精品解析：浙江温州市第二中学2026-2027学年上学期九年级 综合素质检测数学试题卷

26学年第一学期九年级综合素质检测 数学试题卷 考生须知： 1．试题卷共4页，答题卷共2页；考试时间120分钟；全卷满分120分． 2．答案必须写在答题卷相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 社会实践活动小组的同学们响应“垃圾分类，从我做起”的号召，主动到附近的5个社区宣传垃圾分类，他们记录的各社区参加活动的人数为：，那么这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知菱形的周长为20，其中一条对角线的长为8，则另一条对角线的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 5. 已知点P是线段的黄金分割点，若，则为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，交于点H，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 8. 某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出100件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出10件，若要使每周销售该款T恤获利2250元，设每件降低元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（ ） A. 四边形是矩形 B. 四边形的内角和小于四边形的内角和 C. 四边形的周长等于四边形的对角线长度之和 D. 四边形的面积等于四边形面积的 10. 对于一元二次方程（），下列说法正确的个数是（ ） ①若方程的两个根为和1，则． ②若，则方程一定有解． ③若，则． ④若，且，则方程的两实数解一定互为相反数． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 若一个九边形的个外角的和为，则它的第个外角的度数为________． 12. 若，，则代数式___________． 13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_________． 14. 若关于的一元二次方程有一个根为2026，则一元二次方程必有一个根为________． 15. 如图，在正方形中，点是上一点，过点作于点，于点，连结，若，则的最小值为________． 16. 如图，在菱形中，，将绕点逆时针旋转至，连接交线段于点． （1）若为的中点，则旋转角________． （2）若，，则________． 三、解答题（本题有7个小题，共66分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1） （2） 19. 某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同条件下进行8轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图1，将A，B两名选手8轮射击成绩绘制成对应的统计图和统计表． 选手 平均数 方差 A 8.5环 1.75 B ① 0.75 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 10 B 8 8 9 10 10 【数据分析】 （1）小华利用平均数和方差进行分析．表格中①处应填 环．由表格中的数据可以看出 （填“A”或“B”）选手的发挥更稳定． （2）小殷利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．表中一部分数据被污染了，请你帮她计算出A选手8轮射击成绩的四分位数： ， ， ． 【作出决策】 （3）根据小华和小殷选择的统计量进行分析，两名选手中应选拔 参加青少年射击比赛．（填“A”或“B”） 20. 如图，，分别是，上的点，，相似比是． （1）若，求的长． （2）若，求的长． 21. 如图，在的正方形网格中，点A，B，请按要求作图． （1）在图1中画一个格点，使（相似比不为1）． （2）在图2中画一条格点线段，交于点Q，使． 22. 如图1，在四边形中，，，相交于点O，且O为的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，延长至点E，使得，若，， ①求四边形的面积； ②设G为上一动点，连结并延长交于F，若，求的长． 23. 随着全球对环境保护的重视，新能源汽车行业迎来了快速发展．某新能源汽车销售公司统计显示，今年三月份与五月份的新能源汽车销量分别为4000辆和4840辆，假设该公司每月新能源汽车销量的增长率相同． （1）求该公司新能源汽车销量的月平均增长率． （2）已知每辆新能源汽车的交付需要经过检测和调试等多个环节，每位员工每月可处理250辆汽车的交付任务．若该公司现有20名负责交付的员工，按（1）中的增长率预测能否完成今年六月份的新能源汽车交付任务？若不能，至少需要增加几名员工． 24. 小明同学在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）进行探究，产生了一系列问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． （1）初步探究：如图2，若，求证：． （2）尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长． （3）创新提升：如图4，点为中点，连接，若，，，则的长为 ．（请直接写出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 26学年第一学期九年级综合素质检测 数学试题卷 考生须知： 1．试题卷共4页，答题卷共2页；考试时间120分钟；全卷满分120分． 2．答案必须写在答题卷相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得． 2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意． 3. 社会实践活动小组的同学们响应“垃圾分类，从我做起”的号召，主动到附近的5个社区宣传垃圾分类，他们记录的各社区参加活动的人数为：，那么这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数．熟练掌握众数和中位数的定义是解题的关键． 根据众数和中位数的定义求解作答即可． 【详解】解：将数据从小到大依次排序为：， ∴众数为，中位数为第3个位置上的数即， 故选：C． 4. 已知菱形的周长为20，其中一条对角线的长为8，则另一条对角线的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，菱形各边长相等的性质，勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求的值是解题的关键．根据菱形的周长可以计算菱形的边长，菱形的对角线互相垂直平分，已知，，根据勾股定理即可求得的值． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵菱形周长为20，， ∴，， ， ， 故选：C． 5. 已知点P是线段的黄金分割点，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是黄金分割的概念，熟记黄金分割点是解题的关键． 根据题意可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点， ∴， ， ， ， 解得：或（舍去）， 故选：B． 6. 如图，已知，交于点H，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例的性质，根据相似三角形的性质逐一分析四个结论的正误是解题的关键． 【详解】解：A、因为，则，所以，故该结论是正确的，不符合题意； B、因为，所以，故该结论是正确的，不符合题意； C、因为，则 ，所以，故该结论是不正确的，符合题意； D、因为，所以，故该结论是正确的，不符合题意； 故选：C 7. 如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 8. 某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出100件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出10件，若要使每周销售该款T恤获利2250元，设每件降低元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据利润售价进价，由每降价元，每星期可多卖出件，可知每件售价降低元，每星期可多卖出件，从而列出方程即可． 【详解】解：每件降低元时，单件利润为元，每周销售量为件， 根据题意得. 9. 如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（ ） A. 四边形是矩形 B. 四边形的内角和小于四边形的内角和 C. 四边形的周长等于四边形的对角线长度之和 D. 四边形的面积等于四边形面积的 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据三角形中位线的性质，，，继而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：连接，设交于点， 点，，，分别是，，，边上的中点， ，， A. 四边形是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意； B. 四边形的内角和等于于四边形的内角和，都为360°，故该选项不正确，不符合题意； C. 四边形的周长等于四边形的对角线长度之和，故该选项正确，符合题意； D. 四边形的面积等于四边形面积的，故该选项不正确，不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查了中点四边形的性质，三角形中位线的性质，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 10. 对于一元二次方程（），下列说法正确的个数是（ ） ①若方程的两个根为和1，则． ②若，则方程一定有解． ③若，则． ④若，且，则方程的两实数解一定互为相反数． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由根与系数的关系得到，则可推出，据此可判断①；当时，可证明是原方程的解，据此可判断②；根据题意可得都是关于的一元二次方程的实数根，而关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根，据此可判断③；可证明，，则可证明，由根与系数的关系可得原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，据此可判断④. 【详解】解：①若方程的两个根为和，由根与系数的关系得，， ，， ，故①正确； ②， 将代入方程得， 是方程的根，即方程一定有解，故②正确； ③若，则都是方程的实数根， 一元二次方程可以有两个不相等的实数根， 不一定等于，故③错误； ④若，则， ，，与异号， ，即， ， ， 方程有两个不相等的实数根， 由根与系数的关系，两根之和为， 方程的两实数解一定互为相反数，故④正确， 故正确的有①②④，共3个. 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 若一个九边形的个外角的和为，则它的第个外角的度数为________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】任意多边形的外角和恒为，用总外角和减去已知8个外角的和，即可求出第9个外角的度数． 【详解】解：∵任意多边形的外角和都等于，该九边形8个外角的和为， ∴第9个外角的度数为． 12. 若，，则代数式___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，代数式求值，二次根式的性质．根据平方差公式得出，再代入计算即可求解． 【详解】解：∵， 将，代入， 则原式， ， ， ． 故答案为：． 13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据判别式的意义得到△＝（−2）2−4×3×m＞0，然后解不等式即可． 【详解】根据题意得△＝（−2）2−4×3×m＞0， 解得m＜． 故答案为：m＜． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2−4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 14. 若关于的一元二次方程有一个根为2026，则一元二次方程必有一个根为________． 【答案】 【解析】 【分析】观察两个方程的结构，利用换元法将待求方程转化为与已知方程形式相同的方程，结合已知根求解． 【详解】解：将方程变形为， 设，则原方程可化为， ∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴有一个根为， 即，解得， 因此一元二次方程必有一个根为． 15. 如图，在正方形中，点是上一点，过点作于点，于点，连结，若，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，证明四边形是矩形，得，根据“垂线段最短”可求出的最小值为，从而可得出的最小值． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵于点，于点F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 根据“垂线段最短”，当时，取得最小值，即取得最小值． 当时， ∵， ∴是斜边上的中线， ∴ ∴的最小值为． 16. 如图，在菱形中，，将绕点逆时针旋转至，连接交线段于点． （1）若为的中点，则旋转角________． （2）若，，则________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质和旋转的性质得到，，再由三线合一定理可得答案； （2）过点F作于点G，根据菱形的性质和旋转的性质得到，；设，则，，可证明；利用直角三角形的性质结合勾股定理，可得答案． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴，， 由旋转的性质可得， ∴， ∵F为的中点， ∴； （2）如图所示，过点F作于点G， ∵四边形是菱形， ∴，， 由旋转的性质可得， ∴， ∴； 设，则， ∴， ∴， ∴； ∵，， 在中，， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴． 三、解答题（本题有7个小题，共66分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， 或， 解得； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ． 19. 某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同条件下进行8轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图1，将A，B两名选手8轮射击成绩绘制成对应的统计图和统计表． 选手 平均数 方差 A 8.5环 1.75 B ① 0.75 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 10 B 8 8 9 10 10 【数据分析】 （1）小华利用平均数和方差进行分析．表格中①处应填 环．由表格中的数据可以看出 （填“A”或“B”）选手的发挥更稳定． （2）小殷利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．表中一部分数据被污染了，请你帮她计算出A选手8轮射击成绩的四分位数： ， ， ． 【作出决策】 （3）根据小华和小殷选择的统计量进行分析，两名选手中应选拔 参加青少年射击比赛．（填“A”或“B”） 【答案】（1）9，B （2） （3）B 【解析】 【分析】（1）根据折线统计图中的数据求选手B的平均成绩；比较两个选手的方差，来确定选手的射击成绩的稳定性； （2）根据四分位数的意义，结合折线统计图中的数据求解； （3）通过分析比较两选手的射击成绩的方差、四分位数、平均数，综合后作出决策． 【小问1详解】 解：∵选手B的平均成绩：， ∴①处应填9环． ∵选手A的方差为，选手B的方差为，， ∴B的发挥更稳定． 【小问2详解】 解：将A选手的成绩排序：6，7，8，9，9，9，，， 数据个数为偶数，取第4和第5个数据的平均值． 第4个数据为9，第5个数据为9， 因此环． 方法一：下四分位数()是前半部分数据(前4个∶6，7，8，9)的中位数， 取第2和第3个数据的平均值∶环． 上四分位数()是后半部分数据(后4个∶9，9，，)的中位数， 取第6和第7个数据的平均值∶环． 方法二：∵， ∴下四分位数()是第2和第3个数据的平均数，即环． ∵， ∴上四分位数()是第6和第7个数据的平均数，即环． 因此，A选手的四分位数填写如下∶环，环，环． 【小问3详解】 解：小华的分析显示B选手方差更小，更稳定． 小殷的分析显示B选手成绩分布更集中（四分位数范围小），且平均数更高（B为9环，A为环）． 综合来看，B选手成绩更优且更稳定，因此应选拔B参加青少年射击比赛． 20. 如图，，分别是，上的点，，相似比是． （1）若，求的长． （2）若，求的长． 【答案】（1）； （2）的长为 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵，相似比是， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，相似比是， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 如图，在的正方形网格中，点A，B，请按要求作图． （1）在图1中画一个格点，使（相似比不为1）． （2）在图2中画一条格点线段，交于点Q，使． 【答案】（1） 如图 （答案不唯一） （2） 如图 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定，并结合网格求解； （2）根据平行线分线段成比例定理，在网格中画出符合条件的图形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查作图－相似的变换，解题的关键在于熟练掌握相似三角形判定与性质以及平行线分线段成比例定理． 22. 如图1，在四边形中，，，相交于点O，且O为的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，延长至点E，使得，若，， ①求四边形的面积； ②设G为上一动点，连结并延长交于F，若，求的长． 【答案】（1）证明：∵，相交于点O，且O为的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）①12；②1或3 【解析】 【分析】（1）根据已知条件证明，得到，从而证得结论； （2）①利用等腰三角形三线合一的性质得出，，通过勾股定理求出的长，再由（1）的结论证得四边形是矩形，从而求得结果； ②先证明，得出，过点O作交于点H，利用勾股定理求出的长，最后根据题意得出不同情况下的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 由（1）知，四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴； ②∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 如图，过点O作交于点H， ∵， ∴，即点H为的中点， 又∵点O为四边形对角线的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，， 又∵， ∴， ∵G为上一动点， ∴当点G靠近点C时，， 综上所述，的长为1或3． 23. 随着全球对环境保护的重视，新能源汽车行业迎来了快速发展．某新能源汽车销售公司统计显示，今年三月份与五月份的新能源汽车销量分别为4000辆和4840辆，假设该公司每月新能源汽车销量的增长率相同． （1）求该公司新能源汽车销量的月平均增长率． （2）已知每辆新能源汽车的交付需要经过检测和调试等多个环节，每位员工每月可处理250辆汽车的交付任务．若该公司现有20名负责交付的员工，按（1）中的增长率预测能否完成今年六月份的新能源汽车交付任务？若不能，至少需要增加几名员工． 【答案】（1）该公司新能源汽车销量的月平均增长率为10%； （2）不能，至少需要增加2名员工． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用——增长率问题，熟练掌握终止量与起始量和增长次数的关系，列方程，量是解题关键． （1）设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为x，三月份与五月份的新能源汽车销量分别为4000辆和4840辆，列出方程求解即可； （2）首先求出六月份的销量，进而得出20名负责交付的员工能完成的任务，再利用每位员工每月最多可处理250辆汽车的交付任务，即可得出需要的人数． 【小问1详解】 解：设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为， 根据题意得， 解得：，（不合题意舍去）． 答：该公司新能源汽车销量的月平均增长率为10%． 【小问2详解】 解：每月新能源汽车销量的增长率相同， 六月份的新能源汽车销量为：． 每位员工每月处理250辆汽车的交付任务，现有20名负责交付的员工， ． 不能完成今年六月份的新能源汽车交付任务． 需要增加员工（名）， 因为员工人数必须为整数，所以至少需要增加2名员工， 答“至少需要增加2名员工． 24. 小明同学在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）进行探究，产生了一系列问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． （1）初步探究：如图2，若，求证：． （2）尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长． （3）创新提升：如图4，点为中点，连接，若，，，则的长为 ．（请直接写出答案） 【答案】（1）证明： ∵，， ∴， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明即可得到； （2）由（1）的结论结合可得，再利用相似三角形的性质求出即可； （3）取中点，连接、，设，由等腰三角形与直角三角形的性质可得，，，．容易证明，则，计算得，，进而得到．在中，使用勾股定理构造方程求解出，最后计算出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，取中点，连接、，设， ∵点为的中点，点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又∵点为的中点， ∴，， 在中，，点为的中点， ∴，， 由勾股定理可得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $