30.3 正多边形与圆（第1课时 正多边形的概念及计算）（教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦正多边形的概念、与圆的关系及五大核心元素（中心、半径等）的计算，通过风电、足球等生活图案导入，结合三角形外接圆旧知，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光（几何直观），通过圆内接正多边形证明及直角三角形模型渗透数学思维（推理能力、模型意识），典例（如延安宝塔地基面积）和真题强化数学语言应用。学生能提升转化能力，教师可高效开展概念教学与解题指导。

30.3 正多边形与圆 第一课时 正多边形的概念及计算 第三十章 直线与圆的位置关系 人教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 掌握正多边形的严格定义，能准确判断正多边形，区分伪正多边形.理解正多边形与圆的关系：等分圆周可以得到圆内接正多边形，正多边形必有外接圆.熟记正多边形五大核心元素：中心、半径、中心角、边心距、边长.掌握中心角、内角的计算公式，能利用核心直角三角形模型完成边长、边心距、半径的基础计算. 经历从生活图形抽象正多边形、从等分圆生成正多边形的探究过程，提升图形观察、归纳概括能力.经历“圆内接正多边形拆分直角三角形”的建模过程，掌握化曲为直、化整为零的几何转化方法.通过例题演练，形成标准化、程序化的正多边形计算解题思路. 通过欣赏生活中正多边形与圆的对称图案，感受几何图形的对称美、规整美，提升几何学习兴趣.在公式推导、模型探究中体会数学规律的严谨性，养成严谨运算、规范推理的学习品质. 知识回顾 1.什么是三角形外接圆？ 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆 O B A C D r 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形. 2.什么是三角形内切圆？ 知识点链接 三角形的外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，称为三角形外心 三角形的内切圆的圆心是三角的平分线交点，称为三角形内心 导入新课 你能从这些图案中找出基本的几何图形吗?这些图形有什么共同特征？ 风电 正六边形地砖 足球 圆形雕花窗格 都是多边形 导入新课 这样的多边形就是正多边形，本节课研究正多边形的概念及与圆的计算关系. 各边相等、各内角相等、形状规整. 你能说出这些图形的边、角有什么规律？ 新知探究 探究点1 正多边形的严格定义 议一议 日常生活中，我们经常能看到正多边形形状的物体，以及利用正多边形构造的美丽图案(如图）. 定义：各边相等，并且各内角也相等的多边形叫做正多边形. 你还能举出一些这样的例子吗? 正多边形定义 新知探究 探究点1 正多边形的严格定义 议一议 图形 名称 边的关系 角的关系 …… …… …… …… 四条边相等 三个角相等（60°） 三条边相等 四个角相等（90°） 六条边相等 五个角相等（108°） 五条边相等 六个角相等（120°） 等边三角形 正方形 正五边形 正六边形 常见正多边形 菱形 矩形 正方形 新知探究 探究点1 正多边形的严格定义 议一议 各边相等， 但内角不都相等， 不是正多边形 说一说下列多边形是不是正多边形？ 各角相等， 但边长不都相等， 不是正多边形 四边相等、四角相等， 是正多边形 正多边形必须同时满足等边、等角两个条件，缺一不可. 新知探究 探究点2 正多边形与圆的关系 正多边形和圆的关系非常密切. 如图中的多边形是⊙O的内接正九边形. 讨论 （2）把一个圆分成相等的一些弧，以各分点为顶点的多边形是正多边形吗？ （1）把一个圆平均分成九份相等的弧，以各分点为顶点的多边形是正多边形吗？ 根据圆中相等弧对的弦等，对的圆周角相等可得： 只要把一个圆分成相等的一些弧，以各分点为顶点的多边形就是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆; 新知探究 探究点2 正多边形与圆的关系 画一画 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正多边形，这个圆就是这个正多边形的内切圆. 如图，A、B、C、D、E中是⊙O的五等分点 O A B C D E 经过各分点作圆的切线， 相邻切线相交于点F、G、H、I、J 多边形FGHI就是这个圆的外切正五边形 F G H I J 这个圆就是这个正五边形的内切圆. 圆的外切正多边形 圆的外切正六边形 新知探究 探究点2 正多边形与圆的关系 画一画 将圆周五等分、六等分，依次连接分点，得到圆内接正五边形、正六边形. 72° O A B C D E F 60° 各边相等 各内角相等 弦相等 圆周角相等 圆上弧相等 多边形是正多边形 O 多边形是正五边形 多边形是正六边形 新知探究 探究点2 正多边形与圆的关系 结 小 纳 归 （1）把一个圆n等分（n≥3），依次连接各分点，可以得到这个圆的内接正n边形； （2）任意一个正多边形都有唯一的外接圆，正多边形的顶点都在圆上. 是正n边形. 将一个圆分成n等份，依次连接各分点得到的多边形叫什么？ 新知探究 探究点2 正多边形与圆的关系 议一议 以圆的内接正五边形为例进行证明. 证明：∵ A、B、C、D、E中是⊙O的五等分点 ∴∠A =∠B 同理 ∠B =∠C =∠D =∠E. 又五边形 ABCDE 的顶点都在⊙O 上， ∴五边形 ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，⊙O 是五边形 ABCDE 的外接圆. O A B C D E ∴. ∴AB=BC=CD=DE=EA. . 求证：把一个圆n等分（n≥3），依次连接各分点，可以得到这个圆的内接正n边形； 已知：如图，A、B、C、D、E中是⊙O的五等分点，顺次连结分点得五边形ABCDE 求证：五边形ABCDE为⊙O的内接正五边形 规范书写 新知探究 归一归 O B C E F A D 探究点3 正多边形五大核心元素与计算模型 正多边形的外接圆的圆心，叫作正多边形的 ； 中心 正多边形外接圆的半径叫作正多边形的 ； 半径 正多边形每一条边所对的圆心角，叫作正多边形的 ； 中心角 正多边形中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的 ； 边心距 正多边形的每一边的长叫做正多边形 . 边长 正多边形五大核心元素： 中心角 半径R 边心距r 边长 正n边形的一个内角的度数是____________； 中心角是___________； 正多边形的中心角与外角的大小关系是________； 正多边形的中心角与内角的大小关系是________. 相等 互补 （1）正多边形的特征： 议一议 探究点3 正多边形五大核心元素与计算模型 O . R r a （2）核心计算模型： 过中心作边的垂线（边心距），由垂径定理可得： 半径、边心距、半边长，构成全等的直角三角形. 满足勾股定理： =+（ 斜边 = 正多边形半径R 一条直角边 = 边心距r 一条直角边 = a（半边长） 在Rt△中 新知探究 新知探究 探究点3 正多边形五大核心元素与计算模型 议一议 外接圆的圆心 外接圆的半径 正多边形的每一条边所对的圆心角 弦心距 正多边形的中心 正多边形的半径 正多边形的中心角 正多边形的边心距 O 圆心 半径 圆心角 弦心距 弦 O 中心 半径 边心距 中心角 类比学习 圆内接正多边形 归一归 （1）证明一个多边形是正多边形的方法： 1.证明多边形的各角都相等，各边都相等. 2.证明圆周被多边形的顶点n等分.因为相邻两个顶点间的弧相等，所以所对的弦（多边形的边）相等，相邻两弦所夹的角相等. 探究点3 正多边形五大核心元素与计算模型 添加辅助线的方法： （1）连半径，得中心角； （2）作边心距，构造直角三角形 （2）与正多边形有关计算的方法： O . R r a 新知探究 典例分析 例1. 延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一个八角九层楼阁式砖塔，其地基的形状是半径为6m的正八边形(如图).求宝塔地基的面积(结果保留小数点后一位). 解：如图，连接OA，OB作AP⊥OB，垂足为P. ∵八边形ABCDEFGH是半径为6 m 的正八边形， ∴OA=OB=6，∠AOB==45° 又△APO为直角三角形， ∴ ∠OAP=∠AOB. ∴ AP=OP. 在Rt△APO中，由勾股定理， 得AP²+OP²=OA²， ∴ AP=OA=3. 因此，塔基的面积 S=8××OB×AP=8××6×3=72≈101.8(m²）. 典例分析 例2．要用圆形铁片截出边长为a的正方形铁片，选用的圆形铁片的半径至少是多少？ 解：如图所示，连接AC， ∵∠D＝90°， ∴AC为直径， 在 Rt△ACD中， AC＝＝a， ∴半径至少为a． O A D B C 新知巩固 1.各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明为什么；如果不是，举出反例。 【教材P163】 解：各边相等的圆内接多边形是正多边形. 各角相等的圆内接多边形不是正多边形， 例如圆内接矩形，它不是正多边形. O A D B C 新知巩固 【教材P163】 2.分别求半径为R的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积。 解：(1)设半径为R的圆内接正三角形的边长为a，边心距为r，如图所示 O A B C R r D 由题意可得：∠BOD=60° ∴∠OBD=30° ∴OD=2OB 即 r = R 由勾股定理得：=+（ 解得：a=R S=3××a×r =3××R×R = 新知巩固 【教材P163】 2.分别求半径为R的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积。 O A D B C R 解：(2)设半径为R的圆内接正方形的边长为a，边心距为r，如图所示 由题意可得：∠BOE=45° ∴∠OBE=45° ∴OE=BE= 由勾股定理得：=+（ 解得：a=R，∴r= R S===2 E 解：连接、、， 五边形是的内接正五边形， ， ，， ， 在和中，， ， ， ，， ， ，， ． 拓展提升 1．如图，P，Q分别是的内接正五边形的边，上的点，，则的度数. 真题感知 1.（2026霍邱校考）下列说法正确的是（　　） A．正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形 B．正多边形的外接圆圆心是这个正多边形的中心 C．正n边形的中心角与其每一个外角互补 D．正五边形的边长等于其外接圆的半径 解： A．边数为偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形，边数为奇数的正多边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误； B．正多边形的外接圆圆心是这个正多边形的中心，故B正确； C．正n边形的中心角与其每一个外角都相等，都等于，故C错误； D．正六边形的边长等于其外接圆的半径，故D错误． B 真题感知 2．（2026阜阳统测）给出下列说法： ①各边相等的圆内接多边形是正多边形； ②各边相等的圆外切多边形是正多边形； ③各角相等的圆内接多边形是正多边形； ④各角相等的圆外切多边形是正多边形．其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①②③④ D．都不正确 解： ①各边相等的圆内接多边形是正多边形，正确； ②各边相等的圆外切多边形的角不一定相等，如菱形，故②错误； ③圆内接矩形，各角相等，但不是正多边形，故③错误； ④各角相等的圆外切多边形是正多边形，正确； ∴正确的为①④， A 真题感知 3．（2026淮南校考）如图，正六边形内接于，求的度数． 解： 正六边形内接于， 是直径， ∵ ∴ 真题感知 4．（2026·阜阳一模）如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O，F 是上的一动点，则（    ）   A．18° B．72° C．54° D．36° 解：∵ 是正五边形， ∴， 又∵是圆内接四边形， ∴， ∴， D 真题感知 5．（2026安阳阶段测试）求半径为2的圆的内接正六边形的面积. 解：如图： 连接、，作于， ∵等边三角形的边长是2， ∴高为， ∴等边三角形的面积为， ∵正六边形由6个等边三角形组成， ∴正六边形的面积为. ∟ G （1）正多边形定义：各边相等、各角相等，双条件缺一不可； （2）圆与正多边形关系：等分圆周可得圆内接正多边形，正多边形必有外接圆； （3）五大元素：中心、半径、中心角、边心距、边长； （4）核心公式：中心角、内角公式、半径边心距边长勾股关系； （5）核心模型：正多边形可拆分为2n个全等直角三角形. 课堂小结 知识与技能 O . R r a 课堂小结 （1）模型化思想： 将所有正多边形计算统一转化为直角三角形计算； （2）转化思想： 曲线圆的问题转化为直线多边形、直角三角形问题； （3）特殊到一般思想： 由正五边形、正六边形特例，归纳正n边形通用公式. 思想与方法 课堂小结 ＊（1）概念错误： 误认为等边或等角单一条件就是正多边形； ＊（2）公式混淆： 中心角是角，不可与内角公式混用； ＊（3）模型错误： 直角三角形直角边是半边长，不是整条边长； ＊（4）审题疏漏： 半径、边心距、边长条件看错，代值混乱. 易错点提醒 课后练习 1.完成下表中有关正多边形的计算: 正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积 3 60º 2 4 6 90º 120º 120º 90º 60º 2 2 2 2 1 1 6 8 12 3 6 4 习题 30.3 课本p164页 课后练习 2.要用圆形铁片截出边长为 a 的正方形铁片，所选圆形铁片的半径至少是多少？ a 习题 30.3 课本p165页 解：如图，连接AC,BD ∵∠D = 90°， ∴ AC 为 ⊙O 的直径．同理BD为 ⊙O 的直径 在Rt△ACD中，AC = = a， ∴ 选用的圆形铁片的半径至少为 a． 课后练习 5.如图，要拧开一个边长 a = 12 mm 的六角形螺帽，扳手张开的开口 b 至少是多少？ 习题 30.3 课本p165页 解：如图，连接 AC，AD． 易得 CD = a = 12 mm，AC = b， ∠ACD= 90°，∠ADC = 60°， ∴∠CAD = 30°． ∴ AD = 2CD = 24 (mm)． ∴ AC =12 (mm)， 即扳手张开的开口 b 至少要 12 mm． 课后练习 6.如图，正方形的边长为4 ，剪去四个角后成为一个正八边形. 求这个正八边形的边长和面积. 解：作如图所示辅助线。 设这个八边形的边长为a. S八边形+4S△=S正方形 ·2a×8+×()2×4=16 解得a=4-4 S八边形= (4-4)·2×8= 32-32 2 a 习题 30.3 课本p165页 课后练习 7.如图，一个亭子底部基座的形状是半径为4 m的正六边形，求底部基座的周长和面积(结果保留小数点后一位). 习题 30.3 课本p165页 A B C D E F M O 解：如图,设点O为正六边形ABCDEF的中心, 连接OC,OD，过点O作OM⊥CD于点M. 易知OC=OD=4. ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴AB=BC=CD=DE=EF=AF，∠COD=60°. ∴ △OCD是等边三角形， ∴ CD=OC=OD=4. ∵ OM⊥CD, ∴ ∠COM=∠COD=30°,CM= DM= CD=2. ∴ OM==2. ∴底部基座的周长为6CD=24.0m， 底部基座的面积为 6S△COD=6× CD·OM=6× ×4 × 2 =24 ≈41.6(m²). 谢谢聆听 $