30.3 正多边形与圆-课件-2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“正多边形与圆”核心内容，涵盖定义、与圆的关系、四要素、三大公式及计算模型，通过情境导入问题链（如“矩形是否为正多边形”“正多边形对称性”）连接多边形旧知，构建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于结合延安宝塔塔基计算、司南方位判断等实际案例，培养数学眼光；通过“万能直角三角形”模型推导及公式推理，发展数学思维；以符号语言表达数量关系并融入尺规作图，强化数学语言。分层练习与精炼小结助力学生系统掌握，也为教师提供高效教学资源。

人教版（新教材）数学九年级上册 第三十章 直线与圆的位置关系 30.3 正多边形与圆 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/5 30.3 正多边形与圆（专项精讲） 一、核心知识点（中考必考） 1. 正多边形定义 各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形。 注意：仅各边相等或仅各角相等不是正多边形（例如菱形、矩形）。 2. 正多边形与圆的关系 把一个圆$$n$$等分（$$n\ge3$$），依次连接各分点，可得到这个圆的内接正n边形；这个圆叫做正多边形的外接圆。 任意正多边形有且只有一个外接圆和一个内切圆，且两圆同心。 3. 正多边形四要素（必考概念） ① 中心：正多边形外接圆的圆心。 ② 半径：正多边形外接圆半径（中心到顶点的距离）。 ③ 边心距：正多边形中心到边的距离（也是内切圆半径）。 ④ 中心角：正多边形每一条边所对的圆心角。 4. 三大核心公式（背诵秒杀） 设正多边形边数为$$n$$，外接圆半径为$$R$$： 1. 中心角公式：$$\theta=\dfrac{360^\circ}{n}$$ 2. 内角公式：$$\text{内角}=\dfrac{(n-2)\times180^\circ}{n}$$ 3. 外角公式：任意正多边形外角和为$$360^\circ$$，单个外角$$=\dfrac{360^\circ}{n}$$ 5. 正多边形计算模型（万能直角三角形） 正多边形计算全部依托半个中心角、半条边长、边心距、外接半径构成的直角三角形： 半径$$R$$为斜边，边心距、半边长为两条直角边，满足勾股定理： $$\left(\dfrac{a}{2}\right)^2+r^2=R^2$$ $$a$$：边长，$$r$$：边心距，$$R$$：外接圆半径 二、常见正多边形特殊结论（填空速用） 1. 正六边形：边长 = 外接圆半径（最常考） 2. 正四边形（正方形）：对角线 = $$\sqrt{2}R$$ 3. 正三角形：边长$$=\sqrt{3}R$$ 三、高频易错点 1. 中心角、外角公式永远是$$\dfrac{360^\circ}{n}$$，内角公式不要记混； 2. 边心距是到边的距离，半径是到顶点的距离； 3. 正多边形的外接圆与内切圆同心圆，圆心都是正多边形中心； 4. 正多边形都是轴对称图形，偶数边还是中心对称图形。 --- 四、专项练习题 选择题（每题4分） 1. 正六边形的中心角为（） A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 2. 正五边形的每个内角度数为（） A. 72° B. 108° C. 120° D. 144° 3. 关于正多边形与圆，说法正确的是（） A. 菱形是正多边形 B. 正多边形中心到各边距离相等 C. 正多边形外接圆与内切圆不同心 D. 矩形是正多边形 填空题（每题4分） 4. 正多边形的中心角计算公式是________。 5. 正八边形的中心角为________°。 6. 正六边形边长为4，则其外接圆半径为________。 计算题（20分） 7. 已知正六边形外接圆半径为6，求正六边形的边长和边心距。 拔高解答题（28分） 8. 已知正方形外接圆半径为$$2\sqrt{2}$$，求正方形的边长、边心距和面积。 --- 五、参考答案与详细解析 1. B 解析：正六边形中心角$$360^\circ\div6=60^\circ$$。 2. B 解析：内角$$\dfrac{(5-2)\times180^\circ}{5}=108^\circ$$。 3. B 解析：菱形、矩形边长、角度不全部相等，不是正多边形；正多边形内外接圆同心。 4. $$\dfrac{360^\circ}{n}$$ 5. 45 解析：$$360^\circ\div8=45^\circ$$。 6. 4 解析：正六边形边长等于外接圆半径。 第7题解析 解：正六边形边长等于外接圆半径，故边长$$a=6$$。 半边长为3，半径$$R=6$$，由勾股定理： 边心距$$r=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$$。 答：边长为6，边心距为$$3\sqrt{3}$$。 第8题解析 解：正方形外接圆半径$$R=2\sqrt{2}$$， 半边长与边心距相等，设为$$x$$， 由勾股定理：$$x^2+x^2=(2\sqrt{2})^2$$，解得$$x=2$$， 边长$$=4$$，边心距$$=2$$，面积$$=4\times4=16$$。 本节小结 正多边形与圆核心就是一套公式、一个直角三角形模型。熟记中心角、内角、外角公式，掌握半径、边心距、边长的勾股关系，尤其牢记正六边形边长等于外接圆半径的特殊结论，可解决本章所有选择、填空、计算题型，是中考基础必考内容。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 了解正多边形与圆的有关概念. 理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系. 会运用正多边形与圆的有关知识解决实际问题. 问题1 什么叫作正多边形？ 各边相等、各角也相等的多边形是正多边形. 问题2 矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？ 不是，因为矩形不符合各边相等； 不是，因为菱形不符合各角相等； 注意 正多边形 各边相等 各角相等 缺一不可 正多边形的对称性 情境导入 问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？ 情境导入 正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形. 归纳 问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？ 情境导入 思考：什么样的多边形叫作正多边形？ 各边相等、各角也相等的多边形是正多边形. 注意：两个条件缺一不可. 如菱形的各边相等，但各角不一定相等；矩形的各角相等，但各边不一定相等，所以不能说它们一定是正多边形. 探究新知 日常生活中，我们经常能看到正多边形形状的物体，以及利用正多边形构造的美丽图案（如图）. 你还能举出一些这样的例子吗？ 探究新知 正多边形和圆的关系非常密切. 只要把一个圆分成相等的一些弧，以各分点为顶点的多边形就是这个圆的内接正多边形. 这个圆就是这个正多边形的外接圆； 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正多边形. 这个圆就是这个正多边形的内切圆. 探究新知 下面以圆的内接正五边形为例进行证明. 如图，把  分成相等的 5 段弧，依次连接各分点得到五边形 ABCDE. 3 同理 . 又 五边形 ABCDE 的顶点都在  上 ∴ 五边形 ABCDE 是 的内接正五边形，是正五边形 ABCDE 的外接圆. 探究新知 我们把正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心， 外接圆的半径叫作正多边形的半径. 正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角. 中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距（如图 ）. 探究新知 边心距 O · 弦心距 边心距 弦心距 区别 边心距是正多边形的中心到正多边形一边的距离. 弦心距是圆心到圆中某一条弦的距离. 联系 边心距也可以看作正多边形的外接圆的圆心到正多边形的边 (即外接圆的弦) 的距离，即边心距也是弦心距，但弦心距不一定是边心距. 辨析 边心距与弦心距的区别与联系 探究新知 跟踪训练 如图所示，△AOB 是正三角形，以点 O 为圆心，OA 为半径作 ，直径 FC // AB，AO，BO 的延长线交  于点 D，E. 求证：六边形 ABCDEF 为圆内接正六边形. 证明：∵ △AOB 是正三角形， ∴ ，OB = OA， ∴ 点 B 在  上. ∵ FC // AB，∴ ∠FOA=∠OAB=60°，∠BOC=∠OBA=60°， ∴ ∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOA=60°， ∴ ， ∴ 六边形 ABCDEF 为圆内接正六边形. 探究新知 思考：正 n 边形的一个内角的度数是多少？外角呢？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？ 正 n 边形的一个内角的度数是 一个外角的度数是 一个中心角的度数是 ， 正多边形中心角与外角相等. · 探究新知 教材延伸 正多边形的对称性 1. 正 n 边形是轴对称图形，有 n 条对称轴，每条对称轴都通过正 n 边形的中心； 当 n 为偶数时，它还是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 2. 正 n 边形是旋转对称图形，最小旋转角为  . · 探究新知 延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一座八角九层楼阁式砖塔，其塔基的形状是半径为 6 m 的正八边形（如图）.求塔基的面积（结果保留小数点后一位）. 例1 · A B F E O G H C D P 先求出一个三角形的面积. 探究新知 解：如图，连接 OA，OB，作 ，垂足为 P. ∵ 八边形 ABCDEFGH 是半径为 6 m 的正八边形， ∴ OA=OB=6 m ， 45°. 又 △APO 为直角三角形， ∴ ∠OAP=∠AOB. ∴ AP=OP. 在 Rt△APO 中，由勾股定理，得 . ∴ APOA m. 因此，塔基的面积 S8OB×AP101.8 延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一座八角九层楼阁式砖塔，其塔基的形状是半径为 6 m 的正八边形（如图）.求塔基的面积（结果保留小数点后一位）. 例1 · A B F E O G H C D P 探究新知 知识点1 与正多边形有关的计算 1.正多边形的中心角为 ，则该正多边形的边数是( ) C A.4 B.6 C.8 D.12 返回 举一反三 17 （第2题） 2.[南京模拟] 如图，正五边形内接于 ， 点是上一点（点不与点重合），则 的度 数为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 18 （第3题） 3.如图，正六边形内接于， ， 则 的长为( ) C A.2 B.3 C.1 D. 返回 举一反三 19 跟踪训练1 已知边长为 4 的等边三角形 ABC，求 △ABC 的中心角、半径、边心距、面积. 解：如图所示，过点A作 AD⊥BC 于点D，过点B作 BE⊥AC 于点E，AD，BE 交于点O，连接CO. 由题意得 BD=CD=2，AE=EC=2， 即 AD 垂直平分 BC，BE 垂直平分 AC， ∴ CO=BO，AO=CO，即 AO=CO=BO， ∴ O为等边三角形ABC的中心. ∴ ∠BOC=2∠BAC，， ∴ △ABC 的中心角 ∠BOC. ∵ OB=OC，∴ ∠OBC=∠OCB. 探究新知 跟踪训练1 已知边长为 4 的等边三角形 ABC，求 △ABC 的中心角、半径、边心距、面积. 设 OD=x，则 BO=2x. 在 Rt  中，根据勾股定理,得 ， ∴ 等边三角形  的边心距为 ，半径为 . ∴ 边长为 a 的正三角形的面积是 . 探究新知 特殊正多边形的有关结论 1.正六边形的边长等于其外接圆的半径； 2.正三角形的边长等于其外接圆半径的倍； 3.正方形的边长等于其外接圆半径的倍. 探究新知 跟踪训练 2 司南是中国发明的广泛应用于古代军事、航海的指南仪器，用正八边形的八个顶点A~H代表八个方位. 如图，BH与 DG交于点P，则点P位于点D的（ ） D A.南偏西75°方向 B.北偏东75°方向 C.南偏西67.5°方向 D.北偏东67.5°方向 探究新知 思考：如何画一个边长为 1.5 cm 的正六边形呢？ (1) 以 1.5 cm 为半径作一个 ； (2) 用量角器画一个 60°的圆心角，它对着一段弧； (3) 在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的 6 个等分点； (4) 顺次连接各分点，即可得到正六边形（如图）. 60° · O 探究新知 此方法可将圆任意n等分，所以用该方法可作出任意正多边形，但边数很大时，容易产生较大的误差 如图所示，在半径为 R 的圆中，先用量角器画一个等于  的圆心角，这个角所对的弧就是圆周的 ，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的 n 等分点，顺次连接各等分点从而作出半径为 R 的正 n 边形. 说明： 此方法可将圆任意 n 等分，所以用该方法可作出任意正多边形，但边数很大时，容易产生较大的误差. 探究新知 由于正六边形的边长等于半径，在半径为 R 的圆上，从某一点开始，依次以 R 为半径画弧，就可以把圆六等分. 顺次连接各分点就得到半径为的正六边形（如图）. 思考：还有其他的方法画出正六边形吗？ 对于一些特殊的正多边形，还可以用直尺和圆规来作图. · O R 探究新知 相同的方法可以作出正三角形. 作正六边形各边的垂直平分线即可得到正十二边形. · O R 探究新知 思考：你能够画出圆内接正四边形、正八边形、正十六边形吗？ · O 如右图所示，在中用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把四等分，从而作出正四边形； 再用直尺和圆规分别作与正四边形相邻两边垂直的直径，就可以作出正八边形； 同理可以作出正十六边形等边数逐次倍增的正多边形. 说明：此方法是一种比较准确的等分圆的方法，但有局限性，不能将圆任意等分. 探究新知 （第4题） 4.如图，的周长为 ，正六边形 内接 于.则 的面积为( ) B A.4 B. C.6 D. 返回 举一反三 29 5.正四边形的边心距与边长之比为( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 30 在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征.如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ） A. π B. 2π C. 3π D. 4π 跟踪训练 解析：如图，连接  相交于点 . ∵ 正方形的内切圆的半径是2， ∴ ，， 在  中， ∴ ， ∴ 图中阴影部分的面积是ππ8π-4π=4π. D 探究新知 6.如图，是的内接正边形的一边，点在 上， ，则 ____. 10 （第6题） 返回 举一反三 32 7.［教材P 163练习T 2变式］如图，正三角形 外接圆的半径为2，求 正三角形 的边长、边心距、周长和面积. 举一反三 33 解：如图，连接，，延长交于点 . 正三角形的外接圆是 ， ， ， ， 边心距 ，由勾股定理得 ， 举一反三 34 正三角形的边长为， 的周长是 . ， 的面积是 . 返回 举一反三 知识点2 与正多边形有关的作图 8.如图，为的直径，作的内接正三角形 .甲、乙两人的 作法分别是： 甲：①作的垂直平分线，交于点， ； ②连接，， 即为所求的三角形. 乙：①以点为圆心，的长为半径作圆弧，交于点， ； ②连接，，， 即为所求的三角形. 举一反三 36 对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是( ) A A.甲、乙均正确 B.甲、乙均错误 C.甲正确，乙错误 D.甲错误，乙正确 返回 举一反三 37 9.如图，已知和上的一点，作 的内接正八边形 .（不写作法，保留作图痕迹） 解：如图，正八边形 即 为所求. 返回 举一反三 38 （第10题） 10.如图，正六边形内接于，点在 上，则 的度数为( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 39 正多边形与圆 正多边形与圆的关系 正多边形的有关概念 正多边形的性质 正多边形的外接圆和内切圆 各边相等，各角相等. 所有的正多边形都是轴对称图形 若有偶数条边，还是中心对称图形 正n边形的有关计算 中心 半径 中心角 边心距 内角 中心角、外角 半径（）、边长（）、边心距（）之间的关系 周长 面积 课堂小结 谢谢观看 THANKS $