2.3.3 直线与圆的位置关系（高效培优讲义）高二数学人教B版选择性必修第一册

2.3.3 直线与圆的位置关系 教学目标 1.能根据给定的直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系。 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题。 教学重难点 1.重点 直线与圆的三种位置关系及判定方法。 2.难点 用代数法探究直线与圆的位置关系的过程。 知识点01 直线与圆的位置关系 1.直线与圆位置关系的判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离为 代数法： 由，消元得到一元二次方程，可得方程的判别式 图示 2.直线与圆相交时的弦长求法： （1）几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系，整理出弦长公式为：； （2）代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长； （3）弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长或。 【即学即练】 例1：（2026·陕西商洛·三模）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【答案】A 【详解】因为圆心到直线的距离为， 又圆的半径. 由可知，直线与圆相离. 例2：（25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）已知圆与直线相切，则实数（     ） A． B．0 C． D．0或 【答案】D 【分析】利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质，列方程求解实数. 【详解】由圆，可得圆心坐标为，半径. 因为直线与圆C相切，所以圆心到直线l的距离等于半径， 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离为， 令，即，解得或. 知识点02 圆的切线方程 1.求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程。 ①若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条； ②若点在圆外，过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况。 【注意】过圆内一点，不能作圆的切线。 2.求过圆上一点的切线方程 法一：先求出切点与圆心的连线斜率， 若不存在，则结合图形可直接写出切线方程； 若，则结课图形可直接写出切线方程； 若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程。 法二：若不存在，验证是否成立； 若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可。 （3）过圆外一点的圆的切线方程 法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程； 法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出。 【即学即练】 例1：（26-27高二上·全国·课堂例题）求过点且与圆相切的直线的方程； 【答案】 【分析】由题意先求出圆心与切点连线的斜率，进而求出直线的斜率，由点斜式方程求出切线方程； 【详解】圆的圆心坐标为，又点在圆上， 所以圆心与切点连线的斜率为：， 所以切线斜率为，切线方程为：， 所以切线方程为：. 例2：（25-26高三上·福建福州·阶段检测）已知方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程为__________． 【答案】或 【分析】根据题意，得到直线的斜率为，设所求直线的方程为，结合圆心到直线的距离等于半径，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】因为直线的方向向量为，可得直线的斜率为， 设所求直线的方程为，即， 由圆，可得圆心坐标为，半径为， 因为直线与圆相切，可得，解得， 所以所求直线的方程为或. 故答案为：或. 知识点03 圆上一点到直线的距离 若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离， 为圆半径，则，。 【即学即练】 例1：（26-27高三上·黑龙江辽宁·开学考试）已知直线，圆，P，Q分别为直线l与圆O上的动点，则的最小值为__________． 【答案】1 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此直线与圆相离，所以的最小值为. 例2：（26-27高二上·河南焦作·开学考试）已知实数满足方程，求的最大值和最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，把转化为圆上一点与原点连线的斜率，设，结合直线与圆的位置关系，列出方程，即可求解. 【详解】由方程，可化为， 表示以为圆心坐标､为半径的圆， 由的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，设，即， 如图所示，当直线与圆相切时，斜率取得最大值或最小值， 此时，解得，所以的最大值为，最小值为. 题型01 判断直线与圆的位置关系 【典例1】（26-27高三·全国·一轮复习）直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【答案】C 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 即，所以直线l与圆C的位置关系是相离. 【变式1】（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【分析】先求圆心到直线距离，再与半径比较即可判断位置关系. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交. 【变式2】（河北衡水中学2024届高三年级下学期二调考试数学试题）直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关 【答案】A 【详解】圆，则圆心，半径， 所以圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相交． 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）已知圆，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离或相切 B．相交或相切 C．一定相交 D．不能确定 【答案】B 【分析】比较圆心到直线的距离与半径的大小，判断二者位置关系即可. 【详解】由题意可知，圆心到直线的距离， 由辅助角公式可知，，其中， 所以，即， 由于圆的半径，所以圆心到直线的距离， 当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交； 所以直线与圆的位置关系是相交或相切，故B正确. 【变式4】（2026·山东聊城·模拟预测）已知圆C：与直线：，则圆C与直线的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 【答案】A 【详解】圆C：的圆心为，半径为， 圆心到：的距离 ， 则圆C与相交，故A正确.. 题型02 根据直线与圆的位置关系求参数 【典例1】（山东德州市宁津县第一中学2026届高三下学期模拟演练数学试题）若直线与圆心为的圆相离，则该圆的半径的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆心到直线的距离， 因为直线与圆相离， 所以该圆的半径的取值范围是. 【变式1】（25-26高二下·贵州毕节·期末）若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（     ） A．R B． C． D． 【答案】C 【分析】直线与圆相交转化为圆心到直线的距离小于半径，列不等式求解即可. 【详解】圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交， 所以，化简得. 【变式2】（2026·河北·模拟预测）“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，圆的方程，即， 圆心为，半径，圆心到直线的距离， 此时圆与直线相切，满足充分性； 当直线与圆相切时， ，∴或，圆心为，半径， 圆心到直线的距离与半径相等，即， ∴，两边同时平方整理得，∴或（舍去）， 此时，满足必要性. ∴“”是“直线与圆相切”的充要条件. 【变式3】（2026·北京·模拟预测）若直线与圆无公共点，则（     ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【详解】由得，则圆心，半径. 因为直线与圆无公共点， 所以圆心到直线的距离， 即，化简得，，解得，或. 【变式4】（2026·重庆北碚·模拟预测）“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据圆与直线相切以及圆的标准方程求解即可. 【详解】圆配方. 因此，即，圆心为，半径. 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，即， 整理，解得或.结合圆的条件，因此直线与圆相切等价于. 因此是直线与圆相切的充要条件. 题型03 直线与圆的相交问题 【典例1】（25-26高二下·河南驻马店·期末）若对任意的，直线与圆 （）总有2个公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线对任意都过定点. 要使任意对应的直线与圆总有2个公共点，等价于过定点的所有斜率存在的直线都与圆相交于两点. 若定点在圆内，则过该点的任意直线都与圆交于两点，此时需满足，即 ； 若定点在圆上，即 ，此时过 的直线中只有一条是切线，即直线， 由于该切线斜率不存在，不在 的表示范围内，因此所有可表示的直线（斜率存在）均与圆相交于两点，满足题意； 若定点在圆外，即，则存在斜率存在的直线与圆相离，不满足条件. 综上，实数的取值范围为. 【变式1】（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用垂径定理的弦长公式建立圆心到直线距离的方程，再结合点到直线的距离公式求解实数的值. 【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径 ，将直线整理为一般式：； 设 为圆心到直线 的距离，则 ， 所以 ，解得 ，即 ， 由点到直线的距离公式： ，解得 ，即 . 【变式2】（25-26高二下·广东广州·期中）直线交圆于A，B两点，则的弦长为______. 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径为. 圆心到直线的距离为 . 弦长为. 【变式3】（25-26高二下·四川南充·期中）（多选题）对于直线，下列说法正确的是（   ） A．直线的斜率有可能不存在 B．直线恒过定点 C．直线的倾斜角有可能是 D．直线与圆相交 【答案】BCD 【分析】将直线方程整理为过定点形式，依次验证斜率存在性、定点、倾斜角、直线与圆的位置关系. 【详解】直线方程整理为. 对于选项A：直线方程中的系数恒为，直线斜率始终存在，故A错误. 对于选项B：令，可得，因此，直线恒过定点，故B正确. 对于选项C：若倾斜角为，则斜率，由， 得，存在实数解，故C正确. 对于选项D：圆的圆心为，半径， 定点满足，即定点在圆内， 因此，过圆内定点的直线必与圆相交，故D正确. 题型04 求过圆上一点的圆的切线方程 【典例1】（2026高二·全国·专题练习）已知点是圆上一点，则过点且与圆相切的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点P在圆上，代入可得m值，根据圆的几何性质可得过点P的直线l与直线CP垂直，根据斜率的关系，求出直线l的斜率，即可得答案. 【详解】因为点在圆上， 所以，解得，即圆C的方程为， 则圆心，所以直线CP的斜率， 则过点P与圆相切的直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出过点的半径所在直线的斜率，由垂直关系得切线斜率，从而可得切线方程． 【详解】圆的标准方程是，圆心坐标是, 过点的半径所在直线的斜率, 所以所求切线斜率为，切线方程为，即． 【变式2】（26-27高三·全国·一轮复习）过圆上的点的切线方程为______. 【答案】 【详解】法1：圆心坐标为， 因为点在圆上，故圆心与该点连线的斜率不存在， 故切线的斜率为零，故切线方程为. 法2：过圆上的点的切线方程为： ，即. 【变式3】（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点作圆 ： 的切线，则切线方程为_______． 【答案】 【分析】先验证点在圆上，进而求出切线斜率，最后用点斜式写出切线方程并整理． 【详解】将点代入圆的方程左侧，与右侧相等， 所以点在圆上， 由圆的标准方程，得圆心的坐标为， ，所以切线斜率为1， 所以过点的切线方程为，即． 【变式4】（25-26高二下·上海·期中）经过圆：上一点且与圆相切的直线方程为______. 【答案】 【分析】根据题意，求得，由直线与切线垂直得出切线的斜率，结合点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，圆，可得圆心坐标为，因为在圆上，则， 则过点且与圆相切的直线的斜率为， 根据直线的点斜式方程，可得直线的方程为，即. 题型05 求过圆外一点的圆的切线方程 【典例1】（25-26高二下·全国·期中）设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径，直线过点， 而圆心到直线的距离为1，因此直线是圆的一条切线； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 【变式1】（25-26高三上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，过点且与圆相切的直线方程为__________． 【答案】或 【详解】由圆，圆心为，半径， 当切线斜率不存在时，切线方程为，此时圆心到切线的距离为1，符合题意； 当切线斜率存在时，设切线的方程为，即， 则，解得，则切线的方程为，即. 综上所述，切线方程为或. 【变式2】（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知圆，过点作圆的切线，则的方程为________. 【答案】或 【分析】先把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，分类讨论切线斜率存在与不存在两种情况，当斜率存在时，写出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，解出斜率，然后可得切线方程. 【详解】因为圆的方程可以化为，所以其圆心为，半径为， 当切线斜率存在时，设切线的方程为，即， 所以有，解得，所以切线的方程是或， 当切线斜率不存在时，，此时圆心到直线距离为5，不与圆相切，. 所以的方程为或. 【变式3】（2026·浙江·二模）已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设过点的切线与圆的切点分别为，连接， 易得，在中，，则， 故这两条切线的夹角为. 题型06 切线长 【典例1】（2026·天津河西·三模）若圆M：（）被直线所截得的弦长为6，过点作圆M的切线，其中一个切点为A，则的值为_____________． 【答案】 【分析】先利用垂径定理和点到直线的距离公式求出参数，再结合切线的性质通过勾股定理计算切线长. 【详解】求圆心到直线的距离：由圆M：（）知圆M的半径， 已知直线截圆所得弦长为6，由垂径定理可得，圆心到直线的距离满足：，代入，解得. 求：根据点到直线的距离公式得，化简得，解得或， 又，所以，即圆心. 计算切线长： 如图，因为是圆的切线，故，为直角三角形， 其中，， 由勾股定理得. 【变式1】（26-27高三·全国·一轮复习）由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【详解】圆即为，可知圆心为，半径， 在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A，连接CA， 在中，．要使最小，则应最小． 又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为． 故的最小值为． 【变式2】（2026·天津南开·二模）已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则_____． 【答案】7 【分析】先利用圆的对称轴过圆心求出的值，再根据切线长公式即可求得结果. 【详解】由圆，可得， 所以圆心，半径为， 又由直线是圆的对称轴，即直线过圆心， 即，解得，即， 则，所以切线长为. 【变式3】（2026·天津河西·二模）已知圆心为C的圆经过，，且圆心C在直线上，过点作圆C的一条切线，则切线长为_______. 【答案】 【详解】设圆心坐标为：，圆的半径为，圆的方程为：， 因为圆过，，且圆心在直线上， 联立方程： ，解得：， 所以圆的方程为：， 则， 所以切线长为. 题型07 切点弦及其方程 【典例1】（2026·福建漳州·三模）过作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为___________． 【答案】 【详解】解法一：由图可知，， 所以，所以直线方程为． 解法二：，所以四点均在以为直径的圆上，圆心为，半径为，故圆方程为， 由，得，所以直线方程为． 解法三：直线方程为，即， 故答案为． 【变式1】（25-26高二上·山东枣庄·阶段检测）已知圆，点在直线上运动，直线与圆相切，切点为，当最小时，弦所在直线的斜率为___________． 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用切线长定理确定直线与直线的位置关系，再求出直线的斜率. 【详解】由直线与圆相切，得，且， 当且仅当最小时，最小，此时，因此， 所以直线的斜率. 故答案为：1 【变式2】（25-26高二上·甘肃兰州·期末）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出以线段为直径的圆的方程，再与圆方程作差得到直线的方程为，再结合点所在直线方程得到直线所过定点，从而得到最小值. 【详解】设，则以线段为直径的圆的方程是， 与圆的方程相减，得，即直线的方程为， 又点在直线上，所以，则，代入直线的方程， 得，则，解得， 所以直线过定点，所以， 数形结合可知的最小值为． 故选：B.    【变式3】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列点一定在直线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，利用圆外切线的几何性质得出四点共圆，求出辅助圆的方程，联立两圆方程求出切点弦方程，再通过联立所在直线方程求出定点． 【详解】 圆的标准形式为， 圆心，半径， 满足，即，点在直线上， 设点，过点作圆的两条切线，切点分别为，， 在圆外， ， 四点共圆，圆的直径为，方程为， 圆， 联立两圆方程得出圆的切点弦方程， 展开整理得， 代入得， ，解得，即直线恒过． 故选：D． 【变式4】（2026高三·全国·专题练习）已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，直线过定点______． 【答案】 【分析】先求出切点弦的方程，再联立已知直线方程进行消参，最后求出定点坐标. 【详解】设，则， 过点作圆的切点弦方程为， 联立，得， 当时，即，无论如何变化， 恒等于0，所以直线过定点.    题型08 已知切线求参数 【典例1】（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）圆心为且与直线相切的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设出圆的方程，根据相切的性质可求半径，进而可得答案. 【详解】设圆的方程为， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，即， 所以. 故选：A 【变式1】（2026·安徽池州·二模）已知圆C的圆心在y轴上，若圆C过点且与直线相切，则圆C的半径为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】设圆心坐标为，半径为，由题意列出方程组求解即可. 【详解】设圆心坐标为，半径为， 由题意可得， 解得， 所以圆C的半径为. 【变式2】（25-26高二上·贵州贵阳·期中）圆心坐标为，且与轴相切的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心为，且与轴相切得半径，即可写出圆的标准方程. 【详解】因为圆心为，且与轴相切， 所以圆心到轴的距离等于半径，即， 故圆的方程为. 故选：D. 【变式3】（25-26高二上·云南昆明·阶段检测）若光线通过点，经轴反射，其反射光线通过点且与圆相切，则___________． 【答案】 【分析】求得反射光线的方程为，再利用直线与相切时，求解即可. 【详解】如图： 点关于轴的对称点为， 直线的方程为，即， 由题意可知，反射光线即为直线， 则直线与圆相切， 且圆心为，半径为1， 可得，解得． 故答案为： 题型09 已知圆的弦长求方程或参数 【典例1】17．（2026·河北·三模）已知圆，直线与圆相交于两点.若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用垂径定理计算出弦长，其中为圆心到直线的距离，再计算出,再利用点到直线的距离公式计算出. 【详解】圆的圆心坐标为，半径. 直线l的一般式方程为. 由弦长公式，其中为圆心到直线的距离， 则，得，即， 又， 解得. 【变式1】（25-26高二下·广东广州·期中）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆的方程化为标准方程，再由弦长公式求解. 【详解】原方程：，配方整理， 所以圆心为 ，半径 （需满足 ，即 ）, 圆心 到直线的距离是 由弦长公式，得 ，得, 由 ，得. 【变式2】（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知直线与：交于，两点，当面积为时，（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，结合弦长公式表示出的面积，建立方程求解参数. 【详解】由圆的方程，得圆心，半径. 设圆心到直线的距离为，由点到直线距离公式得. 由弦长公式，得弦长. ∵ 的面积为， ∴ . 将上式两边平方得：，令，则， 整理得，解得或. ① 当时，，即， 展开化简得，解得或，均符合题意. ② 当时，，即， 展开化简得，其判别式，无实根. 综上，的值为或. 【变式3】（25-26高二上·福建福州·期末）若以点为圆心的圆A与直线相切，直线． (1)求圆A的标准方程； (2)求直线被圆A截得的最短弦长及此时直线的方程． 【答案】(1) (2)，. 【分析】（1）利用切线的性质求出半径即得圆的方程； （2）先求出直线所过的定点的坐标，判断该点与圆的位置，利用圆的性质及弦长公式求解. 【详解】（1）依题意，点到直线：的距离即为圆A的半径， 所以圆A的标准方程为； （2）由可得， 因是任意实数，则有，解得， 所以直线过定点，又由（1）知，点在圆内， 当直线时，直线被圆A截得的弦长最短，最短弦长为， 因直线的斜率，则直线的斜率为2，方程为，即. 题型10 与圆有关的最值（范围）问题 【典例1】（浙江省Z20名校联盟2026-2027学年高二上学期创新班开学学情诊断数学试题）已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用已知条件结合点到直线距离列式计算求解. 【详解】圆心到直线的距离， 结合圆上到直线距离为1的点有且仅有3个，可得. 【变式1】（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）直线分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆上,则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于,当时,,当时,,所以,, 所以.圆的圆心为,半径, 圆心到直线的距离为, 即直线与圆相离,所以点P到直线的距离的最大值为, 点P到直线的距离的最小值为, 所以面积的最大值为,最小值为, 所以面积的取值范围是. 【变式2】（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求圆心到直线的距离，得到圆上到直线距离的最大值. 【详解】该圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为，所以该圆上任意一点到该直线距离的最大值为2+3=5. 【变式3】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得出点是在圆的上半部分，以及表示点到直线距离的倍，利用点到直线的距离即可求解. 【详解】   由，得，即为圆的上半圆，圆心，半径为， 如图所示，取点，又因为表示点到直线距离的倍， 圆心到直线的距离， 即直线与圆相离，点到直线的距离， 所以的最小值为，最大值为， 所以的取值范围为，故B正确． 【变式4】（2026高三·全国·专题练习）已知实数满足．求： (1)的最大值； (2)的最小值； (3)的最值． 【答案】(1) (2) (3)最小值为，最大值为． 【分析】（1）设，利用直线与圆相切时，取得最大值或最小值即可求解； （2）设，利用直线与圆相切时，取得最大值或最小值即可求解； （3）解法一：通过的几何意义即可求解；解法二：令，，，通过三角函数求解的最值即可. 【详解】（1）已知原式可化为，它表示以为圆心，以为半径的圆，    设，则，直线与圆相切时，取得最大值或最小值， 此时，解得或（舍去）， 所以的最大值为． （2）设，即直线，为直线在轴上的截距， 由图可知，当直线与圆切于点时，有最小值，此时圆心到直线的距离为半径， 即，解得或（舍去）， 故的最小值为． （3）解法一：记，则，其中为圆上任一动点．易求， 由图可知，当点位于点时，最大；当点位于点时，最小． 因此所求的最大值为，最小值为， 即的最大值为，最小值为. 解法二：设为圆上任一动点，令，，， 则，其中， 由于，所以，所以， 即的最大值为，最小值为. 题型11 直线与圆的实际应用 【典例1】（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期末）某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m. (1)求圆拱桥所在圆的标准方程； (2)现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？ 【答案】(1) (2)可以通过 【详解】（1）建立如图所示的坐标系. 依题意，有 设所求圆的方程是， 于是有， 解此方程组，得， 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是. （2）根据（1）拱圆的方程是， 把点D的横坐标代入上式，得， 由于船在水面以上高3m，所以该船可以从桥下通过. 【变式1】（2026·湖南长沙·一模）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为25 nmile的圆形区域内.现有一艘货船在小岛中心的正东方向40 nmile处，沿北偏西60°的方向直线航行，则该货船在暗礁区内航行的路程为（   ） A．0 nmile B．15 nmile C．30 nmile D．40 nmile 【答案】C 【详解】以小岛中心为原点，建立如图所示直角坐标系， 则，， 所以直线的斜率为，方程为， 即，则到的距离为， 所以，即该货船在暗礁区内航行的路程为30 nmile. 【变式2】（25-26高二上·广东深圳·期末）中国拱桥一般分为圆弧线型、抛物线型和悬链线型．如图在一个圆弧线型拱桥中，圆拱跨度米，拱高米，现有一船，宽8米，露出水面的高度为米，则下列数据中能安全过桥的最高值为（   ）米（参考数据：） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置，先求得圆的方程，再将代入求得纵坐标判断. 【详解】如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：；， 解得，. 故圆的方程为， 令，解得（负根舍去），， 可得题目数据中能安全过桥的最高值为3.1（米）. 故选：B 【变式3】（25-26高二上·广东广州·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期．某拱桥及其示意图如下，桥拱APB是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与OP相距a m的支柱，则a=________．    【答案】15 【分析】根据圆的性质由弦长及拱高构造等量关系，由勾股定理计算可得结果. 【详解】设拱桥所在圆心为，连接，作于点，如下图所示： 设，则 ，在中，根据勾股定理可得，解得 中，， 根据勾股定理可得：，解得 故答案为： 1.（25-26高二下·甘肃定西·期末）已知直线与圆：相交，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【分析】根据直线与圆相交时圆心到直线的距离小于半径，列绝对值不等式求解即可 【详解】由题意得圆C的标准方程为 ， 可得圆心坐标为，圆的半径 而直线与圆相交，可得圆心到直线的距离小于圆的半径，即 ， 由题意得 ，得到， 整理得，解得 ， 因此实数的取值范围为. 2．（25-26高二下·上海浦东新·期末）若直线与圆相切，则实数的值为__________． 【答案】2或 【分析】利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质，列方程即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，化简得，即或. 3.（2026·北京·三模）已知圆与直线交于A，B两点，若，则实数m的值为（    ） A．6 B． C．6或16 D．或 【答案】D 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程得到圆心坐标与半径，再结合垂径定理和点到直线的距离公式列方程求解m的值. 【详解】化圆的一般方程为标准方程， 因此圆心为，半径. 已知弦长，则弦长的一半为, 根据垂径定理，圆心到直线的距离满足， 代入已知数据得，解得. 圆心到直线的距离为，即，解得或. 4．（2026·江苏·三模）已知点在圆外，则直线与圆的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】C 【分析】先根据点与圆的位置关系得出，再根据点到直线距离公式判断出直线与圆的位置关系． 【详解】由题知，圆的圆心为，半径为， 因为点在圆外， 所以，则， 到直线的距离， 所以直线与圆相交． 5．（25-26高三上·广西贵港·开学考试）已知圆，过直线上的动点P作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D．3 【答案】B 【分析】连接，则有，当最小时，最小， 则为圆心到直线的距离，从而得到的最小值． 【详解】连接，则， 当最小时，最小，又圆的圆心为，半径为， 则，故的最小值为． 故选：B． 6．（26-27高三上·北京·开学考试）已知直线和圆，点在直线上，点在圆上，则最小值为（     ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【详解】圆心到直线的距离为：， 所以直线上的点与圆上的点的距离的最小值为： . 7．（25-26高二下·河南周口·阶段检测）（多选题）已知直线与直线，则下列选项正确的是（    ） A．恒过定点 B．若，则与圆相切 C．若，则或 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于A,将 , 代入 :,恒成立,故 A 正确. 对于B,当 时,,即 . 圆心 ,半径 ,圆心到直线的距离 , 故直线与圆相切,B 正确. 对于C,若 , 当 时, 即 ,,斜率分别为 和不存在,不平行. 当 时,,,由 得 ,即 , 整理得 ,即 ,解得 或 . 当 时,,,两直线平行不重合; 当 时, 即 , ， 即 ,两直线重合,故 时两直线重合而非平行,因此 C 错误. 对于D,若 ,当 时, 斜率不存在, 斜率为 ,不垂直. 当 时,,解得 ,即 ,,故 D 正确. 8．（25-26高二下·上海·阶段检测）直线被圆截得的弦长等于_____ 【答案】 【分析】先利用圆的方程求得圆心坐标和半径，进而利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离，最后利用勾股定理求得弦长． 【详解】圆的圆心为，半径. 圆心到直线的距离. 故直线被圆截得的弦长等于. 9．（25-26高三下·湖南张家界·阶段检测）已知圆，则过点且与圆相切的直线方程为______. 【答案】或 【分析】分析可知切线的斜率存在，设切线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径可得出关于的方程，解之可得出切线的方程. 【详解】圆的标准方程为，该圆圆心为，半径为， 因为，即点在圆外， 若切线的斜率不存在时，此时切线方程为，则圆心到该直线的距离为，不符合题意； 所以切线的斜率存在，设切线的方程为，即， 由题意可得，整理可得，解得或， 故所求切线的方程为或，即或. 10．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）过引直线l,与圆C：相切于Q,则__________. 【答案】 【详解】由已知可得圆心坐标，半径， 点到圆心的距离为， 则切线长. 11．（2026·陕西·一模）已知圆，直线.设为圆上的一动点，则到直线的最大距离为____. 【答案】 【分析】先求得圆心到直线的最大距离，再根据圆周上的点到直线距离的最大值为即可求解． 【详解】圆心，半径为， 直线过定点， 圆心到直线的最大距离， 所以到直线的最大距离为. 12．（25-26高二下·上海·期中）圆上的点到直线的最小距离是______. 【答案】1 【详解】圆的圆心为，半径为2， 因为圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线的最小距离是. 13．（26-27高三·全国·一轮复习）已知圆的方程是，直线，当为何值时，圆与直线有两个公共点，只有一个公共点，没有公共点？ 【答案】当时，直线与圆相交，有两个公共点． 当或时，直线与圆相切，有一个公共点． 当或时，直线与圆相离，无公共点． 【分析】根据消元后判别式的符号或圆心到直线的距离可得直线与圆的位置关系. 【详解】法1：由可得， 故， 当时，，直线与圆相交，有两个公共点． 当或时，，直线与圆相切，有一个公共点． 当或时，，直线与圆相离，无公共点． 法2：圆心坐标为，圆的半径为， 圆心到直线的距离为， 当时，，直线与圆相交，有两个公共点． 当或时，，直线与圆相切，有一个公共点． 当或时，，直线与圆相离，无公共点． 14．（26-27高二上·全国·课堂例题）求过原点且与圆相切的直线的方程； 【答案】或 【分析】分类考虑，过原点的切线的斜率有存在和不存在两种情况，根据圆心到直线的距离等于半径可得切线方程. 【详解】直线过原点且与圆相切， 当斜率不存在时，显然与圆相切， 当斜率存在时，设切线方程为：，即， 由题意可得，解得：， 所以过原点且与圆相切的直线的方程为：或； 15．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)已知直线，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 【答案】(1)或； (2)相交； 【详解】（1）圆，圆心为，半径为. 由，点在圆外. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，即直线与圆相切； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 此时圆心到直线的距离，解得， 直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （2）直线与圆相交，理由如下： 圆心，， 圆心到直线的距离为，故直线与圆相交. 直线被圆所截得的弦长. 1．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切于点，则光线从到经过的路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据光线反射的性质将光线从到经过的路程转化为的长度，然后利用勾股定理计算即可. 【详解】 设为点关于轴对称的对称点，则， 根据光线反射的性质可得光线从到经过的路程等于， 圆的方程可整理为，所以圆心，半径， 所以，. 2．（2026·四川宜宾·一模）曲线是一条形状优美的曲线，若是曲线上任意一点，的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，的图象是以为圆心的半径为的半圆， 当时，的图像是以为圆心的半径为的半圆， 当时，的图象是以为圆心的半径为的半圆， 当时，的图像是以为圆心的半径为的半圆， 最终的曲线如图一 ， 可以理解为点到直线的距离， 是上一点，所以原题等价于求上一点到直线的距离的最小值， 观察图象得在第一象限的部分到直线的距离更近， 对第一象限的圆弧，过圆心作的垂线，垂线长， 到的距离的最小值， 所以的最小值为. 3．（2026高三·全国·专题练习）（多选题）已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 【答案】ABD 【详解】解法1：对于A，∵点在圆上，∴， 则圆心到直线的距离为，∴直线与圆相切，故A正确； 对于B，∵点在圆内，， 则圆心到直线的距离为，∴直线与圆相离，故B正确； 对于C，∵点在圆外，∴， 则圆心到直线的距离为，∴直线与圆相交，故C错误； 对于D，∵点在直线上，∴， 则圆心到直线的距离为，∴直线与圆相切，故D正确． 解法2：（极点极线），若此点为极点，则对应极线刚好是：． 如果极点在圆内，则极线在圆外，与圆相离；如果极点在圆外，则极线在圆内，与圆相交； 如果极点在圆上，则极线与圆相切，因此ABD正确． 4.（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知点为圆上位于第一象限内的点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，直线、分别交轴于、两点，则__________；__________． 【答案】 【分析】分析可知，设点，可得，利用角平分线定理可得出，结合两点间的距离公式化简可得出的值，并结合求出的值，进而可确定圆的标准方程，可求出的大小，进一步可求出直线的方程，判断出直线与圆相切，可判断出点为线段的中点，利用直角三角形的几何性质可求得的值. 【详解】圆的标准方程为，圆的圆心为，半径为， 由切线长定理可得，，， 因为，，，所以， 所以， 设点，则，即， 由角平分线定理可得 ， 因为，则，解得或（舍）， 所以圆的标准方程为，则该圆圆心为，半径为， 因为，则， 易知为锐角，所以，故直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 圆的圆心为，半径为， 点到直线的距离为，故直线与圆相切， 所以，则， 易知为线段的中点，所以为线段的中点， 故. 5.（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】由题曲线可化为，即表示以为圆心，半径为1的圆的上半部分，根据直线和圆的位置关系，结合图形求得答案. 【详解】直线，即，过定点， 曲线，可化为，表示以为圆心，半径为1的圆的上半部分， 画出直线和半圆的图形如下图所示， 设，则， 当直线和半圆相切时，则，解得或（舍去）， 所以要使得直线和曲线有两个交点，则. 故答案为：. 6．（25-26高二上·广西百色·期末）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面的长为16米，最大高度的长为4米，以C为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系. (1)求该圆弧所在圆的方程. (2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.5米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体） 参考数据： 【答案】(1) (2)4辆 【分析】（1）根据圆的几何性质确定圆心的位置，结合垂径定理与勾股定理求圆心与半径，即可求得圆弧所在圆的方程； （2）确定汽车通过的最大宽度，再分析可得最多可以并排通过该种汽车数量. 【详解】（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在的圆的圆心在y轴上， 设圆心为，设该圆的半径为r米，又，     则，∴，     ∴，     ∴圆弧所在的圆的方程为. （2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米， ∴，∴     若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度应为， 故该隧道不能并排通过5辆该种汽车，     若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度应为， 则该隧道可以并排通过4辆该种汽车，     综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车. 7．（专题02 平面解析几何初步03（期末复习讲义）高二数学上学期湘教版）已知实数满足方程.求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； (3)的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据圆心坐标和半径可知表示圆上的点与原点连线的斜率，再由直线与圆相切即可得出结果； （2）令，可知其几何意义表示直线在轴上的截距，由点到直线距离计算可得结果； （3）易知表示圆上的点与原点距离的平方，又圆心到原点的距离为2，得出圆上的点到原点距离的最大值和最小值，再平方即可. 【详解】（1）原方程表示以点为圆心，为半径的圆． 设，即，则当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值， 此时，解得， 故的最大值为，最小值为. （2）设，即， 则当直线与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值， 此时，解得， 故的最大值为，最小值为. （3）易知表示圆上的点与原点距离的平方． 由平面几何知识知，它在原点与圆心所在的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为2， 故，. 8．（2026高二·全国·专题练习）已知实数，满足方程．求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值是，最小值是 【分析】（1）根据圆心坐标和半径可知表示圆上的点与原点连线的斜率，再由直线与圆相切即可得出结果； （2）将目标式看作圆上动点 到定点 距离的平方，利用圆心到定点距离与半径的关系确定距离范围，从而得到平方的最值． 【详解】（1）方程表示以点为圆心，以为半径的圆． 可理解为圆上一点与原点间的斜率， 设，即，当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值， 此时，解得． 或． 的最大值为，最小值为． （2）， 可理解为圆上的一点与点距离的平方， 又圆心到点的距离为， 所以的最大值是， 最小值是． 9．（25-26高二上·江苏扬州·期中）在人工智能实验室中，一个追踪机器人从点出发，发现一个目标机器人在点处正欲逃跑.追踪机器人最大速度是目标机器人最大速度的2倍.假设两个机器人均按直线方向以最大速度移动.    (1)若追踪机器人在点处成功拦截目标机器人，求点的轨迹方程； (2)问：无论目标机器人沿何方向逃跑，追踪机器人是否总能在安全区（的区域）内成功拦截?并说明理由. 【答案】(1) (2) 点的轨迹圆的圆心为，半径， 因为圆心到的距离， 所以点的轨迹圆与相交， 则相遇点会出现在安全区外， 故追踪机器人不会总能在安全区内成功拦截. 【分析】（1）设追踪机器人在点处拦截目标机器人，根据追踪机器人与目标机器人速度之比为列出方程即可得解； （2）判断点的轨迹圆与直线的位置关系即可得出结论. 【详解】（1）设追踪机器人在点处拦截目标机器人， 因为追踪机器人与目标机器人速度之比为， 所以相遇时， 所以， 即两机器人相遇点的轨迹方程为； （2）略 10.（25-26高二上·上海·期中）圆拱桥的一个圆拱如图所示，该圆拱的跨度为20m，拱高为4m，    (1)建立适当的平面直角坐标系，并求圆弧所在圆的方程； (2)在建造过程中每隔4m需用一个支柱支撑．求支柱的高度．（结果精确到0.01m） 【答案】(1)，()； (2)米. 【分析】（1）以O为原点，为x、y轴，确定的点坐标，设圆弧所在圆方程为 且，将点坐标代入求参数，即可得方程. （2）由（1）及题设有，且在圆弧上，代入圆弧所在圆方程求y，即可知的长度 【详解】（1）构建如下直角坐标系，则，，，    设所在圆方程为且， ，解得， 所以圆弧所在圆的方程，. （2）由题设知：，则，且在圆弧上， 所以，可得，故的长度为米. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.3 直线与圆的位置关系 教学目标 1.能根据给定的直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系。 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题。 教学重难点 1.重点 直线与圆的三种位置关系及判定方法。 2.难点 用代数法探究直线与圆的位置关系的过程。 知识点01 直线与圆的位置关系 1.直线与圆位置关系的判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离为 代数法： 由，消元得到一元二次方程，可得方程的判别式 图示 2.直线与圆相交时的弦长求法： （1）几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系，整理出弦长公式为：； （2）代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长； （3）弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长或。 【即学即练】 例1：（2026·陕西商洛·三模）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 例2：（25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）已知圆与直线相切，则实数（     ） A． B．0 C． D．0或 知识点02 圆的切线方程 1.求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程。 ①若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条； ②若点在圆外，过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况。 【注意】过圆内一点，不能作圆的切线。 2.求过圆上一点的切线方程 法一：先求出切点与圆心的连线斜率， 若不存在，则结合图形可直接写出切线方程； 若，则结课图形可直接写出切线方程； 若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程。 法二：若不存在，验证是否成立； 若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可。 （3）过圆外一点的圆的切线方程 法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程； 法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出。 【即学即练】 例1：（26-27高二上·全国·课堂例题）求过点且与圆相切的直线的方程； 例2：（25-26高三上·福建福州·阶段检测）已知方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程为__________． 知识点03 圆上一点到直线的距离 若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离， 为圆半径，则，。 【即学即练】 例1：（26-27高三上·黑龙江辽宁·开学考试）已知直线，圆，P，Q分别为直线l与圆O上的动点，则的最小值为__________． 例2：（26-27高二上·河南焦作·开学考试）已知实数满足方程，求的最大值和最小值（    ） A． B． C． D． 题型01 判断直线与圆的位置关系 【典例1】（26-27高三·全国·一轮复习）直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【变式1】（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【变式2】（河北衡水中学2024届高三年级下学期二调考试数学试题）直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）已知圆，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离或相切 B．相交或相切 C．一定相交 D．不能确定 【变式4】（2026·山东聊城·模拟预测）已知圆C：与直线：，则圆C与直线的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 题型02 根据直线与圆的位置关系求参数 【典例1】（山东德州市宁津县第一中学2026届高三下学期模拟演练数学试题）若直线与圆心为的圆相离，则该圆的半径的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·贵州毕节·期末）若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（     ） A．R B． C． D． 【变式2】（2026·河北·模拟预测）“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】（2026·北京·模拟预测）若直线与圆无公共点，则（     ） A．或 B． C． D．或 【变式4】（2026·重庆北碚·模拟预测）“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型03 直线与圆的相交问题 【典例1】（25-26高二下·河南驻马店·期末）若对任意的，直线与圆 （）总有2个公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·广东广州·期中）直线交圆于A，B两点，则的弦长为______. 【变式3】（25-26高二下·四川南充·期中）（多选题）对于直线，下列说法正确的是（   ） A．直线的斜率有可能不存在 B．直线恒过定点 C．直线的倾斜角有可能是 D．直线与圆相交 题型04 求过圆上一点的圆的切线方程 【典例1】（2026高二·全国·专题练习）已知点是圆上一点，则过点且与圆相切的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27高三·全国·一轮复习）过圆上的点的切线方程为______. 【变式3】（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点作圆 ： 的切线，则切线方程为_______． 【变式4】（25-26高二下·上海·期中）经过圆：上一点且与圆相切的直线方程为______. 题型05 求过圆外一点的圆的切线方程 【典例1】（25-26高二下·全国·期中）设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式1】（25-26高三上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，过点且与圆相切的直线方程为__________． 【变式2】（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知圆，过点作圆的切线，则的方程为________. 【变式3】（2026·浙江·二模）已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 题型06 切线长 【典例1】（2026·天津河西·三模）若圆M：（）被直线所截得的弦长为6，过点作圆M的切线，其中一个切点为A，则的值为_____________． 【变式1】（26-27高三·全国·一轮复习）由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 【变式2】（2026·天津南开·二模）已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则_____． 【变式3】（2026·天津河西·二模）已知圆心为C的圆经过，，且圆心C在直线上，过点作圆C的一条切线，则切线长为_______. 题型07 切点弦及其方程 【典例1】（2026·福建漳州·三模）过作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为___________． 【变式1】（25-26高二上·山东枣庄·阶段检测）已知圆，点在直线上运动，直线与圆相切，切点为，当最小时，弦所在直线的斜率为___________． 【变式2】（25-26高二上·甘肃兰州·期末）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列点一定在直线上的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（2026高三·全国·专题练习）已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，直线过定点______． 题型08 已知切线求参数 【典例1】（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）圆心为且与直线相切的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·安徽池州·二模）已知圆C的圆心在y轴上，若圆C过点且与直线相切，则圆C的半径为（   ） A． B．2 C． D．3 【变式2】（25-26高二上·贵州贵阳·期中）圆心坐标为，且与轴相切的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·云南昆明·阶段检测）若光线通过点，经轴反射，其反射光线通过点且与圆相切，则___________． 题型09 已知圆的弦长求方程或参数 【典例1】17．（2026·河北·三模）已知圆，直线与圆相交于两点.若，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·广东广州·期中）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知直线与：交于，两点，当面积为时，（    ） A． B． C．或 D．或 【变式3】（25-26高二上·福建福州·期末）若以点为圆心的圆A与直线相切，直线． (1)求圆A的标准方程； (2)求直线被圆A截得的最短弦长及此时直线的方程． 题型10 与圆有关的最值（范围）问题 【典例1】（浙江省Z20名校联盟2026-2027学年高二上学期创新班开学学情诊断数学试题）已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）直线分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆上,则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【变式3】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2026高三·全国·专题练习）已知实数满足．求： (1)的最大值； (2)的最小值； (3)的最值． 题型11 直线与圆的实际应用 【典例1】（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期末）某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m. (1)求圆拱桥所在圆的标准方程； (2)现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？ 【变式1】（2026·湖南长沙·一模）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为25 nmile的圆形区域内.现有一艘货船在小岛中心的正东方向40 nmile处，沿北偏西60°的方向直线航行，则该货船在暗礁区内航行的路程为（   ） A．0 nmile B．15 nmile C．30 nmile D．40 nmile 【变式2】（25-26高二上·广东深圳·期末）中国拱桥一般分为圆弧线型、抛物线型和悬链线型．如图在一个圆弧线型拱桥中，圆拱跨度米，拱高米，现有一船，宽8米，露出水面的高度为米，则下列数据中能安全过桥的最高值为（   ）米（参考数据：） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 【变式3】（25-26高二上·广东广州·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期．某拱桥及其示意图如下，桥拱APB是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与OP相距a m的支柱，则a=________．    1.（25-26高二下·甘肃定西·期末）已知直线与圆：相交，则实数的取值范围为_________． 2．（25-26高二下·上海浦东新·期末）若直线与圆相切，则实数的值为__________． 3.（2026·北京·三模）已知圆与直线交于A，B两点，若，则实数m的值为（    ） A．6 B． C．6或16 D．或 4．（2026·江苏·三模）已知点在圆外，则直线与圆的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 5．（25-26高三上·广西贵港·开学考试）已知圆，过直线上的动点P作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D．3 6．（26-27高三上·北京·开学考试）已知直线和圆，点在直线上，点在圆上，则最小值为（     ） A．1 B．3 C．6 D．9 7．（25-26高二下·河南周口·阶段检测）（多选题）已知直线与直线，则下列选项正确的是（    ） A．恒过定点 B．若，则与圆相切 C．若，则或 D．若，则 8．（25-26高二下·上海·阶段检测）直线被圆截得的弦长等于_____ 9．（25-26高三下·湖南张家界·阶段检测）已知圆，则过点且与圆相切的直线方程为______. 10．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）过引直线l,与圆C：相切于Q,则__________. 11．（2026·陕西·一模）已知圆，直线.设为圆上的一动点，则到直线的最大距离为____. 12．（25-26高二下·上海·期中）圆上的点到直线的最小距离是______. 13．（26-27高三·全国·一轮复习）已知圆的方程是，直线，当为何值时，圆与直线有两个公共点，只有一个公共点，没有公共点？ 14．（26-27高二上·全国·课堂例题）求过原点且与圆相切的直线的方程； 15．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)已知直线，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 1．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切于点，则光线从到经过的路程为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川宜宾·一模）曲线是一条形状优美的曲线，若是曲线上任意一点，的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）（多选题）已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 4.（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知点为圆上位于第一象限内的点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，直线、分别交轴于、两点，则__________；__________． 5.（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是___________． 6．（25-26高二上·广西百色·期末）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面的长为16米，最大高度的长为4米，以C为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系. (1)求该圆弧所在圆的方程. (2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.5米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体） 参考数据： 7．（专题02 平面解析几何初步03（期末复习讲义）高二数学上学期湘教版）已知实数满足方程.求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； (3)的最大值和最小值． 8．（2026高二·全国·专题练习）已知实数，满足方程．求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； 9．（25-26高二上·江苏扬州·期中）在人工智能实验室中，一个追踪机器人从点出发，发现一个目标机器人在点处正欲逃跑.追踪机器人最大速度是目标机器人最大速度的2倍.假设两个机器人均按直线方向以最大速度移动.    (1)若追踪机器人在点处成功拦截目标机器人，求点的轨迹方程； (2)问：无论目标机器人沿何方向逃跑，追踪机器人是否总能在安全区（的区域）内成功拦截?并说明理由. 10.（25-26高二上·上海·期中）圆拱桥的一个圆拱如图所示，该圆拱的跨度为20m，拱高为4m，    (1)建立适当的平面直角坐标系，并求圆弧所在圆的方程； (2)在建造过程中每隔4m需用一个支柱支撑．求支柱的高度．（结果精确到0.01m） 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $