专题1.1 二次函数的意义（7大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版九年级上册

本讲义聚焦二次函数的意义，系统梳理二次函数的概念（形如y=ax²+bx+c，a≠0）和一般形式，构建从概念理解、参数确定到实际与几何情境中模型构建的完整学习脉络，通过知识点解析、即学即练、典例变式及分层题型形成学习支架。 该资料突出数学眼光与思维培养，以握手问题、栅栏围菜园等实例引导学生从现实与几何中抽象函数关系，发展模型意识。典例与变式结合的题型设计助力推理与运算能力提升，课中辅助分层教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题1.1 二次函数的意义 教学目标 1. 理解二次函数的意义与概念，掌握其一般形式 2. 会表示简单变量间的二次函数关系，能确定自变量取值范围 3. 经历建立二次函数关系的过程，体会数学与生活的联系，培养合作意识。 教学重难点 1.重点 理解二次函数的概念，体会其在实际问题中的意义。 2.难点 能根据实际问题情境构建二次函数关系，重视二次函数解析式中a≠0这一条件。 知识点01 二次函数的概念 二次函数的概念 1.形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数，称为二次项系数，为一次项系数，为常数项. 注意：二次项系数，而可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数． 【即学即练】1．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·全国·单元测试）若是关于的二次函数，则的值是（ ） A． B． C． D．或 3．（26-27九年级·浙江·暑假作业）若是y关于x的二次函数，则m的取值范围是______． 知识点02 二次函数的一般形式 一般式：（，，为常数，）； 【即学即练】4．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期末）二次函数的一次项系数是（   ） A． B．2 C．1 D．3 5．（26-27九年级·浙江·暑假作业）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．2，0， B．2，，0 C．2，3，0 D．2，0，3 6．（2025九年级上·全国·专题练习）二次函数的二次项是_____，一次项系数是_______，常数项是_______． 题型01 二次函数的识别 【典例1】（2026九年级下·山东聊城·专题练习）下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）下列函数中，一定是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·山西晋城·期末）下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 题型02 根据二次函数的定义求参数 【典例2】（25-26九年级下·全国·单元复习）若函数是二次函数，那么的值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】（2026九年级下·山东聊城·专题练习）已知是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A． B．2 C． D．0 【变式2】（25-26九年级下·全国·课前预习）已知关于的函数是二次函数，则 __________． 【变式3】（26-27九年级·全国·暑假作业）若是二次函数，则_______． 题型03 二次函数的一般形式 【典例3】（26-27九年级·全国·暑假作业）将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级·全国·暑假作业）把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）把二次函数化为一般形式为：________． 【变式3】（2025九年级上·全国·专题练习）二次函数的一般形式是________． 题型04 二次函数的各项系数 【典例4】（25-26九年级下·全国·随堂练习）二次函数的一次项系数是（   ） A．3 B． C．2 D．5 【变式1】（26-27九年级·全国·暑假作业）函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（25-26九年级下·全国·单元测试）二次函数的一次项系数是_____． 【变式3】（25-26九年级下·全国·课前预习）二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 题型05 二次函数图象上点的坐标特征 【典例5】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知二次函数，当时，y的值为（   ） A． B． C．3 D．11 【变式1】（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）已知是关于x的二次函数，其图象经过，则a的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】（24-25九年级上·安徽·期末）若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【变式3】（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）已知二次函数，当 时，图象经过原点． 题型06 建立二次函数模型，列函数表达式（实际应用） 【典例6】（26-27九年级·全国·暑假作业）参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级·全国·暑假作业）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到28.5亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y与x之间的函数关系式为________． 【变式3】（2025九年级上·全国·专题练习）已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为________． 题型07 建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形） 【典例7】（25-26九年级下·全国·课前预习）一矩形绿地的长和宽分别为和，如果长和宽各增加了，则扩充后绿地的面积与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级·浙江·暑假作业）长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）正方形边长为3，若边长增加，那么面积增加，则与之间的函数关系式是_________． 【变式3】（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，小明的父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长，设m，矩形菜园的面积为，则与之间的函数解析式为___________．（不必写出的取值范围） 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽六安·期末）下列表达式中，为自变量，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级·全国·暑假作业）函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）二次函数的二次项系数与一次项系数的和为_____________． 6．（25-26九年级下·全国·暑假作业）函数是关于的二次函数，则______． 7．（25-26九年级下·全国·单元复习）建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 三、解答题 8．（26-27九年级·上海·暑假作业）已知二次函数，当时，求函数的值． 9．（2025九年级上·全国·专题练习）已知是关于x的二次函数． (1)求满足条件的k的值． (2)为何值时，该二次函数有最大值？最大值是多少？ 10．（25-26九年级下·全国·课后作业）已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）下列各式中，y是x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）若关于的函数是二次函数，则的值为（   ） A． B． C．3 D．无法确定 3．（25-26九年级下·全国·单元复习）某商品的进货单价为元个，当销售单价为元个时，每天能卖出个，若销售单价每上涨元个，则每天的销量就减少个．设该商品的销售单价为元个，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·全国·单元复习）跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（    ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A．40 B．50 C．80 D．160 5．（2025九年级上·全国·专题练习）已知二次函数可化为的形式，则的值是(    ) A． B．3 C． D．5 二、填空题 6．（2025九年级上·全国·专题练习）把变成一般式，它的常数项为_____． 7．（25-26九年级下·全国·单元复习）若函数是关于x的二次函数，则a的值为_____． 8．（2025九年级下·全国·专题练习）某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式__________． 9．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 10．（25-26九年级下·全国·课后作业）粉末床熔融工艺是目前金属增材制造领域发展最快的技术，现准备用该方式打印一圆柱形工件，记工件的底面圆半径为，高为，工件体积为． (1)当是常量时，是的______函数． (2)当是常量时，是的______函数． 三、解答题 11．（25-26九年级下·全国·课后作业）已知函数． (1)若这个函数是一次函数，且点，在一次函数上，求，的值； (2)若这个函数是二次函数，则满足的条件为______． 12．（25-26九年级下·辽宁锦州·期中）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为元/千克的荔枝，以元/千克售出时，每天能售出千克．市场调研表明：当售价每降低元/千克时，平均每天能多售出千克．设降价元． (1)设销售利润为元，请写出关于的函数关系式； (2)该水果店想要荔枝的销售利润平均每天达到元，且让顾客得到实惠，应将价格定为每千克多少元？ 13．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，中，，，．动点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P沿边向C以每秒3个单位长度的速度运动，点Q沿边向B以每秒4个单位长度的速度运动，当P，Q到达终点C，B时，运动停止．设运动时间为t（s）． (1)①当运动停止时，t的值为 ． ②设P，C之间的距离为y，则y与t满足 ． A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 (2)设的面积为S， ①求S的表达式（用含有t的代数式表示）； ②求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？ 14．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙（的长不超过墙长），另三边用总长为的栅栏围住，设边长为，绿化带的面积为．如图，若墙长为． (1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当绿化带的面积为时，求x的值； (3)求绿化带的面积最大时边长． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 二次函数的意义 教学目标 1. 理解二次函数的意义与概念，掌握其一般形式 2. 会表示简单变量间的二次函数关系，能确定自变量取值范围 3. 经历建立二次函数关系的过程，体会数学与生活的联系，培养合作意识。 教学重难点 1.重点 理解二次函数的概念，体会其在实际问题中的意义。 2.难点 能根据实际问题情境构建二次函数关系，重视二次函数解析式中a≠0这一条件。 知识点01 二次函数的概念 二次函数的概念 1.形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数，称为二次项系数，为一次项系数，为常数项. 注意：二次项系数，而可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数． 【即学即练】1．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义（形如）判断各选项，即可 【详解】解：∵二次函数需满足整式且最高次数为2，， A、为一次函数，不符合题意； B、是反比例函数，不符合题意； C、二次函数，符合题意； D、为一次函数，不符合题意； 故选：C 2．（25-26九年级下·全国·单元测试）若是关于的二次函数，则的值是（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义．需满足自变量最高次数为2且二次项系数不为0，据此列方程与不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数． ∴根据二次函数定义可得： 由，得， 即或 又∵， ∴ ∴． 故选：C 3．（26-27九年级·浙江·暑假作业）若是y关于x的二次函数，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握二次函数的二次项系数不能为零是解题的关键． 根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴二次项系数，解得：． 故答案为：． 知识点02 二次函数的一般形式 一般式：（，，为常数，）； 【即学即练】4．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期末）二次函数的一次项系数是（   ） A． B．2 C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的一般形式及其各项系数的识别．标准的二次函数形式为：，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．题目给出具体的二次函数表达式，只需找出其中一次项对应的系数即可． 【详解】解：二次函数的一次项是，则一次项系数是， 故选：A． 5．（26-27九年级·浙江·暑假作业）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．2，0， B．2，，0 C．2，3，0 D．2，0，3 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数系数的识别，注意常数项为0时不要遗漏．根据二次函数的一般形式，直接读取二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：∵二次函数可化为， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 故选：B． 6．（2025九年级上·全国·专题练习）二次函数的二次项是_____，一次项系数是_______，常数项是_______． 【答案】 5 【分析】根据二次函数的定义判断即可。 【详解】解：二次函数的二次项是，一次项系数是，常数项是， 故答案为：①，② ，③ ， 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，要熟练掌握，一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 题型01 二次函数的识别 【典例1】（2026九年级下·山东聊城·专题练习）下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，为常数）的整式函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是分式，不是整式，不符合定义，该选项不符合题意； B、整理得，符合，符合二次函数定义，该选项符合题意； C、中x的最高次数为1，是一次函数，该选项不符合题意； D、中，一个x对应两个不同的y值，y不是x的函数，该选项不符合题意． 【变式1】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的定义，正确理解二次函数的定义是关键．形如（a，b，c是常数，）的函数为二次函数．根据二次函数的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：选项A、，属于二次函数，符合题意； 选项B、是正比例函数，不符合题意； 选项C、是一次函数，不符合题意； 选项D、是反比例函数，不符合题意． 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）下列函数中，一定是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的识别，需根据二次函数的定义：形如（为常数且）的函数，逐一分析各选项判断． 【详解】解：A．当时，，是常数函数，不是二次函数； B．满足，符合二次函数的定义，是二次函数； C．中的次数为1，是一次函数，不是二次函数； D．是反比例函数，不是二次函数； 故选：B． 【变式3】（25-26九年级上·山西晋城·期末）下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的概念和解析式的形式．整理后根据二次函数的定义和条件判断即可． 【详解】解：A、是反比例函数，该选项不符合题意； B、，是一次函数，该选项不符合题意； C、，右边不是整式，不是二次函数，该选项不符合题意； D、是二次函数，该选项符合题意； 故选：D． 题型02 根据二次函数的定义求参数 【典例2】（25-26九年级下·全国·单元复习）若函数是二次函数，那么的值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，依据二次函数最高次项的次数为2这一性质列方程求解即可． 【详解】∵是二次函数， ∴ 解得 此时函数为，满足二次函数的定义． 故选：D． 【变式1】（2026九年级下·山东聊城·专题练习）已知是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A． B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】二次函数要求的最高次数为2，且二次项系数不能为0，据此列出关于的条件即可求解． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴，且， 解得， 解得， ∴． 【变式2】（25-26九年级下·全国·课前预习）已知关于的函数是二次函数，则 __________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义，二次项系数不为零，即可求解． 【详解】解：是二次函数， ，即． 故答案为：． 【变式3】（26-27九年级·全国·暑假作业）若是二次函数，则_______． 【答案】 【详解】解：根据二次函数的定义可得：二次项系数不为0，且自变量的最高次数为2， 即， 整理，得， ∴， ∴， 解得或， 结合， 可得． 题型03 二次函数的一般形式 【典例3】（26-27九年级·全国·暑假作业）将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的一般式，根据整式乘法展开后合并同类项即可． 【详解】， 故选：D． 【变式1】（26-27九年级·全国·暑假作业）把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的一般形式，把化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：； 其中二次项系数是、一次项系数是、常数项是4． 故选：D 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）把二次函数化为一般形式为：________． 【答案】 【分析】先利用整式的乘法得到y=-4（x-3+2x2-6x），然后去括号合并即可得到二次函数的一般式． 【详解】y=−4(1+2x)(x−3)=−4(x−3+2x2−6x)=−8x2+20x+12， 故答案为y=−8x2+20x+12. 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的三种形式，解题的关键是熟练的掌握二次函数的三种形式. 【变式3】（2025九年级上·全国·专题练习）二次函数的一般形式是________． 【答案】 【分析】直接利用乘法运算法则化成一般式． 【详解】y＝−4（1＋2x）（x−3）＝−8x2＋20x＋12， 故答案为y＝−8x2＋20x＋12． 【点睛】此题考查二次函数的解析式的三种形式，熟练掌握这几种形式是解题的关键． 题型04 二次函数的各项系数 【典例4】（25-26九年级下·全国·随堂练习）二次函数的一次项系数是（   ） A．3 B． C．2 D．5 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的一般形式及其各项系数的识别．标准的二次函数形式为：，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项．题目给出具体的二次函数表达式，只需找出其中一次项对应的系数即可． 【详解】解：∵ 二次函数中，，，， ∴ 一次项系数是. 故选：B． 【变式1】（26-27九年级·全国·暑假作业）函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，依据二次函数一般式（）中各系数的定义来确定对应值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的一般形式为（，为二次项系数，为一次项系数，为常数项）， ∴函数解析式中二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 故选：． 【变式2】（25-26九年级下·全国·单元测试）二次函数的一次项系数是_____． 【答案】9 【分析】本题考查二次函数的一般形式、多项式的乘法运算法则，先进行多项式的乘法运算，再合并同类项化成一般形式即可． 【详解】解：， ， ∴一次项系数是9， 故答案为：9． 【变式3】（25-26九年级下·全国·课前预习）二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，关键是熟练应用定义解题； 二次函数的一般形式为 （其中 ，， 是常数且），称为二次项系数，称为一次项系数，称为常数项． 【详解】解：对于二次函数 ，其一般形式中，，， 因此二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：，，． 题型05 二次函数图象上点的坐标特征 【典例5】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知二次函数，当时，y的值为（   ） A． B． C．3 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的值，将代入二次函数解析式计算即可． 【详解】解：将代入函数中： ， 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）已知是关于x的二次函数，其图象经过，则a的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，待定系数法求二次函数解析式，根据定义得出，然后将点代入解析式，即可求解． 【详解】解：依题意，，， 解得：， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·安徽·期末）若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，注意二次函数二次项系数不为． 把代入求解，注意的取值范围． 【详解】解：把代入得， 解得或， ， ， 故选：B． 【变式3】（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）已知二次函数，当 时，图象经过原点． 【答案】1 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟悉待定系数法． 根据函数过原点，代入求解即可． 【详解】由题知函数过原点， ，解得． 故答案为：1． 题型06 建立二次函数模型，列函数表达式（实际应用） 【典例6】（26-27九年级·全国·暑假作业）参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据参加会议的人两两彼此握手表示即可． 【详解】∵参加会议的人两两彼此握手， ∴． 故选：B． 【变式1】（26-27九年级·全国·暑假作业）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据题意列函数关系式． 根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量关于x的函数解析式． 【详解】解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x， ∴8月份的销售量为个， ∴9月份的销售量． 故选：A． 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到28.5亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y与x之间的函数关系式为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数的关系式，掌握年均增长率下的增长公式，通过逐年推导得出函数关系式是解题的关键． 根据增长率模型，从初始值经过两年增长，利用年均增长率公式求解． 【详解】解：年收入为亿美元，年均增长率为， 年收入为亿美元， 年收入为亿美元， 因此与之间的函数关系式为． 故答案为：． 【变式3】（2025九年级上·全国·专题练习）已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为________． 【答案】 【分析】根据n个球队都要与除自己之外的球队个打一场，因此要打场，然而有重复一半的场次，即可求出函数关系式． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了函数关系式，理解题意是解题的关键． 题型07 建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形） 【典例7】（25-26九年级下·全国·课前预习）一矩形绿地的长和宽分别为和，如果长和宽各增加了，则扩充后绿地的面积与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用问题．根据题意列出y与x的关系式可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 【变式1】（26-27九年级·浙江·暑假作业）长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 【变式2】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）正方形边长为3，若边长增加，那么面积增加，则与之间的函数关系式是_________． 【答案】 【分析】增加的面积新正方形的面积原正方形的面积，把相关数值代入化简即可． 【详解】解：新正方形的边长为，原正方形的边长为3， 新正方形的面积为，原正方形的面积为9， ， 故答案为：． 【点睛】考查列二次函数关系式；得到增加的面积的等量关系是解决本题的关键． 【变式3】（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，小明的父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长，设m，矩形菜园的面积为，则与之间的函数解析式为___________．（不必写出的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数关系式，由m，得m，m，即可求解； 【详解】解：∵m， ∴m，m， ∴， 故答案为： 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽六安·期末）下列表达式中，为自变量，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（是常数，）的函数叫做二次函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是二次函数，符合题意； B、中未知数的最高次数不是2，不是二次函数，不符合题意； C、中等式右边不是整式，不是二次函数，不符合题意； D、当时，不是二次函数，不符合题意； 故选：A． 2．（26-27九年级·全国·暑假作业）函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，依据二次函数一般式（）中各系数的定义来确定对应值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的一般形式为（，为二次项系数，为一次项系数，为常数项）， ∴函数解析式中二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 故选：． 3．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 4．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数二次项系数不为的要求，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数不能为，是二次函数， ∴， 解得． 二、填空题 5．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）二次函数的二次项系数与一次项系数的和为_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫作二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 先把二次函数化成一般式，然后再确定二次项系数和一次项系数，然后再求和即可． 【详解】解：∵二次函数中，二次项系数为2，一次项系数为， ∴二次项系数与一次项系数的和是：． 故答案为：． 6．（25-26九年级下·全国·暑假作业）函数是关于的二次函数，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，二次函数需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式解答即可求解． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得． 7．（25-26九年级下·全国·单元复习）建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故答案为：． 三、解答题 8．（26-27九年级·上海·暑假作业）已知二次函数，当时，求函数的值． 【答案】 【详解】解：将代入，得． 9．（2025九年级上·全国·专题练习）已知是关于x的二次函数． (1)求满足条件的k的值． (2)为何值时，该二次函数有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)2或 (2)当时，该二次函数有最大值，最大值为 【分析】本题主要考查了二次函数的定义的应用，二次函数的性质，二次函数的最值，关键是根据定义求出k的值． （1）根据二次函数的定义求出k的值即可解决问题； （2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，图象有最高点，据此解答即可． 【详解】（1）解：是关于x的二次函数， ， 解得：， 满足条件的k的值为2或． （2）解：当二次函数有最大值时，其图象的开口向下， ，即， 由（1）得， ， 该二次函数为， 二次函数最大值为， 当时，该二次函数有最大值，最大值为． 10．（25-26九年级下·全国·课后作业）已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)(或)． (2) 【分析】（1）一直角边的长为，则另一直角边长为即可求出面积； （2）一直角边的长为，则另一直角边长为，即可表示出面积． 【详解】（1）解：已知一直角边的长为， 则另一直角边长为， 所以这个直角三角形的面积 （2）解：由题意，得另一条直角边的长为， 则． 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）下列各式中，y是x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义：形如的函数是二次函数，逐一判断各选项即可． 【详解】A：，分母含有，不是整式，不是二次函数； B：，最高次项为一次，是一次函数，不是二次函数； C：，符合形式且，是二次函数； D：，分母含有，不是整式，不是二次函数． 故选：C． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）若关于的函数是二次函数，则的值为（   ） A． B． C．3 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，最高次项必须为且系数不为零，由此列方程求解． 【详解】解：∵函数y是二次函数， ∴最高次项为，且系数不为0， 即为项， ∴，解得：， 又∵二次项系数，即， ∴． 故选：A． 3．（25-26九年级下·全国·单元复习）某商品的进货单价为元个，当销售单价为元个时，每天能卖出个，若销售单价每上涨元个，则每天的销量就减少个．设该商品的销售单价为元个，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查销售问题的数量关系，根据利润（售价进价）销量列函数关系式即可． 【详解】解：设该商品的销售单价为元个， 则每个某商品的利润为：元，销量为：， 则每天的利润， 故选：D． 4．（25-26九年级下·全国·单元复习）跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（    ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A．40 B．50 C．80 D．160 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 根据给定关系式，利用表中时 的条件求出常数 ，再代入计算的值． 【详解】∵ ，且当 时，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 当 时，， ∴ ． 故选：C． 5．（2025九年级上·全国·专题练习）已知二次函数可化为的形式，则的值是(    ) A． B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的一般式与顶点式的相互转化、待定系数法等知识，将顶点式化成一般式确定对应系数，然后配方即可求解，熟练能将一般式与顶点式相互转化是解题的关键． 【详解】解： ∴，， ∴． 故选：A． 二、填空题 6．（2025九年级上·全国·专题练习）把变成一般式，它的常数项为_____． 【答案】18 【分析】本题重点考查二次函数的一般形式及多项式乘法法则，将二次函数表达式展开为一般形式，常数项即为． 【详解】解：， 故常数项为． 故答案为：18． 7．（25-26九年级下·全国·单元复习）若函数是关于x的二次函数，则a的值为_____． 【答案】0或 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义可知且，从而解得a的值即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴且， ∴且， 即且， ∴或． 故答案为：0或． 8．（2025九年级下·全国·专题练习）某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，设平均每月降价的百分率为x，则9月份的楼盘出售均价为元，则10月份的楼盘出售均价为元，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键．由题意分析出每件商品的盈利为：元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化简，进一步求解的范围即可． 【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：元， 所以： ， ∵且， ∴． 故答案为：， 10．（25-26九年级下·全国·课后作业）粉末床熔融工艺是目前金属增材制造领域发展最快的技术，现准备用该方式打印一圆柱形工件，记工件的底面圆半径为，高为，工件体积为． (1)当是常量时，是的______函数． (2)当是常量时，是的______函数． 【答案】(1) 一次 (2) 二次 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的概念、常量与变量，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）由一次函数的定义可得，当是常量时，是的一次函数． （2）由二次函数的定义可得，当是常量时，是的二次函数． 【详解】（1）解：由题意得：， 当是常量时，是的一次函数． 故答案为：一次． （2）由题意得：， 当是常量时，是的二次函数． 故答案为：二次． 三、解答题 11．（25-26九年级下·全国·课后作业）已知函数． (1)若这个函数是一次函数，且点，在一次函数上，求，的值； (2)若这个函数是二次函数，则满足的条件为______． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，二次函数的定义，求一次函数值， 对于（1），根据一次函数的定义可得且，再求出m的值，然后将点B的坐标代入关系式可得n； 对于（2），根据二次函数的定义可得求出解即可． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得， ∴一次函数. ∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得； （2）解：∵函数是二次函数， ∴ ∴且． 故答案为：且． 12．（25-26九年级下·辽宁锦州·期中）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为元/千克的荔枝，以元/千克售出时，每天能售出千克．市场调研表明：当售价每降低元/千克时，平均每天能多售出千克．设降价元． (1)设销售利润为元，请写出关于的函数关系式； (2)该水果店想要荔枝的销售利润平均每天达到元，且让顾客得到实惠，应将价格定为每千克多少元？ 【答案】(1) (2)应将价格定为元/千克 【分析】（1）利用利润＝（售价-成本）×销售量可得出关于的函数关系式； （2）令，求出的值，再根据题意对的值进行取舍即可． 【详解】（1）解：根据题意可知降价后平均每天可以销售荔枝千克， ， 整理得； （2）解：令，代入函数表达式得：， 解得：， 要让顾客得到实惠，售价应尽可能低， ∴， ∴此时荔枝定价为（元/千克）． 答：应将价格定为元/千克． 13．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，中，，，．动点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P沿边向C以每秒3个单位长度的速度运动，点Q沿边向B以每秒4个单位长度的速度运动，当P，Q到达终点C，B时，运动停止．设运动时间为t（s）． (1)①当运动停止时，t的值为 ． ②设P，C之间的距离为y，则y与t满足 ． A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 (2)设的面积为S， ①求S的表达式（用含有t的代数式表示）； ②求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？ 【答案】(1)①2；②B (2)①；②， 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，求二次函数关系式，二次函数图象的性质，求二次函数的极值， 对于（1），先根据路程和速度求出时间，再根据得出关系式解答； 对于（2），先根据列出二次函数关系式，再根据图象的性质讨论最大值即可． 【详解】（1）解：①由题意，∵当P，Q到达终点C，B时，运动停止， ∴运动停止时，运动时间（s）． 故答案为：2； ②由题意得，，即， ∴y与t满足一次函数关系． 故选：B； （2）解：①由题意得，，， 又的面积， ∴（）； ②由题意，∵， ∴该函数的图象开口向下，其顶点在． ∴当时，． 14．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙（的长不超过墙长），另三边用总长为的栅栏围住，设边长为，绿化带的面积为．如图，若墙长为． (1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当绿化带的面积为时，求x的值； (3)求绿化带的面积最大时边长． 【答案】(1) (2) (3)绿化带的面积最大时，边长为 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解一元二次方程，掌握根据题意列出函数解析式是解题的关键． （1）根据意义可知，根据矩形面积公式，即可列出函数解析式，根据的长不超过墙长，即可得到自变量x的取值范围； （2）将代入（1）中的解析式，解方程，即可求解； （3）把（1）中的函数解析式用配方法化简，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：根据意义可知， 则． （2）解：令，得， 化简得， 解得，（不合题意舍去）， 当绿化带的面积为时，边长为． （3）解：， ， 函数开口向下， 又， 当时，面积y有最大值． 答：绿化带的面积最大时，边长为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $