2.3.3 直线与圆的位置关系(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

本高中数学讲义聚焦直线与圆的位置关系这一核心知识点，系统梳理从初中几何直观（交点个数）到高中代数方法（距离与半径比较、判别式）的判断思路，构建包含位置关系定义、判断方法及切线、弦长应用的学习支架。 资料以“大漠孤烟直，长河落日圆”诗句及图片引入，培养直观想象，通过一题多解、母题探究强化数学运算与逻辑推理，课中辅助教师教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺，体现用代数方法解决几何问题的学科特色。

2.3.3　直线与圆的位置关系 课标 要求 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系（直观想象）. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.体会用代数方法处理几何问题的思想（数学运算）. 　　 　　“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象.如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片. 【问题】　（1）图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？ （2）结合初中平面几何中学过的直线与圆的位置关系，说出直线与圆有几种位置关系？ （3）如何判断直线与圆的位置关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　直线与圆有三种位置关系 1.直线与圆的三种位置关系 位置关系 交点个数 图示 相交 有　两个　公共点 相切 只有　一个　公共点 相离 　没有　公共点 2.直线Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）与圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 判断方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d　＝　r d　＞　r 代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 【想一想】 1.若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切吗？ 提示：一定. 2.若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离满足什么条件？ 提示：当直线与圆有公共点时，圆心到直线的距离小于或等于半径. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若直线与圆有公共点，则直线与圆相交.（　×　） （2）如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切.（　√　） （3）若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.（　√　） （4）过圆外一点的直线与圆相离.（　×　） 2.直线3x－4y＋8＝0与圆（x－1）2＋（y＋1）2＝16的位置关系是（　　） A.相离　 B.相交　　 C.相切　 D.不确定 解析：B　圆（x－1）2＋（y＋1）2＝16的圆心坐标为（1，－1），半径为4，圆心到直线的距离d＝＝＝3＜4，所以相交.故选B. 3.直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为（　　） A.0或2　 B. C.2　 D.无解 解析：C　由于直线与圆相切，故＝，解得m＝0（舍去）或m＝2. 4.圆（x－1）2＋（y＋4）2＝25在x轴截得的弦长是（　　） A.8　 B.6 C.5　 D.6 解析：B　令y＝0，得（x－1）2＝9，所以x－1＝±3，所以x1＝－2，x2＝4，故所求弦长为｜x1－x2｜＝6.故选B. 　　 题型一　直线与圆位置关系的判断 〔一题多解〕已知直线mx－y－m－1＝0，圆x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线： （1）有两个公共点； （2）只有一个公共点； （3）没有公共点. 解：法一 将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得， （1＋m2）x2－2（m2＋2m＋2）x＋m2＋4m＋4＝0. 则Δ＝4m（3m＋4）. （1）当Δ＞0，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点. （2）当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点. （3）当Δ＜0，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点. 法二 已知圆的方程可化为（x－2）2＋（y－1）2＝4， 即圆心为C（2，1），半径r＝2. 圆心C（2，1）到直线mx－y－m－1＝0的距离为 d＝＝ . （1）当d＜2，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点. （2）当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点. （3）当d＞2，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点. 规律方法 判断直线与圆位置关系的方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断； （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断. 1.直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是（　　） A.相交　　　　　　　 B.相离 C.相交或相切　 D.相切 解析：C　直线x－ky＋1＝0恒过定点（－1，0），而（－1，0）在圆上，故直线与圆相切或相交. 2.直线ax＋by＝r2与圆x2＋y2＝r2相离，则点P（a，b）与圆x2＋y2＝r2的位置关系是点在圆　内　.（填“外”“上”或“内”） 解析：圆x2＋y2＝r2的圆心为（0，0），半径为r，由于直线ax＋by＝r2与圆x2＋y2＝r2相离，所以＞r，r＞，所以a2＋b2＜r2，所以P（a，b）与圆x2＋y2＝r2的位置关系是点在圆内. 题型二　直线与圆相切的有关问题 过点M（2，4）向圆（x－1）2＋（y＋3）2＝1引切线，求其切线方程. 解：由于（2－1）2＋（4＋3）2＝50＞1，故点M在圆外. 当切线斜率存在时，设切线方程是y－4＝k（x－2），即kx－y＋4－2k＝0， 由于直线与圆相切，圆心为（1，－3），r＝1，故＝1，解得k＝. 所以切线方程为24x－7y－20＝0. 又当切线斜率不存在时，直线x＝2与圆相切. 综上所述，所求切线方程为24x－7y－20＝0或x＝2. 【母题探究】 1.（变条件）若将本例中的点M的坐标改为（1，－2），其他条件不变，又如何求其切线方程？ 解：由于（1－1）2＋（－2＋3）2＝1， 故点M在圆上， 设圆的圆心为C，则C（1，－3），显然CM的斜率不存在. 因为圆的切线垂直于经过切点的半径， 所以所求切线的斜率k＝0，所以切线方程为y＝－2. 2.（变设问）若本例中的条件不变，如何求其切线长？ 解：由题知，设切线长为d，d＝＝＝7. 规律方法 1.过圆上一点（x0，y0）的圆的切线方程的求法 （1）先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程.如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0； （2）过点M（x0，y0）的圆x2＋y2＝r2的切线方程为x0x＋y0y＝r2. 2.过圆外一点（x0，y0）的切线方程的求法 设切线方程为y－y0＝k（x－x0），由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程.当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条.一般不用联立方程组的方法求解. 3.求切线长（最值）的两种方法 （1）代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； （2）几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题. 1.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：B　因为圆与两坐标轴都相切，点（2，1）在该圆上，所以可设该圆的方程为（x－a）2＋（y－a）2＝a2（a＞0），所以（2－a）2＋（1－a）2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，所以圆心的坐标为（1，1）或（5，5），所以圆心到直线2x－y－3＝0的距离为＝或＝，故选B. 2.〔一题多解〕经过点M（2，），且与圆x2＋y2＝10相切的直线的方程为　2x＋y－10＝0　. 解析：法一　因为22＋（）2＝10，所以点M在圆x2＋y2＝10上，由题意可知圆心为C（0，0），则直线CM的斜率kCM＝.因为圆的切线垂直于经过切点的直径所在的直线，所以所求切线的斜率k＝－.故经过点M的切线方程为y－＝－（x－2），整理得2x＋y－10＝0. 法二　显然点M（2，）在圆x2＋y2＝10上，又因为过圆x2＋y2＝r2上一点（x0，y0）的切线方程为x0x＋y0y＝r2，故所求切线方程为2x＋y＝10，即2x＋y－10＝0. 3.〔一题多解〕若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点（a，b）向圆所作的切线长的最小值是　4　. 解析：法一　由x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，得（x＋1）2＋（y－2）2＝2，依题意得圆心C（－1，2）在直线2ax＋by＋6＝0上，所以2a×（－1）＋b×2＋6＝0，即a＝b＋3　①，易知由点（a，b）向圆所作的切线长l＝　②，将①代入②，得l＝＝.又b∈R，所以当b＝－1时，lmin＝4. 法二　因为过圆外一点的圆的切线长l、半径r和该点到圆心的距离d满足勾股定理，即l2＝d2－r2，所以切线长最短时该点到圆心的距离最小，则原问题转化成求该点与圆心的距离的最小值问题.由题意知圆心C（－1，2），半径r＝，圆心在直线2ax＋by＋6＝0上，则2a×（－1）＋b×2＋6＝0，即b＝a－3，所以点（a，b）在直线y＝x－3上，所以点（a，b）与圆心的距离的最小值即圆心到直线y＝x－3的距离d'，易求得d'＝＝3，所以切线长的最小值为＝4. 题型三　直线截圆所得弦长问题 〔一题多解〕直线l经过点P（5，5）并且与圆C：x2＋y2＝25相交截得的弦长为4，求l的方程. 解：据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－5＝k（x－5），与圆C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）， 法一　联立方程组 消去y，得（k2＋1）x2＋10k（1－k）x＋25k（k－2）＝0. 由Δ＝[10k（1－k）]2－4（k2＋1）·25k（k－2）＞0， 解得k＞0.又x1＋x2＝－， x1x2＝， 由斜率公式，得y1－y2＝k（x1－x2）. ∴｜AB｜＝ ＝ ＝ ＝＝4. 两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0，解得k＝或k＝2符合题意. 故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0. 法二　如图所示，｜OH｜是圆心到直线l的距离，｜OA｜是圆的半径，｜AH｜是弦长｜AB｜的一半. 在Rt△AHO中，｜OA｜＝5， ｜AH｜＝｜AB｜＝×4＝2， 则｜OH｜＝＝. ∴＝， 解得k＝或k＝2. ∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0. 规律方法 求弦长的两种方法 　　涉及直线被圆截得的弦长问题时，解法有两种： （1）由于半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用勾股定理d2＋（）2＝r2求解，这是常用解法； （2）联立直线（y＝kx＋b）与圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长｜AB｜＝·｜x1－x2｜＝·或｜AB｜＝·｜y1－y2｜＝·. 1.已知圆C的圆心是直线x＋y＋1＝0与直线x－y－1＝0的交点，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且｜AB｜＝6，则圆C的方程为（　　） A.x2＋（y＋1）2＝18　　 B.x2＋（y－1）2＝3 C.（x－1）2＋y2＝18　　 D.（x－1）2＋y2＝3 解析：A　直线x＋y＋1＝0与直线x－y－1＝0的交点为（0，－1），所以圆心为C（0，－1），设半径为r，由题意得（）2＋32＝r2，解得r2＝18，故圆C为x2＋（y＋1）2＝18. 2.已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m＝（　　） A.±2　 B.± C.±　 D.±3 解析：C　由题可得圆心为（0，0），半径为2，则圆心到直线的距离d＝，则弦长为2，则当k＝0时，弦长取得最小值为2＝2，解得m＝±.故选C. 　与圆有关的探究性问题 　　 如图，圆x2＋y2＝8内有一点P0（－1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦. （1）当α＝135°时，求AB的长； （2）是否存在弦AB被点P0平分？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由. 【问题探究】 　此题目为探究性问题，属探究题存在类型范畴，解决这类问题一般思路：首先假设所探究的问题存在，在这个假设条件下进行推理论证，如果能得到一个合情合理的推理结果，就肯定假设正确.如果得到一个矛盾结论，就应否定假设，对问题作出反面回答. 【迁移应用】 1.对上述问题进行解答. 解：（1）直线AB的斜率为k＝tan 135°＝－1， ∴直线AB的方程为y－2＝－（x＋1），即x＋y－1＝0. ∵圆心O（0，0）到直线AB的距离d＝＝， ∴弦长｜AB｜＝2＝2＝. （2）假设存在弦AB被点P0平分， ∴P0为弦AB的中点，又｜OA｜＝｜OB｜＝r，∴OP0⊥AB. 又∵＝＝－2，∴kAB＝. ∴直线AB的方程为y－2＝（x＋1），即x－2y＋5＝0. 由以上求解可知，存在被P0点平分的弦AB，此弦所在直线方程为x－2y＋5＝0. 2.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（3，3），C（1，－），记△ABC外接圆为圆M. （1）求圆M的方程； （2）在圆M上是否存在点P，使得｜PB｜2－｜PA｜2＝12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由. 解：（1）设△ABC外接圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将A（0，0），B（3，3），C（1，－）代入上述方程得解得 则圆M的方程为x2＋y2－6x＝0. （2）设点P的坐标为（x，y）， 因为｜PB｜2－｜PA｜2＝12，所以（x－3）2＋（y－3）2－x2－y2＝12，化简得x＋y－1＝0. 因为圆M的圆心M（3，0）到直线x＋y－1＝0的距离为d＝＝，又圆M的半径r＝3，＜3， 所以直线x＋y－1＝0与圆M相交，故满足条件的点P有两个. 1.若直线x－y＋1＝0与圆（x－a）2＋（y－1）2＝2没有公共点，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，－）∪（，＋∞） B.（，＋∞） C.（－∞，－2）∪（2，＋∞）　 D.（2，＋∞） 解析：C　由题得圆心坐标为（a，1），半径为，∴＞，∴｜a｜＞2，∴a＞2或a＜－2.∴实数a的取值范围是（－∞，－2）∪（2，＋∞）.故选C. 2.以点（2，－1）为圆心，且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为（　　） A.（x－2）2＋（y＋1）2＝3 B.（x＋2）2＋（y－1）2＝3 C.（x＋2）2＋（y－1）2＝9 D.（x－2）2＋（y＋1）2＝9 解析：D　圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝＝3，即圆的半径为3，所以所求圆的方程为（x－2）2＋（y＋1）2＝9. 3.已知圆C：x2＋y2－4x－4y＝0，则以P（1，1）为中点的弦所在的直线方程为（　　） A.x－y＝0　 B.x＋2y－3＝0 C.x＋y－2＝0　 D.x－y＋2＝0 解析：C　由圆的方程可知圆心坐标为C（2，2），则kPC＝＝1，则所求直线的斜率k＝－1，直线方程为y－1＝－（x－1），即x＋y－2＝0.故选C. 4.若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为　x＋2y－5＝0　. 解析：设切线斜率为k，则由已知得 k·kOP＝－1.∴k＝－.∴切线方程为x＋2y－5＝0. 　　 1.直线l： y－1＝k（x－1）和圆x2＋y2－2y＝0的关系是（　　） A.相离　　　　　　 B.相切或相交 C.相交　 D.相切 解析：C　l过定点A（1，1），∵12＋12－2×1＝0，∴点A在圆上，∵直线x＝1过点A且为圆的切线，又l斜率存在，∴l与圆一定相交，故选C. 2.直线x＋2y－5＋＝0被x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为（　　） A.1　 B.2 C.2　 D.4 解析：D　圆的方程可化为（x－1）2＋（y－2）2＝5，所以圆心（1，2），半径r＝，圆心（1，2）到直线x＋2y－5＋＝0的距离d＝＝1，所以截得的弦长为2＝2＝4.故选D. 3.若直线ax＋2by－2＝0（a＞0，b＞0）始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则a＋b的值为（　　） A.4　 B.3 C.2　 D.1 解析：D　由题意知圆心（2，1）在直线ax＋2by－2＝0上，∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1. 4.已知点P是圆C：x2＋y2＋2y＝0上一点，则点P到直线l：2x－y＋4＝0的距离最大值为（　　） A.2　 B.＋2 C.＋1　 D.－1 解析：C　由圆C：x2＋y2＋2y＝0，可得圆心坐标为C（0，－1），半径r＝1，则圆心C到直线l的距离为 ＝，所以点P到直线l的距离的最大值为＋1.故选C. 5.已知圆C：x2＋y2－4x－4y＋4＝0，P为直线l：x＋y－8＝0上一动点，则点P到圆C上的点的最短距离为（　　） A.　 B.－1 C.2　 D.2－2 解析：D　由C：x2＋y2－4x－4y＋4＝0可得（x－2）2＋（y－2）2＝4，可知圆心C（2，2），半径r＝2，圆心C到直线x＋y－8＝0的距离d＝＝2，则点P到圆上的点的最短距离为d－r＝2－2. 6.〔多选〕对于直线l：（m－2）x＋y－2m＋1＝0与圆C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0，下列说法不正确的是（　　） A.l过定点（2，3） B.C的半径为9 C.l与C可能相切 D.l被C截得的弦长最小值为2 解析：BC　（m－2）x＋y－2m＋1＝0可变形为（x－2）m－2x＋y＋1＝0，由得所以直线l过定点（2，3），故A正确；圆C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0的标准方程为（x－3）2＋（y－2）2＝9，半径为3，故B不正确；由（2－3）2＋（3－2）2＝2＜9，所以点（2，3）在圆C的内部，所以l与C相交，不会相切，故C不正确；当l与点（2，3）和圆心（3，2）的连线垂直时，l被C截得的弦长最小.因为点（2，3）和圆心（3，2）连线的斜率为＝－1，所以－＝1，解得m＝1，此时l的方程为x－y＋1＝0，因为圆心（3，2）到直线l的距离d＝＝，所以弦长为2＝2，故D正确. 7.设P是直线l：x＋y＋1＝0上的动点，过P作圆C：（x－3）2＋（y－4）2＝4的切线，则切线长的最小值为　2　. 解析： ∵圆C：（x－3）2＋（y－4）2＝4，∴圆心C（3，4），半径r＝2.设切点为Q，由题意可知，点P到圆C的切线长｜PQ｜最小时，CP⊥l，∵圆心到直线的距离d＝＝4，∴切线长的最小值为＝2. 8.已知直线x－my＋1＝0与☉C：（x－1）2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值　－2（或－或或2，填写任意一个均可）　. 解析：依题意可得圆C的圆心为C（1，0），半径r＝2，则圆心C（1，0）到直线x－my＋1＝0的距离d＝，｜AB｜＝2＝，所以S△ABC＝×d×｜AB｜＝＝，解得m＝2或m＝－2或m＝或m＝－.填写任意一个均可. 9.直线x－y＋1＝0与直线2x－2y－1＝0是圆C的两条切线，则圆C的面积是　π　. 解析：易知直线x－y＋1＝0与直线2x－2y－1＝0平行，若两条平行直线是圆C的两条切线，则两直线之间的距离为圆的直径.直线x－y＋1＝0，即2x－2y＋2＝0，与直线2x－2y－1＝0间的距离d＝＝，则圆C的半径r＝，圆C的面积S＝πr2＝π. 10.已知直线2x＋y－2＝0与圆C：x2＋y2＋4x－2y＋a＝0（a∈R）交于A，B两点，且｜AB｜＝4. （1）求a的值； （2）求过点P（1，2）的C的切线方程. 解：（1）圆C：x2＋y2＋4x－2y＋a＝0（a∈R）即（x＋2）2＋（y－1）2＝5－a， 圆心为C（－2，1），半径r＝（a＜5）， 则圆心到直线2x＋y－2＝0的距离为d＝＝，又｜AB｜＝4，所以2＝4，即5－a－（）2＝4，解得a＝－4. （2）由（1）可得圆C：（x＋2）2＋（y－1）2＝9，则（1＋2）2＋（2－1）2＞9，即点P在圆C外， 当过点P的直线斜率不存在时，直线方程为x＝1，符合题意； 当过点P的直线斜率存在时，设直线方程为y－2＝k（x－1），即kx－y－k＋2＝0， 所以＝3，解得k＝－，所以切线方程为y－2＝－（x－1），即4x＋3y－10＝0， 综上可得，过点P的圆的切线方程为x＝1或4x＋3y－10＝0. 11.若直线kx－y－3＝0与曲线x＝1＋有两个不同的交点，则k的取值范围是（　　） A.［，6］　 B.（，4］ C.（，＋∞）　 D.（－6，）∪[4，6） 解析：B　直线kx－y－3＝0为过点P（0，－3）的动直线，曲线x＝1＋，即为半圆（x－1）2＋（y－2）2＝1（x≥1），圆心为（1，2），半径为1，半圆最下方的点为M（1，1），如图，当直线kx－y－3＝0与半圆相切时，有＝1，解得k＝；当直线kx－y－3＝0过点M（1，1）时，有k－1－3＝0，即k＝4；因为直线kx－y－3＝0与半圆有两个不同的交点，所以＜k≤4，则k的取值范围是（，4］. 12.〔多选〕已知直线l：（m－1）x＋2my－3m＋3＝0（m∈R）和圆C：（x－2）2＋（y－1）2＝4，以下四个命题表述正确的是（　　） A.直线l恒过点（3，0） B.直线l与圆C恒有两个交点 C.直线l被圆C截得的最短弦长为 D.当m＝2时，圆C上恰有4点到直线l的距离为1 解析：ABD　对于A，由l：（m－1）x＋2my－3m＋3＝0（m∈R），则m（x＋2y－3）－x＋3＝0，令解得所以直线恒过定点A（3，0），故A正确；对于B，由（3－2）2＋（0－1）2＝2＜4，所以（3，0）在圆C内，直线l与圆C恒有两个交点，故B正确；对于C，由（x－2）2＋（y－1）2＝4知圆心为C（2，1），半径为r＝2，当AC⊥l时，直线l被圆截得的弦长最短，又｜AC｜＝＝，最短弦长为2＝2，故C错误；对于D，当m＝2，直线l的方程为x＋4y－3＝0，圆心C（2，1）到直线的距离为d＝＝＜1，圆C上恰有4点到直线l的距离为1，故D正确.故选A、B、D. 13.已知某岛屿A正西方向120 km处有一台风中心，它正向北偏东60°方向移动，移动速度的大小为20 km/h.距台风中心100 km以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，则岛屿A所在地受到影响的持续时间为　8　小时. 解析：如图，设直角坐标系的原点O为台风中心，x轴正半轴上存在岛屿A（120，0），且台风中心在第一象限沿着直线y＝x运动，以A为圆心，以100为半径的圆与直线y＝x交于B，C两点，因为点A到直线x－y＝0的距离d＝＝60，则｜BC｜＝2＝160，则岛屿A所在地受到影响的持续时间为＝8小时. 14.已知直线l：（m＋2）x＋（1－2m）y＋4m－2＝0与圆C：x2－2x＋y2＝0交于M，N两点. （1）求直线l所过定点的坐标； （2）求m的取值范围； （3）若O为坐标原点，直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，试问k1＋k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 解：（1）由直线l：（m＋2）x＋（1－2m）y＋4m－2＝0， 得m（x－2y＋4）＋（2x＋y－2）＝0，联立解得∴直线l恒过点（0，2）. （2）由圆C：x2－2x＋y2＝0，知圆心C（1，0），半径r＝1， 由题意，得＜1，得－＜m＜， ∴当直线l与圆C相交时，m的取值范围为. （3）由（2）知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，联立得（1＋k2）x2＋（2kb－2）x＋b2＝0， ∴x1＋x2＝－，x1x2＝， ∴k1＋k2＝＋＝＝＝ ＝2k＋b·＝2k＋b·＝2k＋－2k＝. 由（1）可知，b＝2，则k1＋k2＝1， ∴k1＋k2是定值，且定值为1. 1 / 2 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