专题4.1 比例线段（7大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版九年级上册

本讲义聚焦比例线段核心知识点，系统梳理线段的比、成比例线段的概念与判断方法、比例的基本性质（含合比、等比）及黄金分割，形成从基础概念到性质应用再到实际问题的递进式学习支架，为几何比例关系学习奠定基础。 资料以“知识点+即学即练+题型分类”设计，典例与变式结合培养运算能力和推理意识。融入地图比例尺、黄金分割在建筑艺术中的实例，引导学生用数学眼光观察现实，用数学语言解决问题。课中辅助教师系统教学，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺。

专题4.1 比例线段 教学目标 1. 理解比例线段的相关概念，如线段的比、比例内项与外项等，能准确区分不同概念。 2. 熟练掌握比例的基本性质，包括性质内容及变形应用，能根据性质进行比值计算 。 3. 通过实际案例，学会判断四条线段是否成比例，能运用比例线段解决简单几何问题。 教学重难点 1.重点 （1）清晰理解成比例线段的概念，掌握比例线段的基本性质，如比例的基本性质、合比性质、等比性质等。 （2）能够熟练应用比例线段的性质，解决几何图形中线段比例关系的问题，如计算线段长度、证明线段成比例。 2.难点 （1）理解比例线段性质的推导过程，尤其是涉及到数学推理和证明部分，引导学生掌握从原理到应用的思维过程。 （2）培养学生运用成比例线段解决实际问题的能力，帮助学生学会将实际情境转化为数学模型，准确运用比例知识求解 。 知识点01 线段的比 线段的比：求线段的比时，首先要检查单位是否一致，不一致的应先统一单位，再求比. 【即学即练1】1．若延长线段到点C，使，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求线段的比例关系． 利用将用来表示，从而求出线段的比值． 【详解】解：延长线段到点C，由，可知． 所以． 故选：D． 2．如果线段，，那么和的比例中项是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比例线段的相关知识，根据比例中项的定义，比例中项的平方等于两条线段的乘积，且线段长度为正数，据此计算求解即可． 【详解】解：设和的比例中项是， 由题意得，， ∵，， ∴， ∴， 又∵线段长度为正数， ∴， 故选：D． 3．已知一塔影长为，若此时物高与影长的比为，则该塔的高度为______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据物高与影长的比值为，利用比例关系直接计算塔高，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设塔高为米，由题意得， 解得， 故答案为：． 知识点02 成比例线段 1.成比例线段概念：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 2.判断四条线段是否成比例的方法： （1）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等做出判断； （2）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断. 【即学即练2】4．下列各组线段中，能成比例的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查成比例线段的判定，关键是掌握比例线段的定义；根据成比例线段的定义，若四条线段成比例，则满足，通过验证各选项中线段是否满足该关系即可得出答案． 【详解】解：∵判断四条线段成比例可通过验证最长线段与最短线段的乘积是否等于另外两条线段的乘积 ∴A选项：，故不成比例 B选项：，故不成比例 C选项：，故不成比例 D选项：，故成比例 故选：D． 5．以下列各组数为长度的四条线段成比例的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的基本性质，若成比例，则，据此逐项判断即可求解，掌握比例的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、，，，不成比例； 、，，，不成比例； 、，，，不成比例； 、，，，成比例； 故选：． 6．若四条线段a、b、c、d是成比例线段，其中，，，则_____． 【答案】4 【分析】本题考查了比例线段的定义，对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即，则这四条线段成比例．据此得到，进而得到，代入数据即可求解． 【详解】解：已知a，b，c，d是成比例线段， 根据比例线段的定义得，即， ∵，，， ∴， 解得． 故答案为：4． 知识点03 比例的性质 （1）基本性质：若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）合比性质：如果如果 （3）等比性质：如果 （4）比例中项：若a:b=b:c ，则 =ac，b称为a、c的比例中项． 要点：通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以。 【即学即练3】7．如果，那么下列比例式中成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据比例基本性质，内项之积等于外项之积，计算判断即可； 【详解】解：A．由，得，成立，符合要求； B．由，得，不是，不成立，不符合要求； C． 由，得，不是，不成立，不符合要求；     D． 由，得，不是，不成立，不符合要求； 8．若成立，则下列等式不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各选项的比例式转化为等积式，与已知推导的对比，判断等式是否成立； 【详解】解：∵， ∴，且均不为0. ∵， ∴ ，与已知一致， ∴ A成立； 设，则，， 当时， ∴， ∴ B成立； ∵，，， ∴， ∴C成立； ∵， ∴，与不一定相等， ∴ D不成立； 9．已知：，则_____． 【答案】/ 【详解】解：， 设， ． 知识点04 黄金分割 如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 【即学即练4】10．已知点是线段的黄金分割点，且，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了黄金分割，掌握较长线段是全线段的是解题的关键． 由题意知，，由已知即可求得结果． 【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，且，， ∴， ∴． 故选：D． 11．如图，汉字“十”端庄美观，横竖笔画交接处点恰好是线段的黄金分割点，若长，则的长为________． 【答案】 【分析】由图可知为较长线段，根据黄金分割点的定义可得，代入数据列一元二次方程求解即可． 【详解】解：由图可知，点是线段的黄金分割点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段的黄金分割点，已知，则长为______． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：点C为线段的黄金分割点，， ． 故答案为：． 题型01 求线段的比 【典例1】若线段，，则（   ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【知识点】比例线段、比例的性质 【分析】本题主要考查了线段的比的意义：在同一单位下，两条线段长度的比，叫做这两条线段的比．注意线段的比是一个没有单位的正数．先统一单位，再根据线段的比的意义求解即可． 【详解】解：， ∴， 故选：A． 【变式1】如图，线段，那么等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比例线段 【分析】本题考查了线段的比，设，则，，据此即可求解． 【详解】解：设，则，， ∴， 故选：D． 【变式2】若线段，，则（    ） A． B．5 C． D．2 【答案】B 【知识点】比例线段、比例的性质 【分析】本题考查的是线段比例问题，解题的关键是要统一单位再代入求值． 【详解】解：， ， 故选：B． 【变式3】若线段，，则（    ） A．2 B． C． D．50 【答案】C 【知识点】比例线段 【分析】先把转化为，然后根据线段的比的意义，把，直接代入，即可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了线段的比的意义：在同一单位下，两条线段长度的比，叫做这两条线段的比．注意线段的比是一个没有单位的正数． 题型02 由比例尺求距离 【典例2】（26-27九年级上·全国·课后作业）在地图上量得甲、乙两地的距离是，甲、乙两地的实际距离是，则该张地图的比例尺为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解题关键是先统一长度单位. 【详解】解：，该地图比例尺为. 【变式1】（24-25九年级上·四川达州·阶段检测）在比例尺为地图上，量得甲、乙两地间的距离为3厘米，则甲、乙两地的实际距离为（     ）千米． A．18 B．180 C．1800 D．18000 【答案】B 【分析】此类型的题目都可根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系．要求两地的实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺=实际距离”，代入数值计算即可． 【详解】解：（厘米） 18000000厘米千米 答：两地间的实际距离是180千米． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）A市建设规划图上，城区南北长约，而A市城区南北实际长，规划图采用的比例尺是______． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例尺图上距离实际距离是解题的关键．根据比例尺的公式计算即可． 【详解】解：由题意得，比例尺． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如果在比例尺为的地图上，A、B两地的图上距离是厘米，那么A、B两地的实际距离是____千米． 【答案】42 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．根据比例尺图上距离实际距离求解即可得． 【详解】解：设两地的实际距离是厘米， 则， 解得， 因为厘米千米， 所以两地的实际距离是42千米， 故答案为：42． 题型03 判断四条线段是否成比例线段 【典例3】（24-25八年级下·全国·单元测试）下列各组线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查成比例线段的判断．判断一组线段是否成比例，可将其按长度从小到大排列，检验最小线段与最大线段的乘积是否等于另外两条线段的乘积，若相等，则这四条线段成比例；反之，则不成比例，根据成比例线段的概念判断各选项即可． 【详解】解：A、选项中，，∴A选项的线段不成比例； B、，∴B选项的线段不成比例； C、，∴C选项的线段不成比例； D、，∴D选项的线段成比例； 故选：D． 【变式1】（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）下列各组线段中，、、、成比例的一组是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】利用比例的基本性质，通过验证与是否相等判断四条线段是否成比例． 【详解】解：A、， ，， ， 该组线段不成比例； B、， ，， ， 该组线段成比例； C、， ，， ， 该组线段不成比例； D、， ，， ， 该组线段不成比例． 【变式2】（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）下列各组中的四条线段成比例的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段，在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据比例线段的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、，不成比例，故此选项不符合题意； B、，不成比例，故此选项不符合题意； C、，不成比例，故此选项不符合题意； D、，成比例，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式3】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）在同一单位长度下，下列各组中的四条线段成比例的是 （ ） A．1，3，20，30 B．1，2，3，2 C．1，2，3，4 D．，10，10， 【答案】D 【分析】本题考查成比例线段，比较最大数与最小数的积与另外两个数的积的大小关系进行判断即可． 【详解】解：A、，四条线段不成比例，不符合题意； B、，四条线段不成比例，不符合题意； C、，四条线段不成比例，不符合题意； D、，四条线段成比例，符合题意； 故选D． 题型04 已知成比例线段求其中一边长 【典例4】（25-26九年级上·广东揭阳·阶段检测）若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则d的值为（ ） A． B．10 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了成比例线段． 根据成比例线段的定义，，代入已知值求解d即可． 【详解】解：∵线段a、b、c、d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·河南安阳·期末）现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为，，若这四条线段是成比例线段，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段，根据比例线段的定义列出比例式是解题的关键． 根据题意得到，根据比例的性质得到，计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， ， ， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知线段，C是线段上一点，且是与的比例中项，那么线段的长等于_____． 【答案】 【分析】此题考查了比例中项和解一元二次方程，设线段的长等于，则，根据比例中项的概念列方程，并解方程即可． 【详解】解：设线段的长等于，则， ∵是与的比例中项， ∴， 解得（负根已舍去） 即线段的长等于， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·四川达州·阶段检测）已知线段，，，若线段a， b， c， d 是成比例线段，则线段d 的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段的概念是解题关键．根据成比例线段的定义可得，代入计算即可得． 【详解】解：∵线段是成比例线段， ∴， ∵线段，，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型05 利用比例的性质进行求解 【典例5】（25-26八年级下·山东烟台·期中）若，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴设，， A．，故A正确； B．若，则无意义，故B错误； C．，，，故C错误； D．，故D错误． 【变式1】（25-26八年级下·全国·单元复习）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例的基本性质，关键是熟练应用比例的性质解题；利用“两内项之积等于两外项之积”将比例式转化为乘积式，即可求出的值 【详解】解：∵， ∴， 故答案选：A． 【变式2】（25-26九年级上·湖南常德·期末）已知，则__________． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，通过交叉相乘将比例方程转化为线性方程，再求解x与y的比值． 【详解】解：由已知， 交叉相乘得， 展开得， 移项得， 即， 所以， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）若，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质． 由已知比例关系，求出的值，然后代入目标表达式计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型06 利用比例中的等比性质进行求解 【典例6】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）已知a，b，c，d，e，f六条线段满足，若，那么的值为（     ） A．10 B．5 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，，． ∵， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·四川达州·期末）已知，，则b的值为（　　） A．2 B．8 C．10 D． 【答案】B 【分析】本题可利用设参数法表示出a，b，c，再代入已知等式求出参数值，即可得到b的值，用到比例的基本性质． 【详解】∵ ， ∴设（）， 可得，，， ∵， ∴ ， 整理得 ， 解得 ， ∴ ． 【变式2】（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）若，则的值是______． 【答案】 【分析】根据已知比例关系，设、，其中，代入所求分式化简计算即可． 【详解】解： 可设，，其中 将，代入得： ． 【变式3】（2026·河南周口·二模）已知a，b，c使等式成立，则代数式的值是________． 【答案】 【分析】设已知连等式的比值为，根据等式性质得到的关系，求出的值，推出，代入所求代数式化简计算即可得到结果； 【详解】解：设， ∴，，， 将三式左右两边分别相乘，得， 移项得， 因为均为分式的分母，故，，，即， 因此， 解得：， ∴，且， 将代入所求代数式，得． 题型07 黄金分割 【典例7】（25-26八年级下·重庆·期末）若点P是线段的黄金分割点，且，，则的长度为（     ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割的定义，解题思路是根据黄金分割的定义得到与的关系，再代入的长度计算即可． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且 ∴ 又∵ ∴． 【变式1】（25-26八年级下·山东烟台·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割点的定义：将一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比等于较短部分与较长部分的比，比值为 ,根据题意计算即可． 【详解】解：根据黄金分割点的定义，当点为的黄金分割点（）时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·山东泰安·期末）2026年国际数学日的主题为“数学与希望”．某校学生运用所学AI技术围绕该主题设计了一张黄金矩形（宽与长的比为黄金比）海报．若该海报的长为，则它的宽为___________． 【答案】 【分析】根据黄金矩形的定义，宽与长的比为黄金比，将已知的长代入比例式，化简计算即可求解． 【详解】解：设海报的宽为，已知长为，由黄金矩形的定义可得 ， 解得， 即宽为． 【变式3】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛位于头顶到下巴的黄金分割点，如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离约为4分米，那么该兵马俑的头顶到眼睛的距离约为_______分米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为分米，根据黄金分割的定义列出方程求解． 【详解】解：设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为分米， 由题意得， 解得， 那么该兵马俑的头顶到眼睛的距离约为分米． 一、单选题 1．（25-26九年级下·山东淄博·期中）已知，那么的值为（    ）． A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，代入所求代数式并化简即可． 【详解】解：设，则， ∴． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，则下面结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例内项之积等于外项之积的性质是解题关键． 根据比例的性质，把等积式写成比例式即可得出结论． 【详解】解：A、由得，故选项符合题意； B、由得，故选项不符合题意； C、由得，故选项不符合题意； D、由得，故选项不符合题意． 故选：A． 3．（25-26八年级下·四川成都·期中）下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若四条线段满足，则称这四条线段成比例，据此对各选项逐一验证即可． 【详解】解：A、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． B、， ，， ∴， 这组线段成比例，故本选项正确． C、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． D、， ，， ∵， ∴这组线段不成比例，故本选项D错误． 4．（2026·山东济南·二模）大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点为的黄金分割点，如果的长度为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】线段上一点把线段分成两段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么这个点就是这条线段的黄金分割点．即，据此求解即可． 【详解】解：∵P为的黄金分割点， ∴，即， ∴， ∴．（负值不合题意已经舍去） 二、填空题 5．（2026九年级下·全国·专题练习）若线段a、b、c、d是成比例线段，且，则_____． 【答案】8 【分析】本题考查成比例线段，根据成比例线段的定义，列出比例式并求解即可． 【详解】解：由题意：， ∵， ∴； 故答案为：8 6．（25-26九年级上·四川广安·阶段检测）如果在比例尺为的地图上，、 两地的图上距离是厘米，那么、两地的实际距离是_____千米． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段，根据地图上的距离与实际距离的比等于比例尺，即可求解． 【详解】解：设A、B两地的实际距离为 则： 解得千米 A、B两地的实际距离为千米 故答案为：． 7．（2026·山东青岛·三模）黄金分割是汉字结构最基本的规律，借助如图的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观．已知点为的黄金分割点，且，若，则的长为________． 【答案】 【分析】根据黄金分割点的定义可知较长线段与原线段的比值为，代入数据计算即可求解． 【详解】解：点为的黄金分割点，且， ， ， ． 三、解答题 8．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，设．则根据比例的性质，得，，，代入到求出即可． 【详解】解：设． 则根据比例的性质，得，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 9．（23-24九年级上·江西鹰潭·期中）人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低？    【答案】这双高跟鞋的高度偏高 【分析】本题主要考查了黄金分割比例，设出人体上半身长和下半身长成黄金比例时，高跟鞋的高，利用黄金比例求出此时高跟鞋的高是解题的关键. 【详解】解：设这双高跟鞋的高度为时，人体上半身长和下半身长成黄金比例， 由题意得：， 解得：， ， 这双高跟鞋的高度偏高． 10．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知线段a、b满足，且． (1)求a、b的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据可得，再代入计算即可得； （2）根据比例中项的定义求解即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得， 则． （2）解：线段是线段、的比例中项， ，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 则的值为． 【点睛】本题主要考查了比例线段和比例中项，属于基础题，熟记定义是解题关键． 一、单选题 1．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）一条线段的长度是另一条线段的4倍，这两条线段的比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将较短线段的长度看作1份，则较长线段的长度为4份，两条线段的比为． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）在比例尺是的地图上，，两地间的距离为，则，两地间的实际距离是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比例线段实际应用，核心知识点是比例尺的定义：比例尺图上距离实际距离．先根据比例尺公式列等式求出实际距离的厘米数，再将单位换算为千米，从而得到最终结果． 【详解】解：设、两地的实际距离为， ∵已知比例尺为，图上距离为， ∴， 解得； ， 故选：C． 3．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）若，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例的基本性质，可通过设参数法结合比例性质化简，逐一判断选项即可. 【详解】解：由可设，（）． 选项A，，仅当时等于，不恒成立，故A错误； 选项B，由交叉相乘得，与不符，故B错误； 选项C，，仅当时等于，不恒成立，故C错误； 选项D，，等式恒成立，故D正确． 4．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，正方形中，点E是对角线上的一点，，过点E作，，垂足分别为点F，G，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明四边形是正方形，得到，根据勾股定理求出，进而计算的值即可． 【详解】解：∵正方形，点E是对角线上的一点，，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 设， 则， ， ， ． 5．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：设的长度是， 矩形是黄金矩形，是， ，即，故①正确； ，即，故④正确； 四边形是正方形， ， ， 矩形是黄金矩形， ，即，故②正确； ， ，故③正确； 故选：D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）若，则________． 【答案】 【分析】设比例系数，用表示和，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：设，其中， ∴ ，， 将，代入得：． 7．（25-26九年级上·上海·阶段检测）在比例尺为的地图上量得两地的距离是，那么这两地的实际距离是______． 【答案】400 【分析】本题主要考查比的性质，熟练掌握比例尺是解题的关键；根据比例尺的定义，地图上的距离与实际距离成比例，通过比例关系计算实际距离，然后进行单位换算． 【详解】解：设这两地的实际距离是，根据题意得， 解得， ∵， ∴这两地的实际距离是， 故答案为400． 8．（25-26九年级上·四川宜宾·期中）已知，，则的值为______． 【答案】8 【分析】根据比例关系设参数表示各字母，代入已知等式求解，再计算的值． 【详解】解：设 ，，则，，， ， ，解得， ． 9．（25-26九年级上·广东佛山·期中）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点B为的黄金分割点（），若，则的长为__________ ．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割.根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵点B为的黄金分割点（），， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 10．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫作这条线段的黄金分割点．过顶角为的等腰底角的顶点作的平分线交于点，其中为的黄金分割点，即．若，则线段的长为______． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的定义得到，则，进而代入求解即可． 【详解】解：∵等腰， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去） 三、解答题 11．（25-26六年级下·上海·期中）已知，求的值，且． 【答案】3 【分析】本题考查了分式求值．通过转化思想，将转化为含有相同比值的量是解题的关键．设公共比例系数为k，将转化成用k表示的量，再代入所求分式，化简计算，即可得到结果. 【详解】解：设，则， ， ， 原式． 12．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知线段、满足，且． (1)求、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． （1）利用，可设，，则，然后解出的值即可得到、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：， 设，， ， ， 解得， ，； （2）线段是线段、的比例中项， ， 是线段，， ． 13．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）已知a，b，c是的三边长，且． (1)求的值； (2)若的周长为81，求三边a，b，c的长． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题主要考查了比例的性质，解一元一次方程等知识点， （1）根据比例的性质可设，则，，再代入所求的式子计算即可； （2）根据三角形的周长公式计算即可解答； 熟练掌握比例的性质并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】（1）解：∵． ∴可设，则，， ∴， （2）解：由（1）知，，则，， ∵的周长为81， ∴， 解得， ∴，，． 14．（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么．理由如下：(第一步)，(第二步)． (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中应用了__________基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题∶已知，求的值． 【答案】(1)等式；分式． (2) 【分析】（1）根据题意，利用等式和分式基本性质解答即可； （2）由题意可设，由此得出，，，所以得出，，进而得出答案． 本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，根据题意可知，解题过程在第一步中应用了等式的基本性质，在第二步解题过程中应用了分式的基本性质； 故答案为：等式；分式． （2）解：依题意，设， 则，，， ． 15．（2026·甘肃平凉·二模）黄金分割起源于古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割比例这一问题，并建立起比例理论，后来欧几里得进一步系统论述了黄金分割，使《几何原本》（如图1）成为最早的有关黄金分割的论著．20世纪70年代，这种方法经过我国著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成就．下面的作法是由《几何原本》中给出的： 如图2，已知正方形，求作边的黄金分割点． ①取的中点，连接； ②在的延长线上取点，使； ③以线段为边作正方形． 则点就是线段的黄金分割点． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图2中作出线段的黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】如图，点就是线段的黄金分割点： 【分析】本题考查线段中点以及正方形的尺规作图方法． 【详解】设，则， ， ， ， 所以点就是线段的黄金分割点 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 比例线段 教学目标 1. 理解比例线段的相关概念，如线段的比、比例内项与外项等，能准确区分不同概念。 2. 熟练掌握比例的基本性质，包括性质内容及变形应用，能根据性质进行比值计算 。 3. 通过实际案例，学会判断四条线段是否成比例，能运用比例线段解决简单几何问题。 教学重难点 1.重点 （1）清晰理解成比例线段的概念，掌握比例线段的基本性质，如比例的基本性质、合比性质、等比性质等。 （2）能够熟练应用比例线段的性质，解决几何图形中线段比例关系的问题，如计算线段长度、证明线段成比例。 2.难点 （1）理解比例线段性质的推导过程，尤其是涉及到数学推理和证明部分，引导学生掌握从原理到应用的思维过程。 （2）培养学生运用成比例线段解决实际问题的能力，帮助学生学会将实际情境转化为数学模型，准确运用比例知识求解 。 知识点01 线段的比 线段的比：求线段的比时，首先要检查单位是否一致，不一致的应先统一单位，再求比. 【即学即练1】1．若延长线段到点C，使，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如果线段，，那么和的比例中项是（   ） A． B． C． D． 3．已知一塔影长为，若此时物高与影长的比为，则该塔的高度为______． 知识点02 成比例线段 1.成比例线段概念：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 2.判断四条线段是否成比例的方法： （1）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等做出判断； （2）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断. 【即学即练2】4．下列各组线段中，能成比例的是（ ） A． B． C． D． 5．以下列各组数为长度的四条线段成比例的是（   ） A． B． C． D． 6．若四条线段a、b、c、d是成比例线段，其中，，，则_____． 知识点03 比例的性质 （1）基本性质：若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）合比性质：如果如果 （3）等比性质：如果 （4）比例中项：若a:b=b:c ，则 =ac，b称为a、c的比例中项． 要点：通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以。 【即学即练3】7．如果，那么下列比例式中成立的是（     ） A． B． C． D． 8．若成立，则下列等式不成立的是（     ） A． B． C． D． 9．已知：，则_____． 知识点04 黄金分割 如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 【即学即练4】10．已知点是线段的黄金分割点，且，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 11．如图，汉字“十”端庄美观，横竖笔画交接处点恰好是线段的黄金分割点，若长，则的长为________． 12．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段的黄金分割点，已知，则长为______． 题型01 求线段的比 【典例1】若线段，，则（   ） A． B．4 C． D． 【变式1】如图，线段，那么等于（    ）    A． B． C． D． 【变式2】若线段，，则（    ） A． B．5 C． D．2 【变式3】若线段，，则（    ） A．2 B． C． D．50 题型02 由比例尺求距离 【典例2】（26-27九年级上·全国·课后作业）在地图上量得甲、乙两地的距离是，甲、乙两地的实际距离是，则该张地图的比例尺为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·四川达州·阶段检测）在比例尺为地图上，量得甲、乙两地间的距离为3厘米，则甲、乙两地的实际距离为（     ）千米． A．18 B．180 C．1800 D．18000 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）A市建设规划图上，城区南北长约，而A市城区南北实际长，规划图采用的比例尺是______． 【变式3】（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如果在比例尺为的地图上，A、B两地的图上距离是厘米，那么A、B两地的实际距离是____千米． 题型03 判断四条线段是否成比例线段 【典例3】（24-25八年级下·全国·单元测试）下列各组线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）下列各组线段中，、、、成比例的一组是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式2】（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）下列各组中的四条线段成比例的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）在同一单位长度下，下列各组中的四条线段成比例的是 （ ） A．1，3，20，30 B．1，2，3，2 C．1，2，3，4 D．，10，10， 题型04 已知成比例线段求其中一边长 【典例4】（25-26九年级上·广东揭阳·阶段检测）若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则d的值为（ ） A． B．10 C．8 D．12 【变式1】（24-25九年级上·河南安阳·期末）现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为，，若这四条线段是成比例线段，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知线段，C是线段上一点，且是与的比例中项，那么线段的长等于_____． 【变式3】（24-25九年级上·四川达州·阶段检测）已知线段，，，若线段a， b， c， d 是成比例线段，则线段d 的长为______． 题型05 利用比例的性质进行求解 【典例5】（25-26八年级下·山东烟台·期中）若，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·全国·单元复习）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·湖南常德·期末）已知，则__________． 【变式3】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）若，则的值为___________． 题型06 利用比例中的等比性质进行求解 【典例6】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）已知a，b，c，d，e，f六条线段满足，若，那么的值为（     ） A．10 B．5 C． D． 【变式1】（25-26九年级上·四川达州·期末）已知，，则b的值为（　　） A．2 B．8 C．10 D． 【变式2】（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）若，则的值是______． 【变式3】（2026·河南周口·二模）已知a，b，c使等式成立，则代数式的值是________． 题型07 黄金分割 【典例7】（25-26八年级下·重庆·期末）若点P是线段的黄金分割点，且，，则的长度为（     ） A． B． C． D．3 【变式1】（25-26八年级下·山东烟台·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·山东泰安·期末）2026年国际数学日的主题为“数学与希望”．某校学生运用所学AI技术围绕该主题设计了一张黄金矩形（宽与长的比为黄金比）海报．若该海报的长为，则它的宽为___________． 【变式3】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛位于头顶到下巴的黄金分割点，如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离约为4分米，那么该兵马俑的头顶到眼睛的距离约为_______分米（结果保留根号）． 一、单选题 1．（25-26九年级下·山东淄博·期中）已知，那么的值为（    ）． A．5 B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，则下面结论成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·四川成都·期中）下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·山东济南·二模）大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点为的黄金分割点，如果的长度为，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2026九年级下·全国·专题练习）若线段a、b、c、d是成比例线段，且，则_____． 6．（25-26九年级上·四川广安·阶段检测）如果在比例尺为的地图上，、 两地的图上距离是厘米，那么、两地的实际距离是_____千米． 7．（2026·山东青岛·三模）黄金分割是汉字结构最基本的规律，借助如图的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观．已知点为的黄金分割点，且，若，则的长为________． 三、解答题 8．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）已知，，求的值． 9．（23-24九年级上·江西鹰潭·期中）人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低？    10．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知线段a、b满足，且． (1)求a、b的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 一、单选题 1．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）一条线段的长度是另一条线段的4倍，这两条线段的比是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）在比例尺是的地图上，，两地间的距离为，则，两地间的实际距离是（  ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）若，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，正方形中，点E是对角线上的一点，，过点E作，，垂足分别为点F，G，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 6．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）若，则________． 7．（25-26九年级上·上海·阶段检测）在比例尺为的地图上量得两地的距离是，那么这两地的实际距离是______． 8．（25-26九年级上·四川宜宾·期中）已知，，则的值为______． 9．（25-26九年级上·广东佛山·期中）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点B为的黄金分割点（），若，则的长为__________ ．（结果保留根号） 10．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫作这条线段的黄金分割点．过顶角为的等腰底角的顶点作的平分线交于点，其中为的黄金分割点，即．若，则线段的长为______． 三、解答题 11．（25-26六年级下·上海·期中）已知，求的值，且． 12．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知线段、满足，且． (1)求、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求的值． 13．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）已知a，b，c是的三边长，且． (1)求的值； (2)若的周长为81，求三边a，b，c的长． 14．（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么．理由如下：(第一步)，(第二步)． (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中应用了__________基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题∶已知，求的值． 15．（2026·甘肃平凉·二模）黄金分割起源于古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割比例这一问题，并建立起比例理论，后来欧几里得进一步系统论述了黄金分割，使《几何原本》（如图1）成为最早的有关黄金分割的论著．20世纪70年代，这种方法经过我国著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成就．下面的作法是由《几何原本》中给出的： 如图2，已知正方形，求作边的黄金分割点． ①取的中点，连接； ②在的延长线上取点，使； ③以线段为边作正方形． 则点就是线段的黄金分割点． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图2中作出线段的黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法）． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $