4.5 相似三角形的性质及其应用同步讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦相似三角形的性质与应用核心知识点，系统梳理从判定与性质、实际应用、重心到综合题（含基本型、运动型等）的递进脉络，构建从基础到复杂问题的学习支架。 资料通过分层题型设计（典例+变式），结合测量高度、手影戏等生活实例培养数学眼光，综合题中证明推理与模型构建发展数学思维与语言。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺。

4.5 相似三角形的性质及其应用 内 容 导 航 题型1 相似三角形的判定与性质 题型2 相似三角形的应用 题型3 三角形的重心 题型4 相似形综合题 题型5 三角形综合_基本型 题型6 三角形综合_运动型 题型7 三角形综合_变换型 题型8 三角形综合_存在型 题型9 三角形综合_存在型_特殊三角形 题型10 三角形综合_最值型 题型11 三角形综合_创新型 考 点 演 练 题型1 相似三角形的判定与性质 解｜题｜知｜识 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 【典例1】如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝1，EC＝3，则GF的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，E是AD延长线上一点，BE交AC于点F，交DC于点G，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点E为此三角形的重心，连接BE并延长交AC于点D，过点E作EF⊥AB于点F，则EF的长为（　　） A． B． C． D．2 【变式3】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，四边形DEGF是正方形，点F、G在边BC上，AN∥DF交BC于点N．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（　　） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误 题型2 相似三角形的应用 解｜题｜知｜识 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 【典例1】如图，小明站在C处看甲、乙两楼楼顶上的点A和点 E．C，E，A三点在同一直线上，B，C相距20米，D，C相距40米，乙楼的高BE为15米，小明的身高忽略不计，则甲楼的高AD为（　　） A．40米 B．20米 C．15米 D．30米 【变式1】手影戏是一种独特的艺术形式，它通过手势和光影创造出生动的形象．它的原理是利用光的直线传播，将手影投射到幕布上形成各种影像．如图，为了投影出一个动物造型CD，手AB的长度是15厘米，AB∥CD，光源O到手AB的距离OG是100厘米，手AB到幕布的距离GH是20厘米．此时CD的长度是 　　 厘米． 【变式2】如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG＝xmm，EF＝ymm． （1）写出x与y的关系式； （2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值． 【变式3】小明决定利用所学数学知识测量出旗杆CD的高度．如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，BE⊥AC，DC⊥AC，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高BE＝1.5米，且AB＝3米，CB的长度为9米． （1）求旗杆CD的高度； （2）小明在测量时发现通过地面BC直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离BF的长． 题型3 三角形的重心 解｜题｜知｜识 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． ③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形） 【典例1】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上．三角形匀质薄板ABC放在如图所示的位置，则三角形匀质薄板ABC的重心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【变式1】如图，△ABC内部有一点D，且△DAB、△DBC、△DCA的面积分别为10、8、6．若△ABC的重心为G，则下列叙述正确的是（　　） A．△GBC与△DBC的面积相同，且DG与BC平行 B．△GBC与△DBC的面积相同，且DG与BC不平行 C．△GCA与△DCA的面积相同，且DG与AC平行 D．△GCA与△DCA的面积相同，且DG与AC不平行 【变式2】一个三角形的重心是该三角形（　　） A．三条高线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．以上都是 【变式3】如图，点P是等边三角形ABC的重心，AB＝3，Q是BC边上一点，当PQ⊥BP时，则BQ的长为（　　） A．1 B． C． D．2 题型4 相似形综合题 解｜题｜知｜识 主要考查相似三角形的判定与性质，其中穿插全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，难度大． 【典例1】【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】 （2）如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF∠BAD，AE＝2，DF＝5，则菱形ABCD的边长为 　 　 ． 【变式1】【感知】新定义：如图1，在四边形ABCD中，若在四边形内部存在一点O，连接OA，OB，OC，OD，满足∠AOD+∠BOC＝180°，且，则称四边形ABCD为“蝴蝶四边形”，其中点O为“蝶心”，k为“蝶比”． （1）如图2，正方形ABCD　　 （填“是”或“否”）“蝴蝶四边形”，蝶比为　　 ． 【探究】 （2）如图3，在四边形ABCD中，∠AOD+∠BOC＝180°，取线段AB中点为点M，延长MO交线段CD于点N，若满足∠CNO＝∠COB，请判断四边形ABCD是否是以点O为“蝶心”的“蝴蝶四边形”？并说明理由． 【拓展】 （3）如图4，四边形ABCD是“蝴蝶四边形”，点O为“蝶心”，其中∠AOD＝∠BOC＝90°，∠OAD＝∠OBC＝α，过点O作OM⊥AB交AB于点M，延长MO交CD于点N． ①“蝴蝶四边形”ABCD的蝶比为　　 ．（用含a的代数式表示） ②求证：点N是线段CD的中点． ③请直接写出的值为　 ．（用含a的代数式表示） 【变式2】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E在边AB上（点E与端点A、B不重合），连接DE，过点D作DF⊥DE，交BC的延长线于点F，连接EF，与对角线AC、边CD分别交于点G、H．设AE＝x，DH＝y． （1）求证：△ADE∽△CDF； （2）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）连接BG，当△BGE与△DEH相似时，求x的值． 题型5 三角形综合_基本型 【典例1】已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的内角∠BAC的平分线，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E． （1）如图1，联结CE，求证：CE＝BE； （2）如图2，如果cot∠ABC，求的值； （3）如果以点D为圆心，DC长为半径的圆恰好经过Rt△ABC的斜边中线与边AD的交点F，且AC＝4，求边AB的长． 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、点E分别在线段BC和线段AB上，∠AED+∠ADB＝180°，AD平分∠BAC． （1）如图1，求证：AD⊥DE； （2）如图2，若AE＝2BE．求证：AB＝2AC； （3）在（2）问的条件下，如图3，在线段AB上取一点F，使AF＝AD．过点F作FK⊥AE交ED于点K，作∠AFG＝45°交AC于点G，连接FG，交AD于点H，连接KG，交AD于点T，若AE，求DT的长． 【变式2】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA＝DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME． （1）如图1，当∠ADC＝90°时，线段MD与ME的数量关系是 ； （2）如图2，当∠ADC＝60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，当∠ADC＝α时，求的值． 题型6 三角形综合_运动型 【典例1】在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．点P为直线AB上一个动点（点P不与点A，B重合），连接PC，点D在直线BC上，且PD＝PC．过点P作EP⊥PC于点P，点D，E在直线AB的异侧，且PE＝PC，连接BE． （1）如图1，当点P在线段AB上时，请依题意补全图形1，并证明∠ACP＝∠EPB； （2）如图2，当点P在AB的延长线上时，请依题意补全图2，猜想BE和BD的位置关系和数量关系，并证明你的结论； （3）如果点P在直线AB上运动（点P不与点A，B重合），请直接写出线段BC，BP，BE之间的数量关系（用等式表示）． 【变式1】如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，满足AD＝BE＝CF． （1）求证：△ADF≌△BED； （2）设AD的长为x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数解析式； （3）结合（2）所得的函数，描述△DEF的面积随AD的增大如何变化． 【变式2】已知，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点P是边BC上的一个动点，连接CP，以CA为一边，在△ABC外作∠CAD＝∠BCP，AD交BC的延长线于点D． （1）当CP平分∠ACB时，求△ACD的面积； （2）当AD⊥AB时，求∠BCP的正弦值； （3）设AP＝x，AD＝y，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【变式3】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝20．动点P在线段CB上，以1cm/s的速度从点C向B运动，连接AP，作CE⊥AB分别交AP、AB于点F、E，过点P作PD⊥AP交AB于点D． （1）线段CE＝　 　 ； （2）若t＝5时，求证：△BPD≌△CAF； （3）t为何值时，△PDB是等腰三角形； （4）求D点经过的路径长． 题型7 三角形综合_变换型 【典例1】如图（1），已知CA＝CB，CD＝CE，且∠ACB＝∠DCE，将△DCE绕C点旋转（A、C、D三点在同一直线上除外）． （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）在△DCE绕C点旋转的过程中，若ED、AB所在的直线交于点F，当点F为边AB的中点时，如图2所示．求证：∠ADF＝∠BEF（提示：利用类倍长中线方法添加辅助线）； （3）在（2）的条件下，求证：AD⊥CD． 【变式1】已知：如图，等边△ABC中，D、E分别在AB、AC边上，且CE＝2AD，将线段DE绕点D顺时针旋转60°得到线段DF，连接EF、BF； （1）求证：BF平分∠ABC； （2）若AE＝2CE，求tan∠DEA的值． （3）若M为DF中点，连接CM与BF延长线交于点N，若CNMN，FN＝11，求BF的长． 题型8 三角形综合_存在型 【典例1】已知：在平面直角坐标系中，点A（3a+2b，4a+b）在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1． （1）求点B（2a+3b，2a+b）的坐标； （2）若AC∥y轴，且点C到x轴的距离与点A到x轴的距离相等，请直接写出点C的坐标； （3）在坐标轴上是否存在一点M，使△ACM的面积＝△ABC的面积的一半？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，动点P在线段BC上，点Q在线段AB上，且PQ＝BQ，延长QP交射线AC于点D． （1）求证：QA＝QD； （2）设∠BAP＝α，当2tanα是正整数时，求PC的长； （3）作点Q关于AC的对称点Q′，连接QQ′，AQ′，DQ′，延长BC交线段DQ′于点E，连接AE，QQ′分别与AP，AE交于点M，N（如图2所示）．若存在常数k，满足k•MN＝PE•QQ′，求k的值． 题型9 三角形综合_存在型_特殊三角形 【典例1】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，过点A作射线AM∥BC，点D、E是射线AM上的两点（点D不与点A重合，点E在点D右侧），联结BD、BE分别交边AC于点F、G，∠DBE＝∠C． （1）当AD＝1时，求FB的长； （2）设AD＝x，FG＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）联结DG并延长交边BC于点H，如果△DBH是等腰三角形，请直接写出AD的长． 【变式1】如图1，已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D在AB上且，点P，Q分别从点D，B出发沿线段DB，BC向终点B，C匀速移动，P，Q两点同时出发，同时到达终点．设BQ＝x，AP＝y． （1）求AD的值． （2）求y关于x的函数表达式． （3）如图2，过点P作PE⊥AC于点E，连结PQ，EQ． ①当△PEQ为等腰三角形时，求x的值． ②过D作DF⊥BC于点F，作点F关于EQ的对称点F'，当点F'落在△PQB的内部（不包括边界）时，则x的取值范围为 　　 ． 题型10 三角形综合_最值型 【典例1】如图，点D，点E分别在等腰Rt△ABC的边AB，AC上，且BD＝AE，已知AB＝2，设BD＝x，△ADE的面积为S． （1）求S关于x的函数表达式； （2）求出S的最大值及此时x的值； （3）对于DE的最小值问题，方方说：“当S取到最大时，DE取到最小值”，你是否同意方方的说法？并说明理由． 【变式1】如图，已知等腰直角三角形ABC，∠B＝90°，AB＝BC＝4，点P为AC的中点，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF＝45°，设图中阴影部分图形的面积为S1． （1）求证：∠APE＝∠CFP； （2）若AE＝CF，求CF的长； （3）设△CPF的面积为S2，CF＝x，．求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值． 题型11 三角形综合_创新型 【典例1】如图，已知∠AOB＝90°，∠AOB的内部有一点P，且OA＝OB＝OP＝10，过点B作BC∥AP交AO于点C，OP与BC交于点D． （1）如果tan∠AOP，求OC的长； （2）设AP＝x，BC＝y，求y与x的函数关系式，并写出定义域； （3）如果BD＝AP，求△PBD的面积． 【变式1】已知：在△ABC中，AB＝6，BC＝5，tanB，点P是边BC上的一个动点，点E在BA的延长线上，且∠ACE＝∠BAP，设BP＝x，AE＝y． （1）当AP平分∠BAC（如图﹣1）时，求y的值； （2）当EC⊥BC时，求∠BAP的正弦值； （3）求y关于x的函数关系式，并写出定义域． 过 关 验 收 1．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，AE＝3ED，F是DC的中点．AF与BE相交于点G．则的值为（　　） A．1 B． C． D． 2．如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD，且AE，BD相交于点F，S△DEF：S△ABF＝1：9，则DE：DC＝（　　） A．3：1 B．1：2 C．2：3 D．1：3 4．小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知AC与BD交于点O，AB∥CD．若点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰AB的高度是2cm，则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是（　　） A．2cm B． C．3cm D．4cm 5．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长12cm，BC边上的高AD为10cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边GH在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长是（　　） A．5cm B． C．6cm D． 6．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA＝150cm，阻力臂OB＝50cm，BD＝20cm，则AC的长度是（　　） A．80cm B．60cm C．50cm D．40cm 7．我国古代数学著作《周髀算经》记载商高用矩（带有直角的曲尺）之道“偃矩以望高”的数学道理，即用曲尺测量物体高度的方法，如图所示；设曲尺平行于水平线的一边DE长度为a，垂直于水平线的一边CD长度为b，当人眼F，曲尺两边端点C，E，物体AB的顶端点A在同一直线上时，人眼F到过点B的水平线的高度为h，人眼F到物体AB的水平距离为c，则物体AB的高度x是（　　） A． B． C． D． 8．如图，小位用两根长度不等的木条AC、BD可测得花瓶内口径AB的宽度．如果，且量得CD＝20cm，则AB的宽度为（　　） A．30cm B．40cm C．50cm D．60cm 9．直角三角形斜边长为30，则这个三角形重心到直角顶点的距离为　　 ． 10．一个直角三角形的重心到直角顶点的距离为6，那么这个直角三角形的斜边长是　　 ． 11．Rt△ABC，∠ACB＝90°，AB＝6，G为重心，则CG＝　　 ． 12．在平面直角坐标系xOy中，已知点O（0，0），点A（1，0），B（0，2），C（3，0），点D在第一象限内，如果以点D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么这样的点D有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．【模型构建】如图1，已知∠B＝∠C，如果∠AED＝∠B，那么△ABE∽△ECD．我们把这种图形叫做“一线三等角”． 【探究应用】如图2，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，BC＝6，点E在边BC上，BE＝4，P、Q分别是边AD、BE的中点．如果∠AED＝60°，且，那么PQ的长为 　 　 ． 14．（1）问题发现 如图1，在正方形ABCD中，点P和Q分别在AD和DC上，BP⊥AQ，垂足为点M．求证：BP＝AQ． （2）类比探究 如图2，在矩形ABCD中，点P和Q分别在AD和DC上，BP⊥AQ，垂足为点M．求证：． （3）拓展延伸 如图3，在▱ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，AD＝9，点P和Q分别在AD和DC上，BP与AQ交于点M且∠BMQ＝120°，AP＝2，求的值． 15．（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E． ①若DE＝1，，求BC的长；②如果△ACD是等腰三角形，请直接写出的值； （2）如图2，∠CBD和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF＝2∠CBD，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE∥AC，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为S1，△CDE的面积为S2，△BDE的面积为S3，若，求cos∠CBD的值． 16．已知，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点E是射线CA上的动点，点O是边BC上的动点，且OC＝OE，射线OE交射线BA于点D． （1）如图，如果OC＝2，求的值； （2）联结AO，如果△AEO是以AE为腰的等腰三角形，求线段OC的长； （3）当点E在边AC上时，联结BE、CD，∠DBE＝∠CDO，求线段OC的长． 17．已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．例如：如图1，Rt△ABC中∠A＝90°，∠C＝20°，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，若∠DBC＝20°，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线． （1）在图2的△ABC中，∠C＝20°，∠ABC＝110°，请在图2中画出△ABC关于点B的二分割线，且∠DBC角度是　　 ． （2）已知∠C＝20°，在图3中画出不同于图1，图2的△ABC，所画△ABC同时满足： ①∠C为最小角； ②存在关于点B的二分割线，∠BAC的度数是　 　 ． （3）已知∠C＝a，△ABC同时满足： ①∠C为最小角； ②存在关于点B的二分割线，请求出∠BAC的度数（用a表示）． 18．已知∠MON＝α，点A，B分别在射线OM，ON上运动，AB＝6． （1）如图①，若α＝90°，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为A′，B′，D′，连接OD，OD′．判断OD与OD′有什么数量关系？证明你的结论； （2）如图②，若α＝60°，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离； （3）如图③，若α＝45°，当点A，B运动到什么位置时，△AOB的面积最大？请说明理由，并求出△AOB面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5 相似三角形的性质及其应用 内 容 导 航 题型1 相似三角形的判定与性质 题型2 相似三角形的应用 题型3 三角形的重心 题型4 相似形综合题 题型5 三角形综合_基本型 题型6 三角形综合_运动型 题型7 三角形综合_变换型 题型8 三角形综合_存在型 题型9 三角形综合_存在型_特殊三角形 题型10 三角形综合_最值型 题型11 三角形综合_创新型 考 点 演 练 题型1 相似三角形的判定与性质 解｜题｜知｜识 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 【典例1】如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝1，EC＝3，则GF的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC， ∴△DEF∽△BEC， ∴， ∵EF＝1，EC＝3， ∴， 即， ∴， ∵AB∥CD， ∴△DFC∽△AFG， ∴， ∵EF＝1，EC＝3， ∴CF＝4， ∴， ∴GF＝8， 故选：C． 【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，E是AD延长线上一点，BE交AC于点F，交DC于点G，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，CD＝AB， ∵E是AD延长线上一点，BE交DC于点G， ∴DG∥AB， ∴△DGE∽△ABE， ∴， 故A不符合题意； ∵CG∥AB， ∴△CGF∽△ABF， ∴，， ∴， 故B不符合题意，C不符合题意； ∵， ∴如果成立，则， ∴DG＝GC， ∴BE经过CD的中点，显然题中并没有这一条件， ∴这一结论是错误的， 故D符合题意， 故选：D． 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点E为此三角形的重心，连接BE并延长交AC于点D，过点E作EF⊥AB于点F，则EF的长为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【解答】解：过D作DH⊥AB于H， ∵E为此三角形的重心， ∴ADAC8＝4，， ∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB10， ∵∠AHD＝∠ACB＝90°， ∵∠DAH＝∠BAC， ∴△ADH∽△ABC， ∴DH：BC＝AD：AB， ∴DH：6＝4：10， ∴DH， ∵EF⊥AB，DH⊥AB， ∴EF∥DH， ∴△BEF∽△BDH， ∴EF：DH＝BE：BD， ∴EF：2：3， ∴EF． 故选：A． 【变式3】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，四边形DEGF是正方形，点F、G在边BC上，AN∥DF交BC于点N．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（　　） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误 【答案】C 【解答】解：∵四边形DEGF是正方形， ∴DE∥BC，DF∥EG， ∵AN∥DF， ∴AN∥EG∥DF， ∴， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， ∵△ADE∽△ABC， ∴， ∵AN∥DF， ∴△BDF∽△BAN， ∴， ∴， 故选：C． 题型2 相似三角形的应用 解｜题｜知｜识 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 【典例1】如图，小明站在C处看甲、乙两楼楼顶上的点A和点 E．C，E，A三点在同一直线上，B，C相距20米，D，C相距40米，乙楼的高BE为15米，小明的身高忽略不计，则甲楼的高AD为（　　） A．40米 B．20米 C．15米 D．30米 【答案】D 【解答】解：∵AD∥BE ∴△CBE∽△CDA， ∴，即， ∴AD＝30， 故选：D． 【变式1】手影戏是一种独特的艺术形式，它通过手势和光影创造出生动的形象．它的原理是利用光的直线传播，将手影投射到幕布上形成各种影像．如图，为了投影出一个动物造型CD，手AB的长度是15厘米，AB∥CD，光源O到手AB的距离OG是100厘米，手AB到幕布的距离GH是20厘米．此时CD的长度是 　　 厘米． 【答案】18． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴△AOB∽△COD， ∴， ∴， ∴CD＝18， 答：CD的长度是18厘米， 故答案为：18． 【变式2】如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG＝xmm，EF＝ymm． （1）写出x与y的关系式； （2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）易得四边形EGDK为矩形，则KD＝EG＝x， ∴AK＝AD﹣DK＝80﹣x， ∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴，即， ∴yx+120（0＜x＜80）； （2）这个同学的说法错误．理由如下： S＝xyx2+120x（x﹣40）2+2400， 当x＝40时，S有最大值2400， 此时y40+120＝60， 即矩形EGHF的长为60mm，宽为40mm时，矩形EGHF的面积最大，最大值为2400mm2， 此时矩形不为正方形， 所以这个同学的说法错误． 【变式3】小明决定利用所学数学知识测量出旗杆CD的高度．如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，BE⊥AC，DC⊥AC，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高BE＝1.5米，且AB＝3米，CB的长度为9米． （1）求旗杆CD的高度； （2）小明在测量时发现通过地面BC直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离BF的长． 【答案】（1）旗杆CD的高度为6米； （2）小水坑F到小明的距离BF的长为米． 【解答】解：（1）∵BE⊥AC，DC⊥AC， ∴EB∥CD， ∴△ABE∽△ACD， ∴，即， 解得CD＝6， 答：旗杆CD的高度为6米； （2）由题意得∠EFB＝∠DFC， 由题意可得：∠EBF＝∠DCF， ∴△EBF∽△DCF， ∴，即， 解得， 答：小水坑F到小明的距离BF的长为米． 题型3 三角形的重心 解｜题｜知｜识 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． ③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形） 【典例1】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上．三角形匀质薄板ABC放在如图所示的位置，则三角形匀质薄板ABC的重心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】A 【解答】解：设AD所在的格线与BC交于点M，CD所在的格线交AB于点N，如图所示： 设正方形网格中的小正方形的边长为1， 由勾股定理得：BM，CM，AN，BE， ∴BM＝CM，AN＝BE， ∴AM，CN是△ABC的中线， 又∵AM与CN的交点为D， ∴点D是△ABC的重心． 故选：A． 【变式1】如图，△ABC内部有一点D，且△DAB、△DBC、△DCA的面积分别为10、8、6．若△ABC的重心为G，则下列叙述正确的是（　　） A．△GBC与△DBC的面积相同，且DG与BC平行 B．△GBC与△DBC的面积相同，且DG与BC不平行 C．△GCA与△DCA的面积相同，且DG与AC平行 D．△GCA与△DCA的面积相同，且DG与AC不平行 【答案】A 【解答】解：∵△ABC内部有一点D，且△DAB、△DBC、△DCA的面积分别为10、8、6， ∴S△ABC＝10+8+6＝24， ∵△ABC的重心为G， ∴S△GBCS△ABC24＝8， ∴S△GBC＝S△DBC＝8， ∴点D、G到BC的距离相等，且位于BC的同侧， ∴DG∥BC，故结论A正确；结论B、C、D错误； 故选：A． 【变式2】一个三角形的重心是该三角形（　　） A．三条高线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．以上都是 【答案】C 【解答】解：根据三角形三条中线的交点叫作三角形的重心可得： 重心是中线的交点． 故选：C． 【变式3】如图，点P是等边三角形ABC的重心，AB＝3，Q是BC边上一点，当PQ⊥BP时，则BQ的长为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解答】解：∵点P是等边三角形ABC的重心， ∴DB是△ABC的中线，BP：BD＝2：3， ∴BD⊥AC， ∵PQ⊥BP， ∴PQ∥AC， ∴BQ：BC＝BP：BD＝2：3， ∵BC＝AB＝3， ∴BQ＝2． 故选：D． 题型4 相似形综合题 解｜题｜知｜识 主要考查相似三角形的判定与性质，其中穿插全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，难度大． 【典例1】【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】 （2）如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF∠BAD，AE＝2，DF＝5，则菱形ABCD的边长为 　 　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ADC∽△ACB． ∴． ∴AC2＝AD•AB． （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠A＝∠C， 又∵∠BFE＝∠A， ∴∠BFE＝∠C． 又∵∠FBE＝∠CBF， ∴△BFE∽△BCF． ∴． ∴BF2＝BE•BC． ∴BC． ∴AD． （3）解：如图，分别延长EF，DC相交于点G， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥DC，∠BAC∠BAD， ∵AC∥EF， ∴四边形AEGC为平行四边形， ∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G， ∵∠EDF∠BAD， ∴∠EDF＝∠BAC． ∴∠EDF＝∠G． 又∵∠DEF＝∠GED， ∴△EDF∽△EGD． ∴． ∴DE2＝EF•EG． 又∵EG＝AC＝2EF， ∴DE2＝2EF2． ∴DEEF． 又∵， ∴DGDF＝5． ∴DC＝DG﹣CG＝52． 故答案为：52． 【变式1】【感知】新定义：如图1，在四边形ABCD中，若在四边形内部存在一点O，连接OA，OB，OC，OD，满足∠AOD+∠BOC＝180°，且，则称四边形ABCD为“蝴蝶四边形”，其中点O为“蝶心”，k为“蝶比”． （1）如图2，正方形ABCD　　 （填“是”或“否”）“蝴蝶四边形”，蝶比为　　 ． 【探究】 （2）如图3，在四边形ABCD中，∠AOD+∠BOC＝180°，取线段AB中点为点M，延长MO交线段CD于点N，若满足∠CNO＝∠COB，请判断四边形ABCD是否是以点O为“蝶心”的“蝴蝶四边形”？并说明理由． 【拓展】 （3）如图4，四边形ABCD是“蝴蝶四边形”，点O为“蝶心”，其中∠AOD＝∠BOC＝90°，∠OAD＝∠OBC＝α，过点O作OM⊥AB交AB于点M，延长MO交CD于点N． ①“蝴蝶四边形”ABCD的蝶比为　　 ．（用含a的代数式表示） ②求证：点N是线段CD的中点． ③请直接写出的值为　 ．（用含a的代数式表示） 【答案】（1）是，1； （2）四边形ABCD是以点O为“蝶心”的“蝴蝶四边形”，理由如下， 如图，延长OM 到点E，使得EM＝OM，连接BE， ∵线段AB中点为点M，EM＝OM， ∴AM＝BM，∠AMO＝∠BME，EM＝OM， ∴△AMO≌BME（SAS）， ∴∠OAM＝∠EBM，∠E＝∠AOM，AO＝EB， ∵∠AOD+∠BOC＝180°，∠CNO＝∠COB， ∴∠AOD+∠CNO＝180°，∠AOB+∠DOC＝360°﹣（∠AOD+∠BOC）＝180°， ∴∠AOD＝∠DNO， 在△AOB中，∠OAM+∠OBM＝180°﹣∠AOB， ∴∠DNO+∠NDO＝∠AOD+∠AOM，∠OAM+∠OBM＝∠AOB+∠DOC﹣∠AOB＝∠DOC， ∴∠AOM＝∠NDO，∠OAM+∠OBM＝∠DOC， ∴∠E＝∠NDO，∠EBM+∠OBM＝∠EBO＝∠DOC， 即∠E＝∠NDO，∠EBO＝∠DOC， ∴△EBO∽△DOC， ∴， ∴， ∴四边形ABCD是以点O为“蝶心”的“蝴蝶四边形”； （3）①cotα； ②如图，延长ON作DF∥OC交于点F； ∴∠F＝∠NOC，∠FDN＝∠OCN， ∵四边形ABCD是“蝴蝶四边形”，点O为“蝶心”，其中∠AOD＝∠BOC＝90°，过点O作OM⊥AB交AB于点M， ∴∠DOF+∠AOM＝∠AOM+∠MAO， ∴∠MAO＝∠DOF， 同理可得：∠OBM＝∠CON＝∠F， ∴△ABO∽△OFD， ∴， ∵四边形ABCD是“蝴蝶四边形”，点O为“蝶心”， ∴， ∴DF＝OC， ∴△DFN≌△CON（ASA）， ∴DN＝CN， ∴点N是线段CD的中点； ③2cotα； 【解答】解：（1）由题意可知：正方形ABCD中；∠AOD+∠BOC＝90°+90°＝180°， 故答案为：是，1； （2）四边形ABCD是以点O为“蝶心”的“蝴蝶四边形”，理由如下， 如图，延长OM 到点E，使得EM＝OM，连接BE， ∵线段AB中点为点M，EM＝OM， ∴AM＝BM，∠AMO＝∠BME，EM＝OM， ∴△AMO≌BME（SAS）， ∴∠OAM＝∠EBM，∠E＝∠AOM，AO＝EB， ∵∠AOD+∠BOC＝180°，∠CNO＝∠COB， ∴∠AOD+∠CNO＝180°，∠AOB+∠DOC＝360°﹣（∠AOD+∠BOC）＝180°， ∴∠AOD＝∠DNO， 在△AOB中，∠OAM+∠OBM＝180°﹣∠AOB， ∴∠DNO+∠NDO＝∠AOD+∠AOM，∠OAM+∠OBM＝∠AOB+∠DOC﹣∠AOB＝∠DOC， ∴∠AOM＝∠NDO，∠OAM+∠OBM＝∠DOC， ∴∠E＝∠NDO，∠EBM+∠OBM＝∠EBO＝∠DOC， 即∠E＝∠NDO，∠EBO＝∠DOC， ∴△EBO∽△DOC， ∴， ∴， ∴四边形ABCD是以点O为“蝶心”的“蝴蝶四边形”； （3）①∵四边形ABCD是“蝴蝶四边形”，点O为“蝶心”，其中∠AOD＝∠BOC＝90°，∠OAD＝∠OBC＝α， ∴， 在Rt△AOD中，， 故答案为：cotα； ②如图，延长ON作DF∥OC交于点F； ∴∠F＝∠NOC，∠FDN＝∠OCN， ∵四边形ABCD是“蝴蝶四边形”，点O为“蝶心”，其中∠AOD＝∠BOC＝90°，过点O作OM⊥AB交AB于点M， ∴∠DOF+∠AOM＝∠AOM+∠MAO， ∴∠MAO＝∠DOF， 同理可得：∠OBM＝∠CON＝∠F， ∴△ABO∽△OFD， ∴， ∵四边形ABCD是“蝴蝶四边形”，点O为“蝶心”， ∴， ∴DF＝OC， ∴△DFN≌△CON（ASA）， ∴DN＝CN， ∴点N是线段CD的中点； ③∵△ABO∽△OFD， ∴， 又∵△DFN≌△CON， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2cotα． 【变式2】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E在边AB上（点E与端点A、B不重合），连接DE，过点D作DF⊥DE，交BC的延长线于点F，连接EF，与对角线AC、边CD分别交于点G、H．设AE＝x，DH＝y． （1）求证：△ADE∽△CDF； （2）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）连接BG，当△BGE与△DEH相似时，求x的值． 【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1， ∴∠DCF＝∠DCB＝∠DAE＝∠ADC＝90°，BC＝AD＝1，CD＝AB＝2， ∴∠ADE+∠CDE＝90°， ∵DF⊥DE， ∴∠EDF＝90°， ∴∠CDF+∠CDE＝90°， ∴∠ADE＝∠CDF， ∴△ADE∽△CDF； （2）； （3）或． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1， ∴∠DCF＝∠DCB＝∠DAE＝∠ADC＝90°，BC＝AD＝1，CD＝AB＝2， ∴∠ADE+∠CDE＝90°， ∵DF⊥DE， ∴∠EDF＝90°， ∴∠CDF+∠CDE＝90°， ∴∠ADE＝∠CDF， ∴△ADE∽△CDF； （2）解：由（1）可知△ADE∽△CDF， ∴， ∵设AE＝x，DH＝y， ∴FC＝2EA＝2x， ∴CH＝CD﹣DH＝2﹣y，BE＝AB﹣AE＝2﹣x，FB＝CF+BC＝2x+1， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴△FCH∽△FBE， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，延长BG交CD于点P， ∵AB∥CD， ∴△AEG∽△CHG， ∴， ∴， ∵AB∥CD， ∴∠BEG＝∠CHF＝∠DHE， 若△BGE∽△DEH， ∴， ∴，即， 化简得：x2+2y﹣4＝0， ∵， ∴， 化简得：2x2+5x﹣8＝0， 解得：或（不合题意，舍去）， 若△BGE∽△EDH，则∠∠DEH＝∠GBE， ∵BE∥DH， ∴∠BPC＝∠GBE＝∠DEH， ∴tan∠BPC＝tan∠DEF， ∴， ∴， ∵AB∥CD， ∴△ABG∽△CPG， ∴， 又∵△AEG∽△CHG， ∴， ∴，即， 整理得：x+4y﹣8＝0， ∵， ∴， 整理得：2x2﹣3x＝0， ∴，x2＝0（不合题意，舍去）， 综上所述，当△BGE与△DEH相似时，或． 题型5 三角形综合_基本型 【典例1】已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的内角∠BAC的平分线，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E． （1）如图1，联结CE，求证：CE＝BE； （2）如图2，如果cot∠ABC，求的值； （3）如果以点D为圆心，DC长为半径的圆恰好经过Rt△ABC的斜边中线与边AD的交点F，且AC＝4，求边AB的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：如图1， 延长BE，AC相交于点P， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAE＝∠PAE， ∵AE⊥BE， ∴∠AEB＝∠AEP＝90°， ∵AE＝AE， ∴△ABE≌△APE（ASA）， ∴BE＝EP， ∴BEBP， 在Rt△BCF中，CEBP， ∴CE＝BE； （2）解：如图2， 在Rt△ABC中，cot∠ABC， 设AC＝7x，则BC＝24x， 根据勾股定理得，AB＝25x， 过点D作DG⊥AB于G， ∵AD是∠BAC的平分线，∠ACB＝90°， ∴DG＝DC， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴CDBC24xx， ∴BDx， 在Rt△ACD中，根据勾股定理得，ADx， ∵∠C＝∠E，∠ADC＝∠BDE， ∴△ACD∽△BED， ∴， ∴DEx， ∴； （3）解：如备用图， 设∠CAD＝x，则∠BAC＝2x， ∵CM是Rt△ABC的斜边AB的中线， ∴CM＝AM， ∴∠BAC＝∠ACM＝2x， ∴∠DFC＝∠CAD+∠ACM＝3x， ∵以点D为圆心，DC长为半径的圆恰好经过Rt△ABC的斜边中线与边AD的交点F， ∴DF＝DC， ∴∠DFC＝∠DCF＝3x， ∴∠ACM+DCF＝2x+3x＝5x＝90°， ∴x＝18°， ∴∠BAC＝36°， 在Rt△ABC中，AB4（1）． 【注】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC， 证明：cos36°， 证明：设AB＝AC＝m，BC＝n， 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝72°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD∠ABC＝36°＝∠A， ∴BD＝AD， ∵∠BDC＝180°﹣∠CBD＝∠C＝72°＝∠C， ∴BD＝CD＝n， ∴AD＝n， ∴CD＝AC﹣BD＝m﹣n． ∵∠A＝∠CBD， ∵∠C＝∠C， ∴△ABC∽△BDC， ∴， ∴， ∴mn或mn（舍去）， 过点B作BE⊥AC于E，则CECD（m﹣n）n， ∴AE＝AC﹣CE＝mnn， ∴cosA＝cos36°． 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、点E分别在线段BC和线段AB上，∠AED+∠ADB＝180°，AD平分∠BAC． （1）如图1，求证：AD⊥DE； （2）如图2，若AE＝2BE．求证：AB＝2AC； （3）在（2）问的条件下，如图3，在线段AB上取一点F，使AF＝AD．过点F作FK⊥AE交ED于点K，作∠AFG＝45°交AC于点G，连接FG，交AD于点H，连接KG，交AD于点T，若AE，求DT的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）如图1，∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠AED+∠ADB＝180°， ∠AED+∠BED＝180°， ∴∠ADB＝∠BED， ∵∠B＝∠B， ∴△ADB∽△DEB， ∴∠BDE＝∠BAD＝∠CAD， ∵∠ADB＝∠C+∠CAD＝∠ADE+∠BDE， ∴∠ADE＝∠C＝90°， ∴AD⊥DE； （2）如图2，设BE＝x，则AE＝2x， 由（1）知：△ADB∽△DEB， ∴， ∴， ∴BD2＝3x2， ∴BDx， ∴， ∴∠AED＝60°， ∴∠EAD＝∠CAD＝30°， ∴∠B＝30°， ∴AB＝2AC； （3）如图3，过E作ER⊥BC于R，延长ED、AC交于点M，过G作GN⊥EM于N， ∵AE＝22，AE＝2BE， ∴BE1， ∵∠ADC＝60°，∠ADE＝90°， ∴∠EDB＝∠B＝30°， ∴BE＝DE1， ∴BD＝2BR， Rt△BER中，ERBE， BR， ∴BD＝2BR＝3AD＝AF， Rt△ADC中，∠DAC＝30°， ∴DCAD，CM， DM1， Rt△EFK中，EF＝AE﹣AF＝22﹣（）1， ∵∠AEK＝60°， ∴EK＝2EF＝22， ∴DK1﹣（22）＝3， ∵∠AFH＝45°，∠FAH＝30°＝∠GAH， ∴∠AHG＝75°，∠AGH＝180°﹣30°﹣75°＝75°， ∴AG＝AH， 过H作HL⊥AF于L， ∵∠LFH＝45°， ∴FL＝HL， 设FL＝x，则HL＝x，AH＝AG＝2x，ALx， ∵AL+FL＝AF， ∴xx＝3， x， ∴AG＝2， ∴CG＝AC﹣AGAB﹣AG2， ∴GM＝CG+CM＝2， Rt△GNM中，∠M＝60°，∠NGM＝30°， ∴MNGM＝1， ∴DN＝DM﹣MN1﹣1，GN， ∴KN＝KD+DN＝33， ∵DT∥NG， ∴△KDT∽△KNG， ∴， ∴，DT1． 【变式2】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA＝DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME． （1）如图1，当∠ADC＝90°时，线段MD与ME的数量关系是 ； （2）如图2，当∠ADC＝60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，当∠ADC＝α时，求的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，延长EM交AD于F， ∵BE∥DA， ∴∠FAM＝∠EBM， ∵AM＝BM，∠AMF＝∠BME， ∴△AMF≌△BME， ∴AF＝BE，MF＝ME， ∵DA＝DC，∠ADC＝90°， ∴∠BED＝∠ADC＝90°，∠ACD＝45°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ECB＝45°， ∴∠EBC＝∠BED﹣∠ECB＝45°＝∠ECB， ∴CE＝BE， ∴AF＝CE， ∵DA＝DC， ∴DF＝DE， ∴DM⊥EF，DM平分∠ADC， ∴∠MDE＝45°， ∴MD＝ME， 故答案为MD＝ME； （2）MDME，理由： 如图1，延长EM交AD于F， ∵BE∥DA， ∴∠FAM＝∠EBM， ∵AM＝BM，∠AMF＝∠BME， ∴△AMF≌△BME， ∴AF＝BE，MF＝ME， ∵DA＝DC，∠ADC＝60°， ∴∠BED＝∠ADC＝60°，∠ACD＝60°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ECB＝30°， ∴∠EBC＝∠BED﹣∠ECB＝30°＝∠ECB， ∴CE＝BE， ∴AF＝CE， ∵DA＝DC， ∴DF＝DE， ∴DM⊥EF，DM平分∠ADC， ∴∠MDE＝30°， 在Rt△MDE中，tan∠MDE， ∴MDME． （3）如图3，延长EM交AD于F， ∵BE∥DA， ∴∠FAM＝∠EBM， ∵AM＝BM，∠AMF＝∠BME， ∴△AMF≌△BME， ∴AF＝BE，MF＝ME， 延长BE交AC于点N， ∴∠BNC＝∠DAC， ∵DA＝DC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴∠BNC＝∠DCA， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ECB＝∠EBC， ∴CE＝BE， ∴AF＝CE， ∴DF＝DE， ∴DM⊥EF，DM平分∠ADC， ∵∠ADC＝α， ∴∠MDE， 在Rt△MDE中，tan∠MDE＝tan． 题型6 三角形综合_运动型 【典例1】在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．点P为直线AB上一个动点（点P不与点A，B重合），连接PC，点D在直线BC上，且PD＝PC．过点P作EP⊥PC于点P，点D，E在直线AB的异侧，且PE＝PC，连接BE． （1）如图1，当点P在线段AB上时，请依题意补全图形1，并证明∠ACP＝∠EPB； （2）如图2，当点P在AB的延长线上时，请依题意补全图2，猜想BE和BD的位置关系和数量关系，并证明你的结论； （3）如果点P在直线AB上运动（点P不与点A，B重合），请直接写出线段BC，BP，BE之间的数量关系（用等式表示）． 【答案】（1）作图证明见解析部分； （2）结论：BE＝BD，BE⊥BD．证明见解析部分； （3）结论：BE＝BCPB或BE＝BCPB或BEPB﹣BC．证明见解析部分． 【解答】（1）①解：图形如图所示： ②证明：∵PE⊥PC， ∴∠EPC＝90°， ∴∠A＝∠EPC＝90°， ∵∠BPC＝∠EPB+∠EPC＝∠A+∠ACP， ∴∠EPB＝∠ACP； （2）解：结论：BE＝BD，BE⊥BD． 理由：如图2中，过点P作PT⊥PB交CD于点T． ∵AB＝AC，∠A＝90°， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠PBT＝45°， ∵PT⊥PB， ∴∠PTB＝∠PBT＝45°， ∴PB＝PT， ∵∠TPB＝∠CPE＝90°， ∴∠TPC＝∠BPE， ∵PT＝PB，PC＝PE， ∴△TPC≌△BPE（SAS）， ∴∠CTP＝∠EPB＝45°，CT＝BE， ∴∠CBP＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴BE⊥BD， ∵PD＝PC， ∴∠D＝∠PCB， ∵∠PTD＝∠PBC＝135°， ∴△PTD≌△PBC（AAS）， ∴DT＝BC， ∴BD＝CT＝BE， ∴BE＝BD，BE⊥BD． （3）当点P值AB的延长线上时，如图2中，BE＝BD＝DT+BT＝BC+TB＝BCPB． 当点P在线段AB上时，如图3中，过点P作PF⊥PB交BC于点F． 同法可证BE＝BD＝CF， ∴BE＝BC﹣BF＝BCPB． 当点P在BA的延长线上时，如图4中，过点P作PF⊥PB交BC的延长线于点F． 同法可证BE＝BD＝CF， ∴BE＝BF﹣BCPB﹣BC． 综上所述，BE＝BCPB或BE＝BCPB或BEPB﹣BC． 【变式1】如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，满足AD＝BE＝CF． （1）求证：△ADF≌△BED； （2）设AD的长为x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数解析式； （3）结合（2）所得的函数，描述△DEF的面积随AD的增大如何变化． 【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°，AB＝AC， ∵AD＝CF， ∴AF＝BD， 在△ADF和△BED中， ， ∴△ADF≌△BED（SAS）； （2）x2﹣3x+4； （3）当x≥2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而减小，即当2≤x≤4时，△DEF的面积随AD的增大而增大，当0≤x≤2时，△DEF的面积随AD的增大而减小． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°，AB＝AC， ∵AD＝CF， ∴AF＝BD， 在△ADF和△BED中， ， ∴△ADF≌△BED（SAS）； （2）解：分别过点C、F作CH⊥AB，FG⊥AB，垂足分别为点H、G， 在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC＝4， ∴CH＝AC•sin60°＝2，S△ABCAB•CH＝4． ∵AD的长为x，则AD＝BE＝CF＝x，AF＝4﹣x， ∴FG＝AF•sin60°（4﹣x）， ∴S△ADFAD•FGx（4﹣x）， 由（1）可知△ADF≌△BED， 同理可证，△BED≌△CFE， ∴S△ADF＝S△BDE＝S△CFEx（4﹣x）， ∵△DEF的面积为y， ∴y＝S△ABC﹣3S△ADF＝4x（4﹣x）x2﹣3x+4； （3）由（2）可知：yx2﹣3x+4， ∵a0，对称轴为直线x2， ∴当x≥2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而减小，即当2≤x≤4时，△DEF的面积随AD的增大而增大，当0≤x≤2时，△DEF的面积随AD的增大而减小． 【变式2】已知，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点P是边BC上的一个动点，连接CP，以CA为一边，在△ABC外作∠CAD＝∠BCP，AD交BC的延长线于点D． （1）当CP平分∠ACB时，求△ACD的面积； （2）当AD⊥AB时，求∠BCP的正弦值； （3）设AP＝x，AD＝y，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】（1）10； （2）； （3）y（0＜x＜5）． 【解答】解：（1）如图1中：过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，过点A作AH⊥BC于点H． ∵PC平分∠ACB，PE⊥CB，PF⊥AC， ∴PE＝PF， ∴， ∴， ∵∠CAD＝∠BCP＝∠ACP， ∴CP∥AD， ∴， ∴CD＝5， ∵AB＝AC，AH⊥BC， ∴BH＝CH＝3， ∴AH4， ∴S△ACD•CD•AH5×4＝10； （2）如图2中．过点A作AT⊥BC于点T，过点C作CE⊥AD于点E． ∵∠B＝∠B，∠ATB＝∠BAD＝90°， ∴△BAT∽BDA， ∴AB2＝BT•BD， ∴BD， ∴DT，CD， ∴AT＝4， ∴AD， ∵∠D＝∠D，∠CED＝∠BAD＝90°， ∴△DEC∽△DAB， ∴， ∴， ∴CE， ∴sin∠BCP＝sin∠CAE； （3）如图3中，在CB上取一点T，使得TA＝TC． ∵AB＝AC，TA＝TC， ∴∠B＝∠ACB＝∠CAT， ∴△CAT∽△CBA， ∴CA2＝CT•CB， ∴CT＝AT， ∵∠CAD＝∠BCP，∠ACB＝∠ACP+∠BCP＝∠D+∠CAD， ∴∠ACP＝∠D， ∵∠APC＝∠B+∠BCP，∠DAT＝∠CAD+∠CAT， ∴∠CPA＝∠DAT， ∴△DAT∽△CPA， ∴， 过点C作CF⊥AB，则有AB•CF6×4， ∴CF， ∴AF， ∴CP， ∴， ∴y（0＜x＜5）． 【变式3】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝20．动点P在线段CB上，以1cm/s的速度从点C向B运动，连接AP，作CE⊥AB分别交AP、AB于点F、E，过点P作PD⊥AP交AB于点D． （1）线段CE＝　 　 ； （2）若t＝5时，求证：△BPD≌△CAF； （3）t为何值时，△PDB是等腰三角形； （4）求D点经过的路径长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB25， ∵CE⊥AB， ∴S△ABCAC•BCAB•CE， ∴15×20＝25CE， ∴CE＝12， 故答案为：12； （2）由题意得：CP＝t， ∵t＝5， ∴BP＝20﹣5＝15， ∴AC＝BP， ∵AP⊥PD， ∴∠APD＝90°， ∴∠APC+∠BPD＝∠APC+∠CAP＝90°， ∴∠BPD＝∠CAP， ∵∠ACE+∠BCE＝∠BCE+∠B＝90°， ∴∠ACE＝∠B， ∴△BPD≌△CAF（ASA）； （3）如图1，作DG⊥BC，垂足为G， 由（2）得：∠CAP＝∠GPD， 当DP＝DB时， ∴∠GPD＝∠B， ∴tan∠GPD＝tan∠B， ∴， ∴CP，即t； 如图2，当PD＝PB时，∠B＝∠PDB， 而∠PDB是一个钝角，此种情况不成立； 当BD＝PB时，∠ADP＜90°， ∴∠PDB是一个钝角， 所以此种情况也不成立； 综上所述，t为秒时，△PDB是等腰三角形； （4）如图3，以AD为直径构建⊙O， ∵∠APD＝90°， ∴P在⊙O上，当半径最小时，即OP⊥BC时，BD最大， 设⊙O的半径为r， ∵OP∥AC， ∴△BPO∽△BCA， ∴， ∴， r， ∴BD＝25﹣2r， 则点P在运动过程中，点D的运动路径＝2BD12.5． 题型7 三角形综合_变换型 【典例1】如图（1），已知CA＝CB，CD＝CE，且∠ACB＝∠DCE，将△DCE绕C点旋转（A、C、D三点在同一直线上除外）． （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）在△DCE绕C点旋转的过程中，若ED、AB所在的直线交于点F，当点F为边AB的中点时，如图2所示．求证：∠ADF＝∠BEF（提示：利用类倍长中线方法添加辅助线）； （3）在（2）的条件下，求证：AD⊥CD． 【答案】（1）见解析过程； （2）见解析过程； （3）见解析过程． 【解答】证明：（1）∵∠ACB＝∠DCE， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）； （2）过点B作BG∥AD，交ED的延长线于G， ∴∠DAF＝∠GBF， ∵点F是AB的中点， ∴AF＝BF， 又∵∠AFD＝∠BFG， ∴△AFD≌△BFG（ASA）， ∴∠ADF＝∠FGB，AD＝BG， 由（1）可知△ACD≌△BCE， ∴BE＝AD， ∴AD＝BG＝BE， ∴∠BEF＝∠BGE， ∴∠ADF＝∠BEF； （3）∵CD＝CE， ∴∠CDE＝∠CED， ∵∠ADF＝∠BEF， ∴∠ADF+∠CDE＝∠BEF+∠CED＝∠BEC， 由（1）可知△ACD≌△BCE， ∴∠ADC＝∠BEC， ∵∠ADF+∠CDE+∠ADC＝180°， ∴∠ADC＝90°， ∴AD⊥CD． 【变式1】已知：如图，等边△ABC中，D、E分别在AB、AC边上，且CE＝2AD，将线段DE绕点D顺时针旋转60°得到线段DF，连接EF、BF； （1）求证：BF平分∠ABC； （2）若AE＝2CE，求tan∠DEA的值． （3）若M为DF中点，连接CM与BF延长线交于点N，若CNMN，FN＝11，求BF的长． 【答案】（1）证明见解答； （2）； （3）14． 【解答】解：（1）过E作EH⊥BC于H，连接DH， ∵∠C＝60°， ∴∠HEC＝30°， ∴CE＝2CH， ∵CE＝2AD， ∴CH＝AD， ∴， ∴HD∥AC， ∴△BHD为等边三角形，∠DHE＝∠HEC＝30°， ∴HD＝BD， ∵∠EDF＝60°， ∴∠HDE＝∠BDF， 在△DHE与△DBF中，HD＝BD，∠HDE＝∠BDF，ED＝FD， ∴△DHE≌DBF （SAS）， ∴∠DBF＝∠DHE＝30°， ∴∠CBF＝∠DBF， 即BF平分∠ABC； （2）设AD＝a，则CE＝2AD＝2a， 若AE＝2CE，则AE＝4a， 在△ADE中，AE＝4a，AD＝a，∠A＝60°，过点D作DH⊥AC于点H， 则AHADa，HD＝ADsin60°a， 则tan∠DEA； （3）延长BN交AC于P，连接EM，连接PM并延长交AB于Q，EM与BP交于K， 由（1）可知BF是∠ABC的平分线，△DEF是等边三角形， 又∵△ABC是等边三角形， ∴∠BPC＝90°， ∵△DEF是等边三角形，M是DF的中点， ∴∠EMF＝90°，∠FEM＝30°， ∴∠BPC＝∠EMF＝90°， 又∵∠EKP＝∠FKM， ∴△KPE∽△KMF， ∴， ∵∠EKF＝∠MKP， ∴△KPM∽△KEF， ∴∠BPM＝∠FEM＝30°， ∴∠BPM＝∠PBC＝30°， ∴PQ∥BC， ∴△APQ为等边三角形，△PMN∽△BCN， ∴MN：CN＝PN：BN＝PM：BC＝2：5， ∵∠A＝∠EDF＝∠PQA＝60°，∠EDQ＝∠A+∠AED，∠EDQ＝∠EDF+∠MDQ， ∴∠AED＝∠MDQ， ∴△QMD∽△ADE， ∴QM：AD＝MD：ED＝1：2， 设PM＝4a，则BC＝10a， 而△APQ为等边三角形，故PQ＝5a，则QM＝a，AD＝2a， 而CE＝2AD，故CE＝4a， 而PB＝BC•cos30°＝5a， ∴BNa， 由（1）可知EH＝BF＝2a， ∴FN， ∴BF：FN＝14：11 ∴BFFN＝14． 题型8 三角形综合_存在型 【典例1】已知：在平面直角坐标系中，点A（3a+2b，4a+b）在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1． （1）求点B（2a+3b，2a+b）的坐标； （2）若AC∥y轴，且点C到x轴的距离与点A到x轴的距离相等，请直接写出点C的坐标； （3）在坐标轴上是否存在一点M，使△ACM的面积＝△ABC的面积的一半？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（﹣4，0）； （2）（1，2）； （3）（，0）或（，0）． 【解答】解：（1）∵点A在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1， ∴点A的坐标为（1，﹣2）， 则， 解得：， ∴2a+3b＝﹣4，2a+b＝0， ∴点B的坐标为（﹣4，0）； （2）∵AC∥y轴，且点C到x轴的距离与点A到x轴的距离相等， ∴点A与点C关于x轴对称， ∴点C的坐标为（1，2）； （3）存在， 理由如下：∵点A的坐标为（1，﹣2），点C的坐标为（1，2）， ∴AC＝4， ∴S△ABC4×3＝6， 当点M在y轴上时，S△ACM4×1＝2， ∴y轴上不存在一点M，使△ACM的面积＝△ABC的面积的一半， 当点M在x轴上时，设点M的坐标为（m，0）， 则4×|m﹣1|6， 解得：m或， ∴点M的坐标为（，0）或（，0）时，△ACM的面积＝△ABC的面积的一半． 【变式1】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，动点P在线段BC上，点Q在线段AB上，且PQ＝BQ，延长QP交射线AC于点D． （1）求证：QA＝QD； （2）设∠BAP＝α，当2tanα是正整数时，求PC的长； （3）作点Q关于AC的对称点Q′，连接QQ′，AQ′，DQ′，延长BC交线段DQ′于点E，连接AE，QQ′分别与AP，AE交于点M，N（如图2所示）．若存在常数k，满足k•MN＝PE•QQ′，求k的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵PQ＝BQ， ∴∠B＝∠BPQ＝∠CPD， ∵∠ACB＝∠PCD＝90°， ∴∠A+∠BAC＝90°，∠D+∠CPD＝90°， ∴∠BAC＝∠D， ∴QA＝QD； （2）解：过点P作PH⊥AB于H，如图1所示： 设PH＝3x，BH＝4x，BP＝5x， 由题意得：tan∠BAC，∠BAP＜∠BAC， ∴2tanα是正整数时，tanα＝1或， 当tanα＝1时，HA＝PH＝3x， ∴3x+4x5， ∴x， 即PC＝4﹣5x； 当tanα时，HA＝2PH﹣6x， ∴6x+4x＝5， ∴x， 即PC＝4﹣5x； 综上所述，PC的长为或； （3）解：设QQ′与AD交于点O，如图2所示： 由轴对称的性质得：AQ′＝AQ＝DQ＝DQ′， ∴四边形AQDQ′是菱形， ∴QQ′⊥AD，AOAD， ∵BC⊥AC， ∴QQ′∥BE， ∵BQ∥EQ′， ∴四边形BEQ'Q是平行四边形， ∴QQ′＝BE， 设CD＝3m，则PC＝4m，AD＝3+3m， 即QQ′﹣BE＝4m+4，PE＝8m， ∵tan∠PAC， ∴， 即MN＝2MO＝4m（1+m）， ∴k8． 题型9 三角形综合_存在型_特殊三角形 【典例1】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，过点A作射线AM∥BC，点D、E是射线AM上的两点（点D不与点A重合，点E在点D右侧），联结BD、BE分别交边AC于点F、G，∠DBE＝∠C． （1）当AD＝1时，求FB的长； （2）设AD＝x，FG＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）联结DG并延长交边BC于点H，如果△DBH是等腰三角形，请直接写出AD的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AM∥BC， ∴∠DAB+∠ABC＝180°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠DAB＝90°， 由勾股定理得：BD， ∵AM∥BC， ∴△ADF∽△CBF， ∴， ∵AD＝1， ∴， ∴BF； （2）如图1，∵AM∥BC， ∴∠C＝∠CAM， ∵∠DBE＝∠C， ∴∠DBE＝∠CAM， ∵∠BFG＝∠AFD， ∴△ADF∽△BGF， ∴， ∴AF•FG＝BF•DF， ∵AM∥BC， ∴△ADF∽△CBF， ∴， ∴，， ∴DF，AF， 同理得：BF， ∴y•， ∴y； 如图2，当点E在直线BC上时，∠DBC＝∠ACB＝∠ADB， ∵AB＝BA，∠ABC＝∠DAB， ∴△DAB≌△CBA（AAS）， ∴AD＝BC＝4， ∴x的取值范围是0＜x＜4； （3）分三种情况： ①当BD＝DH时，如图3，过点D作DP⊥BC于P， ∵BD＝DH， ∴BP＝PH＝AD＝x， ∴CH＝4﹣2x，∠DBP＝∠DHP， ∴∠DBE+∠GBH＝∠C+∠CGH， ∴∠CGH＝∠GBH， ∵∠C＝∠C， ∴△CHG∽△CGB， ∴， ∴CG2＝4（4﹣2x）， ∵AD∥CH， ∴，即， ∴， ∴CG， ∴4（4﹣2x）， ∴2x2+9x﹣18＝0， ∴x1，x2＝﹣6（舍）， ∴AD； ②当BD＝BH时，如图4， 由勾股定理得：BD＝BH， 由（2）同理得：CG＝CF﹣FG， ∵AD∥CH， ∴， ∴，即， ∴（9+4x）4（x2+9）， 解得：x， ∴AD； ③当BH＝DH时，如图5，过点D作DK⊥BC于K， 设KH＝a， ∵BK＝AD＝x， ∴DH＝BH＝x+a， 在Rt△DKH中，由勾股定理得：DK2+KH2＝DH2， ∴32+a2＝（a+x）2， ∴a， ∴CH＝4﹣BH＝4﹣x， ∵AD∥CH， ∴， ∴，即， ∴， ∴（x2+9）（4x﹣9）＝0， ∴x， ∴AD， 综上，AD的长是或或． 【变式1】如图1，已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D在AB上且，点P，Q分别从点D，B出发沿线段DB，BC向终点B，C匀速移动，P，Q两点同时出发，同时到达终点．设BQ＝x，AP＝y． （1）求AD的值． （2）求y关于x的函数表达式． （3）如图2，过点P作PE⊥AC于点E，连结PQ，EQ． ①当△PEQ为等腰三角形时，求x的值． ②过D作DF⊥BC于点F，作点F关于EQ的对称点F'，当点F'落在△PQB的内部（不包括边界）时，则x的取值范围为 　　 ． 【答案】（1）AD； （2）y； （3）①x或或； ②． 【解答】解：（1）∵∠C＝90°， ∴AB5， ∵AD＝AB﹣BD＝5； （2）由题意得， ， ∴， ∴DP， ∴AP＝AD+DP， ∴yx； （3）①如图1， 作QG⊥AB于G， 在Rt△APE中， PE＝AP•sinA＝AP•（）（x+1）， AE＝AP•cosAAP＝x+1， ∴CE＝AC﹣AE＝4﹣（x+1）＝3﹣x， ∵CQ＝BC﹣BQ＝3﹣x， ∴EQ（3﹣x）， 在Rt△BQG中， BG＝BQ•cosBx，QG＝BQ•sinBx， ∴PG＝AB﹣AB﹣BG＝5（x+1）xx， ∴PQ2＝（）2+（）2， 当EQ＝PQ时， []2＝（）2+（x）2， 化简得， 11x2﹣10x﹣21， ∴x1，x2＝﹣1（舍去）， 当PE＝PQ时， [（x+1）]2＝（）2+（x）2， 化简得， 7x2﹣30x+27＝0， ∴x3，x2＝3（舍去）， 当EQ＝PE时， （3﹣x）（x+1）， ∴x， 综上所述：x或或； ②∵BF＝BD•cosB， ∴x， 由（2）得， CE＝CQ， ∵∠C＝90°， ∴∠CQE＝∠CEQ＝45°， ∴当∠EQP＞∠CQE，且FQ＜PQ时，点F′在△EPQ的内部， 此时∠PQB＜90°， ∴， ∴x， 又， 故答案为：． 题型10 三角形综合_最值型 【典例1】如图，点D，点E分别在等腰Rt△ABC的边AB，AC上，且BD＝AE，已知AB＝2，设BD＝x，△ADE的面积为S． （1）求S关于x的函数表达式； （2）求出S的最大值及此时x的值； （3）对于DE的最小值问题，方方说：“当S取到最大时，DE取到最小值”，你是否同意方方的说法？并说明理由． 【答案】（1）Sx2+x（0＜x＜2）； （2）当x＝1时，S的最大值为； （3）同意方方的说法理由见解答过程． 【解答】解：（1）根据题意得：SAD•AE（2﹣x）•xx2+x， ∴Sx2+x（0＜x＜2）； （2）∵Sx2+x（x﹣1）2， ∴当x＝1时，S的最大值为； （3）同意方方的说法，理由如下： 在Rt△ADE中，DE， ∴当x＝1时，DE取最小值，最小值为， 由（2）知，当x＝1时，S的最大值为， ∴当S取到最大时，DE取到最小值， ∴同意方方的说法． 【变式1】如图，已知等腰直角三角形ABC，∠B＝90°，AB＝BC＝4，点P为AC的中点，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF＝45°，设图中阴影部分图形的面积为S1． （1）求证：∠APE＝∠CFP； （2）若AE＝CF，求CF的长； （3）设△CPF的面积为S2，CF＝x，．求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值． 【答案】（1）证明见解答；（2）CF＝2；（3）y＝﹣8（）2+1（2≤x≤4），y最大值为1． 【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，AB＝BC， ∴∠C＝∠A＝45°， ∴∠APF＝∠CFP+∠C＝∠CFP+45°， ∵∠EPF＝45°， ∴∠APF＝∠APE+∠EPF＝∠APE+45°， ∴∠APE＝∠CFP； （2）解：在Rt△ABC中，AB＝BC＝4， ∴ACAB＝4， ∵点P为AC的中点， ∴AP＝CPAC＝2， 由（1）知，∠APE＝∠CFP，∠A＝∠C＝45°， ∴△APE∽△CFP， ∴， ∵AE＝CF， ∴， ∴CF＝2； （3）解：如图， 过点P作PH⊥AB于H，PG⊥BC于G， ∴∠AHP＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠AHP＝∠B， ∴PH∥BC， ∵点P为AC的中点， ∴PH是△ABC的中位线， ∴PHBC＝2，同理：PG＝2， 由（2）知，△APE∽△CFP， ∴， ∵CF＝x， ∴， ∴AE， ∴y ＝﹣8（）2+1， ∵PG⊥BC， ∴∠PGC＝90°＝∠ABC， ∴PG∥AB， ∴点P是AC的中点， ∴CGBC， 连接BP， ∵AB＝BC，点P是AC的中点， ∴∠BPC＝90°， ∵PG⊥BC， ∴∠PGC＝90°， ∴∠CPG＝45°， ∴∠BPG＝45°， ∵E在AB上运动，F在BC上运动，且∠EPF＝45°， 当点E在点B处，点F在点G处，此时，x＝2， 点F在点B处时，x＝4， ∴2≤x≤4， 即y＝﹣8（）2+1（2≤x≤4）， ∴当x＝2时，y最大值为1． 题型11 三角形综合_创新型 【典例1】如图，已知∠AOB＝90°，∠AOB的内部有一点P，且OA＝OB＝OP＝10，过点B作BC∥AP交AO于点C，OP与BC交于点D． （1）如果tan∠AOP，求OC的长； （2）设AP＝x，BC＝y，求y与x的函数关系式，并写出定义域； （3）如果BD＝AP，求△PBD的面积． 【答案】（1）OC； （2）y（ 0＜x＜10）； （3）5050． 【解答】解：（1）如图1， 过A作AH⊥OP于H， 则有tan∠AOP， 设AH＝3a， 则OH＝4a， 在Rt△AOH中有（3a）2+（4a）2＝102， 解之得a1＝﹣2（舍），a2＝2， ∴AH＝6，OH＝8，PH＝2， ∵CD∥AP，OA＝OP， ∴∠OCD＝∠OAP＝∠APO， ∵∠HAP+∠OPA＝∠OCB+∠CBO＝90°， ∴∠HAP＝∠OBC， ∴△HAP∽△OBC， ∴， ∴OC； （2）如图2， ∵OA＝OB＝OP， ∴A、P、B三点共圆， 过A作AN⊥OP于N，过O作OM⊥AP于M， 由（1）知△NAP∽△OBC， ∴， ∴AN， ∵OM⊥弦AP， ∴AM＝MP（圆的性质，过圆心垂直于弦的直线也平分该弦）， ∴OM， ∴S△OAPAP•OMOP•AN， 即•x•10•， 化简移项得y， 其中x最大为AB的长为10， ∴0＜x＜10， 即y（ 0＜x＜10）； （3）如图3， 连接AB、AD，AB与OP交于Q， ∵BD平行且等于AP， ∴四边形ADBP是平行四边形且△AOB是等腰Rt△， ∴Q是弦AB边PD的中点， ∴BQ＝AQAB＝5，DQ＝PQ， ∴OQ⊥AB， ∴△AOQ、△BOQ均为等腰Rt△， ∴OQ5， ∴PQ＝OP﹣OQ＝10﹣5， ∴S△PBD•PD•BQ＝PQ•BQ＝（10﹣5）×55050． 【变式1】已知：在△ABC中，AB＝6，BC＝5，tanB，点P是边BC上的一个动点，点E在BA的延长线上，且∠ACE＝∠BAP，设BP＝x，AE＝y． （1）当AP平分∠BAC（如图﹣1）时，求y的值； （2）当EC⊥BC时，求∠BAP的正弦值； （3）求y关于x的函数关系式，并写出定义域． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1中，作CF⊥AB于F． ∵tanB，BC＝5， ∴CF＝4，BF＝3， ∵AB＝6， ∴BF＝AF＝3， ∵CF⊥AB， ∴CB＝CA＝5， ∵∠ACE＝∠BAP＝∠PAC， ∴PA∥EC， ∴∠E＝∠PAB＝∠ACE， ∴AE＝AC＝5， ∴y＝5． （2）如图2中，作AH⊥CE于H． 在Rt△BCE中，∵tan∠B， ∴EC， ∴EB， ∴AE＝BE﹣AB， ∵BC⊥EC，AH⊥EC， ∴AH∥BC， ∴∠EAH＝∠B， ∴tan∠EAH＝tan∠B， ∴AHAE， ∵∠BAP＝∠ACE， ∴sin∠BAP＝sin∠ACH． （3）如图3中，作PG∥AB交AC于G． ∵CA＝CB＝5， ∴∠CBA＝∠CAB， ∵PG∥AB， ∴∠CPG＝∠B，∠CGP＝∠CAB， ∴∠CPG＝∠CGP， ∴CP＝CG， ∴PB＝AG＝x， ∵， ∴PG（5﹣x）， ∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝∠ACE+∠E，∠PAB＝∠ACE， ∴∠PAG＝∠E， ∵∠PAB＝∠APG＝∠ACE， ∴△AGP∽△EAC， ∴， ∴， ∴y（0≤x≤5） 过 关 验 收 1．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，AE＝3ED，F是DC的中点．AF与BE相交于点G．则的值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解答】解：设ED＝m，延长BE、CD交于点H， ∵四边形ABCD是正方形，且AE＝3ED＝3m， ∴CD∥AB，CD＝AB＝AD＝AE+ED＝4m， ∵F是DC的中点， ∴FD＝FCCD＝2m， ∵DH∥AB， ∴△DEH∽△AEB， ∴， ∴DHABm， ∴FH＝FD+DH＝2mmm， ∵AB∥FH， ∴△AGB∽△FGH， ∴， 故选：B． 2．如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A．∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC， ∵CD∥AB， ∴， ∵AB＝CD， ∴，正确； B．∵AE∥BC， ∴， ∵AD＝BC， ∴，正确； C．∵AE∥BC， ∴， 即， ∵AB＝CD， ∴， ∴，错误． D．∵AE∥BC， ∴，正确； 故选：C． 3．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD，且AE，BD相交于点F，S△DEF：S△ABF＝1：9，则DE：DC＝（　　） A．3：1 B．1：2 C．2：3 D．1：3 【答案】D 【解答】解：∵平行四边形ABCD， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴△DEF∽△BAF， ∵S△DEF：S△ABF＝1：9， ∴DE：AB＝1：3，即DE：DC＝1：3． 故选：D． 4．小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知AC与BD交于点O，AB∥CD．若点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰AB的高度是2cm，则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是（　　） A．2cm B． C．3cm D．4cm 【答案】C 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠A＝∠C，∠B＝∠D， ∴△AOB∽△COD， ∵点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm， ∴根据相似三角形对应高的比等于相似比可得， ∵AB＝2cm， ∴CD＝3cm， 答：蜡烛火焰倒立的像CD的高度是3cm， 故选：C． 5．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长12cm，BC边上的高AD为10cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边GH在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长是（　　） A．5cm B． C．6cm D． 【答案】B 【解答】解：∵四边形EFHG是正方形， ∴EF∥BC， ∴△ABC∽△AEF， 又∵AD⊥BC， ∴， 设正方形零件EFHG的边长为x，则AK＝10﹣x， ∴， 解得， 即这个正方形零件的边长为， 故选：B． 6．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA＝150cm，阻力臂OB＝50cm，BD＝20cm，则AC的长度是（　　） A．80cm B．60cm C．50cm D．40cm 【答案】B 【解答】解：∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴AC∥BD， ∴△AOC∽△BOD， ∴， ∵OA＝150cm，OB＝50cm，BD＝20cm， ∴， ∴AC＝60， ∴AC的长为60cm． 故选：B． 7．我国古代数学著作《周髀算经》记载商高用矩（带有直角的曲尺）之道“偃矩以望高”的数学道理，即用曲尺测量物体高度的方法，如图所示；设曲尺平行于水平线的一边DE长度为a，垂直于水平线的一边CD长度为b，当人眼F，曲尺两边端点C，E，物体AB的顶端点A在同一直线上时，人眼F到过点B的水平线的高度为h，人眼F到物体AB的水平距离为c，则物体AB的高度x是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：过E作FH⊥AB于H， ∴FH＝c， 由题意得HF∥DE， ∴∠AFH＝∠CED， ∵∠AHF＝∠CDE＝90°， ∴△ECD∽△FAH， ∴CD：AH＝DE：HF， ∴a：c＝b：AH， ∴， ∴AB＝AH+BHh， 故选：A． 8．如图，小位用两根长度不等的木条AC、BD可测得花瓶内口径AB的宽度．如果，且量得CD＝20cm，则AB的宽度为（　　） A．30cm B．40cm C．50cm D．60cm 【答案】B 【解答】解：连结CD、AB， ， 则CD∥AB， ∴∠OAB＝∠OCD， 又∵∠AOB＝∠COD， ∴△AOB∽△COD， 设OD＝OC＝x（cm），则DB＝AC＝3x（cm）， ∴OB＝OA＝2x， ∴， 又∵CD＝20， ∴AB＝40，即AB宽度为：40cm． 故选：B． 9．直角三角形斜边长为30，则这个三角形重心到直角顶点的距离为　　 ． 【答案】10． 【解答】解：直角三角形斜边长为30， 斜边上的中线长为， ∴， 故答案为：10． 10．一个直角三角形的重心到直角顶点的距离为6，那么这个直角三角形的斜边长是　　 ． 【答案】18． 【解答】解：由题知， 因为一个直角三角形的重心到直角顶点的距离为6， 所以这个直角三角形斜边上的中线为9， 所以这个直角三角形的斜边长是：2×9＝18． 故答案为：18． 11．Rt△ABC，∠ACB＝90°，AB＝6，G为重心，则CG＝　　 ． 【答案】2 【解答】解：如图，∵G为△ABC的重心， ∴CD是△ABC的中线，CG＝2DG， ∵∠ACB＝90°，AB＝6， ∴， ∴CG＝2， 故答案为：2． 12．在平面直角坐标系xOy中，已知点O（0，0），点A（1，0），B（0，2），C（3，0），点D在第一象限内，如果以点D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么这样的点D有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：设点D（m，n）（m＞0，n＞0）， ∵A（1，0），B（0，2），C（3，0）， ∴OA＝1，OB＝2，OC＝3，AB，OD，CD， ∵∠AOB＝90°， ∴△AOB是直角三角形， ∵点D在第一象限内， ∴∠COD＜90°， ∵以点D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似， ∴∠COD＝∠OAB或∠COD＝∠OBA， ①当∠COD＝∠OAB时，△COD∽△OAB或△COD∽△BAO， Ⅰ、当△COD∽△OAB时，， ∴， ∴m＝3，n＝6或n＝﹣6（舍去）， ∴D（3，6）； Ⅱ、当△COD∽△BAO时，， ∴， ∴m，n（舍去负值）， ∴D（，）， ②当∠COD＝∠OBA时，△COD∽△OBA或△COD∽△ABO， Ⅰ、当△COD∽△OBA时，， ∴， ∴m＝3，n或n（舍去）， ∴D（3，）； Ⅱ、当△COD∽△ABO时，， ∴， ∴m，n或n（舍去）， ∴D（，）； ∴D（3，6）或（3，）或（，）或（，）共四个， 故选：D． 13．【模型构建】如图1，已知∠B＝∠C，如果∠AED＝∠B，那么△ABE∽△ECD．我们把这种图形叫做“一线三等角”． 【探究应用】如图2，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，BC＝6，点E在边BC上，BE＝4，P、Q分别是边AD、BE的中点．如果∠AED＝60°，且，那么PQ的长为 　 　 ． 【答案】7． 【解答】解：如图，延长BA，过点D作DF⊥AB，垂足为F，根据题意四边形BCDF为矩形． ∵cos∠AED＝cos60°， ∴∠DAE＝90°． 又∵∠DFA＝∠ABE＝90°， 根据“一线三等角”模型，△ADF∽△EBA， ∴， 在Rt△ADE中，tan∠AED． ∴AB2，AFBE＝4，CD＝BF＝6． 过点P作BC的垂线，G为垂足，则PG∥AB∥CD． ∵P是AD的中点， ∴PG是梯形ABCD的中位线，BG＝CG3，QG＝BG﹣BQ＝1，PG4． ∴PQ7． 故答案为：7． 14．（1）问题发现 如图1，在正方形ABCD中，点P和Q分别在AD和DC上，BP⊥AQ，垂足为点M．求证：BP＝AQ． （2）类比探究 如图2，在矩形ABCD中，点P和Q分别在AD和DC上，BP⊥AQ，垂足为点M．求证：． （3）拓展延伸 如图3，在▱ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，AD＝9，点P和Q分别在AD和DC上，BP与AQ交于点M且∠BMQ＝120°，AP＝2，求的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝∠D＝90°，AB＝AD， ∵AQ⊥BP， ∴∠ABP+∠BAM＝90°， ∵∠BAM+∠QAD＝90°， ∴∠ABP＝∠QAD， ∵∠ABP＝∠QAD，AB＝AD，∠BAD＝∠D， ∴△ABP≌△DAQ（ASA）， ∴BP＝AQ； （2）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠D＝90°， ∵AQ⊥BP， ∴∠ABP+∠BAM＝90°， ∵∠BAM+∠QAD＝90°， ∴∠ABP＝∠QAD， ∵∠ABP＝∠QAD，∠BAD＝∠D， ∴△ABP∽△DAQ， ∴； （3）解：如图：过点Q作∠DQE＝60°， ∵在平行四边形ABCD中，∠BAD＝120°， ∴∠D＝60°， ∴△DQE是等边三角形， ∴∠DEQ＝60°，∠AEQ＝120°， ∵∠BMQ＝120°， ∴∠ABP+∠BAM＝120°， ∵∠BAM+∠QAD＝120°， ∴∠ABP＝∠QAE，∠BAP＝∠AEQ＝120°， ∴△ABP∽△AQE， ∴， 设EQ＝ED＝a，则， 解得：， ∴． 15．（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E． ①若DE＝1，，求BC的长；②如果△ACD是等腰三角形，请直接写出的值； （2）如图2，∠CBD和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF＝2∠CBD，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE∥AC，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为S1，△CDE的面积为S2，△BDE的面积为S3，若，求cos∠CBD的值． 【答案】（1）BC， ②； （2）． 【解答】解：（1）∵①CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠DCB∠ACB， ∵∠ACB＝2∠B， ∴∠ACD＝∠DCB＝∠B， ∴CD＝BD， ∵DE∥AC， ∴∠ACD＝∠EDC， ∴∠EDC＝∠DCB＝∠B， ∴CE＝DE＝1， ∴△CED∽△CDB， ∴， ∴， ∴BC， ②∵△ACD是等腰三角形， ∴AC＝CD， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∵∠ACB＝2∠B， ∴∠B＝∠ACD＝∠BCD， ∴CD＝BD， ∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴， ∴， ∴ACAD， ∴， 当AD＝DC， ∴∠A＝∠ADC， ∴∠A＝∠ADC＝∠BDC＝∠B， ∵∠A+∠ADC+∠BDC+∠B＝180°， ∴∠A＝∠ADC＝∠BDC＝∠B＝45°， ∴∠ADC＝∠BDC+∠B﹣90°， ∴cosAcos45°； （2）∵DE∥AC， ∴， ∵， ∴， 又∵S1•S3S22， ∴， 设BC＝9x，则CE＝16x， ∵CD平分∠BCF， ∴∠ECD＝∠FCD∠BCF， ∵∠BCF＝2∠CBG， ∴∠ECD＝∠FCD＝∠CBD， ∴BD＝CD， ∵DE∥AC， ∴∠EDC＝∠FCD， ∴∠EDC＝∠CBD＝∠ECD， ∴CE＝DE， ∵∠DCB＝∠ECD， ∴△CDB∽△CED， ∴， ∴CD2＝CB•CE＝144x2， ∴CD＝12x， 过点D作DH⊥BC于点H， ∵BD＝CD＝12x， ∴BHBCx， ∴cos∠CBD 16．已知，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点E是射线CA上的动点，点O是边BC上的动点，且OC＝OE，射线OE交射线BA于点D． （1）如图，如果OC＝2，求的值； （2）联结AO，如果△AEO是以AE为腰的等腰三角形，求线段OC的长； （3）当点E在边AC上时，联结BE、CD，∠DBE＝∠CDO，求线段OC的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AB＝AC＝5，OE＝OC＝2， ∴∠B＝∠C，∠C＝∠OEC， ∴∠B＝∠OEC＝∠AED， 又∵∠C＝∠C， ∴△ABC∽△OEC， ∴， ∴， ∴EC， ∴AE， ∵∠ADE＝∠ADE，∠AED＝∠B， ∴△ADE∽△ODB， ∴（）2＝（）2； （2）如图1，当点E在AC上时， ∵∠AEO＞90°，△AEO是等腰三角形， ∴AE＝EO， 由（1）可知：△ABC∽△OEC， ∴， ∴， ∴ECOC， ∵AC＝AE+ECOC+OC＝5， ∴OC； 当点E在线段CA的延长线上时，如图2， ∵△AEO是等腰三角形， ∴AE＝AO， ∴∠E＝∠AOE， ∵∠B＝∠C＝∠OEC， ∴∠B＝∠AOE， ∴△ABC∽△AOE， ∴， ∴， ∴AEOC， 由（1）可知：△ABC∽△OEC， ∴， ∴， ∴ECOC， ∵AC＝EC﹣AE＝5， ∴OCOC＝5， ∴OC， 综上所述：线段OC的长为或； （3）如图3，当点E在线段AC上时， ∵∠ABE＝∠CDO，∠ABC＝∠OEC， ∴∠ABC﹣∠ABE＝∠OEC﹣∠ODC， ∴∠EBO＝∠DCA， ∵∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝2∠ACB，∠BOE＝∠ACB+∠OEC＝2∠ACB， ∴∠DAC＝∠BOE， ∴△CDA∽△BEO， ∴， ∵∠ABE＝∠ODC，∠BAC＝∠DOC， ∴△ABE∽△ODC， ∴， ∴， ∴， ∴OC＝8或OC＝8（不合题意舍去）， ∴OC＝8． 17．已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．例如：如图1，Rt△ABC中∠A＝90°，∠C＝20°，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，若∠DBC＝20°，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线． （1）在图2的△ABC中，∠C＝20°，∠ABC＝110°，请在图2中画出△ABC关于点B的二分割线，且∠DBC角度是　　 ． （2）已知∠C＝20°，在图3中画出不同于图1，图2的△ABC，所画△ABC同时满足： ①∠C为最小角； ②存在关于点B的二分割线，∠BAC的度数是　 　 ． （3）已知∠C＝a，△ABC同时满足： ①∠C为最小角； ②存在关于点B的二分割线，请求出∠BAC的度数（用a表示）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图所示：∠DBC＝20°， 故答案为：20° （2）如图所示：∠BAC＝35° 如图所示：∠BAC＝45°， 故答案为：35°或45°； （3）如图，若∠ABC是最大角时，△DBC是等腰三角形，△ABD是直角三角形， ∵DB＝DC， ∴∠C＝∠DBC＝α， ∴∠ADB＝2α，且∠ABD＝90°， ∴∠BAC＝90°﹣2α， 如图，△ABD是等腰三角形，△DBC是直角三角形， ∵∠BDC＝90°﹣α，且AD＝BD， ∴∠BAC＝∠DBA＝45°， 若∠BAC是＝90°，满足题意， 如图，当∠BAC＝45°时，满足题意， 故∠BAC＝90°或45°或90°﹣2α或45°． 18．已知∠MON＝α，点A，B分别在射线OM，ON上运动，AB＝6． （1）如图①，若α＝90°，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为A′，B′，D′，连接OD，OD′．判断OD与OD′有什么数量关系？证明你的结论； （2）如图②，若α＝60°，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离； （3）如图③，若α＝45°，当点A，B运动到什么位置时，△AOB的面积最大？请说明理由，并求出△AOB面积的最大值． 【答案】（1）OD＝OD′，理由如下： 在Rt△AOB中，点D是AB的中点， ∴OD， 同理可得：OD′， ∵AB＝A′B′， ∴OD＝OD′； （2）3+3； （3）如图2， 作等腰直角三角形AIB，以I为圆心，AI为半径作⊙I， ∴AI3，∠AOB， 则点O在⊙I上，取AB的中点C，连接CI并延长交⊙I于O， 此时△AOB的面积最大，此时OA＝OB， ∵OC＝CI+OIAB+33+3， ∴S△AOB最大9+9， ∴当OA＝OB时，△AOB的最大面积是9+9． 【解答】解：（1）OD＝OD′，理由如下： 在Rt△AOB中，点D是AB的中点， ∴OD， 同理可得：OD′， ∵AB＝A′B′， ∴OD＝OD′； （2）如图1， 作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交⊙I于O′，交AB于D， 当O运动到O′时，OC最大， 此时△AOB是等边三角形， ∴BO′＝AB＝6， OC最大＝CO′＝CD+DO′BO′＝3+3； （3）如图2， 作等腰直角三角形AIB，以I为圆心，AI为半径作⊙I， ∴AI3，∠AOB， 则点O在⊙I上，取AB的中点C，连接CI并延长交⊙I于O， 此时△AOB的面积最大，此时OA＝OB， ∵OC＝CI+OIAB+33+3， ∴S△AOB最大9+9， ∴当OA＝OB时，△AOB的最大面积是9+9． 学科网（北京）股份有限公司 $