专题4.4 相似三角形的性质（6大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版九年级上册

本初中数学讲义聚焦相似三角形的性质这一核心知识点，从相似三角形对应角相等、对应边成比例的基本性质出发，系统推导对应高、中线、角平分线的比等于相似比，周长比等于相似比及面积比等于相似比平方的关系，构建完整知识支架。 资料通过题型分层设计，典例与变式结合，注重性质推导过程以培养学生推理意识，即学即练与综合题提升应用能力，课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺，体现从特殊到一般的数学思维与创新意识。

专题4.4 相似三角形的性质 教学目标 1. 知识掌握：理解并牢记相似三角形对应角相等、对应边成比例这一基本性质，明晰相似比概念，掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线、周长、面积与相似比的关系 。 2. 能力提升：通过对相似三角形性质的推导证明过程，锻炼逻辑推理、归纳总结能力，学会运用性质解决有关计算、证明问题，提高分析和解决几何问题的能力。 3. 思维培养：体会从特殊到一般、类比等数学思想方法，在探究性质过程中，养成独立思考、合作交流的学习习惯，激发对数学的探索兴趣 。 教学重难点 1.重点 （1）掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比，以及相似三角形周长比等于相似比 ，面积比等于相似比的平方这些性质，并能运用性质进行简单计算和证明。 （2）理解相似三角形性质的推导过程，熟悉从相似三角形基本定义出发，逐步推导其他性质的思路 。 2.难点 （1）相似三角形性质中面积比等于相似比平方的证明，涉及到三角形面积公式及对应边、对应高的关系，推理过程复杂，学生较难理解 。 （2）在复杂的几何图形中准确识别相似三角形，并灵活运用相似三角形性质解决综合问题，需要学生具备较强的观察能力和知识迁移能力 ，对学生来说有一定挑战。 知识点01 相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比. ∽，则 由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. ∽，则分别作出与的高和，则 要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【即学即练】1．如图，在中，，若，，，则的长为（     ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【分析】根据证明，再运用相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 2．如图，在正方形中，点分别在边上，，是的中点．与相交于点．则的值为___________． 【答案】 【分析】延长交于点，根据正方形得到，进而证明，结合相似三角形的性质可得；设，则，进而可得；证明，利用相似三角形的性质即可获得答案． 【详解】解：延长交于点，如下图， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 3．如图，点D、E分别在的边、上，，且与的相似比为．已知，求的长． 【答案】6 【分析】先根据以及给定的相似比写出对应边的比值，再代入已知线段长解方程求出． 【详解】解：，相似比为， ． ， ， 解得． 题型01 利用相似三角形对应角相等求角 【典例1】（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，，若，，则的度数是（   ） A．60° B．50° C．40° D．30° 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形性质，三角形内角和定理．根据题意利用可得，再利用内角和定理即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选C． 【变式1】（24-25九年级上·四川成都·期中）已知，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用相似三角形对应角相等的性质，结合三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，．若，，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形的内角和，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键． 根据三角形内角和为，求得，再根据相似三角形的对应角相等，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·安徽·期末）如图，在中，，．将绕点逆时针旋转一定角度后得到．交于点，连接．若，则___________． 【答案】20 【分析】由旋转的性质和等边对等角得到，再由相似三角形的性质推出，根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得，据此求出的度数，再求出的度数即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，旋转的性质，等边对等角，三角形外角的性质和三角形内角和定理，证明是解题的关键． 题型02 利用相似三角形对应边成比例求边 【典例2】（2026·广东梅州·二模）如图，已知，若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（2026·吉林长春·模拟预测）如图，，，．若，则的长是（     ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴． 【变式2】（25-26九年级下·广东云浮·阶段检测）如图，已知，且，，，则____． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质得到，代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴，解得：， ． 【变式3】（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，，，点在上．若与相似，则__________cm． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论①，②，先证明，再通过对应线段成比例，求出，综合两种情况，得到的值． 【详解】解：分两种情况讨论： ①，如下图 ， ， ； ②，如下图，即， ，， ， ， ， 综上所述，的值为或． 题型03 利用相似三角形对应中线、高线、角平分线成比例 【典例3】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，，分别是的高和中线，，分别是的高和中线，且，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的对应高、中线的比都等于相似比，据此得到，再代入数据求解即可． 【详解】解：∵，分别是的高和中线，，分别是的高和中线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1】（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）若与的相似比为，则对应边上的高之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似三角形对应边上高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵相似三角形对应边上的高之比等于相似比， 又∵与的相似比为， ∴与对应边上的高之比为． 【变式2】（24-25九年级上·吉林·期末）已知两个相似三角形的相似比是，那么它们对应的角平分线之比是________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，直接根据相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是， ∴它们对应的角平分线之比是， 故答案为：． 【变式3】（2025·广东潮州·模拟预测）两个相似三角形一组对应高的长分别是和，若在这两个三角形的一组对应中线中，较短的中线是，那么较长的中线是_________． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，根据题意求出两个三角形的相似比，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵两个相似三角形一组对应高的长分别是和， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴两个相似三角形的对应中线的为， 设较长的中线是， 则， 解得，， 经检验，符合题意． 故答案为：． 题型04 利用相似三角形对应周长的比成比例 【典例4】（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知，相似比为，若的周长为8，则的周长为（     ） A．12 B．16 C．18 D．24 【答案】A 【分析】利用相似三角形周长的比等于相似比计算即可求解． 【详解】解：∵，相似比为， ∴的周长的周长， ∵的周长为，设的周长为， ， 即， 解得， 即的周长为12． 【变式1】（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，点D，E分别是边的中点，下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．的周长的周长 D．的面积四边形的面积 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质．根据中位线定理得到，，得到，，即可求出的周长的周长，，据此即可得到答案． 【详解】解：∵ D、E分别是的中点， ∴，， ∴，， ∴的周长的周长，， ∴的面积四边形的面积． 所以A，C，D正确，B错误； 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·山东东营·期中）已知，相似比为，的周长为4，则的周长为________． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的性质． 根据相似三角形的性质，周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：设的周长为x， ∵，相似比为，的周长为4， ∴， 解得：． 故答案为：6． 【变式3】（25-26九年级上·湖南怀化·期末）若，，的周长为，则的周长为_____． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的周长比等于相似比的性质求解． 【详解】解：设的周长为， ，， ， 解得：， 故答案为：12． 题型05 利用相似三角形对应面积的比成比例 【典例5】（25-26九年级上·北京·期末）如图，，．如果的面积用表示，的面积用表示，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，首先确定相似三角形的相似比，然后利用相似比的平方等于面积的比求得答案即可． 【详解】解：∵， ∴相似比为， ∴， 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）两个相似三角形的相似比是，其中较小的三角形的面积是，则较大三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题关键是理解相似三角形的面积比等于相似比的平方．设较大三角形的面积是，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”可得，求解即可获得答案． 【详解】解：设较大三角形的面积是， 根据题意，两个相似三角形的相似比是， 则两个相似三角形的面积比是， 所以可有，解得， 经检验：是方程的解， 即较大三角形的面积是． 故选：B． 【变式2】（2026·上海黄浦·一模）已知与相似，相似比为，如果的面积是36，那么的面积是________． 【答案】81 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】∵与的相似比为， ∴面积比为， ∵的面积为， ∴的面积为． 故答案为：81． 【变式3】（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，点P是内一点，过点P分别作直线平行于的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是1，4和36，则的面积是______． 【答案】81 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解本题的关键． 根据题意可得，，，，可得，可得对应边的比为，设，则，，由此可得，根据面积比等于对应边比的平方即可求解． 【详解】解：如图所示，由题意可得，，，， ，，，， ， 的面积分别为， 对应边的比为， 又四边形与四边形为平行四边形， ， 设，则，， ， ， 由相似三角形面积比等于相似比的平方，可得出： ， ． 故答案为：81 ． 题型06 相似三角形的性质与判定综合问题 【典例6】如图，在与中，，，连接，． (1)求证：； (2)若，求与的周长比． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）首先证明，由相似三角形的性质证明，，进而可得，然后利用“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”证明即可； （2）首先利用勾股定理解得，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ，即， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 由（1）可知，， 与的周长比为：． 【变式1】如图1，点、分别是边、上的中点，将绕着点A逆时针旋转角度，得到图2，其中，连结、．    (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，证得是解题的关键． （1）由，推导出，由旋转得，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明结论； （2）由相似三角形的性质得，由，求得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵点、分别是边、上的中点， ∴， ∴， 由旋转得， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】【初步探究】 （1）如图，在中，点，，分别在，，边上，迬接，．已知四边形是平行四边形，． ①若，求的长； ②若的面积为，求的面积； 【拓展提开】 （2）若的面积为，求的面积． 【答案】（1）①为；②的面积为；（2）的面积为 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握利用相似三角形的性质得到线段之间的关系是解题关键． （1）①根据平行四边形的性质可证得，利用相似三角形的性质即可求解； ②利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解； （2）根据平行四边形的性质可得，可证得，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求得，通过的面积即可求解． 【详解】解：（1）①四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ，解得：， 为2； ②由①知，，， 和的相似比为1：4， ． 的面积为16， ， 的面积为1． （2）由②，知． 的面积为2， ， ． 四边形是平行四边形，， ，， ，，， ，， 和的相似比为， ． ， ， ， 的面积， 的面积为12． 【变式3】锐角中，，为边上的高线，， 两动点分别在边上滑动，且，以为边向下作正方形（如图1），设其边长为．    (1)当恰好落在边上(如图2)，时，求的值； (2)正方形与公共部分的面积为时，求的值． 【答案】(1) (2)正方形与的公共部分的面积为时，为或4 【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先根据，求得，设交于，由得到，推出，设正方形边长为，则，，得到，求出的值即可得到答案； （2）分两种情况：：当在的内部时，正方形与的公共部分的面积即为正方形的面积；当在的外部时，如图，交于点，交于点，交于点，重叠部分为矩形，分别计算即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，，为边上的高线，， ， ， 设交于，   ， ， ， ， 正方形边长为，则，， ， 解得：， 当恰好落在边上时，； （2）解：当在的内部时，正方形与的公共部分的面积即为正方形的面积， ， 解得：， ，符合题意， ， 当在的外部时，如图，交于点，交于点，交于点，重叠部分为矩形，   ， 设，则， 由得， 解得：， 矩形的面积为： ，即， 解得：，（舍去）， 综上所述，正方形与的公共部分的面积为时，为或4． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积等知识，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 一、单选题 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）若，且对应中线比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，对应中线比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为． 2．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，，与的面积分别是与，周长分别是与且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方、对应边比等于相似比的性质，逐一判断选项． 【详解】解：已知，， 选项：相似三角形的周长比等于相似比，故，正确； 选项：相似三角形的面积比等于相似比的平方，故，错误； 选项：，不是对应边，无法确定比例，错误； 选项：，不是对应边，无法确定比例，错误； 3．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点，也是小正方形的顶点，从点中选取三个点所构成的三角形与相似，那么这个三角形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由正方形的性质得出，由勾股定理得，证出，得出即可． 【详解】解：与相似的是；理由如下： 连接，如图所示： 则， 、和均找不出的角，不可能与相似， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴． 4．（吉林长春市2026-2027学年九年级上学期学情自测数学试题）如图，直线（）与轴、轴分别交于点、，平行于x轴的直线与轴、线段分别交于点、．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例．先求出长度，然后根据线段比例关系求出长度，从而求得点坐标． 【详解】直线（k＜0）与y轴交于点A， 点横坐标为，纵坐标， ， ， ， ， ， ，， 点坐标是． 5．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，为上一点，连结，，且，交于点，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定和性质，求出，根据三角形的面积公式，得到，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ； ， ， 设的高为， ，， ． ， ． 二、填空题 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知，的周长为的周长为________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，先求出相似比，再计算的周长． 【详解】解：∵，， ∴两个三角形的相似比为， ∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴， ∵， ∴． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）邢窑是河北著名瓷窑．如图，小明用两根长度一样的木棍，制成一个测量工具，测量邢窑产的白瓷瓶瓶底内径的长．若两木棍交于点E，，，则的长为________． 【答案】6 【分析】首先推出，证明出，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，铁路道口的栏杆短臂长，长臂长．当短臂端点下降时，长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是________ ． 【答案】 【分析】先判断栏杆长短臂在升降过程中将形成两个相似三角形，再列方程求解即可． 【详解】解：设长臂端点升高x米， 由题意可知，栏杆长短臂在升降过程中将形成两个相似三角形， 则， 解得， 即长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是． 9．（2026·安徽·二模）如图，在中，半径，且，延长半径到点，使，连接交于点，则_____． 【答案】 【分析】首先求出，利用勾股定理求出，过O作于E，则，证明，得到，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 过O作于E，则， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 10．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在正方形中，点E为对角线上的一点，连接并延长，交于点G，交的延长线于点F，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】 【分析】先证，可证，故正确；由和，则，故正确；证明，得出，即可得出，故正确；证明，得．证，得．由，得．可得，故错误． 【详解】解：四边形是正方形， ，，． 在和中， ． ，，故正确； ， ． ， ． ，故正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确； 四边形是正方形， ，． ，． ． ． ， ，，． ． ． ． ，， ． 在和中 ． ． ，故错误； 综上，正确的结论为①②③． 三、解答题 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知，，，．求的长． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据，得到，得，求得，  即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即，解得， ∴． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业），，边上的中线，的周长为，的面积是，求： (1)边上的中线的长； (2)的周长； (3)的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据相似三角形中对应中线比等于相似比求解即可； （2）根据相似三角形的周长比等于相似比求解即可； （3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】（1）解：，，边上的中线， ， ； （2）解：，，的周长为， ， ； （3）解：，，的面积是， ， ． 13．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，，，，的平分线交于点，请求出的长度． 【答案】 【分析】先用勾股定理求出的长，再用求出的长，然后用勾股定理求得的长，最后再用求出的长度． 【详解】解：，，， , 平分， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，，，． (1)求的长； (2)如果，则求的长． 【答案】(1)9 (2)10 【分析】（1） 先由推出线段比例关系，进而得到相似比求出DE； （2）利用相似三角形周长比等于相似比算出大三角形周长，再通过线段和差求出． 【详解】（1）解：， ． ， ， ． ， ， ． ， ； （2）解：， （相似三角形周长之比等于相似比）． ， ， ， ， ． 15．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在菱形中，，，点E是边的中点，连接，，． (1)求的长； (2)点F为边上的一点，连接交于点G，连接，．求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵四边形是菱形， ， ，， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 【分析】（1）证明为等边三角形，利用三线合一，结合勾股定理求出的长即可； （2）求出，结合对顶角相等，以及两组对应角相等的两个三角形相似，即可得出结论； 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ∵点E是边的中点， ， ， ； （2）略 一、单选题 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知，相似比是，上的中线长为1，则边上的中线长为（     ） A． B． C．4 D．3 【答案】B 【详解】解：∵，相似比为， ∴边上的中线与边上的中线的比为， ∵边上的中线长为， ∴边上的中线长为. 2．（26-27九年级上·全国·单元复习）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：， ， 又， ， ， ， ， ． 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，点D在上，，交于E，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明即可判定A、B、C正确，D错误． 【详解】解：， ， ， ， ， ，故A正确； ， ， ，，故B、C正确，D错误． 4．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，在正方形中，，点M在边上，且，连接，点E是的中点，过点E作的平行线，交于点F，则的长为（     ） A． B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】延长交于点G，首先求出，然后证明出，得到，求出，证明出四边形是矩形，得到，进而求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点G， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过ts时与相似，那么t的值为（     ） A．2 B．或2 C． D．或2 【答案】B 【分析】设x秒后，与相似，可表示出，再分与两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：由题意，得，． ，， ． ①当时， ， ， ， ， 解得； ②当时， ， ， ， ， 解得， 综上所述，的值为或2． 二、填空题 6．（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图，在中，，若，，，则DE的长为________． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题中运用了平行线的性质（同位角相等）推导角的关系，通过得同位角相等，结合公共角证明，再通过线段和差求出的长度，最后根据相似三角形对应边成比例列比例式，代入已知边长求解得到的长． 【详解】解：∵， ∴，， ∵ 是公共角， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，     ∴ ． 7．（2025·四川自贡·二模）将沿边的右平移得，交于，若．周长为，则周长为_____． 【答案】8 【分析】本题考查了平行的性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键．根据平移的性质得到，，则，再证明，得到周长比等于相似比，即，由此即可求解． 【详解】解：∵将沿边的右平移得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ，， ∴， ∴周长比等于相似比，即， ∴， ∴周长为， 故答案为：8 ． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）若，，，平分，平分，，则________． 【答案】12 【分析】利用相似三角形对应角平分线的比等于相似比，列比例式求解. 【详解】解：，，，平分，平分，， ∴， ∴. 9．（2025九年级下·江西·专题练习）创新考法结合新定义考查多解题定义：若三角形一边上的高与这边的边长相等，则称此三角形为“完美三角形”．如图，在 中，，，，点P是边上一动点，若是“完美三角形”，则的长为______________． 【答案】4.8或6或7.5 【分析】首先利用勾股定理求出，然后利用等面积法求出，然后根据题意分三种情况讨论：①如图（1），当时，②如图（2），过点B作于点E，当时，设，，得到，然后证明出，得到，代入表示出，然后利用勾股定理求解即可；③如图（3），过点P作于点F，当时，解直角三角形求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 过点A 作于点 D， ∴，即 ∴， 分三种情况讨论： ①如图（1），当时，为“完美三角形”； ②如图（2），过点B作于点E，当时，是“完美三角形”． 设，， ∵ ∴此时点P在点D右侧， ∴， ∵，， ∴， ，即 在中，∵ 整理得， 解得， ∴； ③如图（3），过点P作于点F，当时，是“完美三角形”． ，即 ∴． 综上所述，的长为4.8或6或7.5． 故答案为：4.8或6或7.5． 【点睛】此题考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 10．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，矩形的四个顶点都在的边上，且边落在上，．若，，，那么的长为_______________． 【答案】 【分析】如图：设交于点M．由矩形的性质可证明，即，设，则有，，再代入得到比例式求解即可． 【详解】解：如图：设交于点M． ∵四边形是矩形， ， ， ， 设，则有，， ，解得：， ∴． 三、解答题 11．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连结、，它们相交于点，且． (1)求证：； (2)若，，则的长为____________． 【答案】(1)证明：四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ． (2)3 【分析】（1）利用平行四边形的性质得到，进而可证，再根据即可得证； （2）设，则，根据相似三角形的性质可得，据此列方程即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ， ， ， ， ． 12．（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图，已知相交于点 E，， 且，连接． (1)求线段的长； (2)如果，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】解题的关键在于熟练掌握相似三角形的性质和判定． （1）结合题意推出，进而证明，再利用相似三角形性质建立等式求解，即可解题； （2）根据题意求出，结合相似三角形性质证明，再利用相似三角形性质建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 13．（25-26九年级上·广东茂名·期中）如图，在矩形中，为上的一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点． (1)求证：； (2)若，，求折痕的长． 【答案】(1) 证明；四边形是矩形， ， 由折叠性质知， ，， ， ； (2) 【分析】（1）根据矩形的性质可知，根据同角的补角相等可得，根据有两个角对应相等的三角形相似可证结论成立； （2）根据相似三角形的性质可得，可以求出的长度，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】（1）略 （2）解：在矩形中， 在中，， ， ， ， 即， 解得，； 在中，． 14．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，四边形和四边形都是正方形，点C、F、G在一条直线上，连结并延长交边于点M． (1)求证：． (2)若，，求正方形的面积． (3)直接写出的值． 【答案】(1)证明：∵四边形和四边形都是正方形， ，． ， ． ． ； (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质证明出，再由公共角相等即可证明； （2）先利用勾股定理计算出，再利用求出，接着计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到正方形的面积； （3）证明，然后利用相似比求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∴， ∴正方形的面积； （3）解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 15．（2026·江苏宿迁·中考真题）按要求解题： (1)【问题猜想】如图1，在中，，是中点，点、分别在、的延长线上，且．请猜想与的大小关系，并证明． (2)【问题探究】如图2，在中，，点在上，点、分别在、的延长线上，且．求证：． (3)【问题延伸】如图3，在中，是中点，，点、分别在、的延长线上，且．求证：． 【答案】(1)解：，证明如下： 如图，延长至点，使得，连接， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)证明：如图，作，交延长线于点， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (3)证明：如图，过点作于点，作于点，连接， 则， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1），证明过程为：延长至点，使得，连接，先得出，则，，进而可得，再根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （2）作，交延长线于点，先得出，则，，进而可得，再根据等腰三角形的性质可得，由此即可得证； （3）过点作于点，作于点，连接，先得出，则，再得出，由此即可得证． 【详解】（1）略． （2）略． （3）略． 【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题4.4相似三角形的性质 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01相似三角形的性质 2知识清单 题型01利用相似三角形对应角相等求角 题型02利用相似三角形对应边成比例求边 相似三角形的性质 题型03利用相似三角形对应中线、高线、角平分线成比例 3.题型精讲 题型04利用相似三角形对应周长的比成比例 题型05利用相似三角形对应面积的比成比例 题型06相似三角形的性质与判定综合问题 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1. 知识掌握：理解并牢记相似三角形对应角相等、对应边成比例这一基本性质，明 晰相似比概念，掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线、周长、面积与相 似比的关系。 教学目标 2.能力提升：通过对相似三角形性质的推导证明过程，锻炼逻辑推理、归纳总结能 力，学会运用性质解决有关计算、证明问题，提高分析和解决几何问题的能力。 3. 思维培养：体会从特殊到一般、类比等数学思想方法，在探究性质过程中，养成 独立思考、合作交流的学习习惯，激发对数学的探索兴趣。 1.重点 (1)掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比，以及相似 三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方这些性质，并能运用性质进行 教学重难点 简单计算和证明。 (2)理解相似三角形性质的推导过程，熟悉从相似三角形基本定义出发，逐步推导 其他性质的思路。 1/16 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.难点 (1)相似三角形性质中面积比等于相似比平方的证明，涉及到三角形面积公式及对 应边、对应高的关系，推理过程复杂，学生较难理解。 (2)在复杂的几何图形中准确识别相似三角形，并灵活运用相似三角形性质解决综 合问题，需要学生具备较强的观察能力和知识迁移能力，对学生来说有一定挑战。 知识清单 知识点01相似三角形的性质 1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等。 2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比， 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段 3.相似三角形周长的比等于相似比 AB BC CA △ABC AA'B'C,则Ag-BC=CF=6 由比例性质可得： AB+BC+CA kA'B'+KBC4kC'A'-k AB4BC4CA AB'+B'C+C'A' 4.相似三角形面积的比等于相似比的平方， AB BC CA AABC∽AA'B'C, 则ABCC太分别作出△MBC与AMBC的高AD和A'D:则 SAABC- BC·AD 2 k.BC.kA 2 -=2 BC.AD LBC.AD 要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【即学即练】1.如图，在△ABC中，DE∥BC,若AD=2,DB=4,DE=3,则BC的长为() 2/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E A.6 B.9 C.12 D.15 2.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，AE=3ED,F是DC的中点.AF与BE相 AG 交于点G·则GF的值为 D 3.如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，△ADE∽△ABC,且△ADE与△ABC的相似比为2：3， 已知AE=4,求AC的长. B 题型精讲 题型01利用相似三角形对应角相等求角 【典例1】(23-24八年级下·吉林长春期末)如图，△ACP△ABC,若∠A=100°，∠ACP=20°，则 ∠PCB的度数是() B A.60° B.50° C.40° D.30° 【变式1】(24-25九年级上四川成都期中)已知△ABC∽△DEF,若∠A=25°，∠B=75°，则∠F的度 3/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数为() A.75° B.25° C.80° D.100° 【变式2】(25-26九年级上河北张家口阶段检测)如图，△ADE一△ABC.若∠A=65°，∠B=35°，则 ∠AED= D B 【变式3】(25-26九年级上：安徽期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°.将△ABC绕 点B逆时针旋转一定角度后得到△EBD.BE交AC于点F,连接AE.若△AEF∽△BAE,则∠CBE= 0 E D C 题型02利用相似三角形对应边成比例求边 【典例2】(2026广东梅州二模)如图，已知△ABCa4B'C,BC=4 BC=3,若AB=4则AB的长为 () C B A.3 B.4 C.5 D.6 【变式1】(2026·吉林长春模拟预测)如图，∠ACB=∠CBD=90°，AC=9,CB=6.若△ACB~aCBD 则BD的长是() B 4/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 27 A.2 B.3 C.4 D 2 【变式2】(25-26九年级下·广东云浮·阶段检测)如图，已知△ADE一△ABC,且AD=3,AC=7, AE=2,则BE=一 【变式3】(2026江苏南京模拟预测)如图，在△ABC中，AB=6cm,AC=8cm,AD=2cm,点E在 AC上.若△ADE与△ABC相似，则AE=_ cm. D B 题型O3利用相似三角形对应中线、高线、角平分线成比例 【典例3】(25-26九年级上安徽合肥期末)如图，△ABC△AB'C,AD,BE分别是△ABC的高和中线， AD',B'E'分别是△AB'C的高和中线，且AD=4,AD=3,BE=6,则B'E'的长为（) B 3 A.2 B. 2 【变式1】(25-26八年级下·重庆沙坪坝期末)若△ABC与△DEF的相似比为1：2，则对应边上的高之比为 () A.1:1 B.1:2 C.2:1 D.1:4 【变式2】(24-25九年级上吉林期末)已知两个相似三角形的相似比是3：8，那么它们对应的角平分线 之比是 【变式3】(2025广东潮州模拟预测)两个相似三角形一组对应高的长分别是2cm和5cm,若在这两个 三角形的一组对应中线中，较短的中线是4cm,那么较长的中线是 cm 5/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型04利用相似三角形对应周长的比成比例 【典例4】(25-26八年级下·上海青浦期中)已知△ABC∽△DEF,相似比为2：3，若△ABC的周长为8， 则△DEF的周长为() A.12 B.16 C.18 D.24 【变式1】(25-26九年级上安徽毫州期末)如图，点D,E分别是边AB,AC的中点，下列结论中不正 确的是() A.DE-BC AD DE B.BDBC C.A4DE的周长=△BC的周长 D.AADE的面积=3四边形BCED的面积 【变式2】(25-26九年级上山东东营期中)己知△MBC∽△4BC,相似比为2：3，△ABC的周长为4， 则△4BG的周长为 DE 3 【变式3】(25-26九年级上湖南怀化期末)若&DEFDEF,DE4,ADEF的周长为9cm,则 △D'E'F'的周长为Cm. 题型05利用相似三角形对应面积的比成比例 【典例5】(25-26九年级上北京期末)如图，△ADE∽aDBF,∠A=∠BDF,∠B=∠ADE,AD=2DB」 如果AADE的面积用S表示，△DBF的面积用S2表示，那么S:S,=() S D S A.2:1 B.1:4 C.41 D.91 2 【变式1】(24-25九年级上浙江杭州期中)两个相似三角形的相似比是3，其中较小的三角形的面积是 6/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6cm,则较大三角形的面积是() 2 8 A.9cm2 B.2 cm2 C.4cm' D. -cm 3 3 【变式2】(2026·上海黄浦一模)已知A4BC与ADEF相似，相似比为2，如果。DEF的面积是36，那么 △ABC的面积是 【变式3】(24-25九年级上广东茂名·期末)如图，点P是△ABC内一点，过点P分别作直线平行于 △ABC的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是1,4和36，则△ABC的面积是 题型06相似三角形的性质与判定综合问题 【典例6】如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED=9O°，∠ABC=∠ADE,连接BD,CE, B E (I)求证：△CAE∽△BAD (2)若AC:BC=1:2,求△CAE与△BAD的周长比. 【变式1】如图1，点D、E分别是△ABC边AB、AC上的中点，将△ADE绕着点A逆时针旋转角度C, 得到图2，其中0°<a<90°，连结BD、CE. 7/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 (1)求证：△ABD~△ACE: (2)当∠ADB=90°，AC=4时，求CE的长. 【变式2】【初步探究】 (I)如图，在△ABC中，点D,E,F分别在AB,AC,BC边上，迬接DE,EF.已知四边形BFED 是平行四边形，BC=4DEJ ①若AB=8,求AD的长： ②若△ABC的面积为16，求△ADE的面积； 【拓展提开】 (2)若△ADE的面积为2，求BFED的面积. A 【变式3】锐角△ABC中，BC=6,AD为BC边上的高线，S△ABc=12,两动点M,N分别在边AB,AC 上滑动，且MN∥BC,以MN为边向下作正方形MPON(如图1)，设其边长为x. M M D 图1 图2 (1)当PQ恰好落在边BC上（如图2），时，求x的值： 16 (2)正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为3时，求x的值。 8/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(26-27九年级上全国单元复习)若△ABC∽△DEF,且对应中线比为4：7，则△ABC与△DEF的周 长比为() A.7:4 B.4:7 C.16:49 D.49:16 2.(26-27九年级上全国单元复习)如图，△OAB∽△OCD,△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2,周 长分别是C与C且C:C=5:3,则下列说法正确的是() AB 5 S_5 A.1 B.S3 C. D.OD3 OA 5 3.(26-27九年级上吉林长春开学考试)如图，△OP巴在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小 正方形顶点位置，点A,B,C,D,E也是小正方形的顶点，从点A,B,C,D,E中选取三个点所构成的三角形 与△OPO相似，那么这个三角形是() A B D A.△ACD B.△BCD C.△CDE D.△ADE 4.(吉林长春市2026-2027学年九年级上学期学情自测数学试题)如图，直线y=cx+6(k<0)与y轴、 AD 1 x轴分别交于点AB,平行于x轴的直线CD与y轴、线段AB分别交于点C、D·若DB2,则点C 的坐标为() 9/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D B A.(0,2) B.(0,3) C.(04) D.(06) 5.(26-27九年级上·全国·单元复习)如图，在oABCD中，E为CD上一点，连结AE，,BD,且AE,BD 交于点F,SDr:SAm=4:25,若SADr=8,则SAr=() D E 6 A.25 B.15 C.20 D.5 二、填空题 6.(26-27九年级上全国课后作业)已知△ABC∽aDEF,SMBc:S,Dwr=l:6,△ABC的周长为l5cm,aDEF 的周长为 cm 7.(26-27九年级上·全国课后作业)邢窑是河北著名瓷窑.如图，小明用两根长度一样的木棍AC,BD AC_BD=4. 制成一个测量工具，测量邪窑产的白瓷瓶瓶底内径AB的长.若两木棍交于点五，CEDE CD=2cm,则AB的长为 cm D -----B 8.(25-26八年级下山东烟台期末)如图，铁路道口的栏杆短臂长1.2m,长臂长3.8m.当短臂端点下降 0.6m时，长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是 3.8m 0.6m 777777777777777777777777777 10116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 9.(2026安徽二模)如图，在⊙0中，半径0A1OC,且OA=2,延长半径0C到点B,使BC=0C, 连接AB交OO于点D,则AD= D 10.(25-26八年级下·吉林长春·期末)如图，在正方形ABCD中，点E为对角线BD上的一点，连接AE 并延长，交CD于点G,交BC的延长线于点F,连接CE.给出下面四个结论： ①AE=CE: ②LECG=LF; ③AE2=EG·EF: ④若DE:BE=1:2,则EG:GF=2:3. 上述结论中，正确结论的序号有一· 三、解答题 11.(26-27九年级上全国课后作业)如图，已知AB/DE,AC=4cm,BC=3cm,CE=6cm.求AD 的长 D AB 1 12.(26-27九年级上~全国课后作业)AABC△ABC,AB2,AB边上的中线CD=4cm'△ABC的 周长为20cm,△A'B'C'的面积是64cm2,求： (I)A'B'边上的中线C'D的长： (2)△AB'C的周长： (3)△ABC的面积. 13.(2022浙江杭州模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,BC=6,CD‖AB, 11/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABC的平分线BD交AC于点E,请求出DE的长度. 14.(26-27九年级上全国·单元复习)如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上， CF BD 2 EFI‖AB,BFAD3'BC=15· D B ()求DE的长： (2)如果C△AE=24,则求BD+CE的长. 15.(26-27九年级上全国课后作业)如图，在菱形ABCD中，∠C=60°，AB=4,点E是边BC的中点， 连接DE,AE,BD B A D (1)求DE的长： (②)点F为边CD上的一点，连接AF交DE于点G,连接EF,AF⊥EF.求证：△AGE∽△DGF, 能力提升 一、单选题 3 L,(26-27九年级上·全国课后作业)已知△ABC△DBF,相似比是4，BC上的中线长为1，则边EF 上的中线长为() 12116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 A. B. 3 C.4 D.3 2.(26-27九年级上全国单元复习)阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话 生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处 可见.如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头，如图乙所示，动力 臂OA=150cm,阻力臂OB=50cm,BD=20cm,则AC的长度是() 4▣ B 甲 乙 A.80cm B.60cm C.50cm D.45cm 3.(26-27九年级上全国单元复习)如图，在△ABC中，点D在AB上，BD=2AD,DE∥BC交AC于 E,则下列结论不正确的是() A.BC=3DE 1 C.△ADE∽△ABC D.S.ADE=3S.8c 4.(25-26八年级下河南周口期末)如图，在正方形ABCD中，AB=4,点M在AB边上，且AM=3BM, 连接DM,点E是DM的中点，过点E作AB的平行线，交BC于点F,则EF的长为() D E M B A.2 B.2 c. D.5 5.(26-27九年级上全国课后作业)如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从A开始沿AB 边向点B以2cms的速度移动，点O从点B开始沿BC边向点C以4cms的速度移动，如果P,Q分别从 13116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A,B同时出发，经过：时△PB0与△ABC相似，那么t的值为() B 4 A.2 B.5或2 c D.4或2 二、填空题 6.(25-26九年级上天津阶段检测)如图，在△ABC中，DE∥BC，,若AD=4,BD=2,BC=5,则 DE的长为 A E 7.(2025·四川自贡·二模)将△ABC沿BC边的右平移得△DEF,DE交AC于G,若BC:EC=3:1. △ADG周长为16，则△CEG周长为一 E C 8.(26-27九年级上全国课后作业)若△ABC∽aA'B'C',AB=16cm,AB'=4cm,AD平分∠BAC, A'D'平分∠BAC,AD'=3cm,则AD=cm. 9.(2025九年级下·江西·专题练习)创新考法结合新定义考查多解题定义：若三角形一边上的高与这边的 边长相等，则称此三角形为“完美三角形”.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,AC=8,点P 是BC边上一动点，若△PAB是“完美三角形”，则BP的长为 10.(26-27九年级上·全国·单元复习)如图，矩形EFGH的四个顶点都在△ABC的边上，且边FG落在 14/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC上，AD LBC.若BC=3:AD=2,EF=号H,那么EH的长为 H B 三、解答题 11.(26-27九年级上：吉林长春开学考试)如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连结 AC、BE,它们相交于点F,且∠ACB=∠ABE F B (I)求证：△FEA∽△AEB: (2)若AE=2,EF=1,则BF的长为 12.(25-26九年级上上海青浦期中)如图，己知AD、BC相交于点E,AB=4,BE=2,BC=8,且 AE:ED=1:3,连接AC. -B (I)求线段CD的长： (2)如果AE=3,求线段AC的长. 13.(25-26九年级上·广东茂名期中)如图，在矩形ABCD中，E为DC上的一点，把△ADE沿AE翻折， 使点D恰好落在BC边上的点F. D B (I)求证：△ABFAFCE: (2)若AB=4,AD=5,求折痕AE的长. 15116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 14.(26-27九年级上全国·单元复习)如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，点C、F、G在 一条直线上，连结AF并延长交边CD于点M M y B (I)求证：△MFC∽△MCA (2)若DM=1,CM=2,求正方形AEFG的面积. CE (3)直接写出BE的值. 15.(2026江苏宿迁·中考真题)按要求解题： 图1 图2 图3 ()【问题猜想】如图1，在△ABC中，AB=AC,D是BC中点，点E、F分别在AB、CA的延长线上， 且DF=DE.请猜想∠E与∠F的大小关系，并证明. (②)【问题探究】如图2，在△ABC中，AB=AC,点D在BC上，点E、F分别在AB、CA的延长线上， BD DE 且DC=DF,求证：∠E=∠F (3)【问题延伸】如图3，在△ABC中，D是BC中点，AB<AC,点E、F分别在AB、CA的延长线上， AC DE 且AB=DF·求证：∠E=∠F 16116