，∴______． ∴______，∴， 在中，∵，，∴______，∵，∴． 【答案】(1) 如图所示：直线即为所求； (2) 证明：在中， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴． ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【分析】此题主要考查了基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质与作法是解题关键． （1）直接利用线段垂直平分线的作法得出答案； （2）利用线段垂直平分线的性质求得，利用等边对等角求得，推出，在中，利用含30度角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 10．如图，在中，，延长至点，过点作于点，交于点．请完成以下尺规作图和填空： （）请用尺规作的平分线交于点；（只保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （）已知：平分交于点，求证：． 证明：平分， ① ， ， ② ， ， ， ， ∴③ ， ∴， ∴④ ，， ∴⑤ ， ． 【答案】 （）如图所示，即为所求； （）；；；； 【分析】（）根据角平分线的作法作图即可； （）由等腰三角形的性质可得，即可证，得到，，即得到，即可求证； 本题考查了角平分线的作法，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（）略 （）略 11．在学习了三角形和四边形的相关知识后，在对角互补的四边形中，，若，则有平分，请根据以下思路完成以下作图和推理填空： (1)用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线，交直线于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：平分． 证明：过点作于点 ①______ 又②______ 在和中 ④______ ， 平分． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④ 【分析】（1）根据垂线的作法作图即可； （2）根据垂线的定义及全等三角形的判定和性质补全证明过程即可. 【详解】（1）解：如图所示， （2）证明：过点作于点 又 在和中 ， 平分． 12．学习了等边三角形和尺规作图后，小张对等边三角形进行了进一步探究．如图，点是等边三角形边上一点，连接，请帮助小张完成如下作图和填空： (1)用尺规在内部以为边作，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图形中利用三角形全等证明． 证明：是等边三角形 ， ① 在和中 （ ② ） ③ （ ④ ） ． 【答案】(1) 即为所求： (2)①；②ASA；③；④全等三角形对应边相等 【分析】本题主要考查了尺规作图，等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质： （1）根据作一个角等于已知角的作法解答即可； （2）根据等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 13．如图，在中，是延长线上的一点，点是的中点． (1)请用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母：作的平分线，连接并延长交于点（保留作图痕迹，不写作法）． (2)求证：（请补全下面的证明过程）． 证明：点是的中点， ， ①_________； ， ， 即， 平分， ， ②_________， 在和中， ， （③______） ． 【答案】(1) 如图所示： (2)①；②；③ 【分析】本题考查了尺规作角平分线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线定义，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是解题的关键． （1）以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点之间距离的一半为半径画弧，两弧在内部交于一点，过点和这个交点作射线； （2）求出，利用证明，根据全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）略 （2）证明：点是的中点， ， ； ， ， 即， 平分， ， ②， 在和中， ， （③）， ． 14．已知：如图，中，，，为上一点，平分交于． (1)使用尺规完成基本作图：作于点交于点．（保留作图痕迹，不写做法，不下结论） (2)求证：． 证明：， 平分 ① ． ，② 在和中 ． 【答案】(1)解：如图所示为所求： (2)解：，， 【分析】（1）过点作的垂线，分别交于点即可； （2）根据证明过程结合图形填空即可． 【详解】（1）略 （2）略 15．如图，在中，，点为边的中点． (1)用尺规完成基本作图：作的平分线交于点，连接，在边上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：，请根据以下思路完成填空： 证明：平分， ， ， ∴ ① ， 为的中点， ∴ ② ， ． 在与中， ， ． ． ． 【答案】(1) (2)； ； 【分析】（1）根据角的平分线的基本作图，解答即可；用圆规采用画弧法截取即可； （2）根据角的平分线定义，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质解答即可； 【详解】（1）略 （2）证明：平分， ，， ， ∴， ； 为的中点， ∴， ． 在与中， ， ． ． ． 16．如图，在中，．请完成下面的作图和填空． (1)用尺规完成以下基本作图：作边的垂直平分线，与边、分别交于点、；与的延长线交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法，不写结论） (2)在（1）问的条件下，若，求证：． 请将下列证明过程补充完整 证明：∵垂直平分 ∴___________①___________， ∴为等腰三角形 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴___________②___________ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴___________③___________ 在和中 ∴（___________⑤___________） 【答案】(1)图见解析 (2)①；②；③；④；⑤ 【分析】（1）先根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”这一原理，分别以、为圆心，取大于的长度为半径画弧，两弧的两个交点连线即为的垂直平分线，再按要求找到直线与、、延长线的交点、、，连接并保留所有作图痕迹即可； （2）先根据垂直平分，由垂直平分线上的点到线段两端距离相等得到，再结合等量代换得到，接着由垂直和对顶角相等推导出两组对应角相等，再结合与均为直角得到第三组角相等，最后根据判定定理完成的证明，按逻辑补全证明过程中的空缺内容即可． 【详解】（1）解：如图，、、即为所求； （2）证明：∵垂直平分， ∴，， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【类型3 折叠相关几何证明】 17．在数学综合实践课上，同学们开展对三角形折叠问题的探究活动． 如图1，在中，，，点是边上一点，点是边上一点，将沿着折叠，点的对应点是点． (1)奋进小组按图1的方式折叠，点与重合，将折叠后，点落在的延长线上，求的度数． (2)如图2，善思小组沿折叠后点落在的延长线上，此时， ①试说明； ②试探究线段，和的数量关系，并说明理由． (3)创新小组提出新的问题，折痕经过的中点时，即点是中点，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①∵在中，，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ②，理由如下： 由①可得， ∴， ∵，，且， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴； (3)的度数为或或 【分析】（1）由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由折叠的性质可得，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （2）①由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由折叠的性质可得，，从而可得，，最后结合全等三角形的判定定理证明即可； ②由①可得，则，证明出，由折叠的性质可得，再结合，即可得证； （3）由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由折叠的性质可得，，，从而可得，分三种情况：当时；当时；当时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴； （2）①略； ②略； （3）解：∵在中，，， ∴， ∵是中点， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∴， ∵是等腰三角形， ∴当时，， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的度数为或或． 18．将长方形纸条折叠，． (1)按如图①折叠，若，则_____； (2)按如图②折叠，，请用含的代数式表示； (3)如图③，在长方形纸片的两端分别折叠，和分别为折痕，且，试说明和之间的关系． 【答案】(1) (2) (3)，理由如下： ∵， ∴， 根据折叠的性质得， ∵， ∴， ∴． 根据折叠的性质得， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 【分析】（1）根据折叠的性质得，再根据平行线的性质得，进而求出，然后求出，则此题可解； （2）由题意得，再根据折叠的性质可得，然后根据平角定义和三角形内角和定理求出，进而得出，最后根据直角三角形的两个锐角互余得出答案； （3）根据平行线的性质得，再根据折叠的性质得，进而得出，然后根据折叠的性质得，接下来根据平角定义得，即可得出，则此题可解． 【详解】（1）解：根据折叠的性质得， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：由题意得， 根据折叠的性质可得， 即． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴； （3）略 19．【综合与实践▪操作探究】 在学习了平行线的判定后，老师让同学们通过折纸探究平行线的画法．请根据以下步骤完成操作并回答相关问题． 操作步骤： 1．如图，准备锐角三角形纸片； 2．第一次折叠，将折叠，使点落在边上的点处，折痕为（在上，在上）； 3．第二次折叠：将折叠，使点落在边上点处，折痕为（在上）． 问题： (1)（操作理解）在第一次折叠后，判断折痕与的位置关系，并说明理由； (2)（结论验证）根据折叠结果，请你用所学知识证明； (3)（拓展应用）请你利用（2）的结论，证明：． 【答案】(1) 理由：由折叠可知， (2) 证明：由折叠可知，， ， 即 由（1）知， (3) 过点作交于点 又 ∴ 又 ∴ 由折叠得， ， 由折叠得 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，折叠的性质. （1）根据折叠的性质得到，即可判断； （2）由折叠可知，，，可得，再由同旁内角两直线平行证明即可； （3）过点作交于点，根据平行线的判定和性质得到，，由折叠得，由可得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 20．已知点A，B分别是锐角（）的边，上的点，先将沿着折叠，折叠后点P的对应点为Q， (1)如图1，若折叠后点Q落到的内部，且，与相等吗？若相等说明理由？ (2)如图2，若折叠后，试说明； (3)在（2）的条件下，过点Q作交于点C，当时，求度数？ 【答案】(1) 解：；理由如下： ∵， ∴， 根据折叠可知：， ∴； (2) 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据折叠可知：， ∴； (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据折叠得出，即可得出结论； （2）根据三角形内角和得出，根据三角形外角的性质得出，根据折叠得出，即可得出结论； （3）根据平行线的性质得出，根据，得出，根据，求出，根据折叠得出，即可得出，从而求出结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 根据解析（2）可知：， ∴， ∴， ∴， 根据折叠可知：， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握折叠的性质． 21．问题情境： 在综合与实践课上，数学老师让同学们以“折叠”为主题展开数学活动． 探究发现： (1)如图1，长方形纸片中，，点分别为边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在点的位置，若的延长线过点，且，则______； (2)如图2，长方形纸片中，，点分别为，边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在点的位置，若的延长线交于点，求的度数； 延伸拓展 (3)如图3，三角形纸片中，．点为边上一点不与点重合，将三角形纸片沿折叠后，点落在点的位置．若所在直线与三角形的一边所在直线垂直，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）根据已知，结合平行线的性质可得，进而根据折叠的性质可得得出，根据平行线的性质，得出，结合已知，即可求解； （2）根据平行线的性质可得，根据折叠的性质得， 根据邻补角可得，进而根据三角形的外角的性质即可求解； （3）分三种情况讨论，根据平行线的性质以及折叠的性质分别求得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵四边形是长方形， ∴ ∵ ∴ ∵将长方形纸片沿折叠后，点分别落在点的位置， ∴ ∴ ∵的延长线过， ∴； 又∵， ∴ （2）解：如图 ∵四边形是长方形， ∴ ∵ ∴ ∵将长方形纸片沿折叠后，点分别落在点的位置， ∴ ∴ ∴ ∴ （3）解：如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴； 如图，当时， ∵， ∴ ∴ ∵折叠， ∴， ∵， ∴； 如图，当时，设交的延长线于点， ∵， ∴ ∵折叠， ∴， ∵， ∴； 综上所述，若所在直线与三角形的一边所在直线垂直，或或 22．有一张长方形纸片，点E是边上的一定点，点F是边上一动点，连接，将沿折叠得到；点G是边上一动点，连接，将沿折叠得到． (1)如图1，当折叠得到的与没有重叠部分时． ①当，时，______，______； ②若，求的度数． (2)如图2，当点落在直线上时，______，______； (3)如图3，当折叠得到的与有重叠部分时，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；；② (2)；0 (3)， 理由如下： 设，， 则， ∴， ∵， 即， ∴， 即． 【分析】本题考查了图形的翻折，角度的和差，由翻折前后角度不变且相等结合等量代换，利用平角为求解角度是解决本题的关键． （1）①根据平角为即可求解，再根据三角形翻折可得角度相等，即可求解； ②根据三角形翻折可得，，再由平角为，整体求解的度数，即可求解； （2）根据点落在直线，以及图形翻折可得，且这四个角相加为求解即可； （3）根据图形翻折可得，，设出未知数x和y，由平角表示出角的关系即可求解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵由翻折得到，由由翻折得到， ∴，， ∴， 故答案为：；； ②∵由翻折得到，由由翻折得到， ∴，， ∵， ∴， 即， 则有， 解得， ∴； （2）解：∵由翻折得到，由由翻折得到， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ， 故答案为：；0； （3）略 23．综合与实践课上，李老师带领同学们动手折叠一张正方形纸片．点E在边上，点分别在边上，分别沿把向内折叠并压平，点分别落在点和点处，且点和点都在正方形内部． 【问题初探】 （1）小明同学的折叠如图1，若，求的度数． 【特例探究】 （2）小颖同学的操作如图2，点在线段上；小丽同学的操作如图3，点在上，点在上．分别求出图2和图3中的度数． 【归纳推广】 （3）若小聪折叠后，直接写出的度数（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；（3）的度数为或 【分析】本题考查了几何综合，折叠的性质，角度的和差，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据折叠的性质可得，即可求解． （2）图2根据折叠的性质得，从而可得，即可求解；图3根据折叠的性质可得，再由，即可求解； （3）分两种情况：先表示出的度数，再根据和进行求解即可． 【详解】解：（1）， ， 由折叠的性质得：， ， ； （2）图2中，由折叠的性质得：， ， ， ， 即， ； 图3中，由折叠的性质得：， ， ， ， 即； （3）分两种情况进行讨论： ①当与不重叠时，如图1所示： 由折叠的性质得：， ， ， 即，， ， ②当与重叠时，如图4所示： 由折叠的性质得：， ， 又， ， 即， ， 综上所述：的度数为或． 24．在一次数学活动课上，老师要求同学以“折纸中的数学”为主题开展折纸活动．如图1，在长方形纸片中，，分别是边，上一点，将纸片沿折叠，使点落在点处；再将沿折叠，使点落在点处，且，，三点在同一条直线上． (1)求的大小； (2)图2是由图1得到的四边形纸片，，分别是边，上一点，将纸片沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，，，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据折叠的性质得出，，根据平角的定义，即可求解； （2）由（1）可知：，根据折叠的性质设，，根据平角的定义可得，，解方程求出，，结合四边形的内角和是，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，由图形折叠的特征可得：，， ， ， ． （2）解：如图2： 由（1）可知：， 设，， 则，， ∵，， 故，， 解得，， 在四边形中，， 在四边形中，． 【类型4 等腰三角形相关几何证明】 25．如图，在中，，，边沿着过点的某条直线对折得到，连接，以为边在左侧作，其中，，与交于点，连接． (1)如图1，连接，当点在外部时，试说明； (2)如图2，连接，当点在的斜边上时，试判断的形状并说明理由； (3)如图3，当点在的内部时，若点为的中点，且，求的长． 【答案】(1)证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． (2)解：结论：是等腰三角形， 理由：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵据（1）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． (3)4 【分析】（1）利用折叠性质得到，结合直角推导出一组夹角相等，再匹配两组对应边相等，用证明全等； （2）先由等腰直角三角形求出，借助第（1）问的全等转移角，然后通过三角形内角和计算，得到两角相等，判定等腰三角形； （3）倍长中线构造平行四边形，转化边与角的关系，然后证明是等腰三角形的角平分线，由三线合一得到垂直平分线，完成线段等量代换，最后利用（1）的全等，把转化成求出长度． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长到，使得，连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵据（1）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴． 26．如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为．是由沿方向平移得到的，已知过点，连接交于点． (1)求的大小； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明： 是由沿方向平移得到的， ， ， 由（1）可知， ． 为等边三角形， ，， ， ， ． 又， ∴是的垂直平分线， ． 【分析】（1）根据等边三角形的性质及三线合一的性质求出的度数，再根据直角三角形的性质即可求出的度数． （2）根据平移的性质和平行线的性质求出的度数，再利用等边三角形的性质和直角三角形的性质，利用角的和差关系求出的度数，进而推出，根据，利用线段垂直平分的判定即可推出． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， 是的中点 ． 又， ， ． （2）略 27．如图，已知在中，，是边上的中线，点为边上一点，与交于点，，交的延长线于点． (1)如果平分，，求的度数； (2)如果点是边中点，连接，求证：． 【答案】(1) (2)证明：如图，连接， 由（1）得， 又， ， ，， ，是边上的中线， 是的角平分线， ， ，即； 点是边中点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】（1）由等边对等角得，由三线合一得，再由三角形外角的性质求解； （2）先证，由平行线的性质得，，由三线合一得是的角平分线，等量代换得出；证明，推出，再证，即可证明． 【详解】（1）解：中，，， ， 平分， ， ，是边上的中线， ， ， ． （2）略 28．如图，在中，，，点是上一点，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于，且．求证： (1)； (2)平分． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． (2)证明： ∵，， ∴，即E为中点． ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴平分． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． （1）证明，即可证明结论； （2）由，，得出，利用垂直平分线的性质，得出，最后利用等腰三角形三线合一的性质，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 29．如图，，的垂直平分线交于点D． (1)若，求的度数； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理得出，利用垂直平分线的性质得出，再由等边对等角得出，结合图形即可求解； （2）根据垂直平分线的性质和三角形周长的计算公式进行等量代换计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴． ∵， ∴， 即的周长为． 30．已知，在中，，于点D，E是上一点，满足：；将绕点E顺时针旋转，交于点F． (1)如图1， ①试说明：； ②若，请探究与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若E是线段的中点，求的值． 【答案】(1)证明：，， ， ， ， ， ∵将绕点E顺时针旋转，交于点F， ， ， ， ； ②，理由如下： 过F作于H， 由①知，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． (2)3 【分析】（1）①根据等腰三角形的性质得到，再根据旋转性质和余角性质得到，然后根据等角对等边可得结论； ②过F作于H，则，证明得到即可得到结论； （2）过F作于G，根据等腰三角形的性质，结合已知可得，由推导出，进而利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）①略； ②略 （2）解：如图，过F作于G， 是线段的中点， ， 由（1）知， ， ∵， ， ， ， 即， ， ， ． 31．如图，在中，于D，于E，交于点O，且． (1)求证：； (2)连接，求证：平分； (3)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵于D，于E， ∴， ∵，， ∴； (2)证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵于D，于E， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分； (3) 【分析】（1）利用证明即可； （2）证明，即可得证； （3）根据三角形的内角和定理，进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴. 32．在中，，平分，平分，过O点作，使． (1)图中共有几个等腰三角形？ (2)线段与线段，之间有什么数量关系？你能说明理由吗？ 【答案】(1)图中共有5个等腰三角形 (2)，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【分析】（1）根据得到是等腰三角形，根据平行线的性质得出，因此是等腰三角形．根据角平分线的定义得出，因此是等腰三角形．根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，因此，都是等腰三角形，即可解答； （2）根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，得出，，因此根据线段的和差得到． 【详解】（1）解：∵， ∴，即是等腰三角形． ∵， ∴，， ∴， ∴，即是等腰三角形． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，即是等腰三角形． ∵， ∴，， ∴，， ∴，，即，都是等腰三角形． 综上所述，图中共有5个等腰三角形． （2）略 【类型5 等边三角形相关几何证明】 33．如图，，分别是等边三角形的两边，上的点，且，、相交于点，于，，． (1)求证： (2)求的长． 【答案】(1)证明：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ； (2)9 【分析】（1）先根据等边三角形的性质和证明，可得，再利用三角形的外角性质即得结论； （2）先利用角的直角三角形的性质求出的长，进而可得的长，再利用（1）的结论即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ， ， ， ， ， 由（1）得， ． 34．在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明：， ， ， ． ， 是等边三角形； (2)证明：是等边三角形， ． ， ，即． 在与中， ， ， ． 【分析】(1) 首先由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出是等边三角形； (2) 由是等边三角形可得，，进而得出，然后由证明，最后可得． 【详解】（1）略 （2）略 35．如图，在等边中，D、E分别为、边上的两动点，且总使，与交于点F，于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)连接，若，已知，求等边的边长； 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． (2)7 (3)6 【分析】（1）利用等边三角形的性质，结合已知条件得出，从而利用“”证得； （2）由（1）的结论，得出，再利用解含30度角的直角三角形的性质即可求得，最后利用线段和差关系求得； （3）根据已知条件，利用解含30度角的直角三角形的性质求出，再根据已知条件结合线段和差关系即可求得等边的边长． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，，， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴等边的边长为6． 36．在中，，平分，平分，过O点作，使，且． (1)图中有几个等边三角形？ (2)若，你能求出的周长吗？ (3)你还能求出的周长吗？ 【答案】(1)图中有2个等边三角形 (2)能，的周长为30 (3)能，的周长为45 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据“等角对等边”得到，即可证明是等边三角形．同理证明，可得出是等边三角形； （2）由，，得到．根据角平分线的定义及平行线的性质得到，得出，同理可得，即可得到．再根据是等边三角形，即可根据等边三角形的性质求出周长； （3）根据是等边三角形即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 综上所述，图中共有2个等边三角形． （2）解：根据（1）可得，， ∴， 即． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得． ∴． 根据（1）可得是等边三角形， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， 由（1）可知是等边三角形， ∴． 37．如图，是的高，点是的中点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：，点是的中点， ， ， ， ， ， 是等边三角形； (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得垂直平分，得出，再求出，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，再由直角三角形的性质得出，再由点是的中点得到的长． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得是等边三角形， ，， ， ， ， ， ∵点是的中点， ． 38．如图，是等边三角形，D是边的中点，，且，交于点F． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)证明：， ， ． ，，． 是等边三角形， ， ∵， ∴， ， 是等边三角形． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，根据平行线的性质即可求出的度数； （2）根据垂线的性质得到，可知，进而得到，，，根据等边三角形的性质得到，证明，得到，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， D是边的中点， ． ， ； （2）略． 39．如图，是等边三角形，点是边上一点，，，试判断与的位置关系，并说明你的理由． 【答案】 理由如下： 是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 【分析】证明，可得，即可求证． 【详解】略 40．如图1，在中，，D是边的中点，P是内部的一个动点，连接． (1)当，时，直接写出的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，且当时，请判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当，且时，请判断线段与线段之间的数量关系，并给予证明． 【答案】(1) (2) ， 理由如下：因为，， 所以． 因为，所以． 因为，，所以是等边三角形， 所以， 所以， ， 所以，， 所以，． 因为D是边的中点，所以， 所以，在中，由知， 所以，． (3) ， 证明：如图，以为边在的右侧作等边三角形，连接， 延长至点F，使，连接． ∴，． ∵，， ∴是等边三角形． ∵是等边三角形，是等边三角形， ∴，，． ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴，． ∵， ∵D是边的中点， ∴． 在和中，， ∴， ∴，（即）， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴． 【分析】（1）根据题意可得，进而得到，再由即可求解； （2）由题可知是等边三角形，进而得到，然后根据直角三角形中所对的边等于斜边一半即可求解； （3）以为边在的右侧作等边三角形，连接，延长至点F，使，连接，可得是等边三角形，再证、、，利用全等三角形的性质即可证明． 【详解】（1）解：， ， 又，， ， ； （2）略 （3）略 【类型6 “将军饮马”实际应用】 41．探究最短路径与等边三角形几何问题，并完成以下问题 问题探究 (1)如图①，在直线l的同侧有A，B两点，在直线l上画出一点P，使得的值最小； (2)如图②，已知在等边中，点D，E，F分别在边，，上，且满足，，求证：； 问题解决 (3)某高校里有一块等边三角形的景观湖，如图③所示，学校要在湖边打造休闲步道，点D、E分别在边、上，满足；以为边作等边，点F在内部；计划在和处安装装饰灯带，其中G是AC中点，已知点B到的距离为米，灯带每米造价元，为了节约成本，要求安装灯带的费用最少，请你求出安装灯带的最少费用是多少元？ 【答案】(1)如图，点P为所求； (2)证明：是等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； (3)元． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：如图③，延长交于点，连接，过点作交于点，连接， ，， 是等边三角形， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 又， ，即， ， ， ， ， ， ， ， 点作关于的对称点为， 点在上， 在和中， ， ， ， ，当且仅当点三点共线时，取等号． 点是的中点， ， 为边上的高，长度为米， 安装灯带最短为米， 元， 答：安装灯带的最少费用是元． 42．【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图1，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点C饮马，再去河岸同侧的营地B开会，应该怎样走才能使路程最短？ (1)【分析问题】为了解决这个问题，数学小组的同学提出了四种确定河边饮马点C的方案．正确的方案是________（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是________． (2)【解决问题】如图2，在中，点B与点C关于直线m成轴对称，点P是直线m上的动点．若，，，求周长的最小值． (3)【类比探究】如图3，点P是内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流边上一点C饮马，再到草地边上一点D吃草，最后回到军营P．请在图3上画图：使将军走过的路程最短，（尺规作图，保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线）并说明理由． 【答案】(1)④，两点之间，线段最短； (2)11 (3) 解：如图，最短， 理由：过点P分别作的对称点，， 连接与交点即为点C，D． ，， 最短． 【分析】（1）根据轴对称的性质以及两点之间线段最短即可求解； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点，由对称轴的性质可得，，则，则的周长最小值转化为的值； （3）①过点分别作的对称点，连接与交点即为点，则此时最短． 【详解】（1）解：正确的方案是④， 因为由轴对称的性质可得， 所以当点三点共线时， 所以此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短； （2）解：过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点P， 由对称轴的性质可得：，， ，， 的周长最小值为： ； （3）略 43．解决问题 (1)如图1，两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）将这个实际问题抽象出来，即：如图2，直线，点、分别位于直线的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小，在图2中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． (2)如图3，在（1）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图3中画出两座桥的位置． 【答案】(1) 点即为所求． (2) 点、、、即为所求． 【分析】（1）在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求； （2）在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求． 【详解】（1）解：在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点， （2）解：在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点， 44．如图，一条东西流向的小河在处直角转弯，改变为南北流向，河宽不变．两地分别在河的北岸和西岸，现分别要在东西、南北流向的河上建两座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河两岸是平行线，桥与河垂直） 【答案】如图，在点处造桥，所得路径最短； 【分析】由于河的宽度是固定的，因此当最小时，最小，沿垂直河岸的方向平移点A到，使得河宽，再利用两点之间线段最短，可确定桥的位置． 【详解】解：如图，把河的两岸看成平行线和，将沿河岸垂直的方向平移等于河宽的距离，即点移动到点，点移动到点，则，； 同理，将点B沿垂直河岸方向平移河宽距离到点，使得，则； 所以， 在连接两点的线中，线段最短， 因此与直线的交点的位置即为所求，即在点处造桥，所得路径最短． 45．如下图，军营和军营在河岸的同一侧，将军骑马从军营到河岸上的点处，沿河岸向东遛马至点处后骑马去军营，遛马的距离同图中的长度，遛马点，如何设置才能使军营到点与军营到点的距离之和最短？请画出示意图，并说明原因． 【答案】 点，的位置如图所示．理由如下： 将点向东平移的长度得到点，作点关于直线的对称点， 连接交直线于点，在直线上任取一点，连接，，． 连接，将向西平移的长度得到． 由作图可得，，，． 要求的最小值，即求的最小值． ， 当点，，在同一条直线上时，取得最小值， 即点与点重合时，最小， 故点，即为所求． 【分析】本题主要考查轴对称的性质，解题关键是利用轴对称的性质得出线段相等，进而将问题转化为在直线上找一点，使得最小． 将点向东平移的长度得到点，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，在直线上任取一点，连接，，，将问题转化为求的最小值，当点，，在同一条直线上时，取得最小值，由此即可得到点，的位置． 【详解】略 46．综合与实践 【阅读材料】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马． 【问题提出】如题1图，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，将军到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短，正是我们要探究的问题． 【问题探究】（1）如题2图，直线的两侧分别有两点，请你在直线上确定一个点，使最短． 【问题解决】（2）上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如题3图，请你用尺规作图在直线上求出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【评价反思】 （3）如题4图，草地边缘与小河河岸在点处形成的夹角，牧马人从地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．已知，请在备用图题5图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 【答案】（1）如图，点C即为所求； （2）如图，点C即为所求； （3）如图所示，整个过程所行的路程为． 【分析】本题考查了最短路径的实际应用，等边三角形的判定和性质；解题的关键是正确作图，正确找到对称点及最短路径线段． （1）直接连接交直线l于点C即可； （2）作A关于l的对称点，连接交l于点C即可； （3）分别作出点A关于、的对称点B，C，连接分别交、于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求最短路径，结合题意易证为等边三角形，从而求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）分别作出点A关于、的对称点B，C，连接分别交、于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求的最短路径． 由题意，得， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ∴， ∴整个过程所行的路程为． 47．综合探究 【问题背景】直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上存在点P，使得的值最小． 【解法探究】如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为． (1)【深入研究】如图2，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点．若，求的最小值． (2)【应用拓展】如图3，草地边缘与小河河岸在点O处形成的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知，请在图中设计一条路线，使马所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 【答案】(1) (2) 如图3，连接，分别作出点A关于，的对称点B，C，连接分别交，于点D，E，连接，，则线段，，之和即为所求的最短路径； 路程为 【分析】本题考查了最短路径的实际应用，等边三角形的判定和性质，根据轴对称性质求解等知识点，解题的关键是正确作图，正确找到对称点及最短路径线段． （1）如图2，连接，由题意可知点B关于直线的对称点为C，可得，当E，P，C三点共线且时取得最小值，结合等边三角形性质可求得最小值； （2）如图3，连接，分别作出点A关于，的对称点B，C，连接分别交，于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求最短路径，结合题意易证为等边三角形，从而求解． 【详解】（1）解：如图2，连接，， ∵等边中， 是的平分线， ∴，平分线段， ∴是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为C，， ∴， 当E，P，C三点共线时，取得最小值为， 当时，取得最小值， 是等边三角形， ∴， ∴的最小值为； （2）解：如图3，连接，分别作出点A关于，的对称点B，C，连接分别交，于点D，E，连接，，则线段，，之和即为所求的最短路径； 由对称的性质，得， ，，，， ∴， ∵草地边缘与小河河岸在点O处形成的夹角， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴整个过程所行的路程为． 48．如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） (1)作图，并保留作图痕迹，不需要写作法； (2)最短，说明理由． 【答案】(1) 如图所示：平移点到，使得等于河宽，连接交河岸于点，作桥，连接即可， (2) 如图，另任意作桥，连接，，， 由平移的性质可得：，，， 故转化为， 而转化为， 在中，， ∴， 故最短． 【分析】本题考查了最短路径问题、平移的性质、三角形三边关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）平移点到，使得等于河宽，连接交河岸于点，作桥，连接，此时最短； （2）另任意作桥，连接，，，由平移的性质可得，，，故转化为，而转化为，再结合在中，，即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 轴对称相关基础解答题分类训练 （6种类型48道） 专题目录 【类型1 轴对称相关网格作图】 1 【类型2 轴对称相关尺规作图】 4 【类型3 折叠相关几何证明】 10 【类型4 等腰三角形相关几何证明】 13 【类型5 等边三角形相关几何证明】 16 【类型6 “将军饮马”实际应用】 18 【类型1 轴对称相关网格作图】 1．在如图正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线的交点）三个顶点的坐标分别为，． (1)请在如图网格平面内画出平面直角坐标系； (2)请在如图网格平面内画出关于轴对称的图形，并写出顶点的坐标； (3)若点，且轴，则的长为__________． 2．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上． (1)请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系，使点A坐标为，点坐标为； (2)在（1）的条件下： ①B的坐标是__________； ②请画出点关于轴的对称点，并在图中注明点的坐标． 3．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点A坐标为，点B坐标为； (2)请画出关于y轴对称的图形，并写出点的坐标为______． 4．如图，在的网格图中，点A，B，C都在网格的格点上． (1)利用网格图，画出关于直线l对称的； (2)在直线l上画出点P，使的值最小．（保留作图痕迹，标出点） 5．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点A坐标为，点B坐标为； (2)请画出关于y轴对称的图形，并写出点的坐标为______； (3)在y轴上标出点P，使得的值最小． 6．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上．    (1)请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系，使点A坐标为，点C坐标为． (2)在（1）的条件下，画出关于y轴对称的． 7．如图，是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，已知的顶点均为格点（网格线的交点）且直线l也经过格点． (1)画出关于直线成轴对称的； (2)将向下平移2个单位长度得到，画出． 8．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线交点． (1)建立平面直角坐标系，使点A，B的坐标分别为，； (2)在（1）建立的平面直角坐标系中， ①点与点C关于y轴对称，写出点的坐标； ②若A，B，C，D四点构成一个轴对称图形，直接写出满足条件的点D的个数． 【类型2 轴对称相关尺规作图】 9．如图，在中，，． (1)请用尺规完成基本作图：作斜边的垂直平分线分别交、于点D、E，连接；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：．（请补全下面的证明过程） 证明：在中，∵，，∴， ∵垂直平分，∴______． ∴______，∴， 在中，∵，，∴______，∵，∴． 10．如图，在中，，延长至点，过点作于点，交于点．请完成以下尺规作图和填空： （）请用尺规作的平分线交于点；（只保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （）已知：平分交于点，求证：． 证明：平分， ① ， ， ② ， ， ， ， ∴③ ， ∴， ∴④ ，， ∴⑤ ， ． 11．在学习了三角形和四边形的相关知识后，在对角互补的四边形中，，若，则有平分，请根据以下思路完成以下作图和推理填空： (1)用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线，交直线于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：平分． 证明：过点作于点 ①______ 又②______ 在和中 ④______ ， 平分． 12．学习了等边三角形和尺规作图后，小张对等边三角形进行了进一步探究．如图，点是等边三角形边上一点，连接，请帮助小张完成如下作图和填空： (1)用尺规在内部以为边作，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图形中利用三角形全等证明． 证明：是等边三角形 ， ① 在和中 （ ② ） ③ （ ④ ） ． 13．如图，在中，是延长线上的一点，点是的中点． (1)请用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母：作的平分线，连接并延长交于点（保留作图痕迹，不写作法）． (2)求证：（请补全下面的证明过程）． 证明：点是的中点， ， ①_________； ， ， 即， 平分， ， ②_________， 在和中， ， （③______） ． 14．已知：如图，中，，，为上一点，平分交于． (1)使用尺规完成基本作图：作于点交于点．（保留作图痕迹，不写做法，不下结论） (2)求证：． 证明：， 平分 ① ． ，② 在和中 ． 15．如图，在中，，点为边的中点． (1)用尺规完成基本作图：作的平分线交于点，连接，在边上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：，请根据以下思路完成填空： 证明：平分， ， ， ∴ ① ， 为的中点， ∴ ② ， ． 在与中， ， ． ． ． 16．如图，在中，．请完成下面的作图和填空． (1)用尺规完成以下基本作图：作边的垂直平分线，与边、分别交于点、；与的延长线交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法，不写结论） (2)在（1）问的条件下，若，求证：． 请将下列证明过程补充完整 证明：∵垂直平分 ∴___________①___________， ∴为等腰三角形 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴___________②___________ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴___________③___________ 在和中 ∴（___________⑤___________） 【类型3 折叠相关几何证明】 17．在数学综合实践课上，同学们开展对三角形折叠问题的探究活动． 如图1，在中，，，点是边上一点，点是边上一点，将沿着折叠，点的对应点是点． (1)奋进小组按图1的方式折叠，点与重合，将折叠后，点落在的延长线上，求的度数． (2)如图2，善思小组沿折叠后点落在的延长线上，此时， ①试说明； ②试探究线段，和的数量关系，并说明理由． (3)创新小组提出新的问题，折痕经过的中点时，即点是中点，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 18．将长方形纸条折叠，． (1)按如图①折叠，若，则_____； (2)按如图②折叠，，请用含的代数式表示； (3)如图③，在长方形纸片的两端分别折叠，和分别为折痕，且，试说明和之间的关系． 19．【综合与实践▪操作探究】 在学习了平行线的判定后，老师让同学们通过折纸探究平行线的画法．请根据以下步骤完成操作并回答相关问题． 操作步骤： 1．如图，准备锐角三角形纸片； 2．第一次折叠，将折叠，使点落在边上的点处，折痕为（在上，在上）； 3．第二次折叠：将折叠，使点落在边上点处，折痕为（在上）． 问题： (1)（操作理解）在第一次折叠后，判断折痕与的位置关系，并说明理由； (2)（结论验证）根据折叠结果，请你用所学知识证明； (3)（拓展应用）请你利用（2）的结论，证明：． 20．已知点A，B分别是锐角（）的边，上的点，先将沿着折叠，折叠后点P的对应点为Q， (1)如图1，若折叠后点Q落到的内部，且，与相等吗？若相等说明理由？ (2)如图2，若折叠后，试说明； (3)在（2）的条件下，过点Q作交于点C，当时，求度数？ 21．问题情境： 在综合与实践课上，数学老师让同学们以“折叠”为主题展开数学活动． 探究发现： (1)如图1，长方形纸片中，，点分别为边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在点的位置，若的延长线过点，且，则______； (2)如图2，长方形纸片中，，点分别为，边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在点的位置，若的延长线交于点，求的度数； 延伸拓展 (3)如图3，三角形纸片中，．点为边上一点不与点重合，将三角形纸片沿折叠后，点落在点的位置．若所在直线与三角形的一边所在直线垂直，直接写出的度数． 22．有一张长方形纸片，点E是边上的一定点，点F是边上一动点，连接，将沿折叠得到；点G是边上一动点，连接，将沿折叠得到． (1)如图1，当折叠得到的与没有重叠部分时． ①当，时，______，______； ②若，求的度数． (2)如图2，当点落在直线上时，______，______； (3)如图3，当折叠得到的与有重叠部分时，试猜想与的数量关系，并说明理由． 23．综合与实践课上，李老师带领同学们动手折叠一张正方形纸片．点E在边上，点分别在边上，分别沿把向内折叠并压平，点分别落在点和点处，且点和点都在正方形内部． 【问题初探】 （1）小明同学的折叠如图1，若，求的度数． 【特例探究】 （2）小颖同学的操作如图2，点在线段上；小丽同学的操作如图3，点在上，点在上．分别求出图2和图3中的度数． 【归纳推广】 （3）若小聪折叠后，直接写出的度数（用含n的代数式表示）． 24．在一次数学活动课上，老师要求同学以“折纸中的数学”为主题开展折纸活动．如图1，在长方形纸片中，，分别是边，上一点，将纸片沿折叠，使点落在点处；再将沿折叠，使点落在点处，且，，三点在同一条直线上． (1)求的大小； (2)图2是由图1得到的四边形纸片，，分别是边，上一点，将纸片沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，，，求的大小． 【类型4 等腰三角形相关几何证明】 25．如图，在中，，，边沿着过点的某条直线对折得到，连接，以为边在左侧作，其中，，与交于点，连接． (1)如图1，连接，当点在外部时，试说明； (2)如图2，连接，当点在的斜边上时，试判断的形状并说明理由； (3)如图3，当点在的内部时，若点为的中点，且，求的长． 26．如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为．是由沿方向平移得到的，已知过点，连接交于点． (1)求的大小； (2)求证：． 27．如图，已知在中，，是边上的中线，点为边上一点，与交于点，，交的延长线于点． (1)如果平分，，求的度数； (2)如果点是边中点，连接，求证：． 28．如图，在中，，，点是上一点，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于，且．求证： (1)； (2)平分． 29．如图，，的垂直平分线交于点D． (1)若，求的度数； (2)若，，求的周长． 30．已知，在中，，于点D，E是上一点，满足：；将绕点E顺时针旋转，交于点F． (1)如图1， ①试说明：； ②若，请探究与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若E是线段的中点，求的值． 31．如图，在中，于D，于E，交于点O，且． (1)求证：； (2)连接，求证：平分； (3)若，求的度数． 32．在中，，平分，平分，过O点作，使． (1)图中共有几个等腰三角形？ (2)线段与线段，之间有什么数量关系？你能说明理由吗？ 【类型5 等边三角形相关几何证明】 33．如图，，分别是等边三角形的两边，上的点，且，、相交于点，于，，． (1)求证： (2)求的长． 34．在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 35．如图，在等边中，D、E分别为、边上的两动点，且总使，与交于点F，于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)连接，若，已知，求等边的边长； 36．在中，，平分，平分，过O点作，使，且． (1)图中有几个等边三角形？ (2)若，你能求出的周长吗？ (3)你还能求出的周长吗？ 37．如图，是的高，点是的中点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 38．如图，是等边三角形，D是边的中点，，且，交于点F． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 39．如图，是等边三角形，点是边上一点，，，试判断与的位置关系，并说明你的理由． 40．如图1，在中，，D是边的中点，P是内部的一个动点，连接． (1)当，时，直接写出的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，且当时，请判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当，且时，请判断线段与线段之间的数量关系，并给予证明． 【类型6 “将军饮马”实际应用】 41．探究最短路径与等边三角形几何问题，并完成以下问题 问题探究 (1)如图①，在直线l的同侧有A，B两点，在直线l上画出一点P，使得的值最小； (2)如图②，已知在等边中，点D，E，F分别在边，，上，且满足，，求证：； 问题解决 (3)某高校里有一块等边三角形的景观湖，如图③所示，学校要在湖边打造休闲步道，点D、E分别在边、上，满足；以为边作等边，点F在内部；计划在和处安装装饰灯带，其中G是AC中点，已知点B到的距离为米，灯带每米造价元，为了节约成本，要求安装灯带的费用最少，请你求出安装灯带的最少费用是多少元？ 42．【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图1，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点C饮马，再去河岸同侧的营地B开会，应该怎样走才能使路程最短？ (1)【分析问题】为了解决这个问题，数学小组的同学提出了四种确定河边饮马点C的方案．正确的方案是________（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是________． (2)【解决问题】如图2，在中，点B与点C关于直线m成轴对称，点P是直线m上的动点．若，，，求周长的最小值． (3)【类比探究】如图3，点P是内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流边上一点C饮马，再到草地边上一点D吃草，最后回到军营P．请在图3上画图：使将军走过的路程最短，（尺规作图，保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线）并说明理由． 43．解决问题 (1)如图1，两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）将这个实际问题抽象出来，即：如图2，直线，点、分别位于直线的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小，在图2中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． (2)如图3，在（1）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图3中画出两座桥的位置． 44．如图，一条东西流向的小河在处直角转弯，改变为南北流向，河宽不变．两地分别在河的北岸和西岸，现分别要在东西、南北流向的河上建两座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河两岸是平行线，桥与河垂直） 45．如下图，军营和军营在河岸的同一侧，将军骑马从军营到河岸上的点处，沿河岸向东遛马至点处后骑马去军营，遛马的距离同图中的长度，遛马点，如何设置才能使军营到点与军营到点的距离之和最短？请画出示意图，并说明原因． 46．综合与实践 【阅读材料】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马． 【问题提出】如题1图，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，将军到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短，正是我们要探究的问题． 【问题探究】（1）如题2图，直线的两侧分别有两点，请你在直线上确定一个点，使最短． 【问题解决】（2）上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如题3图，请你用尺规作图在直线上求出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【评价反思】 （3）如题4图，草地边缘与小河河岸在点处形成的夹角，牧马人从地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．已知，请在备用图题5图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 47．综合探究 【问题背景】直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上存在点P，使得的值最小． 【解法探究】如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为． (1)【深入研究】如图2，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点．若，求的最小值． (2)【应用拓展】如图3，草地边缘与小河河岸在点O处形成的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知，请在图中设计一条路线，使马所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 48．如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） (1)作图，并保留作图痕迹，不需要写作法； (2)最短，说明理由． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $