第28章 相似三角形（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦九年级上册第28章相似三角形，通过基础通关设计，覆盖相似判定、性质、位似等核心知识，题型梯度合理，注重推理能力与几何直观培养，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/18|比例线段作图、相似判定、位似性质|第3题结合正方形综合考查相似结论判断，体现几何直观| |填空题|12/24|黄金分割、重心性质、动点相似|第17题动点问题动态探究相似条件，培养抽象能力| |解答题|8/58|相似证明、比例计算、综合应用|第26题角平分线定理证明与应用，强化推理能力；第25题三角板情境综合几何关系，贴近真题命题趋势|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第28章相似三角形·基础通关（参考答案） 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 题号 12 34 5 6 答案 B D D B 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7.-1+5,5-1 1 8.18 2 9.50.4 10.30 4 11.3 12.(62）或6.-2） 13.4 145 5.昌 1 16.2/0.5 2032 17.11或23 2 18.5 三、解答题（本大题共8小题，第1925每小题7分，第26题9分，共58分） 19.1 ab_c」 【详解】解：设34k(k≠0)， ….2分 则a=3k,b=4k,c=5k,.…2分 1/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a+3b-c_3k+12k-5k_10k=1, 则2a+b 6k+4k 10k 3分 20.△ADE的面积为2 AD 1 【详解】解：：A4 ADEAABC, BD 2 AD AD 1 六ABAD+BD3,…2分 (, S.ADE =AD .2分 解得，S4s=。×18=2,2分 9 ∴.△ADE的面积为2.…1分 21.证明：AD⊥BC、BE⊥AC, ∠ADB=∠AEF=90°，3分 又：∠BFD=∠AFE, ∴.∠FBD=∠FAC、 .△AEF∽△BEC..4分 22.(1) 证明：∠BAC=90°，AE⊥CD, .∠BAC=∠AFC=90°.…1分 又，∠ACF=∠ACD, .△ACF∽△DCA,…1分 CF AC 4CCD,即4C2=CF.CD·…1分 (2) 证明：，CD平分∠BCA, .∠ACF=∠ECF 又：CF=CF,∠AFC=∠EFC=90°， ∴.△AFC≌△EFC. FA-FE-1AE 2 …1分 .∠BAC=90°， 2/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DAF+∠CAF=90° 又，AE⊥CD ∴.∠CAF+∠ACF=90°， .∠DAF=∠ACF .BG⊥AG .∠G=∠BAC=90°， .△AGB∽aCFA,…2分 CF AF 1 ·AGBG,即24BAG=CF-BG, AEAG=2BG-CF.1分 23.(1) 证明：如图所示， D 4\6 2 B ·△ABC为等边三角形， ∠1=∠2=60°， .ABI CD .∠3=∠2=60° 4∠DCB=∠1+∠3=120°，1分 .DE∥BC ∠EDC=180°-∠DCB=180°-120°=60°， ∠AED=∠EDC+∠3=120°， ·∠AED=∠DCB、 DE∥BC, ∠5=∠6， .∠ADB=2∠5，且∠ADB=∠4+∠6， .∠5=∠4， .△ADE∽△DBC.2分 3/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2) 证明：，∠3=∠EDC=60°」 ∴.△CDE为等边三角形，即CE=DE=CD, ,△ABC为等边三角形， ..AC=BC, .△ADE∽△DBC, AE DE CDBC,…2分 AE EC .CEAC,即EC2=AE.AC,…2分 .点E是线段AC的黄金分割点. 24.(1) 证明：DEI‖AC,EF I AB ∠B=∠CEF,∠BED=LC,l分 在△BDE和△EFC中， I∠B=∠CEF ∠BED=∠C, .△BDEm△EFC;…2分 (2)8 AF 2 解：FC3, CF 3 …AC5 .EF I AB .△EFCn△BAC,l分 EC CF 3 ·BCAC5? .BC=20 EC 3 205,l分 4/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .EC=12, .BE=BC-EC=20-12=8.…2分 25. 证明：(1)∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE=30°， △ACB∽△AED, AB AC 小DAE,l分 LBAC=∠DAE=60°， ∠BAD=∠CAE, △ABD△ACE.…1分 LADB=∠AEC=90°， AD1BD.1分 (2)∠ACB=90°，∠ABC=30°， AB=2AC,…1分 由(I)得△ABD△ACE, BD-AB=2 ∴.CEAC …1分 .BD=2CE, 1分 又C是DE中点， ..DE=2CE, BD=DE.…1分 26.(1) 证明：如图②，过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E, CE∥DA, BD BA .CD=AE,∠CAD=∠ACE'LBAD=∠E, …1分 ,AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD,1分 ∠ACE=∠E, .AE=AC, 5/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB BD 小ACCD:l分 (2)解：AD是角平分线， AB BD ·ACCD ..AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm, …1分 0 解得BD=3 cn.经检验符合题意.…1分 (3)解：，AD是角平分线， AB BD 11 AC-CD9. .CD=9BD 11, .BC=CD+BD=9BD 1 BD=20 D 11 ,…1分 E是BC中点， CE-EB-10BD 11 EF∥AD, 10 BE-BEIB BD 10 …1分 AB BD BD 11 0”0-10 …1分 6/6 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第28章 相似三角形·基础通关 建议用时：90分钟，满分：100分 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．已知线段a、b，求作线段x，使，正确的作法是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用，正确理解平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理分别列出比例式，可求得x的值，即可判断答案． 【详解】解：A、根据平行线分线段成比例定理，得，变形得，故A选项错误，不符合题意； B、根据平行线分线段成比例定理，得，变形得，故B选项正确，符合题意； C、根据平行线分线段成比例定理，得，变形得，故C选项错误，不符合题意； D，根据平行线分线段成比例定理，得，变形得，故D选项错误，不符合题意． 故选B． 2．点、、分别在的边、、上，，，下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质．由平行线分线段成比例及相似三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：， ，，故A正确，不符合题意；D错误，符合题意； ， ，故B正确，不符合题意； ，， ， ， ， ，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故C正确，不符合题意； 故选：D． 3．如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④当是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是（   ） A．①③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②④⑤ 【答案】C 【分析】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．根据正方形的性质证明，可以判断①；然后证明，可以判断②；由，，根据正方形对角线上的点到，边上的距离相等，即可判定③；设正方形的边长为，当是的中点时，，根据相似三角形的判定与性质和勾股定理分别表示出，，进而可以判断④；设，则，，得，所以，当时，，证得，进而可以判断⑤． 【详解】在正方形中，，， ， ， ，，故①正确； ， ， ， ，故②正确； 在正方形对角线上， 到，的距离相等， ， ， ，故③正确； 设正方形的边长为， ， 当是的中点时，． 由勾股定理得： ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当是的中点时，，故④正确， 当时，， ，， ， ， ， 中边上的高与中边上的高相等，， ， 设，则，， ， ， 当时，， ， ， ， ，故⑤不正确， 综上所述：正确结论的序号是①②③④， 故选：C． 4．下列命题中，真命题是（   ） A．两个直角三角形一定相似 B．两个等腰三角形一定相似 C．两个钝角三角形一定相似 D．两个等边三角形一定相似 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．根据等边三角形的性质、等腰三角形的定义、相似三角形的判定逐项判断即可得． 【详解】解：A、两个直角三角形不一定相似，理由是锐角可能不对应相等（如锐角与），则此项是假命题，不符合题意； B、两个等腰三角形不一定相似，理由是顶角或底角可能都不对应相等（如顶角与），则此项是假命题，不符合题意； C、两个钝角三角形不一定相似，理由是钝角或其他内角可能不相等（如钝角与），则此项是假命题，不符合题意； D、两个等边三角形一定相似，理由是等边三角形的每个内角均为，则此项是真命题，符合题意； 故选：D． 5．如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD：BD=2：1，点F在AC上，AF：FC=1：2，连接BF，交DE于点G，那么DG：GE等于（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5． 【答案】B 【详解】∵DE∥BC， ∴=2， ∴CE：CA=1：3，， ∵AF：FC=1：2， ∴AF：AC=1：3， ∴AF=EF=EC， ∴EG：BC=1：2，设EG=m，则BC=2m， ∴DE=m，DG=m﹣m=m， ∴DG：GE=m：m=1：3， 故选B． 6．下列三个关于位似图形的表述： ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ②位似图形一定有位似中心； ③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形； 其中正确命题的序号是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】根据位似图形与相似图形之间的联系和区别去判断即可． 【详解】相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故①错误； 位似图形一定有位似中心，是对应点连线的交点，故②正确； 如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，且对应边平行或共线，那么，这两个图形是位似图形，故③正确； 位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比，故④错误； 正确答案为：②③ 故选：B． 【点睛】本题考查了位似图形与相似图形之间的联系和区别，如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行，那么，这两个图形是位似图形，这个点是位似中心，但不是所有的相似图形都是位似图形，并且位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．已知点P是线段的黄金分割点（），如果，那么的长为______． 【答案】/ 【分析】本题考出来黄金分割，解一元二次方程．由题意知，，由点是线段的黄金分割点，可得，即，整理得，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵点是线段的黄金分割点， ∴，即，整理得， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 8．如图，在中，G是重心，的延长线交于D，过点G作交于E，则______．    【答案】 【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，掌握重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键，注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．根据重心的性质得到，，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：G是重心， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9．如图，已知，如果，，那么k的值为______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理等式的性质、解一元一次方程等知识点，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 由平行线分线段成比例定理可得，进而可得；由可得，然后根据列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴，解得：． 故答案为：． 10．如图，正方形的边在的边上，顶点分别在边上．已知长为60厘米，如果正方形的边长为20厘米，那么的高为______厘米． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．由得，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解． 【详解】解：设的高为厘米． 由正方形得，，即， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∵长为厘米，正方形的边长为厘米， ∴， 解得． 即厘米． 故答案为：． 11．已知，求________． 【答案】 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握及运用其性质是做题的关键．将所求分式拆分为两个分式之和，并代入已知条件计算即可． 【详解】解： ， ． 故答案为 ：． 12．已知在平面直角坐标系中，的顶点分别为，若以原点为位似中心，相似比为2，将放大，则点A的对应点的坐标为______． 【答案】或 【分析】分关于原点的位似图形与在原点同侧和异侧两种情况求解即可． 【详解】解：当关于原点的位似图形与在原点同侧时，点A的对应点的坐标为，即； 当关于原点的位似图形与在原点异侧时，点A的对应点的坐标为，即； 综上所述，点A的对应点的坐标为或． 【点睛】本题考查了位似变换的性质，两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 13．如图所示的是位似图形的4种画法，其中正确的个数是 ． 【答案】 【分析】根据位似变换的定义对各选项进行判断． 【详解】解：第一个图形中的位似中心为A点，第二个图形中的位似中心为AD与BC的交点，第三个图形中的位似中心为O点，第四个图形中的位似中心为O点． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了作图——位似变换：先确定位似中心，再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点，然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 14．已知线段，如果线段是线段和的比例中项，那么线段的长为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了成比例线段，根据比例中项的定义得到，代入已知值计算即可． 【详解】解：∵线段是线段和的比例中项， ∴， 解得或（舍去）． 故答案为：． 15．如图，已知直线、、分别与直线交于点、、，与直线交于点、、，如果，，则的长是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理可得，据此代入数据计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 16．如图，在四边形中，，若，则的值为_______． 【答案】/0.5 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是添加辅助线，构造相似三角形，过点D作于点M，于点N，证明，结合三角形的面积公式即可求解 【详解】解：过点D作于点M，于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 17．如图，在中，， ．动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接．若与相似，求的值为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了动点问题，相似三角形的判定及性质等，分类讨论，数形结合是解答此题的关键． 根据题意得出，，易得，，分类讨论当时，利用相似三角形的性质得，解得；当时，，解得，综上所述，与相似，得的值． 【详解】解：由题意知，，， ，， 当时，， ，解得：； 当时，， ，解得：， 故答案为：或． 18．如图，在中，已知，，，点、分别是、边上的两个动点，且始终保持，连接，则当取最小值时，___________． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形和全等三角形的综合应用，同时涉及勾股定理和最值问题．本题综合性较强，能合理构建出全等三角形以及转化线段是学生解决本题的关键．先构建出，转化，即可利用三角形三边关系得出，进一步根据以及勾股定理进行分析即可． 【详解】解：将移动至，使与、与分别重合， 则，，, ， 当三点共线时，, ， , , ，， ， 此时, ， 在中由勾股定理可得， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，第19~25每小题7分，第26题9分，共58分） 19．已知a、b、c满足．求的值． 【答案】1 【分析】设，可得，，，再将其代入式子求解即可． 【详解】解：设， 则，，， 则． 20．如图，的面积为，求的面积．    【答案】的面积为 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴的面积为． 21．如图，在中，于点D，于点E，与交于点F，求证：． 【答案】 证明：、， ， 又， ， ． 【分析】本题考查了相似三角形的判定、对顶角相等和三角形内角和定理，根据题意可得，对顶角，再利用三角形内角和定理得，因此得证． 【详解】略 22．如图，在中，，平分，作交于点E，垂足为F．作，垂足为G．    (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴． 又∵， ∴∽， ∴，即． (2) 证明：∵平分， ∴． 又∵，， ∴≌， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴∽， ∴，即， ∴． 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定．熟知相似三角形的判定定理和性质是正确解题的关键． （1）由已知条件先证∽，再得出对应成比例的线段即可； （2）先证≌，得出，再证∽，得出成比例的线段即可． 【详解】（1）略 （2）略 23．已知：如图，在梯形中，，连接，是等边三角形，，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：点是线段的黄金分割点． 【答案】(1) 证明：如图所示， ∵为等边三角形， ∴, ∵， ∴, ∴, ∵， ∴, ∴, ∴, ∵， ∴, ∵，且， ∴， ∴． (2) 证明：∵， ∴为等边三角形，即， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴点是线段的黄金分割点． 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，黄金分割点的计算，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据为等边三角形，，得到,由，得到,,由，得到,结合，得到，由相似三角形的判定方法即可求解； （2）根据题意可得为等边三角形，即，由为等边三角形，得到，根据，得到，即，由此即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 24．如图，在中，点D、E、F分别在边上，，． (1)求证：∽； (2)若，且，求线段的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴，， 在和中, ， ∴； (2)8 【分析】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键， （1）先根据平行线的性质可得，，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）先根据可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，然后再根据线段的和差即可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 25．小明同学用两块含30°的直角三角板如图放置，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，C是DE的中点．求证： （1）AD⊥BD； （2）BD＝DE． 【答案】 证明：(1)∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°， ∴△ACB∽△AED， ∴， ∵∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD∽△ACE， ∴∠ADB＝∠AEC＝90°， ∴AD⊥BD． (2)∵∠ACB=90°，∠ABC=30°， ∴AB=2AC， 由(1)得△ABD∽△ACE， ∴， ∴BD＝2CE， 又∵C是DE中点， ∴DE＝2CE， ∴BD＝DE． 【分析】(1)先证△ACB∽△AED，再证△ABD∽△ACE，可得∠ADB＝∠AEC＝90°即可； (2)由 △ABD∽△ACE，可得,由C是DE中点，可得DE＝2CE，即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查三角形相似判定与性质，30°角直角三角形性质，线段中点定义，掌握三角形相似判定与性质，30°角直角三角形性质，线段中点定义是解题关键． 26．阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理：三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比．如图①，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程．    证明：如图②，过点作，交的延长线于点． ，…… (1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； (2)如图①，在中，是角平分线，．求的长． (3)如图③，中，是中点，是的平分线，交于，若，直接写出线段的长． 【答案】(1) 证明：如图②，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴ ，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）过点作，交的延长线于点，由，可求证 ，，，可得，即可求解； （2）根据（1）中的结论即可求解． （3）根据（1）可得，进而得出，根据是中点,得出，进而根据平行线分线段成比例得出的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是角平分线， ∴ ， ∵，，， ∴， 解得cm．经检验符合题意． （3）解：∵是角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第28章 相似三角形·基础通关 建议用时：90分钟，满分：100分 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．已知线段a、b，求作线段x，使，正确的作法是（   ） A． B． C． D． 2．点、、分别在的边、、上，，，下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④当是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是（   ） A．①③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②④⑤ 4．下列命题中，真命题是（   ） A．两个直角三角形一定相似 B．两个等腰三角形一定相似 C．两个钝角三角形一定相似 D．两个等边三角形一定相似 5．如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD：BD=2：1，点F在AC上，AF：FC=1：2，连接BF，交DE于点G，那么DG：GE等于（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5． 6．下列三个关于位似图形的表述： ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ②位似图形一定有位似中心； ③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形； 其中正确命题的序号是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．已知点P是线段的黄金分割点（），如果，那么的长为______． 8．如图，在中，G是重心，的延长线交于D，过点G作交于E，则______．    9．如图，已知，如果，，那么k的值为______． 10．如图，正方形的边在的边上，顶点分别在边上．已知长为60厘米，如果正方形的边长为20厘米，那么的高为______厘米． 11．已知，求________． 12．已知在平面直角坐标系中，的顶点分别为，若以原点为位似中心，相似比为2，将放大，则点A的对应点的坐标为______． 13．如图所示的是位似图形的4种画法，其中正确的个数是 ． 14．已知线段，如果线段是线段和的比例中项，那么线段的长为__________． 15．如图，已知直线、、分别与直线交于点、、，与直线交于点、、，如果，，则的长是__________． 16．如图，在四边形中，，若，则的值为_______． 17．如图，在中，， ．动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接．若与相似，求的值为______． 18．如图，在中，已知，，，点、分别是、边上的两个动点，且始终保持，连接，则当取最小值时，___________． 三、解答题（本大题共8小题，第19~25每小题7分，第26题9分，共58分） 19．已知a、b、c满足．求的值． 20．如图，的面积为，求的面积．    21．如图，在中，于点D，于点E，与交于点F，求证：． 22．如图，在中，，平分，作交于点E，垂足为F．作，垂足为G．    (1)求证：． (2)求证：． 23．已知：如图，在梯形中，，连接，是等边三角形，，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：点是线段的黄金分割点． 24．如图，在中，点D、E、F分别在边上，，． (1)求证：∽； (2)若，且，求线段的长． 25．小明同学用两块含30°的直角三角板如图放置，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，C是DE的中点．求证： （1）AD⊥BD； （2）BD＝DE． 26．阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理：三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比．如图①，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程．    证明：如图②，过点作，交的延长线于点． ，…… (1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； (2)如图①，在中，是角平分线，．求的长． (3)如图③，中，是中点，是的平分线，交于，若，直接写出线段的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第28章 相似三角形·基础通关 建议用时：90分钟，满分：100分 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．已知线段a、b，求作线段x，使，正确的作法是（   ） A． B． C． D． 2．点、、分别在的边、、上，，，下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④当是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是（   ） A．①③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②④⑤ 4．下列命题中，真命题是（   ） A．两个直角三角形一定相似 B．两个等腰三角形一定相似 C．两个钝角三角形一定相似 D．两个等边三角形一定相似 5．如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD：BD=2：1，点F在AC上，AF：FC=1：2，连接BF，交DE于点G，那么DG：GE等于（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5． 6．下列三个关于位似图形的表述： ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ②位似图形一定有位似中心； ③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形； 其中正确命题的序号是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．已知点P是线段的黄金分割点（），如果，那么的长为______． 8．如图，在中，G是重心，的延长线交于D，过点G作交于E，则______．    9．如图，已知，如果，，那么k的值为______． 10．如图，正方形的边在的边上，顶点分别在边上．已知长为60厘米，如果正方形的边长为20厘米，那么的高为______厘米． 11．已知，求________． 12．已知在平面直角坐标系中，的顶点分别为，若以原点为位似中心，相似比为2，将放大，则点A的对应点的坐标为______． 13．如图所示的是位似图形的4种画法，其中正确的个数是 ． 14．已知线段，如果线段是线段和的比例中项，那么线段的长为__________． 15．如图，已知直线、、分别与直线交于点、、，与直线交于点、、，如果，，则的长是__________． 16．如图，在四边形中，，若，则的值为_______． 17．如图，在中，， ．动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接．若与相似，求的值为______． 18．如图，在中，已知，，，点、分别是、边上的两个动点，且始终保持，连接，则当取最小值时，___________． 三、解答题（本大题共8小题，第19~25每小题7分，第26题9分，共58分） 19．已知a、b、c满足．求的值． 20．如图，的面积为，求的面积．    21．如图，在中，于点D，于点E，与交于点F，求证：． 22．如图，在中，，平分，作交于点E，垂足为F．作，垂足为G．    (1)求证：． (2)求证：． 23．已知：如图，在梯形中，，连接，是等边三角形，，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：点是线段的黄金分割点． 24．如图，在中，点D、E、F分别在边上，，． (1)求证：∽； (2)若，且，求线段的长． 25．小明同学用两块含30°的直角三角板如图放置，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，C是DE的中点．求证： （1）AD⊥BD； （2）BD＝DE． 26．阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理：三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比．如图①，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程．    证明：如图②，过点作，交的延长线于点． ，…… (1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； (2)如图①，在中，是角平分线，．求的长． (3)如图③，中，是中点，是的平分线，交于，若，直接写出线段的长． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $