2.3.4 圆与圆的位置关系（讲义）数学人教B版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦“圆与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，通过几何法（圆心距与半径关系）和代数法（方程组解的个数）构建判定体系，延伸至公切线、公共弦等应用题型，形成递进式学习支架。 资料以随学随练即时巩固、题型分类（判定、公共弦、公切线）深化理解，结合基础与素养提升题，培养学生用数学思维推理位置关系判定逻辑，用数学语言表达公共弦方程等模型，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升应用意识与创新能力。

第二章 平面解析几何 2.3.4　圆与圆的位置关系 课标要点 能根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系． 学习重难点 重点： 圆与圆的五种位置关系及其判定方法． 难点： 用坐标法探求圆与圆的位置关系的过程． 知识点一 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含． 随学随练 1．（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 2．（25-26高二下·上海黄浦·期中）圆：与圆：的位置关系为（   ） A．内含 B．外切 C．相交 D．内切 知识点二 圆与圆位置关系的判定方法 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| (2)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含 [点拨]　(1)圆与圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含； (2)圆与圆相交，两圆有两个公共点； (3)圆与圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切． 特别提醒 两圆的公切线 两圆的公切线是指与两圆都相切的直线，可分为外公切线和内公切线．两圆的公切线有如图所示的五种情况： (1)外离时，有4条公切线； (2)外切时，有3条公切线； (3)相交时，有2条公切线； (4)内切时，有1条公切线； (5)内含时，无公切线． 随学随练 3．（25-26高一下·北京西城·期中）如图，已知圆M和圆N的半径均为1，且两圆相切．Q为圆M上一点，满足，则两阴影扇形弧长之和为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·重庆·期中）圆，圆，且，分别为两圆半径，圆和圆有且仅有一条公切线，则直线的方程为__________. 题型圆与圆位置关系的判定 ▌例1（2026·河北保定·一模）（多选）圆与圆的公切线的交点坐标可以是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（25-26高二上·上海·期末）圆与圆相交，则的取值范围为_________. 题型两圆相交的公共弦问题 ▌例1（（25-26高二下·福建厦门·期中）（多选）记圆：，圆：，则（   ） A． B．若坐标原点在圆上，则点在圆上 C．若圆与圆内切，则 D．当时，圆与圆的相交弦方程为 ▌对点练1-1（2026·河南洛阳·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 题型 圆的共切线 ▌例1（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）若圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 ▌对点练1-1（25-26高二上·江苏南通·期中）（多选）已知圆与圆，则（    ） A．圆心距 B．两圆的公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公共弦长为 D．直线是两圆的一条公切线 基础通关 1．（25-26高二下·上海闵行·期中）圆：与圆：的位置关系是（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 2．（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 3．（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系不可能为（ ） A．相切 B．相交 C．内含 D．外离 4．（24-25高二下·湖南娄底·期中）圆与圆的公切线有且仅有（   ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 5．（24-25高二下·上海静安·期中）若半径分别为3和7的两圆相交，则它们的圆心距可能是（    ） A．0 B．4 C．8 D．12 6．（24-25高二下·上海浦东新·期中）圆和与圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 7．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．相离 8．（22-23高二上·上海杨浦·期末）两个圆：与：恰有三条公切线，则的最大值为（    ） A． B． C．6 D．－6 9．（2023·上海徐汇·一模）已知圆的半径为3，圆的半径为7，若两圆相交，则两圆的圆心距可能是（    ） A．0 B．4 C．8 D．12 10．（21-22高二上·河北衡水·期末）若两圆和恰有三条公切线，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．3 素养提升 11．（20-21高二上·江西南昌·期中）与圆都相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 12．（25-26高二下·上海·期中）已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高二下·湖北襄阳·期中）已知，若两圆和外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知圆和圆，则使得圆与圆相切的的值有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 迁移创新 15．（25-26高二上·陕西商洛·期中）圆：与圆：的位置关系是（   ） A．内含 B．外切 C．内切 D．相交 16．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知圆与圆内切，则实数的值为________. 17．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知圆，过点作的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为__________. 18．（25-26高三上·上海·期中）已知圆与圆无公共点，则的取值范围是_____. 19．（23-24高三上·天津滨海新区·阶段检测）圆与圆的公共弦长为，则过点且与圆相切的直线方程为______． 20．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 平面解析几何 2.3.4　圆与圆的位置关系 课标要点 能根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系． 学习重难点 重点： 圆与圆的五种位置关系及其判定方法． 难点： 用坐标法探求圆与圆的位置关系的过程． 知识点一 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含． 随学随练 1．（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】将两圆的一般方程化为标准方程，求得圆心坐标与半径，计算圆心距后与两半径的和、差比较，即可判断两圆位置关系。 【详解】对于圆：，配方得，故圆心，半径； 对于圆：，配方得，故圆心，半径； 显然两圆圆心距， 两半径之差为，两半径之和为， 显然满足，即，因此两圆相交. 2．（25-26高二下·上海黄浦·期中）圆：与圆：的位置关系为（   ） A．内含 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】首先求圆心距，再根据圆与圆的位置关系判断. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，所以， 所以两圆相交. 知识点二 圆与圆位置关系的判定方法 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| (2)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含 [点拨]　(1)圆与圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含； (2)圆与圆相交，两圆有两个公共点； (3)圆与圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切． 特别提醒 两圆的公切线 两圆的公切线是指与两圆都相切的直线，可分为外公切线和内公切线．两圆的公切线有如图所示的五种情况： (1)外离时，有4条公切线； (2)外切时，有3条公切线； (3)相交时，有2条公切线； (4)内切时，有1条公切线； (5)内含时，无公切线． 随学随练 3．（25-26高一下·北京西城·期中）如图，已知圆M和圆N的半径均为1，且两圆相切．Q为圆M上一点，满足，则两阴影扇形弧长之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定两圆圆心距，结合垂直条件推导两个扇形的圆心角的大小，再代入公式计算弧长. 【详解】∵ 圆和圆的半径均为，且两圆相切， ∴ 圆心距. ∵ 为圆上一点， ∴ . ∵ ， ∴ ，即为直角三角形. 在中，，， ∴ ， ∴ ， ∴ . ∵ 扇形弧长公式为（为圆心角弧度数，为扇形半径），两阴影扇形半径均为1， ∴ 两阴影扇形弧长之和为. 4．（25-26高一下·重庆·期中）圆，圆，且，分别为两圆半径，圆和圆有且仅有一条公切线，则直线的方程为__________. 【答案】或 【分析】联立两圆方程，由条件，可得两圆的位置关系，即可得的关系，代入求解，即可得答案. 【详解】联立，①-②得， 由，得， 因为圆和圆有且仅有一条公切线：， 所以圆和圆相内切，故， 即或， 代入公切线方程得， 则直线的方程为或 题型圆与圆位置关系的判定 ▌例1（2026·河北保定·一模）（多选）圆与圆的公切线的交点坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】首先求出两圆的圆心与半径，再利用公切线方程求解交点坐标即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，    由题意得，圆心，半径. 将整理得，圆心，半径. 圆心距，两圆外切， 所以共有三条公切线，两两相交可得三个交点. 外公切线交点在连心线延长线上，由位似性质得交点为， 由图可得一条外公切线为， 设另一条外公切线方程为， 由圆心到切线距离等于半径得， 解得，所以； 两圆联立且内公切线的切点在连心线上， 所以切点坐标为，内公切线斜率为 ，方程为； 此时两两交点，对应选项A； ，对应选项B；，对应选项C； 故选项D不是公切线交点. ▌对点练1-1．（25-26高二上·上海·期末）圆与圆相交，则的取值范围为_________. 【答案】 【分析】先找出两个圆的圆心和半径，然后根据两圆的位置关系建立不等式，解出即可. 【详解】由的圆心，半径为， 的圆心，半径为， 所以圆心距为， 因为圆与圆相交，所以， 即，则得， 又，所以解得：， 故答案为：. 题型两圆相交的公共弦问题 ▌例1（（25-26高二下·福建厦门·期中）（多选）记圆：，圆：，则（   ） A． B．若坐标原点在圆上，则点在圆上 C．若圆与圆内切，则 D．当时，圆与圆的相交弦方程为 【答案】BD 【详解】对A：易知，，所以，故A错误； 对B：因为坐标原点在圆上，所以，所以圆：，由，所以点在圆上，故B正确； 对C：若圆与圆内切，则，故C错误； 对D：当时，圆：，圆：，两圆相交， 所以圆与圆的相交弦方程为， 化简得，故D正确. ▌对点练1-1（2026·河南洛阳·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】通过两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合垂径定理与勾股定理计算出公共弦长. 【详解】已知两圆方程：圆，圆心，半径，圆 ， 将两圆方程相减消去二次项，得到公共弦方程， 化简得：. 根据点到直线的距离公式，圆心到公共弦的距离：， 根据垂径定理，公共弦长. 【点睛】本题考查两圆公共弦长的计算，核心方法是两圆方程作差得公共弦方程，结合垂径定理求解弦长，是圆中弦长问题的常规解法. 题型 圆的共切线 ▌例1（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）若圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而，因此圆与圆外切， 所以圆与圆的公切线条数为3. ▌对点练1-1（25-26高二上·江苏南通·期中）（多选）已知圆与圆，则（    ） A．圆心距 B．两圆的公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公共弦长为 D．直线是两圆的一条公切线 【答案】ABD 【分析】根据圆的方程确定圆心坐标后计算圆心距，可得A;两圆方程相减得出公共弦所在直线方程，再在其中一个圆中计算公共弦弦长可判断B,C;计算两个圆到给定直线的距离是否分别等于各自半径，可判断D. 【详解】根据两圆方程，可知圆的圆心坐标,半径,圆的圆心坐标,半径. 对于A：,故A正确； 对于B：由A可知，,因此两圆相交.两圆的公共弦所在直线方程可由两圆方程相减得到，即将减去, 得到,整理化简得,故B正确； 对于C：两圆相交，存在公共弦，在其中一个圆中计算该弦长即可.圆心到公共弦的距离,故弦长,故C错误； 对于D：圆心到直线的距离,圆心到直线的距离,故直线是两圆的一条公切线，故D正确. 故选：ABD. 基础通关 1．（25-26高二下·上海闵行·期中）圆：与圆：的位置关系是（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而， 所以圆与圆内切. 2．（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】由圆的标准方程可知圆心坐标与半径，比较圆心距与半径和差的大小，可得答案. 【详解】由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 则，，， 由，则两圆相交. 故选：C. 3．（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系不可能为（ ） A．相切 B．相交 C．内含 D．外离 【答案】C 【分析】求解两圆的圆心和半径，计算圆心距和两半径之间的关系，即可求解. 【详解】， 故的圆心为，半径为， ， 故的圆心为，半径为， 故，当且仅当时，等号成立，而， 当时，两圆外离或相交，时，两圆内切， 故两圆不可能内含. 故选：C 4．（24-25高二下·湖南娄底·期中）圆与圆的公切线有且仅有（   ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】A 【分析】判断两圆的位置关系，根据两圆位置关系确定公切线的条数. 【详解】圆：，所以，. 圆：，所以，. 因为，，所以. 所以圆与圆相离.所以两圆有4条公切线. 故选：A 5．（24-25高二下·上海静安·期中）若半径分别为3和7的两圆相交，则它们的圆心距可能是（    ） A．0 B．4 C．8 D．12 【答案】C 【分析】求出圆心距满足的范围，得到答案. 【详解】设圆心距为，由于两圆相交，故，即， 所以ABD错误，C正确. 故选：C 6．（24-25高二下·上海浦东新·期中）圆和与圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【分析】求出两圆圆心距，利用几何法可得出两圆的位置关系. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为，所以， 故圆与圆相交. 故选：B. 7．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．相离 【答案】A 【分析】求得两圆的圆心与半径，进而求得两圆的圆心距，由可得结论. 【详解】由已知得圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 故， 所以圆与圆相交. 故选：A. 8．（22-23高二上·上海杨浦·期末）两个圆：与：恰有三条公切线，则的最大值为（    ） A． B． C．6 D．－6 【答案】A 【分析】将圆与圆的方程化为标准方程，得出圆心、半径.由题意可知，两圆外切，即，代入整理可得，然后根据基本不等式即得. 【详解】由已知可得，圆的方程可化为，圆心为，半径； 圆的方程可化为，圆心为，半径. 因为圆与圆恰有三条公切线，所以两圆外切. 所以有，即，所以. 又，当且仅当时，等号成立， 所以. 故选：A. 9．（2023·上海徐汇·一模）已知圆的半径为3，圆的半径为7，若两圆相交，则两圆的圆心距可能是（    ） A．0 B．4 C．8 D．12 【答案】C 【分析】根据两圆相交圆心距验证各选项即可. 【详解】因为两圆相交，所以两圆的圆心距即，仅有C满足， 故选：C 10．（21-22高二上·河北衡水·期末）若两圆和恰有三条公切线，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据两圆外切求得参数的关系，然后根据基本不等式求最值. 【详解】解：由题意可得两圆相外切 两圆的标准方程分别为 圆心分别为，半径分别为2和1 故有， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C 素养提升 11．（20-21高二上·江西南昌·期中）与圆都相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解析】求得两圆的圆心坐标和半径，利用两圆的位置关系的条件判定两圆相外切，从而得到公切线的条数. 【详解】的圆心坐标为,半径为； 化为标准方程为, 圆心坐标为,半径为， 圆心距, ∴两圆相外切， 故两圆的公切线有3条. 故选：C. 【点睛】本题考查两圆的公切线的条数，关键是判定两圆的位置关系，当两圆相离时有4条公切线，当两圆外切时，有3条公切线，当两圆内切时有1条公切线，当两圆相交时，有2条公切线，当两圆内含时没有公切线. 12．（25-26高二下·上海·期中）已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆方程相减，求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式求出到直线AB的距离，根据几何法求弦长即可. 【详解】由两圆方程相减即得， 此为公共弦AB所在的直线方程. 圆的圆心，半径. 到直线AB的距离为， 故公共弦长. 13．（25-26高二下·湖北襄阳·期中）已知，若两圆和外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得两圆的圆心和半径，再依据两圆外切，即可求得，令，代入上式，化简整理，可得关于m的一元二次方程，根据，结合判别式法即可得答案. 【详解】由题意得圆， 整理得，则圆心为，半径为1， 圆，整理得， 则圆心为，半径为2，由题意得两圆外切，即圆心距等于半径和， 所以，解得，     令，则，代入， 得，展开得， 因为，所以，解得. 所以的最大值为，故D正确. 14．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知圆和圆，则使得圆与圆相切的的值有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】确定两圆的圆心坐标与半径，再分两圆相外切与相内切两种情况讨论. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 若圆与圆相外切，则，即，解得或； 若圆与圆相内切，则，即，解得或； 故使得圆与圆相切的的值有、、、，共个. 迁移创新 15．（25-26高二上·陕西商洛·期中）圆：与圆：的位置关系是（   ） A．内含 B．外切 C．内切 D．相交 【答案】B 【分析】求出圆心和半径，圆心和半径，利用两点间的距离公式求出， 比较和的大小得到两圆的位置关系. 【详解】：，圆心，半径， ：，圆心，半径， ，，， 圆：与圆：的位置关系是外切. 故选：B. 16．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知圆与圆内切，则实数的值为________. 【答案】7 【分析】先根据圆的标准方程得出圆心及半径，再根据内切得出圆心间距离等于半径差计算求解. 【详解】圆的圆心，半径为，圆圆心，半径为， 圆与圆内切，则，即， 实数的值为. 故答案为：7. 17．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知圆，过点作的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为__________. 【答案】 【分析】先根据切线得出在上，再两圆作差得出直线的方程. 【详解】因为切点分别为，，则，，所以，，，四点在以为直径的圆上， 因为，所以在圆心为，半径为的圆上，其方程为， 所以与两边分别作差，得， 即直线的方程为. 故答案为：. 18．（25-26高三上·上海·期中）已知圆与圆无公共点，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】求出圆心距，根据两圆的位置关系列出不等式求解. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为； 圆的圆心坐标为，半径为1， 则， 因为两圆无交点，所以两圆外离或内含， 若外离：； 若内含：，或（舍）， 综上：. 故答案为：. 19．（23-24高三上·天津滨海新区·阶段检测）圆与圆的公共弦长为，则过点且与圆相切的直线方程为______． 【答案】 【分析】将圆与圆的方程作差可得公共弦所在直线方程为，结合弦长求得，注意到点在圆上，结合切线的性质求圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径， 将圆与圆的方程作差可得， 即公共弦所在直线方程为， 则到直线的距离为， 由题意可得：，解得， 且，可得， 若，则圆即为， 可知圆的圆心为，半径， 则，可知， 即圆与圆相交，符合题意， 又因为，即点在圆上， 可得，则切线的斜率， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 20．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 【答案】(1)57 (2)， 【分析】（1）求出两圆的标准方程得到圆心和半径，利用两圆外切的性质进行求解即可； （2）利用两圆的方程作差求出公共弦所在直线的方程，然后利用弦长公式求解即可. 【详解】（1）由圆，即， 则圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心为，半径为，， 因为两圆外切，所以两圆圆心距为， 即，解得. （2）当时，两圆方程相减得：，即， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $